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J. Rey Pastor y Jos Balbini

Historia de la

Matemtica

vol. 2 del renacimiento a la actualidad

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1 reimpresin, Agosto de 1985, Barcelona, Espaa by Gedisa. S.A. Muntaner, 460, entlo., 1 Tel. 201-6000 08006 Barcelona, Espaa 1. S. B.N. 84-7432-206-5 (obra completa) 1. S. B. N. 84-7432207-3 (volumen 1) Depsito Legal, B. 30.566 1985 Impreso en Espaa

NDICE

LA MATEMTICA EMPRICA

La prehistoria 4 Letras y nmeros 5 Notas complementarias 6 Formas y problemas 7

LA MATEMTICA PREHELNICA

Los babilonios 8 Notas complementarias 11 Los egipcios 13 Notas complementarias 14

LA MATEMTICA HELNICA

Los griegos 16 Notas complementarias 17 Tales 18 Notas complementarias 19 Los pitagricos 19 Notas complementarias 21 Los eleatas 24 Notas complementarias 24 La matemtica del siglo V 25 Notas complementarias 26 La Academia y el Liceo 29 Notas complementarias 29 La matemtica del siglo IV 30

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Notas complementarias 31

LA MATEMTICA HELENSTICA

Alejandra 33 Euclides y sus Elementos 34 Notas complementarias 38 Arqumedes 45 Notas complementarias 48 Apolonio de Perga 58 Notas complementarias 59 Los epgonos del siglo de oro 62 Notas complementarias 63 La matemtica griega 64

EL PERODO GRECORROMANO

Epgonos y comentaristas 66 Notas complementarias 67 Ptolomeo y Pappus 69 Notas complementarias 70 Hern y Diofanto 73 Notas complementarias 74

LA POCA MEDIEVAL

La temprana Edad Media 79 Notas complementarias 84 La alta Edad Media 89 Notas complementarias 93 La baja Edad Media 99 Notas complementarias 102

LA MATEMTICA RENACENTISTA

Los progresos de la aritmtica 107 Notas complementarias 109 Los progresos del lgebra 111 Notas complementarias 114 Los progresos de la trigonometra y de la geometra 120 Notas complementarias 122

EL SIGLO XVII

Descartes y la geometra analtica 123 Notas complementarias 128 La teora de nmeros, las probabilidades y la geometra proyectiva 130 Notas complementarias 133 El clculo infinitesimal: los precursores 134 Notas complementarias 139 El clculo infinitesimal: Los fundadores 143 Notas complementarias 148

EL SIGLO XVIII

El siglo newtoniano 152 Notas complementarias 156 Euler 159 Notas complementarias 162 El siglo de oro de los matemticos franceses 165 Notas complementarias 168 El renacimiento de la geometra y el nacimiento de la fsica matemtica. 170 Nota complementaria 173

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EL SIGLO XIX

La matemtica y el siglo XIX 174 Las geometras no euclidianas 175 Nota complementaria 179 La aritmetizacin del anlisis 180 Notas complementarias 185 Teora de nmeros y geometra sinttica 186 Notas complementarias 189 Las aplicaciones de la matemtica 190 Notas complementarias 192

HAClA LA MATEMTICA DEL SIGLO XX

La teora de grupos 193 Nota complementaria 194 El lgebra y las lgebras 194 Nota complementaria 196 La lgica matemtica 196 Axiomtica 198 Notas complementarias 198 La teora de conjuntos 200 Nota complementaria 202 Probabilidades y estadstica 202

TABLA CRONOLGICA

LA MATEMTICA EMPRICA

La prehistoria La expresin: el mundo est impregnado de matemtica, convertida en lugar comn en una era tecnolgica como la actual, es una expresin vlida para todas las pocas humanas, tan consustanciados estn el contar y el comparar con las especificas actividades del hombre: pensar, hablar y fabricar instrumentos. En la mente y en la accin del hombre prehistrico no estn ausentes los nmeros ms simples, las formas ms elementales y la ordenacin ms visible de las cosas. En el hombre que da nombre a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas para cazar animales; que construye viviendas y tumbas; que observa el movimiento de los astros y destaca direcciones especiales; que computa distancias con su cuerpo y sus pasos; que graba escenas de un impresionante realismo; en ese hombre y en esas actividades estn prefigurados los conceptos bsicos de la matemtica: nmero, medida, orden. Al pasar de la etapa paleoltica a la neoltica el proceso se afina: las nuevas tcnicas agrcolas y pastoriles, la cermica y la carpintera; la industria textil; la minera y la metalurgia, el trueque de bienes y objetos, la navegacin y el transporte, las normas que rigen la naciente organizacin familiar, social y econmica exigen una precisin cada vez mayor en el contar, en el medir y en el ordenar. El hallazgo del proceso deductivo y de la relacin causa-efecto y los inagotables recursos de la imaginacin humana harn el resto. Y cuando asoma la escritura, como subproducto de la cultura urbana, ese saber matemtico, an vago y nebuloso. Comienza a adquirir consistencia. Una hiptesis verosmil acerca del origen de la escritura vincula este origen con prcticas aritmticas. En efecto, segn tal hiptesis, la

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escritura nace a mediados del IV milenio antes de Cristo en la Baja Mesopotamia, en el seno de la cultura urbana de los sumerios cuyas ciudades estaban construidas alrededor del templo, edificado sobre una colina artificial, como una torre escalonada, que no slo representaba la unidad espiritual de la comunidad, sino que encerraba adems su riqueza econmica. Los bienes del templo, acumulados en sus talleres y graneros, eran administrados por los sacerdotes. Y es explicable que a medida que esos bienes aumentaban con el crecimiento de la poblacin, se tomaba ms difcil retener de memoria las "cuentas del templo", es decir, los datos relativos a los tributos que se deban al dios y la cantidad de semillas y de ganado que se entregaba a los campesinos y pastores; de ah la necesidad de fijar signos convencionales que permitieran retener esos datos sin confiar en la memoria individual. Que tal fuera el origen de los primeros signos grabados, lo comprobara el hecho de que las tablillas pictogrficas de Erech del 3.500 a. C., que son las ms antiguas que se conocen, contienen signos que representan una cabeza de vaca, una espiga de trigo, un pez, acompaados de signos especiales que sin duda representan signos numricos. Por lo dems, cabe recordar que entre los sumerios exista la costumbre de marcar con sellos individuales los objetos de propiedad personal, y que por ser el dios de la ciudad el nico propietario de la tierra y de todos sus frutos, los sellos que marcaban los bienes del templo adquiriran un sentido ms convencional y una mayor difusin.

Letras y nmeros

Esta notacin numrica de las cuentas del templo" pone de relieve ciertas conexiones entre la escritura y los sistemas de numeracin que pueden dar pbulo a la tentadora hiptesis de admitir que los sistemas escritos de numeracin fueron anteriores a la escritura misma. Observemos en primer lugar que todos los pueblos sin excepcin, sean o no primitivos, tengan o no escritura, disponen de palabras

especiales para designar los nmeros y fracciones sencillas, as como disponen de gestos y signos convencionales para indicar nmeros o unidades. Igualmente se encuentra en los pueblos primitivos una gran variedad de procedimientos de cmputos, que se presentan siempre como una relacin cualitativa de un signo a la cosa significada, y siempre tambin bajo el imperio de una imagen concreta. (l) Tal presencia constante de lo concreto en la numeracin primitiva se puede presentar bajo diversos aspectos. As, un primitivo dir que ha tomado tantos peces como dedos tiene la mano, y si designa este hecho con una palabra que deriva de la palabra "mano", esa palabra no quiere significar el nmero 5, sino solamente que los objetos en cuestin son tantos como los dedos de la mano. Por otra parte, el ejemplo abstracto no cabe en la mentalidad primitiva. As, un indio norteamericano, a quien se trataba de familiarizar con el ingls, no pudo traducir: "Ayer el hombre blanco mat seis osos, pues ese hecho significaba una imposibilidad material. En otros casos los nmeros 1, 2, 3 se designan con vocablos diferentes segn se refieran a personas, das u objetos, y en este ltimo caso segn sean ellos esfricos o alargados. Quiz pueda verse un residuo en nuestro lxico actual cuando al referimos a zapatos decimos "un par", mientras que para los bueyes, por ejemplo, decimos "una yunta". Tambin se han facilitado los clculos mediante el uso de objetos materiales, como hojas secas o piedrecillas, que actan a la manera de unidades en la forma como an se acostumbra para el puntaje en los juegos de naipes. Nuestra palabra "clculo" proviene del latn calcul (guijarros), y los bacos para contar y sumar que se perfeccionaron en los tiempos histricos, hasta construir rudimentarias mquinas de calcular, no son sino dispositivos mecnicos fundados en el agrupamiento de objetos materiales. En este campo como en tantos otros la variedad preside la actividad humana: as nativos de la isla Fidji indican el nmero de vctimas logrado en la caza mediante entalladuras en sus mazas, con la caracterstica de que despus de nueve entalladuras iguales, la siguiente es algo ms larga, de ah que con un sistema limitado de numeracin hablada pueden llegar a contar nmeros relativamente

