hasil tugas akhir -...

Analisis Stabilitas dan Sensitivitas Model

Epidemik Flu Burung pada Unggas-Manusia

dengan Vaksinasi

Oleh :

Wahyuni Ningsih

(1209 100 707)

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

2013

Dosen Pembimbing:

Drs. M. Setijo Winarko M.Si

Dra. Nuri Wahyuningsih M.Kes

HASIL TUGAS AKHIR

25/07/2013 1

Virus

Flu Burung (Avian Influenza)

Sumber : Data kumulatif flu burung 2003-2013, WHO, 4 Juni 2013

Vaksinasi Model Epidemik Flu Burung pada

Unggas –Manusia dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas & Sensitivitas

Seminar Tugas Akhir Wahyuni Ningsih (1209100707)

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan Masalah

Tujuan

Manfaat

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI PENELITIAN

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

25/07/2013 2

1. Bagaimana cara mendapatkan bilangan reproduksi dasar dari model

epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi?

2. Bagaimana hasil analisis stabilitas lokal dan analisis sensitivitas

parameter dari titik setimbang model epidemik flu burung pada

unggas-manusia dengan vaksinasi?

3. Bagaimana hasil simulasi dari model epidemik flu burung pada unggas-

manusia dengan vaksinasi dan interpretasinya?

Wahyuni Ningsih (1209100707)

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan Masalah

Tujuan

Manfaat

Seminar Tugas Akhir 25/07/2013 3

1. Model epidemik yang dikaji dan dianalisis adalah model epidemik

campuran flu burung pada populasi unggas yang menyebarkan dan

menularkan ke populasi manusia dengan tambahan subpopulasi

manusia yang berada dibawah pengaruh vaksinasi.

2. Simulasi model dilakukan dengan menggunakan MATLAB.


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan Masalah

Tujuan

Manfaat


1. Mendapatkan bilangan reproduksi dasar dari model epidemik flu

burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi.

2. Mendapatkan hasil analisis stabilitas lokal dan analisis sensitivitas

parameter dari titik setimbang model epidemik flu burung pada

unggas-manusia dengan vaksinasi.

3. Mengetahui hasil simulasi dari model epidemik flu burung pada unggas-

manusia dengan vaksinasi dan interpretasinya.


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan Masalah

Tujuan

Manfaat


1. Dapat mengetahui parameter-parameter atau faktor-faktor apa saja

yang berpengaruh terhadap transmisi dinamik penyakit virus flu

burung pada populasi unggas-manusia.

2. Diharapkan dapat menjadi bahan rujukan bagi peneliti maupun pihak

yang bergerak dibidang biologi untuk melakukan langkah yang tepat

agar tingkat penyebaran wabah flu burung dapat diminimalkan.


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan Masalah

Tujuan

Manfaat

25/07/2013 6

Jenis penyakit menular (endemik) dan bersifat pandemik

tergolong virus influenza tipe A dengan subtipe H5N1

bersifat highly pathogenic dengan tingkat kematian 100% pada unggas, dan

>70% pada manusia

Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen

Bilangan Reproduksi Dasar

Titik Setimbang

Stabilitas Asimtotis Lokal

Kestabilan Routh-Hurwitz

Analisis Sensitivitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

25/07/2013 7

proses dimana seseorang dibuat kebal terhadap penyakit menular,

biasasanya dengan pemberian vaksin.

Vaksin sendiri merupakan suatu senyawa antigen yang berfungsi untuk

meningkatkan imunitas tubuh terhadap serangan bakteri/virus atau

untuk mencegah penyakit.

Pada penelitian kali ini, populasi yang diberi vaksin (dilakukan vaksinasi)

adalah populasi manusia dengan beberapa asumsi parameter yang

mempengaruhi populasi tersebut.


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

25/07/2013 8

Populasi individu manusia yang rentan terhadap penyakit (susceptible )

Populasi individu manusia dibawah pengaruh vaksinasi (vaccinatted)

Populasi individu manusia yang terinfeksi penyakit (infected)

Populasi individu manusia yang sembuh dengan kekebalan sementara (recovered)

Populasi individu unggas yang rentan terhadap penyakit (susceptible )

Populasi individu unggas yang terinfeksi penyakit (infected)

laju kelahiran dan kematian alami pada manusia yang besarnya dianggap sama

(1)


