fórmulas para la resolución de circuitos en cc y ca

Frmulas para la resolucin de circuitos en CC y CA


Resumen:

En este artculo se publican y explican un variado compendio de frmulas de clculo, para la resolucin de distintos circuitos de corriente continua y corriente alterna.

Desarrollo:

En algunas de las frmulas siguientes se emplea la fuente symbol para su notacin. Si los smbolos de las letras 'alfa beta delta' no aparecen as: [ ], entonces deber instalarse la fuente citada para una lectura adecuada.1 - Frmulas bsicas de los circuitos elctricos

- Notacin

C E e G I i k L M N P

capacidad tensin valor instantn. E conductancia corriente valor instantn. I coeficiente inductancia

inductancia mutua nmero de vueltas potencia

[Farad, F] [Volt, V] [Volt, V] [Siemens, S] [Ampere, A] [Ampere, A] [adimens.] [Henry, H] [Henry, H] [adimens.] [Watt, W]

Q q R T t V v

W F Y y

carga valor instantn. Q resistencia constante de tiempo tiempo cada de tensin valor instantn. V energa flujo magntico flujo concatenado valor instantn. Y

[Coulomb, C] [Coulomb, C] [Ohm, ] [segundo, seg] [segundo, seg] [Volt, V] [Volt, V] [Joule, J] [Weber, Wb] [Weber, Wb] [Weber, Wb]

- Resistencia

La resistencia R de un circuito es igual a la tensin continua aplicada E dividida por la corriente continua resultante I:

R = E / I

- Resistencias en serie

Cuando las resistencias R1, R2, R3, ... se conectan en serie, la resistencia total RS vale:

RS = R1 + R2 + R3 + ...

- Divisin de tensin por resistencias en serie

Cuando la tensin total ES se aplica al conjunto de dos resistencias conectadas en serie R1 y R2, la corriente IS que circula a travs del circuito serie vale:

IS = ES / RS = ES / (R1 + R2)

http://www.paginadigital.com.ar/articulos/2002rest/2002terc/tecnologia/sica80.html (1 of 23)08/12/2007 17:42:06


Las caidas de tensin V1 y V2 que aparecen a travs de las resistencias respectivas R1 y R2 valen:

V1 = ISR1 = ESR1 / RS = ESR1 / (R1 + R2) V2 = ISR2 = ESR2 / RS = ESR2 / (R1 + R2)

En general, para las resistencias R1, R2, R3, ... conectadas en serie:

IS = ES / RS = ES / (R1 + R2 + R3 + ...)

Vn = ISRn = ESRn / RS = ESRn / (R1 + R2 + R3 + ...)

Ntese que la mayor cada de tensin aparece a travs de la resistencia mayor.

- Resistencias en paralelo

Cuando las resistencias R1, R2, R3, ... se conectan en paralelo, la resistencia total RP vale:

1 / RP = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 + ...

Alternativamente, cuando las conductancias G1, G2, G3, ... se conectan en paralelo, la conductancia total GP vale:

GP = G1 + G2 + G3 + ...

donde: Gn = 1 / Rn

Para dos resistencias R1 y R2 conectadas en paralelo, la resistencia total RP vale:

RP = R1R2 / (R1 + R2)

La resistencia R2 que debe conectarse con la resistencia R1 para dar una resistencia total RP vale:

R2 = R1RP / (R1 - RP)

- Divisin de corriente por resistencias en paralelo

Cuando la corriente total IP se aplica al conjunto de dos resistencias conectadas en paralelo R1 y R2, la cada de tensin VP que aparece a travs del circuito paralelo vale:

VP = IPRP = IPR1R2 / (R1 + R2)

Las corrientes I1 e I2 que circulan a travs de las resistencias respectivas R1 y R2 valen:



I1 = VP / R1 = IPRP / R1 = IPR2 / (R1 + R2) I2 = VP / R2 = IPRP / R2 = IPR1 / (R1 + R2)

En general, para las resistencias R1, R2, R3, ... (con conductancias G1, G2, G3, ...) conectadas en paralelo:

VP = IPRP = IP / GP = IP / (G1 + G2 + G3 + ...) In = VP / Rn = VPGn = IPGn / GP = IPGn / (G1 + G2 + G3 + ...)

donde: Gn = 1 / Rn

Ntese que la mayor corriente aparece a travs de la conductancia mayor (con la resistencia menor).

- Capacidad

Cuando una tensin V se aplica a un circuito que contiene una capacidad C, la circulacin de corriente acumula una carga Q en el capacitor:

Q = i dt = CVAlternativamente, diferenciando con respecto al tiempo:

dq/dt = i = C dv/dt

La capacidad C de un circuito es igual a la carga dividida por la tensin:

C= Q / V = i dt / VAlternativamente, la capacidad C de un circuito es igual a la corriente de carga dividida por la velocidad de variacin de la tensin:

C= i / dv/dt = dq/dt / dv/dt = dq/dv

- Capacidades en serie

Cuando las capacidades C1, C2, C3, ... se conectan en serie, la capacidad total CS vale:

1 / CS = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 + ...

