fp unsam 2009 teori distribusi sampling

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007

Teori Distribusi Sampling

Dari suatu populasi X, dapat dilakukan sejumlah sampling yangmenghasilkan himpunan sampel dengan ukuran yang berbeda. Setiaphimpunan sampel tersebut akan menghasilkan estimasi nilai menengahsampel x dan variansi sampel S2 yang berbeda.

Estimator adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk menghitung nilaiestimasi-estimasi tersebut. Contohnya:

x =Pn

i=1 xin (= nilai menengah sampel) adalah estimator untuk

mengestimasi nilai menengah populasi, dan

S2 =Pn

i=1(x−xi)2

n−1 (= variansi sampel) adalah estimator untukmengestimasi nilai variansi populasi.

– Typeset by FoilTEX – 1


Keandalan (reliability) estimasi nilai menengah dan variansi diuji denganmemanfaatkan tiga macam distribusi untuk menyatakan seberapa baik hasilestimasi tersebut yang dinyatakan dalam tingkat kepercayaan (level ofconfidence). Selang/interval/range yang dikenal sebagai selang kepercayaandapat ditentukan untuk “menduga” kemungkinan lokasi nilai menengah danvariansi akan muncul untuk tingkat probabilitas tertentu.



Distribusi yang Digunakan dalam Teori Sampling

1. Distribusi χ2, membandingkan hubungan antara variansi populasi (σ2)dengan variansi sampel (S2), berdasar pada banyaknya ukuran lebih (u).

χ2 = u S2

σ2

Contoh mencari nilai χ2 pada tabel, misalnya untuk nilai χ2 yangberhubungan dengan 1% (α = 0.010) dari area di bawah kurva yangmemiliki derajat kebebasan (u) 10 maka potongkanlah baris u = 10dengan kolom α = 0.010 dan diperoleh nilai chi2 = 23.21

Distribusi χ2 ini digunakan untuk menentukan selang/range dimanavariansi populasi diharapkan (expected) muncul berdasar pada

(a) probabilitas prosentase tertentu,



(b) variansi sampel, dan(c) derajat kebebasan sampel.

Aplikasi: Selang kepercayaan dan uji hipotesa untuk variansi populasi

2. Distribusi t (student).

Distribusi ini digunakan untuk membandingkan nilai menengah populasi(µ) dengan nilai menengah sampel (x) berdasarkan ukuran lebih sampel(u). Terutama digunakan untuk ukuran sampel yang < 30 buah.

Estimator:

t =z√χ2/u

Aplikasi: Selang kepercayaan untuk nilai menengah dan uji hipotesamengenai nilai menengah populasi.



3. Distribusi F .

Digunakan untuk membandingkan dan menghitung variansi dari duahimpunan sampel.

Estimator:

F =χ2

1/u1

χ22/u2

Aplikasi: Menghitung interval dan uji hipotesa untuk rasio dua variansipopulasi.



Selang Kepercayaan untuk Nilai Menengah (Mean):Statistik t

Estimator:

t =z√χ2/u

=x− µ

S/√

n

Pernyataan probabilitas:

P (|z| < t) = 1− α

P

(∣∣∣∣ y − µ

S/√

n

∣∣∣∣ < t

)= 1− α



P

(y − tα/2 ·

S√n

< µ < y + tα/2 ·S√n

)= 1− α

Sehingga selang/interval kemungkinan kesalahan (probable error)sebesar (1− α) untuk nilai menengah dihitung dengan

y − tα/2 ·S√n

< µ < y + tα/2 ·S√n

Contoh: Diukur ke satu jurusan tertentu sebanyak 16 kali yangmenghasilkan nilai menengah sampel x = 25.4′′ dengan simpangan bakuS = ±1.3′′. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk nilai menengahpopulasi (µ).

Penyelesaian:



• Tingkat kepercayaan (1− α) = .95 maka α = 0.05.