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


laju kelahiran dan kematian alami pada unggas yang besarnya dianggap sama

bagian dari populasi manusia yang mendapatkan pemberian obat pencegahan

flu laju menurunnya vaksin berdasarkan kekebalan pada populasi manusia

laju hilangnya kekebalan akibat infeksi pada populasi manusia

laju kesembuhan populasi manusia dari infeksi

Laju kontak rata-rata antara dengan



Semua parameter tersebut bernilai positif , dengan


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Suatu sistem yang menunjukkan adanya interaksi antar populasi

dalam suatu ruang lingkup tertentu

Konstanta K dapat disebut sebagai banyaknya angka kelahiran atau imigrasi

pada populasi . Konstanta q dapat disebut sebagai banyaknya angka kematian

pada populasi X, begitu juga dengan konstanta r dapat disebut sebagai

banyaknya angka kematian pada populasi Y. Sementara dan menunjukkan

interaksi yang dilakukan oleh kedua populasi tersebut. Interaksi ini dapat

terjadi antara populasi mangsa dan pemangsa, penyebaran penyakit, atau

bentuk interaksi lainnya.


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


parameter yang digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu

penyakit.

menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular

individu infektif primer yang berlangsung pada populasi susceptible.

jika maka terjadi titik kesetimbangan bebas penyakit

jika maka terjadi titik kesetimbangan endemik


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Titik disebut titik setimbang dari persamaan

Jika memenuhi dan . Sehingga titik setimbang yang

dihasilkan berupa fungsi konstan dan untuk


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


stabilitas dari suatu sistem linear atau stabilitas dari linearisasi sistem

tak linear

ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik (nilai

eigen) matriks Jacobian yang dihitung disekitar titik setimbang

Linearisasi

Melinearkan suatu sistem persamaan diferensial tak linear

Dengan cara mencari pendekatan linier di sekitar titik setimbang

persamaan diferensial tak linier menggunakan ekspansi deret Taylor

Dengan pemisalan, didapatkan bentuk sederhana dari sistem

kemudian diperoleh matriks jacobian


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Jika dimisalkan

sehingga hasil linearisasi dari persamaan diferensial tak linier

Dalam bentuk matriks dapat ditulis

dengan Matriks Jacobian

dengan


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Akar-akar dari Persamaan Karakteristik

Definisi 1

Jika J adalah matriks yang berukuran maka vektor tak nol dinamakan

vektor karakteristik dari J yang memenuhi untuk skalar disebut nilai

karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan

Teorema 1 [8]

Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik

matriks

mempunyai bagian real negatif.

Untuk mendapatkan , maka persamaan menjadi dan

mempunyai penyelesaian nontrivial jika dan hanya jika


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


metode untuk mengetahui kestabilan sistem dengan tanpa menghitung akar-akar

karakteristik secara langsung.

untuk menentukan bagian real dari akar karakteristik dari matriks yang berukuran

dengan

diberikan persamaan karakteristik

Susunan koefisien persamaan karakteristiknya yaitu

dengan


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


cara untuk menentukan bagaimana nilai yang berbeda dari variable bebas akan

berdampak pada variable tak bebas dibawah suatu asumsi

Analisis ini akan dilakukan pada persamaan titik keseimbangan endemik

Hal ini dilakukan untuk mengidentifikasi parameter-parameter yang sensitif, dan

estimasi pada parameter-parameter tersebut akan berhenti ketika tingkat ketelitian

terpenuhi

diharapkan akan diketahui paramater yang mana yang lebih berpengaruh terhadap

tingkat setimbang dari populasi manusia yang rentan , populasi manusia dibawah

pengaruh vaksinasi , populasi manusia yang terjangkit penyakit , dan populasi unggas

yang terjangkit penyakit


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Secara umum, analisis sensitivitas dilakukan dengan [10]:

Mendefinisikan model yaitu menentukan variabel bebas dan tak bebas.

