BAB I PENDAHULUAN

A.

Latar Belakang Masalah Geometri yang telah kita dari pendidikan di sekolah tingkat dasar hingga menengah

hanyalah bentuk-bentuk geometri dasar seperti bangun datar, bangun ruang, dan sifatsifatnya. Padahal jika kita telusuri lebih lanjut dan lebih mendalam lagi, geometri bukanlah hanya seperti itu. Pengertian kita mengenai geometri hanya terpaku oleh bentuk-bentuk geometri euclid saja, padahal pengertian dari geometri lebih dari itu. Dunia geometri sebenarnya merupakan dunia yang kaya akan potensi yang baru. Geometri mengandung pengertian yang sangat luas. Bukti bahwa geometri itu merupakan suatu dunia yang kaya dan luas adalah adanya pengertian mengenai topologi dan pita mobius. Di dalam topologi juga terjadi suatu deformasi. Deformasi terjadi oleh karena suatu gaya (force), namun konektivitas (connectivity) di dalam form/bentuk geometri tersebut tetap terjaga. Sehingga terwujud suatu keutuhan (wholeness) di dalam form tersebut. Oleh karena itu, kita juga perlu mempelajari topologi.

B.

Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, dapat dirumuskan permasalahan sebagai

berikut. 1. 2. 3. 4. 5. Apakah yang dimaksud dengan topologi? Apakah geometri topologi itu? Bagaimana dimensi dalam geometri topologi? Apakah yang dimaksud Botol Klien? Apakah yang dimaksud One-half Infinity Tower?

C.

Tujuan Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut.

1. 2. 3. 4. 5.

Mengetahui pengertian topologi. Mengetahui dan memahami geometri topologi. Memahami dimensi dalam geometri topologi. Mengetahui dan memahami tentang Botol Klien. Mengetahui dan memahami tentang One-half Infinity Tower?1Geometri Topologi

Geometri Non Euclid

BAB II ISI

A.

TOPOLOGI Topologi merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang

tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan dan dipilin tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Ia muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, transformasi. Kita dapat membayangkan bahwa pada bidang datar, apabila diberikan suatu lingkaran, maka elips yang dibentuk oleh lingkaran yang ditarik kedua sisinya, secara topologis adalah sama. Demikian juga suatu bola dan elipsoida yang terbentuk adalah sama secara topologis.

(1)

(2)

(3)

Gambar 1. Lingkaran elips bujur sangkar

(1)

(2)

Gambar 2. Pita terhubung pita Mobius

Topologi berkenaan dengan studi sifat-sifat topologi dari bentuk, yakni sifat yang tidak berubah dalam transformasi bikontinu satu-satu (homeomorphisme).

Geometri Non Euclid

2

Geometri Topologi

Bagian yang paling mendasar dan tradisional dalam sub bidang topologi adalah sebagai berikut. 1. Topologi titik-himpunan Topologi titik-himpunan yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi. Contoh dasar adalah kekompakan dan kesinambungan. 2. Aljabar topologi Aljabar topologi yang umumnya mencoba untuk mengukur tingkat kesinambungan menggunakan konstruksi aljabar seperti kelompok homotopi, homology. 3. Topologi geometris Topologi geometris yang terutamanya mengkaji manifold dan pembenamannya (penempatannya) di manifold lainnya.

a.

Sifat-Sifat Topologi Dalam topologi bidang matematika terkait, sifat topologi atau invariant topologi adalah

sifat ruang topologi yang invariant dalam homeomorphisme. Jika diberikan ruang topologi X dan Y dan homeomorphisme f antara mereka, sifat topologi untuk sub himpunan A dari X berlaku jika dan hanya jika ia berlaku untuk f(A). Persoalan umum dalam topologi adalah menentukan apakah dua ruang topologi homeomorphis atau tidak. Cara membuktikannya adalah menemukan sifat topologi yang tidak terbagi oleh mereka.

b.

Ruang Topologi Ruang topologi adalah struktur yang memperkenankan untuk memformalkan konsep

seperti konvergensi, keterhubungan (connectedness) dan kontinuitas.

c.

