fungsi eksponen 1 i d e n t i t a s - man2kediri.sch.id filecontoh masalah kontekstual yang...

Unit Kegiatan Belajara Mandiri

2018 – Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah 1 | P a g e

MTKP-3.1/4.1/1/1.1

FUNGSI EKSPONEN

Mata Pelajaran : MATEMATIKA (PEMINATAN)

Semester : 1

Kompetensi Dasar : 3.1 Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitanannya

4.9 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma

Indikator Pencapaian Kompetensi : 3.1.1 Menjelaskan kembali konsep dan prinsip fungsi eksponensial

3.1.2 Menentukan penyelesaian fungsi eksponensial menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitannya

4.1.1 Terampil menyajikan grafik fungsi eksponensial dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan peluruhan

4.1.2 Terampil mengolah data dan menganalisis untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial

Materi Pokok : FUNGSI EKSPONEN

Alokasi Waktu : 6 JP x 2 Pertemuan

Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menjelaskan kembali konsep dan prinsip fungsi eksponensial, menentukan penyelesaian fungsi eksponensial menggunakan masalah kontekstual serta keberkaitannya, terampil menyajikan grafik fungsi eksponensial dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan peluruhan, terampil mengolah data dan menganalisis

I D E N T I T A S 1

Fungsi Eksponensial

2 | P a g e Assosiasi Penyelenggara Program SKS Madrasah Aliyah – 2018

untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C).

Materi Pembelajaran : Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Matematika Peminatan X karangan Sukino halaman 4 - 18



PETA KONSEP 2

PROSES BELAJAR 3

Fungsi Eksponensial


KEGIATAN BELAJAR 01

a. teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.

A URAIAN SINGKAT MATERI

Anak-anak, sebelum Anda belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.

Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKB ini. Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi !

PETUNJUK UMUM PENGGUNAAN UKBM: a. Biasakan berdoa’ sebelum memulai pelarajan sesuai dengan tata-cara yang berlaku dan telah

ditetapkan di madrasah/sekolah masing-masing b. Pahamilah terlebih dahulu materi yang akan diajarkan, baik dengan cara membaca Buku Teks Pelajaran

(BTP) yang dimiliki atau browsing melalui internet c. Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berpikir tinggi melalui tugas-tugas yang

terdapat pada UKBM ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. d. Kerjakan tugas-tugas yang terdapat dalam UKBM ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada

bagian yang telah disediakan. e. Anda dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegitan TUGAS MANDIRI, apabila Anda yakin sudah

paham dan mampu menyelesaikan semua permasalahan-permasalahan yang terdapat dalam kegiatan belajar, Anda boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.



Contoh masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi eksponen: Udara di kota-kota besar pada umumnya memiliki kadar karbondioksida (CO2) yang cukup tinggi. Tingginya kadar CO2 dapat mengakibatkan polusi udara. Peningkatan kadar CO2 ini dapat digambarkan sebagai fungsi eksponen.

B LATIHAN TERBIMBING

Agar lebih memahami, ayo berlatih berikut.

Misalkan suatu toko CD menjual 2 buah CD band A pada hari pertama, pada hari kedua

terjual 4 buah CD band yang sama, pada hari ketiga terjual 8 buah CD, dan seterusnya.

Berapa total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-20?

Lengkapilah tabel di bawah ini dimana y menunjukkan total banyaknya CD yang terjual

hingga hari ke-x, yang dinyatakan dengan sebuah fungsi eksponen.

x

Banyaknya hari

y

Total CD terjual

1 .... (=2....) 2 .... (=2....)

3 .... (=2....)

4 .... (=24)

...

20 ....(=........)

...

X ....(=........)

Hal ini berarti: 220 ≈ (210)2, 220 ≈ (103)2, atau 220 ≈ 106

Pada tabel di atas y = 2x menunjukkan pada hari ke-20 (saat x = 20), terjual

y = 220 buah CD

Jika dihitung dengan kalkulator akan diperoleh sekitar 1 juta CD yang terjual.

Perhitungan pendekatan hingga hari ke-20 ini berdasarkan memo di atas.

Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-6 adalah .... ≈ ....

MEMO

210 = 1, 024

≈ 103

Fungsi Eksponensial


Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-10 adalah .... ≈ .... Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-20 adalah .... ≈ .... Total banyaknya CD yang terjual hingga hari ke-x adalah .... ≈ ....

