fisika kuantum-agus purwanto

UANTUM Agus Purwanto

PENERBITGAVAMEDIA

kndasan

1 I~~II\;Iyang berkembang sampai akhir abad sembilan belas I III~I~II:IIsebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama ; 1111Iniekanika klasik Newtonian dan teori medan elektromagnetik Fl~~rwr?llian.Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel I$11:lrjni sesuatu yang terkumngdi dalam ruang. lstilah terkurung

I 'I :~ r nsederhana dapat dikatakan sebagai adanya batas yang

11 $1,I,;nntara materi dan sesuatu di luar dirinya atau lingkungannya. ' .I 11 lrrngkan medan elektromagnetik dicirikan oleh kuantitas medan I 11IIl clelombang yang menyebar di dalam ruang. Medan tersebar I11 IIr~lamruang bagai kabut dengan ketebalan yang berbeda dan II11 br~ipissampai akhirnya benar-benar lenyap. Batas antara ruang I11 )Irnedan dan ruang tanpa medan tidak jelas atau kabur.

Ciri utama fisika klasik adalah sifatnya yang common sense I11III deterministik.

I.1.l.Mekanika Sistem Partikel Perhatikan partikel berrnassa myang pada saat 4 berada

pnda posisi F = r ' ( t ) , memptmyai kecepatan 9 =$(t) dan

Landasan Fisika Kuanturn Fisika Kuantum I

mengalami gaya F .Secara klasik partikel ini terikat oleh hukum Newton :

F =mF(t) (1.1)

dan akan bergerak dengan lintasan tertentu (definitepath).Karena itu, jika posisi, kecepatan, dan gaya saat ini diketahui maka keadaan masa lalu partikel dapat diketahui secara pasti, demikian pula keadaan masa depannya. lnilah yang dimaksud dengan sifat deterministik fisika klasik. Sifat ini secara grafik dapat dilukiskan sebagai berikut : ,F(t'> t )

Gambar. 1.1 Lintasan Klasik suatu Partikel

Dapat dikatakan, keadaan sistem partikel pada suatu saat t direpresentasikan oleh nilai sesaat dari posisi F ( t ) dan kecepatan

?( t ). Fenomena yang ada di dalam sistem partikel (mekanika

klasik) adalah fenomena tumbukan antara beberapa partikel yang memungkinkan terjadinya transfer momentum dan energi.

1.1.2 Medan Elektromagnetik Penemuan fenomena interferensi dan polarisasi cahaya di

awal abad kesembilan belas meyakintan bahwa cahaya merupakan gelombang. Siiat gelombang dari cahaya diidentifikasi beberapa dasawarsa kemudian sesuai perumusan Maxwell

I I I I I~~I~I~teori medan elektromagnetik. Dengan demikian, cahaya lit*ll!~gaigelombang elektromagnetik merupakan salah satu II11 ~l~ilastasidari fenornena elektromagnetisme yang terumuskan I111l:lmpersamaan Maxwell :,

~lrbnganfi =E,? dan H=4 yang mana dan B adalah 111cvIan listrik dan medan induksi magnetik, E dan ,u adalah ~~rrrmitivitas dan Jdan permeabilitas bahan, sedangkan p IIlrvupakan distribusi (sumber) muatan listrik dan distribusi arus Il0:lrik di dalam bahan.

Sampai menjelang abad kedua puluh, kedua teori tersebut Ililnmbah termodinamika dipandang sebagai teori puncak (ulti-111ntetheory)yang mampu menjelaskan semua fenomena fisika. !ivdangkan secara praktis, teori-teori tersebut telah memicu llrnbulnya revolusi industri.

1.2 KRlSlS FlSlKA KLASIK DAN SOLUSINYA

I isika terus berkembang dan temuan baru terus didapatkan. Ihtapi sayang, beberapa fenomena fisis yang ditemukan di akhir r~badsembilan belas berikut ini tidak dapat dijelaskan oleh teori lisika klasik. Karenanya, orang mengatakan bahwa fisika klasik mengalami krisis !

1.2.1 Radiasi Benda Hitam Jika suatu benda dipanaskan ia akan meradiasi. Hasil

Fisika Kuantum

eksperimen yang menarik adalah sifat distribusi energi atau spektrum energi dari radiasi benda hitam yang bergantung pada frekuensi cahaya dan temperatur. Benda hitam didefinisikan sebagai benda atau sesuatu yang menyerap semua radiasi yang diterimanya. Hasil eksperimen tersebut untuk temperatur berbeda diungkapkan oleh Gambar 1.2.

Gambar. 1.2 Distribusi energi benda hitam

Teori klasik yang dirumuskan oleh Rayleigh dan Jeans sampai pada bentuk fungsi distribusi energi :

dengan k= 1,38x10-l6ergPK adalah konstanta Boltzman dan c adalah kecepatan cahaya. Jelas, hasil perumusan Rayleigh dan Jeans (1.3) ini hanya sesuai untuk frekwensi kecil tetapi gagal pada frekwensi tinggi. Kegagalan atau penyimpangan teori Rayleigh-Jeans pada frekwensi besar ini dikenal sebagai bencana ultraungu (ultraviolet catastrophe). Grafik distribusi energi dari rumus Rayleigh-Jeans (1.3) diberikan oleh Gambar 1.3. Garis

Landasan Fisika Kuantum

I11 II 11111 ndalah prediksi Rayleigh-Jeans, sedangkan garis putus 11 li11: 111hasil eksperimen.

Gambar. 1.3 Distribusi energi radiasi klasik

Untuk mengatasi kesulitan analisa klasik, digunakan fakta II;~hwagelombang elektromagnetik yang merupakan radiasi di I lr darn rongga (cavity with a small aperture -sebagai realisasi I)r'nktis konsep benda hitam) dapat dianalisa sebagai superposisi II:~ri karakteristik moda normal rongga. Dalam setiap moda nor- IIlnl, medan bervariasi secara harrnonik. Dengan demikian, setiap t~loda normal ekivalen dengan osilator harmonik dan radiasi lrlctmbentuk ensembel osilator harmonik.

Bedasarkan pemahaman tersebut, Max Planck mengajukan I~ipotesisradikal sebagai berikut : 1 . Osilator di dalam benda hitam tidak memancarkan cahaya

secara kontinu melainkan hanya berubah amplitudonya -transisi amplitudo besar ke kecil menghasilkan emisi cahaya sedangkan transisi dari amplitudo kecil ke besar dihasilkan dari absorbsi cahaya.

2. Osilator hanya bisa memancarkan atau menyerap energi dalam satuan energi yang disebut kuanta sebesar hv ,

Fisika Kuantum Landasan Fisika Kuantum

bersifat bagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkall terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombari!l yang merupakan kumpulan gelombang dan terkurung di dala111 ruang tertentu.

Sebagai pendekatan terhadap konsep paket gelombang, ( hmbar. 1.11 Superposisi dua gelombang tunggal perhatikan kombinasi dari dua gelombang bida, ig berikut

I ,111 Iqelombang tunggalnya diperbanyak, yl(x,t) = Acos(o,t -klx)

W, (x ,t) = A cos(o,t -k,x)

Prinsip superposisi memberikan

dengan amplitudo A,

Grafiknya,

Gambar. 1.12 Superposisi dari n gelombang

.-V) .E

fa,

'lQ

L a,

5

e

a

25 Y

$.-cde Fs-

.a 8%*-

m m

a

C a

f,-a

m

1-isika Kuantum

Gambar. 1.15 Transform Fourier dari g ( k )

Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas diperoleh hubungan antara Ax dan Ak (atau Ap). Hubungan ini secara grafik adalah sebagai berikut

Gambar. 1.1 6 Kaitan antara & dan

Hubungan antara Ax dan Ak bergantung dari bentuk paket gelombang dan bergantung pada Ak,Ax didefinisikan. Perkalian (Ax)(Ak) akan minimum jika paket gelombang berbentukfungsi


Gaussian yang bertransformasi Fourier juga dalam fungsi Gaussian. Untuk paket Gaussian, jika Ax dan Ak diambil deviasi standar dari (x) dan g(k),maka

h A k = 1 2 (1-43)

Karena pada umumnya paket gelombang tidak berbentuk Gaussian, maka

AxAk24 (1-44)

Kalikan pertidaksamaan (1-44)dengan ji dan mengingat

p =hk , maka didapatkan

Pers(1.45) ini merupakan prinsip ketidakpastian Heisenberg (Heisenberg's uncertainty principle). Dalam kalimat, prinsip ini mengatakan:

"Tidak mungkin mengetahui atau mendapatkan posisi dan momentum suatu partikel dengan tepaf secara serempak atau bersamaanJJ

Prinsip ini merupakan fakta mendasar dari alam dan bukan sekedar disebabkan oleh keterbatasan dan ketelitian pengukuran. Untuk mengatakan bahwa suatu partikel berada pada titik xdan bermomentump berarti kita harus mengukur secara serempak koordinat x dan momentum p, karena tanpa pengukuran kita tidak mempunyai informasi apa-apa.

Sebagai ilustrasi, perhatikan gedanken eksperimen berikut ini. - Untuk mengamati elektron, kita harus menyinarinya dengan

cahaya a - Cahaya yang sampai di mikroskop adalah cahaya terhambur

oleh elektron.


Gambar. 1 . I7Gedanken eksperiment penentuan posisi elektron - Momentum foton terhambur p, =h l A, dan untuk menembus

obyektif, foton hams bergerak dalam sudut a, sehingga komponen-x dari momentum mempunyai ketaktentuan

Ketaktentuan ini juga merupakan ketaktentuan dalam arah-x dari momentum elektron setelah hamburan, karena selama proses hamburan, momentum antara elektron dan foton dipertukarkan.

- Di sisi lain, posisi elektron juga tidak tentu disebabkan difraksi cahaya ketika menembus obyektif. Ketaktentuan posisi elektron sama dengan diameter pola difraksi yaitu 2ysin 8 dengan sin 0 -h l d. Karena itu

sehingga dari dua hubungan Ap dm Ax di atas didapatkan

AxAp = h (1Al2) (14 3 )

sesuai dengan prinsip (1.45).

Contoh 1.8 a. Bila paket gelombang dalam komponen ruangnya saja f ( x )

berbentuk Gaussian perlihatkan bahwa transformasi Fouriemya g(k) ,juga berbentuk Gaussian

b. Bila &dm ~k diambil deviasi standar dari f(x) dan g(k) perlihatkan bahwa perkalian AxAk =$ .

Penyelesaian: a. Misalkan, paket gelombang Gaussian ternormalisasi

berbentuk

2 dengan

ca

ilf(x)l Maka pasangan transformasi -0

Fouriemya


yang tidak lain adalah fungsi Gaussian, dengan

b. Deviasi standar didefinisikan

Evaluasi lengkapnya memberikan

Karena x fungsi ganjil sedangkan e-a2x2 fungsi genap.

Sehingga

Selanjutnya

dan

Sehingga

Dengan demikian

Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian Heisenberg dinyatakan dalam ketidaktentuan energi AE dan waktu A t ,

AAEAt 2- (1.49)

2

Mengigat sedemikian kecilnya nilai h, prinsip ketaktentuan ini tidak relevan atau tidak tampak di dalam dunia makroskopik. Di dalam konteks ini, mekanika klasik untuk dunia makroskopik bersifat deterministik sedangkan dunia mikroskopik secara esensial non-deterministik. Karena itu, di dalam dunia mikroskopik tidak dikenal lintasan eksak.

Fisika Kuantum

Gambar. 1.18 Lintasan klasik dan kuantum

Sekarang kembali pada persoalan paket gelombang, dan k i i selidiki kebergantungannya terhadap waktu. Misalkan, paket gelombang direpresentasikan oleh f(x,t).

$0

f (x, t ) = 1 (k)ei(h-m'dk do

sebagai perluasan dari ungkapan (1.42). Pada saat t, paket gelombang f(x,t) mempunyai maksimum di titik X(t).