Homeomorphisme Dalam bidang topologi, homeomorphisme atau isomorphism topologi (dari bahasa

Yunani, homeos = identik dan morphe = bentuk) adalah isomorphism khusus antara ruang topologi yang memenuhui sifat-sifat topologi. Homeomorphis adalah dua bentuk yang dapat dideformasi dari satu bentuk ke bentuk yang lain dan dipandang sama dari tinjauan topologi, sebagai contoh kubus padat dan bola padat. Akan tetapi, tidaklah mungkin mendeformasi bola menjadi lingkaran oleh transformasi bikontinu satu-satu. Dimensi adalah sifat topologi.

Geometri Non Euclid

3

Geometri Topologi

Dalam makna, sifat topologi adalah sifat bentuk yang lebih mendalam.Dua ruang yang homeomorphisme adalah homeomorphis.

Gambar 3.a Cangkir bergagang satu dan donat

Gambar 3.b kubus dan bola

Secara singkat, ruang topologi adalah objek geometri, sedangkan homeomorphisme adalah peregangan dan pembengkokan kontinu dari suatu objek menjadi objek bentuk baru. Dalam tinjauan topologi, cangkir berganggang satu dan kue donat adalah sama.

B.

GEOMETRI TOPOLOGI Geometri topologi adalah salah satu bagian dari geometri non euclids. Dalam

matematika, topologi geometrik adalah studi tentang manifold (pipa bermulut banyak) dan peta antara mereka, terutama embaddings satu manifold menjadi lain. Beberapa contoh topik dalam topologi geometrik adalah orientability , menangani dekomposisi, kerataan lokal, dan planar dan lebih tinggi-dimensi Schnflies teorema . Dalam semua dimensi, kelompok fundamental dari manifold adalah suatu yang sangat penting invarian, dan menentukan banyak struktur; dalam dimensi 1, 2 dan 3, kelompok fundamental mungkin dibatasi, sedangkan di setiap dimensi 4 dan di atasnya, setiap disajikan kelompok finitely adalah kelompok fundamental dari manifold (catatan bahwa cukup untuk

Geometri Non Euclid

4

Geometri Topologi

menunjukkan ini untuk 4 dan manifold 5-dimensi, kemudian untuk mengambil produk dengan bola untuk mendapatkan yang lebih tinggi).

C.

DIMENSI Dimensi Topologi Rendah: Permukaan (2-manifold) adalah manifold topologi dua dimensi. Contoh yang paling familiar adalah permukaan yang timbul sebagai batas-batas benda padat di ruang R3 dimensi Euclid - misalnya, permukaan bola. Di sisi lain, ada permukaan, seperti botol Klein, yang tidak dapat tertanam dalam ruang Euclidean tiga dimensi tanpa memperkenalkan singularitas atau persimpangan diri. Contoh : pita mobius. Pita Mbius adalah sebuah obyek topologis yang hanya memiliki satu sisi atau permukaan dan satu komponen perbatasan. Pita ini ditemukan secara bersamaan namun tidak berhubungan satu sama lain oleh dua matematikawan Jerman August Ferdinand Mbius dan Johann Benedict Listing pada 1858.

Gambar 4. Pita Mobius

3-Manifold Dalam matematika, sebuah 3-manifold adalah manifold pada dimensi tiga. Dalam topologi, sesepenggal-linear dan kategori halus semua ekuivalen dalam tiga dimensi. Fenomena pada dimensi tiga dapat berbeda dari fenomena pada dimensi lain, sehingga ada kelaziman teknik khusus yang tidak dapat digeneralisasikan ke dimensi lebih dari tiga. Aturan khusus mempunyai peranan penting dalam menemukan hubungan tertutup dengan keragaman lapangan lain, seperti teori knot, teori grup geometri, geometri hiperbolik, teori bilangan, teori Teichmller, teori medan kuantum topologi, teori gauge, homologi Floer, dan diferensial parsial persamaan. Teori 3-

Geometri Non Euclid

5

Geometri Topologi

manifold dianggap sebagai bagian dari topologi dimensi rendah atau topologi geometrik.

