BAB 1PENDAHULUAN

1.1 Transisi SuperkonduksiSuperkonduktivitas terbentuk secara utama sebagai sebuah resistivitas nol diantara beberapa temperatur kritis. Ini diamati pada 1911 oleh H. Kamerlingh Onnes di Leiden, 3 tahun setelah ia pertamakali mencairkan 4He. Ia mengukur hambatan dari merkuri. Resistivitas berubah sebagai fungsi dari temperatur yang diperlihatkan dalam Gambar 1.1.

Gambar 1.1: Diantara transisi temperatur, resistivitas jatuh ke nol

Kekosongan absolute dari resistivitas adalah sebuah gejala yang sangat mendasar. Dalam kombinasi dengan prinsip umum kuantum mekanik, ini dapat menuntun ke kesimpulan yang sungguh informatif pada sifat dari keadaan superkonduktor. Disini kita mencoba untuk mendeskripsikan gambaran mendasar dari superkonduktivitas menggunakan jumlah minimum dari informasi input. Kita mempertimbangkan sifat yang paling mendekati dari superkonduktor seperti diamagnetism idealnya, makroskopik kuantum alami dari superkonduktivitas termasuk fase koheren yang berujung pada resistivitas nol, untuk kuantisasi dari flux magnet dan susunan vortisitas terkuantisasi. Nilai maksimun dari medan magnet dan arus yang dapat ditahan oleh superkonduktor juga didiskusikan dengan singkat. Sisanya tentu saja dikhususkan untuk sebuah teori mikroskopis seperkonduktivitas.

Tabel 1.1: Parameter untuk superkonduktor logam

Tabel 1.2: Parameter untuk beberapa superkonduktor dengan temperature tinggi

1.2 Model LondonKita mengasumsikan bahwa arus mengalir tanpa disipasi dan memiliki bentuk

dimana kecepatan dari electron superkonduksi adalah dimana adalah kerapatannya. Sekarang kita mulai dengan argument yang paling penting. [F. London dan H. London, 1935]: menjadi non-disipativ, arus ini berkontribusi terhadap energi kinetik dari elektron superkonduksi. Total energi bebas adalah jumlah dari energi kinetik elekron superkonduksi dan energi magnet.

Disini h adalah medan magnet mikroskopik. Rata-ratanya berada diatas area yang luas dalam sampel dan memberikan induksi magnet B. Dengan menggunakan persamaan Maxwell.(1.1)

Kita ubah bentuk persamaan ini ke bentuk berikut

(1.2)

Dalam hal ini (1.3)

Ini disebut kedalaman daya tembus London. Dalam kesetimbangan, energi bebas minimal patuh terhadap distribusi medan magnet. Variasi dengan kepatuhan terhadap h memberikan

Disini kita menggunakan idenditas

dan taruh . Untuk mencari energi bebas minimum dan menghilangkan suku permukaannya kita memperoleh persamaan London:

(1.4)

Yang mana

dan div h = 0, kita peroleh

(1.5)

Gambar 1.2 Efek meissner : penetrasi medan magnet ke dalam sebuah superkonduktor hanya berjarak lebih pendek dari pada .

1.2.1 Efek Meissner Persamaan (1.5) dalam terpisah mendeskripsikan efek Meissner, sebagai contoh, peluruhan exponensial dari medan magnet lemah dan arus super dalam sebuah superkonduktor. Sepanjang karakteristik meda magnet yang berkurang hanyalah . dengan mempertimbangkan sebuah superkonduktor yang menempati setengah ruang x > 0. Sebuah medan magnet di terapkan pada permukaanya (Gambar 1.2). Kita peroleh dari persamaan (1.5)

yang memberikan

Medan yang meluruh dalam sebuah superkonduktor seperti itu tidak terdapat medan didalam bulk. Menurut persamaan (1.1) arus super juga meluruh dan lenyap di dalam bulk.Oleh karena itu,

di dalam sebuah bulk superkonduktor, dimana H adalah medan yang diterapkan. Magnetisasi dan susceptibilitas adalah

(1.6)Sebagai sebuah diamagnetik ideal : Superkonduktor menolak garis medan magnet. Efek Meissner dalam superkonduktor type I menahan medan (Lihat tabel 1.1 , Gambar 1.7, dan bagian bawah) yang mana superkonduktivitas dilenyapkan. Superkonduktor type II menunjukkan efek Meissner sampai medan yang lebih dibawah, setelah vektorpual muncul. (Lihat bagian 1.5).