Jika Anda belum jelas, tanyakan ke Guru. Jika sudah jelas mari kita lanjutkan

materinya ke tugas mandiri berikut

C TUGAS MANDIRI

Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka selesaikan

permasalahan fungsi eksponen berikut!

Penyelesaian:

Total jumlah bakteri setelah 4 hari adalah 100.000 × 24

4 = ....

Total jumlah bakteri setelah 8 hari adalah 100.000 × 2…..

4 = ....

Total jumlah bakteri setelah 12 hari adalah 100.000 × 2……

4 = ....

Total jumlah bakteri setelah t hari adalah 𝑃(𝑡) = 𝑃0 × 2𝑡

𝑑

Apabila kalian telah mampu memahami permasalahan di atas, maka kalian bisa

melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

Gelas air yang mula-mula berisi 100.000 bakteri,

membelah diri dua kali lipat setiap 4 hari.

Hitunglah jumlah bakteri setelah 4, 8, dan 12 hari!



KEGIATAN BELAJAR 02


Setelah kalian belajar tentang definisi fungsi eksponensial pada contoh kegiatan belajar 1, sekarang perhatikan catatan berikut! Misalkan 𝑎 menyatakan konstanta positif yang lebih dari 1. Fungsi eksponen dengan bilangan pokok 𝑎 ditentukan oleh formula: 𝑦 = 𝑎𝑥 . Dalam berbagai aplikasi sains, fungsi eksponensial berada dalam bentuk: 𝑦 = 𝑛𝑎𝑘𝑥 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛, 𝑎, 𝑑𝑎𝑛 𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎.


Contoh: - Persamaan 𝑦 = 2𝑥 dan 𝑦 = 3𝑥 menyatakan fungsi eksponensial dengan bilangan

pokok 2 dan 3

- Persamaan 𝑦 = (1

2)

𝑥 menyatakan fungsi eksponensial dengan bilangan pokok

1

2

- Persamaan 𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦 = 𝑥3 bukan fungsi eksponensial Untuk memahami analisis dalam melukis grafik fungsi eksponensial, mula-nula tabel fungsi dibuat dengan persamaan 𝑦 = 2𝑥. Dari nilai x dan y diperoleh titik-titik (x, y) yang dilukiskan pada diagram Cartesius berupa titik (bulatan kecil), yang jika dihubungkan akan terjadi kurva 𝑦 = 2𝑥. Lengkapi tabel berikut dan salinlah grafiknya dalam kertas berpetak yang disediakan

x -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑦 = 2𝑥

1

8

.......

.......

........

.......

.......

.......

Jika sudah memahami, lanjutkan pada kegiatan ayo berlatih berikut.

C TUGAS MANDIRI

Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah soal berikut di buku kerja kalian!

a. Lukislah sketsa grafik 𝑦 = (1

2)

𝑥, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝑅

b. Lukislah sketsa grafik 𝑦 = −3−𝑥 + 1, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝑅 Penyelesaian: a. Lengkapi tabel berikut:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

8

.......

.......

........

.......

.......

Fungsi Eksponensial


𝑦 = (1

2)

𝑥

1

8

b. Untuk melukis fungsi 𝑦 = −3−𝑥 + 1 kalian berpedoman pada fungsi 𝑦 = 3𝑥 dengan melakukan proses refleksi (pencerminan) dan translasi (pergeseran). Ikuti langkah-langkah berkut:

- Mulailah dengan melukis 𝑦 = 3𝑥 - Lakukan pencerminan 𝑦 = 3𝑥 terhadap sumbu Y, diperoleh grafik 𝑦 = 3−𝑥 - Lakukan pencerminan 𝑦 = 3𝑥 terhadap sumbu X, diperoleh grafik 𝑦 = −3−𝑥 - Lakukan translasi grafik 𝑦 = −3−𝑥 satu satuan ke atas, diperoleh grafik 𝑦 = −3−𝑥 +

1

Perhatikan hasil lukisan kalian untuk grafik 𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = (1

2)

𝑥

Kedua gambar tersebut menunjukkan grafik 𝑓: 𝑥 → 𝑎𝑥 dalam dua keadaan, yaitu 𝑎 >1 𝑑𝑎𝑛 0 < 𝑎 < 1. Dengan memperhatikan kedua grafik tersebut maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Kedua grafik berpotongan di titik .... 2. Kurva selalu berada di atas sumbu ....