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grandes. Por ejemplo, al observar cinco entalladuras largas y cuatro ltimas cortas, el nativo tendr idea del nmero 54 para el cual seguramente en su lenguaje no dispone de la palabra adecuada. Si este sistema de entalladuras se toma convencional, entre l y un sistema de numeracin escrita de tipo decimal aditivo slo existira una diferencia de grado, no esencial. (2) Al pasar a los sistemas escritos de numeracin, se advierte igual variedad; ya en la base, es decir en el nmero simple que sirve de jaln para expresar los nmeros mayores; ya en la lectura, que puede ser de tipo aditivo, con variantes distintas, o posicional. En los sistemas aditivos el valor del nmero se obtiene sumando (en ocasiones restando) los valores correspondientes a cada signo individual, independientemente de la posicin del signo en el contexto; mientras que en los sistemas posicionales el valor de cada signo depende de la posicin de ste en el contexto. Por la base 10 y el tipo de lectura, nuestro sistema actual es decimal y posicional. En cuanto a la base de los sistemas escritos antiguos, que probablemente provienen de bases ya existentes en los sistemas orales, se advierte igual variedad: puede ser 2, como lo comprueba el hecho de que seguimos hablando de pares y de yuntas, puede ser 3, 4 5 aunque la base ms difundida es 10, que ya Aristteles justificaba en vista del nmero de dedos de la mano. En el idioma francs actual quedan rastros de una base 20 de los celtas, base que fue adoptada tambin por pueblos primitivos descalzos; nuestras docenas son tambin residuos de una base 12, utilizada ya por el nmero (aproximado) de lunaciones del ao, ya por su comodidad en las medidas, en vista de la facilidad que ofrece el mayor nmero de sus divisores, frente por ejemplo a los de la base 10. Casi todos los sistemas antiguos de escritura disponen de signos especiales para representar los nmeros. Constituyen excepcin el griego, el rabe, el hebreo y otros que utilizan para ese fin las letras del alfabeto respectivo. El caso griego tiene un inters especial, ya que se conocen dos sistemas de numeracin escrita, ambos aditivos. Un sistema, cuyos signos se llaman herodinicos (por Herodiano, gramtico griego del siglo II que estudi, y expuso estos signos), en el cual la unidad y las primeras cuatro potencias de 10 se indican con las iniciales de las palabras respectivas, agregndose un signo especial

para el 5; y un segundo sistema en el cual los nueve dgitos, las nueve decenas y las nueve centenas se representan por las 24 letras del alfabeto griego en su orden, intercalando tres letras de un alfabeto arcaico para e1 6, el 90 y el 900; y en el cual se indican con pices y otros signos especiales las fracciones unitarias y los nmeros superiores al millar. Por el empleo de las letras del alfabeto arcaico se supuso que el segundo sistema fuera anterior al primero, pero el hecho es que el primer sistema cay en desuso hacia el s. IV a. C., quedando en vigencia el segundo. Es interesante destacar que en algunos casos el sistema de numeracin escrita presenta, frente a la escritura, cierta prelacin, si no cronolgica, por lo menos en el sentido de la sencillez y de la abstraccin. Un ejemplo lo ofrecen las escrituras cretenses de las que se reconocen tres tipos: uno pictogrfico y dos lineales A y B. Son todos del II milenio y la ltima de ellas; la lineal B, que result pertenecer a un idioma griego arcaico, fue descifrada por Michael Ventris en 1952. De tal escrituras ya se haban identificado no slo los signos numricos pertenecientes a un sistema decimal aditivo, sino tambin algunas operaciones aritmticas simples: sumas y probablemente clculos de porcentajes, y sin duda tal desciframiento previo ayud al posterior desciframiento de la escritura. (3)

Notas complementarias

(1) Los nmeros corporales. Es natural que el hombre para contar y hasta para sumar haya acudido a lo que tena ms cerca: su propio cuerpo; en especial los dedos de las manos y eventualmente de los pies. Aun hoy hablamos de dgitos (del latn digtus = dedo) para referirnos a las cifras 1 a 9 inclusive. Los antiguos romanos hablaban de numerarse por dgitos: contar por los dedos; tambin el primitivo y el nio cuentan con los dedos (no cuentan los dedos). Este clculo digital se ha extendido y convertido en un calculo corporal, como ocurre con ciertos pueblos primitivos, que adems de los dedos de las manos y de los pies utilizan otras partes del cuerpo , para contar

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y sumar; mientras que el clculo digital mismo, mediante simbolismos adecuados relacionados con las posiciones de los dedos frente a otras partes del cuerpo, se perfecciono permitiendo el recuento de nmeros bastante grandes, como presenta en sistemas de pocas histricas; ya en la antigedad y hasta en tiempos medievales. (2) Los quipos peruanos. Un dispositivo semejante para contar es el fundado en las cuerdecillas con nudos, de los cuales el ms conocido es el quipo (del quechua kipu = nudo) peruano con el cual, mediante un sistema de cuerdas de distintos colores con nudos en nmeros y disposicin diferentes, los antiguos peruanos, sin disponer de escritura, realizaban un cabal sistema de numeracin escrita que les permiti registrar cuanto dato de utilidad para el Estado poda registrarse, gracias, claro es, tambin a la prodigiosa memoria de sus calculadores. (3) La cronologa maya. Otro ejemplo lo ofrecen los mayas de cuya escritura jeroglfica se descifraron ltimamente 1961, con calculadoras electrnicas, algunos textos religiosos: mientras que ya se conocan sus dos sistemas de numeracin. En uno de ellos, con signos jeroglficos, cada nmero indicaba se indicaba con una cabeza de dios, de hombre o de animal ; mientras que en el otro de ndole ms abstracta se utilizaba un sistema posicional de base 20 (aunque no coherente), en el cual no figuran sino tres signos un punto para la unidad, una barra para cinco unidades y una especie de conchilla u ojo semicerrado para indicar en cero: de manera que en este sistema cada cifra est representada por un determinado grupo de pocos puntos y barras. El nmero se forma ordenando las cifras de abajo hacia arriba. Este sistema, utilizado principalmente con fines cronolgicos, no es coherente en el sentido que la tercera unidad no es 400 = 20, sino 360 discrepancia que se explicara en vista de aquellos fines por ser el ao oficial maya de 360 das. Mientras que este sistema permite expresar nmeros muy grandes en los cdices mayas aparecen nmeros que superan los doce millones, es sintomtico destacar en cambio que la escritura maya no ha podido superar la etapa pictogrfica. Es posible que el afn de fijar con precisin las fechas vinculadas con los dioses patronos de la

ciudad o de cada individuo estimulara en los mayas la bsqueda de un adecuado sistema de numeracin escrita que result dotado de un grado de abstraccin muy superior al que revela su incipiente escritura.

Formas y problemas El contar y el numerar, con ser actividades comunes y frecuentes, no agotan el campo de las nociones matemticas del hombre primitivo y conjeturalmente del prehistrico. Por su nombre: geometra en griego alude a medir la tierra, los conocimientos geomtricos tuvieron un origen prctico. Por lo menos, as lo atestigua Herodoto en un conocido pasaje de su Historia: El rey Egipcio dividi en suelo del pas entre sus habitantes, asignando lotes cuadrados de igual extensin a cada uno de ellos y obteniendo sus principales recursos de las rentas que cada poseedor pagaba anualmente. Si el ro arrasaba una parte del lote de un habitante, ste se presentaba al rey y le expona lo ocurrido, a lo que el rey enviaba personas a examinar y medir la extensin de la perdida y ms adelante la renta exigida era proporcional al tamao reducido del lote. En virtud de esta prctica que, pienso, comenz a conocerse la geometra en Egipto, de donde pas a Grecia. Ms no slo el hombre midi la tierra; otras mediciones exigi la construccin de sus viviendas y tumbas, de sus graneros y canales. Por lo dems nuevas nociones geomtricas surgieron de las formas y figuras con que el hombre decor y ornament sus viviendas y sus objetos, as como de la observacin de formas que atrajeron su atencin por su sencillez o su simetra: la lnea (lnea" viene de lino), el crculo, los polgonos y poliedros regulares. El ladrillo, de antigua dala, aport probablemente la nocin de ngulo recto, mientras que nuevas formas geomtricas nacan de los movimientos: ya las danzas humanas, ya del andar de los astros en la bveda celeste. Por ltimo, cabe mencionar otras nociones matemticas de origen completamente distinto: es el conjunto de problemas, enigmas y

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adivinanzas que componen el folklore matemtico que practican todos los pueblos. Mostrando a veces curiosas coincidencias de temas en pueblos totalmente alejados explicndose tal coincidencia solamente por trasmisin oral a la manera de semillas que lleva el viento, favorecidas por el carcter recreativo, enigmtico y, a veces, sorprendente del problema. Sin embargo, no obstante tal finalidad extra matemtica, las cuestiones del folklore matemtico encierran interesantes nociones de orden aritmtico y, a veces, hasta algebraico.

LA MATEMTICA PREHELNICA

Los babilonios Hasta el primer tercio de este siglo, los conocimientos que se posean acerca de la matemtica de los pueblos que habitaron la Mesopotamia: sumerios, acadios, babilonios, asirios... eran escasos y no revelaban mayor contenido cientfico. Sin duda, ya se haba advertido la caracterstica fundamental, entonces ms bien sorprendente, que ofrecan los sistemas de numeracin utilizados en los textos cuneiformes. En efecto, hacia el ao 3.000 a. C. los sumerios introdujeron un sistema de numeracin posicional de base 60, que en definitiva es el sistema sexagesimal que an utilizamos nosotros para las medidas de tiempo y angulares. En ese sistema las cifras de 1 a 59 se escriban de acuerdo con un arcaico sistema decimal aditivo, sobre la base de dos signos cuneiformes: uno vertical para la unidad y otro horizontal para el 10. Pero a partir de 60 y para las fracciones el sistema se toma posicional, las potencias sucesivas de 50, en orden creciente o decreciente, se representan por la unidad, y cada conjunto numrico hasta 59 debe computarse 60 veces menor que el anterior. La inexistencia de un signo para el cero, que no aparecer hasta los tiempos helensticos, as como de un signo que separe la parte entera de la fraccionaria, hace que el sistema no sea coherente para nosotros, aunque el contexto del problema, y a veces ocasionalmente ciertos signos especiales, impedan al calculista sumerio caer en equvocos. Ya desde comienzos de este siglo (1906) se haba revelado el carcter posicional del sistema sumerio al descifrarse textos cuneiformes con tablas de multiplicacin, de recprocos, de cuadrados,... y algunos clculos; pero fue recientemente con la labor de desciframiento que hicieron conocer Neugebauer (1935) y Thureau Dangin (1938) que esta matemtica sexagesimal muestra su verdadera faz.

