1

BAB I

KONKRUENSI

A. Sistem Aksiomatik

Sesuatu yang wajar jika anak-anak seusia sekitar 2 tahun selalu bertanya apa itu, apa

ini, mengapa begitu, mengapa begini dan sebagainya terhadap sesuatu yang dilihatnya dan kita

orang dewasa harus menjawabnya dengan sabar, walaupun jawabannya tidak rasional, si anak

pasti akan setuju dan menerima apa jawab atas pertanyaan yang diajukan. Hal ini terjadi

karena si anak memang tidak mengerti, sehingga menganggap benar apapun yang didengar

atau yang dilihatnya. Makin bertambah usia anak makin kompleks pertanyaannya dan kadang-

kadang tidak setuju terhadap jawaban yang diterimanya karena dianggap tidak sesuai atau

bertentangan dengan pengetahuan yang sudah dimiliki. Dalam hal ini anak sudah mulai

bernalar, bahkan pada saatnya bisa mengembangkan kemungkinan-kemungkinan yang terjadi

akibat suatu peristiwa tertentu. Inilah perbedaan antara manusia dan binatang. Binatang boleh

dikata tidak bisa bernalar, sehingga yang dilakukan itu-itu saja tidak ada perkembangan sama

sekali.

Matematika merupakan ilmu terstruktur yang merupakan sarana berpikir deduktif dan

sangat berguna untuk membangun, memprediksi serta mengkomunikasikan hasil-hasil

kegiatan keilmuan secara jelas, singkat, dan benar. Dalam matematika, untuk memahami dan

membangun suatu bukti memerlukan beberapa komponen, antara lain (1) perangkat tentang

kemungkinan-kemungkinan yang dibutuhkan untuk membenarkan suatu pernyataan, (2)

kemampuan mendeteksi dan melengkapi suatu pola maupun prinsip yang relevan dengan data,

(3) pemahaman atas ranah-ranah validitas dalam suatu generalisasi, dan (4) kemampuan

menginterpretasikan suatu pernyataan. Dalam sistem aksiomatik, bukti kebenaran suatu

hasil/pernyataan tertentu diperlukan serangkaian pernyataan yang dapat diikuti secara logis

dari pernyatan-pernyataan yang sudah diketahui kebenarannya.

Definisi (metode aksiomatik):

Metode aksiomatik adalah suatu prosedur untuk membuktikan bahwa suatu hasil (dapat

berupa teorema atau yang lain) yang didapat dari suatu percobaan, observasi, coba-coba atau

pengamatan intuitif itu benar (Wallace, 1992 dalam Mulyati S)

Misalkan akan membuktikan suatu teorema ”X” diperlukan suatu

pernyataan pendukung yang membenarkan teorema ”X” tersebut,

misalnya teori atau pernyataan tersebut ”S”. Untuk membenarkan

pernyataan ”S” perlu peryataan ”R”, untuk membenarkan ”R” diperlukan

perhyataan ”Q”, dan untuk membenarkan pernyataan ”Q” diperlukan

perhyataan ”P”, demikian seterusnya sehingga pada suatu saat sampai

pada suatu pernyataan yang sudah jelas benar sehingga tidak perlu Gambar 1.1

P

u

k

m

e

m

b

e

n

a

r

Q

R

S

X

2

dibuktikan lagi. Pernyataan yang tidak perlu dibuktikan kebenarannya ini

dinamakan ”aksioma”. Disamping itu ada suatu istilah yang diperlukan

tetapi tidak bisa didefinisikan. Pernyataan itu dinamakan ”unsur primitif

(undifined term)”. Pernyatan-pernyataan yang kebenarannya perlu

dibuktikan dinamakan ”teorema”.

Dalam geometri unsur yang tidak didefinisikan itu titik dan garis. Sebagai gambaran,

titik itu sesuatu yang tidak mempunyai ukuran yang biasa dinotasikan dengan huruf besar,

misalnya A, B, C, P, ...., sedangkan untuk garis dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p,

q, r, .....atau dua huruf besar dengan dua anak panah di atasnya dengan arah berlawanan (Gb.

1.2) menunjukkan gambar garis PQ. Karena titik tidak berukuran, maka diantara dua titik

terdapat tak terhingga titik. Jadi dapat kita bayangkan berapa banyak titik suatu garis?

Pada subbab ini akan dibahas pula beberapa definisi dan teorema yang berpangkal

pada unsur primitif titik dan garis tersebut.

Definisi (segmen garis):

Segmen (ruas) Garis AB adalah himpuan titik-titik yang memuat titik A, titik B dan semua

titik di antara A dan B (dinotasikan AB)

Definisi (ukuran segmen garis):

Ukuran segmen garis adalah koordinat salah satu ujungnya jika koordinat ujung yang lain 0

(nol)

• • • • • •

PQ AB KL

(a) (b) (c)

Gambar 1.2

Definisi (sinar garis):

Sinar garis KL adalah himpunan titik-titik yang memuat titik K dan semua titik yang sepihak

dengan L terhadap K (gambar 1.2).

Definisi (sudut):

Sudut adalah gabungan dua sinar garis yang pangkalnya berimpit.

Definisi (ukuran sudut):

Ukuran suatu sudut dikatakan 180o jika kedua kaki sudut berlawanan.

