i ednn i d i cc e - monografias.com · pert cpm - ing. josé luis albornoz salazar 2 - la...

II NN DD II CC EE

Fundamentos de la representación gráfica. 2

Flechas ficticias. 3

Cómputo de tiempo. 6

Determinación del Camino Crítico. 10

Ejercicio complementario (Paso a paso). 18

PERT CPM ING. José Luis Albornoz Salazar - 1 -

AA MMAANNEERRAA DDEE PPRRÓÓLLOOGGOO

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo el problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carácter.

Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y los ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemáticas tiene también una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro está, si ve las matemáticas como una materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no volverá a ocuparse una vez pasado éste. Puede descubrir, sin embargo, que un problema de matemáticas puede ser tanto o más divertido que un crucigrama. Habiendo degustado el placer de las matemáticas, ya no las olvidará fácilmente, presentándose entonces una buena oportunidad para que las matemáticas adquieran un sentido para él, ya sean como un pasatiempo o como herramienta de su profesión, o su profesión misma o la ambición de su vida.

G. POLYA

““AAuunnqquuee yyaa hhaayyaass ttiirraaddoo mmuucchhaass vveecceess ccoonn eell aarrccoo,, ccoonnttiinnúúaa pprreessttaannddoo aatteenncciióónn aa llaa mmaanneerraa ccóómmoo ccoollooccaass llaa fflleecchhaa,, yy ccóómmoo tteennssaass llaa ccuueerrddaa.. CCuuaannddoo uunn eessttuuddiiaannttee eessttáá ccoonnsscciieennttee ddee ssuuss nneecceessiiddaaddeess,, tteerrmmiinnaa ssiieennddoo mmááss iinntteelliiggeennttee qquuee eell pprrooffeessoorr ddiissttrraaííddoo””..

LAO TZU.

PERT: PROJECT EVALUATION AND

REVIEW TECHNIQUE. (Técnicas de Evaluación y Revisión de Proyectos).

CPM: CRITICAL PATH METHOD. (Método

del Camino Crítico).

PERT y CPM son dos métodos usados por la dirección para, con los medios disponibles, planificar el proyecto a fin de lograr su objetivo con éxito. Las técnicas de PERT y CPM preparan el plan mediante la representación gráfica de todas las operaciones que intervienen en el proyecto y las relacionan, coordinándolas de acuerdo con las exigencias tecnológicas. La aplicación de PERT se encuentra en aquellas tareas en que hay incertidumbre en cuanto a los tiempos de terminación. Sin embargo, con CPM se supone que las experiencias pasadas nos libran de esta incertidumbre de tiempos, pero si existe la de costo, ya que lo importante es el costo total mínimo y sobre éste se fijan los tiempos de trabajos. Las principales ventajas de estas técnicas son el poder proporcionar a la dirección las siguientes informaciones:

a) ¿Qué trabajos serán necesarios primero y cuando se deben realizar los acopios de materiales y problemas de financiamiento?

b) ¿Qué trabajos hay y cuantos serán requeridos en cada momento?

c) ¿Cuál es la situación del proyecto que está en marcha en relación con la fecha programada para su terminación?

d) ¿Cuáles son las actividades críticas que al retrasarse cualquiera de ellas, retrasan la duración del proyecto?

e) ¿Cuáles son las actividades no criticas y cuanto tiempo de holgura se les permite si se demoran?

f) Si el proyecto está atrasado, ¿Dónde se puede reforzar la marcha para contrarrestar la demora y que costo produce?

g) ¿Cuál es la planificación y programación de un proyecto con costo total mínimo y duración óptima?


La diferencia fundamental de estos dos métodos consiste en que, el PERT, estima la duración de cada tarea u operación de los proyectos basándose simplemente en un nivel de costo, mientras que el CPM relaciona duración y costo, de lo cual se deriva una diversidad de duraciones para cada tarea u operación, y la elección de una duración adecuada se hará de modo que el costo total del proyecto sea mínimo.

FUNDAMENTOS DE LA

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

Los fundamentos de los sistemas PERT y CPM son las representaciones gráficas del proyecto mediante diagramas de flechas, o también lo podemos llamar RED DE FLECHAS. La red se crea según el orden de realización de las tareas u operaciones, paso a paso, hasta el final del proyecto, originalmente estas tareas u operaciones se llaman actividades. Un trabajo encargado a una persona responsable, bien lo realice personalmente o bien lo hagan operarios a sus ordenes, es lo que podemos definir como ACTIVIDAD. Gráficamente una actividad está compuesta de dos partes: la primera que es la de ejecución del trabajo y está representada por una flecha con orientación de izquierda a derecha ( ) y la segunda se llama SUCESO que generalmente se dibuja con dos círculos en los dos extremos de la flecha ( ) Inicial Final

El SUCESO es un instante de la ACTIVIDAD que sirve como el punto de control, describiendo el momento de comienzo o terminación de una actividad. La longitud de la flecha NO representa la cantidad de tiempo.

