GRAFIK KOORDINAT DAN CARTECIUS PADA SUMBU SIMETRIDOSEN : SUBALI NOTO S.Si., M.Si.

MAKALAHDiajukan untuk memenuhi salah satu syarat Mata kuliah Geometri Analitis

Kelompok 1 Kelas 2i Anggota:Naskah Fuani Astary Pinasti Micky Zulyapondah Anna Supriani Oban M. Sobari (109070000) (109070117) (109070000) (109070000) (109070000)

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATIFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PRODI MATEMATIKA

2011

KATA PENGANTAR

Segala puji adalah milik Allah yang telah memberikan pertolongan, perlindungan serta ampunan-Nya. Shalawat serta salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW beserta para keluarga, sahabat dan kita selaku umatnya sampai akhir jaman. Dengan petunjuk dan pertolongan Allah, akhirnya penulis dapat

menyelesaikan makalah yang berjudul GRAFIK KOORDINAT DAN CARTECIUS PADA SUMBU SIMETRI ini. Penyusunan makalah ini berdasarkan hasil pencarian dari berbagai sumber yang penulis miliki dan beberapa refrensi pustaka mengenai masalah yang terkait dan beberapa materi yang diberikan oleh dosen Mata Kuliah Geometri Analitik, Bapak Subali Noto S.Si., M.Si. Pada kesempatan kali ini penulis ingin berterimakasih kepada: 1. Bapak Subali Noto S.Si., M.Si.. selaku pembimbing dan dosen Mata Kuliah Geometri Analitik. 2. Orang tua yang telah memberikan dukungan moril maupun materiil. 3. Semua pihak yang telah memberikan bantuan baik secara langsung maupun tidak langsung kepada penulis. Harapan penulis, makalah ini tidak hanya menjadi wacana bagi para pembaca, namun juga dapat memberikan pengetahuan sehingga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Penulis menyadari makalah ini masih jauh dari sempurna karena masih terdapat beberapa kekurangan, baik dari segi materi maupun segi penyajiannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca agar makalah ini dapat lebih baik lagi kedepannya dan semoga apa yang telah kita lakukan mendapat ridho dari Allah swt.. Amin.

Cirebon, Juli 2011

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................ ................................ ....................

i

DAFTAR ISI ................................ ................................ ................................ .. iii BAB I PEMBAHASAN ................................ ................................ ........... 3

A. Definisi Istilah Istilah Proses Pembelajaran ................................ ....... 3 B. Macam Macam Metode Pembelajaran ................................ ............... 3

BAB II PENUTUP ................................ ................................ .................... 25 A. Kesimpulan ................................ ................................ ........................... 25

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUANA. Latar Belakang B. Tujuan Penyusunan C. Rumusan Masalah

BAB I PEMBAHASANA. Koordinat titikUntuk menentukan letak suatu titik pada bidang datar diperlukan patokan awal. Patokan awal ini dibuat dari dua garis bilangan riel yang berpotongan saling tegak lurus di titik nolnya, yang satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis yang mendatar dinamakan sumbu X, dan garis yang tegak diberi nama sumbu Y. Dua sumbu yang saling tegak lurus itu dinamakan sistem koordinat Kartesius tegak lurus atau cukup disebut koordinat Kartesius.

Letak titik P (gambar 1.1) dikaitkan dengan dua bilangan, yaitu bilangan yang menyatakan jarak O ke P1 dan bilangan yang menyatakan jarak O ke P2, masing masing disebut absis titik P dan ordinat titik P, selanjutnya pasangan terurut dari dua jarak tersebut disebut koordinat titik P.

Untuk mempermudah perhatikan gambar berikut (gambar 1.2)

Pada gambar 1.2 dapat dikatakan bahwa titik P berabsis 4 dan berordinat 2. Selanjutnya dikatakan koordinat titik P adalah (4 , 2).

Sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu X dan sumbu Y, membagi bidang datar menjadi 4 daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV, seperti gambar 1.3

B. Jarak dua titikPerhatikan dua titik P1(x1 , y1) dan P2(x2 , y2) pada gambar berikut

Selanjutnya dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh: P1 P2 ! P1T P2T2 2 2

P1 P2 ! x 2 x1 y 2 y1

2

P1 P2 !

x 2 x1 y 2 y1

2

2

Contoh: Misalkan P1(1 , 1) dan P2(-3 , 4), maka jarak P1 dan P2 adalah:

P1 P2 !

