BAB IV

FUNGSI KUADRAT

HUSNAYETTI

Ketua STIE Ahmad Dahlan Jakarta

DEFENISI FUNGSI KUADRATFungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang variabel bebasnya maksimal berpangkat dua

Bentuk umum fungsi kuadrat

Y = ax2 + bx + c

Y= fungsi kuadrat

a,b,c = konstanta dan a # 0

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN

Pencarian akar-akar persamaan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus abc

X12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac

2a2a

X12 = - b ±√ D

2a

Contoh :Tentukanlah nilai X12 dari persamaan Y = - x2 + 2x +3

X12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac

2a

X12 = - 2 ±√ 22- 4-13X12 = - 2 ±√ 22- 4-13

2.-1

X12 = - 2 ±√ 22- 4.-1.3

2.-1

X12 = -2 ± 4

- 2

X1 = 2/-2 = - 1

X2 = -6/-2 = 3

CARA MENGGAMBARKAN GRAFIK

Ada 2 cara menggambarkan grafik yaitu :

1. Menentukan titik potong dg sumbu X dan Y

2. Dengan menggunakan tabel XY

Dengan menentukan titik potong

1. Tentukan titik potong dengan sumbu X, dimana Y=0

2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, dimana X = 0

3. Dengan menentukan titik puncak dimana x=-b/2a dan y= -D/4ay= -D/4a

Contoh :

Gambarkanlah grafik dari fungsi kuadrat Y=X2 – 5X+6

1.Titik potong dengan sumbu Y, dimana x=0

Y=X2 – 5X+6, Y= 0-0+6 = 6

Jadi koordinatnya adalah ( 0,6)

2. Titik potong dengan sembu x, dimana y=0

Y=X2 – 5X+6Y=X2 – 5X+6

0=X2 – 5X+6, untuk menghitung x12 adalah dengan menggunkan rumus abc :

X12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac

2a

D = b2- 4ac = (-5)2 – 4.1.6 = 25-24 = 1

X12 = - b ±√ b2- 4ac = -(-5) ±√ 1 = 5 ±1

2a 2.1 2

X1 = (5+1)/2=3, koordinatnya adalah ( 3,0)

X2 = ( 5-1)/2 = 2, koordinatnya adalah ( 2,0)X2 = ( 5-1)/2 = 2, koordinatnya adalah ( 2,0)

3. Titik Puncak/ balik

X = -b/2a = 5/2 = 2,5

Y= -D/4a = -1/4 = -0,25

Koordinatnya adalah ( 2,5 . –0,25 )

Gambarkanlah grafik dari fungsi kuadratberikut ini : Y = 3+2X-X2

HUBUNGAN NILAI a DAN D DENGAN BENTUK GRAFIKAda 2 kemungkinan nilai a

a > 0, bentuk grafiknya terbuka keatas

a < 0, bentuk grafiknya terbuka kebawah

Nilai D Nilai D

D>0 = ada 2 nilai x ( x1 dan x2 )

D = 0 , hanya ada satu nilai x

D<0 = nilai x merupakan bilangan imajiner

PENERAPAN FUNGSI KUADRAT DALAM EKONOMI

1. Fungsi permintaan,penawaran dankeseimbangan pasar

2. Pengaruh pajak dan Subsidi terhadapkeseimbanganpasarkeseimbanganpasar

3. Fungsi biaya, penerimaan ( untung, rugi danBEP)

4. Fungsi Produksi

5. Fungsi Utility

Fungsi permintaan,penawaran dan keseimbangan pasarContoh :

Diketahui fungsi penawaran P=20Q2 +4Q dan fungsi permintaannya P=-2Q2+300. Tentukan keseimbangan pasarnya !