• u = 15, cari nilai tα/2 pada tabel distribusi t.

• Hitung selang kepercayaan 95%

y − t0.025 ·S√n

< µ < y + t0.025 ·S√n

25.4− 2.131 · 1.3√16

< µ < 25.4 + 2.131 · 1.3√16

24.7 < µ < 26.1



• Jadi probabilitas 95% untuk nilai µ ada dalam selang/range

x± t0.025S√natau25.4± 2.131

1.3√16

= 25.4± 0.7



Selang Kepercayaan untuk Variansi Populasi, σ2

Distribusi yang digunakan adalah distribusi χ2.

Tabel untuk ekor bagian atas (upper tail) menggambarkan kondisi

P(χ2 > χ2α) = α

untuk ukuran lebih u.

Karena distribusi tidak simetris, untuk mendapatkan nilai ekor bagianbawah (lower tail) digunakan

P(χ2 > χ21−α) = 1− α



yang selanjutnya akan dipakai untuk membentuk pernyataan/statement

P(χ21−α/2 < χ2 < χ2

α/2) = 1− α

Substitusi estimator χ2 ke persamaan tersebut menghasilkan

P

(χ2

1−α/2 <uS2

σ2< χ2

α/2

)= P

(χ2

1−α/2

uS2<

1σ2

<χ2

α/2

uS2

)

P

(uS2

χ21−α/2

< σ2 <uS2

χ2α/2

)= 1− α



Jadi, selang kepercayaan (1− α)100% untuk variansi populasi adalah

uS2

χ21−α/2

< σ2 <uS2

χ2α/2

Contoh: Suatu hasil pengamatan sudut dengan theodolite 1” di-estimasidengan 20 buah pengamatan. Diperoleh standar deviasi sampel S2 = ±1.8′′.Berapakah selang kepercayaan 95% untuk σ2.

Penyelesaian:

• 1− α = 0.95 → α = 0.05 → α/2 = 0.025

• Cari nilai χ20.025 dan χ2

0.975 dengan u = 20− 1 = 19.

• Diperoleh nilai 8.91 dan 32.85.



• Selang kepercayaan

(20− 1)1.82

32.85< σ2 <

(20− 1)1.82

8.91

1.87 < σ2 < 6.91

• Jadi, 95% variansi populasi akan terletak antara 1.87 dan 6.91, makadalam contoh ini variansi sampel (S2 = 1.8) sebenarnya lebih baikdaripada variansi populasi yang diharapkan pada selang kepercayaan95% tersebut.



Selang Kepercayaan untuk Perbandingan Dua VariansiPopulasi

Estimator:

F =χ2

1/u1

χ22/u2

Substitusikan estimator χ2 menghasilkan

F =S2

1

S22

× σ22

σ21

Pernyataan probabilitas:



P(F1−α/2,u1,u2< F < Fα/2,u1,u2

) = 1− α

P(Fl < F < Fu) = P

(Fl <

S21

S22

× σ22

σ21

< Fu

)

= P

(1Fl× S2

1

S22

<σ2

1

σ22

<S2

1

S22

× 1Fu

)= 1− α

Selang kepercayaan:

S21

S22

× 1Fα/2,u1,u2

<σ2

1

σ22

<S2

1

S22

× Fα/2,u2,u1

dengan Fl = F1−α/2,u1,u2= 1

Fα,u2,u1



Uji Hipotesa untuk Nilai Menengah Populasi, µ

Bisa dilakukan uji satu ekor (one-tailed test) maupun uji dua ekor(two-tailed test)

one-tailed test two-tailed test

Hipotesa nol H0 : µ = x H0 : µ = x

H alternatif Ha : µ > x(µ < x) Ha : µ 6= x

Uji statistik t = x−µS/√

n

Daerah penolakan t > tα (atau t < tα) |t| > tα/2

Contoh: Suatu garis basis (baseline) yang dikalibrasi berjarak 400.008 m(= µ) diukur berulang dengan EDM. Dari 20 kali pengukuran diperoleh nilai



rata-rata 400.012 m (= x) dengan standar deviasi S = ±0.002. Apakahjarak hasil ukuran berbeda secara signifikan dari “jarak yang benar” padatingkat kepercayaan 0.05?