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Los textos ltimamente descifrados pertenecen al perodo babilnico (II milenio a. C.) aunque registran conocimientos de los sumerios del milenio anterior; la ndole y la solucin de las colecciones de problemas que aportan esos textos no slo justifican la necesidad de un sistema de numeracin flexible como el posicional, sin el cual aquella solucin hubiera sido imposible, sino que arrojan nueva luz sobre las relaciones entre la matemtica prehelnica y la matemtica griega, de manera que actualmente nociones y figuras de la matemtica antigua adquieren nuevas interpretaciones en la historia de la matemtica. Aunque en algn caso se ha querido ver la expresin de reglas generales, los problemas de los textos babilnicos son problemas numricos particulares, con datos escogidos al efecto, en especial para que los divisores no contengan sino factores 2, 3 y 5; en muchos casos no tienen otra finalidad que el clculo numrico, en otros se trata de aplicaciones de distinta ndole. Desde el punto de vista matemtico, las novedades ms importantes que registran los textos babilnicos se refieren a la solucin algebraica de ecuaciones lineales y cuadrticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitgoras" y de sus consecuencias numricas. En los problemas de primer grado con una sola incgnita las tablas de multiplicacin o de recprocos ofrecen de inmediato la solucin; en los sistemas lineales, en cambio, a veces con varias incgnitas, ya entra en juego la habilidad algebraica del calculista. (1) Tal habilidad se pone de relieve ms claramente en los problemas, a veces agrupados en colecciones, que exigen la resolucin de ecuaciones cuadrticas o reducibles a cuadrticas; resolucin que el calculista babilnico lleva a cabo utilizando la actual resolvente a veces mediante el recurso de reducir el problema a la determinacin de dos nmeros de los cuales se conoce el producto y la suma (o la diferencia). (2) Otros problemas, de inters aritmtico o algebraico, traen la suma de trminos en progresin aritmtica o en progresin geomtrica de base 2; la suma de los cuadrados de los diez primeros nmeros mediante una expresin correcta y hasta una ecuacin exponencial resuelta en forma aproximada. (3)

Los problemas que se refieren a aplicaciones geomtricas revelan el conocimiento de la proporcionalidad entre los lados de tringulos semejantes, de las reas de tringulos y trapecios as como de volmenes de prismas y cilindros; en cambio, para la longitud de la circunferencia y el rea del crculo se adoptan los valores poco aproximados de dar para la circunferencia el valor de tres dimetros (valores que se conservan en la Biblia) y para el crculo el triple del cuadrado del radio. Tambin son errneas las expresiones del volumen del tronco de cono y de la pirmide de base cuadrada y del cono. Pero, sin duda, el conocimiento geomtrico ms interesante que revelan las tablillas es del llamado teorema de Pitgoras, y en especial, como consecuencia, la ley de formacin de los tripletes-pitagricos, es decir, de las ternas de nmeros enteros, que, a par de representar medidas de los lados de tringulos rectngulos, expresan la posibilidad aritmtica de descomponer un numero cuadrado en suma de dos cuadrados. El conocimiento del "teorema de Pitgoras", un milenio largo antes de la existencia de su pretendido autor, se pone de manifiesto en distintos problemas cuya solucin correcta no podr lograrse sin ese teorema (4) y, en especial, mediante un texto: el Plimpton 322 (del nombre de la coleccin que se conserva en la Columbia University) que se hizo conocer en 1945 y que presupone el conocimiento de la ley de formacin de los tripletes pitagricos, que aparecer por primera vez en Occidente en los Elementos de Euclides hacia el 300 a. C. (5) No es sta la nica conexin entre los datos que aportan las tablillas de los babilonios y la clsica matemtica griega. Desde el punto de vista tcnico, es ms importante sealar la atmsfera comn de lgebra no lineal, de lgebra cuadrtica, que preside ambos campos; atmsfera que en las tablillas de los babilonios se revela en las ecuaciones algebraicas, y en los Elementos en toda la obra, en espacial el libro II, que el historiador de la matemtica Zeuthem bautiz profticamente de lgebra geomtrica hace casi 90 aos, cuando ni por asomo poda pensarse en la vinculacin que hoy se vislumbra entre la geometra griega y la milenaria lgebra de los babilonios.

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Es posible que mediante esta lgebra geomtrica podamos hacer alguna conjetura acerca del origen de los conocimientos de los babilnicos. Sean dos nmeros a y b representados por los segmentos AB y AD (fig. 1), respectivamente; si a continuacin de AB se lleva BC=AD los segmentos AC y DB sern, respectivamente, a + b y a b. Introduciendo el centro O de simetra de la figura, resulta fcilmente AO = OC = (a + b) y DO = OB = (a b) y, por lo tanto, de AB = AO + OB y AD = AO - OD se desprenden las relaciones entre dos nmeros, su semisuma y su semidiferencia, que los babilonios utilizaron en sus problemas. Supongamos ahora que en pos de conjeturas elevamos al cuadrado la figura y obtenemos el cuadrado de lado AC descompuesto en cuadrados y rectngulos. As:

(a + b) = AE; (a b) = FG; ab = LI = IM = DL

Y distintas composiciones de esas figuras llevan a las identidades:

(a + b) = a + b + 2ab ; (a - b) + 2ab = a + b;

(a + b) (a - b) = a - b; (a+b) - (a-b) =4ab

[1/2 (a + b)] - [1/2 (a - b)] = ab

que los babilonios utilizaron en la resolucin de sus ecuaciones cuadrticas. Hagamos un paso ms y tracemos las diagonales LI, IM, MD, DL de los rectngulos que bordean la figura que no sern sino las hipotenusa c de los tringulos rectngulos de catetos a y b, y por tanto el cuadrado LM = DI es el cuadrado construido sobre esa hipotenusa. De la figura se deduce una propiedad geomtrica que los babilonios parece que no utilizaron, como lo har en cambio ms tarde Diofanto; esa propiedad dice que si al cuadrado de la hipotenusa se le suma o se le resta cuatro veces el tringulo se obtiene, en ambos casos, un cuadrado, o en smbolos c 2ab = (a b), propiedad que implcitamente contiene el llamado "teorema de Pitgoras", aunque el teorema puede obtenerse directamente utilizando una de sus numerosas "demostraciones" por descomposicin de figuras; as, por ejemplo, una demostracin muy simple, que aparecer en escritos rabes del s. IX, consiste en suprimir del cuadrado DI los tringulos LGI e IHM, desplazndolos respectivamente a DCM y LAD; el cuadrado DI se convierte en la figura equivalente LGHMCAL, suma de los cuadrados AG y BM de los catetos. Como curiosidad agreguemos que el matemtico Hamilton del siglo pasado al reproducir esa demostracin sombre en la figura LIMCAL esos cuatro tringulos, inscribiendo en el pentgono cncavo LGHMDL una leyenda que parafraseamos: Como se ve: Soy a + b - ab; si me adoso los dos tringulos compongo el cuadrado de la hipotenusa, si me sustento sobre los dos tringulos, compongo la suma de los cuadrados de los catetos. Una ltima conjetura nos llevara a los tripletes pitagricos. De la propiedad (a + b) = (a b) + 4ab se puede llegar a la descomposicin de un cuadrado en suma de los cuadrados, es decir, a la ecuacin pitagrica (o habra que llamarla seudo-pitagrica?) x + y = z , sin ms que tomar para a y b nmeros cuadrados m y n, llegndose a las expresiones x = m n; y = 2mn; z = m + n, con las cuales se ha construido la tabla del Plimpton 322.

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Conjeturas de otra ndole mereceran las consideraciones acerca de la finalidad que persiguieron sumerios y babilnicos con su sorprendente lgebra. Sin duda en sus albores la matemtica naci bajo los signos que Spranger sealo al calificar de semi-juego y semi-religiosidad, pero en el lgebra de los babilnicos la atmsfera tcnica que envuelve a sus problemas revela tambin aspectos ms positivos, menos msticos. Una hiptesis verosmil, que la ndole de los problemas corroborara fija a los textos matemticos de los babilonios une finalidad formativa: su estudio y prctica seran considerados indispensables en el aprendizaje y adiestramiento de escribas y funcionarios de pueblos de un avanzado desarrollo comercial.

Notas complementarias (1) Un problema de primer grado. He aqu un ejemplo del tipo de problema de mezclas en el que adems se utilizan unidades de medidas agrarias de la poca. Se conocen la extensin total (1.800) de un campo compuesto de dos parcelas, en cada una de las cuales el rendimiento del grano por unidad de rea est afectado por coeficientes diferentes ( y ). Se desea saber la extensin de cada parcela conociendo la diferencia (500) del producido de la cosecha. De acuerdo con nuestros smbolos el problema exige la resolucin del sistema de dos incgnitas:

x + y = 1.800 ; 2/3 x y = 500

de solucin x = 1.200 ; y = 600 Aunque la marcha que sigue el calculista no es clara y aparentemente presupone un mtodo de falsa posicin, en realidad, los clculos encierran un proceso correcto en el cual implcitamente se hace intervenir, al lado de la suma conocida de las incgnitas, su diferencia desconocida x y = 2z. En efecto, el calculista comienza admitiendo que las dos parcelas son iguales (a la semisuma 900) y con

esa hiptesis falsa llega al valor errneo de la diferencia de producido: 150 (es decir = de 900). Para compensar el error de 350 = 500 150 reconoce, sin decirlo, que ese error es los (suma de y ) del valor que, sumado y restado al dato inicial errneo, dar la extensin de parcelas. Para obtener aquel valor deber dividir 350 por

, operacin que, por la presencia del factor 7, las tablas no facilitan; el calculista obvia la cuestin preguntndose simplemente por cuanto debe multiplicar para obtener 350; su respuesta es obvia: 300, y este dato, sumado y restado a 900, da los valores de las incgnitas. Es fcil ver que, aun con un lenguaje de valores errneos, la marcha del proceso es la que hoy se seguira si se introducen los valores x = 900 + z, y = 900 z, y se calcula z de acuerdo con la segunda ecuacin. (2) Un problema de segundo grado. He aqu el enunciado de un ejercicio tpico tomado de una tablilla de los babilonios: Largo y ancho. He multiplicado largo y ancho y he obtenido el rea. He agregado al rea el exceso del largo sobre el ancho: 183, adems he sumado largo y ancho: 27. Se pide largo, ancho y rea. Este problema, al sumar reas y longitudes absurdo desde el punto de vista prctico, revela claramente que su inters es exclusivamente tcnico o numrico. Con nuestros smbolos el problema lleva el sistema de segundo grado: xy + x y = 183 ; x + y = 27, y aunque pueda parecer anacrnico conviene seguir con nuestros smbolos la marcha de los clculos que seala la tablilla, para poner de manifiesto su carcter algebraico. El calculista comienza por sumar los dos datos numricos 183 + 27 = 210 , [ x (y + 2) = 210] y agrega 2; (x + y + 2 = 29 ). Lo que sigue es el mtodo actual de nuestra resolvente para obtener los valores de dos nmeros (en este caso x e y + 2), conociendo su suma 29 y su producto 210. En efecto, toma la mitad de 29: 14 de cuyo cuadrado resta 210, obteniendo , cuya raz cuadrada suma y resta a 14 obteniendo los valores 15 y 14, de este ltimo resta 2, llegando a la solucin del problema: 15, 12, 180. Por supuesto que el calculista no advirti la existencia de una segunda solucin x = 13, y y = 14, por cuanto estos problemas, por su probable carcter didctico son problemas artificiales con soluciones preparadas de antemano y son estas soluciones las que se buscan y no otras.