1.3 Fase KoherenMasa partikel yang mengalir ditentukan oleh ungkapan mekanika kuantum yang biasanya untuk momentum per satuan volume

(1.6)

Untuk memperoleh jumlah arus yang terbatas dalam superkonduktor diperlukan yang sebagai fungsi gelombang dari semua elektron superkonduksi dengan sebuah phase yang pasti: elektron superkonduksi semua harus dalam keadaan kuantum tunggal. Menurut pengertian yang diberikan tentang apa yang terjadi adalah elektron (partikel Fermi) bergabung menjadi pasangan (pasangan cooper, lihat bab berikutnya) yang mana Objek Bose dan disingkat menjadi kondensasi Bose. Arus muncul ketika phase dari fungsi kondensasi secara perlahan bervariasi dalam ruang. Persamaan (1.7) menyarankan adalah momentum dari partikel kondensasi (yang mana adalah pasangan dalam superkonduktor). Untuk partikel bermuatan, momentumnya adalah , dimana P adalah momentum yang resmi, A adalah potensial vektor dari medan magnet, dan adalah muatan pembawa. Di dalam superkonduktor muatan dibawa oleh pasangan elektron dengan demikian dan massa pasangan cooper adalah 2m.Menggunakan definisi momentum kita mengenalkan kecepatan dari elektron superkonduksi. (1.8)

Sekarang arus listrik menjadi

(1.9)

dimana adalah kerapatan pasangan elektron.Ini mengandung arti untuk membandingkan persamaan ini dengan persamaan (1.1) dan (1.4). Dari persamaan tersebut kita memperoleh:

Oleh karena itu

Dimana adalah gradient dari beberapa fungsi. Ini memperlihatkan bahwa ini tepat sesuai dengan persamaan (1.9) dimana

1.3.1 Kuantisasi Fluks MagnetMari kIta pertimbangkan sebuah superkonduktor yang tidak terkoneksi tersendiri (non-singly-connected superconductor) dengan dimensi yang lebih besar dari yang ditempatkan dalam sebuah medan magnet (Gambar 1.3). Kita pilih sebuah kontur yang melingkupi seluruh lintasan di dalam superkonduktor yang mengelilingi lubang dan menghitung integral donturnya

Gambar 1.3 Fluks magnet disekeliling lubang dalam sebuah superkonduktor yang terkuantisasi.

(1.10)

Disini adalah fluks magnet disekitar kontur. Perubahan fase sepanjang kontur tertutup adalah dimana adalah bilangan bulat karena fungsi gelombang bernilai tunggal. Semenjak didalam bulk j = 0 , l.h.s dari persamaan (1.10) dilenyapkan, dan kita memperoleh dimana

(1.11)

adalah kuantum dari fluks magnet. Dalam satuan SI, .

1.3.2 Panjang Koheren dan Celah energy (Energy gap)Pasangan cooper menjaga hubungannya dengan jarak yang pasti. Yang disebut panjang koheren (lihat bab berikutnya). Perkenalan panjang ini adalah sekala energi yang penting. Untuk melihat ini mari kita menununjukkannya sebagai berikut. Semenjak pasangan korelasi dibatasi dengan gradien fase tidak dapat melampaui ; sehingga kecepatan superkonduksi tidak dapat melebihi nilai kritis

(1.12)

dimana adalah sebuah konstanta. Sehingga energi pergerakan yang saling terhubung dari sebuah pasangan dibatasi sampai . Ini memberikan

Kuantitas adalah fakta nilai dari celah energi pada suhu nol dalam spektrum eksitasi partikel tunggal dalam keadaan superkonduksi.

1.4 Arus Kritis dan Medan Magnet1.4.1 Energi KondensasiKerapatan energi kinetik dari kondensasi elektron (superkonduksi) tidak dapat melampaui (1.13)

Jika kecepatan bertambah lebih lanjut. Energi kinetik melebihi pencapaian dari keadaan superkondusi dengan berdasarkan pada keadaan normal adalah hanya pertambahan energi yang disebut dengan energi kondensasi.Asumsikan sekarang superkonduktor ditempatkan dalam sebuah medan magnet H. Supekonduktor menolak medan sehingga mengingkatkan energi dari sumber eksternal yang membuat medan tersebut. Energi dari seluruh system meningkat dan menjadi

Di dalam keadaan superkonduksi, . Ketika energi mencapai energi pada keadaan normal , superkondiktivitasnya tidak lagi menjadi menguntungkan dengan enerjik. Sehingga medan magnet kritis termodinamik memenuhi

Mengunakan ungkapan untuk dari persamaan (1.13) kita peroleh

Ungkapan eksak untuk pada temperature mendekati adalah

(1.14)