Para dos capacidades C1, y C2 que se conectan en serie, la capacidad total CS vale:

CS = C1C2 / (C1 + C2)

- Divisin de tensin por capacidades en serie

Cuando la tensin total ES se aplica al conjunto de dos capacidades conectadas en serie C1 y C2, la carga QS que se acumula en el circuito serie vale:



QS = i S dt = ESCS = ESC1C2 / (C1 + C2)

Las caidas de tensin V1 y V2 que aparecen a travs de las capacidades respectivas C1 y C2 valen:

V1 = iS dt / C1 = ESCS / C1 = ESC2 / (C1 + C2)

V2 = iS dt / C2 = ESCS / C2 = ESC1 / (C1 + C2)

En general, para las capacidades C1, C2, C3, ... conectadas en serie:

QS = i S dt = ESCS = ES / (1 / CS) = ES / (1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 + ...) Vn = i S dt / Cn = ESCS / Cn = ES / Cn(1 / CS) = ES / Cn(1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 + ...)

Ntese que la mayor cada de tensin aparece a travs de la capacidad menor.

- Capacidades en paralelo

Cuando las capacidades C1, C2, C3, ... se conectan en paralelo, la capacidad total CP vale:

CP = C1 + C2 + C3 + ...

- Divisin de carga por capacidades en paralelo

Cuando la tensin EP se aplica al conjunto de dos capacidades conectadas en paralelo C1 y C2, la carga QP que se acumula en el circuito paralelo vale:

QP = i Pdt = EPCP = EP(C1 + C2)

La cargas Q1 y Q2 que se acumulan en las capacidades respectivas C1 y C2 valen:

Q1 = i 1dt = EPC1 = QPC1 / CP = QPC1 / (C1 + C2) Q2 = i 2dt = EPC2 = QPC2 / CP = QPC2 / (C1 + C2)

En general, para las capacidades C1, C2, C3, ... conectadas en paralelo:

QP = i Pdt = EPCP = EP(C1 + C2 + C3 + ...) Qn = i ndt = EPCn = QPCn / CP = QPCn / (C1 + C2 + C3 + ...)

Ntese que la mayor carga se acumula en la capacidad mayor.

- Inductancia ( autoinductancia)



Cuando la corriente cambia en un circuito que contiene una inductancia, el flujo concatenado cambia e induce una tensin e en la inductancia:

dy/dt = e = L di/dt

Alternativamente, integrando con respecto al tiempo:

Y = edt = LILa inductancia L de un circuito es igual a la tensin inducida de carga dividida por la velocidad de variacin de la corriente:

L = e / di/dt = dy/dt / di/dt = dy/di

Alternativamente, la inductancia L de un circuito es igual al flujo concatenado dividido por la corriente:

L = Y / I

El flujo concatenado Y es igual al producto del nmero de vueltas N por el flujo magntico F:

Y = NF = LI

- Inductancia mutua

La inductancia mutua M de dos circuitos acoplados con autoinductancias L1 y L2 es igual a la tensin mutuamente inducida en una autoinductancia dividida por la velocidad de variacin de la corriente en la otra autoinductancia:

M = E2m / (di1/dt) M = E1m / (di2/dt)

Si las tensiones inducidas en las autoinductancias L1 y L2 son respectivamente E1a y E2a para las mismas velocidades de variacin de

la corriente que producen las tensiones mutuamente inducidas E1m y E2m, entonces:

M = (E2m / E1a)L1 M = (E1m / E2a)L2

Entonces:

M = (E1mE2m / E1aE2a) (L1L2) = kM(L1L2)

Donde kM es el coeficiente de acoplamiento mutuo entre las autoinductancias L1 y L2.

Si el acoplamiento mutuo entre las dos autoinductancias L1 y L2 es perfecto, entonces la inductancia mutua vale:

M = (L1L2)



- Inductancias en serie

Cuando las inductancias no acopladas L1, L2, L3, ... se conectan en serie, la inductancia total LS vale:

LS = L1 + L2 + L3 + ...

Cuando dos circuitos acoplados con inductancias L1 y L2 e inductancia mutua M se conectan en serie, la inductancia total LS vale:

LS = L1 + L2 2M

El signo mas/menos es funcin del acoplamiento aditivo o sustractivo, lo que depende de polaridad de conexin.

- Inductancias en paralelo

Cuando las inductancias no acopladas L1, L2, L3, ... se conectan en paralelo, la inductancia total LP vale:

1 / LP = 1 / L1 + 1 / L2 + 1 / L3 + ...