3. Grafik 𝑓(𝑥) = (1

𝑎)

𝑥dapat juga diperoleh dengan mencerminkan grafik 𝑔(𝑥) =

𝑎𝑥 , 𝑎 > 1 terhadap sumbu Y. Dengan kata lain, kedua grafik simetris terhadap sumbu ....

4. Kurva mempunyai asimtot datar pada garis y = .... atau sumbu .... 5. Domain fungsi 𝑦 = 2𝑥 adalah −∞ < 𝑥 < ∞ dengan range 0 < 𝑦 < ∞, dan domain

fungsi 𝑦 = (1

2)

𝑥 adalah −∞ < 𝑥 < ∞ denganm range 0 < 𝑦 < ∞



Bagaimana kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1-3, berikut

diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari.

Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak 1. Apakah kalian mampu menjelaskan kembali konsep

dan prinsip fungsi eksponensial?

2. Dapatkah kalian menentukan penyelesaian fungsi eksponensial menggunakan masalah kontekstual serta keberkaitannya?

3. Apakah kalian terampil menyajikan grafik fungsi eksponensial dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan peluruhan?

4. Apakah kalian terampil mengolah data dan menganalisis untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial?

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali

materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1 –

3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan

putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua

pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

Dimana posisimu?

Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Fungsi Eksponensial rentang 0 – 100,

tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Fungsi Eksponensial lanjutkan kegiatan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!

.

Fungsi Eksponensial


Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Fungsi Eksponensial!

Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Fungsi Eksponensial, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing. 1. Tuliskan sifat-sifat fungsi eksponensial?

2. Carilah nilai pendekatan 240 ke dalam bentuk perpang katan 10

3. Diberikan 𝑓(𝑥) = 8𝑥. Carilah nilai dari 𝑓 (𝑎

3) 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = (

1

√3)

4. Tuliskan deretan bilangan berikut dalam urutan turun

a. (√33

)5

, 1, (√35

)4

, 30,7𝑑𝑎𝑛 (√34

)3

b. √1

3

3, √

1

5

5, √

1

6

6

5. Lukislah grafik fungsi 𝑦 = 3𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = (1

3)

𝑥

6. Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada

waktu 15 menit pertama banyak bakteri ada 400. Tentukan banyak bakteri pada

waktu 30 menit pertama!

Setelah menyelesaikan permasalahan di atas dan mengikuti kegiatan belajar 1 - 3,

bagaimana penyelesaian permasalahan pada stimulus di bagian awal pembelajaran

(sebelum kegiatan belajar 1)? Silahkan kalian berdiskusi dengan teman sebangku atau

teman lain. Kemudian tuliskan penyelesaian matematika tersebut di buku kerja masing-

masing!.

Ini adalah bagian akhir dari UKB materi Fungsi Eksponensial, mintalah tes formatif kepada

Guru kalian sebelum belajar ke UKB berikutnya.

Sukses untuk kalian!!!

MTKP-3.2/4.2/2/........13

PROYEKSI ORTOGONAL

Mata Pelajaran : MATEMATIKA (PEMINATAN)

Semester : 2

Kompetensi Dasar :

3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

Indikator Pencapaian Kompetensi : 3.2.12. Menjelaskan proyeksi vektor ortogonal suatu vektor pada vektor lain.

3.2.13. Menjelaskan proyeksi vektor ortogonal suatu vektor pada vektor lain.

3.2.14. Menentukan vektor hasil proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,

3.2.15. Menentukan panjang vektor hasil proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,

4.2.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,

Materi Pokok : PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN

Alokasi Waktu : 3 JP x 3 Pertemuan

Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menemukan rumus proyeksi skalar, proyeksi vektor ortogonal dan dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi ortogonal, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C)

I D E N T I T A S 1

Proyeksi Ortogonal


PETA KONSEP 2

PROSES BELAJAR 3

Materi Pembelajaran : Faktual:

Permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi ortogonal

Konseptual:

Proyeksi ortogonal ( Proyeksi skalar dan proyeksi vektor)

Prosedural

a. Langkah-langkah menentukan vektor hasil proyeksi dan panjang proyeksi.

b. Menyelesaikan masalah kontekstual Proyeksi ortogonal

a. teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.