Gambar 1.3 menunjukkan bidang setengah lingkaran yang berpusat di P, salah satu

ujungnya A dan ujung lain C. Titik-titik pada setengah lingkaran berkorespondensi satu-satu

L K B A P Q

3

Gambar 1.3

dengan bilangan real dari 0 sampai dengan 180. Titik A berkorespondensi dengan 0o dan C

berkorespondensi dengan 180o. Dengan kata lain titik A berkoordinat 0 dan titik C

berkoordinat 180. Jika titik B berkoordinat x maka dikatakan ukuran sudut APB adalah x dan

dituliskan sebagai u APB = x.

Bicara tentang ukuran tidak lepas dari satuan ukuran tersebut. Tentang ukuran ruas

garis, sebagai dasar adalah skala yang ditunjuk pada ujung – ujung ruas garis, demikian puka

untuk ukuran sudut sebagai dasar adalah ujung-ujung garis tengah setengah lingkaran. Terus

apa satuannya? Satuan panjang yang biasa kita jumpai adalah meter, centimeter, kilo meter

dsb. Hal ini jika diterapkan pada satuan panjang segmen garis tidak mungkin, karena itu cukup

disebut satuan panjang saja.

Satuan sudut yang sudah banyak dikenal adalah derajad. Terus berapa satu derajad

itu?. Sebenarnya derajad itu satuan busur, dan ukuran busur untuk setengah lingkaran

dikatakan 180 derajad (dinotasikan 180o). Karena sudut itu gabungan dari dua sinar yang

pangkalnya berimpit dan busur itu menghubungkan dua titik pada dua sinar yang membentuk

sudut, maka untuk mudahnya derajad dapat dipergunakan sebagai satuan sudut. Jadi satu

derajad adalah ukuran sudut yang ukuran busurnya satu derajad. Selain derajad, satuan sudut

adalah radian. Yang dimaksud satu radian adalah ukuran sudut yang panjang busurnya sama

dengan panjang jari-jari. Panjang busur satu lingkaran yang berjari-jari r adalah 2 radian =

360o. Jadi 1

0 = radian.

Berdasarkan ukuran sudut didefinisikan jenis-jenis sudut sebadai berikut:.

Definisi (sudut siku-siku):

Sudut siku-siku adalah sudut yang berukuran 900

Definisi (sudut lurus):

Sudut lurus adalah sudut yang berukuran 1800.

Definisi (sudut lancip):

Sudut lancip adalah sudut yang berukuran lebih dari 00 dan kurang dari 90

0

90

B X

180 0

C P

x

C

180 P 0

A

4

Definisi (sudut tumpul):

Sudut Tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih dari 900

Definisi (garis bagi sudut):

Garis bagi sudut adalah sinar yang berpangkal pada titik sudut dan membagi sudut itu menjadi

dua sudut yang berukuran sama

Definisi (konkruensi segmen garis dan sudut):

Dua segmen garis (dan dua sudut) dikatakan konkruen (dinotasikan ) jika mempunyai ukuran

yang sama.

Contoh :

Diketahui : U ABC = u DEF

BX garis bagi ABC

EY garis bagi DEF

Buktikan : YEF ABX

Bukti :

1. BX garis bagi ABC (diketahui)

Gambar 1.4 2. U ABX = ½ uABC (definisi)

3. EY garis bagi DEF (diketahui)

4. U YEF = ½ uDEF (definisi)

5. U ABC = u DEF (diketahui)

6. ½.u ABC = ½.u DEF (sifat kesamaan bil riel)

7. U YEF = u ABX (sifat transitif kesamaan bil riel; No.2, 4, 5 dan 6)

8. YEF ABX (definisi). TERBUKTI

Definisi (Sudut bertolak belakang):

Sudut bertolak belakang adalah dua sudut yang titik sudutnya berimpit dan kedua kaki

sudutnya saling berlawanan.

Teorema (sudut bertolak belakang):

Dua sudut yang bertolak belakang konkruen.

Pembuktian teorema tersebut adalah sebagai berikut:

Diket. : ABC dan DBE bertolak

belakang

Buktikan : ABC DBE

A X

B C

D E

Y F

D F

E

Y H

A

B

C

D

E

5

Bukti : 1. ABC bertolak belakang dengan DBE (diket)

2. A, B dan E segaris (def bertolak belakang)

3. Ukuran DBE = 1800 – ukuran ABD

4. C, B dan D segaris (def bertolak belakang)

5. Ukuran ABC = 1800 – ukuran ABD

6. Ukuran ABC = ukuran DBE (transitif, No. 3 dan 5)

7. ABC DBE (definisi) BUKTI SELESAI

B. Konkruensi Segitiga

Definisi (Poligon):

Poligon adalah gabungan dari himpunan titik P1, P2, P3, ..., Pn dan ruasgaris-ruasgaris

, PP....,, PP, PP, PP n1-n433221 , sehingga jika dua ruasgaris berpotongan maka titik potongnya

adalah satu dari titik-titik P1, P2, P3, ..., Pn dan bukan titik yang lain.

Titik-titik P1, P2, P3, ..., Pn masing-masing disebut titik sudut. Ruasgaris-ruasgaris disebut sisi-

sisi poligon dan P1, P2, P3, ..., Pn disebut sudut-sudut poligon.

Definisi (segitiga):

Segitiga adalah poligon yang mempunyai tiga sisi.

