GEOMETRI DASAR

GEOMETRI

(3 SKS)

Pokok Bahasan: Geometri dasar : geometri euclid dan aksioma-aksioma dasar, kekongruenan segitiga, ketegaklurusan dan kesejajaran di bidang, kesebangunan segitiga, lingkaran, hitung polygon dan lingkaran. Geometri ruang: ketegaklurusan dan kesejajaran di ruang, jarak dan tempat kedudukan di ruang, sudut antar komponen dalam benda ruang, benda-benda solid geometri ruang ( silinder, kerucut, bola). TRASFORMASI Geometri non-euclid : Geometri Lobachevski (hiperbolik) Geometri fraktal: geometri natural, segitiga SierpinskiPustaka:

1. Michael Hvidsten, Geometry with geometry explorerTM, McGraw-Hill International Edition, 2005.

2. Barnett Rich, Schaums Outline of Geometry, (alih bahasa; Irzam H), Erlangga, 2005.

I. Geometri dasar

I.1.Geometri euclid dan aksioma-aksioma dasar

GEOMETRI EUCLIDHimpunan berbentuk beserta sistem aksioma yang melibatkan 5 aksioma disebut Struktur Geometri Euclid,dengan unsur-unsur dari himpunan masing-masing disebut dengan titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang. Lima (5) aksioma tsb adalaha1. Aksioma insidensi

a2. Aksioma keantaraan (tanpa memperhatikan letak) dan urutan (memperhatikan letak)

a3. Aksioma kekongruenan

a4. Aksioma kekontinyuan (archimedes)

a5. Aksioma kesejajaran euclid

Aksioma insidensi: menentukan hubungan relatif sifat-sifat geometris titik, garis dan bidang.Aksioma urutan: menyajikan hubungan posisi geometris diantara titik, garis dan bidang.

Aksioma kekongruenan: menentukan kekronguenan atau kesamaan di antara segmen garis dan sudutMisalkan dan dua segmen garis, maka ada bilangan berhingga titik-titik A1, A2, ..., An pada garis Aksioma kekontinyuan terdiri atas dua pernyataan:

1. Garis lurus segmen-segmen , , ..., kongruen terhadap dan titik D diantara A dan An (aksioma Archimedes/ukuran).2. Himpunan titik-titik pd garis lurus yang memenuhi aksioma urutan, aksioma pertama kekongruenan, dan aksioma Archimedes adalah lengkap, yaitu tidak ada titik lain yg dpt ditambahkan pd himpunan tsb, shg semua aksioma ini adalah sama benar (aksioma kelengkapan). Aksioma kesejajaran:

Misalkan l sebarang garis lurus dan A titik diluar garis tsb, maka ada paling banyak satu garis yg melalui A dan sejajar terhadap l pada bidang yg ditentukan oleh A dan garis l tsb (postulat Playfair)

Note: -Struktur [, a1, a2, a3, a4 ] disebut geometri netral(absolut).-Geometri netral yang memberlakukan aksioma kesejajaran euclid disebut geometri Euclid (parabolik).-Geometri netral yang memberlakukan aksioma kesejajaran Lobachevski disebut geometri Lobachevski (hiperbolik) dan untuk Riemann disebut geometri Riemann(elliptik). Dua geometri ini disebut geometri non-Euclid.AKSIOMA-AKSIOMA DASARAksioma insidensi

1. Jika ada dua titik berbeda, maka akan ada tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut

2. Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka ada tepat satu bidang yang memuat ketiga titik tersebut. 3. Jika ada dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat kedua titik tersebut terletak pada bidang.

4. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu garis.5. Setiap garis memuat sedikitnya dua titik, setiap bidang memuat sedikitnya 3 titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang tidak sebidang.

Postulat 1. Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya dari kedua ujungnya.

Postulat 2. (Postulat jarak)

a. Jarak setiap dua titik di merupakan fungsi di R.

b. Jarak setiap dua titik berharga non-negatif

c. Jarak dua titik adalah nol jhj kedua titik tsb identik

d. Jarak terpendek dari dua titik adalah pada suatu garis lurus (diukur menurut garis lurus)Postulat 3. Pada setiap garis l, titik-titiknya dapat diletakkan suatu korespondensi 1 1 dengan bil real R.Aksioma keantaraan1. Jika A dan B dua titik, maka

a. terdapat sedikitnya satu titik C sehingga C diantara A dan B

b. terdapat sedikitnya satu titik D sehingga B diantara A dan D

c. terdapat sedikitnya satu titik E sehingga A diantara B dan E

2. Jika A, B, dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B, dan C berbeda & terletak pada satu garis (kolinear).

3. Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka B diantara C dan A.4. Jika A, B dan C tiga titik kolinear, maka tepat satu dari tiga keadaan ini benar:

a. B diantara A dan C

b. C diantara A dan B

c. A diantara B dan C.I.2. Kekongruenan segitiga

Segitiga (Pengantar)Dua unsur penting dalam segitiga adalah sisi dan sudut. Suatu segitiga dapat dilukis jika salah satu dari lima syarat di bawah ini dipenuhi :

1. Satu sisi dan sudut-sudut yang terletak pada sisi itu ((, S, ()

2. Satu sisi , sebuah sudut pada sisi tersebut dan sudut dihadapan sisi tersebut (S, (, ().

3. Dua sisi dan sudut apitnya (S, (, S)

4. Diketahui tiga sisinya (S, S, S)

5. Dua sisi dari sudut dihadapan salah satu sisi yang diketahui (S, S, ()

Sifat-sifat segitiga antara lain :

1. Jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 1800.

2. Panjang suatu sisi segitiga kurang dari jumlah dua panjang sisi lainnya (ketaksamaan segitiga : S1 < S2 + S3).

3. Dua segitiga yang alasnya berlainan dan tingginya sama, luas daerahnya berbanding sebagai panjang alasnya

4. Dua segitiga yang alasnya sama dan tingginya berlainan, luas daerahnya berbanding sebagai tingginya

5. Dua segitiga yang sama salah satu sudutnya, luas daerahnya berbanding sebagai hasil kali panjang sisi yang mengapit sudut yang sama itu.

Contoh Diketahui segitiga ABC, berturut-turut titik-titik X, Y, Z terletak pada BC, AC, dan AB. Jika BC : BX = AC : CY = AB : AZ = 3 : 1 dan Luas ABC = 9, berapa luas XYZ?

Penyelesaian.

Segitiga BXZ dan BCZ mempunyai tinggi sama.

Perbandingan luasnya = perbandingan panjang alasnya .

Luas(BXZ) : luas(BCZ) = 1 : 3, sebab BX : BC = 1 : 3.

Segitiga BCZ dan ABC mempunyai tinggi yang sama

(tinggi : garis yang tegak lurus dengan AB dan melalui C).

BZ : AB = 2 : 3, maka luas(ABC) : luas(BCZ) = 3 : 2.

SehinggaLuas(ABC) = = , atau Luas(BXZ) = luas(ABC) = (2/9).9 = 2

Dengan cara analog, dapat anda buktikan luas(AZY) = luas(CXY) = 2.

Oleh karena itu, luas(XYZ) = 9 3.2 = 3.

______________

Contoh

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika BC = AD, tentukan (CAD ?

Penyelesaian:Perhatikan (ABC, maka (BAC = 180 (70+55) = 55. Sehingga (ABC merupakan segitiga sama kaki, dengan AC = BC. Juga (ACD sama kaki dengan AD = AC.

Hal ini bearkibat (CAD = 180 (2x40) = 100.

Teorema Pythagoras

Luas persegi pada sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya. Dengan kata lain, jika sudut B pada segitiga ABC sama dengan 900 maka AB2 + BC2 = AC2.

Konversnya, jika AB2 + BC2 = AC2 maka sudut B sama dengan 900.

Contoh .

Perhatikan gambar di samping. Persegi panjang

ABCD dan D titik tengah pada salah satu sisi

persegi panjang yang memuat ABCD. Tentukan

luas persegi panjang ABCD. (( = 450 )

Penyelesaian:

Karena ( = 450 maka AE = BE. Dengan

teorema Pythagoras didapat AB = 3. Sudut CGD = 450(sebab bersebarangan dengan sudut () maka CGD adalah

segitiga siku-siku sama kaki.

Dengan demikian, DG2 = (3)2 + (3)2 atau DG = 6.

Diketahui DF = FG/2 maka FD = DG = 6, yang berakibat BD2 = 62 + 62 atau BD = 6.

Sampai di sini, diperoleh BD = 6 dan BD = 3. Jadi, luas persegi panjang ABCD = 6 .3 = 36.

Note:

*Transversal sisi adalah sembarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi sebuah segitiga. *Transversal sudut adalah sembarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah segitiga.

* Jika dua garis atau lebih berpotongan pada satu titik maka garis-garis tersebut dikatakan konkuren.

k: transversal sisi, l: transversal sudut

Dua segitiga ABC dan segitiga PQR dikatakan sebangun jika terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik A, B, C dengan P, Q, R, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang sama, .

Notasi ABC dan PQR sebangun ditulis dengan ABC ~ PQR.

Contoh

Perhatikan gambar di bawah ini

Jika BC = 5, AB = 4, dan AD = 2 CD maka luas segi empat ABDE sama dengan ...

Penyelesaian.