PETUNJUK UMUM PENGGUNAAN UKBM: a. Biasakan berdoa’ sebelum memulai pelarajan sesuai dengan tata-cara yang berlaku dan telah

ditetapkan di madrasah/sekolah masing-masing b. Pahamilah terlebih dahulu materi yang akan diajarkan, baik dengan cara membaca Buku Teks Pelajaran

(BTP) yang dimiliki atau browsing melalui internet c. Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berpikir tinggi melalui tugas-tugas yang

terdapat pada UKBM ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. d. Kerjakan tugas-tugas yang terdapat dalam UKBM ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada

bagian yang telah disediakan. e. Anda dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan TUGAS MANDIRI, apabila Anda yakin

sudah paham dan mampu menyelesaikan semua permasalahan-permasalahan yang terdapat dalam kegiatan belajar, Anda boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes

formatif agar Anda dapat belajar ke UKBM berikutnya.

Proyeksi Ortogonal


KEGIATAN BELAJAR 01


Tahukah kalian, apakah artinya proyeksi?


Amati gambar di bawah ini, kemudian jawab pertanyaan berikut

Proyeksi titk A pada ruas garis AD adalah

A sendiri. Proyeksi titik B pada ruas garis

AD , ditentukan dengan cara melukis ruas

garis BC yang tegak lurus ruas garis AD

sehingga proyeksi ttik B pada ruas garis

AD adalah C. Proyeksi AB pada ruas

garis AD adalah ruas garis AC

Perhatikan gambar berikut ini

Jika vektor a diproyeksikan pada vektor b ,

maka hasilnya adalah sebuah vektor yang

segaris dengan vektor b .

Vektor c adalah proyeksi ortogonal vektor a

pada vektor b

PROYEKSI ORTOGONAL

PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL

Setelah memahami tentang proyeksi , mari kita pelajari proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .

Proyeksi Ortogonal


1. Tulislah pendapatmu tentang vektor c .

2. Jelaskan bagaimana cara memproyeksikan vektor a pada vektor b .

3. Seperti tampak pada gambar bahwa vektor a dan vektor b segaris .Apa pendapatmu

tentang vektor satuan dari vektor a dan vektor satuan dari vektor b ?

4. Berdasarkan gambar di atas, jika panjang vektor a = | a | dan panjang vektor c = |c |,

nyatakan cos sebagai perbandingan trigonometri.

5. Tulislah rumus cos , jika adalah sudut antara vektor a dan vektor b

Setelah menjawab semua pertanyaan, sekarang pelajari bagaimana menentukan proyeksi

ortogonal vektor a pada vektor b .

Dengan memperhatikan gambar di atas, dapat peroleh beberapa hal.

1. Vektor c adalah vektor hasil proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b

2. Jika panjang vektor a = | a | dan panjang vektor c = |c | maka cos = | |

| |

c

a

3. Dari UKBM sebelumnya diperoleh bahwa cos =

| || |

a b

a b

4. Dari 1) dan 2) dapat diperoleh : | |

| |

c

a =

| || |

a b

a b

|c | =

.........

| |b

5. Vektor satuan c ditulis c = | |

c

c c = |c | c

6. Vektor satuan b ditulis b = | ..... |

b

7. Vektor c dan b segaris , akibatnya c = b

Selanjutnya vektor c dapat diperoleh dengan cara :

c = | c | c

= | c | b

c = .........

| |b

| ..... |

b

c = 2

.........

| |b b

Jadi proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah c = 2| |

a bb

b

Tulis jawaban kalian pada buku kerja.

Proyeksi Ortogonal


Tentukan proyeksi ortogonal a = ˆˆ ˆ5 6i j k pada b = ˆˆ ˆ2 2i j k

Altdrnatif Penyelesaian :

Diketahui a = ˆˆ ˆ5 6i j k =

5

6

1

dan b = ˆˆ ˆ2 2i j k =

2

1

2

c = 2| |

a bb

b

=

2

2 2 2

5 2

6 1

1 2

2 1 ( 2)

2

1

2

=

2

5 2 6 1 ( 1) ( 2)

4 1 4

2

1

2

= 18

9

2

1

2

=

4

2

4

= ˆˆ ˆ4 2 4i j k

C TUGAS MANDIRI

1. Diketahui vektor-vektor ˆˆ ˆ3 6a i j k , ˆˆ ˆ4 5b i j k ˆˆ ˆ3 4 12c i j k . Tentukan

proyeksi vektor a b pada c

2. Diketahui titk A(2,-1,3) , B(5, 0, -2) dan C(1, 1, 1), AB mewakili u dan AC mewakili v .

Tentukan proyeksi u pada v .