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(3) Un problema de inters compuesto. Se trata del clsico problema de la determinacin del tiempo en que se duplica un capital, a una determinada tasa de inters compuesto. En el caso de la tablilla esa tasa el del 20 %, dato que a la par que puede interesar a la historia econmica de esos pueblos, facilita bastante la solucin aritmtica. El problema es trascendente y exige la solucin de la ecuacin exponencial , para lo cual el calculista despus de comprobar que x esta entre 3 y 4 y ms prximo a 4 que a 3, determina el incremento 4 x mediante la proporcin de los incrementos ofreciendo quizs el primer ejemplo de la aplicacin del ms tarde llamado mtodo de falsa posicin. De acuerdo con esta hiptesis, aquel incremento est dado por el cociente

que da el tiempo de doble capitalizacin con error (por defecto) inferior a seis das. (4) El teorema de Pitgoras. Varios problemas de las tablillas son variantes de un problema frecuente en el folklore matemtico: el problema de la caa, cuya solucin exige el conocimiento del teorema de Pitgoras. Veamos un caso simple: una caa que se apoya en una pared de igual altura que ella de desliza sin caer. Calcular su altura x conocido el deslizamiento a de su tope y la distancia b en que se ha apartado el pie de la caa respecto de la pared. Este problema, que equivale a la determinacin del radio de un crculo del cual se conoce una semicuerda y la flecha respectiva, exige la aplicacin del teorema de Pitgoras que da por solucin x = (a + b) a; y son estos clculos, efectivamente, los que efecta el calculista babilnico partiendo de a = 3; b = 9, obteniendo x = 15. (5) El texto Plimton 322. (Se reproduce a continuacin el texto de la tablilla en signos modernos, tomados de O. Neugebauer. The Exact Sciences un Antiquity. Nueva York, Dover, 1969, pg. 37) Se trata de la parte derecha de una tablilla mutilada que comprende a cuatro columnas: la primera, a partir de la derecha, no contiene sino los

nmeros 1 a 15 para ordenar las filas; la segunda y tercera, encabezadas respectivamente con palabras diagonal (d) y ancho (b), contienen nmeros enteros aparentemente sin orden alguno, mientras que la cuarta columna, encabezada por un trmino ininteligible, contiene expresiones fraccionarias, a veces hasta con siete fracciones sexagesimales. Descifrada la tablilla, el resultado fue que las columnas (d) y (b) comprenden los componentes de tripletes pitagricos correspondientes a la hipotenusa y a un cateto, es decir, d = m + n y b = m n, cuyo otro cateto b = 2mn, del cual sus valores, que figuraran probablemente en la parte que falta, deben cumplir la condicin de no contener sino divisores de 2, 3, 5, circunstancia que explicara el aparente desorden de las columnas d y b, pues la cuarta columna contiene los valores numricos de (d/a), es decir, con nuestro lxico los valores de sec siendo el ngulo opuesto a. Agreguemos que los valores de la cuarta columna decrecen de manera casi lineal, as como los valores de decrecen bastante uniformemente entre 45 y 31, lo que hace suponer que otras tablillas contendran los valores correspondientes a los otros sectores de 15,

I II ( = b ) III ( = d ) IV [1,59,0,] 15 1,59 2,49 1 [1,56,56,]58,14,50,6,15 56,7 3,12,1 2 [1,55,7]41,15,33,45 1,16,41 1,50,49 3 [1,]5[3,1]0,29,32,52,16 3,31,49 5,9,1 4 [1,]48,54,1,40 1,5 1,37 5 [1,]47,6,41,40 5,19 8,1 6 [1,]43,11,56,28,26,40 38,11 59,1 7 [1,]41,33,59,3,45 13,19 20,49 8 [1,]38,33,36,36 9,1 12,49 9 1,35,10,2,28,27,24,26,40 1,22,41 2,16,1 10 1,33,45 45 1,15 11 1,29,21,54,2,15 27,59 48,49 12 [1,]27,0,3,45 7,12,1 4,49 13 1,25,48,51,35,6,40 29,31 53,49 14 [1,]23,13,46,40 56 53 15

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Por ejemplo, en la fila sexta los valores de las tres columna son en el sistema sexagesimal,

d = 8,1 ; d = 5,19 ; (d/a) = 1 ; 47.6.41.40

Es fcil ver que en este caso m = 20, n = 9: d = 481; b = 319 resultando a = 360, que no figura, pero que cumple con la condicin de no contener sino factores 2, 3, 5 y que (d/a) = (481/360) expresado en el sistema sexagesimal es precisamente el valor que aparece en la cuarta columna. Para estos valores es aproximadamente 40.

Los egipcios Comparada con el contenido de las tablillas de los babilonios, la matemtica de los egipcios resulta de un nivel muy inferior. Una de las causas reside en el sistema de numeracin adoptado por los egipcios: aditivo decimal compuesto de ocho signos jeroglficos para indicar la unidad y las primeras siete potencias de 10 y que en el contexto numrico se escriban de derecha a izquierda segn las potencias decrecientes. Con ese sistema, el escriba o calculador egipcio realizaba operaciones aritmticas elementales, con nmeros enteros o fraccionarios, utilizando una tcnica operatoria. No exenta de ingeniosidad, de la cual cabe destacar dos notas caractersticas: la multiplicacin por duplicacin y el uso casi exclusivo de fracciones unitarias, es decir, de numerador la unidad. El conocimiento de los mtodos de clculo de los egipcios y de su aplicacin en distintos problemas proviene de algunos papiros, no muy numerosos, entre los cuales sigue siendo ms importante el papiro Rhind (del nombre de su propietario que lo lego al museo Britnico) que data de la poca de los hiesos (s. XIII a. C) aunque, como nos lo asegura su autor o compilador, el egipcio Ahmes: su contenido proviene de pocas anteriores. Aproximadamente de comienzos del II milenio.

Aunque el papiro declare que contiene las reglas para lograr un conocimiento de todo lo oscuro y de todos los misterios que residen en las cosas... es en realidad un manual de aritmtica, probablemente destinado a la formacin de los escribas oficiales que tenan a su cargo el conocimiento y la prctica de los clculos que exiga la tpica organizacin econmica de la sociedad egipcia. (1) El inters mayor que ofrece la aritmtica de los egipcios reside en su caracterstico uso y manejo de las fracciones. Si se excepta (y ocasionalmente ), fraccin para la cual exista un signo especial y de la cual, por lo dems, conocan la descomposicin en + , el calculista egipcio utiliza exclusivamente fracciones unitarias Y. por tanto, todo cociente o parte de un cociente menor que la unidad deba expresarse como suma de fracciones unitarias, problema indeterminado desde el punto de vista terico y que los egipcios resolvieron empricamente, aunque tratando de dar, y a veces en forma ingeniosa, la descomposicin ms simple. Muchas de esas descomposiciones eran conocidas de memoria por el escriba, pero para denominadores no pequeos la cuestin se tornaba difcil, de ah que sea explicable que el papiro Rhind se abriera con una tabla que facilitaba esa descomposicin dando la misma para todos los cocientes de dividendo 2 y divisor impar desde 5 hasta 101. (2) El conocimiento aritmtico de los egipcios no se limita a las operaciones elementales con enteros y fracciones: en los papiros matemticos aparecen progresiones aritmticas y geomtricas y hasta algn ejemplo de raz cuadrada. En cuanto a las aplicaciones se trata en general de problemas de reparticin proporcional o de medidas de capacidad, de superficie o de volumen, as como cuestiones de distinta ndole que conducen a problemas de primer grado con una o ms incgnitas. (3) Los conocimientos geomtricos de los egipcios son ms bien extensos: disponen de reglas exactas para el rea de tringulos, rectngulos y trapecios, as como para el volumen de prismas y pirmides. En un ejemplo aparece la determinacin de la inclinacin del plano oblicuo de una pirmide, aunque entendida ms como factor de proporcionalidad que medida angular, mientras que el mximo logro de la geometra egipcia debe verse en la determinacin correcta

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del volumen del tronco de pirmide de base cuadrada, mediante un clculo de difcil interpretacin. Adems se debe al calculista egipcio una excelente aproximacin para la cuadratura del crculo. (4)

Notas complementarias (1) La multiplicacin y divisin egipcias. Para multiplicar por duplicacin el egipcio escriba en columna el factor mayor y sucesivamente sus dobles, mientras que en otra columna la izquierda sealaba la unida y sus dobles. La operacin se suspenda al llegar el mayor doble inferior al segundo factor; el calculista marcaba entonces con un signo especial los dobles cuya suma componan este segundo factor y sumaba los trminos correspondientes de la primera columna. Esa suma es el resultado. A la izquierda puede verse el producto 34 x 27 = 918.

/1 34 /2 68 4 136

/8 272 /16 544 27 818

Para abreviar la operacin en algunos casos se multiplicaba por 10 y a veces este mltiplo se divida por 2 con lo cual, en la columna de la izquierda, adems de dobles, aparecan los nmeros 10 y 5, que haba que tomar en cuenta en el clculo del segundo factor. Para dividir procedan como en la multiplicacin considerando la divisin como una multiplicacin de producto y un factor conocidos. Dividir por ejemplo 1.120 por 80 es una multiplicacin "comenzando con 80". A la izquierda est indicado el clculo que se ha facilitado comenzando por tomar el dcuplo del divisor. Como en este caso, de la columna de la derecha se obtiene la suma 1.120, el resultado es de una divisin exacta 1.120 80 = 14. Pero qu hubiera ocurrido si en lugar de 1.120 el dividendo hubiera sido 1.150? Con nuestro lxico, de los clculos anteriores

hubiramos deducido que el cociente entero es 14 y el resto es 30, pero en las divisiones egipcias no hay resto: el cociente es siempre exacto, para lo cual en este caso se hubiera acudido a las fracciones y proseguido la operacin introduciendo en la columna de la izquierda las fracciones , , , y con los correspondientes valores 40, 20, 10, se habra llegado a la suma exacta 1.150 y al cociente exacto 14 .