Por ejemplo, la actividad A no es mas corta de duración que la de

B, aunque las longitudes de las flechas lo sean:

La dirección de las flechas no tienen sentido vectorial, es simplemente una progresión de tiempo. Como el tiempo no retrocede, la orientación de las flechas siempre es de izquierda a derecha. Por ejemplo, podemos dibujar una red como sigue:

O también:

Tampoco es preciso que la flecha sea una línea recta, sino se pueden dibujar en curvas o líneas quebradas:

Esto depende de la facilidad que haya para presentar las actividades en una red de flechas que refleje el orden y secuencia de las relaciones del proyecto. Una actividad debe estar terminada para que la subsiguiente pueda comenzar. Como todas las actividades tienen sus sucesos iniciales y finales, el suceso final de la actividad precedente es el mismo suceso inicial de la siguiente: Inicial A Inicial B Inicial C

Final A Final B Final C

A B A B C


Sin embargo, hay una excepción en los sucesos iniciales y finales. El primer suceso inicial del proyecto no tiene una actividad que la preceda y el último suceso final tampoco tiene una actividad que la subsiga. Vamos a poner un ejemplo de construcción de maquinaria. Necesitamos las siguientes operaciones:

A. Acopios de material. B. Fabricación de maquinaria. C. Construcción de equipos de embalaje. D. Verificación y control. E. Envíos e instalación.

Para representarlo en una red de flechas. Primero, en la fase de planificación, es necesario estudiar las actividades que deben intervenir y sus relaciones de precedencia son los siguientes:

Actividad A debe preceder a B y C Actividad B debe preceder a D Actividad C y D deben preceder a E

Como el suceso de la actividad precedente es igual que el suceso inicial de las actividades subsiguiente, excepto el primero y el último suceso, podemos dibujar la red de flechas de la siguiente forma:

La enumeración de los sucesos es otro sistema para la identificación de la actividad. Hemos visto el diagrama de flechas y que en cada flecha se pone la denominación de la actividad con una letra. Pero para facilitar el cálculo con el computador es conveniente asignar números naturales a los sucesos iniciales y finales. Así la anterior red de flechas quedara numerada como sigue:

Así podemos llamar a las actividades de la siguiente manera:

Actividad A = (1,2) Actividad B = (2,3) Actividad C = (2,4) Actividad D = (3,4) Actividad E = (4,5)

Generalmente en los modelos de red para proyectos hay un tiempo de preparación antes de ejecutarlos. En este tiempo, se realiza una serie de actividades restrictivas, por ejemplo petición de autorización, preparación de financiamiento, permisologia, etc. El tiempo de preparación se representa con una línea sinuosa ( ) con tiempo “0” de duración. (Cero)

FLECHAS FICTICIAS: En un diagrama de flechas,

muchas veces existe una relación de precedencia entre dos actividades, pero no porque se requiera previamente ningún trabajo, ni recurso, ni tiempo, sino por circunstancias especiales. En estos casos para expresar la conexión de estas actividades se crea una flecha ficticia, representada con una línea punteada ( ). Por ejemplo, supongamos que construimos un gran alternador eléctrico, en el taller de calderería, y no se puede realizar el estator y el rotor al mismo tiempo por su tamaño, siendo estas dos actividades independientes, y para expresar el orden de ejecución unimos con una flecha ficticia, indicando que primero se hace el estator y luego el rotor.

A C E

B D

1 2 A 4 C 5

E

3 B D

A C E

B D


En muchos diagramas, suele ocurrir que entre el mismo suceso inicial y el final, aparecen paralelamente varias actividades, como el siguiente ejemplo:

Para el uso del computador no se pueden describir tres actividades con la misma enumeración (2,3). Para evitar esta confusión se pueden crear las actividades ficticias, aumentando los números de sucesos pero sin aumentar el costo ni tiempo de duración ya que las ficticias no consumen ni tiempo ni dinero. La red nueva podrá hacerse de la siguiente forma:

Ahora las tres actividades tienen numeración distinta.

Otra aplicación de las actividades ficticias es la designación específica de relaciones de precedencia de ciertas actividades, a pesar de que existan otras actividades que parten del mismo suceso inicial. Para fijar esta última idea trabajaremos con este nuevo ejemplo:

A debe preceder a B y C B debe preceder a D C y D deben preceder a E D debe preceder a F F y E deben preceder a G

Nótese que la actividad E depende de la terminación de las actividades C y D. La actividad F también depende de D pero no depende de la actividad C. Es allí donde una flecha ficticia es necesaria:

EJEMPLO: Antes de representar un proyecto en forma de red

de flechas, es preciso terminar el análisis de actividades que van a intervenir. Suponiendo que tenemos seis actividades bien definidas A, B, C, D, E, F, siendo las relaciones de precedencia entre ellas las siguientes:

1.- A y B pueden comenzar simultáneamente después de la actividad de TP.