Ditinjau dari sisi dan sudutnya segitiga dapat dibedakan menjadi beberapa segitiga, yaitu:

▪ Segitiga samasisi yaitu segitiga yang semua sisinya konkruen

▪ Segitiga samakaki yaitu segitiga yang dua sisinya konkruen

▪ Segitiga sembarang adalah segitiga yang mempunyai 3 sisi yang tidak kongruen

▪ Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya 900

▪ Segitiga lancip adalah segitiga yang semua sudutnya kurang dari 900

▪ Segitiga tumpul adalah segitiga yang mempunyai satu sudut tumpul.

D

E C

A B

B C

T

R

P

S

Q

S

Q

Poligon ABCDE PQRST bukan polygon

Gambar 1.5

6

Definisi (konkruensi dua polygon):

Dua poligon dikatakan konkruen jika banyak sisi yang dimiliki sama dan semua unsur yang

sejenis berkorespondensi satu-satu serta saling konruen.

Aksioma (ss, sd, ss):

Dua segitiga dikatakan konkruen jika salah satu sudut dan dua sisi mengapitnya konkruen

dengan korespondingnya

Aksioma (sd, ss, sd):

Dua segitiga dikatan konkruen jika salah satu sisi dan dua sudut yang mengapitnya konkruen

dengan korespondingnya

Aksioma (ss, ss, ss):

Dua segitiga dikatakan konkruen jika ketiga sisinya konkruen dengan korespondingnya

Teorema (segitiga sama kaki):

Jika ∆ ABC segitiga samakaki dengan AC BC, maka A B

Diket. : ∆ABC samakaki dengan AC BC

Buktikan: A B

Bukti : 1. Buat garis bagi CD dan perhatikan ∆ACD dan

∆BCD

2. AC BC (diketahui)

3. C1 C2 (def. garis bagi. No.1)

4. CD CD (berimpit)

5. ∆ACD ∆BCD (postulat ss,sd,ss, No.2, 3,

dan 4)

6. A B (def.) BUKTI SELESAI

Contoh 1 :

Buktikan bahwa titik yang terletak pada bisector tegak lurus suatu segmen garis berjarak sama

terhadap ujung=ujung segmen garis tersebut. Bisektor tegaklurus adalah garis yang melalui

titik tengah dan tegak lurus.

Diketahui: 1. segmen garis AB

2 P titik tengah AB

3 Garis g melalui P dan AB, dan Q titik pada g

Buktikan : Jarak Q terhadap A sama dengan jarak Q terhadap B (QA = QB)

Bukti : 1. Perhatikan APQ dan BPQ

2 u AP = u BP (P titik tengah AB, diketahui)

3 AP BP (definisi)

4 U APQ = u BPQ (g AB, diketahui)

5 …….. (teruskan untuk latihan)

A B

C

D

1 2

Gambar 1.6

7

Contoh 2:

Ditentukan smkk ABC dengan AC = BC. Titik P pada sisi AC dan titik Q pada sisi BC

sedemikian sehingga CQ QP. Jika R perpotongan AQ dan BP, buktikan bahwa, (a) AR BR

dan (b) CR merupakan garis bagi C.

Diketahui : 1. sama kaki ABC (lih gambar 1.8)

2. CQ QP

Buktikan : (a) AR BR dan (b) CR merupakan garis bagi C.

Bukti (a) : 1. Perhatikan ACQ dan BCQ (gambar 1.8)

2. ABC sama kaki (diketahui)

3. AC DC (def)

4. ACQ BCQ (berimpit)

5. CQ CP (diketahui)

6. ACQ BCP (aks ss, sd, ss)

7. AQC BPC, yang berarti u AQC = u BPC

8. u RQB = u RBA (berpelurus dengan sudut yang ukurannya sama).

9. RQB RPA (def)

…………… (teruskan untuk latihan)

RQB RPA (sd, ss, sd)

AR BR (def). BUKTI SELESAI

Bukti (b) : 1. Hubungkan C dan R, kemudian perhatikan ACR dan BCR.

………………(teruskan untuk latihan)

2. ACR BCR (ss, ss, ss)

……………..

Teorema (teorema sudut luar segitiga)

Ukuran sudut luar suatu segitiga ≥ ukuran sudut dalam yang bukan pelurus (bersuplemen)

dengan sudut luar tersebut.

Diketahui: BCD adalah sudut luar ABC (gambar 1.9)

Gambar 1.8

A B

Q

P / /

g

Gambar 1.7

A B

C

P Q R

8

Buktikan : u CBD ≥ u ACB

Bukti : 1. Tentukan titik P sebagai titik tengah BC

2. Perpanjang AP s/d Q sehingga AP PQ

3. BP CP (dibuat No. 1)

4. P1 P2 (teo, sudut bertolak

belakang)

5. AP PQ (dibuat, No.2)

6. APC QPB (aks. Ss, sd,ss)

7. ACP B1 , akibatnya u ACP = u B1 (def).

8. u B1,2 ≥ u B1 (lih gambar, Q di daerah dalam CBD

9. u CBD ≥ u ACB (sifat bilangan riel No. 7,6) BUKTI SELESAI

Soal latihan

1. Biketahui: AC AB (gambar 1.10)

A1 A2

Buktikan BD CD

2. Diketahui AB CD, AD CB dan D1

B2 (GAMABR 1.11)

Buktikan AE CF

Petunjuk: • Buktikan dulu BAC DCA, akibatnya AF = CE

3. Diketahui: AD = BC, AB = DC, dan P

titik tengah BD (gb 11.12

Buktikan AE = CF

Petunjuk: • Buktikan dulu BEP DFP, akibatnya BE = DF

Gambar 1.9

A

B

!