1.4.2 Arus KritisMungkin terdapat beberapa mekanisme yang merusak superkonduktivitas oleh arus yang mengalir melewatinya.Mekanisme 1. Sampel type-I besar: Arus kritis membentuk pada permukaan sampel. Untuk sebuah silinder dengan jari-jari R,

Jika R , arus hanya mengalir dengan lapisan setebal dekat permukan sampel. Sehingga dan

(1.15)Mekanisme 2. Jika dimensi melintang dari superkonduktor a dan b kecil, a,b arus terdistribusi seragam sepanjang tampang melintang dari sampel. Dalam kasus ini, mekanisme yang mendominasi adalah pemotongan pasangan (pair-breaking): superkonduktivitasnya dihancurkan oleh superkonduksi elektron dengan kecepatan tinggi. Arus kritisnya adalah

(1.16)

Faktanya, kerapatan arus ini bertepatan dengan arus kritis pada sampel yang tebal. Sesungguhnya memasukan dan dalam persamaan (1.15) kita peroleh persamaan (1.16). Bagaimanapun medan magnet yang terbentuk pada permukaan lebih keil daripada . Arus kritis pada persamaan (1.15), (1.16) adalah sangat tinggi. Untuk dan arus kritis dapat setinggi .Dalam superkonduktor type-II, medan magnet kritis dan arus disatukan dengan vortisitas terkuantisasi (quantized vortices).

Gambar 1.4 Garis singular dalam sebuah Super Konduktor dengan variasi fase disekitarnya.

1.5 Vortisitas Terkuantisasi (Quantized Vorticed)1.5.1 Konsep MendasarPertimbangkan superkonduktor type-II yang mana panjang dari London adalah besar. Arus super dan medan magnet tidak lenyap bersama daerah pada permukaan: disana terdapat daerah yang cukup luas dari yang tidak bernilai nol. Jika medan magnet cukup besar, dapat mencapai nilai tertinggi, . Untuk medan , kecepatannya dapat mencapai untuk . Ini akan memandu untuk merusak superkonduktivitas jika tidak terdapat kesempatan untuk mengkompensasi sebuah kontribusi yang besar terhadap akibat dari medan magnet.Anggap bahwa kita memiliki keistimewaan seperti fase dari fungsi gelombang electron superkonduksi berubah oleh jika melalui sekitar garis sepanjang kontur tertutup, lihat gambar 1.4. dengan mempertimbangkan kembali integral sepanjang kontur ini

(1.17)

Disini adalah fluks magnet sepanjang kontur, adalah kuantum fluks. Fase yang berubah sepanjang kontur tertutup adalah . Kita amati bahwa peningkatan kecepatan superkonduksi adalah terkompesasi secara lengkap oleh variasi fase jika fluks magnet adalah . Sehingga dapat diharapkan bahwa dalam superkonduktor dengan yang besar dalam medan magnet yang kuat, disana akan muncul garis singular dengan kerapatan permukaan seperti sebanding terhadap induksi magnet B. Dibawah konsidi itu, kecepatan superkonduksi tidak meningkat bersama jarak, dan superkonduktivitas stabil pada keadaan rata-rata.Masing-masing singularitas dari fase dapat terjadi jika fungsi gelombang dari elektron superkonduksi, contohnya kerapatan dari elektron superkonduksi mencapai nol pada garis singular. Luasan dari daerah dimana berkurang sebanding terhadap nilai kesetimbangan memiliki luas sebesar panjang koheren dan disebut pusaran inti. Seperti objek singular vortisitas terkuantisasi (quatized vortices): masing-masing pusaran membawa sebuah fluks magnet terkuantisasi . Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan vortisitas (vortices) adalah atau tepatnya . Lebih menguntungkan secara enerjik adalah vortis terkuantisasi tunggal yang membawa satu fluks magnet kuantum dan memiliki sebuah peredaran 2 sepanjang sumbu pusaran.Vortisitas adalah objek yang memainkan aturan yang sangat spesial dalam superkonduktor dan super fluida. Dalam superkonduktor, masing-masing pusaran persisnya membawa sebuah fluks magnet kuantum. Menjadi aktif secara magnetis, vortisitas menentukan sifat magnetis dari superkonduktor. Dalam pertambahannya, merekan bergerak jika materinya adalah homgen. Faktanya, sebuah superkonduktor dalam keadaan pusaran tidak sepenuhnya superkonduksi dalam pengertian umum. Tentu saja tidak terdapat efek Meissner: beberapa medan magnet menembus ke dalam superkonduktor melalui pusaran. Dalam penambahannya, daerah dengan fase normal muncul: sejak parameternya menuju nol pada sumbu pusar, dan bertahan disekitar masing-masig sumbu pusar dengan sebuah inti pusar dan sebuah radius terhadap panjang koheren, terdapat daerah dengan sebuah kerapatan energi rendah terbatas dari keadaannya. Selebihnya pergerakan vortisitas menjadi pergerakan dalam kehadiran transportasi arus rata-rata. Ini menghasilkan disipasi dan menyebabkan sebuah resistivitas terbatas (juga disebut resistivitas aliran fluks): sebuah superkonduktor tidak selamanya superkonduksi.Untuk menghindari pergerakan dari vortisitas dan memastikan resistansi nol dari sebuah superkonduktor, berbagai perusakan seperti struktur granular, perusakan kisi, perusakan tiruan diperkenalkan ke dalam material superkonduksi. Perusakan tersebut menarik vortisitas atau menyematkan mereka di dalam superkonduktor. Untuk mengatasi suatu gaya, salah satunya menerapkan kerapatan arus, arus sematan kritis , yang menghasilkan gaya Lorentz