Model alam semesta sebagai 3-manifold Sebuah aplikasi ilmiah penting dari 3-manifold dalam kosmologi fisik, sebagai model bentuk alam semesta. Permukaan bumi yang kira-kira datar, secara kasarya adalah 2manifold dan secara umum permukaan bumi adalah sebuah bola. Alam semesta terlihat seperti tempat ruang Euclid dimensi tiga, sehingga alam semesta dapat dimodelkan sebagai 3-manifold. Dalam kosmologi fisik, ruang-waktu biasanya diasumsikan memiliki dekomposisi manifold spasial dimensi tiga dan satu dimensi waktu.

Di bawah ini ada teorema yang berkaitan dengan 3-manifold: 1. Teorema Moise Dalam topologi geometrik, sebuah cabang dari matematika, teorema Moise, yang dibuktikan Moise (1952), menyatakan bahwa setiap topologi 3-manifold memiliki struktur sepenggal-linear yang pada dasarnya unik dan mempunyai struktur halus.

2. Teorema Poincar Dalam matematika, konjektur Poincar adalah teorema tentang karakterisasi lingkup dimensi tiga dan manifold dimensi tiga yang menyatakan,

Setiap hubungan tertutup dan sederhana dari 3-manifold adalah homeomorphic dengan 3-bola. Teorema Poincar mengatakan bahwa jika sebuah bidang mempunyai penambahan sifat yaitu setiap loop kontinu dirapatkan menjadi titik, maka bidang itu tentu bola dimensi tiga. Hal ini analogi dengan dimensi yang lebih tinggi.

Untuk permukaan dimensi dua yang padat dan tak terbatas, jika setiap loop terus dirapatkan menjadi titik, maka permukaan itu adalah topologi homeomorphic 2 bola (biasanya hanya disebut bola). Teorema Poincar menegaskan bahwa hal yang sama berlaku untuk permukaan 3-dimensi.Geometri Non Euclid

6

Geometri Topologi

Secara historis, teorema Poincar dalam dimensi tiga ini dapat diterima, akan tetapi untuk dimensi-n secara umum belum ada dibuktikan lebih lanjut. Pada tahun 1982 Michael Freedman membuktikan konjektur Poincar dalam dimensi empat. Freedman mempunyai pandangan bahwa ada 4-manifold halus homeomorphic ke 4-bola yang tidak diffeomorphic pada 4-bola Misalnya pada bola eksotis Milnor menunjukkan bahwa teorema Poincar salah dalam dimensi tujuh.

3. Teorema Thurston Elliptization Elliptization William Thurston's menyatakan bahwa grup yang tertutup dan terbatas pada 3-manifold yaitu bola, memiliki metrik Riemann kelengkungan seksional konstan positif.

4. Teorema Geometrization Thurston Teorema ini menyatakan bahwa 3-manifold padat dapat diuraikan ke dalam submanifold-submanifold yang memiliki struktur geometris. Teorema

geometrization ini analog untuk 3-manifold dari teorema uniformization untuk permukaan. Hal ini juga berlaku pada haken manifold.

5. 3-manifolds hiperbolik 3-manifold hiperbolik adalah 3-manifold yang dilengkapi dengan metrik Riemann lengkap kelengkungan sectional konstan -1. Dengan kata lain, 3- manifold hiperbolik adalah hasil bagi ruang hiperbolik dimensi tiga dengan subkelompok isometris hiperbolik yang bebas dan terputus-putus.

6. 3-Manifold Berbentuk Bola Dalam matematika, 3-manifold berbentuk bola adalah 3-manifold yang dapat dinyatakan sebagai M = S3 / dimana adalah subkelompok hingga SO(4) bertindak secara bebas oleh rotasi pada S3 3-bola. Semua manifold tersebut prima, orientable, dan tertutup. 3manifold berbentuk bola kadang-kadang disebut 3-manifold elips atau manifold Clifford-Klein.Geometri Non Euclid

7

Geometri Topologi

3-manifold berbentuk bola memiliki grup isomorfik yang terbatas dengan sendiri. Teorema elliptization, dibuktikan oleh Grigori Perelman, menyatakan sebaliknya bahwa semua 3-manifold dengan grup fundamental yang terbatas adalah manifold berbentuk bola. Grup fundamental baik siklik atau perpanjangan dari kelompok dihedral, tetrahedral, oktahedral, atau ikosahedral oleh sekelompok siklik adalah sama jenisnya.

