FUNGSI

3.1 Fungsi Aljabar dan Fungsi TransendenDefinisiFungsi aljabar adalah suatu fungsi yang diperoleh melalui sejumlah berhingga operasi aljabar pada fungsi konstan dan fungsi kesatuan

Beberapa contoh fungsi aljabar adalah:1. Fungsi linier, f(x) = ax + b, a, b konstanta2. Fungsi kuadrat, f(x) = ax2 + bx + c, a 0, a, b dan c konstanta.3. Fungsi pangkat tiga (kubik), f(x) = ax2 + bx2 + cx + d, a 0, a, b, c dan d

konstanta.4. Suku banyak (polinom), fungsi ini adalah perluasan dari ketiga fungsi

sebelumnya, yang mempunyai bentuk umumPn(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0,An, an-1, . . . , a1, a0, konstanta dinamakan koefisien suku banyak. Dalam kasus an 0, bilangan asli n dinamakan derajat suku banyak dan suku banyak konstan, yaitu fungsi konstan dinamakan suku banyak berderajat nol. Perhatikan bahwa fungsi linier, kuadrat dan pangkat tiga di atas masing-masing adalah suku banyak berderajat 1, 2, dan 3.

5. Fungsi rasional, fungsi ini adalah hasil bagi dari dua suku banyak, ditulis

Pm(x) dan Pn(x) masing-masing adalah suku banyak. Sebagai ilustrasi, fungsi

adalah fungsi rasional

6. Fungsi irrasional, fungsi ini adalah fungsi aljabar yang tak rasional, yaitu mengandung faktor atau suku yang diperoleh dengan operasi pengambilan

akar. Sebagai ilustrasi, fungsi masing-

masing adalah fungsi irrasionalJenis fungsi lainnya adalah fungsi transenden, yang didefinisikan sebagai berikut.Definisi:Fungsi yang terdefinisi pada himpunan bagian dari R yang bukan fungsi aljabar dinamakan fungsi transendenFungsi transenden meliputi:

1. Fungsi trigonometri dan inversnya.Fungsi trigonometri y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x dan y = csc x.

2. Fungsi eksponen dan inversnya yaitu fungsi logaritma.Fungsi yang berbentuk f(x) = ax, a > 0, a 1 dinamakan fungsi eksponen sedangkan inversnya, g(x) = alog x, a > 0 dan a 1 dinamakan fungsi logaritma.

3. Fungsi hiperbolik dan inversnya, fungsi ini merupakan kombinasi dari fungsi eksponen.

3.2 Fungsi periodik dan fungsi terbatasSalah satu keistimewaan dari beberapa fungsi tertentu adalah grafik fungsinya akan berulang kembali setiap selang tertentu sepanjang sumbu mendatar. Fungsi yang bersifat demikian dinamakan fungsi periodik, yang definisi lengkapnya sebagai berikut:Definisi:Fungsi f yang terdefinisi pada himpunan bilangan real R dikatakan fungsi periodik jika terdapat suatu bilangan positif P sehingga f(x_p) = f(x) untuk setiap x R.Bilangan positif P terkecil yang mengakibatkan f(x+P) = f(x) dinamakan perioda fungsi f.Contoh:

a. Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi periodik karena sin (x+2π) = sin (x+4π) = . . . = sin (x+2nπ) = sin x. Perioda fungsi ini adalah 2π.

b. Fungsi g(x) = cos x adalah fungsi periodik karena cos (x+2π) = cos (x+4π) = . . . = cos (x+2nπ) = cos x. Perioda fungsi ini adalah 2π.

c. Fungsi h(x) = tan x adalah fungsi periodik karena tan (x+π) = tan (x+2π) = . . . = tan (x+nπ) = tan x. Perioda fungsi ini adalah π

TeoremaFungsi X(t) = sin x dan g(x) = cos x adalah fungsi periodik dengan perioda 2π

akibatnya

TeoremaFungsi X(t) = A sin (t + ) dan X(t) = A cos(t + ) di mana A, R adalah fungsi periodik dengan perioda 2π/.

Contoh:Tentukan perioda fungsi f(x) = sin2x dan g(x) = cos2x.

JawabDari rumus trigonometrik kita mempunyai identitas sin2x = ½(1-cos2x) dan cos2x = ½(1+cos2x). Berdasarkan ini, f(x) = ½ - ½cos2x dan g(x) = ½ + ½cos2x. Menurut teorema diatas, fungsi f dan g adalah fungsi periodik dengan perioda 2π/2=π.

Teorema1. Fungsi y = tan x adalah fungsi periodik dengan perioda π.2. Fungsi y = a tan (bx +c) adalah fungsi periodik dengan perioda π/b.

Setiap fungsi sebarang yang terdefinisi pada selang berhingga dari R dapat dibuat periodik. Fungsi f : [a,b] R , y = f(x), f(x+h) = f(x) di mana h = b – a adalah suatu fungsi periodik dengan perioda h.

Contoh:Gambarkan setiap fungsi periodik berikut ini

a. f : [-1,1] Rx/|x|, x 0

f(x) =1, x = 0

f(x+2) = f(x) V x R

b. g : (-1, 1) Rg(x) = |x|g(x+2) = g(x) V x R

Jawab:F dan g adalah fungsi periodik dengan perioda 2. Jika -1 x < 0, maka f(x) = x/(-x) = -1, f(0) = 1 dan jika 0 < x < 1, maka f(x) = x/x = 1.Fungsi f dan g kita buat periodik dengan perioda 2 dengan cara menggambarkan grafik yang sama pada setiap selang yang panjangnya 2 satuan.