dimana adalah vektor satuan dalam arah medan magnet. Bergantung pada materialnya, arus kritis dapat setinggi . Untuk arus diantara arus yang tersematkan, sebuah superkonduktor type-II dapat memiliki resistansi nol sampai medan magnet sangat tinggi yang dipertimbangkan lebih besar dari (lihat dibawah).Dalam superfluida, vortisitas muncul dalam sebuah container dengan helium yang berotasi pada kecepatan angular diatas nilai kritis yang secara prakteknya tidak tinggi dapat dengan mudah dicapai dalam eksperimen. Vortisitas juga terbentuk jika sebuah superfluida mengalir dalam sebuah tabung dengan kecepatan yang cukup tinggi. Gaya terkendali yang menekan vortisitas sekarang adalah gaya Magnus. Vortisitas bergerak dan mengalami reaksi dari komponen normal; ini memasangkan superfluida dan komponen normal dan menghasilkan pergeseran satu sama lain diantara mereka. Sebagai hasilnya, aliran super tidak lagi konstan.

1.5.2. Model London dalam VortisitasAmbil curl dalam persamaan (1.9). Ditemukan

Ini terlihat seperti persamaan (1.5) ahli untuk satu istilah tambahan. Istilah ini tidak nol jika ada vortisitas. Dalam kehadiran vortisitas, persamaan London harus diubah. Untuk n-kuantum dimiliki vorteks

dimana adalah vektor satuan kearah sumbu vorteks. Oleh karena itu, persamaan London untuk sebuah vortisitas menjadi (1.18)dimana adalah vektor sepanjang sumbu vorteks dengan besarnya satu fluks kuantum. Untuk sistem vortisitas (1.19)dimana jumlah di atas semua posisi vorteks adalah .Satu kemudahan dapat mencari medan magnet untuk sebuah vorteks tunggal lurus (lihat permasalahan 1.1). Dalam koordinat silinder , medan magnetik adalah

dekat dengan sumbu vorteks . Medan magnet meningkat secara logaritmit dekat sumbu vorteks. Namun, dalam model ini, koordinat r tidat dapat dibuat lebih pendek dari panjang koherensi sejak lenyap pada sumbu vorteks, dan persamaan London tidak berlaku untuk . Oleh karena itu, pada sumbu

didapatkan hitungan arus di sekitar vorteks dekat inti.

Untuk sebuah vorteks kuantum tunggal kecepatan superkonduktor adalah

Oleh karena itu, fase ini hanya sudut asimut :

Gambar 1.5: Struktur dari sebuah vorteks single. Daerah inti dengan radius dikelilingi oleh arus. Bersama dengan medan magnet arus, mereka rusak pada jarak berorde .

1.5.3. Medan Kritis pada Superkonduktor Tipe-IIEnergi bebas dari sebuah vorteks single-kuantum per satuan panjang adalah

(1.20)Integral terakhir diambil sepanjang kontur yang jauh dan menghilang. Integral yang pertama memberikan (1.21)

Untuk vorteks n-kuantum diperoleh(1.22)Energi sebanding dengan . Oleh karena itu, vortisitas dengan tidak menguntungkan : energi dari vortisitas kuantum tunggal sebanding dengan kekuatan pertama dan dengan demikian lebih kecil dari energi dari satu vorteks -kuantum.Persamaan (1.21) memungkinkan untuk mencari medan elektrik yang lebih rendah, yaitu medan H diatas vorteks pertama yang muncul. Energi bebas dari satuan volume dari sebuah superkonduktor dengan sebuah set vortisitas single-kuantum adalah . Potensi termodinamik yang tepat dalam medan luar H adalah energy bebas Gibbs