2.- Actividades C, D y E pueden empezar solamente cuando termine A.

3.- Al terminar la actividad B, se comienza solo la E. 4.- Antes de empezar la F, deben estar terminadas las C, D y E.

Ahora podemos dibujar la red paso a paso:

Para el paso 1:

A

TP

B

Paso 2:

C

D

TP A

E

B

1

3

2

2

3

1


El tercer paso es añadir una actividad E después del suceso 3, pero uniéndose con la actividad A con una flecha ficticia.

C

A

TP D

B

E

El cuarto paso es dibujar la actividad F detrás de las C, D y E (en este paso utilizamos una actividad ficticia para que C y D no tengan la misma numeración).

C

A

TP D

B F

E

Antes de estudiar el tiempo de duración de actividades y determinación del camino crítico, vamos a estudiar tres ejercicios que van de menor a mayor grado de dificultad con la finalidad de fijar mejor la capacidad de dibujar redes de flecha.

EJERCICIO 1:

Actividad Precedida por

A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B

E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C, D

A C

TP E

B D

Ejercicio 2:


A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP

B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP

C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . B

F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . C, D, E

A C

TP D F

B E

1

2

3

1

1

2

3

4

5

2

6

1

3

2

4 5

1

3

2 4

5 6


Ejercicio 3:


A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP

D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B

E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C

G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A, D, C

H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G, E

J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H, I, F

K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L, M, K

COMPUTO DE TIEMPO

“LO MÁS PRONTO POSIBLE”

Y “LO MÁS TARDE PERMISIBLE”

DE COMENZAR Y TERMINAR UNA

ACTIVIDAD.

Hasta ahora podemos decir que hemos terminado la fase de planificación y entramos en la fase de programación. La programación consiste en estimar la duración de cada actividad. Esta duración puede ser deterministicas o probabilística.

Estudiaremos únicamente la deterministica. Esto quiere decir que la duración será única y exacta.

Primero se construye el diagrama de flechas y se discute, entre los responsables que intervienen en el proyecto, sobre que actividades son necesarias y que relación de precedencia hay entre ellas.

Luego se estima la duración de cada actividad, que llamaremos

T(i, j) y que colocaremos debajo de la flecha que representa dicha

actividad.

Posteriormente se calculan los tiempos “lo más pronto posible” en que pueda empezar y terminar una actividad, y lo

señalaremos con T(i) y T(j) respectivamente. Para señalar estos valores en la red o diagrama de flechas se ha adoptado la siguiente nomenclatura :

T(i, j) = Tiempo de duración de la actividad .

Ti = Tiempo más pronto posible de comenzar la actividad.


T*i = Tiempo más tarde permisible de comenzar la actividad.

Si = Número del suceso inicial.

Sj = Número del suceso final.

Tj = Tiempo más pronto posible de terminar la actividad.

T*j = Tiempo más tarde permisible de terminar la actividad.

Tj = Ti + T(i, j)

T*i = T*j – T(i, j)

Ejemplo: determinar los “tiempos más pronto posible” de:

T (1,2) = Tiempo de duración de A = 5 T (2,3) = Tiempo de duración de B = 6

Para resolver este ejercicio tengo que hacerlo tomando en cuenta la nomenclatura indicada anteriormente.

Empezando con la actividad A debo tomar en cuenta que el tiempo “lo más

pronto posible de comenzar” de la actividad inicial es el inicio del proyecto = cero.

A

T (1,2) = 5

Aplicando la formula Tj = Ti + T (i,j) = 0 + 5 = 5

En otras palabras : Tomo el valor que está al lado izquierdo del círculo izquierdo, le sumo el valor que está debajo de la flecha y el resultado lo coloco en el lado izquierdo del círculo de la derecha.

A

5

T2 = T1 + T(1,2) = 5

La actividad B tendrá el tiempo “lo más pronto posible de comenzar” igual al tiempo “lo más pronto posible de terminar” de A, (Es decir 5).

