geometri netral

5/16/2018 Geometri NETRAL - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geometri-netral-55ab50ce0ff1b 1/28



Den íx̱era óti den eínai i ̱ agápi ̱



Farkas Wolfgang Bolyai

(1775-1856)

Masa kecil

Pekerjaan

Pendidikan

usia enam tahun dikirim ke sekolah Calvinis di

Nagyszeben

usia 12 tahun meninggalkan sekolah dan

ditunjuk sebagai tutor untuk Simon Kemeny

tahun 1790 memasuki kampus Calvinis di

Kolozsvár

diajarkan di rumah oleh ayahnya hingga ia

mencapai usia enam tahun

bakat dalam perhitungan aritmatika dan

dalam belajar bahasa

6 bulan di Jena, Farkas sekolah di Göttingen

mengajar matematika, fisika dan kimia di

Marosvasarhely

Karyanya berjudul Tentamen (dua jilid)

merupakan kiprahnya untuk memberikan

dasar geometri, aritmatika, aljabar dan

analisis yang sistematik. menikmati masa

tuanya dengan menulis puisi, musik dandrama



János Bolyai

(1802 - 1860)

Karya-

karyanya

belajar di kampus Royal

Engineering di Wina (1818-

1822) dan bertugas di korps

tentara (1822-1833).

Farkas Bolyai selalu mengarahkan anaknya untuk menjadi ahli

matematika. Dia percaya bahwa pikiran yang sehat hanya bisa mencapai

hasil yang besar jika berada dalam tubuh yang sehat, sehingga dalam

tahun pertama perhatian yang diberikan untuk pembangunan fisiknya

Pada saat ia berusia 13 tahun telah menguasai kalkulus dan

mekanika analitis. Pada usia 15, ia menunjuk sebuah tiga bagian

sudut yang bagus, dalam solusi yang memanfaatkan salah satu

cabang dari hiperbola xy = c. Usia 21 tahun, melanggar larangan

ayahnya karena mengembangkan geometri yang beda dengan

postulat kelima yaitu dengan geometri hiperbolik dan ternyata

mampu memecahkan kebuntuan yang dialami oleh ayahnya.

János Bolyai naik ke kelas 4 dari College Calvinis di Marosvásárhely

pada usia 12 tahun dimana 3 tahun lebih awal daripada biasanya

menerbitkan makalah Appendix tidak lebih dari 26

halaman, karena tidak mampu mempublikasikan

penemuannya, namun Janos meninggalkan 3.000

halaman artikel matematika dan 11.000 halaman

makalah lain .

Mengembangkan konsep geometris yang ketat dari

bilangan kompleks sebagai pasangan terurut

bilangan real



Karl Friedrich

Gauss (1777-

1855)

Masa kecil

Karya-

karyanya

Pendidikan

Umur 7 tahun dikirim ke sekolah lokal

Umur 12 tahun, Gauss sudah berani

mempertanyakan dasar-dasar geometri Euclides.

Umur 15 tahun, Gauss sudah belajar di College

masuk universitas Gottingen dan memilihbidang matematika

menunjukkan kredibilitasnya sejak umur tiga tahun. Saat ayahnya

menerima upah mingguan. Bisa belajar membaca sendiri

Umur 21 tahun, Gauss meninggalkan universitas

dan kembali ke Brunswick

Gauss menemukan cara membuat poligon 17 sisidengan menggunakan kompas dan penggaris.

Disquisitiones Arithmeticae, Theorematis arithmetici

demonstratio nova

The Metaphysics of Mathematics

Gauss memperagakan mengirim sinyal-sinyal telegrafik

sebelum dikembangkan oleh Samuel Morse



Keantaraan

Kongruensi

Titik-titik A, B, C, D, . . .

Pengertian pangkal geometri Absolut,

menurut Pasch ialah:



AKSIOMA 1

D

B

A

C

Jika A dan B titik berlainan,maka pada sebarang sinar yang

berpangkal di C ada tepat satu titik D,

sehingga AB CD.



AKSIOMA 2

SIFAT TRANSITIF

A B

C D

Jika AB CD dan CD EF maka AB EF

E F



AKSIOMA 3

A B

SIFAT SIMETRIS

AB BA



AKSIOMA 4

D’

B’ A’

C’

A B

C

D

Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan

BC B’C’ , CA C’A’, AB A’B’,

sedang D dan D’ adalah dua titik berikutnya

sedemikian hingga [BCD] dan [B’C’D’]

dan BD B’D’ , maka AD A’D’.



DEFINISI 1

Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang

kongruen dengan pelurusnya (suplemennya);

besarnya suatu sudut siku-siku sama dengan

½ π radian.

B’



DEFINISI 2

O Pr

Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat

kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r

Suatu titik Q yang memenuhi Q > r

dikatakan ada di luar lingkaran.

Q X

X

Suatu titik yang tidak pada

dan tidak di luar lingkaran

dikatakan ada di dalam lingkaran.