7. Teorema Bieberbach Dalam analisis kompleks, teorema Bieberbach atau teorema de Branges's, yang ditemukan oleh Ludwig Bieberbach (1916) dan dibuktikan oleh Louis de Branges (1984), menyatakan bahwa diperlukan fungsi injektif holomorphic untuk disk satuan terbuka bidang kompleks ke bidang kompleks. Pernyataan mengenai koefisien Taylor an dari fungsi normal sehingga a0 = 0 dan a1 = 1, sehingga kita mendapatkan fungsi holomorphic dalam bentuk

yang didefinisikan dan injektif pada disk satuan terbuka (fungsi seperti ini juga disebut fungsi univalen atau schlicht). Teorema ini kemudian menyatakan bahwa

an n, n 2

8. Manifold Datar Dalam matematika, suatu manifold Riemann dikatakan datar jika

kelengkungannya di manapun bernilai nol. Manifold datar adalah salah satu daerah yang terlihat seperti ruang Euclid dalam hal jarak dan sudut, misalnya sudut dalam segitiga adalah 180 .

4-manifold Dalam matematika, 4-manifold adalah manifold topologi dimensi-4. Sebuah 4manifold halus adalah 4-manifold yang mempunyai struktur halus. Dalam dimensi-4, yang merupakan dimensi rendah, topologi dan manifold halus sama sekali berbeda. Ada beberapa 4-manifold topologi yang membolehkan strukturnya tidak halus dan

Geometri Non Euclid

8

Geometri Topologi

jika ada yang strukturnya halus maka 4-manifold tersebut tidak tunggal. Misalnya ada 4-manifold halus yang homeomorfik tetapi tidak diffeomorfik. Jenis homotopi 4-manifold yang padat dan terhubung sederhana hanya bergantung pada bentuk irisan Contoh: Pada kasus khusus ketika bentuk adalah 0, ini berarti teorema Poincar topologi dimensi-4 topologi. Jika bentuk tersebut E8, disebut E8 manifold, manifold tidak homeomorphic ke simplicial padat. Jika bentuk tersebut Z, maka ada dua manifold yang bergantung pada invarian Kirby-Siebenmann, yang satu adalah bidang proyektif padat dimensi-2, dan yang lain adalah sebuah bidang proyektif palsu, yang sama-sama homotopi tetapi tidak homeomorphic (dan tanpa struktur halus ).

Z invarian yang disebut Kirby-Siebenmann invariant. 2Z

Dimensi Topologi Tinggi Dalam topologi dimensi tinggi, kelas karakteristik adalah invarian dasar, dan teori

operasi adalah teori kunci. Manifold itu berbeda pada dimensi tinggi dan dimensi rendah. Pada topologi dimensi tinggi (manifold dimensi 5 ke atas) embeddings dalam codimension 3 ke atas, sedangkan dimensi topologi rendah, embeddings dalam codimension hingga 2. Dalam beberapa hal (topologi), dimensi-4 adalah dimensi tinggi, sedangkan dalam halhal lainnya (differentiably), dimensi-4 adalah dimensi rendah. Perbedaan ini karena adanya teori operasi yang hanya berlaku pada dimensi-5 dan dimensi di atasnya, tetapi pada dimensi4 ke bawah teori operasi tidak berlaku.

5-manifold Dalam matematika, 5-manifold adalah manifold topologi dimens-5, dengan struktur sepenggal linier atau halus. 5-manifold yang terhubung tidak sederhana tidak mungkin untuk diklasifikasikan, karena hal ini pekerjaan sulit. 5-manifold padat dan terhubung sederhana pertama kali diklasifikasikan oleh Dennis Barden dan kemudian diteruskan oleh AV Zhubr. Hal ini agak mengejutkan, pengklasifikasian ini ternyata lebih mudah daripada kasus pada dimensi-3 atau dimensi-4. Kasus dimensi-3 diselesaikan dengan teorema Poincar,