- Potencia

La potencia P disipada en una resistencia R ( conductancia G) atravesada por una corriente I que produce una cada de tensin V vale:

P = VI = V2 / R = I2R

P = VI = V2G = I2 / G

- Energa

La energa W consumida en un tiempo t, para entregar una potencia constante P disipada en una resistencia R ( conductancia G) atravesada por una corriente I con una cada de tensin V vale:

W = Pt = VIt = V2t / R = I2tR

W = Pt = VIt = V2tG = I2t / G

La energa W almacenada en el campo de una capacidad C para alcanzar una tensin V con una carga Q vale:

W = CV2 / 2 = QV / 2 = Q2 / 2C

La energa W almacenada en el campo de una inductancia L para llevar una corriente de carga I con un flujo concatenado Y vale:

W = LI2 / 2 = YI / 2 = Y2 / 2L

- Circuito RC

La constante de tiempo T de un circuito formado por una capacidad C y una resistencia R vale:



T = CR

Si una tensin E se aplica a un circuito serie formado por una capacidad descargada C y una resistencia R, entonces despus de un tiempo t la corriente i, la cada de tensin a travs de la resistencia vR, la cada de tensin a travs de la capacidad vC, y la carga acumulada en la capacidad qC valen:

i = (E / R) e - t / CR = (E / R) e - t / T vR = iR = E e - t / CR = E e - t / T

vC = E - vR = E (1 - e - t / CR) = E (1 - e - t / T) qC = CvC = CE (1 - e - t / CR) = CE (1 - e - t / T)

Si una capacidad C cargada una tensin V se descarga a travs de una resistencia R, entonces despus de un tiempo t la corriente i, la cada de tensin a travs de la resistencia vR, la tensin en la capacidad vC, y la carga acumulada en la capacidad qC valen:

i = (V / R) e - t / CR = (V / R) e - t / T vR = iR = V e - t / CR = V e - t / T

vC = vR = V e - t / CR = V e - t / T

qC = CvC = CV e - t / CR = CV e - t / T

- Circuito RL

La constante de tiempo T de un circuito formado por una inductancia L y una resistencia R vale:

T = L/R

Si una tensin E se aplica a un circuito serie formado por una inductancia L y una resistencia R, entonces despus de un tiempo t la corriente i, la cada de tensin a travs de la resistencia vR, la cada de tensin a travs de la inductancia vL, y el flujo concatenado en la inductancia y

L valen:

i = (E / R) (1 - e - tR / L) = (E / R) (1 - e - t / T) vR = iR = E (1 - e - tR / L) = E (1 - e - t / T) vL = E - vR = E e - tR / L = E e - t / T

yL = Li = (LE / R) (1 - e - tR / L) = (LE / R) (1 - e -t / T)

Si una inductancia L que conduce una corriente I se descarga a travs de una resistencia R, entonces despus de un tiempo t la corriente i, la cada de tensin a travs de la resistencia vR, la cada de tensin a travs de la inductancia vL, y el flujo concatenado en la inductancia y

L valen:

i = I e - tR / L = I e - t / T vR = iR = IR e - tR / L = IR e - t / T

vL = vR = IR e - tR / L = IR e - t / T



yL = Li = LI e - tR / L

= LI e - t / T

2 - Frmulas para sistemas elctricos de corriente alterna

- Notacin

B C E f G a I j L P Q

susceptancia capacidad tensin frecuencia conductancia operador a corriente operador j

inductancia potencia activa potencia reactiva

[Siemens, S] [Farad, F] [Volt, V] [Hertz, Hz] [Siemens, S] [1120] [Ampere, A] [190] [Henry, H] [Watt, W] [VA reactivo, VAr]

R S t V W X Y Z d f w

resistencia potencia aparente tiempo cada de tensin energa reactancia admitancia impedancia ngulo de prdidas ngulo de fase

velocidad angular

[Ohm, ] [Volt-Ampere, VA] [segundo, seg] [Volt, V] [Joule, J] [Ohm, ] [Siemens, S] [Ohm, ] [grados, ] [grados, ] [rad/seg]

- Impedancia

La impedancia Z de una resistencia R en serie con una reactancia X vale:

Z = R + jX

Las formas rectngular y polar de la impedancia Z son:

Z = R + jX = (R2 + X2) tan-1(X / R) = |Z| f = |Z|cosf + j|Z|senfSuma de dos impedancias Z1 y Z2:

Z1 + Z2 = (R1 + jX1) + (R2 + jX2) = (R1 + R2) + j(X1 + X2)

Resta de dos impedancias Z1 y Z2:

Z1 - Z2 = (R1 + jX1) - (R2 + jX2) = (R1 - R2) + j(X1 - X2)

Multiplicacin de dos impedancias Z1 y Z2:

Z1 * Z2 = |Z1| f1 * |Z2| f2 = ( |Z1| * |Z2| ) (f1 + f2)

Divisin de dos impedancias Z1 y Z2:

Z1 / Z2 = |Z1| f1 / |Z2| f2 = ( |Z1| / |Z2| ) (f1 - f2)



- Admitancia

Una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X puede convertirse en una admitancia Y constituida por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B:

Z = R + jX

Y = Z -1 = 1 / (R + jX) = (R - jX) / (R2 + X2) = R / (R2 + X2) - jX / (R2 + X2) = R / |Z|2 - jX / |Z|2 Y = G - jB

G = R / (R2 + X2) = R / |Z|2 B = X / (R2 + X2) = X / |Z|2

La forma polar de la admitancia Y es:

Y = 1 / |Z|f = |Z| -1-f = |Y|-f = |Y|cosf - j|Y|senfReciprocamente, para convertir una admitancia Y constituida por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B en una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X:

Z = Y -1 = 1 / (G - jB) = (G + jB) / (G2 + B2) = G / (G2 + B2) + jB / (G2 + B2) = R + jX R = G / (G2 + B2) = G / |Y|2 X = B / (G2 + B2) = B / |Y|2

Usando la forma polar de la admitancia Y:

Z = 1 / |Y|-f = |Y| -1f = |Z|f = |Z|cosf + j|Z|senfCuando las impedancias Z1, Z2, Z3, ... se conectan en serie, la impedancia total ZS vale:

ZS = Z1 + Z2 + Z3 + ...