Catatan:1. Fungsi periodik memotong sumbu X atau garis yang sejajar sumbu X di tak

berhingga banyaknya titik.2. Fungsi suku banyak Pn(x) yang terdefinisi pada R bukan fungsi periodik

karena Pn(x) mempunyai paling banyak n akar, atau memotong garis yang sejajar sumbu X paling banyak di n buah titik berlainan.

Keistimewaan lain dari beberapa fungsi tertentu adalah keterbatasan dari daerah nilainya, fungsi demikian dinamakan fungsi terbatas, dengan definisi lengkapkan sebagai berikut:

DefinisiMisalkan A R dan f: A R suatu fungsi. Maka

1. f dikatakan terbatas di bawah jika terdapat m R sehingga m f(x) untuk setiap x A. Dalam hal ini m dinamakan batas bawah untuk fungsi f.

2. f dikatakan terbatas di atas jika terdapat M R sehingga f(x) M untuk setiap x A. Dalam hal ini M dinamakan batas atas untuk fungsi f.

3. f dikatakan terbatas jika terdapat m dan M R sehingga m f(x) M untuk setiap x A. Dalam hal ini m dan M masing-masing dinamakan batas bawah dan atas untuk fungsi f.

Contoh:a. fungsi f(x) = sin x terbatas pada R karena -1 sin x 1 untuk setiap x R.b. Fungsi g(x) = 2 cos (x + ¼π) terbatas pada R karena -2 g(x) 2 untuk

setiap x R.c. Fungsi h(x) = x2 – 2x – 3 terbatas di bawah pada R karena -4 h(x) untuk

setiap x R. Nilai batas bawah ini diperoleh dengan menuliskan h(x) = x2 – 2x – 3 = (x – 1)2 – 4 di mana suku pertama tak negatif, sehingga h(x) -4 untuk setiap x R.

d. Fungsi k(x) = 3 + 2x – x2 terbatas di atas pada R karena k(x) 4 untuk setiap x R. Nilai batas atas ini diperoleh dengan menuliskan k(x) = -x2 + 2x + 3 = -(x – 1)2

+ 4 di mana suku pertama tak positif, sehingga k(x) 4 untuk setiap x R. Perhatika juga bahwa fungsi k adalah lawan (negatif) dari fungsi h, yaitu k(x) = - f(x) untuk setiap x R.

Contoh:Tentukan batas bawah dan batas atas dari fungsi

Jawab:

a. Tulis

Karena 2 x 4, maka , sehingga ; yang

mengakibatkan . Karena itu , sehingga batas bawah dan

batas atas dari f masing-masing adalah dan .

3.3 Fungsi genap dan fungsi ganjilUntuk mendefinisikan konsep fungsi genap dan fungsi ganjil beserta sifat-sifatnya, kita memerlukan beberapa konsep tentang simetri garis dan simetri titik dari suatu himpunan titik di bidang atau grafik suatu persamaan. Konsep simetri tersebut didefinisikan sebagai berikut.Definisi:

1. Dua titik A dan B dikatakan simetri terhadap suatu garis jika garis tersebut merupakan sumbu dari ruas garis AB.

2. Grafik suatu persamaan dikatakan simetri terhadap garis g yang diberikan jika untuk setiap titik A pada grafik tersebut, terdapat titik B yang juga terletak pada grafik sehingga A dan B simetri terhadap garis g.

3. Dua titik A dan B dikatakan simetri terhadap titik ketiga jika titik ketiga tersebut adalah titik tengah dari ruas garis AB.

4. Grafik suatu persamaan dikatakan simetri terhadap titik C yang diberikan jika untuk setiap titik A pada grafik tersebut, terdapat titik B yang juga terletak pada grafik sehingga A dan B simetri terhadap titik C.

Contoh(a) Titik (1,2) dan titik (1,-2) simetri terhadap sumbu X(b) Titik (1,2) dan titik (-2,-1) simetri terhadap garis y = -x.(c) Titik (1,2) dan titik (-2,-1) simetri terhadap titik 0(d) Titik (1,2) dan titik (2,1) simetri terhadap titik (1½, 1½).(e) Grafik fungsi y = x2 – 2x – 3 simetri terhadap garis x = 1.(f) Grafik parabola y2 = 2(x-1) simetri terhadap sumbu X(g) Grafik fungsi y = 1/x, x 0 simetri terhadap titik 0.(h) Grafik lingkaran x2 + y2 = 4 simetri terhadap titik 0, sumbu X dan sumbu Y

serta semua garis yang melalui 0

Secara analitis kesimetrian dari grafik suatu persamaan terhadap sumbu X, sumbu Y dan titik asal 0 dapat diperiksa dengan menggunakan rumus berikut.

Teorema:Grafik suatu persamaan dalam variabel x dan y,

1. simetri terhadapa sumbu X jika dan hanya jika suatu persamaan yang ekivalen diperoleh dengan mengganti y dengan –y pada persamaan asalnya.

2. simetri terhadap sumbu Y jika dan hanya jika suatu persamaan yang ekivalen diperoleh dengan mengganti x dengan –x pada persamaan asalnya

3. simetri terhadap titik asalah O(0,0) jika dan hanya jika suatu persamaan yang ekivalen diperoleh dengan mengganti x dengan –x dan y dengan –y pada persamaan asalnya.