1 80 /10 800

2 160 /4 320 14 1.120

(2) Las fracciones unitarias. El ejemplo anterior, donde los valores cmodos 80 y 30, del divisor y el resto, facilitaron sobremanera las operaciones, no es un ejemplo adecuado para mostrar los clculos egipcios con fracciones unitarias, ya para construir la tabla de los cocientes 2 n, ya para utilizar sus datos. As sealaba Van der Waerden la marcha del proceso en la, obtencin del cociente . El calculista ha utilizado la fraccin auxiliar reconociendo que . Conociendo adems la descomposicin y que evidentemente 2 = 1 , mediante un proceso de "completar la unidad" llega a la descomposicin 2 = 1 y como = 31 ( ) se llega a la descomposicin de la tabla. Supongamos que haya que dividir 11 por 23. El calculista procedera as: acudira a la tabla que descompone , y seguira

Sin necesidad de volver a la tabla, y el resultado sera

1 2/3 1/30 /2 1 1/3 1/15 4 2 2/3 1/10 1/30

/8 5 1/3 1/5 1/15 10 6 2/3 1/5 2/15 = 7

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Consideremos por ltimo el problema de dividir 7 panes entre 10 personas. Sin explicacin alguna el papiro da el resultado: y se dispone a comprobarlo mediante la multiplicacin de ese dato por 10 tal como se ve en la izquierda. Al multiplicar por 4 aparece el cociente 2 15 que la tabla da como . En este caso no hubo que acudir ms a la tabla. (3) Problemas de primer grado. He aqu un par de problemas de primer grado resueltos por los egipcios. Una cantidad y su sptima parte dan 19. Para resolverlo, el calculista toma sucesivamente 7 ms 1, es decir, 8. Divide 19 por 8 obteniendo 2 y este resultado lo multiplico por 7, obteniendo 16 que es la cantidad buscada, comprobndolo al agregarle 2 , y obtener 19. Menos simple es el problema de dividir 100 panes entre cinco personas siguiendo una progresin aritmtica (serian de distintas clases sociales), de manera que la parte de las dos ltimas sea de las partes de las tres primeras. Aqu escuetamente el papiro dice: 'Toma como diferencia 5 , de donde 23, 17 , 12, 6 , 1. Aumenta esos nmeros en la proporcin 1 y obtendrs las partes que corresponden a cada persona". Y la solucin es correcta. En efecto, el nmero 5 es la razn entre la diferencia de la progresin y la parte de la ltima persona, que puede deducirse de los datos del problema, pues las dos ltimas personas reciben dos de esas partes ms una diferencia, mientras que las tres siguientes reciben 3 de esas partes ms 9 diferencias, que han de ser equivalentes a 14 partes y 7 diferencias, de ah la razn , es decir, 5 . Admitiendo que la ltima parte es 1 pan la suma, de acuerdo con la diferencia 5 , dara 60 panes y no 100 como exige el problema; de ah la ltima parte de la solucin el elevar los valores anteriores en la proporcin de 60 a 100, es decir, en la proporcin 3 a 5. (4) La cuadratura del crculo. La regla del calculista egipcio para obtener el rea del crculo, consiste en adoptar como lado del cuadrado equivalente al crculo el dimetro menos un noveno del mismo, lo que significa para nuestro el valor 3,1604bastante

aproximado con un error relativo por exceso de 0,6 %. En cuanto al origen de esta regla observamos que si hoy deseramos conocer qu fraccin del dimetro, de la forma 1 1 / n debe tomarse para obtener el lado del cuadrado equivalente encontraramos para n el valor 8,7bastante prximo a 9, de ah que cabe sospechar que los egipcios obtuvieron su regla operando por tanteos con fracciones unitarias y complementos a la unidad.

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LA MATEMTICA HELNICA

Los griegos Un largo milenio transcurre entre la poca de las tablillas cuneiformes y de los papiros egipcios que hemos reseado, y la poca de la revolucin intelectual que tendr por teatro el mundo griego del Mediterrneo oriental; revolucin que signific el advenimiento del sabio y de un saber cada vez ms consciente de su propia misin y de la responsabilidad que le impone la exigencia de su comprobacin o de su verificacin. Al hacerse referencia al nacimiento de este nuevo tipo de saber: la ciencia, suele an hablarse de "milagro griego", expresin que encierra la idea de un surgimiento de la ciencia, del arte y de la filosofa como de la nada, por generacin espontnea. Ms hoy, al respecto, y en especial para la matemtica, cabe ser cauteloso. Por lo pronto, la ciencia prehistrica ha puesto de relieve el largo camino recorrido por el hombre en la senda del saber hasta llegar a los umbrales de la ciencia. Por su parte, ya no es posible dejar de considerar que el "milagro griego" tuvo como antecedente el saber que desarrollaron los pases orientales, en especial Egipto y la Mesopotamia. La misma tradicin griega atestigua la importancia que los primeros griegos atribuan a ese saber y es significativo que, segn tal tradicin, grandes sabios y filsofos del perodo helnico haban estado en Oriente, en especial en Egipto, frecuentando los sacerdotes de esa regin. Otro factor que ha contribuido a mantener la creencia en el "milagro griego" proviene de las caractersticas del perodo inmediato anterior al advenimiento de la ciencia griega, all hacia el siglo VI a. C. En efecto, el medio milenio anterior a este siglo es una de las pocas ms oscuras e inciertas de la historia del Mediterrneo, aunque tal oscuridad no proviene de causas intrnsecas, sino del hecho de tratarse de una poca de movimientos de pueblos y de la aparicin de las armas de hierro que aportaron un poder destructor desconocido

hasta entonces; movimiento y destruccin que han contribuido a silenciar ecos y documentos que podran informarnos acerca de los orgenes de la ciencia en Grecia. Por lo dems, en este perodo, Grecia mantuvo relaciones comerciales y blicas con los pueblos del Cercano y Medio-Oriente, y si bien es cierto que los griegos no supieron leer las jeroglficos egipcios ni los signos cuneiformes, el hecho de desconocer el idioma no significa ignorar totalmente sus bienes culturales y las conexiones que actualmente se advierten entre la matemtica griega y la antigua matemtica de los babilonios, como consecuencia de las tablillas descifradas en este siglo, comprobaran tal afirmacin. Una ltima observacin, de carcter ms bien paradjico, reafirma la cautela con la cual deben tomarse las informaciones relativas a la antigua matemtica griega. En efecto, mientras hoy a 30 40 siglos de distancia, conservamos en las tablillas cuneiformes y en los papiros egipcios documentos originales o copias fieles de las contribuciones matemticas de los antiguos pueblos orientales, nada de eso ocurre con los griegos; a pesar de ser mucho ms recientes, pues de las no muy numerosas producciones matemticas que han sobrevivido hasta hoy, slo disponemos de copias y compilaciones tardas a veces posteriores en varios siglos, cuando no meras traducciones. Esto es particularmente cierto para la matemtica del periodo helnico (siglos VI a IV a. C.), ya que de los escritores anteriores a Euclides no se conoce sino el fragmento, relativo a las "lnulas" de Hipcrates, de la "historia de la matemtica" de Eudemo de Rodas, que, a su vez, se conoce mediante una reproduccin no muy fiel, aparecida en un comentario aristotlico de Simplicio del s. VI, es decir, de un milenio despus. De ah que la historia de la matemtica del periodo helnico haya sido reconstruida sobre la base de fuentes indirectas, informaciones dispersas en autores de la poca posteriores, en especial, en los escritos de comentaristas del ltimo perodo de la ciencia griega, entre los que cabe destacar el resumen histrico, que aparece en Los comentarios del libro 1 de los Elementos de Euclides de Proclo; probablemente fundado tambin en la historia" de Eudemo. (1) En este resumen, al lado de figuras conocidas de la filosofa y de las ciencias griegas, aparecen nombres de los cuales se tienen escasas o

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ninguna noticia. Faltan, en cambio, nombres importantes como el de Demcrito de Abdera, omisin que se explica en vista de la tendencia neoplatnica de Proclo. Contraria a las concepciones filosficas de Demcrito. Pero, salvadas esta y otras lagunas, ese resumen histrico seala en lneas generales el proceso seguido por la matemtica griega durante el periodo helnico.

Notas complementarias (1) El resumen histrico de Proclo. Cuenta Proclo en la segunda parte del Prlogo a sus comentarios;muchos autores informan que los egipcios fueron inventores de la geometra, que naci de la medida de los campos, necesarias debido a las crecidas del Nilo que borraban el lmite entre las propiedades. Por lo dems, no ha de asombrar que haya sido una exigencia prctica la determinante de la invencin de esa ciencia, pues todo lo que est sujeto a la generacin procede de lo imperfecto a lo perfecto, y que es natural que se produzca una transicin de la sensacin al razonamiento y de este a la inteligencia. De manera que as como los fenicios, debido al intercambio y transacciones comerciales, fueron los primeros en tener un conocimiento cabal de los nmeros, por la razn mencionada los egipcios inventaron la geometra. Tales que estuvo en Egipto, fue el primero que introdujo la teora en Grecia; l mismo realizo varios descubrimientos y encamino a sus sucesores hacia sus principios; algunas cuestiones las resolvi de una manera ms general; otras de una manera ms intuitiva. Despus de l se menciona a Mamerco, hermano del poeta Estesicoro que se interes por la geometra, a la cual debi su fama, segn cuenta Hipias de Elis. Los sigui Pitgoras quien trasform l estudi de la geometra en una enseanza liberal, remontndose a los principios generales y estudiando los teoremas abstractamente y con la inteligencia pura; se le debe el descubrimiento de las figuras csmicas. Ms tarde Anaxgoras de Cazomene se ocup de distintas cuestiones geomtricas as como Enpides de Quos, algo ms joven que

Anaxgoras, ambos mencionados por Platn en Ricales como famosos matemticos. Ms tarde, fueron clebres en geometra Hipcrates de Cirene; Hipcrates adems fue el primero que compuso Elementos. Platn, que los sigue, dio a la geometra, como a toda la matemtica, un impulso extraordinario mediante el gran inters que demostr por ella, del cual dan fe sus escritos repletos de consideraciones matemticas, que en todo momento despiertan la admiracin hacia esa ciencia de aquellos que se consagran a la filosofa. Al mismo perodo pertenecen Leodema de Taso, Arquitas de Tarento y Teeteto de Atenas, que aumentaron el nmero de teoremas de geometra, mientras le deban una forma ms cientfica. A Leodemas sigue Neoclides y el discpulo de ste: Len, que acrecieron el saber geomtrico de manera que Len pudo escribir unos Elementos, muy superiores por el valor y el nmero de sus demostraciones. Len adems descubri las distinciones que indican si un problema puede resolverse o no. Algo ms joven que Len, y compaero se los discpulos de Platn, es Eudoxo de Cnido, quien aumento el nmero de los teoremas geomtricos, agrego tres nuevas proporciones a las tres antiguas, y mediante el anlisis hizo progresar lo que Platn haba aprendido respecto de la seccin. Amticlas de Heraclea, discpulo de Platn, y Menecmo, discpulo de Eudoxo como miembro del crculo de Platn, y su hermano Dinotrasto perfeccionaron an ms la geometra en su conjunto. Teudio de Magnesa goz de gran renombre tanto en matemtica cuanto en otra doctrina filosfica, pues coordino Elementos y generalizo muchas cosas particulares. Igualmente Ateneo de Cicico, de la misma poca, se hizo clebre como matemtico y en especial como gemetra. Todos ellos se congregaban en la Academia e instituyeron en comn sus investigaciones. Hermotimo de Colofn desarroll lo que haba encontrado Eudoxo y Teeteto, descubri muchas proposiciones relativas a los Elementos y se ocup de los lugares. Filipo de Mende, discpulo de Platn e iniciado por ste en la matemtica, realiz investigaciones siguiendo las indicaciones de su maestro, aunque se propuso tambin todas aquellas cuestiones que segn su entender podan contribuir al desarrollo de la filosofa de

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Platn. Es hasta estos ltimos que se han ocupado los historiadores que trataron el desarrollo de la geometra.