Jawab :Jawab :

20Q2 +4Q=-2Q2+300

20Q2 +4Q+ 2Q2-300=0

22Q2+4 Q –300 =0

Q12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac =16-4.22.-300

2a D = 16+26400 = 26.416

Q12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac =16-4.18.-300

2a D = 16+26.400 = 26.416

Q12 = - 4 ±√ 26.416 Q12= -4 ±162,529

2.22 44

Q1 = 158,529/44 = 3,603

Q = - 166,529/44= - 3,785 Q2 = - 166,529/44= - 3,785

P=20Q2 +4Q

P = 20 ( 3,603)2 + 4 ( 3,603 )

P = 259,632 + 14,412

P = 274,044 : keseimbangan pasar terjadi saat P=274,044 dan Q = 3,603

Diketahui fungsi penawaran P=20Q2 + 4Q+12dan fungsi permintaan P = - 12Q2 + 300.Tentukanlah keseimbangan pasarnya ?

20Q2 + 4Q+12 = - 12Q2 + 300

20Q2 + 4Q+12 + 12Q2 - 300

32 Q2

+ 4Q -288

Q12= -b ±√ D D = b2-4 a c

2x a D= 16 - 4 x 32 x -288

D= 16 + 36.864

D= 36.880

√ D = 192 √ D = 192

Q12= -4 ± 192

64

Q1= 188 = 2,94 P= 20Q2 + 4Q+12

64 P= 20 (2,94)2 +4 (2,94)+12

Q2= -196 = -3,06 P= 196,632

64

Keseimbangan pasar terjadi pada tingkat harga 196,632

dan Kuantitasnya 2,94

Pengaruh pajak dan Subsidi terhadapkeseimbangan pasar.

Contoh :

Diketahui fungsi permintaan P = -0,01Q2 + 1.600dan fungsi penawarannya P=0,056Q2 Pajak perunitRp. 126,-Tentukanlah:Rp. 126,-Tentukanlah:

a. Market Equilibriumsebelumpajak

b. Market equilibriumsetelah pajak

c. T,Tk dan Tp

P = -0,01Q2 + 1.600

P=0,056Q2

Pajak perunit Rp. 126,-Keseimbangan pasar sebelum pajak

-0,01Q2 + 1.600 = 0,056Q2

-0,01Q2 - 0,056Q

2 = -1.600

-0,066 Q2

= -1.600-0,066 Q = -1.600

Q2

= 24.242

Q = 156

P=0,056Q2

P= 0,056 x 24.242

P= 1.358

Keseimbangan setelah pajak

P'= 0,056Q2 +126

0,056Q2 +126 = -0,01Q2 + 1.600

0,056Q2

+ 0,01Q2 = 1.600 -126

0,066 Q2

= 1.474 0,066 Q2

=

Q2

=

Q' =

P'= 0,056Q2 +126

P'= 0,056 (22.333,333) +126

P'= 1.376,667

1.474

22.333,333

149,443

T= t x Q' Tp= T-Tk

T= 18.829,870 Tp= 15.976,859

Tk= (P'-P) x Q'

Tk = 2.853,011

Fungsi penawaran suatu perusahaandicerminkan oleh P=80Q + 20Q2 dan fungsipermintaan P=3.960 – 20Q2.Pajakperunit Rp.100,- Tentukanlah :

a.Keseimbanganpasarsebelumpajaka.Keseimbanganpasarsebelumpajak

b. Keseimbangan pasar setelah adanya pajak

c. T,Tk dan Tp

P=80Q + 20Q2

P=3.960 – 20Q2.

1

80Q + 20Q2 = 3.960 – 20Q2.

80Q + 20Q2 - 3.960 + 20Q2.

80Q + 40Q2 - 3.960

Q12 = -b ± √ D D = b2 -4 a c

D= 802 - 4 x 40 x -3.9602.a

Keseimbangan sebelum pajak

D= 802 - 4 x 40 x -3.960

D= 6.400 +633.600

D= 640.000

D= 800

Q12 =-80 ± 800

Q1 = 9 P=80Q + 20Q2

Q2 -11 P= 80(9) + 20(81)

P= 2.340

2.a

2x 40

Keseimbangan setelah pajak

P=80Q + 20Q2

P'=80Q + 20Q2 +100

80Q + 20Q2 +100 = 3.960 – 20Q2.