3. Gaya yang dinyatakan oleh vektor (1, 8, 7)R merupakan kombinasi tiga vektor

yang saling tegak lurus. Salah satu vektor tersebut adalah ˆˆ ˆ2 2a i j k .Tentukan

komponen gaya R pada a

Contoh


Proyeksi Ortogonal


KEGIATAN BELAJAR 02


Jika c merupakan vektor proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b , maka panjang c

(ditulis | c |) disebut juga Proyeksi Skalar Ortogonal vektor a pada vektor b .

Proyeksi Skalar Ortogonal ini dapat ditentukan dengan menggeneralisasi pengetahuan yang sudah kalian pelajari pada Kegiatan Belajar sebelumnya..

Dengan latihan terbimbing.... Ayo tunjukkan bahwa :

Proyeksi skalar a pada vektor b = | c | = a b

b

.B LATIHAN TERBIMBING

Misalkan c adalah hasil proyeksi vektor a pada vektor b , maka c terletak pada b

seperti tampak pada gambar di samping.

Jika adalah sudut antara vektor a dan b ,

maka cos| || |

a b

a b

. ..........1)

Pada AOC di titik C,

panjang sisi di samping sudut = | c |

panjang sisi miring = | a |

| |

cos| |

c

a ................. 2)

Ayo tunjukkan bahwa panjang c = | c | = a b

b

PROYEKSI SKALAR ORTOGONAL

Bagaimana menentukan panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b ?

Proyeksi Ortogonal


1. Tentukan proyeksi skalar ˆˆ ˆ2 2p i j k pada ˆˆ ˆ3 2 6q i j k

Alternatif Penyelesaian

Diketahui : ˆˆ ˆ2 2p i j k =

1

2

2

dan ˆˆ ˆ3 2 6q i j k =

3

2

6

| |q = 2 2 23 ( 2) 6

| |q = ...................

p q =

1

2

2

3

2

6

= ........ + ....... + ......... = ..........

Proyeksi skalar p pada q = p q

q

=

.......

....... = ..............

( Ingat ! karena satuan panjang selalu bernilai positif , maka gunakan nilai

mutlak)

2. Diketahui titk-titik ( 2,3, 4)A , (3,2,5)B , (1, 2,1)C dan (3,2, 4)D , Hitunglah

proyeksi skalar AB pada CD .

Alternatif Penyelesaian

Diketahui : ( 2,3, 4)A , (3,2,5)B , (1, 2,1)C dan (3,2, 4)D

AB =

.... ....

.... ....

.... ....

=

..

...

...

CD =

.... ....

.... ....

.... ....

=

..

...

...

CD = .....................

proyeksi skalar AB pada CD = AB CD

CD

=

.........

.........

Contoh

Proyeksi Ortogonal


KEGIATAN BELAJAR 03

C TUGAS MANDIRI

1. Tentukan proyeksi skalar (1,1,2)a pada (4, 12,6)b .

2. Titik A dan B pada gambar di bawah ini, masing-masing (1, 1, 7) dan (7, -5, 1). Titik

C membagi AB dengan 5 : 1

Hitunglah panjang vektor proyeksi a pada c

3. Diketahui koordinat titik (3, 2,0)A , (4,0, )B x dan (5, 1, 1)C . Jika panjang proyeksi

ortogonal vektor AB pada AC adalah 1

63

tentukan nilai n


Dari Kegiatan Belajar 1 dan 2 kalian sudah mengetahui bagaimana cara

menentukan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain , baik proyeksi

vektor maupun proyeksi skalar. Mari kita latih kemampuan kalian melalui Latihan

Terbimbing dan dilanjutkan Tugas Mandiri


1. Diketahui vektor ˆˆ ˆ2 6 3a i j k dan ˆˆ ˆ2 4b xi j k . Panjang proyeksi vektor

a pada b adalah 4

3 , tentukan nilai x.