B

6

T3 = T2 + T(2,3) = 11

Aplicando la formula Tj = Ti + T (ij) = 5 + 6 = 11

Los tiempos “lo más pronto posible” de comenzar y terminar serán:

Ejemplo: Determinar los “tiempos más pronto posible”

de:

A C

3 7

TP E

4

B D

4 5

A T1 + T(1,2) = T2

3 0 + 3 = 3

0

1

ti*

ti

Si

T2 2

5 2

0

1

T3

3

5

2

1

3

2

4 5

3

2

0

1


B T1 + T (1,3) = T3

4 0 + 4 = 4

C T2 + T (2,4) = T4

7 3 + 7 = 10

(OJO)

D T3 + T (3,4) = T4

5 4 + 5 = 9

(OJO)

Cuando voy a estudiar la actividad E noto que en su suceso inicial

S4 llegan dos flechas (C, D) es decir que S4 es evento final de C y

D. En estos casos, (cuando lleguen dos o mas flechas) colocaré el

tiempo mayor calculado en las actividades anteriores.

Como en este caso los valores obtenidos de T4 fueron 9 y 10, se

escoge el mayor que es T4 = 10 (el que se obtuvo en el análisis de la

actividad C ).

E

4

10 + 4 = 14

T4 + T (4,5) = T5 = 14

La solución (de los tiempos más pronto posible) será:

Una vez calculados los tiempos “lo más pronto posible” pasamos

a determinar los tiempos “lo más tarde permisible”.

Una interesante observación es que en el primero y en el último suceso, el tiempo “lo más pronto posible” es igual que “lo más tarde permisible”. En caso contrario el cómputo es erróneo.

El calculo de los tiempos “lo mas pronto posible” lo hicimos de izquierda a derecha, los cálculos de los tiempos “lo mas tarde permisible” lo haremos de derecha a izquierda tomando en cuenta que en el ultimo suceso Tj = T*j

Ejemplo: Determinar los tiempos “lo más tarde

permisible” de:

Como se indicó anteriormente, en el ultimo evento los tiempos son

iguales (el tiempo de terminación de la ultima actividad = el tiempo de terminación del proyecto).

9

4

4

3

10

4

3

2

4

3

0

1

14

5

10

4


Si T3 = T*3 = 11 y T*i = T*j – T (i, j)

Entonces T*2 = 11 – 6 (Actividad B)

5 B 11

6

T*2 = T*3 – T (2,3)

T*2 = 11 – 6 = 5

En otras palabras : Tomo el valor que está al lado derecho del círculo derecho, le resto el valor que está debajo de la flecha y el resultado lo coloco en el lado derecho del círculo de la izquierda.

Entonces : 0 A 5

5

T*1 = T*2 – T (1,2)

T*1 = 5 – 5 = 0

El gráfico con todos los tiempos indicados será:

TP A B

5 6

Algunos autores utilizan otra forma de graficar, pero la información es la misma.

Ti T*i Tj T*j

A

T (i, j)

0 0 5 5 11 11

A B

5 6

Ejemplo: Determinar los tiempos “lo más tarde

permisible” de:

A C

3 7

10 E 14

4

TP

B D

4 5

Como el tiempo de terminación de la última actividad es el mismo tiempo de terminación del proyecto. (T5 = T*5 = 14).

T*i E

4

T*i = T*j – T (i, j) = 14 – 14 = 10

T*4 = T*5 – T (4,5)

2

1

11

3

2

0 0

1

5 5

2

11 11

3

si

o

sj

2 1 3

4

5

4

3

3

2

0

1

14 14

5

4


E

4

D

5

T*4 – T (3,4) = T*3

10 – 5 = 5

C

7

T*4 – T (2,4) = T*2

10 – 7 = 3

1 B

4

T*3 – T (1,3) = T*1

5 – 4 = 1 (ojo)

0 A

3

T*2 – T (1,2) = T*1

3 – 3 = 0 (ojo)

Si observamos el suceso 1 notaremos que su T*i = 1 cuando

trabajamos con B, y T*i = 0 cuando trabajamos con A.

A diferencia del cálculo de los tiempos “lo mas pronto posible”, en este caso, en

aquellos sucesos donde “Nacen” dos o mas

flechas (actividades) colocaré el resultado menor de T*i. Al terminar todos los cálculos verifico que en el suceso inicial y el suceso final los tiempos tienen que ser iguales entre ellos.

Solución: A C

3 7

10 10 E 14 14

4

B D

4 5

DETERMINACIÓN DEL

CAMINO CRÍTICO

En cualquier proyecto, algunas actividades son flexibles, respecto a cuando se pueden comenzar o terminar, otras no son flexibles, de forma que si se demora cualquiera de ellas, se atrasará todo el proyecto. Estas actividades inflexibles se llaman críticas y la cadena o secuencia de ellas, forma un CAMINO CRÍTICO. El camino crítico es la duración mas larga a través del proyecto. Hay siempre por lo menos un camino crítico en cada proyecto, y muchas veces varios.

Podemos definir el CAMINO CRÍTICO como: “Aquel en el

cual las actividades no tienen holgura de tiempo para comenzar ni para terminar”.