80Q + 20Q2 +100 - 3.960 + 20Q2.

80Q + 40Q2 -3.860

Q12 = -b ± √ D D= b2 -4 a c

D= 802 - 4 x 40 x -3.860

D= 6.400 + 617.600

2.a

D= 6.400 + 617.600

D= 624.000

√ D= 790

Q12 = -b ± √ D P'=80Q + 20Q2 +100

P'= 80 (8,88)+20(8,88)2+100

Q12 = -80 ±790 P'= 710,4 + 1577,088 + 100

P'= 2.387,49

Q1' = 8,88

Q2'= -10,9

2.40

2.a

T = t x Q' Tk = (2.387,49-2.340) x 8,88

T= 100 x 8,88 Tk = 421,6934

T= 888

Tp = T-Tk

Tp= 466

Pajak ProsentaseDiketahui fungsi penawaran suatu perusahaanP=80Q+20Q2 dan fungsi permintaan P=3.960 –20Q2

Jika pajak yang dibebankan oleh pemerintah 10%

Tentukanlah :

a) Keseimbangan pasar sebelum pajaka) Keseimbangan pasar sebelum pajak

b) Keseimbangan pasar setelah pajak

c) T,Tk dan TP

P=80Q + 20Q2

P=3.960 – 20Q2.

1

80Q + 20Q2 = 3.960 – 20Q2.

80Q + 20Q2 - 3.960 + 20Q2.

80Q + 40Q2 - 3.960

Keseimbangan sebelum pajak

80Q + 40Q - 3.960

Q12 = -b ± √ D D = b2 -4 a c

D= 802 - 4 x 40 x -3.960

D= 6.400 +633.600

D=

√ D= 800

2.a

640.000

Q12 = -80 ± 800

Q1 = 9 P=80Q + 20Q2 2x 40

Q1 = 9 P=80Q + 20Q2

Q2 -11 P= 80(9) + 20(81)

P= 2.340

2 pajak 10%

P' = ( 80Q + 20Q2 ) (1 +0,1)

P'= (80Q + 20Q2 ) (1,1)

P'= 88Q + 22 Q2

Penawaran setelah pajak

P=3.960 – 20Q2. Permintaan

88Q + 22 Q2

= 3.960 – 20Q2.

88Q + 22 Q2

- 3.960 + 20Q2.

88Q + 42 Q2

- 3.96088Q + 42 Q - 3.960

Q12 = -b ± √ D D = b2 -4 a c

D= 882 - 4 x 42 x -3.960

D= 7.744 + 665.280

Q12= D=

√ D= 820

Q1' = 8,71 P'= 88Q + 22 Q2

Q2= -10,80952 P'= 88 (8,71) + 22 (8,712)

P'= 2435

2.a

-88± 820

84

673.024

t = P'

(100+Pajak)

2.435,49 (10/110)

t= 221,4082

(pajak)

T= t Q' Tk= (P'-P) x Q'

T= 221,4082 x 8,71 Tk = 832,1289

T= 1.929,41

Tp= T-Tk

Tp= 1.097,29

Soal Latihan :

Diketahui fungsi penawaranP=20Q2+4Q+12

Dan fungsi permintaan P=-12Q2 +300.Pajak 10%.Tentukanlah :

a.Keseimbanganpasarsebelumpajaka.Keseimbanganpasarsebelumpajak

b. Keseimbangan pasar setelah pajak

c. T,Tk dan Tp

Keseimbangan pasar sebelum pasar

P=20Q2+4Q+12

P=-12Q2 + 300

20Q2+4Q+12 = -12Q2 + 300

20Q2+4Q+12 + 12Q2 - 300

32 Q2

+ 4Q -28832 Q + 4Q -288

Q12 =-b ±√D D = b2-4ac

2x a D = 16 - 4 x 32x -288

D = 16 + 36864

D = 36.880

√ D= 192

Q12 =-4 ± 192 P=20Q2+4Q+12

2 x 32 P= 20(2,942)+4(2,94)+12

P=

Q1 = 188 = 2,94

196,632

64

Q2= -196 = -3,06

64

Keseimbangan pasar setelah pajak

P=20Q2+4Q+12

P'=(20Q2+4Q+12 )(1+0,1)