Dengan menggunakan rumus Pitagoras, didapat AC = 3. Hal ini berarti CD = 2. Luas segitiga ABC = x 3 x 4 = 6.

Dari gambar di atas, segitiga ABC dab DCE sebangun. Oleh karena itu maka

yang berakibat EC = 0,6 dan DE = 0,8.

Dengan demikian luas CDE = x 0,8 x 0,6 = 0,32.

Jadi luas ABDE = 6 0,32 = 5,68.LINGKARAN

Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Selanjutnya, titik tertentu disebut pusat lingkaran. Sedangkan jarak dari pusat lingkaran ke setiap titik pada lingkaran disebut jari-jariBagian-bagian dari lingkaran

1. Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari dengan titik sudut di pusat lingkaran.

2. Busur adalah bagian dari lingkaran yang terletak di depan sudut pusat.

3. Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

4. Diameter adalah talibusur yang melewati titik pusat lingkaran

5. Sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh 2 tali busur yang bertemu di satu titik pada lingkaran

6. Tembereng adalah daerah yang dibentuk oleh busur dan tali busur

7. Garis singgung adalah garis yang bersinggungan tepat 1 titik dengan lingkaran dan titik persekutuan itu disebut titik singgung. Garis singgung lingkaran pada lingkaran letaknya tegak lurus pada jari-jari yang melalui titik singgung

Sifat-sifat sudut pada lingkaran :

1. Sudut keliling sama dengan setengah sudut pusat yang menghadap busur yang sama

2. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar

3. Sudut keliling yang menghadap setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

4. Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur adalah 180(5. AC dan BC dua garis singgung lingkaran dan C titik potongnya :

CB = AC

( ACO = ( BCO

Contoh 1 Diketahui DC adalah diameter lingkaran yang berpusat

di A. AC adalah diameter lingkaran yang berpusat di B.

Jika DE garis singgung lingkaran yang berpusat di B dan

DE = 8(2, berapa panjang jari-jari lingkaran besar ?

Penyelesaian:

Misalkan jari-jari lingkaran kecil = a. Perhatikan dua segitiga sebangun berikut

Segitiga BDF dan segitiga CDE sebangun. Jika AB = a maka DB = 3a dan DC = 4a. Sehingga FB/EC = DB/DC atau a/EC = 3/4 atau EC = 4a/3.

Dengan Pythagoras, (4a)2 = (8(2)2 + (4a/3)2 atau a = 3. Sehingga jari-jari lingkaran besar = 2a = 6.

Jawaban : 6

__________

Contoh 2Diketahui busur AB adalah busur lingkaran yang berpusat di C. Dan busur BC adalah busur lingkaran yang berpusat di A.

Jika AC = (3 maka luas daerah yang diarsir sama dengan ...

Penyelesaian:

Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi (3. Luas daerah yang diarsir = luas juring ABC luas segitiga ABC.

= [ ( ((3)2] [1/4 ((3)2 (3]

= (/2 - .

Latihan 1

Jika diketahui lingkaran yang berpusat di O dan K, L, M berada di keliling lingkaran seperti terlihat ada gambar. Buktikan bahwa .Latihan 2

Diketahui busur AB adalah busur lingkaran yang berpusat di C. Dan busur BC adalah busur lingkaran yang berpusat di A.

Jika panjang AC = x cm maka luas daerah ABC sama dengan ...

Latihan 3

Gambar berikut memperlihat bagian dari dua lingkaran. Garis AB dan BC keduanya adalah jari-jari kedua lingkaran tersebut. Jika AB = BC = 2 cm, tentukan luas daerah yang diarsir?

Penyelesaian.

Segitiga ABD adalah segitiga sama sisi. Beberapa simbol untuk menyatakan luas daerah daerah :

a = luas setengah lingkaran dengan AC sebagai diameternya.

b = luas tembereng BAD dengan B sebagai pusat lingkaran

c = luas tembereng ABD dengan A sebagai pusat lingkaran

d = luas segitiga ABD .Luas daerah yang diarsir = a b c -d.

Latihan 4Diketahui tiga lingkaran yang berpusat di titik B, C, dan D. Jika jari-jari masing-masing lingkaran adalah x cm, tentukan panjang garis EF (dalam x). Jika x = 10 cm, berapakah panjang EF?Penyelesaian.

Tarik garis melalui titik C dan tegak lurus dengan EF. Terdapat dua segitiga yang sebangun, yakni AHC dan AGD. Dengan menggunakan pengertian kesebangunan, dapat dicari panjang garis yang tegak lurus dengan EF (=HC).

Latihan 5

Diketahui dan segmen garis potong lingkaran dg pusat O.

Buktikan bahwa PB . PA = PD. PC (dengan PB adalah panjang ).

Latihan 6.