//

P

//

C Q

1 2

1 2 D

B

C

A D

Gambar 1.10

1

2

D

A

E

F 1

B

C

2

Gambar 1.11

A B

C D

P

E

F

Gambar 1.12

9

4. Diketahui: AB = AC, BD = CD

(gambar 1.13)

Buktikan C1 B2

Petunjuk: • Buktikan dulu CAE BAE , kemudian CE = BE

B

C

A D

Gambar 1.13

E

1

2

10

II KESEJAJARAN PADA BIDANG

Teorema (sudut dalam berseberangan):

Jika dua garis dipotong oleh tranversal (garis di dua titik) sehingga dua sudut dalam

berseberangan yang terbentuk konkruen, maka dua garis itu sejajar.

(a) (b)

Gambar 2.1

Diketahui : garis p dan q dipotong oleh garis k di titik A dan B. Ukuran A1 = ukuran B1

(gambar 2.1 a)

Buktikan : p // q

Bukti :

1. Misalkan p tidak // q (gb 2.1b), maka garis p memotong garis q di C

2. Garis p dan garis q dipotong garis k, terbentuk sudut dalam berseberangan, yaitu

CAB dan B1

3. Terbentuk pula ABC dan B1 merupakan salah satu luarnya.UkuranB1 > ukuran

CAB (teorema sudut luar )

4. CAB dan B1 adalah sudut dalam berseberangan dan tidak sama ukurannya,

sehingga bertentangan dengan yang diketahui. Jadi permisalan tadi salah. Jadi p // q

(gambar 2.1b)

Teorema (sudut sehadap dan dalam berseberangan):

Dua garis yang dipotong oleh transversal akan sejajar jika (a) sudut sehadapnya konruen, atau

(b) sudut luar berseberangannya konkruen. (buktikan)

Definisi segiempat:

Segiempat adalah polygon yang banyaksisinya empat

Definisi (jajar genjang):

Jajar genjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar.

Teorema (sisi-sisi jajar genjang):

Sisi-sisi berhadapan suatu jajar genjang konkruen

k

2

Q

(a)

p

q

g

k

2 A

Q g

(b)

A

B

A

q

p

C 1

B

11

Diketahui : Jajar genjang ABCD (gmb 2.2)

Buktikan : AB = CD dan BC = AD

Bukti :

1. Tarik ruas garis BD, kemudian perhatikan ABD dan CDB

2. AB // CD (def. jajar genjang)

3. B1 D1 (teo, dalam berseberangan)

4. AD // BC (def. jajar genjang)

5. B2 D2 (teo, dalam berseberangan)

6. BD DB (berimpit)

7. ABD CDB (aks. Sd, ss, sd; No. 3, 6 dan 5)

8. AB CD, dan BC AD (definisi) BUKTI SELESAI)

Teorema (sudut-sudut jajar genjang):

Sudut-sudut yang berhadapan suatu jajar genjang konkruen (buktikan untuk latihan)

Teorema (diagonal-diagonal jajar genjang):

Diagonal- diagonal jajar genjang perpotongan di tengah-tengah (buktikan)

Definisi (persegi panjang):

Persegi panjang adalah jajar genjang dengan satu sudut siku-siku

Teorema (diagonal-diagonal persegi panjang):

Diagonal-diagonal persegi panjang sama panjang (buktikan)

Definisi (persegi):

Persegi atau Bujur sangkar adalah persegi panjang dengan sisi-sisi yang berdekatan konkruen.

Teorema (sisi-sisi bujur sangkar):

Sisi-sisi pada satu bujursangkar konkruen (buktikan)

Definisi (belah ketupat):

Belah ketupat adalah jajar genjang dengan sisi-sisi berdekatan konkruen.

Teorema (sisi-sisi belah ketupat):

Sisi-sisi pada satu belah ketupat konkruen (buktikan)

Gambar 2.2 A B

C D

1 2

1 2

12

Definisi (trapesium):

Trapesium adalah segiempat yang mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi sejajar.

Definisi (trapezium sama kaki):

Trapesium samakaki adalah trapesium dengan sisi-sisi yang tidak sejajar konkruen.

Teorema (sudut alas trapesium sama kaki):

Sudut alas trapesium sama kaki konkruen

Diketahui : AB adalah alas trapesium ABCD (gambar 2.3)

Buktikan : DAB ABC

Bukti : 1. ABCD trapezium sama kaki (diketahui)

2. AD BC (def)

3. Tarik garis dari D sejajar garis BC dan motong sisi AB di titik E.

4. CD // BE (def. trap.)

5. EBCD merupakan jajar genjang (def. jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan

sejajar)

6. DE BC (sifat jajar genjang)

7. AD BC (transitif, No.2 dan 6)

. . . . . . . . . . (teruskan untuk latihan)

Berdasarkan definisi-definisi dapat disusun skema segi empat sebagai berikut:

A B

C D

E

Gambar 2.3

Segi empat

Jajar genjang

Persegi panjang

Bujur sangkar

Belah ketupat Trapesium

Trapesium

a. Sama kaki

b. Siku-siku

c. sembarang

13

Berdasarkan definisi dan teorema yang telah kita bahas, dapat disimpulkan bahwa

bangun-bangun segi empat mempunyai sifat-sifat berikut:

Jajar genjang • sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

• diagonalnya berpotongan ditengah-tengah

• sudut-sudut yang berhadapan konkruen

Persegi panjang • sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

• diagonalnya berpotongan ditengah-tengah dan sama panjang

• semua sudutnya siku-siku

Bujur sangkar • semua sisi sama panjang dan yang berhadapan sejajar

• diagonalnya berpotongan ditengah-tengah dan sama panjang

• semua sudutnya siku-siku

Belah ketrupat • semua sisi sama panjang dan yang berhadapan sejajar

• diagonalnya berpotongan ditengah-tengah

• sudut-sudut yang berhadapan konkruen

Trapesium • mempunyai satu dan hanya satu sisi yang berhadapan sejajar

Contoh 1 : Buktikan bahwa jika garis bagi sudut luar sejajar dengan salah satu sisi segi tiga

tersebut, maka segi tiga itu sama kaki.

Diketahui : 1. BD adalah garis bagi sudut luar ABC (gambar 2.4)

2. BD // AC

Buktilan : ABC merupakan sama kaki

Bukti: 1. BD garis bagi CBE (diketahui)

2. B1 B2 (definisi)

3. BD // AC (diket)

4. BAC B2 (sehadap)

5. B1 ACB (dalam berseberangan)

6. BAC ACB (trans. No. 2, 4, 5)

7. ∆ ABC merupakan ∆ sama kaki. (teo.)

BUKTI SELESAI

A B

C

D

1 2

Gambar 2.4

E

14

Contoh 2. : P, Q, R dan S adalah titik tengah sisi-sisi persegi panjang ABCD. Buktilan bahwa

PQRS merupakan belah ketupat (gambar 2.5)

Bukti: 1. APCD adalah persegi panjang

(diketahui)

2. AB CD (sifat persegi panjang)

3. AB = CD dan ½ AB = ½ CD (def konkruensi)

4. P titik tengah AB dan R titik tengah CD

(diketahui)

5. AP = PB = ½ AB, dan CR = RD = ½ CD (def.

titik tengah)

6. AP BP CR DR (definisi, sifat transitif, No. 3, 5)

……………… (terusksn)

∆ APS ∆ BPQ ∆CRQ DRS (ss, sd, ss)

PQ QR RS SP (def) BUKTI SELESAI

Soal latihan

1. Jika dua garis sejajar dipotong transversal (garis ketiga), maka sudut-sudut pada daerah

dalam pada sisi sepihak saling berkomplemen (jumlah ukurannya 1800). Buktikan.

2. Garis bagi sudut-sudut sehadap yang terbentuk karena dua garis yang dipotong

transversal adalah sejajar. Buktikan.

3. Garis bagi sudut luar puncak ∆ sama kaki sejajar dengan alas segitiga tersebut.

Buktikan

4. Buktikan bahwa diagonal trapezium sama kaki konkruen.

5. Bisektor tegak lurus trapezium sama kaki melalui titik tengah sisi atas.

A B

C D

P

Q

R

S

Gambar 2.5

15

III KESEBANGUNAN

Teorema (jumlah sudut segi tiga):

Jumlah ukuran sudut-sudut segi tiga i800

Diketahui : ∆ ABCD

Buktikan : u A + u B + u ACB = 1800

Bukti :

1. Buat garis melalui C sejajar alas AB.

2. C1 A (dlam bersebr)

3. u C1 = u A (definisi)

4. C3 B (dlam bersebr)

5. u C3 = u B (definisi)

6. u A + u B + u ACB = u C1 + u C3 + u C2 = 1800 (sudut lurus)

BUKTI SELESAI

Catatan: Berdasarkan teorema tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa jumlah ukuran

sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 1800

Teorema (transversal garis-garts sejajar):

Jika tiga atau lebih garis sejajar dipotong transversal dalam segmen-segmen yang konkruen,

maka setiap tranversal yang memotong garis-garis sejajar tersebut akan terpotong menjadi

bagian-bagian yang konkruen.

A B

C

1 2 3

Gambar 3.2

=

=

=

/

/

/

p

q

r

s

m n

E

F

K

L G

H M

A

B

C

D

Gambar 3.3

16

Diketahui : 1. p // q // r // s dipotong transversal m di A, B, C dan D

2. AB = BC = CD

3. Tranversal n motong a, b, c dan d di E, F, G han H

Buktikan : EF = FG = GH

Bukti : 1. Buat garis melalui F sejajar m, motong p di K dan r di L

2. ABFK dan BCLF merupakan jajar genjang (mengapa?)

3. ,,,,,, (teruskan untuk latihan)

∆ KEF ∆ LGF (sd, ss, sd)

………

∆ ….. ∆ MHG

…… (teruskan sampai terbukti, untuk latihan)

Teorema (garis sejajar sisi segi tiga):

Jika suatu garis sejajar salah satu sisi dan memotong dua sisi yang lain suatu segi tiga, maka

perbandingan segmen-segmen yang bersesuaian pada sisi yang terpotong sama

Diketahui: 1. E dan F titik-titik pada sisi AC dan sisi BC ∆ ABC

2. EF //AB

Buktikan :

Bukti :

1. Misalkan

2. CF dan FP dibagi menjadi p dan q skala dengan skala yang sama.

3. Pada CF dibuat skala 1, 2,3, 4, … s/d skala p (berimpit dengan F), dan pada FB dibuat

skala 1, 2, 3, 4, …. s/d skala q (berimpit B)

q q-1

p

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2 3 4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2 3 4

P-1

A B

C

E F

Gambar 3,2

17

4. Dari skala tsb dibuat garis-garis sejajar alas menjadi segmen-segmen denyan ukuran

yang sama (teo. 3.1).