P'=(20Q2+4Q+12 )(1,1)

P'=22Q2+4,4Q+13,2

22Q2+4,4Q+13,2 = -12Q2 + 300

2 2 22Q2+4,4Q+13,2 + 12Q2 - 300

34 Q2

+ 4,4Q -287

Q12 =-b ±√D D = b2-4ac

2x a D = 19,36 - -39032

D = 39.051

√D= 198

Q12= -4,4 ± 198 P'=22Q2+4,4Q+13,2

68 P'= + 12,5 + 13,2

Q1' = 193,6 = 2,85 P'=

68

178,695

204,435

t= 204,4 x (10/110)

t= 18,59

T= t x Q' Tk= 22,2

T= 52,91 Tp= 30,7

P=80Q+20Q2

P 1= (80Q+ 20Q2) ( 1 +0,10)

P 1= (88Q+ 22Q2)

Keseimbangan sebelum pajak

80Q+20Q2 = 3.960 –20Q2

20Q2 + 20Q2 + 80Q- 3.960

40Q2 +80Q-3.960=0

Q12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac = 802- 4.40.-3960

2a D= 6.400 +633.600

D= 640.000

Q12 = - b ±√ b2- 4ac D = 640.000

2a

Q12 = -80 ±800 = -80 ±800

2.40 80

Q1 = 720/80 = 9Q = 720/80 = 9

Q2 = -880/80 = - 11

P=80Q+20Q2

P= 80 x 9 + 20 x 81

P= 720 + 1.620 = 2.340

P 1= (88Q+ 22Q2) dan P=3.960 –20Q2

88Q+ 22Q2=3.960 –20Q2

22Q2 +20Q2 + 88 Q - 3.960 = 0

42Q2 + 88 Q - 3.960 = 0

Q12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac = 882- 4.42.-3.960

2a D= 673.0242a D= 673.024

Q12 = (- 88 ±√ 673.024) /84) = (- 88 ±820,38) /84)

Q 11 = (-88 +820,38) / 84 = 8,71

Q21 = (-88 – 820,38) /84 = - 10,81

P1 = 2.435,49

Subsidi

Diketahui fungsi penawaran P=20Q2+4Q+12 dan fungsi permintaannya P=-12Q2+300.Subsidi per unit Rp. 12,-

Tentukanlah :

a) Keseimbangan pasar sebelum subsidia) Keseimbangan pasar sebelum subsidi

b) Keseimbangan pasar setelah subsidi

c) S,Sk dan Sp

Keseimbangan pasar sebelum subsidi

20Q2+4Q+12 = -12Q2+300

20Q2+4Q+12 + 12Q2-300

32Q2+4Q-288

D= b2-4ac

D= 16 - 4 x 32x -288

16 +

D= 36.880

√D= 192

36.864

Q12 = -b ±√D

2a

Q12 = -4 ±192 = -4 ±192

2 x 32 64

Q1 = 188 = 2,94 P= 20Q2+4Q+12

64 P= 20(2,94 2) + 4 (2,94)+12

P= 173 + 11,8 + 12

Q2= -196 = -3,0625 P=

64

196,63

2 Keseimbangan pasar setelah subsidi

Penawaran P=20Q2+4Q+12

Subsidi Rp. 12

Fungsi penawaran setelah subsidi

P' = 20Q2+4Q+12 -12

P' = 20Q2+4Q

20Q2+4Q = -12Q2+300

20Q2+4Q + 12Q2-300

32Q2+4Q - 300

D= b2-4ac

D= 16 - 4 x 32x -300

16 + 38.400 16 +

D= 38.416

√D = 196

38.400

Q12 =-b ±√D = -4 P'= 20Q2+4Q

2a P'= 20 (32)+4(3)