Menetapkan kemungkinan nilai fungsi input untuk tiap parameter

Menghasilkan suatu matrix input melalui sebuah metode sampling random,

menghitung vektor output

Menilai pengaruh dan kepentingan relatif dari setiap hubungan input/output


Flu Burung

Vaksinasi

Model Matematika

Sistem Kompartemen


Titik Setimbang




PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Studi Literatur

Menentukan Titik Setimbang

Menentukan Kestabilan

Simulasi dan Analisis

Penarikan Kesimpulan dan Saran


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Kesimpulan dan Saran

Selesai


Simulasi

Analisis Stabilitas

Lokal

Routh-Hurwitz

Menentukan

Stabilitas Lokal

Nilai eigen

Mulai

Deskripsi Model

Normalisasi Model

Mencari Titik

Setimbang

Titik Setimbang

Bebas Penyakit Titik Setimbang

Endemik

Mencari Bilangan

Reproduksi Dasar

Gambar. Diagram Alir Menyelesaikan Model Epidemik Flu Burung pada

Unggas-Manusia dengan Vaksinasi 25/07/2013 21

Gambar 1. Diagram Kompartemen Model Penyebaran Virus

Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan Vaksinasi


Model Epidemik Flu Burung pada Unggas-Manusia

dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas

Simulasi dan Analisa

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Dalam melakukan analisis stabilitas model epidemik, ada beberapa langkah yang dilakukan

yaitu :

1. Normalisasi Model

Normalisasi ini dimaksudkan agar setiap besaran pada model tidak memiliki dimensi

sehingga dapat memudahkan dalam menganalisa sistem. Didefinisikan :

Jumlah total populasi manusia

Substitusi sistem (1) ke (3), menjadi

(2)

(3)



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Karena maka dapat dikatakan bahwa bernilai konstan. Substitusi (2) ke (3)

Jumlah total populasi unggas

Substitusi (1) ke (5)

Karena maka dapat dikatakan bahwa bernilai konstan. Substitusi (2) ke (5)

a. Populasi

(4)

(5)

(6)

(7)



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA



dengan

b. Populasi

c. Populasi

(8)

(9)



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


d. Populasi

dengan daerah batas penyelesaian

2. Titik Setimbang

a. Titik setimbang bebas penyakit

karena , maka

Sehingga didapat

(10)

(11)



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


b. Titik setimbang endemik

karena dan , maka

dengan adalah bilangan reproduksi dasar. Substitusi (11) ke (9), didapatkan

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Selanjutnya (10) menjadi

Substitusi (11) dan (12) ke dalam (13) sehingga didapat


Substitusi (11), (12), dan (15) ke dalam (8)

3. Analisis Stabilitas Lokal

Misal :

(17)

(18)

(19)

(20)



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Selanjutnya dilakukan ekspansi Deret Taylor di sekitar titik setimbang untuk

mendapatkan matriks Jacobian

Didefinisikan

Sehingga ekspansi Deret Taylor diatas menjadi

diperoleh matriks Jacobian yaitu



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


a. Analisis Stabilitas Titik Setimbang Bebas Penyakit

Matriks Jacobiannya yaitu

Hasil dari determinannya didapatkan persamaan karakteristik

Diperoleh akar-akar karakteristik

b. Analisis Stabilitas Titik Setimbang Endemik

Matriks Jaobiannya yaitu

Hasil dari determinannya didapatkan persamaan karakteristik

Diperoleh akar-akar karakteristik

dan dicari dengan menggunakan teori kestabilan Routh-Hurwitz.



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Misalkan dan

Didapatkan nilai

Terlihat bahwa variabel pada kolom pertama tabel Routh-Hurwitz tersebut memiliki

tanda yang sama yaitu tanda negatif. Jika maka titik setimbang endemik

bersifat stabil.


dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

Seminar Tugas Akhir 25/07/2013 Wahyuni Ningsih (1209100707) 31

Didefinisikan nilai dari setiap parameter dan nilai awal dari tiap populasi

per tahun,

per hari,

per tahun*orang*ekor,

per tahun*orang*ekor,

per hari*ekor,

per tahun

per tahun

per tahun

Didapatkan titik setimbang endemik dan bilangan reproduksi dasar yaitu


Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, analisis sensitivitas ini dilakukan dengan menginputkan

nilai secara random terhadap tiap parameter. Berikut ditunjukkan grafik populasi terhadap waktu

setelah diinputkan nilai yang berbeda kedalam parameter

Gambar. Grafik sebaran populasi terhadap waktu



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA




dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

Seminar Tugas Akhir

Grafik populasi terhadap waktu

dengan variasi nilai input parameter











33 25/07/2013

Simulasi ini juga dilakukan terhadap parameter dan . Serta

dilakukan terhadap tiap populasi. Untuk lebih jelasnya dapat ditunjukkan

pada tabel berikut ini.

Simulasi ini dilakukan dengan menggunakan GUI MATLAB .

Berdasarkan hasil analisa sensitivitas terhadap grafik dan tabel tersebut,

dapat disimpulkan bahwa parameter-parameter yang berpengaruh

terhadap arah penyebaran virus flu burung pada populasi unggas dan

manusia yaitu dan .