Contoh

LATIHAN MANDIRI


Proyeksi Ortogonal


Alternatif Penyelesaian.

Misal proyeksi vektor a pada b adalah c , sehingga c = a b

b

Diketahui : ˆˆ ˆ2 6 3a i j k =

2

6

3

dan ˆˆ ˆ2 4b xi j k = 2

4

x

c = 4

3

a b =

2

6

3

2

4

x

= 2 12 12x = 2x , b = 2 4 16x =

2 20x

c = a b

b

4

3 =

2

2

20

x

x

24 20x

= 6x

(......)2( 20)x = (........)

............................= .........

..............................= 0

.......................................................

.......................................................

.......................................................

1 4x dan 2 4x

2. Diberikan vektor a , b dan c sebagai berikut

1

1

2

a

,

2

2 2b

p

dan

0

2

c q

jika panjang proyeksi vektor b pada a adalah 1 dan vektor b tegak

lurus terhadap c maka tentukan nilai p q .

Proyeksi Ortogonal


EVALUASI DIRI 4

Alternatif Penyelesaian.

Jadi nilai p q = ...................

C TUGAS MANDIRI

1. Vektor proyeksi ˆˆ ˆ2 3i j k terhadap vektor ˆˆ ˆ3i j pk adalah 1 1 1 ˆˆ ˆ2 2 2

i j pk .

Tentukan nilai p .

2. Tentukan nila p , jika panjang proyeksi

2

1a

p

pada 1

1

p

b

adalah 2

33

3. Diketahui vektor-vektor ˆˆ ˆ2a i j k , ˆ ˆ5b i j dan ˆˆ ˆ4 4 2c i j k .

Tentukan proyeksi 3 2a b pada c

Vektor b tegak lurus terhadap c maka ,

0b c

b c 0

.....

.....

.....

.....

.....

.....

= 0

..............................= 0

..............................= 0

…............................= ................

...............................= ................

1q

Panjang proyeksi vektor b pada a adalah 1,

jadi : b a

a

= 1

b a =

.....

.....

.....

.....

.....

.....

= ......................

2 2 2(.....) (.....) (.....)a

b a

a

= 1

............

............ = 1

........................= ................

........................= ................

........................= ................

2p

Proyeksi Ortogonal


4. Perhatikan gambar di bawah.

A REFLEKSI DIRI

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3 berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKBM ini di Tabel berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah kalian telah memahami konsep proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .

2. Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .

3. Dapatkah kalian menafsirkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .

4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain .

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali

materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar

1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman

sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab

“YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

Dimana posisimu?

Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Vektor pada sub bab proyeksi ortogonal

suatu vektor pada vektor lain . dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang

tersedia.

Koordinat titik (1, 2,1)P , (2, 4,3)Q

dan (4,2,1)R . Jika S titik tengah QR

dan ST tegak lurus PQ. Tentukan PT


Proyeksi Ortogonal


Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Vektor pada sub bab

proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain ., lanjutkan kegaitan berikut untuk

mengevaluasi penguasaan kalian!.

B UJI PEMAHAMAN

1. Ditentukan koordinat titik P(-2, 6, 5), Q(2, 6, 9), dan R(5, 5, 7). Jika A terletak pada PQ

dan perbandingan PA : AQ = 3 : 1. Tentukan Panjang proyeksi AR pada PQ

2. Proyeksi skalar

3

6

2 x

a pada vektor

1

2

2

b adalah 3

5. Tentukan nilai x

3. Bangun ABCD seperti terlihat pada gambar merupakan trapisium dengan AE = FB

4. Tentukan proyeksi ˆˆ ˆ4 3a i j k pada garis yang melalui titik (2,3, 1) dan

( 2, 4,3)

C RENCANA TINDAK LANJUT

Ini adalah bagian akhir dari UKBM materi Vektor pada sub bab Proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain , mintalah tes formatif kepada Guru kalian sebelum belajar ke UKBM berikutnya.

Sukses untuk kalian!!!

Jika ˆˆ ˆ3 3 4AB i j k dan

ˆˆ ˆ2AD i j k tentukan DC .

fungsi eksponen 1 i d e n t i t a s - man2kediri.sch.id filecontoh masalah kontekstual yang...

Documents