Hukum Dasar Aljabar BooleanUngkapan Boolea

Komputer digital modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik dan

simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar Boolean

pengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan dalam bidang komputer.

KONSEP POKOK ALJABAR BOOLEAN

Variabel – variabel yang dipakai dalam persamaan aljabar boolean memiliki karakteristik

Variabel tersebut hanya dapat mengambil satu harga dari dua harga yang mungkin diambil. Kedua

harga ini dapat dipresentasikan dengan simbol “ 0 ” dan “ 1 ”.

Penambahan Logis      Perkalian Logis            Komplementasi atau Negasi

0 + 0 = 0            0 . 0 = 0                   0 = 1

0 + 1 = 1            0 . 1 = 0                   1 = 0

1 + 0 = 1            1 . 0 = 0

1 + 1 = 1            1 . 1 = 1

HUKUM DASAR ALJABAR BOOLEAN

a. Hukum Komutatif

- A + B = B + A

- A . B = B . A

b. Hukum Asosiatif

- (A + B) + C = A + (B + C)

- (A . B) . C = A . (B . C)

c. Hukum Distributif

- A . (B + C) = A . B + A . C

- A + (B . C) = (A + B) . ( A + C )

d. Hukum Identitas

- A + A = A

- A . A = A

e. Hukum Negasi

- (A) = A

- A = A

f. Hukum Redundan

- A + A . B = A

- A . (A + B) = A

g. Indentitas

- 0 + A = A

- 1 . A = A

- 1 + A = 1

- 0 . A = 0

- A + A . B = A + B

i. Teorema De Morgan

- (A + B) = A . B

- (A . B) = A + B

Summary

0 + X = X

1 + X = 1

X + X = X

X + X = 1

0 . X = 0

1 . X = X

X . X = X

X . X = 0

X = X

X + Y = Y + X

X . Y = Y . X

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

X . (Y . Z) = (X . Y) Z

X . (Y + Z) = XY + XZ

X + XZ = X

X (X + Y) = X

(X + Y) ( X + Z) = X + YZ

X + XY = X + Y

XY + YZ + YZ = XY + Z

Perbedaan antara aljabar Boolean dan aljabar biasa untuk aritmatika bilangan riil :

1.Hukum distributif + dan . Seperti a+(b.c) = (a+b) . (a+c) benar untuk aljabar Boolean tetapi tidak

benar untuk aljabar biasa.

2.Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan penjumlahan,

sehingga tidak ada operasi pembagian dan pengurangan.

3.Sifat no 2 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar

biasa.

4.Aljabar biasa memperlakukan bilangan riil dengan himpunan yang tidak berhingga. Aljabar Boolean

memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar

Boolean dua nilai yaitu nilai 0 dan 1

Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variabel) pada sistem

aljabar.

elemen himpunan          peubah

Aljabar biasa           bil riil                           a, b, c

Aljabar Boolean          bil riil                           x, y, z

Suatu aljabar Boolean harus memenuhi 3 syarat :

1.Elemen himpunan B

2.Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner

3.Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut,memenuhi postulat     Huntington.

Aljabar Boolean dua-nilai

Aljabar Boolean dua-nilai (two-valued Boolean algebra) didefinisikan pada sebuah himpunan dengan

dua buah elemen, B = {0,1}, dengan kaidah untuk operator + dan.

Prinsip Dualitas

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,  ×, dan

komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti

× . dengan  +

+  dengan   .

0  dengan  1

1  dengan  0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut

sebagai dual dari S.

(i)   (a × 1)(0 + a’) = 0  dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1

(ii)  a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b

Contoh. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan   (ii) a(a’ + b) = ab

Penyelesaian:

(i)      a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)

= a + (ab + a’b)           (Asosiatif)

= a + (a + a’)b (Distributif)

= a + 1 · b (Komplemen)

= a + b (Identitas)

(ii) adalah dual dari (i) 

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean,

kita menuliskannya sebagai

f : Bn -> B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-

tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian:

x y z f(x, y, z) = xy z’

0 0001111

0 0110011

0 1010101

0 0000010

Aljabar Boolean27 April 2010 — cuyacuza     

 

2 Votes

Ungkapan Boole

Komputer digital modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik

dan simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar Boolean

pengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan dalam bidang komputer.