Tales La matemtica griega comienza con el mismo nombre con que se inicia la filosofa griega: Tales de Mileto, uno de los "siete sabios de Grecia", primero a quien se dio ese nombre, no ya por su gnero de vida y sus preceptos con referencia a la conducta moral, sino por el hecho de estudiar los secretos de la naturaleza y hacer conocer sus investigaciones. En efecto, Tales, como sus conciudadanos ms jvenes: Anaximandro y Anaxmenes, fue un filsofo de la naturaleza, un "fisilogo" que por sus observaciones empricas sobre los seres, sobre las cosas y sobre los fenmenos, en especial meteorolgicos, llego a la concepcin de estar todo el Universo sometido a un proceso, a una transformacin continua, como si algo viviente lo habitase ("Todo est lleno de dioses"), proceso y transformacin cuyo origen, causa y devenir busca ("el agua es el principio de todas las cosas, pues todo proviene del agua y todo se reduce a ella"). Como en todos los casos de los pensadores antiguos, no se dispone de Tales sino de escasas referencias debidas a comentaristas muy posteriores, pero cabe destacar que es el nico entre los filsofos de Mileto a quien se atribuyen conocimientos cientficos en sentido estricto: ya astronmicos, ya matemticos. As, se le atribuye la prediccin de un eclipse de sol que, segn los astrnomos modernos, fue el del 28 de mayo de 585 a. C. (fecha esta ltima que, aun convencional, puede servir para fijar el nacimiento de la ciencia griega), eclipse que reviste un singular inters histrico, pues ocurri cuando medas y lidios estaban por entrar en batalla, que el fenmeno celeste detuvo, y facilit gestiones de paz. Actualmente se duda de tal prediccin por parte de Tales, en vista de la propia concepcin cosmolgica que se le atribuye, y de los conocimientos tericos que exige, salvo que estuviera en posesin de

reglas de los antiguos babilonios, lo que no es muy verosmil. Ms verosmil resulta suponer que la prediccin del eclipse no fue sino una atribucin gratuita, consecuencia de la fama y de la popularidad alcanzadas por Tales en su condicin de sabio. Algo semejante podra decirse con respecto a las contribuciones matemticas, o mejor geomtricas, que se atribuyen a Tales y que consisten en algunas propiedades tericas y en un par de problemas prcticos, (1) cuyo inters reside esencialmente en que tanto unas cuanto otros se refieren a propiedades generales de rectas, igualdades entre ngulos, y semejanzas de figuras, es decir, propiedades cuya ndole las distingue del conocimiento emprico de los egipcios, con el cual directa o indirectamente Tales pudo entrar en contacto. Tambin aqu, como en el caso de la prediccin del eclipse, la atribucin de conocimientos geomtricos tericos puede fundarse en la fama de la que Tales goz en vida y que, sin duda, se trasmiti deformada a las generaciones posteriores. Ms tambin puede drsele un sentido distinto, vinculado con la revolucin intelectual que se estaba produciendo en el mundo griego en tiempos de Tales: el nacimiento de un nuevo saber. La nota esencial de ese nuevo saber fue su acentuado carcter discursivo, su tnica racional, que en sus comienzos se manifest meramente en los intentos de explicacin de los fenmenos naturales sin acudir a causas extra-naturales, pero que pronto adquiri una slida consistencia y logr conquistas perdurables en la rama ms fecunda y ms dcil a los dictados de la razn: en la matemtica, mediante la demostracin rigurosa de sus propiedades, traduccin en su campo de la explicacin de los fenmenos naturales. Y si Tales, el "primero entre los siete sabios", haba sido tambin el primero, cronolgicamente, en poner de manifiesto las exigencias de la razn en el campo, de la naturaleza mediante la "explicacin racional de sus fenmenos", por qu no dotarlo de igual capacidad en el campo matemtico, atribuyndole el invento de la "demostracin", en vista de la similitud de los fundamentos de ambos procesos? Sean o no exagerados los mritos que, las generaciones futuras asignaron a Tales, es indudable que termina con l una etapa en la marcha del saber: la etapa pre- cientfica, para iniciarse el perodo del saber crtico, objetivo, cientfico.

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Varios factores contribuyeron al advenimiento de esta especial conciencia cientfica que ante todo signific una liberacin, an no total, de la maraa de elementos extra-cientficos que envolvan al saber oriental. Por un lado, el carcter del pueblo griego, pueblo de legisladores y de colonizadores que, en contacto con pueblos orientales de larga tradicin cultural, heredaron de ellos lo que ofrecan ms objetivo: el saber. Ese pueblo dispona adems de un idioma que una estupenda tradicin literaria, casi familiar, haba tornado bastante flexible como para permitirle lanzarse a nuevas aventuras. Si en esa tradicin figuraba un poeta pico como Homero, tambin inclua un poeta ms didctico como Hesodo y, por tanto, ms afn con el saber. Tambin pudo haber contribuido al movimiento de libacin la ndole especial de la religin griega, con su antropomorfismo y la vinculacin de sus mitos, dioses y cultos con fenmenos naturales, as como los juegos olmpicos, que se inician en el siglo VIII a. C. en los que lo colectivo, representado por sus facetas religiosas y nacionales, se combina con lo individual, encarnado en el reconocimiento de los propios mritos y en la libertad y valores personales. Por ltimo, cabe acentuar el carcter especial de la cuna del nuevo saber: la ciudad de Mileto, nudo de rutas comerciales y floreciente mercado, ubicada en las costas de una regin como el Asia Menor, rica en razas y culturas diferentes; factores todos que permitieron a los milesios ponerse en contacto con pueblos y problemas diversos que estimularon su actividad intelectual.

Notas complementarias (l) Las contribuciones geomtricas de Tales. Segn constancias posteriores, se atribuy a Tales la demostracin de los siguientes teoremas: Todo dimetro biseca a la circunferencia. Los ngulos en la base de un tringulo issceles son iguales. ngulos opuestos por el vrtice son iguales. Los ngulos inscritos en una semicircunferencia son rectos; y la resolucin de los problemas: Determinar la distancia de una nave al puerto. Determinar la altura de una pirmide

conociendo la sombra que proyecta: problemas cuya solucin exigi a su vez el conocimiento de la igualdad de los tringulos que tienen dos lados y el ngulo comprendido respectivamente iguales, y la proporcionalidad de los lados homlogos de dos tringulo, semejantes. Respecto de esta ltima propiedad cabe recordar que en papiros egipcios y en tablillas cuneiformes se encuentran aplicaciones numricas de las propiedades de los tringulos semejantes, pero tales aplicaciones prcticas no presuponen el conocimiento previo de la demostracin tericas de ellas. De ah que de atribuir alguna contribucin original de Tales al respecto, debera referirse a la deduccin racional de esas propiedades, pero nada de eso aparece en las referencias disponibles, donde a lo sumo se indica el mtodo utilizado, por ejemplo, midiendo la sombra proyectada por la pirmide en el instante en que la propia sombra del operador era igual a la altura de su cuerpo. Pero aun en este caso, fundado sobre un mtodo de comprobacin intuitiva, nada prueba que Tales haya demostrado el teorema que, con frecuencia, lleva su nombre en los textos elementales de geometra, pero cuya primera demostracin, nada fcil, aparece en el libro VI de los Elementos de Euclides. Al respecto de esta inconsistencia histrica cabe citar la feliz boutade del matemtico Flix Klein, quien recordaba que si un teorema lleva el nombre de un matemtico, es seguro que este matemtico no es su inventor. Tal cosa ocurre precisamente con el teorema de Tales y, puede agregarse, con el "teorema de Pitgoras"; el "binomio de Newton", el tringulo de Pascal...