Empat buah lingkaran dengan jari-jari yang sama 6 cm berada dalam sebuah lingkaran besar. Hitung luas daerah yang diarsir cm2Latihan 7.

Gambar berikut merupakan bagian dari dua lingkaran yang masing-masing memiliki titik pusat di O dan P. Garis ab merupakan diameter lingkaran yang bertitik pusat di O. Tentukan luas bidang yang diarsir ! Jika panjang ab = 2 cm dan jari-jari lingkaran yang bertitik pusat di P ialah 2 cm.

Latihan 7.

Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, dan pada masing-masing sisi dibuat setengah lingkaran kearah keluar. Jika luas setengah lingkaran pada sisi AB dan AC berturut-turut adalah 396 dan 1100, maka luas setengah lingkaran pada sisi BC adalah....

Latihan 8.

Seperempat lingkaran pada gambar dibawah berjari-jari 7 cm dan berpusat di O. Tititk A merupakan titik tengah OB dan merupakan pusat setengah lingkaran yang melalui ODB , dan Besar sudut AOD adalah 45o. Luas daerah yang diarsir adalah ...

HITUNG POLIGON DAN LINGKARANTeorema 1. Secant TangenJika P adalah sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan , maka PA.P=PT2.

Bukti:

Misalkan maka

Sehingga .

Akibatnya: .Teorema 2.

Jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil kali ukuran/panjang sisi-sisinya dibagi empat kali luas segitiga tersebut.

Adb: Jari-jari lingkaran , dengan L menyatakan luas segitiga.

Bukti:

PernyataanAlasan

1.

2.

3.

4. a : t = 2r : b

1. Dua sudut siku-siku kongruen

2. Dua sudut kel. Menghadap busur yg sama

3. Kesebangunan sgt

4. Perbandingan sisi-sisi sgtg

5. L = t.c

Teorema 3. Jari-jari lingkaran dalam segitiga samadengan luas segitiga dibagi setengah kelilingnya.

Bukti:

Adb: , dg L menyatakan luas segitiga dan s setengah keliling segitiga ABC.

Titik-titik D, E, F merupakan titik-titik singgung lingkaran dalam segitiga ABC. Oleh karena itu berlaku

L(ABC) = L(ACO) + L(BCO) + L(ABO)

= r.a + r.b + r.c

= r (a + b + c)= r s

Jadi .

SEGIEMPAT TALIBUSURSegiempat talibusur adalah segiempat yang ke empat titik sudutnya terletak pada lingkaran atau keempat sisinya merupakan talibusur-talibusur lingkaran.

Sifat:

1. Dalam suatu segiempat talibusur, jumlah sudut-sudut yang berhadapan besarnya 1802. (Teorema Ptolemeus)Dalam suatu segiempat talibusur, hasil kali diagonal-diagonalnya samadg jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.

BD x AC = (AD x BC) + (AB x DC)3. Jika segiempat ABCD adalah segiempat talibusur, maka berlaku

4.Jika ABCD talibusur, maka berlaku

SEGIEMPAT GARIS SINGGUNG

Definisi: Segiempat garis singgung (Lingkaran dalam segiempat) adalah segiempat yang keempat sisi-sisinya menyinggung lingkaran.Teorema: Dalam segiempat garis singgung, jumlah ukuran/panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama panjang.

Buktikan: AB + CD = AD + BC

Teorema: Setiap sisi segitiga beraturan dalam lingkaran berjari-jari r, ukurannya (panjang sisinya) adalah

Buktikan: AB = BC = AC =

LATIHAN

1. Tentukan panjang sisi segiempat beraturan dalam lingkaran berjari-jari r !2. Diketahui Carilah =

3.

PAGE 4

_1297895427.unknown

_1302148299.unknown

_1326220207.unknown

_1363849374.unknown

_1363851535.unknown

_1363866468.unknown

_1363849380.unknown

_1363849358.unknown

_1337154439.unknown

_1303465227.unknown

_1303465578.unknown

_1305140583.unknown

_1305189262.unknown

_1305140533.unknown

_1303465343.unknown

_1302156638.unknown

_1303462783.unknown

_1303465043.unknown

_1303408020.unknown

_1302153925.unknown

_1302148810.unknown

_1299101448.unknown

_1302147260.unknown

_1302147333.unknown

_1299101483.unknown

_1299082866.unknown

_1299100607.unknown

_1299082865.unknown

_1297891184.unknown

_1297895326.unknown

_1297895392.unknown

_1297895406.unknown

_1297891540.unknown

_1297895091.unknown

_1297895118.unknown

_1297893008.unknown

_1158085605.unknown

_1200505627.unknown

_1200925466.unknown

_1199681045.unknown

_1199682788.unknown

_1158180851.unknown

_1158085514.unknown