4

5

5 4

3

3 3

2

0 0

1

14

5

10

4

10

4

5

3

10

4

3

2

5

3

1

3

2

1


PERT tiene dos clases de holguras:

1. Holgura del suceso (Hs). 2. Holgura de la actividad (Ha).

Holgura del suceso es la diferencia entre el tiempo “lo más

tarde permisible” y “lo más pronto posible” del suceso:

Hs = T*i – Ti (suceso inicial)

Hs = T*j – Ti (suceso final).

En muchas ocasiones nos encontramos con que la holgura del suceso es igual a cero. Si esto ocurre en el suceso inicial de una actividad, no se puede retrasar el comienzo del trabajo, y si es en un suceso final, no se puede retrasar la terminación del mismo en la fecha prevista.

Holgura de la actividad es la diferencia del

tiempo más tarde permisible para terminar la actividad, el tiempo más pronto posible para iniciarla y su tiempo de duración.

Ha = T*j – Ti – T(i,j)

En el camino crítico todas las actividades tienen Ha = 0

Ejemplo: Determinar el camino crítico de la siguiente red:

A C

3 7

10 10 E 14 14

4

B D

4 5

La primera verificación que hay que hacer es observar que en el suceso inicial y en el suceso final los tiempos “lo más pronto posible” y “lo más tarde permisible” sean iguales.

En este caso 0 = 0 y 14 = 14. (T1 = T*1 y T5 = T*5)

Posteriormente se estudia la holgura de cada actividad, para lo cual

se “aísla” a cada una (mentalmente). Se toma el número

que está al lado derecho del círculo

derecho, se le resta el número que está

al lado izquierdo del círculo izquierdo, y

finalmente se le resta el número que

está debajo de la flecha.

A

3

HA = T*2 – T1 – T (1,2)

HA = 3 – 0 – 3 = 0

B

4

HB = T*3 – T1 – T (1,3)

HB = 5 – 0 – 4 = 1

C

7

HC = T*4 – T2 – T (2,4)

HC = 10 – 3 – 7 = 0

3

2

0

1

5

3

0

1

10

4

3

2

4

5

5 4

3

3 3

2

0 0

1


D

5

HD = T*4 – T3 – T (3,4)

HD = 10 – 4 – 5 = 1

E

4

HE = T*5 – T4 – T (4,5)

HE = 14 – 10 – 4 = 0

Las actividades críticas son aquellas cuya holgura es igual a cero, en este ejemplo serán:

A, C y E

El camino crítico puede señalarse con letras:

Camino crítico = A, C, E

O con los números de los sucesos de las actividades críticas :

Camino critico = 1, 2, 4, 5

También en forma gráfica, resaltando las flechas de las actividades críticas:

A C

7

3

10 10 E 14 14

4

B D

4 5

Ejemplo: Determinar el camino crítico:

Actividad Precedida por Duración

A TP 3

B TP 2

C TP 3

D A 2

E B,D 2

F B,C,D 3

G E,F 1

El primer paso consiste en graficar la red de flechas teniendo

mucho cuidado en respetar el orden de precedencia y como recomendación particular nos permitimos indicar que una vez hecha la red de flechas: “léase” la misma viendo si se cumple lo indicado en la tabla que se suministra en el problema.

Segundo paso: Calcular los tiempos “lo más pronto posible”:

10

4

4

3

14

5

10

4

4

5

5 4

3

3 3

2

0 0

1


A T2 = 0 + 3 = 3

3

B T3 = 0 + 2 = 2

2

D T3 = 3 + 2 = 5

2 Nótese que al evento o suceso 3 llegan las actividades B y D, por lo

tanto el T3 que debemos tomar en cuenta es el mayor de los dos (T3 = 2 y T3 = 5) .

Al evento o suceso 4 llegan la actividad ficticia y la C, por lo tanto el

T4 que debemos tomar en cuenta es el mayor de los dos (T4 = 3 y T4 = 5) .

E

2

T5 = 5 + 2 = 7 (ojo)

F

3

T5 = 5 + 3 = 8 (ojo) Al evento 5 llegan las actividades E y F, por lo tanto el T5 que

debemos tomar en cuenta es el mayor de las dos (T5 = 7 y T5 = 8) .

3

2

0

1

3

3

2

3

0

1

5

5

3

5

5

4


G

1

T6 = 8 + 1 = 9

Los tiempos “lo más pronto posible” serán:

Tercer paso: Calcular los tiempos “lo más tarde permisible”: ( Recuerde que en el último evento o suceso los tiempos son iguales,

por lo tanto coloque 9 en el último espacio).