Los pitagricos El juego de la razn y la ndole del ente primordial capaz de engendrar todas las cosas, son los fundamentos que caracterizan a las corrientes filosficas que alimentan el pensamiento helnico. En cierto sentido dirase que la geografa influy en esas corrientes. Mientras que de las colonias de Asia Menor provienen los "fisilogos"

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con su acentuada tendencia hacia "la naturaleza de las cosas", fincada en entes de consistencia natural: agua, aire, fuego...; de las colonias itlicas provendr una corriente ms mstica con un ente primordial de naturaleza ambivalente, como habitante de dos mundos: del mundo de la razn y del mundo de las cosas. Ese nuevo ente fue el nmero y sus artfices fueron los pitagricos o itlicos. Si las figuras de los fisilogos son legendarias, tambin lo es y quiz con mayor razn la de Pitgoras, filsofo que habra vivido a lo largo de gran parte del siglo VI a. C. y cuya vida y doctrinas han sido deformadas por la atmsfera mstica que las envolvi, contribuyendo sin duda a esa deformacin la imposicin del secreto y del silencio msticos que regan en la escuela que haba fundado Pitgoras, en especial, en lo referente a los conocimientos. Pitgoras y su escuela pertenecen por igual a la ciencia y a la filosofa, a la mstica y a la poltica; pues Pitgoras no fue slo un filsofo, sino tambin un sacerdote de ritos arcaicos y hasta un poltico, pues fueron las luchas polticas de mediado, del siglo V a. C. las que provocaron la destruccin de la escuela fundada por Pitgoras en Crotona (Italia) y la emigracin de los pitagricos y de sus doctrinas a la metrpoli, donde hacia esa poca comenzaron a difundirse. No es fcil reconstruir el camino que del misticismo pitagrico condujo a las verdades matemticas. Se ha querido ver una influencia del orfismo y del poder especial que ese mito otorgaba a la msica, as como a la vinculacin existente entre la armona musical y la armona reflejada en los nmeros, vinculacin fortalecida por el descubrimiento que se atribuye a Pitgoras de la relacin simple entre las longitudes de las cuerdas de la lira y los acordes de los sonidos emitidos por sus vibraciones. En efecto, cuando la longitud de la cuerda se reduca a la mitad, es decir, en la relacin 1:2, se obtena la octava; si en cambio las relaciones eran 3:4 2:3 se obtenan, respectivamente, la cuarta y la quinta. Si se agrega que en estas relaciones simples aparecen los cuatro primeros dgitos 1, 2, 3, 4, que a su vez dispuestos en forma de pila dibujaban el tringulo equiltero; y que su suma era 10, nmero mstico con propiedades geomtricas (por ejemplo, el nmero de caras y aristas del tetraedro), etctera, se

explica cmo esta combinacin de sonidos, nmeros y figuras convirti al nmero en "esencia de todas las cosas. Aristteles, que prefiere hablar de pitagricos, no de Pitgoras, expone de esta manera esa conclusin: "Los as llamados pitagricos, habindose aplicado a la matemtica fueron los primeros en hacerla progresar, y nutridos de ella creyeron que su principio fuera el de todas las cosas. Ya que los nmeros por su naturaleza son los primeros que se presentan en ella, les pareci observar en los nmeros semejanzas con los seres y con los fenmenos, mucho ms que en el fuego, o en la tierra o en el agua (por ejemplo, tal determinacin de los nmeros les pareca que era la justicia, tal otra el alma o la razn, aquella otra la oportunidad y, por as decir, anlogamente toda otra cosa), y como tambin vean en los nmeros las determinaciones y las proporciones de las armonas y como, por otra parte, les pareca que toda la naturaleza estaba por lo dems hecha a imagen de los nmeros, y que los nmeros son los primeros en la naturaleza, supusieron que los elementos de los nmeros fuesen los elementos de todos los seres y que el universo entero fuese armona y nmero. Y todas las concordancias que podan demostrar en los nmeros y en las armonas con las condiciones y partes del universo y con su ordenacin total, las recogieron y coordinaron". Es posible que un primer resultado de tal coordinacin y ordenacin, fuera el advenimiento de la matemtica, como ciencia, a la sombra de tal concepcin metafsica y aliado de tal mstica de los nmeros. Por lo menos esto es lo que se deducira de la frase de Proclo al afirmar que Pitgoras "transform el estudio de la geometra en una enseanza liberal remontndose a los principios generales y estudiando los teoremas abstractamente y con la inteligencia pura ... " De ser as, seria mrito de Pitgoras o de los pitagricos el de haber convertido el conjunto de los conocimientos matemticos en una estructura racional deductiva, con la introduccin de la demostracin como recurso caracterstico de la matemtica como ciencia. En cuanto al tratamiento de esta disciplina en la escuela pitagrica, se dispone de algunos datos, aunque por comentaristas tardos como San Hiplito del siglo III, quien refiere que en la secta pitagrica los adeptos se distinguan en novicios y en iniciados, Los primeros slo podan escuchar y callar (exotricos o acsticos), mientras que los

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segundos (esotricos o matemticos), podan hablar y expresar lo que pensaban acerca de las cuestiones cientficas de las que se ocupaba la escuela. De ah que sea probable que se deba a los pitagricos el nombre de la nueva ciencia: matemtica (de mathemata = ciencias) que significa algo que puede aprenderse. Tambin informa San Hiplito acerca de su contenido al decir que los pitagricos mezclaban astronoma y geometra, aritmtica y msica. Proclo, un par de siglos despus, es ms explcito al expresar que los pitagricos distinguan en la matemtica cuatro ramas: la aritmtica (de aritmein = contar) que consideraba al nmero en s, debindose entender por nmero, entre los griegos, nuestros nmeros enteros y faccionarios positivos; (1) la geometra, que consideraba la cantidad ya no discreta sino continua pero tambin en s, perdiendo as en consecuencia la palabra geometra su antiguo sentido etimolgico de "medir la tierra"; (2) la msica, como estudio de la cantidad discreta, pero no en s sino en sus relaciones mutuas; y la astronoma, como estudio de la cantidad continua, no en s sino en movimiento. Ya hicimos referencia al llamado "teorema de Pitgoras" que los babilnicos conocan, as como su consecuencia numrica: la ley general de formacin de los "tripletes pitagricos". Es posible que los pitagricos demostraran el teorema, probablemente por descomposicin de figuras, aunque en el estudio de los "triplete no lograron la generalidad de los babilonios. (3) Fue el conocimiento de un caso particular del teorema de Pitgoras, quien aport una consecuencia importante para el destino de la secta cuando no de la matemtica toda: el descubrimiento de los irracionales, es decir, el descubrimiento de pares de cantidades diferentes, tales que la mayor no es mltiplo de la menor ni mltiplo de una parte de la menor; y por tanto cuya razn no resulta expresable mediante un nmero entero ni fraccionario. Si se piensa que los griegos no conocieron otra clase de nmeros y que la matemtica pitagrica exiga que el nmero era la esencia de todas las cosas, se explica que para los pitagricos aquellas cosas simplemente no existan; el hecho de presentarse en figuras consideradas perfectas, como el cuadrado o muy simples, como el tringulo rectngulo issceles, as como el carcter tajante y categrico de la demostracin que probablemente se desarroll en el seno de la escuela, tornaron

an ms desconcertante el descubrimiento; el hecho es que varias leyendas rodean al suceso, y el secreto se impuso al descubrimiento. (4) Una visin de conjunto de las contribuciones matemticas que se atribuyen a los pitagricos produce una impresin ms bien extraa, en vista de que las contribuciones ms importantes y numerosas son geomtricas, mientras que las contribuciones aritmticas son pobres y escasas, hecho de visos ms bien paradjicos si se piensa en la concepcin pitagrica de la omnipotencia del nmero, esencia de todas las cosas. Una solucin de esta aparente contradiccin ha sido dada ltimamente como consecuencia del desciframiento de las tablillas cuneiformes de este siglo. En efecto, segn Neugebauer "lo que se llama pitagrico en la tradicin griega debera probablemente ser llamado babilonio", pues los pitagricos habrn bebido sus conocimientos matemticos en la aritmtica y en el lgebra de los babilonios, pero es natural que imprimieran a esos conocimientos su propio estilo, es decir "el carcter especficamente griego", como se expresa Van der Waerden, anteponiendo al mero carcter operativo e instrumental de los babilonios el rigor lgico y la demostracin matemtica. Y fue en esa tarea, que el comienzo no encontrara contradiccin con la propia metafsica, cuando chocaron con el "escndalo de los irracionales", que los oblig a torcer el rumbo de sus investigaciones abandonando el campo de la aritmtica donde los irracionales cerraban el paso a todo proceso, y transformando las consideraciones aritmticas y algebraicas en cuestiones de ndole geomtrica.

Notas complementarias (1) La aritmtica pitagrica. Dejando de lado todos los fantsticos atributos que los pitagricos concedan a ciertos nmeros, consideremos algunos resultados positivos que se atribuyen a los pitagricos en el campo de la aritmtica. Por lo pronto, se les debe la

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distincin entre la aritmtica como ciencia o teora de los nmeros y la logstica como arte o prctica de clculo, separando netamente los nmeros abstractos, esencia de las cosas, de las cantidades concretas, que el hombre maneja en sus transacciones comerciales y en los menesteres ordinarios de la vida. Tambin se les debe la clasificacin de los nmeros en vista de sus propiedades aritmticas: pares e impares, perfectos, amigos. Nuestro lxico actual conserva reminiscencias pitagricas; las palabras cuadrado y cubo mantienen su doble acepcin de nmero y de figura en ingls figure es tambin cifra. En cambio expresiones de indudable origen pitagrico como las de los "nmeros figurados": triangulares, pentagonales, poligonales, no conservan sino un inters histrico, aunque ha sido esta aritmogeometra de los nmeros figurados el origen de las primeras propiedades de la teora de nmeros.

Vase en la figura siguiente un nmero de puntos rectangular tal que el nmero de un lado (la altura) supera en una unidad al otro (la base). Si se descompone en escuadras de carpintero, en la forma indicada por la figura, cada escuadra, o gnomon segn la nomenclatura griega, contiene un nmero par, de ah la propiedad: la suma de los primeros n nmeros pares sucesivos es el producto de este nmero por el sucesivo. Si se supone eliminada la fila inferior, el rectngulo se convierte en un cuadrado y cada gnomon contiene ahora un nmero impar, de ah la propiedad: la suma de los primeros n nmeros impares es el cuadrado n de ese nmero. Por ltimo, si se supone

bifurcado el nmero rectangular por la lnea de puntos, cada mitad se convierte en un nmero triangular y de ah la propiedad: la suma de los primeros n nmeros sucesivos es el semiproducto de ese nmero por el sucesivo. En la figura n = 6, de ah que la suma de los primeros seis pares es n ( n + l ) = 42; la suma de los primeros seis impares es n = 36; y la suma de los primeros seis sucesivos es n ( n + 1 ) = 21. Tambin se atribuye a los pitagricos el conocimiento de las tres medias: aritmtica, geomtrica y armnica. Esta ltima designacin, resto fsil de las contribuciones de los pitagricos que an se emplea en matemtica, proviene de que las razones que caracterizan la octava, la quinta y la cuarta musicales pueden formarse con la terna 6, 8, 12 que constituye una terna en progresin armnica. Con nuestros smbolos si, c y h son, respectivamente, las medias aritmtica Y armnica de los nmeros a y b, ser c a = b c ; ( h a ) : a = ( b h ) : b o sea c = ( a + b ) y h = 2ab : ( a + b ). Por otra parte, se atribuye a los pitagricos la llamada proporcin musical (que segn una referencia Pitgoras habra trado de Babilonia), que expresa a:c = h:b, o con nuestro lxico: la media geomtrica de dos nmeros es la media geomtrica de sus medias aritmtica y armnica. (2) La geometra de los pitagricos. Dos tendencias presiden la geometra de los pitagricos: por un lado, el sentido de armona universal que campea en su metafsica y, por el otro, la preocupacin casi exclusiva por el estudio de las propiedades de figuras concretas, planas o slidas, probable herencia de conocimientos orientales pero ahora, claro es, amasados con el mtodo deductivo. De tal combinacin surge la preferencia que se advierte en la geometra pitagrica por los polgonos y poliedros regulares. As es de origen pitagrico el teorema que enumera las escasas posibilidades (tringulos, cuadrados, hexgonos) de llenar un rea con polgonos regulares. En cambio, la construccin geomtrica de esos polgonos exige mayores conocimientos. Si bien tal construccin es muy sencilla cuando se trata del cuadrado y del hexgono: y de los infinitos polgonos que derivan de ellos, la cosa no es tan simple cuando se trata del pentgono. Se sabe, por comentaristas muy posteriores, que los pitagricos utilizaban, como smbolo de reconocimiento de la