Penyelesaian:

• Digunakan uji dua-ekor (two-tailed test).

• Hipotesa nol H0 : µ = 400.008

• Hipotesa alternatif Ha : µ 6= 400.008

• Uji statistiknya

t =x− µ

S/√

n=

400.012− 400.0080.002/

√20

= 8.944



• Hipotesa nol akan ditolak bila t > tα/2,u

• t = 8.994 dan t0.025,19 = 2.093

• karena t > tα/2,u maka H0 memang ditolak.

• artinya, hasil pengukuran berbeda signifikan dengan “jarak sebenarnya”pada tingkat kepercayaan 5%.

Jika disusun selang kepercayaan 95% diperoleh

400.012− 2.093× 0.002√20

≤ µ ≤ 400.012 + 2.093× 0.002√20

400.011 ≤ µ ≤ 400.013



selang ini tidak mencakup nilai “sebenarnya”. Maka perlu diperiksamengenai peralatannya.



Uji Hipotesa untuk Variansi Populasi, σ2

Contoh: Diinginkan kemampuan membaca suatu alat ukur dengansimpangan baku (σ = ±1.5′′). Hasil uji coba 30 kali pengamatanmenghasilkan Sr = ±0.9′′. Apakah hasil ujicoba tersebut memenuhi batas5′′ pada tingkat kepercayaan 5%?

Penyelesaian:

• Hipotesa nol H0 : S2 = σ2

• Hipotesa alternatif Ha : S2 > σ2



• Uji statistiknya:

χ2 =uS2

σ2=

(30− 1)(0.9)2

1.52= 10.44

• Hipotesa nol akan ditolak apabila χ2 > χ2α,u.

• χ2α,u = χ2

0.05,29 = 42.56...

• karena ternyata χ2 < χ20.05,29 maka hipotesa nol tidak dapat ditolak.

• artinya, hasil uji coba dapat diterima...



Uji Hipotesa untuk Perbandingan Dua Variansi Populasi

Bisa dilakukan uji satu ekor (one-tailed test) maupun uji dua ekor(two-tailed test)

one-tailed test two-tailed test

Hipotesa nol H0 : S1S2

= 1 H0 : S1S2

= 1

H alternatif H0 : S1S2

> 1 H0 : S1S26= 1

H alternatif H0 : S1S2

< 1

Uji statistik F = S1S2

atau F = S2S1 F = variansisampelbesar

variansisampelkecil

Daerah penolakan F > Fα F > Fα/2



Contoh: Asumsikan ada hasil hitung perataan minimal konstrain jaringtrilaterasi dengan derajat kebebasan (u2 = 24) memiliki variansi referensi(S2

2 = 0.49) serta ada hasil hitung perataan full constrained dengan derajatkebebasan (u1 = 30) dan variansi referensi (S2

1 = 2.25). Pada tingkatkepercayaan 0.05 apakah hipotesa nol akan ditolak?

Penyelesaian:

• Hipotesa nol H0 : S21

S22

= 1

• Hipotesa alternatif Ha : S21

S226= 1

• Uji statistiknya:

F =2.250.49

= 4.59



• Hipotesa nol akan ditolak apabila F > Fα/2, u1, u2

• Fα/2,u1,u2= χ2

0.025,24,30 = 2.21...

• karena ternyata F > F0.025,24,30 maka hipotesa nol dapat ditolak.

• artinya, variansi sampel kedua tidak sama dengan variansi sampel keduapada tingkat signifikan 0.05.


fp unsam 2009 teori distribusi sampling

Documents