geometri ruang-garis & bidang sejajar, perpotongan tiga buah bidang, dua bidang sejajar (hasil...
TRANSCRIPT
GARIS DAN BIDANG SEJAJAR
Perbatasan: Sebuah garis dan sebuah bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan
disebut sejajar
1. Dalil 18: Garis g di luar bidang K akan sejajar dengan bidang K, jika garis g //
garis a yang terletak pada bidang K.
Ditentukan:
garis g // a ; a berada pada bidang K
Buktikan:
g // bidang K
Pembuktian:
Pertama lukis sebuah bidang K, dimana dalam bidang K terdapat garis a
Kedua buat garis g yang terletak di luar bidang K, kita sebut saja bahwa g
terletak pada bidang L, dengan syarat bahwa g // a.
Untuk membuktikan bahwa garis g // dengan bidang K, maka terlebih
dahulu kita buktikan bahwa garis g // a.
Kita asumsikan bahwa garis g tidak sejajar garis a (garis g memotong a),
dengan demikian g juga memotong bidang K.
Hal ini berarti terjadi kontradiksi dengan apa yang diketahui. Maka dari itu
jelas bahwa g tidak akan memotong a, begitu juga halnya dengan g juga
tidak memotong bidang K, sehingga terbukti bahwa g // a, dan g juga
sejajar dengan bidang K. (Terbukti)
2. Dalil 19: Tiap bidang L yang melalui garis g yang sejajar dengan bidang K
memotong bidang K menurut sebuah garis yang sejajar dengan garis g.
Ditentukan:
g // K. Bidang L melalui g dan memotong bidang K menurut garis a.
Buktikan:
g //a
1
Gambar 1
Pembuktian:
Lukis sebuah bidang, sebut saja
bidang K
lukiskan sebuah garis g yang
sejajar bidang K,
Melalui garis g buat sebuah
bidang L yang memotong bidang K,
Garis yang memotong bidang K dan bidang L, kita sebut garis a,
Asumsikan a tidak sejajar g, maka g memotong a di titik P,
Seperti yang terlihat pada gambar garis yang memotong a dititik P kita sebut
garis g’
Karena a merupakan garis perpotongan dari bidang K dan bidang L, maka a
berada pada bidang K dan bidang L. Oleh karenanya, g tidak sejajar bidang K,
Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui, maka haruslah a//g. (terbukti)
3. Dalil 20: Melalui sebuah titik P diluar bidang K dapat ditarik garis – garis tak
terhingga banyaknya yang sejajar dengan bidang K.
Pembuktian:
Lukis sebuah bidang K.
Tentukan titik P yang berada di luar bidang
K,
Dalam bidang K, buat tak terhingga
banyaknya garis,
Lukiskan garis-garis yang melalui titik P,
Tiap garis melalui P yang sejajar dengan
salah satu garis di antara garis-garis itu
akan sejajar pula dengan bidang K. (terbukti)
2
Gambar 2
Gambar 3
4. Dalil 21: Melalui sebuah titik P diluar garis g dapat dilukis bidang-bidang tak
terhingga banyaknya yang sejajar dengan garis g.
Bukti :
Buatlah titik P di luar garis g.
Tariklah sebuah garis a // g melalui titik P, sehingga tiap-tiap bidang yang dibuat
melalui garis a akan sejajar pula dengan garis g.
Maka, terbukti melalui sebuah titik P diluar garis g dapat dilukis bidang-bidang
tak terhingga banyakbanyaknya yang sejajar dengan garis g. (terbukti)
5. Dalil 22: Jika sebuah garis g sejajar dengan dua buah bidang yang berpotongan,
maka g sejajar dengan garis potong kedua bidang itu.
Ditentukan:
g // bidang K ; g // bidang L.
Buktikan:
g // garis potong (K,L).
Bukti :
Buatlah sebuah garis g yang sejajar
dengan dua buah bidang sebutlah
(bidang K, bidang L).
Ambilah titik P pada garis (K, L) dan buatlah melalui g dan P sebuah bidang,
sebutlah bidang M.
Bidang M akan memotong bidang K (menurut garis melalui titik P yang sejajar
dengan garis g).