1 ( 3) 1 4

2

2

! 16 9 ! 5

C. Koordinat titik diantara dua titikDiberikan tiga titik P(x1 , y1), Q(x2 , y2), dan T diantara P dan Q dengan perbandingan PT : TQ ! m : n , seperti gambar berikut

Perhatikan gambar 1.5, karena PT : TQ ! m : n ,

Maka :P1T1 : T1Q1 ! m : n , sehingga

xT

x1 : x2 xT ! m : n

mx 2 xT ! nxT x1

m n xT

! mx2 nx1 mx 2 nx1 mn

xT !

Dengan cara seperti di atas, maka diperoleh:yT ! my 2 ny1 mn

Dari uraian di atas, kita dapat menyimpulkan: Apabila diketahui titik-titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2), dan titik T pada ruas garis PQ sedemikian sehingga PT : TQ ! m : n , maka koordinat titik T adalah:xT ! mx 2 nx1 mn

,

dan

yT !

my 2 ny1 mn

Contoh : Apabila diketahui titik-titik P(1 , 3) dan Q(-2 , -5), dan titik T pada ruas garis PQ sedemikian sehingga PT : TQ ! 8 : 3 , maka koordinat titik T adalah ; xT ! 8 xQ 3x P danyT ! 8 yQ 3 y P

83 8 2 3 1 xT ! 11 16 3 xT ! 11 2 xT ! 1 11

83 8 5 33 yT ! 83 15 9 yT ! 11 6 yT ! 3 11

D. Koordinat titik tengah diantara dua titik

Apabila diketahui titik-titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2), dan titik T adalah titik tengah ruas garis PQ, maka PT : TQ ! 1 : 1 , sehingga koordinat titik T adalah:xT ! x 2 x1 2

dan

yT !

x 2 x1 2

Contoh : Apabila diketahui titik-titik P(1 , 3) dan Q(-2 , -5), dan titik T adalah titik tengah pada ruas garis PQ, maka PT : TQ ! 1 : 1 , sehingga koordinat titik T adalah: xT ! xQ x P danyT ! yQ y P

2 2 1 , xT ! 2 1 xT ! 2

2 53 yT ! 2 yT ! 1

1 ,1 2

Dalil : Grafik dari fungsi fungsi linear ( linear artinya pangkat satu atau straight ) adalah suatu garis lurus.

E. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0)

Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak pada garis g. Titik Q juga terletak pada garis g. Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik Bukti Perhatikan segitiga OPP dan segitiga OQQ QQ: PP = QO : PO y:b=x:a ay = bx y = b/a x ; jika b/a = m

F. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0) Dan titik B(0,b) Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP//BO Bukti bahwa persamaan umum garis lurus adalah y = (b/a) x + b

Bukti BO : PP = AO : AP B:y = -a : (-a + x )

-ay = b ( -a + x ) -ay = -ab : bx y = -(b/a) x b (terbukti)

atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b)

G. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUSSesuai dengan dalil, bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus; Misalkan fungsi linear itu y = ax + b Titik A, B, dan C terletak pada grafik y = ax + b A(x1,y1) terletak pada grafik y1 = ax1 + b B(x2,y2 ) terletak pada grafik y2 = ax2 + b y1 y2 = a(x1 x2 ) (i) A(x1,y1) terletak pada grafik y1 = ax1 + b C(x3,y3 ) terletak pada grafik y3 = ax3 + b y1 y2 = a(x1 x3 ) (ii)

Syarat bahwa (x1, y1) , (x2, y2), dan (x3, y3 ) terletak pada sebuah garis lurus

titik A, B, C terletak pada suatu garis lurus

Sehingga pengertian dari (2.1) sampai dengan (2.3) dapatlah disimpulkan sebagai berikut : 1. Persamaan garis lurus melalui pusat y =mx dimana m = tg dengan m merupakan koefisien arah / gradient / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis . 2. Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b, dengan m = tg dan garis ini melalui titik (0,b) tg adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif. 3. Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit ax + b + c = 0

Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif Perhatikan segitiga OBP

Persamaan garis kutub atau persamaan garis polar

H. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1), dengan gradien mKita sudah mengetahui bahwa persamaan garis umum y = mx + n Titik P(x 1, y1) dilalui oleh garis y = mx + n .............(i) y1 = mx1 + n .............(ii)

y = y1 mx + n = mx1 + n

y - y1 = m(x x1)Persamaan garis lurus melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m

I. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIKPersamaan melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) Persamaan garis lurus y = mx + n Persamaan garis melalui A(x1, y1) y - y1 = m(x x1 ) ................... (i) Titik B(x2, y2) terletak pada garis y - y1 = m(x x1) y y2 = m(x x2) ...................................... (ii)

Persamaan garis melalui dua titik

J. PERSAMAAN GARIS MELALUI P(a,0) DAN Q(0,b)Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)

Persamaan garis melalui P(a,0) dan Q(0,b)

K. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)

Tarik garis melalui titik O B garis g OP Karena OP B g disebut persamaan garis normal. Kita misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan X positif = K Perhatikan segitiga OPB, siku siku di P

Perhatikan OPA, siku siku di P

Karena garis g memotong ABX dititik A (a,0) dan B (0,b), maka persamaan garis g adalah

(i) dan (ii) subtitusikan ke (iii)

Catatan : 1. karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g ) maka suku ke-3 selalu negatif 2. koefisien x = cos K koefisien y = sin K cos2K + sin 2K = 1

@mengingat kedua syarat diatas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat

dirubah ke persamaan normal Hesse .

Contoh : Rubahlah persamaan -3x -4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse

Penyelesaian : -3x -4y + 10 = 0 x (-1)

L. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS)1. Garis yang Berpotongan Garis l1 a1 x + b1 y + c1 = 0 Garis l2 a2 x + b2 y + c2 = 0

(dikalikan dengan b2) (dikalikan dengan b1)

a1x + b1 y + c1 = 0 a2x + b2 y + c2 = 0

a1b2 x+b1b2+b2 c1=0 a1b2 x+b1b2+b2 c1=0 (a1b2 a2 b1)x + (b2 c1- b1c2 )=0

Garis ) Garis )

(dikalikan dengan (dikalikan dengan

a1a2x+a2 b1+a2 c1=0 a1a2x+a1 b2+a1 c2=0 (a2b1 a1b2)x + (a2 c1- a1 c2 )=0

Kemungkinan kemungkinan :a. Jika a1b2-a2b1 0

a1b2 a2b1 Syarat 2 garis berpotonganb. Jika a1b2-a2b1 = 0 Tapi b2c1 b1c2 0 sehingga

Maka 0. x 0, ini berate tidak ada harga (x,y) yang memenuhi

2. Garis yang Berpotongan Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya Dimana syaratnya : a1b2 - a2b1 = 0 b2c1 b1 c2 0

Syarat garis sejajar

3. Garis yang Berhimpit Dimana syaratnya : a1b2 - a2b1 = 0 @

Syarat garis berhimpit

M. SUDUT ANTARA DUA GARISJika l1 | y = m1 x + b1 l2 | y = m2 x + b2 sudut perpotongan = tg 1 = m1 tg 2 = m2 1 = 2+ =

tg =

= tg atau tg = arc. tg =

Kemungkinan kemungkinan :a. Untuk N = 90o tg 90o =

1+m1 m2 = 1+m1 m2 = 0 m1 m2 = - 1b. Untuk N = 0o tg 0o = 0

m1 m2 = 0 m1 = m2 Syarat garis sejajar

N. JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0Diketahui : l | ax + by + c = 0 Ditanya : Jarak titik O ke garis l| ax + by + c = 0

Penyelesaian

Karena

Maka d = Maka d=

Jarak titik ke garis

O. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Ditanya : jarak Penyelesaian :

jarak antara dua garis sejajar

P. Jarak dari Titik P(x1,y1) ke Garis Ax + By + C = 0

melalui titik P(x1,y1 ) Ditanya : Penyelesaian :

, ini berarti c1 = - (ax1+by1) Karena

jarak dari titik ke garis

Q. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMAJika memotong dititik P, maka akan diperoleh koordinat titik

R. BERKAS GARIS