Jika dimana(1.23)Energi bebas Gibbs adalah minimal untuk B = 0. Hal ini terkait dengan medan nol di Bulk: efek Meissner terjadi. Energi bebas menjadi negatif jika

Gambar 1.6 : Diagram fase untuk sebuah superkonduktor tipe II

Gambar 1.7: Garis penuh : Magnetisasi superkonduktor tipe II. Bagian linear di bagian medan rendah sesuai dengan efek Meissner penuh persamaan (1.6). Garis putus-putus : Magnetisasi superkonduktor tipe I. Efek Meissner berlanjut hingga medan kritis elektrodinamika .. Oleh karena itu, hal tersebut menurun dengan meningatnya B dalam superkonduktor. Ini berarti bahwa vortisitas muncul untuk . Dengan meningkatnya medan magnet, vortisitas menjadi lebih dan lebih padat, dan fase normal pada inti menempati besar dan besar fraksi dari sampel. Superkonduktivitas ini benar-benar hancur ketika inti mulai tumpang tindih, yaitu ketika kepadatan . Kondisi yang tepat adalah

Gunakan persamaan (1.14) kita catat(1.24)yaitu, untuk superkonduktor dengan besar , medan kritis lebih rendah dari . Pada saat yang sama, medan kritisnya jauh lebih tinggi dari .Diagram fase superkonduktor tipe II ditunjukkan pada gambar 1.6. Untuk membaca lebih lanjut tentang vortisitas superkonduktor tipe II lihat Ref. [5, 6, 7, 8].

BAB 2TEORI BCS

2.1. Landau Fermi-liquidKeadaan dasar sistem Fermion sesuai dengan keadaan yang penuh dengan energi E di bawah energi Fermi maksimal , ditentukan oleh jumlah dari Fermion. Dalam sistem homogen, seseorang dapat menggambarkan keadaan partikel dengan momentum p sehingga spektrum menjadi . Kondisi energi maksimum mendefinisikan permukaan Fermi dalam ruang momentum. Dalam sistem isotropik, ini adalah sebuah bola sehingga volumenya dibagi dengan

memberikan jumlah partikel dengan spin proyeksi per satuan (spasial) volume dari sistem. Untuk elektron dengan spin , jumlah total partikel dalam satuan volume dari sistem, yaitu, kepadatan partikel dua kali (2.1)Keadaan dasar ini sesuai dengan energi keadaan dasar . Eksitasi dalam cairan Fermi yang meningkatkan energi dibandingkan dengan dibuat dengan memindahkan partikel dari keadaan di bawah permukaan Fermi ke keadaan di atasnya. Proses ini dapat dianggap sebagai superposisi dari dua proses. Pertama adalah penghapusan partikel dari sistem dari keadaan di bawah permukaan Fermi. Yang kedua adalah menambahkan partikel ke keadaan di atas permukaan Fermi. Oleh pengambilan partikel luar dari keadaan dengan energi peningkatan energi sistem dan membuat lubang eksitasi dengan energi positif . Dengan menambahkan partikel menjadi keadaan dengan energi lagi peningkatan energi dan membuat eksitasi partikel dengan energi positif . Energi dari sistem dengan demikian meningkat sebesar .Ditunjukkan pada Gambar. 2.1 adalah proses penciptaan partikel dan lubang eksitasi dalam cairan Fermi.

Gambar 2.1 : Partikel ( lingkaran bayangan ) dan lubang ( lingkaran putih ) eksitasi di cairan Landau Fermi. Eksitasi partikel diperoleh dengan menambahkan partikel, Lubangeksitasi diperoleh dengan menghilangkan partikel ( lingkaran hitam ) dengan berlawanan momentum.Anggap saja lebih terinci. Menghapus sebuah partikel dengan momentum dan energi dari bawah permukaan Fermi , dan , menciptakan eksitasi dengan momentum dan energi . Menambahkan sebuah partikel dengan momentum dan energi E di atas permukaan Fermi , dan , menciptakan eksitasi dengan momentum dan energi . Untuk sistem isotropik, spektrum eksitasi akan demikian memiliki bentuk(2.2)Ditunjukkan pada gambar 2.2.Partikel dan lubang eksitasi hidup dalam sistem Fermion dimana korelasi yang kuatada karena prinsip Pauli. Seberapa baik eksitasi dengan spektrum partikel bebas persamaan (2.2) didefinisikan di sini?Satu dapat menunjukkan bahwa ketidakpastian energi quasiparticle karena hamburan quasiparticle-quasiparticle, , di mana P adalah probabilitas hamburan, di 2 dimensi dan 3 dimensi sistem kecil dibandingkan dengan energi jika, yaitu dekat permukaan Fermi. Dengan kata lain, quasiparticles baikdidefinisikan hanya dekat permukaan Fermi. Untuk sistem satu dimensi, namun,sirtuation berbeda, dan quasiparticles Landau tidak ada. Sistem satu dimensi Fermion dikenal sebagai cairan Luttinger.Sekarang pendefinisian Hamiltonian untuk partikel dan lubang. Untuk partikel, didefinisikan Hamiltonian satu-elektron(2.3)dimana adalah potensial kimia dan adalah beberapa energi potensial. Dalam keadaan normal , .