Cuando las admitancias Y1, Y2, Y3, ... se conectan en paralelo, la admitancia total YP vale:

YP = Y1 + Y2 + Y3 + ...

- Reactancia inductiva

La reactancia inductiva XL de una inductancia L a una frecuencia f y una velocidad angular w vale:

XL = wL = 2pfL

Si una corriente sinusoidal i de amplitud I y velocidad angular w pasa por una inductancia L, la tensin e a travs de la inductancia vale :



e = L di/dt = L d(I sen wt)/dt = wLI cos wt = XLI cos wt

La corriente que atraviesa una inductancia est retrasada 90 con respecto a la tensin.

- Reactancia capacitiva

La reactancia inductiva XC de una capacidad C a una frecuencia f y una velocidad angular w vale:

XC = 1 / wC = 1 / 2pfC

Si una tensin sinusoidal v de amplitud V y velocidad angular w se aplica a una capacidad C, la corriente i a travs de la capacidad vale :

i = C d(V sen wt)/dt = wCV cos wt = V cos wt / XC

La corriente que atraviesa una capacidad est adelantada 90 con respecto a la tensin.

- Resonancia serie

Un circuito serie que comprende una resistencia R, una inductancia L y una capacidad C tiene una impedancia ZS que vale:

ZS = R + j(XL - XC) = R + j(wL - 1 / wC)

En resonancia, la parte imaginaria de la impedancia ZS vale cero:

XCr = XLr ZSr = R

wr = (1 / LC) = 2pfr

- Resonancia paralelo

Un circuito paralelo que comprende una inductancia L en serie con una resistencia R, en paralelo con una capacidad C, tiene una admitancia YP que vale:

YP = 1 / (R + jXL) + 1 / (- jXC) = (R / (R2 + XL2)) - j(XL / (R2 + XL2) - 1 / XC)

Donde XL = wL y XC = 1 / wC

En resonancia, la parte imaginaria de la impedancia YP vale cero:



XCr = (R2 + XLr2) / XLr = XLr + R2 / XLr = XLr (1 + R2 / XLr2) ZPr = YPr-1 = (R2 + XLr2) / R = XLr XCr / R = L / CR wr = (1 / LC - R2 / L2) = 2pfr

- Potencia en una impedancia serie

Si una tensin V (tomada como referencia) se aplica a una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X, la corriente I vale:

I = VY = V(R / |Z|2 - jX / |Z|2) = VR / |Z|2 - jVX / |Z|2 = IP - jIQ

La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ valen:

IP = VR / |Z|2 = |I|cosf IQ = VX / |Z|2 = |I|senf

El valor de la potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q es:

S = V|I| = V2 / |Z| = |I|2|Z|

P = VIP = IP2|Z|2 / R = V2R / |Z|2 = |I|2R = V|I|cosf

Q = VIQ = IQ2|Z|2 / X = V2X / |Z|2 = |I|2X = V|I|senf

El factor de potencia cosf resulta:

cosf = IP / |I| = P / S = R / |Z|

- Potencia en una impedancia paralelo

Si una tensin V (tomada como referencia) se aplica a una impedancia Z formada por una resistencia R en paralelo con una reactancia X, la corriente I vale:

I = VY = V/(R - j / X) = V(G - jB) = VG - jVB = IP - jIQ

La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ valen:

IP = VG = V / R = |I|cosf IQ = VB = V / X = |I|senf

El valor de la potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q es:

S = V|I| = |I|2 / |Y| = V2|Y|



P = VIP = IP2 / G = |I|2G / |Y|2 = V2G = V|I|cosf

Q = VIQ = IQ2 / B = |I|2B / |Y|2 = V2B = V|I|senf

El factor de potencia cosf resulta:

cosf = IP / |I| = P / S = G / |Y|

- Potencia compleja

Si una tensin V se aplica a una impedancia Z provocando la circulacin de una corriente I , la potencia compleja S vale:

S = VI* (donde I* es el complejo conjugado de la corriente I)

Para carga inductiva:

Z = R + jXL I = IP - jIQ cosf = R / |Z| I* = IP + jIQ S = P + jQ

Para carga capacitiva:

Z = R - jXC I = IP + jIQ cosf = R / |Z| I* = IP - jIQ S = P - jQ

- Potencia trifsica

Para una carga equilibrada en estrella con una tensin de lnea Vlin y una corriente de lnea Ilin se tiene:

Vestr = Vlin / 3 Iestr = Ilin

Zestr = Vestr / Iestr = Vlin / 3 Ilin Sestr = 3 Vestr Iestr = 3 Vlin Ilin = Vlin2 / Zestr = 3 Ilin2 Zestr

Para una carga equilibrada en tringulo con una tensin de lnea Vlin y una corriente de lnea Ilin se tiene:

Vtriang = Vlin



Itriang = Ilin / 3 Ztriang = Vtriang / Itriang = 3 Vlin / Ilin Striang = 3 Vtriang Itriang = 3 Vlin Ilin = 3 Vlin2 / Ztriang = Ilin2 Ztriang

La potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q valen:

S2 = P2 + Q2

P = S cosf = 3 Vlin Ilin cosf

Q = S senf = 3 Vlin Ilin senf

Ntese que para una equivalencia entre cargas equilibradas conectadas en estrella y en tringulo debe ser:

Ztriang = 3 Zestr

- Sistema por unidad

Para cada parmetro del sistema, el valor por unidad es igual al cociente entre su valor verdadero y el valor base:

Epu = E / Ebase Ipu = I / Ibase Zpu = Z / Zbase

En los sistemas trifsicos simtricos se refiere todo a una fase equivalente estrella.

Generalmente se seleccionan los valores nominales de potencia en MVA y tensin de fase estrella en kV como valores base:

Sbase = Snomin = 3 Elin Ilin Ebase = Eestr = Elin/ 3

Los valores base para corriente de lnea en kA y la impedancia por fase estrella en Ohm/fase son:

Ibase = Sbase / 3Ebase ( = Sbase / 3Elin) Zbase = Ebase / Ibase = 3Ebase2 / Sbase ( = Elin2 / Sbase)

Ntese que eligiendo dos valores de base cualesquiera de Sbase, Ebase, Ibase o Zbase se fijan los valores de base de los cuatro.

Los valores por unidad y porcentuales estn relacionados por:

Zpu = Z% / 100



- Sistema por unidad en transformadores

En presencia de transformadores se trabaja con distintos valores base de tensiones, corrientes e impedancias en ambos lados del mismo. Aceptando que la potencia aparente nominal secundaria (subndice 2) es igual a la del primario (subndice 1) resulta:

S1 =3E1lin I1lin = S2 = 3 E2lin I2lin= S

Convirtiendo a valores base por fase estrella:

3E1baseI1base = Sbase = 3E2baseI2base E1base / E2base = I2base / I1base Z1base / Z2base = (E1base / E2base)2

La impedancia Z21 referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z2 en el lado secundario, es:

Z21 = Z2(E1base / E2base)2 = Z2(Z1base / Z2base)

Por lo tanto:

Z21/ Z1base = Z2/ Z2base

Z21pu = Z2pu

La impedancia Z12 referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z1 en el lado primario, es:

Z12 = Z1(E2base / E1base)2 = Z1(Z2base / Z1base)

Por lo tanto:

Z12/ Z2base = Z1/ Z1base

Z12pu = Z1pu

Por su parte, si por ejemplo trabajamos del lado primario, la tensin de cortocircuito por unidad V1CCpu se relaciona con la impedancia de cortocircuito por unidad Z1CCpu mediante:

V1CCpu= V1CC / E1base = I1base Z1CC / E1base = Z1CCpu

- Componentes simtricas

En cualquier sistema trifsico, las corrientes de lnea Ia, Ib e Ic pueden expresarse como la suma fasorial de:



- una terna equilibrada de corrientes de fase de secuencia positiva Ia1, Ib1 e Ic1 (secuencia de fases a-b-c) - una terna equilibrada de corrientes de fase de secuencia negativa Ia2, Ib2 e Ic2 (secuencia de fases a-c-b) - una terna de corrientes de fase idnticas de secuencia cero Ia0, Ib0 e Ic0 (en fase, sin secuencia de fases)

Empleando el operador a (1120), que una de las raices cbicas de la unidad:

a = - 1 / 2 + j3 / 2 = 1120 = 1-240 a2 = - 1 / 2 - j3 / 2 = 1240 = 1-120 1 + a + a2 = 0 a + a2 = - 1 = 1180 a - a2 = j3 = 390 a2 - a = - j3 = 3-90

Las corrientes de secuencia positiva, negativa y cero pueden obtenerse a partir de las corrientes de lnea mediante:

Ia1 = (Ia + aIb + a2Ic) / 3 Ia2 = (Ia + a2Ib + aIc) / 3 Ia0 = (Ia + Ib + Ic) / 3

Y recprocamente:

Ia = Ia1 + Ia2 + Ia0

Ib = Ib1 + Ib2 + Ib0 = a2Ia1 + aIa2 + Ia0

Ic = Ic1 + Ic2 + Ic0 = aIa1 + a2Ia2 + Ia0

- Clculo de fallas

Los diferentes tipos de fallas (cortocircuitos) que pueden ocurrir en sistemas de potencia son:

- una fase a tierra

- dos fases

- dos fases a tierra

- tres fases

- tres fases a tierra

Para cada tipo de falla que se presenta en un sistema sin carga, en los siguientes cuadros se dispone:

- en la primera columna se ponen las tensiones de fase y las corrientes de lnea que caracterizan a la falla



- en la segunda columna se ponen las corrientes y las tensiones de secuencia de la fase a en las condiciones de falla.