Jika posisi paket gelombang berubah, laju gerak titik maksimum adalah kecepatan grup

Seperti diperiihatkan pada Gambar 1.1 6di depan, amplitude g(k)bemilai maksimum, misalkan pada kodan tak no1 hanya di sekitar harga kotersebut. Hal ini diambil atau diasumsikan agar momentum terdefinisi dengan baik. Dengan alasan serupa, frekuensi juga seperti itu, yaitu berharga di sekitar oo=o ( k o ). Karena itu, o dapat diekspansi Taylor di sekitar k,

dengan mengabaikan suku ekspansi orde dua dan seterusnya. Kembali pada persoalan kecepatan grup v,. Karena f(x,f)

maksimum di X(t), maka

Diferensiasi sekali lagi pers. (1 -53) terhadap waktu t, didapatkan

Substitusi uraian (1.52) ke dalam pers. (1.54),

Gambar. 1.1 9 Paket gelombang pada saat f

Persamaan

Postulat Max Planck dan konsep spekulatif de Broglie mengisyaratkan perlunya konsep barn tentang dunia mikroskopik. Di dalam bab ini diuraikan langkah-langkah penting dalam membangun mekanika baru yaitu mekanika gelombang atau mekanika kuantum dan beberapa contoh sistem sederhana serta konsep pokok terkait.

2.1 PARTIKEL BEBAS

Kita berangkat dari konsep klasik yang telah kita kenal dengan baik. Secara klasik, energi partikel atau benda bebas bermassa m, diberikan oleh energi kinetik

dengar, ;3 adalah momentum partikel. Berikut ini diperlihatkan transisinya ke dalam persamaan kuantum.

Ungkapan energi Planck (1.4) dan momentum Compton (1.21) dapat ditulis sebagai

- -

Fisika Kuantum

sehingga ungkapan paket gelombang (1 -50)dapat ditulis ulang dan pem(2.5) dapat diperluas menjadi dalam bentuk

dengan Nadalah konstanta normalisasi. Diferensiasi fungsi (2.3) terhadap waktu memberikan

Jika energi Ediasosiasikan sebagai energi partikel bebas (2.1), maka i (p .r -Et ) lhd3j j

IY = w ( ~ , t ) =N Jpme

dan tetapan norrnalisasi baru N =

Tetapi ruas kanan pers. (2.4a) dapat ditulis sebagai 2.2 PERSAMAAN SCHRODINGER

2.2.1 Partikel di dalam Potensial Dengan membandingkan pers.(2.1) dan pers(2.7) tampak

adanya korespondensi antara energi E,momentum jj dan operator diferensial

Dari dua persamaan di atas diperoleh persamaan diferensial paket gelombang W bagi partikel bebas

Operator-operator ini beke rja pada fungsigelombang w (J, t ) . Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk

Perluasan bentuk energi partikel bebas ke dalam ruang tiga energi klasik. dimensi diberikan oleh Selanjutnya, tinjau partikel yang mengalami gaya yang

Fisika Kuanturn

dapat dituliskan sebagai gradient dari energi potensial V(T, t )

Karena itu, energi total partikel Edapat diungkapkan sebagai

Berdasarkan korespondensi (2.9) persamaan gerak kuanturn partikel di dalam potensial V ( 3 , t )diberikan oleh

Pers(2.12) ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk partikel di dalam potensial V ( 3 , t ). Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi behentuk

Secara umum, karena energi Edapat dinyatakan dalam Hamiltonian

E = ~ ( r ' , ~ , t ) (2.14)

maka pers. (2.12) dapat dituliskan sebagai

HamiltonianHsekarang berperan sebagai operator

yang beke j a pada fungsi gelombang ~ ( 7 ,t ).

i Persarnaan Schrodin,ger

1 2.2.2 Arti Fisis dari Fungsi Gelombang Di dalam persoalan sesungguhnya Hamiltonian suatu sistem

diketahui atau diberikan. Mengacu pada persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan diferensial (parsial) (2.1 4), jelas persoalannya sekarang adalah mencari solusi W dari persamaan tersebut. Jadi, fungsi gelombang W merupakan kuantitas teoritis fundamental di dalam mekanika kuantum. Meskipun demikian, seandainyafungsi gelombang W sudah diperoleh, masih tersisa satu pertanyaan mendasar:

Fungsi gelombang merupakan suatu deskripsi dari kejadian yang mungkin, tetapi- kejadian apa? Atau, apa yang didiskripsikan oleh fungsi gelombang?

Singkatnya, apa arti fisis dari nilai y(T, t ) di setiap posisi 7 pada saat t?

Jawaban dari pertanyaan di atas diberikan oleh Max Born pada tahun 1926 yang menyatakan bahwa y(r', t ) itu sendiri tidak mempunyai arti fisis apa-apa, tetapi

diintepretasikan sebagai kerapatan probabilitas. Secara lebih spesifik

menyatakan kemungkinan untuk mendapatkan partikel yang dideskripsikan oleh y (7 , t ) berada dalam elemen volume dv di sekitar posisi T pada saat t. Di dalam kasus satu dimensi

menyatakan besar kemungkinan partikel yang dideskripsikan oleh y/(x,t) berada di antara x dan x+dx pada saat t.

Fisika Kuantum PersamaanSchrodinger

Jika partikel (memang) ada di dalam ruang, interpretasi di atas mensyaratkan

dengan integrasi dilakukan ke seluruh ruang V. Fungsi gelombang yang memenuhi syarat (2.20) dikatakan sebagai fungsi gelombang temorrnalisasi.

Contoh2.1 Fungsi gelombang sutu partikel yang bergerak sepanjang Gambar2.1 Solusi

sumbu xdiberikan oleh: ~ ( x )=~ e - "sina x Karena itu

a. Tentukan konstanta Cjika fungsi gelombang temormalisasi b. Jika a = 7~ , hitung kemungkinan untuk mendapatknan -- \y(2&= 1= sin2 m d x + C 2 ~ e 2 x - sin2 m d x

partikel berada di sebelah kanan titik x=l Penyelesaian: = 2 c 2 r e - " s i n 2 a h r

r c ~ [ ~ - ~ ~

o

a. Secara eksplisit ~ ( x )diberikan oleh Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus

Cex sina x, untuk x <0 dalam bentuk eksponensial dan akan didapatkan Ce-" sin ax, untuk x >0

sehingga

,&I2 = (~ ~ e ~ " s i n ~ a r ,untuk x < O

C2e-'" sin2 ax, untuk x >0

Tampak bahwafungsi terakhiradalah fungsi genap, dan rekaan grafiknya diberikan oleh gambar berikut

Didiipatkan konstanta normalisasi C

Fisika Kuantum Pe~amaanSchrodinger

sehingga

b. Besar kemungkinan partikel berada di x 2 ]

e=-g + a ' + sin 2a - cos 2a) 2a atau

Untuk a =n I

Pers.(2.21) ini tidak lain adalah persamaan kontinyuitas

I 2.2.3 Persamaan Kontinyuitas 1

I

Kembali pada probabilitas (2.1 9), dan diferensiasi terhadap dengan Padalah rapat probabilitas (2.1 8) dan fluks atau rapat arus probabilitas 3waktu atas besaran ini memberikan

Untuk kasus satu dimensi, persarnaan kontinyuitas (2.21) menjadi

dengan rapat arus S

Fisika Kuantum Persarnaan Schrodinger

komponen misalkan komponen-x

2.2.4 NilaiHarap Sekali lagi, seandainya fungsi gelombang II/ sudah diperoleh

kita dapat mengajukan beberapa pertanyaan lagi. Misalnya, di mana partikel sering berada atau berapa momentum rata-rata partikel? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Ehrenfest. Misalkan kita ingin tahu nilai rata-ratavariabel dinamis A(x,p), maka didefinisikan nilai harap (expectation value) dari Suku kedua ruas kanan dapat diuraikan menjadi

besaranA sebagai

dengan A,adalah operator ~ ( x , - i ~ v )yang merepresentasikan variabel A di dalam mekanika kuantum. Secara lebih umum, jika W tak temormalisasi maka pers.(2.26) menjadi

Sebagai contoh, nilai rata-rata posisi 7 Subtitusi kembali ke dalam pers.(2.29b), memberikan

Sedang dari analogi klasik untuk nilai rata-rata momentum I I

sehingga

Untuk menghitung secara rinci, lakukan evaluasi per 1

Fisika Kuantum

2.2.6 Keadaan Stasioner dan Persamaan Nilai Eigen Tinjau partikel yang bergerak di dalam ruang dengan potensial

tidak bergantung waktu V =V(7) . Untuk sistem seperti ini, ~ ( 7 , t )dapat diuraikan rnenjadi perkalian bagian yang hanya bergantung ruang dan bagian yang hanya bergantung waMu

Catatan: co(7)di sini tidak terkait dengan a,(k)pada pers.(2.3), dan hanya sama notasi belaka.

Selanjutnya, subtitusi uraian (2.34) ke dalam pers.(2.12) kemudian dibagi q(3)f ( t ) maka didapatkan

Karena ruas kiri pers.(2.35) hanya bergantung waktu sedangkan mas kanan hanya bergantung variabel ruang T ,maka keduanya akan selalu sama jika dan hanya jika keduanya sama dengan konstanta, misalkan E.Dengan demikian pers.(2.35) akan terpisah rnenjadi dua persamaan :

dan

Atau

dan

Persamaan Schrodinger

Pers.(2.36a) adalah persamaan diferensial orde satu dengan solusi akan sebanding dengan exp(- i ~ tI h) . Karena itu uraian (2.34) menjadi

Pers(2.37) secara implisit menyatakan bahwa E harus riel, karena bila mempunyai harga imajiner E ,v akan lenyap untuk semua r jika t -+- atau -oo sesuai tanda (-) atau (+) dariE . Hal ini tidak memenuhi syarat keberadaan partikel di dalam ruang (2.20). Selanjutnya per~~(2.37) memberikan rapat probabilitas

yang tidak bergantung waktu. Karena itu ~(7, ' ) pada pers(2.37) menggambarkan keadaan stasioner (stationary state) karena tidak ada karakter atau sifat partikel yang berubah terhadap waktu. Sedangkan pers. (2.36b) disebut persaman Schrodinger tak bergantung waktu.

Mengingat bentuk pers.(2.16) dengan V =V(T), pers.(2.36b) dapat ditulis menjadi

Pers.(2.39) ini disebut persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen dengan rn(7)sebagai fungsi eigen dan H adalah operator diferensial dari energi. Eadalah nilai eigen dari operator H,dan disebut sebagai energi eigen dan ditafsirkan sebagai energi partikel.

--

Fisika Kuantum

2.3 MODEL-MODEL POTENSIAL SEDERHANA

Berikut ini diuraikan contoh-contoh sistem partikel yang bergerak di dalam ruang dengan potensial sederhana dan kuantitas terkait.

2.3.1 Kotak Potensial Satu Dimensi dan Keadaan Dasar Perhatikan partikel bermassa mberada di dalam sumur atau

kotak potensial satu dimensi sepanjang L. llustrasinya diberikan oleh gambar di bawah ,

Gambar 2.3 Patikel dalam Kotak Potensial satu dimensi

Potensial V +w di x = 0dan x = Ldibuat untuk menjamin agar partikel tidak dapat menembus dinding dan keluar kotak. Artinya tidak mungkin partikel berada di luar sumur potensial. Secara matematis ha1 ini berarti

q ( x )= 0 untuk x 5 0 dan x 2 L (2.40a)

Karena di dalam kotak V(x) = 0,maka persamaan Schrodinger sistem ini

Persarnaan Schrodinger

A 2 d 2 q---- - E , untuk 0 < x < L 2m dx2

atau

Jika dituliskan,

2mE - k2 A (2.m)

maka persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu (2.40b) menjadi

Solusi umumnya diberikan oleh fungsi

q ( x ) = A coskx+Bsinkx

Syarat batas di x = 0,memberikan hubungan

q(O)=O=A. l+O

yang berarti A = 0.Karena itu, (p menjadi

q ( x )= B sinkx

Syarat batas di x = L

Hal ini dipenuhi oleh

kL = nn, dengan n =1,2,3,...

Fisika Kuantum

atau

Dari hubungan antara Epers.(2.40c) dan k pers.(2.40i), diperoleh ungkapan energi partikel di dalam kotak, yaitu:

dengan

Jelas bahwa energi partikel tidak dapat bernilai sembarang atau kontinu seperti dalam fisika klasik melainkan diskrit yaitu kuadrat bilangan bulat kali energi terendah E,. Keadaan dengan energi terendah disebut keadaan dasar (groundstate).