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secta, un pentgono cncavo: la estrella de cinco puntas que es un pentgono regular, cuya construccin por tanto conocan. Esa construccin es un caso particular de un grupo de problemas, caractersticos de la geometra griega, llamados de "aplicacin de reas" y precisamente se sabe por referencias de Proclo que el aristotlico Eudemo de Rodas atribua a los pitagricos el descubrimiento y conocimiento de ese tipo de problemas. Pero hoy sabemos algo ms pues, en virtud de los conocimientos matemticos revelados por las tablillas cuneiformes descifradas en este siglo, se comprueba (que muchos problemas numricos resueltos por los matemticos babilonios no son sino la contraparte algebraica de los problemas de "aplicacin de reas", circunstancia que pone de relieve una vinculacin, sobre la base efectiva de la naturaleza de los problemas, entre la matemtica de los babilonios y la de los pitagricos. Un ejemplo tpico es el problema de dividir un segmento en media y extrema razn, que encierra la posibilidad de la construccin del pentgono regular. Se trata de dividir un segmento dado en dos partes de manera tal que el cuadrado construido sobre la parte mayor sea equivalente al rectngulo cuyos lados son el segmento dado y la parte menor. Una simple transformacin de figuras permite reducir el problema a la determinacin de un rectngulo conociendo su rea y la diferencia entre sus lados, problema que traducido aritmticamente consiste en determinar dos nmeros conociendo su producto y su diferencia, tpico problema del lgebra de los babilonios. En cuanto al conocimiento y construccin de los poliedros regulares parece natural que los pitagricos se interesaran por estos cuerpos simtricos y "armoniosos"; inters que se trasmiti a Platn proporcionndole las bases materiales de su cosmogona, como lo revela la denominacin de cuerpos platnicos que se ha dado a los poliedros regulares, aunque en un "escolio" del ltimo libro de los Elementos de Euclides se agrega que estos cuerpos no se deben a Platn, pues tres de ellos: el cubo, el tetraedro y el dodecaedro se deben a los pitagricos, mientras que el octaedro y el icosaedro se deben a Teeteto. De todas maneras los poliedros regulares, todos o no, constituyeron uno de los temas de la geometra pitagrica.

(3) El teorema de Pitgoras y la ecuacin pitagrica. Despus del desciframiento de las tablillas de los babilonios de este siglo, es sabido que los babilonios no slo conocieron el "teorema de Pitgoras", que aplicaron en la resolucin de problemas, sino que tuvieron tambin un conocimiento completo de los tripletes pitagricos, es decir, de la solucin en nmeros enteros de la llamada ecuacin pitagrica: x + y = z. No obstante, puede an mantenerse la opinin del historiador de la matemtica Zeuthen, quien sostuvo que ese teorema constituy el origen de la geometra racional en la escuela pitagrica y que las deducciones que paulatinamente fue realizando la escuela tuvieron por objeto lograr una demostracin general del teorema, advertida su verdad en casos particulares. En cuanto a la ecuacin pitagrica se atribuye a la escuela la solucin particular

x = ( n - 1 ) ; y = n ; z = 1/2 ( n + 1 ) ; con n impar, solucin que probablemente dedujeron de la propiedad conocida de ser todo nmero impar diferencia de dos cuadrados, de manera que si, a su vez, ese impar es un cuadrado, queda satisfecha la ecuacin. (4) El descubrimiento de los Irracionales. La demostracin que trae Aristteles en uno de sus escritos alude al descubrimiento de la

irracionalidad del nmero que hoy expresamos como . En efecto, un caso particular del teorema de Pitgoras muy fcil de demostrar independientemente del caso general, comprobada que el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles era el doble del cuadrado construido sobre cualquiera de los dos catetos. Era claro que la hipotenusa no poda ser mltiplo del cateto, pues era mayor que l, pero menor que su doble, de ah (que la razn entre la hipotenusa y el cateto deba ser un mltiplo m de la parte n del cateto, siendo m y n nmeros primos entre s y, por tanto, no podan ser ambos, pares. Ahora bien, de la propiedad que hoy expresaramos m = 2n es fcil deducir que m, por contener el factor 2, debe ser par, tambin lo ha de ser entonces su cuadrado y por contener este el factor 4, n ha de contener el factor 2 y, por tanto, tambin n, ha de ser par, luego n y m son ambos pares, contradiccin que implicaba la inexistencia de m y n.

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Los eleatas El siglo V a. C. fue el gran siglo griego, el "siglo de Pericles, el siglo del auge de las artes plsticas y literarias, de la msica y del teatro, el siglo en el cual la filosofa, superado el empirismo de los fisilogos y el misticismo de los pitagricos, se dirige hacia los problemas que han de constituir sus futuros temas de investigacin: los problemas lgicos, la metafsica, la teora del conocimiento, la tica; temas que en buena medida se vinculan con la matemtica, primer esfuerzo cientfico concreto de los griegos. La primera figura, cronolgicamente, de la filosofa griega del siglo V es Parmnides de Elea, que se habra formado en la escuela de esa colonia italiana: aunque una antigua leyenda asegura que Parmnides fue instruido por un pitagrico. Con Parmnides se presenta un nuevo protagonista en el pensamiento reflexivo: es el juego de la razn con el proceso dialctico del pensar, surgiendo como primer producto de ese proceso la distincin entre la apariencia y la esencia de las cosas. Segn Parmnides, frente a la realidad sensible que percibimos, cambiante y efmera, existe la realidad eterna, inmutable e inmvil del ser. La ciencia ha de buscar esa realidad detrs de las apariencias del mundo de los sentidos y distinguir la verdad (el ser) de la opinin (el no ser). Sin duda que en su poema Sobre la naturaleza, exento en tono proftico y alegrico, Parmnides no seala el camino para llegar a la verdad, pero no es menos indudable que con l se inicia la crtica del conocimiento y se introduce en la construccin cientfica un rigor lgico que busca y trata de encontrarlo en el poder racional del hombre, el carcter de permanencia que otorga al conocimiento su esencia, su objetividad, y en su discpulo Zenn de Elea puede advertirse con qu eficacia se esgrime ese poder mediante sus clsicos argumentos (1) en contra de la pluralidad y del movimiento, argumentos de tinte paradjico que se han interpretado como crticas dirigidas a las concepciones pitagricas, al denunciar los absurdos que implicaba la concepcin de los cuerpos como suma de puntos, del tiempo como suma de instantes, del movimiento como suma de pasajes de un lugar a otro.

Las crticas de Zenn no dejaron de tener influencia en el desarrollo ulterior de la matemtica. Por lo pronto, introduce la continuidad, como una de las notas del ser, y elimina as la discontinuidad que haba procurado a los pitagricos "el escndalo de los irracionales". Por lo dems, la dicotoma del ser y no ser sienta las bases del principio lgico de no contradiccin" de perdurables consecuencias en el proceso discursivo, en especial en la matemtica donde dar lugar a un recurso de demostracin: el mtodo de reduccin al absurdo.

Notas complementarias

(1) Los argumentos de Zenn. La importancia matemtica de los argumentos de Zenn no reside slo en el concreto significado matemtico que algunos de ellos poseen, sino en el hecho de que, al tomar como blanco de sus ataques la concepcin pitagrica y en especial los conceptos matemticos en ella implicados, ha contribuido a forjar la concepcin racional de los entes geomtricos fundamentales, tal como se presentar ms adelante. As, en sus argumentos en contra de la pluralidad refuta la hiptesis de estar compuestas las magnitudes geomtricas de elementos indivisibles y extensos. En efecto, tal hiptesis conduce a un absurdo pues si algo est compuesto de elementos indivisibles, stos no tienen extensin y un conjunto de elementos inextensos, por grande que sea su nmero, no puede dar sino una cantidad inextensa, es decir, nula. Por otra parte, las unidades que componen toda pluralidad deben estar separadas entre s por algo, entre este algo y la unidad anterior debe haber a su vez otro algo (el vaco no existe), y as sucesivamente, de manera que un conjunto de infinitos elementos no puede dar sino una cantidad infinita. Luego toda pluralidad es nula e infinita al mismo tiempo. Tambin los cuatro argumentos en contra del movimiento: la dicotoma, el Aquiles, la flecha en el aire y el estadio, van dirigidos a combatir la tesis de los pitagricos. Veamos el Aquiles, que es el argumento de contornos ms dramticos. Aquiles, "el de los pies

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ligeros", no alcanzar la lenta tortuga, por escasa que sea la distancia con la que la tortuga precede al corredor. Pues, cuando Aquiles ha recorrido esa distancia y llega donde estaba la tortuga, sta estar en un lugar algo ms adelante; cuando Aquiles llegue a ese lugar la tortuga habr avanzado otro poco y as sucesivamente. De ah que la conclusin es evidentemente absurda: de suponer finito el nmero de lugares, Aquiles no alcanzar jams a la tortuga, de suponerlo infinito, el lugar del encuentro existe, pero ms all de esos infinitos lugares. Los dos argumentos anteriores, as como algn otro, aluden a la divisibilidad infinita de las cantidades y ponen por tanto en evidencia el peligro que entraaba el manejo poco cuidadoso de un concepto tan vago y riesgoso como el infinito, de ah que sea probable que otra de las consecuencias indirectas de las crticas de Zenn fuera esa carac