KONSEP POKOK ALJABAR BOOLEAN

Variabel – variabel yang dipakai dalam persamaan aljabar boolean memiliki karakteristik

Variabel tersebut hanya dapat mengambil satu harga dari dua harga yang mungkin diambil. Kedua

harga ini dapat dipresentasikan dengan simbol “ 0 ” dan “ 1 ”.

Penambahan Logis      Perkalian Logis            Komplementasi atau Negasi

0 + 0 = 0            0 . 0 = 0                   0 = 1

0 + 1 = 1            0 . 1 = 0                   1 = 0

1 + 0 = 1            1 . 0 = 0

1 + 1 = 1            1 . 1 = 1

HUKUM DASAR ALJABAR BOOLEAN

a. Hukum Komutatif

- A + B = B + A

- A . B = B . A

b. Hukum Asosiatif

- (A + B) + C = A + (B + C)

- (A . B) . C = A . (B . C)

c. Hukum Distributif

- A . (B + C) = A . B + A . C

- A + (B . C) = (A + B) . ( A + C )

d. Hukum Identitas

- A + A = A

- A . A = A

e. Hukum Negasi

- (A) = A

- A = A

f. Hukum Redundan

- A + A . B = A

- A . (A + B) = A

g. Indentitas

- 0 + A = A

- 1 . A = A

- 1 + A = 1

- 0 . A = 0

- A + A . B = A + B

i. Teorema De Morgan

- (A + B) = A . B

- (A . B) = A + B

Summary

0 + X = X

1 + X = 1

X + X = X

X + X = 1

0 . X = 0

1 . X = X

X . X = X

X . X = 0

X = X

X + Y = Y + X

X . Y = Y . X

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

X . (Y . Z) = (X . Y) Z

X . (Y + Z) = XY + XZ

X + XZ = X

X (X + Y) = X

(X + Y) ( X + Z) = X + YZ

X + XY = X + Y

XY + YZ + YZ = XY + Z

Perbedaan antara aljabar Boolean dan aljabar biasa untuk aritmatika bilangan riil :

1.Hukum distributif + dan . Seperti a+(b.c) = (a+b) . (a+c) benar untuk aljabar Boolean tetapi tidak

benar untuk aljabar biasa.

2.Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan penjumlahan,

sehingga tidak ada operasi pembagian dan pengurangan.

3.Sifat no 2 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar

biasa.

4.Aljabar biasa memperlakukan bilangan riil dengan himpunan yang tidak berhingga. Aljabar Boolean

memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar

Boolean dua nilai yaitu nilai 0 dan 1

Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variabel) pada sistem

aljabar.

elemen himpunan          peubah

Aljabar biasa           bil riil                           a, b, c

Aljabar Boolean          bil riil                           x, y, z

Suatu aljabar Boolean harus memenuhi 3 syarat :

1.Elemen himpunan B

2.Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner

3.Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut,memenuhi postulat     Huntington.

Aljabar Boolean dua-nilai

Aljabar Boolean dua-nilai (two-valued Boolean algebra) didefinisikan pada sebuah himpunan dengan

dua buah elemen, B = {0,1}, dengan kaidah untuk operator + dan.

Prinsip Dualitas

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,  ×, dan

komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti

× . dengan  +

+  dengan   .

0  dengan  1

1  dengan  0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut

sebagai dual dari S.

(i)   (a × 1)(0 + a’) = 0  dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1

(ii)  a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b

Contoh. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan   (ii) a(a’ + b) = ab

Penyelesaian:

(i)      a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)

= a + (ab + a’b)           (Asosiatif)

= a + (a + a’)b (Distributif)

= a + 1 · b (Komplemen)

= a + b (Identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean,

kita menuliskannya sebagai

f : Bn -> B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-

tuple) di dalam daerah asalB.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian:

x y z f(x, y, z) = xy z’0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0