G T*5 = 9 – 1 = 8

1

F T*4 = 8 – 3 = 5

3

E T*3 = 8 – 2 = 6

2

Ficticia T*3 = 5 – 0 = 5

0

Nótese que del evento 3 nacen dos actividades : E y la ficticia ; en

este caso existen dos T*3 y debemos tomar en cuenta el menor (T*3 = 6 y T*3 = 5) .

D T*2 = 5 – 2 = 3

2

C T*1 = 5 – 3 = 2

3

B T*1 = 5 – 2 = 3

2

A T*1 = 3 – 3 = 0

3

9

6

8

5

9 9

6

8

5

8

5

5

4

8

5

3

5

4

3

5

3

3

2

5

4

1

5

3

1

3

2

1


Del evento 1 nacen tres actividades A, B y C por lo que existen

tres valores para T*1, en estos casos se toma en cuenta el valor menor (T*1 = 2 ; T*1 = 3 y T*1 = 0).(Tomamos cero).

Con los cálculos anteriores grafico la red de flechas:

Este ejercicio persigue un fin didáctico específico, primero demostrar que el camino crítico puede “pasar” por actividades ficticias y segundo que para determinar el camino critico se deben estudiar las holguras de las actividades y NO las holguras de los sucesos.

Los alumnos “apresurados” tienen la falsa creencia de que

solamente al ver que los Ti = T*i y Tj = T*j (holgura de suceso = 0)

ya pueden determinar que el camino critico pasa por allí.

Aunque es cierto que los eventos y sucesos por donde pasa el

camino critico tienen holgura = 0, esta NO es la condición limitante.

La condición limitante y definitiva es la que dice que el camino crítico será la secuencia de las ACTIVIDADES CRÍTICAS y éstas son las

que cuya holgura de actividad es igual a cero.

Cuarto paso: Calcular las holguras de las actividades:

Ti Actividad T*j

T(i, j)

Ha = T*j – Ti – T(i, j)

HA = 3 – 0 – 3 = 0 (crítica)

HB = 5 – 0 – 2 = 3

HC = 5 – 0 – 3 = 2

HD = 5 – 3 – 2 = 0 (crítica)

H Ficticia = 5 – 5 – 0 = 0 (crítica)

HE = 8 – 5 -2 = 1

HF = 8 – 5 – 3 = 0 (crítica)

HG = 9 – 8 -1 = 0 (crítica)

El camino crítico será: 1. En Letras A, D, F y G. 2. En Números = 1, 2, 3, 4, 5 y 6 3. Gráficamente:

Sj

Si


Ejercicio Nº 10 – pagina 269 – TAHA – 6º Edición (Compra de un automóvil)


A TP 3

B A 14

C A 1

D C 3

E C 1

F C 2

G D,E,F 1

H G 1

I H 3

J H 2

K I,J 2

L K 2

M L 4

N L 1

O B,M,N 3


Ejercicio: Determinar el Camino Crítico:


A TP 21

B A 14

C A 14

D B,C 3

E D 70

F D 14

G F 1

H D 1

I D 7

J D 7

K J 14

L K 1

M G,L,E 1

N H,M 1

O I,N 1


EJERCICIO COMPLEMENTARIO

“PASO A PASO” :

Determinar el Camino Crítico:


A TP 4

B TP 2

C A 10

D A,B 1

E C 3

F C,D 3

G B,C 7

H E 2

I E,F,G 1

J G 4

K H 3

SOLUCIÓN: Paso 1: CONSTRUCCIÓN DE LA RED DE FLECHAS: Recordemos que todo proyecto requiere de un tiempo de planificación y que dicha actividad se representa con una curva sinuosa (Ver página 3) :

TP

En el cuadro de actividades observo que las actividades A y B

están precedidas por TP, es decir son actividades iniciales (se grafican

inmediatamente después de TP) :

A

TP

B

La actividad C depende de A y la actividad D depende de A y B ; en

estos casos se recomienda que primero se grafique la actividad que depende de una sola y posteriormente la que depende de dos o más. En el último caso, la dependencia se indica con una actividad ficticia (ver páginas 3 y 4) :

C

A

TP D

B

La actividad E depende de C, la actividad F depende de C y D, la

actividad G depende de B y C. Atendiendo a la recomendación

anterior, debemos graficar primero a E, posteriormente a F y por último

a G. Pero OJO, no por respetar el orden en el cuadro de actividades

sino por respetar la cantidad de actividades que preceden a cada una. Para indicar dicha precedencia use las actividades ficticias que sean necesarias :


Atendiendo todas las recomendaciones anteriores y al cuadro de

actividades graficaremos ahora a H y después a J (dichas actividades dependen de una cada una).

Ahora puedo colocar a I después de F y la precedencia con E y G

la puedo “llevar” con dos actividades ficticias:

Los proyectos tienen un solo suceso final, y ninguna actividad puede quedar indicada sin terminar en un “círculo”. Las actividades finales son todas aquellas que no preceden a otra (es decir no aparecen en la columna de la tabla de actividades “precedida por”); en

este caso las actividades finales son I, J, K.