Gambar 2.2: Spektrum single-partikel (garis putus-putus) ditransformasikanke spektrum eksitasi Landau di cairan Fermi dikorelasikan secara kuat.

Yang diterapkan pada sistem dari secara keseluruhan partikel , maka akan menghasilkan Hamiltonian dalam bentuk dimana adalah Hamiltonian sistem penuh. Hal ini lebih tepat untuk sebuah sistem dimana potensial kimia adalah tetap daripada jumlah partikel , seperti yang terjadi , untuk contohnya, dalam superkonduktor terhubung ke sebuah sirkuit eksternal. Hamiltonian persamaan ( 2.3 ) sesuai dengan canonical operator momentum dan diasumsikan berputar independen.

Fungsi gelombang eksitasi partikel dengan energi dan momentum memenuhi(2.4)Sekarang beralih ke lubang eksitasi. Fungsi gelombang lubang denganenergi dan momentum memenuhi

Sebuah lubang eksitasi adalah tidak adanya sebuah partikel dengan energi dan momentum . Menurut deskripsi cairan Landau Fermi, lubang Hamiltonian adalah

Hamiltonian(2.5)

sesuai dengan momentum canonical operator . Fungsi gelombang lubang memenuhi(2.6)

Gambar 2.3 : (a) Sepasang Cooper terbentuk dari eksitasi partikel dengan momentum dan dengan momentum di atas permukaan Fermi ( bayangan lingkaran ) , yang setara dengan (b) Eksitasi partikel dengan momentum dan eksitasi lubang dihapus ( lingkaran putih ) dengan hampir sama momentum .2.2 Masalah CooperMasalah Cooper asli adalah sebagai berikut. Pertimbangkan sebuah benda yang terbuat dari sepasang elektron dengan energi memiliki spin yang berlawanan dan berlawanan momentum dan sedikit di luar permukaan Fermi, lihat gambar 2.3 (a). Fungsi gelombang naik dan , masing-masing. Akan dilihat nanti bahwa pasangan ini sebenarnya terbentuk dari sebuah elektron dalam keadaan atas permukaan Fermi dan lubang yang dimusnahkansebelumnya dalam keadaan dengan hampir sama momentum di bawah permukaan Fermi. Lubang dimusnahkan dalam arti setara denganelektron dengan momentum dan memiliki fungsi gelombang gambar 2.3 (b).Fungsi gelombang pasangan (pair) adalah

Kombinasi linear dengan berbagai memberikan koordinat fungsi gelombang(2.7)dimana . Transformasi inversnya adalah

dimana adalah volume sistem.Asumsikan bahwa elektron dalam pasangan berinteraksi melalui potential =. Hamiltonian adalah . Persamaan Schrdinger memiliki bentuk

Mengalikannya dengan dan menghitung integral terhadap volume diperoleh persamaan ini dalam representasi momentum ,

dimana

Asumsikan bahwa

dimana . Kekuatan interaksi dimana adalah besarnya potensi interaksi sementara adalah volume dimana interaksi dari berbagai terkonsentrasi. Kita mempunyai

(2.8)

Di sini jumlahnya diambil alih yang memenuhi , sedangkan jumlahnya adalah mengambil alih kedaan dalam satuan volume. Ditunjukkan

Persamaan (2.8) menghasilkan

dimana

Hal ini memberikan

(2.9)

Persamaan (2.9) diilustrasikan dalam Gambar 2.4. Sistem ditempatkan dalam kotak besar. Aras akan menjadi set diskrit ditunjukkan pada Gambar 2.4 oleh garis vertikal putus-putus. Aras terendah sangat dekat dengan nol dan akan mendekati nol ukuran kotak meningkat. Fungsi ( E ) bervariasi dari - sampai + sebagai E meningkat dan melintasi setiap . Namun, untuk negatif E < 0 , fungsi ( E ) mendekati nol sebagai E -, dan ada titik persimpangan dengan aras negatif -1/| W | untuk negatif E. Ini berarti bahwa ada keadaan dengan energi negatif energi memuaskan persamaan (2.9) untuk negatif W < 0. Untuk atraksi W < 0 dimiliki

