geometri transformasi

Download GEOMETRI TRANSFORMASI

If you can't read please download the document

Post on 09-Jan-2016

406 views

Category:

Documents

70 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

GEOMETRI TRANSFORMASI. DELAPAN KALI PERTEMUAN MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL. PERKULIAHAN DUA BAGIAN. Masalah yang dibahas terkait dengan. Masalah Geometri seperti berikut :. PENGERTIAN TRANSFORMASI. Semesta Pembicaraan TRANSFORMASI adalah BIDANG DATAR - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

PowerPoint Presentation

GEOMETRI TRANSFORMASIDELAPAN KALI PERTEMUANMINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUALPERKULIAHAN DUA BAGIAN 1Masalah yang dibahas terkait denganMasalah Geometri seperti berikut :

2

3PENGERTIAN TRANSFORMASISemesta Pembicaraan TRANSFORMASI adalah BIDANG DATARSecara umum transformasi diartikan sebagai PINDAHAN

APA YANG DIPINDAHKAN ? APAKAH SETIAP PINDAHAN MERUPAKAN TRANSFORMASI?

DALAM MATEMATIKA TRANSFORMASI DIDEFINISIKAN SEBAGAI APA ?

4GEOMETRI TRANSFORMASIBEBERAPA TRANSFORMASI YANG TELAH DIKENAL1. Geseran ( Translasi )2. Pencerminan ( Refleksi )3. Perputaran ( Rotasi )4. Tarikan ( Dilatasi )ADAKAH JENIS TRANSFORMASI YANG LAIN ?

5Apa yang akan dipelajari Pada mata kuliah Geo transf1. Memandang Transformasi sebagai Fungsi2. Membahas secara khusus dua kelompok dalam transformasi, yaitu yang isometri dan non isometri3. Membahas hasil komposisi beberapa transformasi4. Aplikasi dalam penyelesaian masalah geometri6DEFINISI TRANSFORMASISecara matematis, transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif pada bidang (R2)

MASIH INGAT TENTANG FUNGSI ?7Ingat fungsi bijektif ?f : A B dikatakan fungsi jika, x,y A dengan x=y , maka f(x)=f(y)

f : A B dikatakan fungsi injektif ( satu-satu) jika, x,y A, dengan f(x)=f(y) maka x = y

f : A B dikatakan fungsi surjektif atau pada jika, y B, x A, f(x) = y

f : A B dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada

8Berkenaan dengan adanya bidang geometri dan geometri analitik, kajian transformasi seringkali ditinjau dari dua sisi pandang , yaitu sisi pandang geometri dan aljabar ( titik disajikan dalam pasangan terurut, garis sebagai persamaan linear dst. )9Transformasi dalam Notasi FungsiDalam notasi fungsi, T: V V merupakan transformasi jika T adalah fungsi bijektif. Dengan V menyatakan bidang datar.

Secara aljabar, V dapat ditulis sebagai V={(x,y)|x,yR}.

10TransformasiT : V V dikatakan transformasi jikaA=(x,y), B=(u,v) V dengan A=B , maka T(A)=T(B)

A=(x,y), B=(u,v) V , dengan T(A)=T(B) maka A=B

3. B=(u,v) V, A=(x,y) V, T(A)=B11Contoh-contoh transformasiDalam Bentuk AljabarPerkawanan T: V V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi. Mengapa ?Apakah Perkawanan T: V V dengan T(x,y)=(xy,y+2) merupakan transformasi.?Mengapa ?

T(x,y)=(x/y, y+2)

12 Buktikan bahwa perkawanan T: V V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi.

Selidiki apakah perkawanan T: V V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi.

13Misal A titik tertentu pada bidang VPerkawanan T pada V dengan aturan untuk sebarang P di V, T(P) = Q dengan 2|AP|=3|PQ| dengan P pada ruas garis AQ, merupakan transformasiSecara geometris A . P . Q 14Secara aljabar .. P (a,b)A(x,y) .

. Q (u,v)15KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali)Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga,

Bukti ?16Bagaimana mentransformasikan garis, terkait rumus transformasi T(x,y)=(f(x,y), g(x,y))CARA MENTRANSFORMASIKAN GARISUntuk mentransformasikan garis dilakukan dengan cara berikut.

Pada transformasi T, misalkan T(x,y)=(x,y) dan garis lax+by+c=0,

untuk menentukan T(l)=l, nyatakan x dan y dalam x dan y, kemudian substitusikan pada persamaan garis l, akan diperoleh persamaan dalam x, y. Karena koordinat dalam x dan y , ubah lagi dalam x dan y18Contoh mentransformasikan garisMisal T(x,y)=(2x+y,x-y) dan persamaan garis l:3x+2y-5=0.

T(l) adalah.

Misalkan (x,y)=T(x,y)19Nyatakan x,y dalam x , y dari x=x+y, y=3x-yx= ., y=

20KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali)Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga,

Bukti ?21BEBERAPA ISTILAH DALAM TRANSFORMASI1. Unsur tetapTitik A pada V disebut titik tetap dari transformasi T, jika T(A) = A

Garis l disebut garis tetap dari transformasi T, jika T(l) = l22APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI TITIK TETAP ?Transformasi T(x,y)=(x+4, y-3) tidak memiliki titik tetap, tetapi memiliki garis tetap. Karena.

APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI GARIS TETAP ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?

23BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?Andaikan punya titik tetap(garis tetap), misalkan titik tetap(garis tetap) tersebut adalah A=(x,y)(l ax+by+c=0)Diperoleh persamaan yang mengkaitkan nilai x dany (nilai a, b dan c)Jika persaman 2. konsisten, maka diperoleh titik tetap(garis tetap) yang dicari sebaliknya jika persamaan tidak konsisten disimpulkan transformasi tersebut tidak punya (titik tetap) garis tetap.24Transformasi : T(x,y) =(y,4x)Titik tetapGaris tetap25Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=(y,4x).Sehingga berlaku x=y dan y=4x.Diperoleh x=0 dan y=0.Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap.Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap.Perhatikan bahwa l adalah suatu garis dengan persamaan 4bx+ay+4c=0.Karena l merupakan garis tetap maka berlaku

26Diperoleh4b2=a2, (b-a)c=0, dan (4b-a)c=0Kasus 1, c0, maka b=a dan a=4b tidak mungkinKasus 2, c=0, maka ab dan a4b, sehingga diperoleh a=2b atau a=-2b.Akhirnya diperoleh garis tetap dari T adalah2x+y=0 atau -2x+y=027Transformasi : T(x,y) =((2x-y),(x+y))Titik tetapGaris tetap28Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=((2x-y),(x+y)).Sehingga berlaku x=2x-y dan y=x+y.Diperoleh x=0 dan y=0.Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap.Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap.Perhatikan bahwa l adalah suatu garis dengan persamaan (a-b)x+(a+2b)y+3c=0.Karena l merupakan garis tetap maka berlaku

Selesaikan.292. IdentitasSuatu transformasi T disebut Identitas, jika T(A)=A, AV. Selanjutnya ditulis sebagai ITransformasi T(x,y)=(x+y, 2x+y) bukan transformasi Identitas, karena..

3.Involusi Suatu transformasi T disebut Involusi, jika T(T(A))=A, AV ( atau ditulis T2=I )Contoh transformasi involusi?Dari T2=I diperoleh T=T-1

T(x,y)=(-x,kx+y)Apakah T merupakan Involusi?30.4. KolineasiSuatu transformasi T, disebut bersifat kolineasi jika T memetakan garis (lurus) menjadi garis (lurus) lagi

5. IsometriSuatu transformasi T, disebut bersifat isometri jika untuk setiap dua titik A, B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)|=|AB|( |AB| menyatakan jarak titik A dengan B , A=T(A), B=T(B))

31

6. Similaritas32Contoh transformasi yang tidak bersifat kolineasi.

Bukan kolineasi kenapa ?Transformasi T(x,y) = (2x,y) bukan suatu isometri, kenapa?

33

BEBERAPA TEOREMA(a) Transformasi isometri T merupakan kolineasi(b) Jika T suatu isometri maka T suatu kolineasiIsometri mempertahankan besar sudutIsometri mempertahankan kesejajaran35Diketahui T suatu IsometriAkan dibuktikan T bersifat kolineasiAmbil sebarang garis l dan l merupakan peta dari l. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l merupakan garis juga.Misal A dan B sebarang dua titik pada l kemudian A dan B berturut-turut peta dari A dan B, serta h adalah garis yang melalui A, B.Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l=h.(Mengapa?)Transformasi isometri T merupakan kolineasi36bagian satu37T: V V dengan T(x,y)=(x+y,3x)Apakah T fungsijika A=(x,y), B=(u,v) V dengan A=B , maka T(A)=T(B)Apakah T satu-satujika A=(x,y), B=(u,v) V , dengan T(A)=T(B) maka A=BAmbil sebarang dua titik A=(x,y), B=(u,v) V , dengan T(A)=T(B) dibuktikan A=BT(A)=T(B) berarti (x+y,3x)=(u+v,3u)Diperoleh x=u, karena x+y=u+v maka y=v38Apakah T merupakan fungsi padajika B=(u,v) V, A=(x,y) V, T(A)=BT: V V dengan T(x,y)=(x+y,3x)Ambil sebarang B(x,y) di VMisal A(u,v) sedemikian sehingga T(A)=BSehingga (u+v,3u)=(x,y) u+v=x 3u=y u=1/3 y v= x- 1/3y39P=P .AATransformasi?QQS .F .40T(x,y) = (x-2y, xy)41A .a, b > 0abATransformasi ?42T(x,y) = (xy, y))(1,0) dan (2,0)43Isometri merupakan kolineasiTapi sebaliknya tidak44

45Selidiki apakah jika T suatu isometri, maka peta sebarang lingkaran oleh T adalah lingkaran yang berjari-jari sama461. Diberikan dua lingkaran S1 dan S2 serta sebuah garis l. Tentukan suatu garis yang sejajar l dan sedemikian sehingga jarak titik potong garis ini dengan kedua lingkaran sebesar a (a bilangan real yang telah ditentukan)2. Dimanakah jembatan harus dibangun melintasi sungai yang memisahkan dua kota A, B agar jarak kedua kota tersebut seminimal mungkin? (Asumsikan sungai tersebut memiliki tepi yang sejajar dan jembatan yang dibuat tegak lurus dengan tepi sungai)3. Dalam kasus seperti no. 2 bagaimana jika terdapat beberapa sungai?

1. Tentukan tempat kedudukan titik-titik M, sedemikian sehingga jumlah jarak dari titik tersebut terhadap garis l1 dan l2 yang diberikan adalah t(t bilangan real positif yang telah diberikan)

2. Tentukan tempat kedudukan titik-titik M, sedemikian sehingga selisih jarak dari titik tersebut terhadap garis l1 dan l2 yang diberikan adalah t(t bilangan real positif yang telah diberikan)

3. Misalkan M dan N berturut-turut titik tengah AD dan BC. Kemudian panjang MN sama dengan setengah jumlah panjang dari sisi AB dan CD. Buktikan bahwa segiempat ABCD merupakan trapesium.

Definisi

Suatu transformasi L disebut suatu similaritas, jika terdapat bilangan positif k sedemikian hingga untuk sebarang titik P, Q dipenuhi |PQ| = k |PQ| , dengan P=L(P) dan Q=L(Q).