Geometri Non Euclid

9

Geometri Topologi

dan kasus dimensi-4 diselesaikan dengan Freedman (1982) dalam kasus topologi, akan tetapi hal ini sangat sulit dalam kasus dimensi-4 yang halus. Dalam dimensi-5 yang halus klasifikasinya diatur oleh topologi aljabar klasik, yaitu, dua 5-manifold yang terhubung sederhana merupakan diffeomorphic jika dan hanya jika terdapat suatu isomorfisma dari kedua grup homologi dengan koefisien bilangan bulat, melestarikan hubungan bentuk dan kelas Stiefel-Whitney. Selain itu setiap isomorfisma disebabkan oleh beberapa diffeomorphism.

D.

BOTOL KLIEN

Gambar 5 . Setengah dari botol Klein dengan pita Mbius Botol Klein adalah permukaan dua dimensi yang bisa dibangun dari sebuah pita Mbius dengan menempelkan ujungnya (perhatikan gambar di atas). Para matematikawan mengatakan permukaan adalah tertutup dan non-orientable. "tertutup" berarti bahwa ia tidak memiliki batas: semut berjalan berkeliling di atasnya tidak akan jatuh di atas tepi. "Non-orientable" berarti bahwa permukaan tidak memiliki orientasi yang melekat, bahwa tidak ada perbedaan antara di dalam dan luar: meskipun secara lokal tampaknya ada sisi lain permukaan, semut merangkak di sekitar itu bisa sampai ke titik di sisi lain tanpa harus menembus permukaan. Biasanya, botol Klein diwakili oleh bentuk yang berbeda jauh lebih mirip dengan sebuah botol yang sebenarnya, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Representasi yang dipilih untuk Still Life, meskipun terlihat berbeda, adalah ekuivalen secara topologi dengan representasi standar. Menurut Palais, angka-8 botol Klein adalah "jauh lebih simetris dan elegan dan menarik secara matematis".

Geometri Non Euclid

10

Geometri Topologi

Gambar 6. Sebuah Botol Klein standar topologi setara dengan gambar Botol Klein-8. Mereka adalah kedua permukaan non-orientable tanpa di dalam dan di luar tidak ada. (Gambar oleh Polthier Konrad)

Botol Klein ditemukan pada tahun 1882 oleh Felix Klein [1] dan sejak itu telah bergabung dengan galeri bentuk matematika populer dikenal masyarakat umum di luar "menara gading". Botol adalah permukaan satu sisi seperti pita Mbius tetapi bahkan lebih menarik, karena tertutup dan tidak memiliki perbatasan dan tidak tertutup interior maupun eksterior. Berikut Klein kita menggunakan model visual untuk mempelajari permukaan ini.

Gambar 7. Dua pita Mbius dari botol Klein dihubungkan oleh sebuah dua sisi biasa sisi yang belakang dan sisi depan berwarna putih dan biru

Botol Klein bukan donat Salah satu pembangunan sebuah torus - bentuk donat seperti - dimulai dengan selembar kertas, gulungan itu untuk membentuk silinder, lalu tikungan kedua ujungnya sekitar untuk menutup bentuk. Bagian dalam silinder pada satu sisi dihubungkan dengan bagian dalam di sisi lain, dan sama dengan luar. Oleh karena itu torus adalah dua sisi permukaan. Tapi kita juga bisa menggunakan silinder untuk membuat botol Klein. Alih-alih menambahkan twist, seperti yang kita lakukan ketika membuat sebuah band Mbius dariGeometri Non Euclid

11

Geometri Topologi

strip dari kertas, akhirnya kita satu loop kembali melalui silinder dan lem ke ujung yang lain, dengan batas dua lingkaran diberikan orientasi berlawanan. Untuk mencapai hal ini dengan bentuk yang menyenangkan kita sesuaikan dengan ketebalan silinder. Hal ini memungkinkan kita untuk lem dalam ke luar, dan mendapatkan permukaan satu sisi. Dalam diagram di bawah ini kita telah menggunakan putih dan hijau untuk membedakan kedua sisi dari silinder asli. Ketika botol Klein selesai, warna masih menunjukkan mana silinder terpaku bersama, tetapi menempelkan pada setiap lingkaran paralel lain akan sama baiknya. Dalam karyanya, Klein memperkenalkan botol sebagai "permukaan ganda tertentu yang tak terbatas" yang "dapat divisualisasikan dengan membalik sepotong tabung karet dan dengan membiarkan itu melewati itu sendiri sehingga luar dan dalam memenuhi".