Subtitusi bentuk akhir kke dalam fungsi Cp (x), didapatkan

q ~ ( x )=9,( x )= B sin -nR x L

Konstanta B ditentukan melalui proses normalisasi, yaitu partikel pasti ada di dalam sumur. Karena itu,

sehingga

Persamaan Schrodjnger

Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasi untuk partikel terperangkap dalam sumur .potensial satu dimensi berukuranLdiberikan oleh

dan keadaan dasamya

Gralikfungsi gelombang dan rapat probabilitas partikel dalam

kotak diberikan oleh gambar-gambar berikut.

Gambar2.4. (a) fungsi gelombang, (b) rapat probabilitas

. Jika partikel berada pada keadaan tereksitasi pertama, q, , maka posisi rata-rata partikel

--

F isika Kuantum

keadaan dasar dan keadaan eksitasi pertama. Kemudian hitung ( E ) tersebut.

c. Tentukan posisi rata-rata (x) pamkel dan momentum rata-ratanya

Penyelesaian a. Dari ungkapan (2.42) dan (2.37)didapatkan

-4n i h j . ( y ) ( ysm - x cos - x

L2 0

Kedua hasil di atas berlaku sama untuk semua qndan dapat diduga dari garnbar 2.4b. Pertarna, peluang partikel berada di sehingga sebelah kiri titik tengah U2dan di sebelah kanannya sama. Karena itu secara rata-rata partikel berad di titik tengah U2.Kedua, akibat keadaan pertama ini maka kemungkinan partikel bergerak ke kanan ke kiri adalah sama. Dengan demikian momentum saling dengan meniadakan atau momentum rata-ratanya adalah nol.

Contoh2.2 : Keadaan pertikel setiap saat di dalarn kotak satu dirnensi L b. Dari definisi nilai harap

diberikan oleh

L a ( E }= o~ v ( ~ , f ) ' ~ f i z ~ ( ~ 9 ~ ) &

tdengan Y ,( x , t ) dan Y, ( x , t ) adalah keadaan dasar dan keadaan I tereksitasi tingkat pertarna setiap saat partikel di dalam kotak. a. Tuliskan secara eksplisit bentuk dari y(x , t )

1. 'l; E* E E+-b2 (x,t)12 +>2 y; (x,r)~,(x,t) +b. . Perlihatkan bahwa energi rata-rata partikel = o[1$111(x,1)12 2

I

( E )= E,P;+E,P, I

dengan P, danP2masing-masing adalah rapat probabilitas

Fisika Kuantum Persamaan Schrodinger

dengan

dan

Karena itu,

1 16L karena qn( x )sudah ternorrnalisasi. Karena itu, ( x )= - L - ~ C O S ~

2 937

Jadi ( x ) berosilasi di sekitar titik tengah kotak dengan

amplitudo sebesar 1 6 ~ 1 9 ~ 'dan frekuensi v = w l 2n =3E, 1h .

Contoh2.3 c. Posisi rata-rata partikel, rnenggunakan notasi (3.1) Suatu elektron terperangkap di dalarn kotak satu dirnensi

dengan panjang 1A. Hitung: a. Energi tingkat dasar elektron tersebut. b. Besar peluang untuk rnenernukan elektron di daerah

0 0

+ A < x < q A

Penyelesaian: a. Energi partikel di dalam kotak Ldiberikan oleh

I

IDari ungkapan partikel di dalam kotak satu dimensi didapatkan I

I Untuk tingkat dasar n =I,maka ((P,(,o,x(P,(.)) =(92(49x(P*(x))=XL

1.(6,626x 1O-34)Zdan E, = Joule

8 . 9 , 1 ~ 1 0 - ~ ~ ( 1 0 - ~ ~ ) ~


b. Dari Gambar 2.4, daerah %/2< x <%A identik dengan daerah Kasus 1. Jika EI V, U2 < x < 3L14 Karena itu,

Persamaan Schrodinger sistem

Solusinya

ik" +Be-ikr P-(x) = Ae

dengan konstanta positif k

2.3.2 Tangga Potensial, Koefisien Refleksi dan Koefisien Tranmisi dan

Partikel-partikel berrnassa m diternbakkan dari kiri ke kanan, dan bergerak di dalarn tangga potensial berikut. q + ( x ) =Ce-qx+Deqx

1 dengan

yang juga positif. Gambamya diberika, sebagai berikut:

Garnbar 2.5 Potensial Tangga

Untuk sistem dengan potensial tangga di atas, perilaku partikel dibedakan menjadi dua kasus bergantung harga E, yaitu E s V,atau E > V,.

Gambar 2.6 Energi Partikel kllrang dari Potensial

Fisika Kuantum

Suku eksponensial kedua p+jelas tidak dapat menggambarkan keadaan fisis atau tidak rnemenuhi syarat (2.22) karena meledak (9cc ew -t m) di x +m. Agar 9, tetap rnewakili situasi fisis riel rnaka D harus nol. Karena itu 9+menjadi

Selanjutnya mengingat bentuk solusi umum bergantung waktu (2.37), maka suku eik dari p- dapat ditafsirkan sebagai partikel datang (dari x = -m ke kanan rnenuju x = 0) dan suku ejk"sebagai partikel yang dipantul ke kiri (menuju x = -m )oleh potensial V, di x = 0. Hasil yang mernbedakan dari potensial klasik adalah kehadiran suku eqxdari (p+.Suku ini rnenyatakan ada partikel yang menernbus (penefrafe) potensial Vosarnpai kedalarnanx > 0tertentu.

Berikut ini kita tentukan konstanta A,B dan Crnenggunakan syarat kontinyuitas. Pertama, 9-(0) = q+(0) memberi hubungan

Kedua,

rnamberikan

ik(A -6)= - qc

Pers.(2.47a) dan (2.47~) rnenghaslkan

B=-ik +qA dan C =-

2ik A ik - q i k - q

Sehingga


(2.48a) ,

i dan

Dari ungkapan p- ,intensitas untuk partikel datang adalah JAI2.Sedangkan intensitas partikel terpantul adalah

=--i k + q - i k + q IAI2 = IA12 (2.49) i k - q i k - q - i k - q

Jadi, intensitas medan terpantul sarna dengan intensitas rnedan datang. Ini berarti semua partikel datang akhirnya dipantul kernbali terrnasuk partikel yang sernpat dapat rnenembus potensial Vo. Hasil ini juga dapat dipahami dari besar fluks atau arus j(x) di x< 0 ,

I

Grafik solusi p- dan p+,untuk E IVo


Gambar2.7 Fungsi Gelombang untuk tangga potensial, jika E<Vo

Jika Vobesar sekali maka dari persamaan (2.46b) 9 juga akan besar sekali. Karena 'hkedalarnan menembus juga mengecil atau dari (2.47d) konstanta C akan nol, dan B = -A. Karena itu,

dan

Grafiknya

Gambar2.8 Fungsi gelombang untuk penghalang sangat tinggi

Kasus 2. Jika E > V, Persamaan Schrodinger kasus ini sama dengan persamaan

Schmdinger untuk EcV, Solusi untuk daerah x <0, sama dengan 9- kasus terdahulu. Tetapi solusi untuk daerah x 5 0 berbeda dari bentuk terdahulu, yaitu bentuk sinusosidal

ik'x + * le - ik 'xq+(x)=C e

dengan

Mengingat partikel hanya ditembakkan dari kiri maka tidak ada partikel merambat dari kanan ( x =m) ke kiri di daerah x 2 0 .Karena itu, D'= 0 sehingga q+( x ) menjadi

Konstanta-konstanta A,B dan C' ditentukan dengan

menggunakan syarat kontinyuitas di x = 0 (0) - (0) memberikan A + B = C'ii) 9- -9+

Kedua hubungan di atas lebih lanjut memberikan

k-k' 2kB=- A dan C'=-A

k + k ' k + k '

Dt. gan demikian

Fisika Kuantum

dan

Kenyataan bahwa B 0 rnenyatakan ads sebagian partikel yang dipantulkan walau energi partikel lebih besar dari energi tangga penghalang E> V,. lnilah yang rnernbedakan dari hasil fisika klasik yang rnenyatakan bahwa semua partikel akan diteruskan jika E > V,

Mengingat kenyataan di atas, berikut ini kita hitung koefisien refleksi dan koefisien transrnisi dari keadaaan sistern tersebut. lntensitas dari berkas partikel didefinisikan sebagai

lntensitas ,Jumlah partikelpersatuan volume

(diberikan oleh kuadrat modulo amplitude)

Fluks dari berkas partikel atau kerapatan arus partikel di definisikan sebagai

Fluks jumlah partikel yang melewafi daerah satu satuan luas per satuan wakfu

= kecepatan dikalikan intensitas.

llustrasinya

Garnbar2.9 llustrasi fluks sistern banyak partikel

Koefisien refleksi didefinisikan sebagai

10 111lr:;innrefleksi =-fluks berkas terpantul

fluks berkas datang

sedangka~iItoofisien transrnisi

kc~rrfisientmnsmisi =-fluks berkas diteruskan

- fluks berkas datang

Dari dolinisidiatas, untuk kasus tangga potensial didapatkan koefisien rc!llcksi R, -+.

Sedangkan koefisien transmisi T

Denganv adalah laju partikel-partikel di daerah kiri ( x < O),

danv' laju partikel-partikel di sebelah kanan ( x > 0)

Dari hasil di atas juga tampak bahwa kekekalan jurnlah partikel dip en^, .I, yaitu R+T=1

Gambar fungsi gelornbangnya, arnplitudo maupun periodisitas

untukx < 0 dan x > 0 berbeda, mengapa? Pert,atikan pendekatan energi berikut.

Fisika Kuantum I

1) Jika E >> Vo Dan ungkapan (2.51 b) dan (2.45b) diperoleh

Dengan demikian, dari pers. (2.52a) dan pers.(2.52b), didapatkan

p-( x ) =Y),( x ) = ~e~~=p ( x )

Sketnya

Gambar 2.10. Fungsi gelombang jika E >> Vo

2) Secara umum

Gambar 2.11 Fungsi Gelombang untuk sembarang E> Vo

PersarnaanSchrodinger

Contoh2.4: Misalkan, ada seribu elektron yang masing-masing berenergi

27 eV ditembakkan ke arah daerah bertangga potensial dengan ketinggian 24 eV. Hitung jumlah elektron yang berbalik ketika elektron-elektron tersebut sampai pada tangga potensial.

Penyelesaian : Energi elektron, E= 27 eV Tangga potensial V,,= 27 eV Koefisien refleksi untuk E> V, diberikan oleh pers. (2.54)

dengan k dan k'seperti ungkapan (2.45b) dan (2.51 b). Dalam ungkapanE dan Vo,

Substitusi harga-harga Edan V,, didapatkan

R= 0,25

Karen? itu, ada sejumlah N

N = l000xR

= 250 elektron

yang dipantulkan.

Fisika Kuantum

Sekali lagi, inilah yang rnembedakan dad perurnusan klasik. I

Menuruk rnekanika klasik sernua elektron (1000elektron) tersebut akan lolos rnelewati tangga potensial karena D V 0 ,tanpa ada

Isatupun elektron yang dipantulkan. I

II

2.3.3. Sumur Potensial dan Paritas Berikut ini kita pelajari partikel yang bergerak di sumur

potensial dengan kedalarnan berhingga.

Gambar 2.12 Surnur potensial sedalarn Vo, selebar 2a

Potensial sistern diberikan oleh :

untukdaerah 1, x < -a

, untuk daerah 2, -a r x 5 a (2.57) untuk daerah 3, x < a

Dengan demikian, persarnan Schrodinger sistem ini diberikan oleh

untuk 1x1 > a (2.58a)


dan

*---h2 d2p

V,rp= E q , untuk 1x1 I a (2.58b)2m d 2 x

pnalisa terhadap sistem ini dibedakan antara energi partikel E < 0dan energi E > 0.

A. Keadaan terikat. Energi Negatip UntuK energi negatip, E + -E dengan Ekuantitas positif, maka per. (2.58a) dan (2.58b) menjadi

dan

d 2p+ k 2 p=0, untuk 1x1 < a d 2 x

dengan

g = (2mE 1 ~ ' ) " ~ dan k = (2m(v0-E ) / h 2Y I 2 (2.60)

Solusi untuk daerah (1) dan (3) yaitu daerah 1x1>a

(x) = Aeq' +Be-9x

,p3( x )= Eeqx+Fe-qJ

dengan A, B, E, dan Fkonstanta-konstanta. Sedangkan solusi

untuk daerah (2))

, p 2 ( x ) = ~ c o s l r x +~ s i n k x (2.61b)

C dam D konstanta. Syarat fisis berhingga (2.32) rnembuat 5dan E hardS nol, sehingga

-81

...