5. CE terpotong menjadi p segmen dan EA terpotong menjadi q segmen dengan ukuran

yang sama

6. BUKTI SELESAI

Definisi (kesebangunan):

Dua bangun dikatakan sebangun (dinotasikan ) jika semua unsur berkorenpondensi satu-satu

dan sudut-sudut yang berkorespondensi konkruen sedangkan panjang sisin-sisi yang

bersesuaian sebanding.

Segiempat ABCD dikatakan sebangun dengan

segiempat PQRS jika :

▪ A P; B Q; C R;

D S dan

▪ perbandingan panjang sisi

AB:BC:CD:AD = PQ:QR:RS:PS

Atau perbandingan panjang sisi

AB:PQ = BC:QR = CD:RS = AD:PS

Teorema (kesebangunan dua segi tiga):

Dua ∆ sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian konkruen.

Diketahui : 1. ∆ ABC dan ∆ PQR (Gambar 3.4)

2. A P, B Q dan C Q

Buktikan: ∆ ABC ~ ∆ PQR

A

B

C

D

P

Q

R

S

Gambar 3.3

A B P Q

C

R

Gambar 3.4

K

L

18

Bukti : 1. Tentukan titik K dan L pada PR dan PQ sehingga PK = AC dan PL = AB

2. A P, B Q dan C Q (diketahui)

3. AC PK dan AB PL (dibuat)

4. ∆ ABC ∆ PLK (ss,sd, ss)

5. PKL ACB dan PLK ABC (definisi)

6. KL // CB (sudut sehadap konkruen)

7. PK : PR = PL : PQ (teo garis // alas segi tiga)

8. AC : PR = AB : PQ (substitusi No 1 dan 7)

9. Dengan jalan yang sama dapat dibuktikan bahwa AC : PR = CB : RQ

(anda coba untuk latihan).

10. ∆ ABC ∆ PQR (def. No. 2, 8 dan 9) BUKTI SELESAI

Definisi (garis tinggi segi tiga):

Garis tinggi segitiga adalah segmen garis yang menghubungkan titik sudut segi tiga degan titik

pada sisi (atau perpanjangan sisi) di depannya dan tegak lurus sisi tersebut.

Definisi (garis bagi segi tiga):

Garis bagi sudut suatu segi tiga adalah segmen garis yang menghubungkan titik sudut dengan

titik pada sisi di depannya sehingga terbentuk dua sudut bersisihan yang berukuran sama

(konkruen).

Definisi (garis berat segi tiga):

Garis berat suatu segi yiga adalah segmen garis yang memnghubungkan titik sudut dengan

titik tengah sisi di hadapan sudut tersebut.

Teorema (kesebangunan dua segi tiga):

Dua segi tiga sebangun jika mempunyai dua sudut yang konkruen (buktikan untuk latihan)

Contoh 1

Jika AP dan BQ adalah garis tinggi segi tiga lancip ABC. Buktikan bahwa AC : BC = CP :

CQ

Diketahui : 1. ∆ lancip ABC (Gb. 3.5)

2. AP garis tinggi pada CB

3. BC garis tiggi psds AC

Buktikan: AC : BC = CP : CQ

Bukti : A B

C

P

Q

Gambar 3.5

19

1. Perhatikan ∆ APC dan ∆ BQC

2. u APC = u BQC = 900 (def. garis tinggi)

3. u APC u BQC (def.)

4. C C

5. ∆ APC ∆ BQC (teorema kesebangunan)

6. AC : BC = CP : CQ (def). BUKTI SELESAI

Contoh 2

Jika CD garis bagi C segi tiga ABC, buktikan bahwa AC : BC = AD : BD

Diketahui : CD garis bagi C segi tiga ABC.

Buktikan : AC : BC = AD : BD

Bukti :

1. Buatlah garis melalui B sejajar CD dan motong perpanjangan sisi AC di E (gambar

3.6)u C1 = u C2 (def. garis bagi)

2. u C1 = u BEC (sehadap)

3. u C2 = u B1 (dalm berseberangan)

4. u B1 = u BEC (trans. No. 2, 3 dan 4|

5. ∆ BEC adalah segi tiga sama kaki (teo ∆ smkk)

6. BC = CF(def ∆ amkk

…… (teruskan untuk latihan)

Teorema (Menelaos):

B

1

A

C

D

1 2

Gambar 3.6

E

20

Jika tranversal ∆ ABC memotong sisi AB di P, sisi BC di Q dan sisi AC di R, maka berlaku

Diketahui : tranversal ∆ ABC memotong sisi AB di P, sisi BC di Q dan sisi AC di R

(Gambar 3.7)

Buktikan :

Bukti : 1. Buatlah garis-garis sejajar melalui A, B, C dan motong tranversal di K, L dan M

2. Perhatikan ∆PBL dengan tranversal garis AK

3. ∆ APK ∆ BPL (mengapa)

4. ∆ AKR ∆ CMH (mengapa)

5. ……… ……..