Gambar 2.4. Fungsi (E) untuk sistem dengan spektrum diskrit

Misalkan adalah jumlah keadaan dalam volume satuan per satu proyeksi putar dengan energi di bawah . Kuantitasnya

disebut rapat keadaan (DOS). Pada keadaan normal dimana

Maka,

Dengan pemikiran tersebut, substitusi jumlah dengan integral

Faktor 2 menerangkan putaran (spin). Sekarang, untuk energi negatif E = E0 = - |E0| (2.10)Di sini kita mengganti p dengan konstanta pF karena dan dengan demikian . Kami juga menunjukkan (2.11)rapat keadaan pada permukaan Fermi. Persamaan (2.10) memberikan (2.12)

Faktor berdimensi disebut konstanta interaksi. Untuk sambungan lemah, , kita dapatkan

Untuk sambungan kuat, ,

Kita lihat bahwa terdapat sepasang partikel-hole (pasangan Cooper) dengan energi |E0| di bawah permukaan Fermi. Ini berarti bahwa sistem partikel pada keadaan normal dan hole tidak stabil terhadap pembentukan pasangan, ini merupakan daya tarik (betapapun kecilnya) antara elektron: Memang, jika kita menempatkan sepasang elektron ekstra dalam sebuah sistem yang memiliki permukaan Fermi, dua elektron tersebut ditemukan dikeadaan bawah permukaan Fermi, bertentangan dengan asumsi bahwa tidak tersedia keadaan di dalam permukaan Fermi.Dalam superkonduktor konvensional, daya tarik disebabkan oleh pertukaran fonon. Daya tarik antara elektron juga dapat disebabkan oleh interaksi magnetik dari pasangan triplet (dengan spin nol dari pasangan). Tolakan Coulomb berkurang dengan efek skrining pada jarak ukuran pasangan sehingga tidak merusak pasangan. Gambar 2.5 mengilustrasikan efek pada spektrum eksitasi penghubung antara partikel dan lubang (hole) dekat permukaan Fermi yang ditunjukkan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.5. Sambungan antara elektron dan hole mengubah spektrum energi: celah sama dengan |E0| terbuka dekat permukaan Fermi.

Efek pasangan Cooper memberikan dasar untuk memahami superkonduktivitas. Menurut gambar ini, pasangan, menjadi partikel Bose, membentuk kondensasi Bose dalam keadaan tunggal dengan fungsi gelombang yang memiliki fase tunggal untuk semua pasangan, yang merupakan kebutuhan dasar bagi adanya arus super.

2.3. Model BCS2.3.1 Persamaan Bogoliubov-de GennesSambungan antara partikel dan hole digambarkan oleh pembuatan medan pasangan ke dalam partikel dan hole persamaan (2.4) dan (2.6). Hasil dari persamaan tersebut dikenal sebagai persamaan Bogoliubov-de Gennes (BdGE).

(2.13) (2.14)

Fungsi ortogonal (2.15)Untuk momentum kita mempunyai (2.16)

2.3.2 Persamaan konsistensi diriMedan pasangan sebanding dengan fungsi gelombang dua partikel, (2.17)

Disini menunjukkan statistik rata-rata. Satu menemukan (2.18)

dimana adalah fungsi distribusi. Dalam kesetimbangan, ini adalah fungsi Fermi

Kita lihat bahwa medan pasangan adalah kombinasi linear dari keadaan pasangan yang dibuat seperti partikel dan dimusnahkan seperti eksitasi hole.2.4 Observables 2.4.1 Spektrum energi dan faktor koherensiPertimbangkan kasus di mana adalah konstan dalam ruang dan medan magnet tidak ada. The BdGE memiliki bentuk (2.19) (2.20)

dimana Kita cari solusi dalam bentuk (2.21)dimana q adalah vektor konstan. Kita mempunyai (2.22) (2.23)dimana

Kondisi solvabilitas persamaan (2.22) dan (2.23) memberikan (2.24)Menurut gambar Landau dari Fermi cair, kita hanya mempertimbangkan energi . Spektrum ditunjukkan pada Gambar 2.6. Fungsi gelombang u dan v untuk momentum q ditemukan dari persamaan (2.22), (2.24). Kita memiliki (2.25)Normalisasi dipilih untuk memenuhi persamaan (2.16)Energi adalah partikel tunggal dengan energi eksitasi terendah dalam superkonduktor. sesuai dengan energi yang dibutuhkan untuk menghancurkan pasangan Cooper. Oleh karena itu, dapat didentifikasi 2|| sepasangan energi yang ditentukan oleh masalah Cooper di bagian sebelumnya, |E| = 2||.Elektron dalam pasangan memiliki kecepatan. Oleh karena itu, karakteristik momentum (selain ) yang berhubungan dengan pasangan ini . Menggunakan prinsip ketidakpastian, , di mana R memiliki arti "ukuran" efektif dari pasangan Cooper, ditemukan . Skala karakteristik ini mempersiapkan skala panjang yang sangat penting yang disebut panjang koherensi.