Dan bidang M juga akan memotong bidang L (menurut sebuah garis melalui
titik P yang sejajar dengan garis g).
Karena melalui sebuah titik hanya ada sebuah garis saja yang dapat dilukis
sejajar dengan garis g, maka garis itu tidak lain dari pada garis (K, L)=a
(karena titik P berada pada a). Secara sederhana terbukti apabila: g // L, dan
g // K maka g // a = (K,L). (terbukti)
3
Gambar 4
Gambar 5
6. Dalil 23: melalui sebuah titik P hanya dapat dibuat sebuah bidang yang sejajar
dengan dua buah garis yang arahnya tidak sama.
Ditentukan:
Titik P
Dibuktikan:
Bahwa melalui sebuah titik P hanya
dapat dibuat sebuah bidang yang
sejajar dengan dua buah garis yang
arahnya tidak sama
Bukti:
Lukislah dua garis yang arahnya tidak sama yaitu garis a dan b
Lukislah garis a’ sehingga a//a’ dan lukislah garis b’ sehingga b//b’ dimana a’
dan b’ berpotongan di titik P
Melalui dua garis yang berpotongan maka dapat dibuat sebuah bidang saja.
(terbukti).
PERPOTONGAN TIGA BUAH BIDANG
1. Buktikanlah bahwa tiga buah bidang umumnya ketiganya melalui satu titik,
ketiganya sejajar atau ketiganya melalui sebuah garis!
4
Gambar 6
Pembuktian:
a) Umpamakan ada tiga buah
bidang K, L dan M. Bidang-
bidang K dan L berpotongan
menurut garis AB, maka garis
potong AB ini memotong
bidang M pada titik P ini berarti
bahwa ketiga garis potong
bidang K, L dan M melalui sebuah titik. (perhatikan gb.7)
b) Umpamakan ada tiga buah bidang K, L dan M.
Bidang-bidang K dan L berpotongan menurut
garis AB, maka garis potong AB ini sejajar
dengan bidang M. Bidang K melalui AB dan
memotong bidang M. Karena AB // bidang M,
maka garis potong K dengan M sejajar dengan
AB, dan garis potong L dengan M sejajar pula
dengan AB. Kesimpulan: Ketiga garis potong itu
sejajar.(perhatikan gb.8)
c) Umpamakan ada tiga buah
bidang K, L dan M. Bidang K
dan bidang L berpotongan
menurut garis AB, dan dimana
garis potong AB ini juga
terletak pada bidang M; ini
berarti bahwa ketiga bidang
melalui sebuah garis. (perhatikan gb.9)
5
Gambar 7
Gambar 8
Gambar 9
DUA BIDANG SEJAJAR
1. Dalil 24: Dua buah bidang akan sejajar jika keduanya tegak lurus pada sebuah garis
lurus atau pada garis-garis lurus sejajar.
Ditentukan :
Apabila bidang K ¿ garis g, dan
bidang L¿ garis g.
Buktikan:
Bidang K// bidang L
Pembuktian:
Buat dua buah bidang, yaitu bidang K dan bidang L. Ditentukan garis g ¿
bidang K dan garis g ¿ bidang L.
Andaikan bidang K tidak sejajar dengan bidang L, maka kedua bidang itu
akan mempunyai sebuah titik persekutuan A. Ini berarti, bahwa dari sebuah
titik diluar garis g kita dapat melukiskan dua buah bidang yang tegak lurus
pada garis g.
Hal Ini bertentangan dengan dalil 16 yang berbunyi “Melalui sebuah titik
diluar sebuah garis dapat dilukiskan sebuah bidang saja yang tegak lurus
pada garis itu, jadi bidang K haruslah // bidang L. (terbukti)
2. Dalil 25: dua buah bidang akan sejajar jika sepasang garis berpotongan pada
bidang yang satunya sejajar dengan garis berpotongan pada bidang lainnya.
Diketahui:
Garis a dan garis b berpotongan dan keduanya padang bidang K, garis a’
dan garis b’ berpotongan dan keduanya pada bidang L. Garis a// garis a’
dan garis b// garis b’.