8 ………. (teruskan untuk latihan)

Teorema (Ceva)

Jika P adalah titik pada daerah ∆ ABC, garis yang melalui C dan P motong sisi AB di K, garis

yang melalui A dan P motong sisi BC di L, garis yang melalui C dan P motong sisi AC di M;

maka

Diketahui : 1. P adalah sebarang titik pada daerah ∆

ABC

2. Garis CP, garis AP dan garis BP

memotong sisi AB di K, sisi BC di L,

dan sisi AC di M

Buktikan :

Bukti : 1. Perhatikan ∆ ACK dengan tranversal garis BM dan ∆ BCK dengan tranversal

garis AL

2. ……. (teruskan, pergunakan teorema Menelaos)

A B

C

P

Q

R

K

L

M

Gambar 3.8

1

2

1 2

1 2

1

1

Gambar 3.9

A B

P

K

L M

C

21

Soal Latihan

1. AD dan BE adalah garis tinggi ∆ lancip ABC. Jika AC = 10, BC = 15, dan AD = 8,

tentukan BE.

2. Jika F titik potong AD dan BE (soal No. 1), buktikan bahwa AF : AE = BF : BD

3. ABC adalah ∆ siku-siku di A. Jika AD merupakan garis tinggi, buktikan:

a. AD2 = BD x CD. Petunjuk: Pergunakan konkruensi dua ∆ siku-siku yang

terjadi akibat adanya garis tinggi tersebut.

b. AB2 = BD x BC. Petunjuk: Pergunakan konkruensi ∆ siku-siku yang terjadi

akibat adanya garis tinggi tersebut dengan ∆ semula.

c. AC2 = CD x BC.

d. BC2 = AB

2 + AC

2 (teorema Pitagoras)

4. Buktikan bahwa kega garis berat berpotongan di satu titik.

a. Tunjukkan bahwa garis berat tersebut terpotong menjadi dua bagian dengan

perbandingan 1 : 2

5. Buktikan ketiga garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik

6. Buktikan ketiga garis tinggi suatu segitiga bertemu di satu titik.

22

IV LINGKARAN

A. Unsur-Unsur Lingkaran

Definisi (lingkaran):

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. (Titik tertentu

itu dinamakan pusat lingkaran, dan jarak tertentu itu dinamakan jari-jari linkanran)

Definisi (tali busur):

Tali busur adalah segmen garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

Definisi (busur):

Busur lingkaran adalah himpunan titik-titik yang memuat ujung-ujung tali busur dan bagian

lingkaran yang berada pada satu pihak terhadap tali busur tersebut.

Gambar 4.1 menunjukkan lingkaran yang berpusat di

P dan mempunyai jari-jari r = AP. BD dinamakan

tali busur, sedangkan BD dinamakan busur . BAD

= BCD, yang mana ukuran sudut pusatnya lebih dari

1800, adalah busur yang memuat titik A dan titik C,

dan dinamakan busur besar. Sedangkan BD, yang

mana ukuran sudutnya kurang dari 1800, adalah

busur yang tidak memuat titik A dan titik C dan

dinamakan busur kecil.

Teorema (diameter bisektor busur):

Jika diameter suatu lingkaran membagi dua sama panjang tali busur, maka diameter tersebut

tali busur.

Diketahui : 1. AB adalah diameter lingkaran yang berpusat di P

2. CD adalah tali busur (gambar 4.2)

3. AB bisector CD

Buktikan : AB CD

Bukti : 1. Misalkan AB motong CD di Q

2. CP = DP = r

3. CP DP (def)

4. CQ DQ (didket)

5. PQ PQ (berimpit)

6. ∆ CPQ ∆ DPQ (ss,ss,ss)

7. PQC PQD &def)

8, u PQC = u PQD = 900 (def)

9. AB CD BUKTI SELESAI

P

r

A B

C

D

Gambar 4.1

Gambar 4.2

A

C

D

B

Q

P

23

Definisi (sudut pusat):

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya pada pusat linkaran keliling

Definisi (sudut keliling):

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnys pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya

memuat titik pada lingkaran.

Teorema (sudut keliling):

Ukuran sudut keliling ½ busur di depannya atau ukuran sudut keliling = ½ ukuran sudut pusat

Diketahui : BAC adalah sudut beliling, sedangkan BPC adalah sudut pusat.

Buktika : u BAC = ½ u BPC (gb 4.3)

Bukti : 1. Buat diameter AD

2. Perhatikan ∆ APB dan ∆ APC

3. ∆ APB dan ∆ APC merupakan ∆ sama

kaki (def. lingkaran)

4. u A1,2 = u B (teo ∆ sama kaki)

5. u A1,2 + u B = u P1,2 (teo sudut

luar ∆)

6. u A1,2 + u A1,2 = u P1,2

7. 2.u A1,2 = u P1,2

8. u A1,2 = ½ u P1,2

9. SUDUT KELILING = ½ SUDUT

PUSAT

6. u A2 = u C (teo ∆ sama kaki)

7. u A2 + u C = u P2(teo sudut luar ∆)

8. u A2 + u A2 = u P2

9. 2.u A2 = u P2

10 . u A2 = ½ u P2

• Pada bukti di atas, pusat P berada di daerah luar sudut BAC. Anda buktikan pula (untuk

latihan) jika P berada di daerah dalam sudut BAC

Contoh

Garis g yang melalui titik A memotong suatu lingkaran di B dan C, sedangkan garis s yang

melalui titik A itu juga memotong lingkaran tersebut di D dan E, buktikan bahwa AB x AC =

AD x AE

P

Gambar 4.3

C

D

B

A

1 2

1 2

24

Diketahui : 1. garis g melalui A dan motong lingkaran di B dan C (gb 4.4)

2. garis s melalui A dan motong lingkaran di D dan E

Buktikan : AB x AC = AD x AE

Bukti : 1. Tarik garis BE dan garis DC

2. Perhatikan ∆ ABE dan ∆ ADC

……………(teruskan untuk latihan)

• Pada bukti di atas, A berada di daerah luar lingkaran. Anda buktikan pula (untuk latihan)

jika A berada di daerah dalam lingkaran.