Persarnaan Schrodinger Fisika Kuantum

Pertama, jika A +F# 0 maka C # 0 q,(x)= Aeqx

q3(x)=Fe-qx

Selanjutnya tentukan konstanta-konstantaA,ECdanDdengan serta

.\.. (;'r menerapkan syarat kontinyuitas di x = -a, A=E D=O

_ ,. h'.. ... f it . -. F= Cew cos ka

9 1 ( - 4 = 9 2 ( - 4 ' (2.61d)

.... ,- .membenkan Kedua, jika A -F# 0 maka D# 0dan

q =-k cot ka (2.6%) Ae-qa=Ccos ka +D sin ka (2.61 e)

dan Sedang kan

A=+ C=O

F = DIF sin ka

Spektrurn Energi; berikut ini kita lihat perilaku energi partikel. memberikan Pers. (2.45) memberikan

qAe-qa= -kCsin ka +kD cos ka (2-619)

Dengan cara serupa, kontinuitas di x =a, memberi hubungan

Ccos ka +D sin ka =Fe-qa 1 Setelah dikalikan a*, menjadi

-kC sin ka +kDcos ka = -qFe-qa (2.61 h)

Selanjutnya, hubungan di atas memberikan dengan parameter E

( i ) 2C cos ka = ( A+F ) e-qa

(ii) 2kC sin ka = (A+F ) qe-qa

(iii) 2 0 sin ka = -(A -F ) e-qa (2.6 1 i) I (iv) 2kD cos ka = (A-F ) e-qa berdimensi energi. Dengan demikian, parameter (v,1.5) pada

pers(2.64) menyatakan ukuran dari kekuatan potensial. Lebih lanjut hubungan-hubungan ini memberikan dua jenis I Kita tinjau solusi pertama (2.62a). Karena kdan qmerupakan

solusi, besaran positip maka dari pers. (2.62a), (@) = tan(ka) juga harus positip. Hal ini, tan (ka) positip, hanya dipenuhi jika ka berada

1


pada interval (1) dan (3), serta pengulangannya, Kedua solusi (2.66b) dan (2.67b) rnenyiratkan bahwa hanya k diskrit tertentu yang memenuhi. Harga tersebut bisa diperoleh melalui pendekatan grafik berikut

Sin ka ;

tan $ I ios ka X

Gambar 2.1 3. daerah dengari'harga cosin(+) . . Gambar 2.14. Solusi grafik untuk nilai k yang diijinkan I

Misalkan, irisan antara (&/vo)"~ dan I cos ka Iatau lsin kal

dengan r = 0,1,2,3. ... terjadi pada k = kn,n = 0,1,2.. .,energi yang diperbolehkan

Berikutnya, subtitusi pers. (2.62a) ke pers.(2.64) didapatkan :

j Dan Garnbar 2.14 atau dari pers.(2.66a) tarnpak bahwa jumlah Atau

I

energi yang diperoleh berhingga. Dari gambar, jika (E/VO)"~ ka sarna dengan satu nilai, k a berada dalarn interval

i ~ ( ~ 1 2 )1ka < (N+1)(7r/2) maka ada (N+I) irisan. Dengan kata lain ada (N+ l ) tingkat energi diskrit jika

(~~/~)N(E/vo)~'~ ji ka 5 1< (7r/2)(~+~)(E/vo)"~ atauDengan cara serupa, untuk solusi jenis kedua (2.63a) Ididapatkan N 5 2/n(Vo/~)"~cN+l (2.69) 1 i Dengan dernikian, sedikitnya ada satu keadaan tenkat untuk

dan sedangkal apapun surnur potensial, yaitu jika (&/vo)"~ kecil sekali sehingga Nyang mernenuhi adalah nol.

Fungsi Eigen dan Paritas. Berikut ini kita lihat perilaku (EIVO)"' ka = lsin kal 1 fungsi gelornbang p untuk setiap energi En.Energi Endengan


n = 0,2,4,. . . berkaitan dengan solusi pertama

p,, ( x )= Ceqnac~s(k ,a )e"~, untuk x < -a

q2, ,(x)=Ccosknx, u n t u k - a l x l a (2.70)

q3,,( x ) = ~ o S ( k , a ) e - ~ ~ ~Ceqna , untuk x >a

Sifat dari fungsi-fungsi di atas diilustrasikan secara grafis berikut :

Gambar 2.1 5. Fungsi eigen paritas genap

Jika fungsi eigen keseluruhan dituliskan sebagai 9,(x) jelas bahwa y>,(x) simetri terhadap titik asal

Fungsi gelombang yang mempunyai sifat simetri (2.71) dikatakan mem punyai sifat paritas genap.

Sedangkan energi Endengan n=1,3,5, . . .berkaitan dengan solusi kedua,

q,,,( x ) = -Beqna sin(kna)eqnx , untuk x < -a

~ ) ~ , , ( x ) = B s i n ( k , x ), u n t u k - a c x < a

q3,,(x )=B e9# sin (k,a) e-qmx , untuk x > a (2.72)I

Grafikfungsi-fungsi ini

Gambar 2.1 6 Fungsi eigen paritas ganjil

Fungsi eigen ini antisimetri terhadap titik asal

Fungsi gelombang yang memenuhi sifat (2.73) ini disebut fungsi eigen paritas ganjil.

Confoh 2.5 Suatu elektron bergerak di dalam sumur potensial yang

mempunyai kedalaman 20 eV. Energi tingkat dasar electron temyata adalah -1 5 eV. Tentukanlhitung : a. Lebar sumur (dalam A) b. Jumlah tingkat energi diskrit yang mungkin. c. Besar peluang mendapatkan elektron keadaan dasar berada

di luar sumur.

Fisika Kuantum I PersamaanSchrodinger

Penyelesaian: a. Karena energi tingkat dasar merupakan jenis solusi dengan

paritas genap, maka lebar sumur 2a dapat ditentukan menggunakan pers.(2.66b), (2.65) dan (2.60),

I

Menggunakan ungkapan (2.55) untuk fungsi 9,didapatkan.

- ' arc c o s , / m

Subtitusi harga-harga V,, =20 eVdan E= 15 eV, didapatkan I dan, lebar sumur :

b. Dari harga a di atas, didapat harga paremeter E II

E=--ti2 -4,56 eV 1

2ma I Karena itu,

sehingga, 1 I p(Ixl> a)=

q a +-sin(2ka) 1 +

cos* (ka)

Hal ini berarti, menggunakan pers(2.54) -hargaN= 1.Karena ii

itu tingkat energi diskrit yang mungkin adalah N+ 1= 2 c. Memperhatikan kesimetrisan fungsi gelombang keadaan dasar

(gambar 2.15), maka besar peluang untuk mendapatkan elektron di luar sumur cukup dihitung untuk daerah positf, Subtitusi harga-harga k, q, a, edan Vo,didapatkan

II

,/--

I Fisika Kuantum

2). Energi positif, E>0

ParUkeCpartikel ditembakkan dari kiri, .< 0. Persamaan Schrodingemya,

dengan,

q = ( 2 m ~ / h ~ ) dan k = (2m(Vo +E J / ~ 'j (2.75)

Solusi umumnya diberikan oleh :

dengan A, B,C, D dan Ekonstanta. Grafik Fungsi gelombangnya,

Gambar2.17 Fungsi Gelombang untuk energi positip

PersamaanSchrodinger

2.3.4 Kotak Potensial Tiga Dimensi, Keadaan Degenerasi dan Kerapatan Energi

Perhatikan partikel yang berada di dalam kotak potensial berukuranax bxcseperti diperlihatkan oleh Gambar 2.18. Setiap dinding kotak berpotensial besar sekali, V +co.Sedangkan potensial di dalam kotak sama dengan nol.

Gambar2.18 Kotak Potensial Tiga Dimensi

Persamaan Schrodinger untuk partikel berrnassa m di dalam kotak :

atau

Operator diferensial nabla diuraikan dalam koordinat yang sesuai yakni koordinat Cartesian, karena potensial berbentuk balok.

Selanjutnya, terapkan metoda pemisahan variabel q (T)= q(x ,y , ~ )=X(x)Y(y)Z(z ) dan nilai eigen E menjadi

E = Ex + E,, + Ez. Cara standar di dalam fisika matematika membuat pers. (2.77b) tereduksi ke dalam bentuk :

vtmn@,Y,4=(;)@

PersamaanSchrodinger

sin -x sm -y sin -2 (l: ) - r: ) r: ) (2.80a)

dan

"I 2maz Ketiga persarnaan ini tidak lain adalah persamaan Schrodinger Beberapa spesifikasi fungsi eigen dan energinya diberikan

untuk partikel di dalam kotak satu dirnensi yang telah dibahas di olehtabel berikut depan. Solusi eigennya:

Sehingga, setelah dilakukan normalisasi didapatkan solusi lengkap

=("-)" sin(?p(F) =ph (.x, y, abc sin($ .) y) .z) (2.79a)

dan

bilangan e , mdan n merupakan bilangan kuantum utama bagi sistem partikel di dalam kotak di atas. Bila kotak berupa kubus V = a3,maka Tabel1.Spesifikasi beberapa fungsi eigen.

Fisika Kuantum

DariTabel.1 tampak bahwa ada satu fungsi dengan satu energi, seperti E= 3 El untuk p,,, dan E= 12E1 untuk pZz2.Keadaan eigen dengan spesifikasi atau sifat di atas dikatakan sebagai keadaan non-degenerasi (non-degenerate state). Sedangkan beberapa keadaan atau fungsi eigen yang berbeda tetapi mempunyai energi eigen yang sama dikatakan sebagai keadaan terdegenerasi (degenerate state). Sebagai contoh untuk E=6E1 fungsi eigennya ada tiga yaitu p,,, ,p,,,,p,,,,dan seterusnya.

Jika kubus besar sekali maka El akan kecil sekali sehingga spektrum energinya akan tampak kontinyu. Tingkat energinya diilustrasikan oleh Gambar 2.19. Di dalam kasus seperti ini kita tertarik pada jumlah tingkat energi yang ada di dalam selang dE, yaitu antara energi Ed m E+dE.

(a) (b)

Gambar 2.19 Spektrum Energi untuk (a) kubus kecil, (b) kubus besar


Untuk menghitung rapat keadaan per satuan energi tersebut, buat vektor

di dalam ruang bilangan kuantum.

t n3

Gambar 2.20. Vektor Z di dalam ruang bilangan kuantum

nlrn2rn3

Dari Gambar2.20 tampak bahwa

Dalam notasi baru ini, ungkapan (2.80b) dapat ditulis menjadi

Sehingga panjang n dapat dinyatakan dalam energi E

MisalkanN(E)adalah jumlah keadaan antara no1 dan Emaka


Gambar 2.21. Seperdelapan bola berjejari n

dengan V = a3.Jumlah keadaan antara Edan E+dE per satuan volume, dN

Biasanya didefinisikan rapat keadaan g(E) rnenurut dN(Q = g(E)dE, sehingga

Kuantitas ini merupakan jurnlah keadaan per satuan selang energi pada energi E.

Garnbar 2.22 Kerapatan Keadaan

Daerah bintik-bintikdi bawah kurva rnenyatakan jumlah seluruh

keadaan yang mungkin antara energi no1 dan energi E .

. 2.3.5 Penghalang Potensial dan Gejala Penerowongan.

Misalkan, partikel-partikel berenergi E ditembakkan dan

bergerak dari kiri ke kanan melewati penghalang potensial berikut

Garnbar 2.23 Potensial Penghalang setinggi Vo

Persarnaan Schrodinger partikel-partikel tersebut

Solusi persamaan di atas dibedakan oleh besar energi partikel E

Fisika Kuantum Persarnaan Schrodinger !I 1. Fenomena Penerowongan sekaligus yang membedakannya dari partikel klasik.