En el gráfico PERT o RED DE FLECHAS, debemos indicar el suceso final y llevar hasta él todas las actividades finales:

Una vez terminada la RED DE FLECHAS, procedo a enumerar los sucesos de izquierda a derecha, teniendo sumo cuidado en no repetir algún número y sobre todo verificar que no existan dos o más actividades que puedan empezar y terminar en las mismas actividades (es decir que no hayan actividades con la misma identificación numérica).


En este mismo gráfico coloque debajo de la flecha la duración respectiva de cada actividad.

Paso 2 : A continuación procederemos a calcular los tiempos

“lo más pronto posible”:

Para dicho cálculo es necesario tomar en cuenta la nomenclatura indicada en la página 16 de este texto, como primer paso debemos colocar “cero” en la parte izquierda del círculo que representa al suceso 1. Este número representa el inicio del proyecto, que viene a ser también el tiempo “lo más pronto posible” de las actividades iniciales

(T1).

Para calcular lo que se colocará en el suceso 2, basta con sumar el tiempo de duración de A. (recordar que Tj = Ti + T(i,j)). 0 + 4 = 4. En el caso del suceso 3 se sumará la duración de B. 0 + 2 = 2 :

En el suceso 4 se presenta una situación especial, en él convergen o terminan dos flechas. Cuando se presente este caso (o que terminen más de dos flechas), se deben estudiar todos los tiempos precedentes, pero se colocará el resultado mayor.

También es bueno aclarar que las actividades ficticias no consumen tiempo, por lo tanto su duración es “cero”.

Estudiando la flecha ficticia que nace después de A sumamos : 4 + 0 = 4, y estudiando la que nace después de B tenemos : 2 + 0 = 2. Colocaremos entonces 4 en el espacio izquierdo del círculo que

representa a S4 :


En los sucesos 5, 8 y 11 puedo hacer los cálculos directos ya que en ellos llega una sola flecha y no hay análisis ni consideraciones pendientes. 4 + 10 = 14 ; 14 + 3 = 17 ; 17 + 2 = 19 :

Tanto en el suceso 6 como en el 7 llegan dos actividades, por lo tanto debo estudiar cada información y colocar el resultado mayor:

Del suceso 5 al 6: 14 + 0 = 14 Del suceso 4 al 6: 4 + 1 = 5

Colocaré 14 en el suceso 6.

Del suceso 5 al 7: 14 + 0 = 14 Del suceso 3 al 7: 2 + 0 = 2


En el suceso 10 tenemos que analizar las informaciones que vienen de tres sucesos anteriores y colocar el resultado mayor: Del suceso 8 al 10: 17 + 0 = 17 Del suceso 6 al 10: 14 + 3 = 17 Del suceso 9 al 10: 21 + 0 = 21



Calculados como han sido los tiempos “lo mas pronto posible”, pasamos a calcular los tiempos “lo más tarde permisible” :

Paso 3: Calcular los tiempos “lo más tarde permisible” :

Como primera consideración debemos apuntar que el tiempo de terminación de la actividad final es el mismo tiempo de terminación del proyecto. En este caso observamos que es 25; por lo tanto, en la parte derecha del circulo que representa al evento o suceso final, colocaré dicha cantidad. Como segunda consideración indicamos que los cálculos se efectuarán de derecha a izquierda y restando, no sumando como en el caso anterior. También se aclara que los análisis se harán ahora donde “nacen” dos o más actividades y se colocará el resultado menor:

Se toma el valor que está en el lado derecho del círculo de la derecha, se le resta la duración de la actividad estudiada y el resultado se coloca en el lado derecho del círculo que está a la izquierda.

Como en los sucesos 11 y 10 , nace una sola actividad en cada uno, el cálculo es directo. Del suceso 12 al 11: 25 - 3 = 22 Del suceso 12 al 10: 25 - 1 = 24

En el suceso 9 se presenta una situación especial, en él nacen o empiezan dos flechas o actividades. Cuando se presente este caso (o que empiecen más de dos flechas), se deben estudiar todos los tiempos posteriores, pero se colocará el resultado menor. Situación similar se presenta en el evento o suceso 8. Del suceso 12 al 9: 25 – 4 = 21 Del suceso 10 al 9: 24 – 0 = 24

Se colocará 21 en el suceso 9.