- en la tercera columna se ponen las frmulas para la fase a de las corrientes de secuencia en las condiciones de falla.

- en la cuarta columna se ponen las frmulas de la corriente de falla y las corriente de lnea resultantes.

Por convencin, las fases siniestradas se elijen con simetra de falla respecto a la fase a de referencia.

I f = corriente de falla

Ie = corriente de falla a tierra Ea = tensin normal de fase en el lugar de falla Z1 = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia positiva Z2 = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia negativa

Z0 = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia cero

Una fase a tierra - falla de la fase a a tierra:

Va = 0 Ib = Ic = 0 I f = Ia = Ie

Ia1 = Ia2 = Ia0 = Ia / 3 Va1 + Va2 + Va0 = 0

Ia1 = Ea / (Z1 + Z2 + Z0) Ia2 = Ia1 Ia0 = Ia1

I f = 3Ia0 = 3Ea / (Z1 + Z2 + Z0) = Ie

Ia = I f = 3Ea / (Z1 + Z2 + Z0)

Dos fases - falla de la fase b a la fase c

Vb = Vc Ia = 0 I f = Ib = - Ic

Ia1 + Ia2 = 0 Ia0 = 0 Va1 = Va2

Ia1 = Ea / (Z1 + Z2) Ia2 = - Ia1 Ia0 = 0

I f = - j3Ia1 = - j3Ea / (Z1 + Z2)

Ib = I f = - j3Ea / (Z1 + Z2) Ic = - I f = j3Ea / (Z1 + Z2)

Dos fases a tierra - falla de la fase b y la fase c a tierra:

Vb = Vc = 0 Ia = 0 I f = Ib + Ic = Ie

Ia1 + Ia2 + Ia0 = 0 Va1 = Va2 = Va0

Ia1 = Ea / Zredt Ia2 = - Ia1Z0 / (Z2 + Z0) Ia0 = - Ia1Z2 / (Z2 + Z0)

I f = 3Ia0 = - 3EaZ2 / Szz = Ie

Ib = I f / 2 - j3Ea(Z2 / 2 + Z0) / Szz

Ic = I f / 2 + j3Ea(Z2 / 2 + Z0) / Szz

Zredt = Z1 + Z2Z0 / (Z2 + Z0) y Szz = Z1Z2 + Z2Z0 + Z0Z1 = (Z2 + Z0)Zredt

Tres fases (y tres fases a tierra) - falla de la fase a , la fase b y la fase c (a tierra):



Va = Vb = Vc (= 0) Ia + Ib + Ic = 0 (= Ie) I f = Ia = a Ib = a2 Ic

Va0 = Va (= 0) Va1 = Va2 = 0

Ia1 = Ea / Z1 Ia2 = 0 Ia0 = 0

I f = Ia1 = Ea / Z1 = Ia

Ib = Eb / Z1 Ic = Ec / Z1

Los valores de Z1, Z2 y Z0 se determinan respectivamente para impedancia de red de secuencia positiva, negativa y cero, por reduccin a una impedancia nica.

- Nivel de cortocircuito trifsico

La corriente de cortocircuito trifsico simetrico Isc de un sistema de potencia con tensiones en vaco de lnea y de fase Elin y Efase e impedancia de fuente por fase estrella ZF es:

Isc = Efase / |ZF| = Elin / 3|ZF|

El nivel de cortocircuito trifsico Ssc de un sistema de potencia es:

Ssc = 3Isc2|ZF| = 3EfaseIsc = 3Efase2 / |ZF| = Elin2 / |ZF|

Si la relacin X / R de la impedancia de fuente ZF (de resistencia RF y reactancia XF) es suficientemente grande, |ZF| XF.

- Correccin del factor de potencia

Si una carga inductiva con un consumo de potencia activa P y un factor de potencia en atraso sin corregir cosf1 se quiere llevar a

un valor de factor de potencia en atraso corregido cosf2 , las potencias reactivas sin corregir y corregida Q1 y Q2,

son respectivamente:

Q1 = P tanf1 = P (1 / cos2f1 - 1)

Q2 = P tanf2 = P (1 / cos2f2 - 1)

La potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QC que debe conectarse con la carga es:

QC = Q1 - Q2 = P (tanf1 - tanf2)

Las potencias aparentes sin corregir y corregida S1 y S2, se relacionan mediante:

S1 cosf1 = P = S2 cosf2



Comparando las corrientes de carga sin corregir y corregida I1 e I2, se tiene:

I2 / I1 = S2 / S1 = cosf1 / cosf2

Para capacitores conectados en estrella, cada uno con una capacidad Cestr e instalados en derivacin en un sistema trifsico con tensin de lnea Vlin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QCestr y la corriente de lnea reactiva Ilin valen:

QCestr = Vlin2 / XCestr = 2pf CestrVlin2 Ilin = QCestr / 3Vlin = Vlin / 3XCestr Cestr = QCestr / 2pf Vlin2

Para capacitores conectados en tringulo, cada uno con una capacidad Ctriang e instalados en derivacin en un sistema trifsico con tensin de lnea Vlin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QCtriang y la corriente de lnea reactiva Ilin valen:

QCtriang = 3Vlin2 / XCtriang = 6pf CtriangVlin2 Ilin = QCtriang / 3Vlin = 3Vlin / XCtriang Ctriang = QCtriang / 6pf Vlin2

Ntese que para tener el mismo valor de QC:

XCtriang = 3XCestr Ctriang = Cestr / 3

- Resonancia armnica

Si un nodo de un sistema de potencia que trabaja a una frecuencia f tiene una reactancia inductiva de fuente por fase XL y una correccin del factor de potencia de reactancia capacitiva por fase Xc, la inductancia de fuente L y la capacidad de correccin C valen:

L = XL / w = XL / 2pf C = 1 / wXC = 1 / 2pf XC

La velocidad angular de resonancia serie wr vale:

wr = (1 / LC) = w(XC / XL) = 2pf (XC / XL)

El nivel de cortocircuito trifsico Ssc en el nodo para una tensin de fase en vaco E y una impedancia por fase estrellla Z vale:



Ssc = 3E2 / |Z| = 3E2 / |R + jXL|

Si la relacin XL / R de la impedancia de fuente Z es suficientemente grande, |Z| XL:

Ssc 3E2 / XL

La potencia reactiva QC de los capacitores de correccin del factor de potencia es:

QC = 3E2 / XC

El nmero de orden del armnico fr / f que produce la resonancia serie de XL con XC es:

fr / f = wr / w = (XC / XL) (Ssc / QC)

- Factor de disipacin dielctrica

Si una tensin alterna V de frecuencia f se aplica a travs de un sistema de aislamiento que comprende una capacidad C y una resistencia de prdidas equivalentes en serie RS, entonces la corriente resultante I producir una cada de tensin VR en la resistencia y una cada VC en la capacidad que resultan:

VR = IRS VC = IXC

V = (VR2 + VC2)

El factor de disipacin dielctrica de un sistema de aislamiento es la tangente del ngulo de prdidas dielctricas d entre VC y V :

tand = VR / VC = RS / XC = 2pfCRS RS = XC tand = tand / 2pfC

La potencia de prdidas dielctricas P se relaciona con la potencia reactiva capacitiva QC mediante:

P = I2RS = I2XC tand = QC tand

El factor de potencia de un sistema de aislamiento es el coseno del ngulo de fase f entre VR y V:

cosf = VR / V

Adems:

d + f = 90



tand = 1 / tanf = cosf / senf = cosf / (1 - cos2f)

Si cosf es cercano a cero, entonces tand cosf

3 - Teoremas de circuitos elctricos lineales

- Notacin

E G I R

fuente de tensin conductancia corriente resistencia

[Volt, V] [Siemens, S] [Ampere, A] [Ohm, ]

V X Y Z

cada de tensin reactancia admitancia impedancia

[Volt, V] [Ohm, ] [Siemens, S] [Ohm, ]

- Ley de Ohm

Cuando la tensin aplicada E produce una corriente I al circular a travs de una impedancia Z, el valor de dicha impedancia Z es igual a la tensin E dividida por la corriente I:

Impedancia = Tensin / Corriente Z = E / I

Similarmente:

I = E / Z

V = IZ

Alternativamente usando la admitancia Y, que es el recproco de la impedancia Z:

V = I / Y

- Ley de Kirchoff de las corrientes (1 ley)

La suma de todas las corrientes que ingresan a cualquier nodo de un circuito es igual a la suma de todas las corrientes que salen del mismo:

SIingr = SIsal

Similarmente, la suma algebraica de todas las corrientes que concurren a cualquier nodo de un circuito es igual a cero:

SI = 0

- Ley de Kirchoff de las tensiones (2 ley)

La suma de todas las fuentes de tensin en cualquier circuito cerrado es igual a la suma de todas las caidas de tensin que se producen en el mismo:

SE = SIZ



Similarmente, la suma algebraica de todas las tensiones presentes en cualquier circuito cerrado es igual a cero:

SE - SIZ = 0

- Teorema de Thvenin

Todo dipolo activo de un circuito puede ser reemplazado por un circuito serie formado por una nica fuente de tensin ETH y una nica impedancia ZTH. El valor de ETH es igual a la tensin medida en bornes del dipolo a circuito abierto y el de la impedancia ZTH es la medida entre esos mismos bornes con todas las fuentes internas pasivadas.

- Teorema de Norton

Todo dipolo activo de un circuito puede ser reemplazado por una nica fuente de corriente IN en paralelo con una nica admitancia YN. El valor de IN es igual a la corriente medida en bornes del dipolo a circuito cerrado (cortocircuito) y el de la admitancia YN es la medida entre esos mismos bornes con todas las fuentes internas pasivadas.