P'= 180 + 12

Q1'= 192 = P'= 192

64

Q2' = -200 =

64

±√196

2 x 32

3

-3,125

S = s x Q' Sk= (P-P') x Q' Sp= S-Sk

S= 12 x 3 Sk = (196,63-192) x 3 Sp= 22,11

S= 36 Sk= 13,89

• Diketahui fungsi penawaran P=10Q2 +2Q+6 dan fungsi permintaan P=-6Q2+150. Subsidi Rp. 6,- .Hitunglah :– Keseimbangan pasar sebelum subsidi– Keseimbangan pasar sebelum subsidi

– Keseimbangan pasar setelah subsidi

– Total Subsidi (S), Subsidi yang dinikmati oleh Konsumen (Sk) dan Subsidi yang dinikmati oleh produsen (Sp)

Langkah-langkah penyelesaian soal Untuk pajak per unit1. Fungsi permintaan = fungsi penawaran. Dari penyamaan

fungsi permintaan dan penawaran ini diperoleh hargadan kuantitas (P dan Q) sebelumpajak

2. Merubah fungsi penawaran. Fungsi penawaran baruadalahfungsi penawaranawal ditambahsebesarpajakadalahfungsi penawaranawal ditambahsebesarpajakper unit.

3. Fungsi penawaran setelah pajak = fungsi permintaan.Dari penyamaan fungsi ini akan diperoleh harga dankuantitas setelah pajak ( P1 dan Q1 )

4. Tentukan T= t x Q1. Tk=(P1-P) x Q1dan Tp=T-Tk

Untuk pajak prosentase 1. Fungsi permintaan = fungsi penawaran. Dari penyamaan fungsi

permintaan dan penawaran ini diperoleh harga dan kuantitas(P danQ) sebelum pajak

2. Merubah fungsi penawaran. Fungsi penawaran baru adalah fungsipenawaran awal dikalikan dengan (1+% pjk).Misalnya :P=20Q2+4Q+12 dan pajak 10%, maka fungsi penawaransetelah pajak adalah : P1 = (20Q2+4Q+12) (1+0,1) =(20Q2+4Q+12) (1,1), jadi P1 = 22Q2 +4,4Q+13,2(20Q2+4Q+12) (1,1), jadi P1 = 22Q2 +4,4Q+13,2

3. Fungsi penawaran setelah pajak = fungsi permintaan. Daripenyamaan fungsi ini akan diperoleh harga dan kuantitas setelahpajak ( P1 dan Q1 )

4. Merubah pajak prosentase ke dalam pjk perunit denganmenggunkan rumus : t = P1 ( pajak)

100+pajak

5. Tentukan T= t x Q1. Tk=(P1-P) x Q1dan Tp=T-Tk

Penyelesaian untuk subsidi

• Fungsi permintaan = fungsi penawaran. Dari penyamaanfungsi permintaan dan penawaran ini diperoleh hargadan kuantitas (P dan Q) sebelumpajak

• Merubah fungsi penawaran. Fungsi penawaran baruadalah fungsi penawaran awal dikurangi sebesarsubsidi.Misalnya fungsi penawaran P=20Q2+4Q+12dan subsidi 12, maka P1 = 20Q2+4Q+12 –12,dan subsidi 12, maka P1 = 20Q2+4Q+12 –12,maka fungsi P1 = 20Q2+4Q

• Fungsi penawaran setelah subsidi = fungsi permintaan.Dari penyamaan fungsi ini akan diperoleh harga dankuantitas setelah subsidi ( P1 dan Q1 )

• Tentukan S= s x Q1. Sk=(P- P1) x Q1dan Sp=S-Sk

20Q2 +4Q+12=-12Q2+300

20Q2 +4Q+12+12Q2-300 = 0

Fungsi Biaya, Penerimaan dan BEPTC= aQ2 + bQ + c

c= FC

VC=aQ2 +bQ, karena VC dipengaruhi oleh produksi produksi

TR = P . Q

TC= FC + VC

Contoh :

Diketahui fungsi permintaan yang dihadapioleh seorang produsen ditunjukkan olehpersamaan P=30-1,5Q. Tentukan persamaanTR nya ?