Definisi (garis singgung lingkaran):

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik.

Teorema (garis singgung):

Garis singgung suatu lingkaran tegak lurus jari-jari

Diketahui : Garis g menyinggung lingkaran yang berpusat di P di titik A (gambar. 4.5)

Buktikan : g AP.

Bukti : 1. Misalkan PA tidak g

2. Dibuat PB g

3. AB diperpanjang sampai C sehingga BC

= AB

4. PB merupakan garis tinggi dan juga garis

berat ∆ APC. Ini berarti ∆ APC

merupakan ∆ samakaki

5. PA = PC (∆ APC samakaki)

6. PC merupakan jari-jari lingkaran. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui, bahwa garis

g merupakan garis singgung (garis yang memotong lingkaran di satu titik). Ini berarti

permisalan bahwa PA tidak g : salah, jadi PA g:

E

Gambar 4.4

C

D

B

A

g

s

P

A B

C

g

Gambar 4.5

A

E

B

D C

s

g

g

P

25

Teorema garis singgung selaras dengan teorema sudut keliling. Jika A merupakan titik

singgung, maka busur di depan sudut A = 1800 karena tali busur yang melalui A dan P itu

merupakan garis tengah. Jadi u A (yang terbentuk oleh garis g dan AP) = ½ x 1800 = 90

0.

Ini berarti AP g:

Contoh 1:

Ditentukan garis g yang melalui titik A menyinggung lingkaran di titik P jika garis s melalui A

dan motong lingkaran di Q dan R, buktikan bahwa AP2 = AQ x AR

Diketahui : 1. Garis g melalui titik A dan menyinggung lingkaran di P (gb. 4.6)

2. Garis s melalui A dan motong lingkaran di Q dan R

Buktikan : AP2 = AQ x AR

Bukti : 1. Tarik segmen garis PQ dan PR

2. Perhatikan ∆ APQ dan ∆ ARP

…………… (teruskan untuk latihan)

Contoh 2:

Gambarkan garis singgung lingkaran dari titik di luar lingkaran dan jelaskan.

Diketahui : Lingkaran berpusat di P dan titik A di luar daerah lingkaran.

Ditanya : cara menggambar garis singgung dari A pada lingkaran.

C

Q

P

A

g

s R

Gambar 4.6

B

P A

g

Gambar 4.7

C

26

Jawab : 1. Buat lingkaran dengan garis tengah AP, dan motong lingkaran di dua titik (salah

satunya titik B)

2. Garis AB adalah salah satu garis singgung yang diminta

Penjelasan:

• Untuk membuat garis diperlukan dua titik tertentu, Karena sudah ada satu titik

yang ditentukan (titik A) maka harus ada satu titik lagi, yaitu titik B pada

lingkaran, sehingga u ABP = 900

• Berdasarkan teorema sudut keliling, u ABP = 900

jika B terletak pada

lingkaran yang berdiameter AP, karena itu dibuat lingkaran yang merdiameter

AP.

• Untuk menentukan titik tengah AP (pusat lingkaran), dibuat bisektor dengan

cara membuat dua lingkaran yang berpusat di A dan di P dengan-jari yang

sama.

• Jika dua lingkaran itu berpotongan di Q dan R, maka perpotongan AP dengan

QR merupakan pusat lingkaran.

Soal latihan:

1. Buktikan bahwa panjang garis berat dari titik sudut siku-siku suatu ∆ siku-siku sama

dengan setengah panjang sisi miring (hipotenusa) ∆ siku-siku tersebut.

2. Buktikan perpotongan bisector sisi-sisi suatu segitiga merupakan pusat lingkaran

luar ∆ tersebut. (Lingkaran luar suatu segi tiga adalah lingkaran yang melalui ketiga

titik sudut ∆ tersebut).

3. Buktikan bahwa perpotongan garis bagi sudut-sudut suatu ∆ merupakan pusat

lingkaran dalam ∆ tersebut. (Lingkaran dalan suatu segitiga adalah lingkaran yang

menyinggung ketiga sisi ∆ tsb)

4. Jelaskan bagaimana membuat garis singgung persekutuan dalam dua linkaran.

5. Jelaskan bagaimana membuat garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

27

Kepustakaan

Coxeter F.R.S, 1969 Introduction to Geometry, New York: John Wiley &

Sons.Inc

Kuipers L., Prof. Dr dan Wirasto. 1959. Planimetri. Jakarta: Noordhof.

Kolff N.V

Mulyati Sri (tanpa tahun). Geometri Euclid. Jurusan Pendidikan

Matematika Universitas Negeri Malang.

`

Wallace, Sdward C. 1992. Road to geometry. New Yersey: Prentice Hall.

Inc