Untuk E< V,, maka pers. (2.87) menjadi Selanjutnya kita hitung koefisien transmisinya. Syarat kontinyuitas fungsi gelombang dan turunannya terhadap posisi memberikan:

dan

dengan Pers.(2.91) yang kedua tidak lain adalah ungkapan dari amplitudo refleksi. Karena itu, menggunakan hukum kekekalan fluks R +T = 1 didapatkan koefisien transmisi T,

dan

Solusi umumnya, Ungkapan eksplisitnya

q2( x ) = B+eqx+B-e-qX -a 5 x 5 a

v ) ~ c e i k x >a( x ) =

dengan rnernpertimbangkan arah partikel datang. Gambamya, Bentuk (2.92b) ini juga dapat diperoleh melalui amplitudo transisi (CIA,),

Berikut ini bila kita selidiki sifat dari Tuntuk harga qa ekstrim. Untuk qa kecil sekali

Gambar 2.24. Fungsi gelombang untuk E <Vo

Kehadiran solusi q3yang tidak no1 untuk x>a ini dikenal sebagai fenomena penerowongan (funneling phenomena), Sehingga


Perhatikan penghalang potensial sebagai berikut :

dengan E diberikan oleh ungkapan (2.65). Sedangkan untuk 9a besar

dan Ttereduksi menjadi

Jika diambil logaritmiknya

Tampak bahwa suku pertama ruas kanan mendominasi penjumlahan, sehingga

Bentuk ini sangat menarik dan dapat diperluas untuk penghalang potensial yang tidak teratur. Langkah ini dapat dilakukan dengan mengingat bahwa 2a adalah lebar panjang penghalang dan q sebanding dengan akar kuadrat selisih antara potensial penghalang dan energi partikel.

I Gambar2.25. (a) Penghalang sembarang

(b) bagian yang diperhitungkan untuk koefisien transmisi 11 !

i :IDari gambar 2.25b. didapatkan ' I!

1 1 1In T =-2 C(AX)(~) (2.98) I II

Jika &-,0 , dan kembalikan ungkapan q dalam selisih 1 ' 1

energi maka 1 1 I I

Dengan demikian

T = expi-~u!x,/-J

Contoh2.6 ' 1 ;;,I,'Menurut teori Gamow, Gumey dan Condon, partikel adi dalam .' 8

sumur potensial yang dibentuk oleh inti dan gaya Coulomb Imempunyaipeluang untuk menerobos potensial penghalang.

Keluamya partikel adari inti ini dikenal sebagai peluruhan a. I

101 , ,I(; i,,,lllii,,lilllllil,


llustrasinya diberikan oleh garnbar berikut.

Energi partikel a di dalarn inti berjejari Radalah E, .Hitung probabilitas partikel a meluruh atau keluar sumur potensial berjejariRtersebut.

Penyelesaian: Potensial berbentuk

dan energi partikel-a

Probabilitas partikel a rneluruh T,

T = e-7

dengan

Integral dapat diperoleh menggunakan tabel integral. Tetapi di sini akan dihitung langsung dengan penggantian variabel

r = bcos26

Dengan penggantian variabel ini dipedeh

dr = -2b sin 8cos8d e

Untuk batas integrasi

r = R =bcos28,+8, =arccos4Z-E r = b = b c o s 2 0 2+e2 = O

maka


Jika E, sangat kecil, maka seperti tampak pada gambar di depan, b>>R.. Untukx kecil sekali

arccosx c arccosO-x = n / 2 - x

Maka didapatkan

Dengan demikian

Sebagai ilustrasi kongkret, ambil peluruhan

9 2 ~ 2 3 8+ 90ThU4 +a (4,2Me V)

Harga Tdiperoleh, dengan harga-harga

msm, = 4 ~ 1 , 6 7 ~ 1 0 - ~ ' k g

Z, = 90, nomor atom anak, dan

Subtitusi nilai-nilai di atas, didapatkan koefisien transmisi T partikel a

Suatu harga yang tidak not walaupun sangat kecil.

Keadaan Resonansi UntukE> V,, maka ungkapan (2.89b) menjadi

Sehingga soiusi umum (2.90) juga mengalami perubahan untuk daerah dua. Lengkapnya,

q , ( x ) = ~ + e ~ + A _ e - ' ~ ,x< -a

q2(x)=B+e'K"+~-e-ifi - a l x < a (2.102)

q3(x) =ceihr x > a

Gambar solusi (2.1 02) adalah sebagai berikut,

--


Grafik koefisien transmisi untuk tiga nilai V, / E yang berbeda.

Gambar 2.27 Fungsi gelombang untuk E > V,,

Koefisien refleksi maupun koefisien transmisi dapat diperoleh dari pers.(2.91) dengan melakukan penggantian q -,iK . Sehingga diperoleh

Sedangkan koefisien transmisi bersangkutan

Dari bentuk eksplisit koefisien transmisi ini tampak bahwa jika

sin 2Ka = 0 (2.1 05)

atau

koefisien transmisi sama dengan satu. Hal ini secara fisis berarti bahwa semua partikel diteruskan. Keadaan ini dikenal sebagai keadaan resonansi.

Gambar 2.28. Koefisien transmisi untuk tiga V, / &

Contoh2.7 : Suatu elektron berenergi Editembakkan dari kiri melewati penghalang potensial sepertiGambar2.23, dengan penghalang V,, = 20 eVdan lebar 2A. Hitung : a. Koefisien transmisi jika energi partikel E=V,. b. Energi resonansi pertama dan kedua dari elektron.

Penyelesaian : a. Karena penghalang potensial konstan dan q +0 maka

penghitungan koefisien transmisi dapat diperoleh menggunakan ungkapan (2.95). dengan

I),107 , , / I

Fisika Kuantum

Dengan demikian, koefisien transmisinya

Jadi, ada sekitar 16 elektron dari 100 elektron datang, yang diteruskan rnelewati penghalang.

b. Keadaan resonansi rnerupakan keadaan yang mana semua partikel (yang diternbakkan) dari kin tidak ada yang dipantulkan atau dengan kata lain sernua partikel diteruskan ,T=l.Hal ini hanya rnungkin tejadi jika E>Vo, tepatnya rnenggunakan koefisien transrnisi T (2.104) dengan energi partikel memenuhi pers.(2.106)

Jadi energi keadaan resonansi pertama dan kedua

Perurnusan Mekanika

Ada dua pendekatan urnum yang dilakukan di dalam fisika. Pertarna pendekatan fenornenologis yang diikuti perurnusan diferensial-integral biasa dan lainnya pendekatan formal rnaternatis sejak awal. Pada bab ini disajikan perumusan formal dan berbagai konsekuensi dari mekanika kuantum yang berangkat dari pernyataan formal.

3.1. Postulat-postulat Dasar Mekanika Kuantum

(a) Representasi keadaan Postulat 1a. Keadaan (state) dari sistem (mekanika)

kuantum didiskripsikan atau direpresentasikan oleh fungsi gelombang,y/ (7, t ).

Fungsi gelornbang rnengandung sernua informasi keadaan sistem setiap saat dan tidak (dapat) diukur secara langsung.

Postulat 1 b. Prinsip Superposisi, y / , dan yf2 merupakan dua furlgsi gelombang yang menggambarkan dua keadaan dari suatu sistem maka untuk setiap kombinasi linier c,y/, +c2y, , dengan c, dan c, konstanta, terdapat suatu keadaan yang lain dari sistem.

Fisika Kuantum

Prinsip superposisi ini rnembawa pada konsep rua~lg vektor. I Kumpulan sernua fungsi gelombang dari suatu sistem mernbentuk ruang vektor linier kompleks berdimensi tak hingga Berkaitan dengan ruang vektor linier tersebut didefinisikan perkalia~, skalar (scalar product) antara dua fungsi gelornbang Q dan yberikut:

I Definisi di atas rnernberikan hubungan lebih lanjut sebagai

benkut

I

dengan c rnerupakan konstanta kornpleks, dan

sarna dengan no1 jika dan hanya jika y = 0

(b) Representasi Variabel Dinamis Postulat2. Setiap variabel dinamis A(?,P) direpresentasikan

oleh operatorlinier A, = A ( ~ , B , ) = A(?, -~AV). Operator tersebut beke rja pada fungsi-fungsi dari sistern, dan

rnengubahnya rnenjadi fungsi gelornbang yang lain.

Operator A disebut operator linier, jika bekerja pada fungsi gelornbang p, ry dan rnernenuhi hubungan:

I

Perurnusan Umum Mekanika Kuantum

dengan c, c,, dan c, adalah konstanta-konstanta (bilangan) kornpleks.

Contoh3.1 Selidiki linieritas operator A yang didefinisikan sebagai berikut:

d a. A ~ ( x ) z ~ ( * ) +a ,dengan a konstanta=

Penyelesaian: a. OperatorA didefinsikan menurut

rnaka untuk c, c,, c, ,konstanta i) berlaku

atau

~ ( c v ( x ) ) v ( x ) )#

Jadi operator A bukan operator linier karena ada satu sifat atau definisi operator linier yang tidak dipenuhi.

Fisika Kuantum

d b. A Y ( x ) = x z Y ( x )

rnaka untuk c, c,, c, ,konstanta berlaku:

d i) A ( c Y ( ~ ) ) = x ~ ( c Y ( ~ ) )

=C(AY(x ) )

d ii) 4,V ( X )+c2V(X)1= x- +c2q(x)1{c, ~ ( x )

dr

Jadi Aadalah operator tinier (karena kedua sifat dipenuhi)

Di dalarn rnekanika kuanturn, variabel-vanabel dinarnis pada urnurnnya tidak kornut. Misalkan A dan B adalah dua variabel dinarnis, urnurnnya berlaku:

atau

Selanjutnya, didefinisikan hubungan kornutasi atau komutator antara A dan B ,

AB-BA =[A,B] (3-5)

Perurnusan Umum Mekanika Kuantfrm

Sebagi contoh perhatikan cara mernperoleh kornutator antara x dan P ,

Dengan dernikian

xp-px = [x,p]= izi (3.6)

Hubungan kornutasi antara x dan p ini dikenal sebagai kuantisasi pertarna. Secara urnurn, untuk xi dan pj dengan i,j = 1,2,3 berlaku

dengan x, = x, x2 = y,x, = z, p, = px,p2 = py,p3 = pZ,dan 6g adalah fungsi delta Kronecker yang didefinisikan sebagai:

1, jikai = j6..=

M n i s i kornutator (3.5) memberikan hubungan kornutasi bagi tiga operator A , B dan C ,yaitu:

[AB,C] = ABC -CAB

= ABC -ACB +ACB -CAB

= A(BC -CB)+(AC-CA)B (3.9a)

= A[B,C]+[A,c]B dan dengan cara serupa

Fisika Kuantum

Confoh3.2 : Hitung komutator :

;:-k#":i Penyelesaian: a. x n = ,.-Ix = ,n-l, maka

Memperhatikan pangkat dari x, didapat juga

[xn-' ,p] = [xn-* ,pJx +ih*' Karena itu,

Atau secara umum,

Untuk m = n,

rcr clr 6 . -:anUmumMekanika Kwnturn

Evaluasilebiihnjutrnembeni

Postubt3.Nilairafa-ra& daripengukuran variabel dinamis A yang dilakukan pada sistem yang mmpunyai keadaan I diberikan deh:

Besa;n (A), d i is e w hargae k p e k k i ,nilaiharap atau nilai duga dari variabel dinamis A. Untuk yang tidak temolmalii.

Mempertimbangkan kenyataan fisis,maka hanya variabel dinamis berharga ekspektasi riel yang diukur secara langsung atau teramati (observabel). Dengan kata lain jika A observabel, diperlukan batasan (A) =(A)' atau

(c) EvdusiSistemdan TetapanGerak Postulat4. Keadaan W bemriasiterhadapwaMumenurut

m m a a n--

Fisika Kuantum Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Postulat ini dan pers. (3.10) memberikan evolusi terhadap waktu bagi harga ekspektasi ( A )

dan

Dari pers. (3.14) ini tampak bahwa jika A tidak bergantung waktu secara eksplisit dan komut terhadap H, Maka

[A,H ]= 0

maka

yang beratti bahwa (A) tidak bergantung waktu. Dengan kata lain observabel A merupakan kuantitas kekal dan biasa disebut sebagai tetapan gerak. (terbukti).

Contoh3.3. Contoh3.4

Turunkan pes(3.14) Mengingat sifat nonkomut dari dua observabel A dan 6,maka secara umum berlakir

Penyelesaian: Dari pers.(3.10) diperoleh

Petlihatkan dengan 2contoh eksplisit untuk (i) A dan5kornut dan (ii)A dan B tidak komut.