Tabel Analisis Sensitivitas



dengan Vaksinasi

Analisis Stabilitas


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


../kelengkapan penting/Gui Analisis Sensitivitas.docx



C:/Users/wahyuningsih/Documents/MATLAB/Tugas Anfung TD/simulasi TA yuni/Home.m




../kelengkapan penting/Tabel Analisis Sensitivitas.docx

Berdasarkan hasil analisa model epidemik beserta simulasinya, didapatkan kesimpulan sebagai

berikut :

1. Model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi pada (1), didapatkan

bilangan reproduksi dasar yaitu

2. Didapatkan titik setimbang dari model epidemik flu burung yaitu

a. titik setimbang bebas penyakit

dengan

b. titik setimbang endemik

dengan

3. Titik setimbang bebas penyakit model epidemik bersifat stabil jika . Dalam artian bahwa

saat tidak terjadi penyebaran penyakit virus flu burung. Dan titik setimbang endemik

bersifat stabil jika . Dengan kata lain bahwa masih terjadi penyebaran penyakit virus flu

burung saat .


KESIMPULAN

SARAN

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


4.

5. Dengan melakukan variasi nilai input dari masing-masing parameter maka

didapatkan parameter sensitif. Dengan kata lain parameter-parameter sensitif

tersebut memberikan pengaruh yang cukup besar terhadap arah penyebaran

penyakit virus flu burung baik pada populasi unggas maupun pada populasi

manusia. Parameter-parameter sensitif tersebut ialah laju kelahiran dan laju

kematian pada subpopulasi manusia , laju kelahiran dan laju kematian pada

subpopulasi unggas laju kontak rata-rata populasi laju kontak rata-

rata populasi , laju kontak rata-rata populasi , serta laju

kesembuhan dari infeksi .


KESIMPULAN

SARAN

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


Pada tugas akhir ini hanya mengkaji analisa stabilitas lokal, dan

analisa sensitivitas. Diharapkan pada penelitian selanjutnya

akan ditambahkan dengan analisa stabilitas global, serta

dilakukan pengendalian optimal untuk mengendalikan

penyebaran virus flu burung.


KESIMPULAN

SARAN

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


[1 ] WHO, H5N1 Avian Influenza : Timeline of Major Events. 17 December 2012.

http://www.who.int/influenza/H5N1_avian_influenza_update_20121217b.pdf. Diakses pada tanggal 21

Desember 2012, pukul 10.00 WIB

[2] DEPKES RI, Laporan Kasus Fu Burung 192. 12 Desember 2012.

http://www.depkes.go.id/index.php/berita/press-release/2173-laporan-kasus-flu-burung-192.html

Diakses pada tanggal 21 Desember 2012, pukul 10.00 WIB

[ ] Liu, X., Takeu hi, Y., I a i, “. . “VIR epide i odels ith a i atio st ategies . Journal of

Theoretical Biology.

[ ] Aga al, M., da Ve a, V. . A A ia -Hu a I flue za Epide i Model ith Va i atio . Journal of Applied Sciences. Vol 5 (6). Hal : 451-458.

[ ] Rah alia, D. . Pe odela Mate atika da A alisa “ta ilitas da i Pe ye a a Pe yakit Flu Bu u g . “u a aya : I stitut Tek ologi “epuluh Nope e .

[ ] Tasli a. . Ke dali Opti al pada Pe egaha Wa ah Flu Bu u g de ga Eli i asi, Ka a ti a, da Pe go ata . “u a aya : I stitut Tek ologi “epuluh Nope e .

[ ] Ea , D. J. D., Dushoff, J., da Le i , “. A. . E ology a d e olutio of the flu , T e ds E ol. E ol., 17, Hal : 334-340.

[8] Finizio, N., dan Landas, G. (1988). Ordinary Differential Equations with Modern Applications .

California: Wadsworth Publishing Company.

[9] Li da J.“. Alle . . A I t odu tio to: Mathe ati al Biology . U ited “tates: P e ti e Hall. [ ] Ha y, D. M. 99 . A Re ie of Te h i ues fo Pa a ete “e siti ity A alysis of E i o e tal

Models . Nethe la ds : Klu e A ade i Pu lishe .


PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA



PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA


http://www.who.int/influenza/H5N1_avian_influenza_update_20121217b.pdf














25/07/2013 39