Untuk energi tertentu, ada dua nilai yang mungkin (2.26)yang masing-masing sesuai dengan partikel atau lubang (hole) (lihat Gambar 2.6). Kuantitasnya adalah

adalah eksitasi kecepatan grup. Kita memiliki .

Gambar 2.6. Eksitasi spektrum BCS di sebuah superkonduktor. Garis yang tebal menunjukkan quasiparticles spectrum dekat permukaan Fermi dimana quasiparticles Landau didefinisikan dengan baik. Pada energi yang lebih tinggi lebih dekat dengan quasiparticles Landau tidak terdefinisi dengan baik (garis putus-putus). Garis putus-putus pada energi yang lebih rendah menunjukkan perilaku spektrum dalam keadaan normal

Maka, (2.27)dimana adalah kecepatan di permukaan Fermi. Kita melihat bahwa kecepatan grup adalah positif, yaitu, arahnya bertepatan dengan arah q untuk eksitasi di luar permukaan Fermi . Seperti kita ketahui, eksitasi tersebut seperti partikel. Di sisi lain, untuk eksitasi di dalam permukaan Fermi yang dikenal sebagai eksitasi hole.

2.4.2 Rapat Keadaan Kuantitas penting lainnya adalah rapat keadaan (DOS) didefinisikan sebagai berikut. Mari kita andaikan bahwa n (q) keadaan per spin dan per satuan volume untuk partikel dengan momentum hingga. Rapat keadaan adalah jumlah keadaan energi dalam interval dari ke , yaitu

Seperti yang bisa kita lihat, dalam superkonduktor, tidak ada eksitasi dengan energi DOS per satu proyeksi spin adalah nol untuk Untuk kita mempunyai

(2.28)Disini

adalah DOS per satu proyeksi spin dalam keadaan normal untuk eksitasi energi nol, yaitu, pada permukaan Fermi. q diganti dengan . Memang, , besarnya q sangat dekat dengan untuk . Fakta ini sangat penting untuk aplikasi praktis dari teori BCS, seperti yang akan kita lihat berikut.

Gambar 2.7. Rapat keadaan superkonduktor sebagai fungsi energi

2.4.3 Energi GapKeadaan persamaan (2.21) ditetntukan oleh vektor gelombang q dengan Uq dan Vq dari persamaan (2.25) hasil menjadi

Persamaan (2.18) menjadi (2.29)Kita ganti penjumlahan dengan integral

dan perhatikan bahwa dalam kesetimbangan,

Selain itu,

Ketika bervariasi dari - ke +, energi berubah dari ke + mengambil setiap nilai dua kali. Oleh karena itu, persamaan konsistensi diri mengambil bentuk (2.30)Integral menyimpang secara logaritmis pada energi yang besar. Bahkan, potensial interaksi tidak juga tergantung pada energi , sehingga hilang untuk energi tinggi melebihi beberapa nilai . Kami berasumsi bahwa

Dari persamaan (2.30) kita dapatkan persamaan gap (2.31)dimana berdimensi parameter disebut interaksi konstan. Untuk phonon dimediasi pasangan elektron, daya tarik efektif bekerja untuk energi di bawah energi Debye . Oleh karena itu, dalam persamaan (2.31). Persamaan ini menentukan ketergantungan gap pada suhu.Persamaan ini dapat digunakan untuk menentukan suhu kritis , dimana gap hilang. Kami mempunyai (2.32)Ini untuk mengurangi (2.33)Integralnya Disini dimana dan adalah Euler konstan. Oleh karena itu, (2.34)Interaksi konstan biasanya kecil, karena dari urutan 0,1 0,3 dalam superkonduktor praktis. Oleh karena itu, biasanya Untuk suhu nol kita dapatkan dari persamaan (2.31) (2.35)Oleh karena itu, saat T = 0

2.4.4 Arus Ungkapan kuantum mekanik untuk rapat arus adalah (2.36)Dalam keadaan superkonduktor kita memperoleh (2.37)