- Equivalencia entre los teoremas de Thvenin y Norton

Las condiciones del modelo de Thvenin a circuito abierto, cortocircuito y carga son:

Voc = ETH Isc = ETH / ZTH Vcarga = ETH - IcargaZTH Icarga = ETH / (ZTH + Zcarga)

Las condiciones del modelo de Norton a circuito abierto, cortocircuito y carga son:

Voc = IN / YN Isc = IN Vcarga = IN / (YN + Ycarga) Icarga = IN - VcargaYN

Las condiciones de pasaje entre modelos son:

Thvenin a Norton

ETH = IN / YN ZTH = YN -1

Norton a Thvenin

IN = ETH / ZTH YN = ZTH -1

- Teorema de superposicin



En un circuito con mltiples fuentes de tensin, la corriente que circula en cualquier rama del mismo es igual a la suma de las corrientes que circularan en tal rama por la accin de cada fuente de tensin por separado, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de reciprocidad

La corriente Im que circula en la rama m de un circuito por accin de una fuente de tensin En ubicada en la rama n del mismo, es igual a la corriente In que circula en la rama n de ese circuito por accin de la misma fuente de tensin En ubicada en la rama m del circuito, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de compensacin

Si la impedancia Zm de la rama m de un circuito por la que circula una corriente Im se incrementa en una cantidad finita Zm , entonces las modificaciones en las tensiones y corrientes que se producirn en todas las dems ramas del circuito pueden ser calculadas mediante la insercin de una fuente de tensin de valor -Im Zm ubicada en dicha rama m, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de Millman ( del paralelo de generadores)

Un circuito formado por el paralelo de las fuentes de tensin E1, E2, E3, ... cuyas impedancias internas son respectivamente Z1, Z2, Z3, ... puede ser reemplazado por una sola fuente de tensin Eeq con impedancia interna Zeq. El valor de Eeq es igual a la relacin entre la suma de los productos de las tensiones de las fuentes por sus admitancias internas, y la suma de todas las admitancias internas; mientras que el valor de Zeq es igual a la inversa de la suma de todas las admitancias internas.

Eeq = (E1Y1 + E2Y2 + E3Y3 + ...) / (Y1 + Y2 + Y3 + ...) = SEY / SY Zeq = 1 / (Y1 + Y2 + Y3 + ...) = 1 / SY - Teorema de mxima tranferencia de potencia

Este teorema establece la condicin a cumplir para que una fuente de tensin VG pueda transferir la mxima potencia a la carga. Segn la caracterstica de la carga, se pueden presentar distintos casos:

A) Si la carga es una resistencia RC, la mxima transferencia de potencia ocurrir cuando RC sea igual al mdulo de la impedancia del generador ZG.

RC = |ZG| = (RG2 + XG2)

B) Si la carga es una impedancia ZC, la mxima transferencia de potencia ocurrir cuando ZC sea igual al complejo conjugado de la impedancia del generador ZG.

ZC = ZG * = (RG - j XG)

C) Si la carga es una impedancia ZC de factor de potencia no modificable, la mxima transferencia de potencia ocurrir cuando el



mdulo de la impedancia ZC sea igual el mdulo de la impedancia del generador ZG.

(RC2 + XC2) = |ZC| = |ZG| = (RG2 + XG2)

- Transformacin de Kennelly estrella-tringulo

Para transformar una estrella de impedancias ZAN, ZBN y ZCN (con admitancias YAN, YBN e YCN) en un tringulo equivalente de impedancias ZAB, ZBC y ZCA (con admitancias YAB, YBC e YCA ) debe cumplirse:

ZAB = ZAN + ZBN + (ZANZBN / ZCN) = (ZANZBN + ZBNZCN + ZCNZAN) / ZCN ZBC = ZBN + ZCN + (ZBNZCN / ZAN) = (ZANZBN + ZBNZCN + ZCNZAN) / ZAN ZCA = ZCN + ZAN + (ZCNZAN / ZBN) = (ZANZBN + ZBNZCN + ZCNZAN) / ZBN

YAB = YANYBN / (YAN + YBN + YCN) YBC = YBNYCN / (YAN + YBN + YCN) YCA = YCNYAN / (YAN + YBN + YCN)

- Transformacin de Kennelly tringulo-estrella

Para transformar un tringulo de impedancias ZAB, ZBC y ZCA (con admitancias YAB, YBC e YCA ) en una estrella de impedancias ZAN, ZBN y ZCN (con admitancias YAN, YBN e YCN) debe cumplirse:

ZAN = ZCAZAB / (ZAB + ZBC + ZCA) ZBN = ZABZBC / (ZAB + ZBC + ZCA) ZCN = ZBCZCA / (ZAB + ZBC + ZCA)

YAN = YCA + YAB + (YCAYAB / YBC) = (YABYBC + YBCYCA + YCAYAB) / YBC YBN = YAB + YBC + (YABYBC / YCA) = (YABYBC + YBCYCA + YCAYAB) / YCA YCN = YBC + YCA + (YBCYCA / YAB) = (YABYBC + YBCYCA + YCAYAB) / YAB


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fórmulas para la resolución de circuitos en cc y ca

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