Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt

By Yuwono MD

Himpunan Ortonormal

Ruang Hasil Kali Dalam Jk u = (u1, u2, u3, …, un) dan v = (v1, v2, v3, …,vn)

adalah vektor-vektor dalam Rn, maka rumus :

<u,v> = u.v = u1v1+ u2v2+ … unvn

Mendefinisikan <u,v> sebagai hasil kali dalam Eucledian pada Rn.

Teorema :

Jk u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam real, dan k adalah sebarang skalar, maka :

1. <0,v> = <v,0> = 0

2. <u,v+w> = <u,v> + <u,w>

3. <u,kv>= k <u,v>

4. <u-v,w> = <u,w> - <v,w>

5. <u,v-w> = <u,v> - <u,w>

Sifat :

1. <u,v> = <v,u>

2. <u+v,w> = <u,w> + <v,w>

3. <ku,v> = k <u,v>

4. <v,v> 0

5. ||u|| = <u,u>

Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real <u,v> dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V dengan cara sedemikian sehingga sifat-sifat berikut ini dipenuhi untuk semua vektor u,v dan w dalam V dan semua skalar k:

1/2

contoh

Anggap u=(u1,u2) dan v= (v1,v2) adalah vektor dalam R2. Tunjukkanlah bahwa hasil kali dalam Euclidean : <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi keempat sifat hasil kali dalam.

Jawaban :

Sifat 1 <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = <u,v>

Sifat 2 <u+v,w> = <u,w> + <v,w>, jika w = < w1,w2 >, maka : <u+v,w> = 3(u1+v1)w1 + 2(u2+v2)w2

= (3u1w1+3v1w1) + (2u2w2+2v2w2)

= (3u1w1+2u2w2) + (3v1w1+2v2w2) = <u,w> + <v,w>

Jawaban

Sifat 3 : <ku,v> = k <u,v> <ku,v> = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2

= k (3u1v1+ 2u2v2)

= k <u,v>

Sifat 4 : <v,v> 0 <v,v> = (3v1v1+ 2v2v2) = 3v1

2+ 2v22

Jelas < v,v > = 3v12+ 2v2

2 0

Jadi terbukti bahwa <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi ke 4 sifat hasil kali dalam

Himpunan Orthogonal dan himpunan Orthonormal

Orthogonal Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali

dalam < u,v > = 0 Definisi 1 : suatu himpunan vektor dalam suatu

ruang hasil kali dalam di sebut suatu himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan ortogonal tersebut.

Contoh :

Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1) tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan orthogonal !

Definisi 2: Suatu himpunan orthogonal dimana masing-masing anggotanya mempunyai norma = 1, di sebut ortonormal.

Example : Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1)

tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal !

Langkah : A. selidiki apakah S = {u,v,w} merupakan himpunan

ortogonal B. selidiki norma tiap vektor yang ada, apakah = 1

Soal

u = v = dan w =

Tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal !

Teorema

Jika S={v1, v2, v3,…. vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka akan membentuk suatu kombinasi linear sbb : u = <u, v1 >v1 + <u, v2 >v2 + ….+ <u, vn >vn

Contoh :

Jika S={v1, v2, v3}, dimana v1= (0,1,0),

v2 = (-4/5,0,3/5), v3 = (3/5,0,4/5) merupakan himpunan orthonormal (buktikan)

Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai suatu kombinasi linear dari vektor dalam S.

Proses Gram Schmidt - PGS

Suatu himpunan yang bukan ortonormal, dapat diubah menjadi himpunan ortonormal dengan menggunakan Proses Gram Schmidt

Langkah PGS : Langkah 1 : v1 =

Langkah 2 : v2 =

Langkah 3 : v3 =

Dst….

Soal

Diketahui : himpunan vektor S={u1, u2, u3}

dimana u1= (1,-1,1) u2= (1,0,1) u3= (1,1,2).

Tentukan : Apakah merupakan himpunan orthonormal? Jika tidak, gunakan PGS untuk mengubah menjadi

himpunan orthonormal.