Penyelesaian: (i) Misal, A = x, B = py, dengan komutator (3.7)

Selanjutnya gunakan pers.(3.13), diperoleh

I Fisika Kuantum Perumusan Umum Mekanika Kuantum

= 2 i h p , p ,

Dengan demikian

Karena itu,

KarenaLzkomut dengan Hamiltonian partikel bebas dan tidak tergantung waktu secara eksplisit maka momentum sudut (L,) dari partikel bebas merupakan tetapan gerak atau kuantitas kekal.

3.2 OPERATOR DAN MASALAH ElGEN

3.2.1 Operator Hermite Untuk operator liniersebaang, didefinisikan nilai haap

(A)* =(A) = fV*A dv (3.10)

Karena itu

Operator sekawan Herrnite dari A, ditulisA+,didefinisikan sebagai:

J ( A ~ ) ' ~ (3.18)dv= ~ y * ~ ' y d v

Sedangkan, suatu operator A dikatakan operator Henitian jika:

A+ = A (3.19)

Contoh 3.6 Untuk dua operator A dan 3 perlihatkan bahwa

(AB)' = B'A' (3.20)

Penyelesaian: MisalkanAB = Cmaka dari definisi (3.18) didapatkan

Masih dari definisi (3.18), uraian per operator memberikan

Dari dua hasil di atas, jelas bahwa

(AB)* = B+A+

3.2.2 Masalah Nilai Eigen dan Degenerasi Jika operator A bekerja pada fungsi qrdan berlaku

A 9 =a9 (3.21)

Fisika Kuantum Perumusan Umum Mekanika Kuanturn

Dari persamaan eigen di atas, didapatkan, Karena a # b untuk m # n rnaka . .

0 = dvJ ' b q n YR dv- Jqnp'~

= j(b*%*b" dv - l V " * b ~ "dv Karena itu berlaku

=(b*-b)lPnopndv

= O

Mengingat pertaksamaan (3.2d). secara umum yang berati bahwa p, ,p,,ortogonal.

3.2.4 Kelengkapan dan Normalisasi Fungsi Eigen Fungsi eigen (suatu sistem) dari operator Hermite A, {cp,)

dikatakan membentuk himpunan lengkap (complete set) jika fungsi sebarang 9, dari sistem bersangkutan dapat diekspansi:

atau

b * = b mrd

Suku pertama ekspansi berlaku bagi nilai eigen diskrit. Jadi nilai eigen b riel.

sedangkan suku kedua bila kontinyu. Jika semua nilai eigen dari A diskrit, maka untuk V

ii. Sekali lagi menggunakan pers.(3.18) ternormalisasi berlaku

( ~ ~ r n ~ ~ n ) = ( ~ r n , ~ ~ n )

dan dari dua persarnaan eigen untuk pm,p,,serta nilai eigen riel dari H, maka

(~~rn,~rn)=a(qrn,qn)

atau

I Jadi koefisien mernenuhi persyaratan

Fisika Kuantum Perumusan Urnum Mekanika Kuantum

Dengan cara yang sama, untuk semua nilai eigen kontinyu

I = J Jc* (m) qLdm Jc(n)qn dn dv = Ic* (m)c(n)dmdn Ipi qndv

= IJc* (m)c(n)drndn~~~ (3.25b)

= jc(m)12 dm

Secara umum, jika y dapat diekspansi seperti pers. (3.24), maka

Jadi, normalisasi dapat dilakukan dengan mernbuat jumlah seluruh modulus dari koefisien ekspansi sama dengan satu.

3.2.5 lnterpretasi Fisis Perhatikan ungkapan ekspektasi dari A dalam keadaan y,

dengan spektrurn diskrit

= ( ~ c :.)A(?Cn pn] dv

= CCc:cn J9):Aqn dv rn n

= Cx~:~.a.~." (3.25~1) m n

2

=CJcrn) am m

Jadi, harga ekspektasi (A) adalah rata-rata bobot nilai eigen a, dariA.

Hasil pengukuran Aadalah salah satu dari nilai-nilai eigennya, dan kernungkinan mendapatkan nilai tertentu a, jika sistem dalarn keadaan adalah IcmI2. Dengan demikian, arti fisis dad nilai-nilai eigen (dari) suatu observabel rnerupakan hasil yang mugkin dari pengukuran observabel tersebut. Sedangkan fungsi eigen cpm (dari A) rnerepresentasikan satu keadaan yang mana observael A rnernpunyai nilai tertentu a,.

3.2.6 Fungsi Gelombang dalam Ruang Momentum Fungsi gelombang yang telah kita bahas merupakan fungsi

gelombang dalam ruang koordinat. Berikut ini diuraikan representasi momentum bagi fungsi gelombang yaitu ungkapan fungsi gelornbang dalam ruang (variabel) momentum. Kaitan antara fungsi gelombang dalam ruang koordinat dan ruang momentum diberikan oleh transformasi Fourier (2.3').

dengan N = (2r~)"" . Pasangan transformasi Fouriernya diberikan oleh:

Untuk kasus satu dimensi tak bergantung waktu,

dan

dengan N' = (27rh)':, p = p, .

Fisika Kuantum

Selanjutnya dari definisi harga ekspektasi, didapatkan

Sedangkan produk skalar p(p) sendiri memberikan hasil sesuai teorsma Farsevai,

Jyr* ( F ) ~ P )dp = Jm' ( P I N 'JY(x)e-'"" dxdp

= J y ( x ) ~ dp n~Jp*( p )e"P"R

= jY(x)Y*(x)& (3.28)

= 1

Hasil(3.27) dan (3.28) mengisyaratkan bahwa q ( p ) dapat diinterpretasikan sebagai fungsi gelombang di dalam ruang momentum dengan Iyr(p)12merupakan kerapatan probabilitas untuk mendapatkan partikel berrnornentum p .

Denyan demikian, dari hasil(3.27) tampak bahwa operator momentum p, dalam ruang momentum diberikzn oleh:

Selanjutnya, dari (hukum) kuantisasi pertama (3.6),

[x,p ] = ii'i

didapztkanobservabel x dalam ruang momentum, yaitu:

P~rurnusan Umum Mekanika Kuantum

Secara umum, operator f ( x ) di dalam ruang momentum diberikan oleh:

Perumusan di atas dapat diperluas ke dalam kasus tiga dimensi.

Contoh3.5 : Fungsi gelombang suatu saat dari partikel yang bergerak

sepanjang sumbu x berbentuk :

e, untuk 1x12 a

Tentukan : a. Cjika cy ternorrnalisasi b. Fungsi gelombang momentum ~ ( p ) c. Rapat probabilitas P ( p ) dan grafiknya d. Harga rata-rata momentum ( p ) dengan

(i) fungsi gelombang ruang koordinat (ii) fungsi gelombang ruang momentum

Penyelesaian: a. cy(x)ternorrnalisasi,

jadi

Fisika Kuantum

Sehingga

untuk 1x1 5 a

10, untuk 1x1 >a

b. . Fungsigelombang q ( p ) ,dari pers. (2.3d)

1 1 .-ip" dx= -+I-m-,J2a

---1 (2)Jzz ip (e-ialfi

-""I"

n A (ap / A )

c. Rapatprobabilitas P ( p )

Grafiknya

- ..

Gambar. 3.1 Probabilitasdalam ruangmomentum

Perurnusan Umum Mekanika Kuanturn

d. Nilaiduga ( p ) ,

d v ( x )karena - = O

dx

ii) atau

Karenapfungsi ganjilsedangkan sin'(i-P1fungsigenap.

3.3 PRlNSlP KETIDAKTENTUAN HEISENBERG

3.3.1 HubunganUmum Hargaekspektasiadalahrata-ratadaribeberapapengukuran,

dan pengukuranindividualakanmenyirnpang(deviate)dari harga rata-ratatersebut.Standartdeviasiyang didefinisikansebagaiakar kuadratdari rata-rata kuadratdeviasi,

dapat dianggap sebagai ukuran penyebaran dari nilai terukur. Penyebaran dalampengukuran A inidisebutketidaktentuan (uncertainties)di dalam pengukuran A .

Sekarang dimisalkan ada dua observabel A dan B, dan dituliskan

Fisika Kuanturn

maka

(ii) BilaA =x, B=pxmenggunakan komutator (3.6), diperoleh

(xpx)2 = (xpx xxpx

=X ( P ~ X ) P ,

=x(xpx -ih)p,

= x 2 p ,2 - i h p ,

Dari dua contoh (i) dan (ii) di depan dapat disimpulkan bahwa (AB)2=A2B2jika dan hanya jika A dan B komut. Sedangkan jika A = r', B = F , maka

(F.b)2= (XP, +YP, +ZP, ? = r 2p 2 -L2+ ih(F.2) (3.16)

dengan L2 = i.iadalah operator momentum sudut

-L=r'xJj (3.1 7 )

Uraikan pe~(3.16) sebagai latihan dan melemaskan tangan.

Perlihatkan bahwa komponen z dari momentum sudut Lz sistem partikel bebas merupakan tetapan gerak.

Penyelesaian: Dari pers. (3.17)diperoleh


L, = (r x p),

=XPY -YPX I 11

Sebagaimana pers. (2.Ma) atau (2.6).Hamiltonian parSkel bebas 11 1I

;

diberikan oleh : 1 1 11

(I

Dengan demikian -

Karenap, tidak tergantung x danymaka komut dengan L,.Uaian lebih lanjut memberikan I I

Gunakan komutator (3.9), didapatkan 11 ;

-

Fisika Kuantum

Pertanyaannya, dapatkah diperoleh keadaan yang membuat dan keduanya no1 atau A dan Bkeduanya rnempunyai

nilai presisi? Untuk menjawab pertanyaan ini, tuliskan kuantitas

dan ajoint-nya:

denganh adalah parameter riel. Dari sifat operator dan sekawan Herrnitenya didapatkan

((a-i/lp))((a+iaB))2 0 (3.344

atau uraiannya

mengingat

Ruas kiri pers. (3.34b) mempunyai harga minimum jika de- rivative terhadap h mernpunyai harga nol. Hal ini te Qadi jika

Untuk harga h ini, pers. (3.34b) menjadi

__11_.1

Perurnusan Urnurn Mekanika Kuanturn

atau

Menggunakan ungkapan (3.32') didapat

Ungkapan (3.35) merupakan ungkapan urnum dari prinsip ketaktentuan untuk pasangan observabel A dan B.

Sebagai contoh, A dan Badalah pasangan sekawan kanonik

x dan p ,dengan

[ x ,p] = iA

maka

atau

sebagaimana telah diperoleh pada bab terdahulu. Dibanding pers. (1.31) yang diperoleh dengan pendekatan semikualitatif, pers. (3.36) merupakan bentuk yang lebih mendasar dari prisip ketaktentuan Heisenberg. '

Contoh3.7: Perhatikan kernbali partikel yang terperangkap di dalam kotak

satu dimensi sepanjang L. Fungsi gelombang keadaan dasar, keadaan tereksitasi pertarna dan keadaan tereksitasi kedua berturut-turut diberikan sebagai berikut:

Fisika Kuanturn Perurnusan Urnurn Mekanika Kuanturn

Hitung: a. h untuk setiap keadaan tersebut di atas. b. (p2)dan Ap ,dan

c. periksa apakah hubungan Ax& 2 fh selalu dipenuhi.

Penyelesaian:

Uraian kbih lanjut dari persamaan (3.32) M=

memberikan :

Karena itu, untuk menghitung &danAp perlu dihitung. (x) ,(x2), (P) dan (p2)terlebih dahulu.

a. Mengingat gambar 2.4b (terlampir), tampak bahwa kemungkinan untuk mendapatkan partikel di sebelah kanan % dan di sebelah kiri %adalah sama. Karena itu, rata-rata posisi (x) untuk semua tingkat keadaan secara kualitatif adalah %. Para pembaca silahkan membuktikan secara kuantitatif.

Sedangkan (x2)..

Integral terakhir dihitung menggunakan integral parsial dan didapatkan

Subtitusi kembali ke dalam (x2) didapatkan:

Selanjutnya subtitusi ke dalam deviasi (3.37) didapatkan:

Fisika Kuanturn

Rinciannya, untuk p,( x )

Untuk p,(x)

Untuk p3(x)

b. Untuk deviasi momentum

- - x- 2h2n2n2jsin(T )' d~ L3 0

(nn T Z ) ~ L L

-- {.-i;;.in($ x)}I 0

Jadi, ( p 2 )untuk q,,q2dan q3,berturut-tumt diberikan oleh

?r2ii2 4z2ii2 -- 9n2h2dan - .