Sebuah botol Klein dibentuk dengan menggabungkan dua sisi sheet untuk membentuk silinder, kemudian perulangan ujung kembali silinder melalui dirinya dalam sedemikian rupa sehingga bagian dalam (hijau) dan luar (putih) dari silinder yang bergabung.

Perhatikan gambar di samping! Botol klein standar dapat dirakit dari empat blok bangunan dasar seperti yang ditunjukkan ke kanan. Tiga dari blok merupakan bagian permukaan rotasi dan tabung biru vertikal yang agak cacat silinder.

Geometri Non Euclid

12

Geometri Topologi

Gambar 8. Permukaan-8 Gambar permukaan-8 ditunjukkan di atas memiliki parameterisasi bahkan lebih sederhana daripada botol Klein standar. Dimulai dengan kurva planar dalam bidang-xz dalam bentuk 8. Sementara berputar kurva di sekitar sumbu z-kita menambahkan twist sehingga dalam bergabung dengan dunia luar setelah loop. Perhatikan bahwa dua Mbius band dari permukaan ini tersapu oleh persimpangan dari 8. Sebuah Gambar kurva-8 diberikan oleh c (u) = (2cos u, 0, cos 2u), di mana u berjalan antara 0 dan 1800. Menerapkan rotasi dan twist, kami menurunkan Gambar permukaan-8: ( ) ( ( ( ) ))

Dimana u dan v keduanya di antara 0 dan 3600. Parameter t = 0,5 menentukan twist. Gambar di atas menunjukkan bagaimana menghambat u ke [0, 1800] interval atau [1800, 3600] menghasilkan strip Mbius, ditampilkan dalam warna merah dan putih masingmasing.

E.

ONE-HALF INFINITY TOWER Desain One-Half Infinity tower berasal dari Botol Klein, permukaan matematika non-

orientable, yang mirip dengan pita Mobius yaitu pita dengan satu-sisi. Potensinya untuk aplikasi spasial berupa pita Mobius pendek, untuk Botol Klein pada dimensi 3 dan memiliki volume yang tak terbatas , sisi yang tunggal tapi kontinu. Hal ini dapat dianggap sebagai sebuah tabung yang aneh, dalam upaya untuk membungkuk & membentuk torus normal / loop, berpotongan dengan dirinya sendiri dan bergabung kembali dengan dirinya sendiriGeometri Non Euclid

13

Geometri Topologi

tetapi di sisi yang lain. Kuncinya terletak pada kualitas perpotogan dirinya yang aneh , untuk perpotongan dirinya sendiri menyediakan spasial, tipologi program, struktur, teknologi, situs, dan peluang kekontinuan.

Gambar 9. One-half Infinity Tower (Satu-setengah menara tak terbatas) Ini merupakan bentuk dari keluarga topologi baru, yang dapat menghasilkan berbagai desain gedung pencakar langit, sedangkan Infinity tower hanya diwakili oleh salah satu iterasi dari keluarga eksplorasi arsitektur. The Infinity tower menyediakan pusat spasial ketiga / fokus ke tradisional bipolar (atas / bawah) pencakar langit, untuk menciptakan kekosongan baru di pusat ketiga yang dapat diprogram sebagai ruang publik atau kolektif: pameran, pertemuan, restoran, atrium , langit taman. Bagian tengah menara ini, untuk sekali, tujuan yang sangat didambakan dalam gedung tersebut. Pesawat memotong planimetrik melalui bangunan ini terus berkembang. Pindah dari sebuah pelat lantai berkesinambungan untuk konfigurasi menara dua, ke lantai berbentuk C, dan akhirnya dibentuk kembali plat lantai tunggal sekali lagi, menara ini menyediakan beberapa pelat lantai dengan berbagai ukuran untuk perusahaan dari semua ukuran untuk dihuni dan ditinggali. Peningkatan luas permukaan tidak hanya memungkinkan untuk cahaya alami yang lebih besar dan

Geometri Non Euclid

14

Geometri Topologi

ventilasi, namun kesempatan melihat juga jauh lebih besar, baik luar yang tampak dan melihat ke dalam, di seluruh wilayah pencakar langit.