Del suceso 11 al 8: 22 – 2 = 20 Del suceso 10 al 8: 24 – 0 = 24



En los sucesos 6 y 7 el cálculo es directo ya que desde ellos nace una sola flecha Del suceso 10 al 6: 24 – 3 = 21 Del suceso 9 al 7: 21 – 7 = 14

Una vez calculado el valor en el suceso 6, puedo hacerlo directo en el suceso 4, porque en éste llega únicamente la información que viene del mencionado 6. Del suceso 6 al 4: 21 – 1 = 20

En el suceso 2 se presenta una situación especial, en él nacen o empiezan dos flechas o actividades. Cuando se presente este caso (o que empiecen más de dos flechas), se deben estudiar todos los tiempos posteriores, pero se colocará el resultado menor. Situación similar se presenta en el evento o suceso 3. Del suceso 5 al 2: 14 – 10 = 4 Del suceso 4 al 2: 20 – 0 = 20

Se colocará 4 en el suceso 2. Del suceso 4 al 3: 20 – 0 = 20 Del suceso 7 al 3: 14 – 0 = 14



Por último analizo la información que viene hasta el suceso inicial y verifico que el resultado menor de las dos flechas que nacen desde él sea “0”. Recordemos que en el evento inicial Ti = T*i .

Del suceso 2 al 1: 4 – 4 = 0 Del suceso 3 al 1: 14 – 0 = 12


Es muy importante resaltar que si este último cálculo no arroja un resultado igual a cero, se ha cometido algún error en los cálculos de los tiempos “lo más tarde permisible”.

Calculados los tiempos respectivos, solo nos falta determinar las actividades críticas. Recordemos que una actividad es crítica cuando no tiene holgura (Ha = 0). (Ver “Holgura de actividad” al final de la página 26).

Los alumnos “apresurados” tienen la falsa creencia de que

solamente al ver que los Ti = T*i y Tj = T*j (holgura de suceso = 0)

ya pueden determinar que el camino critico pasa por allí.

Aunque es cierto que los eventos o sucesos por donde pasa el camino

crítico tienen holgura = 0, esta NO es la condición limitante.

La condición limitante y

definitiva es la que dice que el

camino crítico será la secuencia de

las ACTIVIDADES CRÍTICAS y éstas

son las que no tienen holgura de

actividad (Ha = 0).

Para calcular las holguras de las actividades debo recordar

Ti Actividad T*j

T(i, j)

Ha = T*j – Ti – T(i, j)

Holgura de la actividad es la diferencia del tiempo

más tarde permisible para terminar la actividad, el tiempo más pronto posible para iniciarla y su tiempo de duración.

Como “ayuda memoria” me permito expresar el

procedimiento en el siguiente lenguaje cotidiano:

Para calcular la holgura de una actividad “aíslo mentalmente” la actividad respectiva con sus dos sucesos ,

Sj

Si


tomo el número que está al lado derecho del círculo de la derecha (suceso final), le resto el número que está al lado izquierdo del circulo izquierdo (suceso inicial) y por último resto el número que está debajo de la flecha (duración de la actividad). Los números que forman parte de la operación son los dos números que está en los extremos y el que está debajo de la flecha.

Estudiando la Actividad A:

0 o A 4 4

4

HA = 4 – 0 – 4 = 0 (crítica)

Estudiando la Actividad B:

0 o B 2 14

2

HB = 14 – 0 – 2 = 12 (NO crítica) Estudiando la Actividad C:

4 4 C 14 14

10

HC = 14 – 4 – 10 = 0 (crítica)

Estudiando la Actividad D:

4 20 D 14 21

1

HD = 21 – 4 – 1 = 16 (NO crítica)

Estudiando la Actividad E:

14 14 E 17 20

3

HE = 20 – 14 – 3 = 3 (NO crítica)

Estudiando la Actividad F:

14 21 F 21 24

3

HF = 24 – 14 – 3 = 7 (NO crítica)

Estudiando la Actividad G:

14 14 G 21 21

7

HG= 21 – 14 – 7 = 0 (crítica)

Estudiando la Actividad H:

17 20 H 19 22

2

HH= 22 – 17 – 2 = 3 (No crítica)

Estudiando la Actividad I:

21 24 I 25 25

1

HI= 25 – 21 – 1 = 3 (No crítica)

2

1

3

1

5

2

6

4

8

5

10

6

9

7

11

8

12

10


Estudiando la Actividad J:

21 21 J 25 25

4

HJ= 25 – 21 – 4 = 0 (crítica)

Estudiando la Actividad K:

19 22 K 25 25

3

HK= 25 – 19 – 3 = 3 (No crítica)

Al estudiar las actividades ficticias noto que la única que es crítica

es la que une la actividad C con la actividad G, o lo que es lo mismo

la que va desde el suceso 5 hasta el suceso 7, en donde el cálculo sería 14 – 14 – 0 = 0.

Con toda esta información identifico en el gráfico a las actividades críticas con un trazado de línea más grueso que las no-críticas:

12

9

12

11

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