L2 ' L~ L2


Sedangkan ( p ) ,mengingat alasan kualitatifjawaban a, yaitu

kemungkinan partikel bergerak ke kanan sama dengan kemungkinan partikel bergerak ke kiri maka rata-rata mo-

mentum ( p ) adalah no1 untuk semua tingkat keadaan. Coba

perlihatkan. Karena itu

c. Gunakan solusi a dan b,

= q i j z x z2nn

Tarnpak bahwa besaran di dalam tanda a k a r , / m > 1untuk semua n Sehingga

untuk semua tingkat keadaan n.

3.3.2 ObservabelKomut Unhrk kasus dua observabel A, B komut, maka mas kanan

(3.35) ,101, sehingga M dan AB bisa nol. Dengan kata lain, terdapat keadaan dengan A, B rnempunyai nilai presisi dan terdapat fungsi eigen serempak (simultaneously) dari A dan 6. Tinjau fungsi eigen qodari A ;

Fisika Kuantum Perumusan Umurn Mekanika Kuantum

Jika A dan B komut, AB = BA, maka

atau

Jadi, pa danBq,, merupakan fungsi eigen dari A dengan nilai eigen sama, a.Tetapi jika nondegenerasi, maka Bpa harus konstanta kali qa ,

Hal ini berarti q,,juga fungsi eigen dari B dengan nilai eigen b. Karena itu 9, ,rnerupakan fungsi eigen serempak dari A dan B, dan biasa ditulis qa+qab.

Tetapi apa yang terjadi jika nilai eigennya degenerasi? Dari pers. (3.38b), tampak bahwa Bqa juga fungsi eigen dari A. Meskipun dernikian, selalu mungkin dipilih sejumlah r fungsi eigen (rrnerupakan tingkat degenerasi dari nilai eigen a)yang kombinasi liniernya rnerupakan fungsi eigen dari B.Artinya, selalu bisa dipilih sekurnpulan lengkap dari fungsi eigen serernpak qabuntuk pasangan observabel kornut A dan 6 .

3.4.1 Sistem lnteraktif Misalkan ada dua sistem yang masing-masing mempunyai

sekumpulan variabel dinamisnya sendiri. Dua sistem tersebut bisa berupa satu elektron dan satu atom, atau dua atom dan seterusnya. Keadaan sistem tersebut dilabel dengan simbol 1

dan 2, dan setiap observabel 1 akan kornut dengan setiap observabel 2 karena mereka merupakan dua sistern yang berbeda. Harniltonian sistem gabungan ditulis H(1,2), rnisal Harnil- tonian ini dapat disusun sebagai penjumlahan dari Harniltonian subsistern pertarna H, (I)dan subsistern kedua H2(2),

Gabungan dua subsistern ini merupakan dua sistem bebas atau dua sistem tak berinteraksi, keduanya tidak saling rnempengaruhi.

Jika u(l), v(2) masing-masing fungsi eigen dari H,( l ) dan

H2(2)

rnaka

dengan energi eigen

Dengan dernikian, fungsi eigen dari sistem gabungan yang terdiri dari dua subsistem takberinteraksi adalah perkalian dari masing-masing !f~ngsi eigen subsistem individual, sedangkan nilai eigennya adalah jurnlah masing-masing nilai eigen individual.

Jiha kedua sistem tersebut berinteraksi maka H(1,2) tidak dapat diuraikan seperti pers. (3.40) melainkan:


dengan Hin(1,2) sebagai bagian atau Harniltonian interaksi dan H, (I), H, (2) bagian Harniltonian bebas. Fungsi eigen sistern tidak lagi perkalian u(l)v(2).

3.4.2 Sistem Partikel ldentik Dua partikel dikatakan identik jika tidak ada efek ketika kedua

partikel tersebut dipertukarkan. Lebih tepatnya, sernua kuantitas terarnati hams tidak berubah jika posisi, momentum, dan variabel dinarnis lainnya seperti spin dari partikel pertarna (secara kolektif ditulis 1) dipertukarkan dengan variabel dinarnis dari partikel kedua (ditulis 2), yaitu

Berkaitan dengan sistern partikel identik ini, didefinisikan operator pertukaran (exchaGe operator) Pyang bekerja pada fungsi gelornbang ry(1,2) sebagai berikut:

Operator pertukaran P rnernpertukarkan partikel (1) dan partikel(2).

Jika ry(1,2) rnerupakan fungsi eigen dari Harniltonian (3.44).

rnaka penerapan P pada persarnaan eigen tersebut rnernberikan:

Jadi, Pdan Hkornut

Karena itu, P rnerepresentasikan suatu kuantitas kekal. Dari definisi (3.45) didapat,

sehingga

P = l

Bentuk ini rnernberi nilai eigen +1. Selanjutnya, untuk rnenghindari kerancuan sirnbol, sebagai fungsi eigen dari Parnbil Y +q ,dengan

Jika

rnaka 2 2 = 1. Seperti telah disebutkan di depan nilai eigen 1= 1 atau ;1=-1. Berkaitan dengan nilai eigen ini, arnbil qsdan qa yang rnernenuhi hubungan:

Definisi (3.45) dan pers. (3.51) rnernberikan fungsi eigen

q.y(231)=qs(192) (3.52a)

yang disebutfungsi eigen sirnetri (terhadap pertukaran partikel). Sedangkan


disebut fungsi eigen antisimetri. Fungsi yang memenuhi dua sifat Hukum untuk dua partikel identik tersebut dapat diperluas di atas adalah untuk sistem Npartikel. Sebagai misal, pehatikan fungsi gelornbang

sistem tiga partikel, jika partikelnya fermion,

Sebagai ilustrasi, perhatikan operasi berikut

Hasil atau ungkapan bahwa P merupakan tetapan gerak mempunyai arti bahwa keadaan simetri setiap saat akan selalu simetri, dan keadaan antisimetri akan senantiasa tetap antisimetri. Kesimetrian ini merupakan hukum alam dan menjadi karakteristik dari partikel-partikel. Hukum simetri-antisimetri dirumuskan oleh Pauli dan menyatakan:

1) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin tengahan (1/2,3/2,5/2, ...) digambarkan oleh fungsi gelombang antisimetri. Partikel-partikel ini disebut fermion dan memenuhi statistik Fermi-Dirac.

2) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin bulat (0, 1, 2, ...) digambarkan oleh fungsi gelombang simetri. Partikel-partikel ini disebut boson dan memenuhi statistik Bose-Einstein.

sedangkan untuk boson,

Jika ketiga partikel tersebut tidak berinteraksi satu dengan lainnya, maka y dapat dituliskan sebagai perkalian fungsi eigen individual

dan seterusnya; dengan u(1) adalah keadaan u untuk partikel 1 , dan seterusnya. Menggunakan ungkapan (3.55), fungsi gelombang antisimetri (3.54a) dapat dituliskan sebagai:

Sedangkan fungsi gelombang simetri (3.54b) dapat diperoleh melal,*: determinan (3.56) dengan mengganti semua tanda mi- nusmenjadi tanda plus.

Perluasannya untuk N partikel, dapat diperoleh dengan mengarnbil Nfungsi eigen untuk Npartikel, u, (j ) yang berarti partikel ke-j mempunyailmenempati keadaan ke-i. Fungsi

Fisika Kuantum

gelornbang antisirnetri q, diberikan oleh determinan,

Determinan (3.57) ini disebut determinan Slater. Jelas, dari deterrninan ini jika terdapat sedikitnya dua keadaan individual ui = uj maka qa lenyap. Artinya, tidak boleh ada dua partikel (atau lebih) yang menempati keadaan sarna; ha1 inilah yang dikenal sebagai prinsip larangan Pauli (exclusion principle of Pauli) untuk ferrnion.

Seperti dalarn kasus tiga partikel, fungsi gelornbang sirnetri untuk boson diperoleh dari ekspansi determinan Slater dengan mengganti sernua tanda minus dengan plus. Konsekwensi penggantian tanda ini adalah jika ui = uj, (os tidak nol. Artinya, dua atau lebih partikel boson bisa menernpati satu keadaan yang sama.

Berikut ini kita lihat konsekwensi penting dari prinsip larangan Pauli terhadap tingkat energi sistem boson dan sistern ferrnion. Misalkan ada Npartiel identik di dalarn kubus potensial berukuran L3.Menurut uraian pada subbab 2.3.4, didapatkan energi eigen untuk setiap partikel.

dan fungsi eigennya

Energi keadaan dasar bagi sistern dengan partikel-partikel

identik boson atau fermion mempunyai perbedaan Yang $anengat menyolok.

Pertama, bila partikel-partikel tersebut adalah bosonnKanarena satu keadaan boleh ditempati oleh lebih dari satu b o s o n V a k a dalam keadaan dasar semua boson menernpati keadaandemZngan energi terendah yaitu q =q(lylyl).Energi rnas ing-mas in !~an~~~~~~ boson adalah

Karena itu, energi total sistern yang terdiri dari Nbos~nidebentik tidak lain adalah N kali energi partikel individual

Kedua, bila N partikel tersebut adalah ferrnion misa alnya elektron. Karena elektron mempunyai spin-UP dan s~in-dbown, rnaka setiap titik (n,,n,,n3) diisi oleh dua elektron. D a l a m k ~ ~ ~ ~ ~ ~ keadaan dasar, elektron mengisi keadaan-keadaan den9a -nergi paling rendah yang mungkin. Energi tertinggi yang dite"Wwi olet, elektron ke-N dalam keadaan dasar dikenal sebagaieneergi bemi-Mengingat setiap titik kisi bisa ditempati oleh dUa elehn R1. maka jumlah elektron di dalam seperdelapan bola berjejari ndal*lah.

Fisika Kuantum

Atau, erlergi Fermi sistem diberikan oleh:

dengan p = N/ V merupakan kerapatan partikel per satuan volume.

Energi total sistem merupakan jumlah seluruh energi yang mungkin,

N merupakan jumlah partikel pada titik-titik kisi di dalam seperdelapan bola be jejari R

atau

Sehingga energi total sistem elektron adalah:

Atau, dalam ungkapan energi Fermi,

Perurnusan Urnum Mekanika Kuantum

Contoh3.8 : Dua elektron tak berinteraksi berada dalam kotak potensial

satu dimensi sepanjang L. Jika kedua spin elektron tersebut sama, tentukan : a. Fungsi gelombang keadaan dasar, dan b. Energi keadaan dasar siste dua elektron tersebut.

Penyelesaian: a. Karena spin kedua elektron sama maka keadaan dasar yang

mungkin adalah satu elektron di U =q, dan elektron lainnya di V =q2,dengan

Dan, fungsi gelombang keadaan dasar anti simetrinya :


llustrasi keadaan dua partikel dalam keadaan dasar,

b. Energi keadaan dasarnya :

Contoh.3.9 : Ulangi contoh soal, jika kedua partikelnya adalah boson.

Penyelesaian: a. Keadaan dasar sistem ini adalah keadaan dengan kedua

partikel boson berada di tingkat paling bawah 9,,

Ingat, secara umum posisi kedua boson berbeda, x, ;t x, .

Jadi,

b. Energinya,

(a) (b)

Gambar.3.2 Keadaan Dasar Sistem Dua (a) fermion berspin sama, (b) boson

Contoh 3.10 Lima belas elektron dengan spin-up dan spin-down yang tidak

saling berinteraksi berada pada perrnukaan potensial dua dimensi L x L. Dinding tepi permukaan berpotensial tidak berhingga, sedangkan potensial di dalam adalah nol. Sistem dalam keadaan dasar.

- - - --

"-- --- - II


Tentuka~ Jurnlah elektron pada dua keadaan terakhir dapat dipertukarkan.

a. Sernua tingkat energi yang diternpati elektron Energi total sistern dalarn keadaan terendah adalah jumlah

b. Energi Ferrni sistern. selumh energi di atas, yaitu E,, = 119E, . b. Energi Fermi adalah energi elektron terluar, yaitu E, = 13E,

Penyelesaian:a. Serupa dengan kotak potensial pada pasa12.3.4 rnaka tingkat

energi setiap elektron bermassa medi dalam kotak

Keadaan eigennya setiap elektron

Dalarn keadaan dasar elektron-elektron menata diri dengan rnenempati keadaan dengan tingkat energi paling rendah. Karena elektron rnempunyai dua spin berbeda maka setiap tingkat dapat diternpati oleh dua elektron. Dengan dernikian, energi kelima belas elektron tersebut.