Gambar 10. Desain Pencakar Langit dari One-half Infinity Tower

Bentuk dari Infinity Tower memotong dirinya sendiri untuk meningkatkan kekuatan sisi dan stabilitas gedung pencakar langit secara signifikan. Seperti kebanyakan gedung pencakar langit dapat dianggap sebagai penopang dari bidang tanah dengan hanya satu titik dari dukungan, The self-intersection (perpotongan dirinya sendiri) dari menara lebih pendek kantilever dengan setengah dan memberikan nilai tambah dari dukungan lateral pada titik tengah untuk gedung tersebut. Jika salah

Geometri Non Euclid

15

Geometri Topologi

satu merasakan proyek sebagai dua menara yang bergabung, maka setiap menara efektif kerangka yang lain. Para self-intersection/void di pusat dari bangunan memiliki pembuka di atas, memungkinkan angin melewati bangunan dan mengurangi beban angin secara substansial. Beban gravitasi menara yang diambil oleh inti triple dan kolom internal. Sebuah kisi baja, atau diagrid, amplop seluruh struktur, memproduksi sarana yang sangat efisien dan berlebihan untuk melawan beban sisi dan mengurangi jumlah tonase baja di seluruh gedung, sebagai lawan dari frame-saat tradisional. Dimana menara cants (miring) , transfer gulungan dua lantai yang mendalam, ditambah dengan kisi diagrid, mentransfer kekuatan kembali ke menara vertikal dan ke dalam tanah. The self-intersection (Persimpangan-dirinya sendiri) dari bangunan fungsional dalam berbagai cara. Seperti disebutkan, akan meningkatkan kinerja keseluruhan struktur bangunan, menyediakan program ketiga / pusat spasial untuk pencakar langit, meningkatkan cahaya alami ke dalam pelat lantai di pusat, dan memungkinkan untuk ventilasi mekanik knalpot dan alam melalui efek stack untuk ruang kantor. The selfintersection juga memungkinkan beberapa jalur perjalanan keluar selama keadaan darurat (kebakaran, angin topan, gempa bumi) dan memberikan perlindungan eksterior lantai untuk keamanan meningkat untuk penghuninya.

Geometri Non Euclid

16

Geometri Topologi

BAB III PENUTUP

A.

Simpulan 1. Topologi merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidakberubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan dan dipilin tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). 2. Geometri topologi adalah salah satu bagian dari geometri non euclids. Dalam matematika, topologi geometrik adalah studi tentang manifold (pipa bermulut banyak) dan peta antara mereka, terutama embaddings satu manifold menjadi lain. 3. Dimensi dalam topologi ada dua yaitu dimensi topologi rendah dan dimensi topologi tinggi. Dimensi topologi rendah meliputi 2-manifold (permukaan), 3-manifold, dan 4-manifold. Sedangkan dimensi topologi tinggi meliputi 5-manifold ke atas. 4. Macam-macam topologi yaitu topologi bintang, topologi cincin, topologi bus, topologi jala, topologi pohon dan topologi linear.

B.

Saran Geometri topologi merupakan geometri yang sulit dipelajari, sehingga perlu dipahami dan dipelajari lebih lanjut pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi.

17

DAFTAR PUSTAKA

The Geometry and Topology of ThreeManifold.http://www.msri.org/communications/books/gt3m/PDF/1.pdf. Diunduh pada tanggal 3 Desember 2010. http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbrubbergeom.htm. Diunduh pada tanggal 5 Desember 2010 http://britton.disted.camosun.bc.ca/mug_torus_morph.gif. Diunduh pada tanggal 5 Desember 2010 http://en.wikipedia.org/wiki/Boy%27_surface. Diunduh pada tanggal 5 Desember 2010. http://www.ics.uci.edu/~epstein/junkyard/topo.html. Diunduh pada tanggal 5 Desember 2010.

18