6
Gambar 10
Buktikan:
Bidang K // bidang L.
Pembuktian:
Buat dua buah bidang, yaitu bidang K dan bidang L. Buat garis a yang
berpotongan dengan garis b pada bidang K. Dan buat garis a’ yang
berpotongan dengan garis b’ pada bidang L.
Ditentukan garis a//a’ dan garis b//b’. Tariklah garis g tegak lurus pada
bidang K, maka g¿ a dan g¿ b. Karena garis a//a’ dan garis b//b’ maka K
¿ g dan L¿ g, sehingga bidang K // bidang L sesuai dengan dalil 24 yang
berbunyi dua buah bidang akan sejajar, jika kedua garis itu tegak lurus
pada sebuah garis lurus atau garis-garis lurus sejajar. (terbukti)
3. Dalil 26: Semua garis-garis melalui titik P diluar bidang K dan yang sejajar dengan
bidang K terletak pada sebuah bidang L yang sejajar dengan bidang K.
Ditentukan:
a,b, dan c melalui titik P, a//K, b//K, c//K
Dibuktikan;
a, b, c terletak pada sebuah bidang L
yang sejajar dengan bidang K.
7
Gambar 11
Gambar 12
Pembuktian:
Lukiskan sebuah bidang yang kita sebut bidang K,
Dalam bidang K kita tentukan titik Q,
Melalui titik Q, kita tarik sebuah garis QP yang tegak lurus dengan bidang
K,
Melalui titik P, dan titik Q buat sebuah bidang M yang tegak lurus bidang K
dan melalui garis a, b, dan c yang sejajar bidang K,
Karena bidang M memotong bidang K pada garis a′, b′, dan c′ maka
menurut dalil 19 a//a′, b//b′, c//c′,
Di awal kita telah menyatakan bahwa garis PQ ⟘ bidang K, maka PQ
tegak lurus dengan semua garis yang ada di bidang K,
Hal ini mengakibatkan PQ ⟘ a′, PQ ⟘ b′, PQ ⟘ c′ dan karena a//a′ maka
PQ ⟘ a, PQ ⟘ b, PQ ⟘ c juga,
Dari pernyataan tersebut dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa a, b, c
berada pada suatu bidang yakni bidang L (dijamin oleh dalil 12),
Karena PQ ⟘ a′, PQ ⟘ b′, PQ ⟘ c′, maka PQ ⟘ bidang K,
PQ ⟘ a, PQ ⟘ b, PQ ⟘ c, maka PQ ⟘ bidang L, Karena PQ ⟘ bidang K dan bidang L maka K//L. (terbukti)
4. Dalil 27: Melalui titik P diluar bidang K hanya dapat dilukiskan sebuah bidang saja
yang sejajar dengan bidang K.
Ditentukan:
Bidang L melalui titik P di luar
bidang K
Dibuktikan:
L//K
Pembuktian:
Buat sebuah bidang K, yang di dalamnya kita tentukan titik Q,
Dari titik QP tarik garis yang tegak lurus bidang K,
8
Gambar 13
Melalui titik P tersebut dapat dibuat sebuah bidang L yang melalui titik P dan
tegak lurus garis PQ (hal ini dijamin oleh dalil 15),
Karena PQ ⟘ K dan PQ ⟘ L, maka menurut dalil 24 K//L. (terbukti)
5. Dalil 28:Jika dua buah bidang sejajar dipotong oleh bidang ketiga, maka garis-garis
potongnya akan selalu sejajar.
Ditentukan:
K//L, M memotong K dan L
Buktikan:
(K, M) // (L,M).
Pembuktian:
Lukiskan dua buah bidang sejajar yang
kita sebut bidang K dan L,
Potong K dan L itu dengan sebuah bidang M,
Garis yang memotong bidang K oleh bidang M kita sebut (K,M) dan garis
yang memotong bidang L oleh bidang M kita sebut (L, M),
Kita asumsikan bahwa (K, M) tidak sejajar (L,M), dari asumsi tersebut maka K
dan L berpotongan,
Terjadi kontradiksi, karena K//L sehingga haruslah (K,M) // (L,M). (terbukti)
9
Gambar 14