TR= (30-1,5Q ) Q

TR = 30Q – 1,5Q2

Contoh :

Data yang berhasil dikumpulkan untukmemperkirakan keuntungan maximumdarisuatu perusahaan adalah : Fungsi permintaanP=16.000-Q, biaya produksi biaya tetap Rp.40.000.000 dan biaya variabel Rp. 100,-/ unit.Ditanya:Ditanya:

a. Berapa keuntungan maximumdan terjadi padatingkat berapa unit ?

b. Apakah penerimaan maximumsama dengankeuntungan maximum?

TR= P Q

TR=( 16.000 – Q) x Q

TR = 16.000 Q – Q2

TR max = -16.000/ 2(-1) = 8.000

TC = FC +VC

TC = 40.000.000 + 100Q

∏ = TR-TC

∏ = (16.000Q-Q2) – (40.000.000+100Q)

∏ = 15.900Q-Q2-40.000.000

Q max = -b / 2a

Q= 7.950

Harga suatu produk ditunjukkan oleh fungsi permintaanP=2.000-0,5Q.Biaya produksi dipisah menjadi FC sebesarRp. 1.000.000 dan biaya variabel per-unit VC=2+0,04Q.Ditanya :

a.Berapa keuntungan maximumdan terjadi pada tingkat

produksi berapa ?

a.Apakah penerimaan pada unit keuntungan maximumsama

dengan penerimaan pada unit penjualan maximum?

a. Berapa BEP nya ?

Berdasarkan hasil survey dari suatuperusahaan diperoleh data sbb :

Fungsi penerimaan (TR) = 520Q-2Q2

Fungsi biaya (TC) = 0,5Q2+20Q+3.500.

Tentukanlah :

a. Keuntungan maksimumpada saat Q=?

b. Penerimaan maksimumpada saat Q ?

c. BEPpada saat Q ?

Fungsi Produksi

Fungsi produksi adalah suatu fungsi yangmenunjukkan hubungan antara input danoutputoutput

TP= f (Input) atau TP=f (X) dimana

X= input

TP=Total Produk

Avarage Product

Produksi rata-rata (AP) adalah jumlah produksi rata-rata yang dihasilkan oelh satu unit input.unit input.

Misalnya input yang kita gunakan TenagaKerja (L), maka yang dimaksud dengan APadalah jumlah produksi yang dihasilkanoleh setiap tenaga kerja (L)

Marginal Product (MC)

MC adalah tambahan produksi sebagaiakibat bertambahnya penggunaan satu unitinputinput

Contoh :

Diketahui fungsi produksi TP= 12L2-L3 , Jika input yang digunakan 10 hitunglah TP dan AP

TP = 12 (102) –(103)TP = 12 (10) –(10 )

TP = 12x 100 – 1.000

TP = 1.200 -1.000 = 200

AP = TP

L

AP = 12L2 -L

3

L

AP = 12L-L2

AP = 12 (10) - 102

AP = 120-100

AP = 20

Utility (Utilitas)

Utiliti adalah Kenikmatan yang diperolehsesorang dari mengkonsumsi berbagaibarangbarang

Total Utility (TU)Total kepuasan yang dietriamdarimengkonsumsi beberapa macambarang.

Marginal Utility (MU)Pertambahan (pengurangan) kepuasansebagai akibat dari pertambahansebagai akibat dari pertambahan(pengurangan) penggunaan satu unit barangtertentu

(Dalam angka)

Jumlah Mangga Nilai Guna Total Nilaiguna Marginal

0 0 -

1 30 30

2 50 20

3 65 15

4 75 10

Nilaiguna Total (TU) dan MU (Marginal Utiliti)

4 75 10

5 83 8

6 87 4

7 89 2

8 90 1

9 89 -1

10 85 -4

11 78 -7

Contoh :