LEMMA B

A C

E

F

Perhatikan Δ AEB dan ΔFEC

CE = BECEA = BEF (Bertolak Belakang) AE = FEMaka Δ AEB ΔFEC sehinggaEAB = EFC dan ABC = FCB

CAB + ABC + ACB = CAE + EAB + ABC + ACB

= CAE + EFC + FCB + ACB

= CAF + AFC + FCA

CA B = CAE + EAB sehingga CAB = CAF + AFC

CAF ≤ CAB AFC ≤ CABatau



TEOREMA 1

Jumlah dua sudut segitiga < 180

A B

C

D

CBD > ACB

CBD = 180 - ABC

CBD < ACB

180 - ABC < ACB

ACB + ACB < 180



TEOREMA 2

Jumlah besar sudut sebarang segitiga kurang atau

sama dengan 180

Pengandain: ada Δ ABC dengan A + B + C = 1800 + p,

dengan p

Ada Δ A 1B1C1 dengan A 1 + B1 + C1 = 180 + p A 1 A

Ada Δ A 2B2C2 dengan A 2 + B2 + C2 = 180 + p

A 2 A 1 A

A n A

Bn + Cn 180



AKIBAT 2 (COROLLARY)

Jumlah besar sudut-sudut segiempat kurang atau sama dengan 360

A

B c

D

1 4

2 3

A + B1 + D2 180

B4 + C + D3 180 + A + B + C + D 380



Tidak menggunakan proposisi Euclid, seperti: 1.sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegi panjang adalah

sejajar

2.sisi-sisi tersebut sama panjang, atau

3.diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadi

dua segitiga yang kongruen.

DEFINISI 3

Suatu segiempat disebut persegi panjang jikasemua sudutnya adalah siku-siku



TEOREMA 3

Jika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada

juga sebuah persegipanjang dengan salah satusisinya lebih panjang daripada ruas garis tertentu

D

X Y

A

B C

D2

C2

D3

C3 Cn

Dn

ABC2D2 mempunyai sifat AD2 = 2AD

ABC3D3 mempunyai sifat AD3 = 3AD

ABCnDn mempunyai sifat ADn = n AD

Jika dipilih n cukup besar, maka n AD > XY

ABCnDn merupakan persegipanjang



AKIBAT TEOREMA 3 (COROLLARY)

Jika ada sebuah pesegi panjang, maka ada sebuah pesegi

panjang yang dua sisinya yang berdekatan panjangnya

masing-masing lebih panjang dari dua segmen garis

tertentu

A F

B

E

X Y

G H

Z

WBerdasarkan teorema 3AF > XY

AG > ZW

AFGH merupakan persegipanjang

C

D



TEOMERA 4

Jika ada sebuah persegi panjang, maka ada persegi

panjang dengan panjang dua sisi yang berdekatanmasing-masing sama dengan panjang XY dan ZW

x y

PZ Q’

R*S’ w

Q

RS



TEOREMA 5

Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga

siku-siku mempunyai jumlah sudut 180

C

A

B

•Menurut teorema 4

ada persegipanjang A’BC’D’

A’B’ = AB, B’C’ = BC

s

r

B’ C’

A’ D’

• r + s = 4.90 =360o

•Andai r < 180o, maka s > 180o

(kontradiksi dengan 2)

Jadi r = 180



TEOREMA 6

Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap

segitiga sebarang memiliki jumlah besar sudut 180

.

A + B1 + D1 180

B2 + C + D2 180 +

A + B + C + D 360

B

A CD

1 2

1 2 A + B + C + 180 360

A + B + C 360



TEOREMA 7

Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180,

maka akan ada sebuah persegi panjang.

A

B

CD

sr

• r + s = 2.90 + 180 =360o

•Andaikan r < 180o, maka s > 180o

(kontradiksi Teorema 2)Jadi r = 180



TEOREMA 7

1

2

2

1

B

A

D

E

Jumlah sudut Δ ABD = 180 maka B1 + A 2 = 90

Karena B1 = A1, B2 = A2

Maka B1 + B2 = 90 dan A 1 + A 2 = 90

B1 + B2 = DBE dan A 1 + A 2 = EAD

Jadi EBD = EAD

Sehingga BDAE persegipanjang



AKIBAT 1 TEOREMA 7

Jika sebuah segitiga mempunyai

jumlah sudut 180,

Maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180



AKIBAT 2 TEOREMA 7

Jika segitiga mempunyai jumlah sudutkurang dari 180,

maka setiap segitiga mempunyai jumlah

sudut kurang dari 180



Pada suatu saat di perairan P. Jawa

ada kapal asing melintas. Para petugas

pantai dapat memantau posisi kapal

seperti pada gambar.

Jika jarak sebenarnya antara Semarang dan Rembang 100 km.

Berapa jarak kapal tersebut dari Semarang

650



Puzzle geometri

Mainan yang digunakan untuk melatih kemampuan

berpikir logis dalam meletakkan benda yang tepat

sesuai dengan bentuk yang ada

geometri netral

Documents