Atom Htdrogen

Pada bab ini akan diuraikan solusi dari persamaan Schrodinger untuk sistem fisis riel atom hidrogen dan mengkaji berbagai konsekuensinya. Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang mengitarinya

4.1 PERSAMAANSCHRODINGERATOM HIDROGEN

Massa proton mpjauh lebih besar dibanding masa elektron me,mp= 1836me.Didalam pembahasan pada bab inidilakukan penyederhanaan berupa asumsi proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan atau gaya Coulomb.

Fisika Kuantum Atom Hidrogen

Mengingat sistem atom hidrogen mempunyai sirnetri bola, analisis menjadjlebih sederhana bila operator ~2 diungkapkan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola (r , 6 , p) ,pers(4.4) rnenjadi

l a l a y 1 K L r 3 , - - - - ,Zme r 2{z( ar ) sins as( as ) s ins am'} (4:0 r ) . a y =,,

Gambar. 4.1. Posisi relatif antara proton dan elektron

Pendekatan yang lebih baik dilakukan dengan memandang kedua partikel proton dan elektron berotasi di sekitar pusat massa bersarna yang berada (sedikit) di dekat pusat proton. Tetapi, sekali lagi untuk penyederhanaan, efek ini diabaikan di sini.

Karena proton diangap diam, maka kontribusi energi sistem hanya diberikan oleh elekron yaitu energi kinetik

dan energi potensial

yaitu

Dengan dernikian, persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen

Selanjutnya, untuk mendapatkan solusi bagi pers.(4.5) di atas dilakukan pemisahan variabel v ( 7 )= ry(r,8,p)sebagai berikut

Subtitusi ungkapan (4.6) ke dalam pers.(4.5) kernudian dikalikan (2m,r2/h2) dan dibagi ungkapan (4.6) didapatkan

Daripers.(4.7) ini tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung kri-jxi r, suku kedua dan ketiga hanya bergantung sudut 8 dan y, .

Penjumlahan suku-suku yang hanya bergantung pada jari- jari dan dua sudut ini akan selalu sarna dengan no1 untuk sembarang nilai r, 8 dan y, jika masing-masing suku sama dengan kontanta. Seperti akan jelas pada pers.(4.3d), tefapkan keduanya sama dengan tetapan c =fl(l+1). Suku yang hanya bergantung jari-jari menjadi

- Fisika Kuantum

Atom Hidrogen

L~(z: )R dr r - +-2 ~ $ z ( ~ + ~ ) = t ( t + l ) s i n O d ( sine- d@) +t(e+l)sin2B=mZ

4ns,r (4.Bal O d e

atau, setelah dikalikan dengan @/sinZ8 diperolehatau

sine-3 dr'(

+{@+I)- r -z )+-2;<z

LL( sin28-kqt)R4m0r =e(* + I)R (4.Bb)

sin8 d 8 "'}@=o (4.11b)

Sedangkan suku yang hanya mengandung sudut 8dan q menjadi

I d 1 dZ@+ -- -@ +1) (4.9a)@sine dB @sinZ 0 dqZ -

Setelah dikalikan dengan sin2 0 ,pers.(4.9a) menjadi

sin8 d 1 d Z O (4.9b)

Tampak bahwa pers.(4.9b) juga terpisah menjadi dua bagian yaitu bagian yang hanya bergantung pada sudut azimut p dan bagian yang bergantung pada 0 . Selanjutnya tetapkan masing- masing bagian sama dengan konstanta -m2, dan n?. Dengan alasan yang akan menjadi jelas kemudian, pilih

atau

(4.1 Ob)

Sehingga

Dengan demikian, pers.(4.5) dapat dipisah menjadi tiga persamaan deferensial biasa. Selanjutnya, kita tentukan solusi masing-masing persamaan tersebut.

4.1.1 Persamaaan Azimut Kita mulai dari persamaan paling sederhana (4.10a) yakni

persamaan azimuth yang menggambarkan rotasi di sekitar sumbu z. Sudut rotasi di sekitar sumbu-z ini adalah no1 sampai 2n ,danperiodisitasnya. ltulah sebabnya konstanta (4.1 la ) dipilih negatip (= -m2) agar memberi solusi berupa fungsi sinusoidal yang periodik. Bila dipilih positip akan memberi solusi fungsi eksponensial, sehingga untuk satu posisi yang sama akan diberi nilai yang berbeda @(n/ 6) cc e-"I6 ,dan @(2n+n 16) oc e-z"-"'6 karena posisi p = n16 sama dengan posisi p = 2n + n / 6 . Jelaspemilihan konstanta positip ini tidak menceritakan kondisi fisis sesungguhnya.

Untuk konstanta negatip, solusinya

@ =@, (p) = Aeimp (4.12)

Keunikan @ di setiap q yaitu.

untuk setiap m bulat, di penuhi

m=O,f l , f 2, ...

Fisika Kuantum

Sedangkan syarat norrnalisasi bagi @,

dipenuhi oleh konstanta A =I/&. Karena itu solusi yang diinginkan adalah

Bilangan bulat m disebut bilangan kuantum magnetik.

4.1.2 Persamaan Polar Selanjutnya kita tentukan solusi pers.(4.11 b),

0 = 0 (4.11 b) sin 0 dB sin20

Persamaan diferensial(4.11 b) dengan konstanta !(! + I) dan m? dikenal sebagai persamaan diferensial Legendre terasosiasi. Solusi dari persaaan ini dapat diperoleh menggunakan metode Frobenius dan diberikan oleh deret berhingga yang dikenal sebagai polinorn Legendre terasosiasi. lnilah alasan pengambilan tetapan f!(! +1) ketika rnenguraikan per.(4.7) menjadi pers.(4.8a) dan (4.9a). Bila konstantanya bukan f !(! +1) maka solusinya adalall deret takberhingga.

Solusi pers.(4.llb) diberikan oleh polinom Legendrrr

P;I (COSe)

dengan N , merupakan konstanta norrnalisasi

Atom Hidrogen

( Q ~ . =N;,N,,. Xfern(COS e)e:';".(cose)sin 6,.6,.Q ~ . ~ . ) ede = o (4.17a)

Mengingat sifat ortogonalitas P;(cos 8)

I 2 (!+ml6 6 -jern(COS e ) sin ed e = 0

~)~: ' ( cos -2 e + 1 (t-m)! cr mms (4.17b)

. -

didapatkan

Sehingga

Bentuk eksplisit polinom P;"(cos 8) dapat diperoleh melalui rumus Rodigues:

Dari hubungan (4.19) ini tampak bahwa untuk harga !tertentu maka m maksimum terjadi jika m = 8 dan P,"

1 ' 1 2 d2'I : " = ~ ' ( C O S ~ ) = - ( I - ~ ~ ~ ~ B )-(cosz 6 - ly = 6Wsin'2'!! d cos 6" 2'P!

' :odan?kan m minimum terjadi pada = -!


Jika dikaitkan dengan ungkapan (4.14). maka untuk l tertentu mdapat berharga

Bilangan bulat -!disebut sebagai bilangan kuantum orbital.

4.1.3 Persamaan Radial Sekarang kita tentukan solusi pers.(4.8b). Pengalian (1/P)

pada persamaan (4.3a) memberikan

Tampak pada persamaan radial ini terdapat nilai atau energi eigen E.Pada pembahasan di sini dibatasi pada keadaan terikat yaitu keadaan dengan energi negatif E=-1q.

Perubahan variabel

membuat pers(4.8~) tereduksi menjadi

dengan

Untuk menentukan solusi pen(4.23) kita selidiki terlebih dahulu (perilaku) persamaan tersebut pada dua daerah ekstrim yaitu daerah jauh sekali dan daerah pusat koordinat Sebelumnya,

tuliskan terlebih dulu pers.(4.23) dalam bentuk

Untuk daerah jauh sekali p +oo , pers.(4.23*) secara efektif menjadi

Solusi persamaan ini adalah

R K edpI2 (4.25)

Sedangkan pada daerah titik asal, Rditulis sebagai

U(P>R(P) =- (4.26)

P

dan subtitusikan ke dalam suku pertama pers. (4.23*) diperoleh

Karena itu pers.(4.23) tereduksi menjadi persamaan diferensial untuk U

Selanjutnya kalikan dengan p2dan ambil limit mendekati pusat koordinat

Tampak bahwa suku dominannya adalah

Fisika Kuantum Atoin Hidrogen

I= n (4.35)

maka a,,, dan seterusnya akan menjadi no1 jika

Solusi yang rnernenuhi persarnaan suku dorninan ini dan s = n - C - 1 kondisi fisis keberhinggaan p+0 adalah

Sehingga L(p)merupakan polinomial

Karenaitusolusi untuk daerah asal (koordinat), rnenggunakan hasil(4.29) dan hubungan (4.26) diberikan oleh:

Menggunakan pemilihan ;1= n ,pers. (4.17) menjadi

Mempertimbangkan solusi-solusi untuk daerah ekstrirn di depan, solusi urnurnnya diusulkan berbentuk perkalian antara solusi titik asal, posisi jauh sekali dan fungsi umum terhadap Pers(4.38) ini tidak lain adalah persarnaan diferensial Laguerre jarak terasosiasi, yang mempunyai bentuk umum

Subtitusi ungkapan (4.31) ke dalam pers(4.23) didapatkan persamaan untuk L, yaitu Solusinya disebut polinom Laguerre terasosiasi L: dapat

diperoleh dari rumus Rodrigues

Solusi deret

Untuk kasus kita koefisien p dan q dihubungkan dengan bilangan kuantum orbital & dan bilangan bulat nyang nantinya disebut bilangan kuantum utama menurut

akan memberi rumus rekursi

Karena itu solusi pers.(4.38) diberikan oleh Tarnpak bahwa deret akan berhingga jika A adalah bilangan bulat, misalkan L = L; =Lt? (p ) (4.42)

Fisika Kuantum

Dengan demikian, solusi radial Rdiberikan oleh

r -p l2 2t+1R =R,, =N,,P e L",, (PI

dengan N,, adalah konstanta normalisasi

dan diberikan oleh

dengan a. =A' / (m,e2)adalah radius Bohr. Dengan demikian, solusi lengkap pers.(4.8c) berbentuk

dari hubungan p, q,ndan Iserta penyebut pada ungkapan (4.41) didapatkan bahwa q-p harus lebih besar atau sama dengan nol, atau

atau (21+1) 5 n +t ,tepatnya

Jadi untuk n tertentu maka

!=0,1,2,3 ,...,n -1 (4.48~)

Bilangan bulat n ini disebut bilangan kuantum utama.

Atom Hidrogen

4.1.4 Solusi Eigen dan Distribusi Probabilitas Dari uraian di depan diperoleh solusi eigen lengkap bagi

pers.(4.5), yaitu

dengan

Kombinasi ketiga bilangan n, dan m pada y,, mendefinisikan satu keadaan dari atom hidrogen. Mengingat R,,, 0, dan 0,merupakan fungsi-fungsi temormalisasi, maka y,, juga temormalisasi

Hal ini sesuai dengan penafsiran awal bahwa V*V merupakan rapat probabilitas untuk mendapatkan partikel dalam keadaan n, I,mpada posisi ( r ,~,~) .Mengingat bentuk (4.26), fungsi rapat probabilitas dapat diuraikan menjadi bagian radial dan bagian angular.

Contoh4.1 Untuk bilangan kuantum n = 4 , tuliskan fungsi eigen dengan semua nilai f dan myang mungkin.

Penyelesaian : Dari uraian di depan didapatkan bahwa untuk ntertentu terdapat nharga .Untuk n= 4 maka

.--

Fisika Kuantum

Sedangkan untuk e tertentu ada (21+ 1) hargam. Lengkapnya, diberikan dalam fungsi gelombang ry,, seperti tabel berikut:

DistribusiProbabilitas Radial.Dari hubungan ortonormalitas R,, pers.(4.44), tampak bahwa probabilitas per satuan panjang rdiberikan oleh:

Atom Hidrogen

Bentukfungsi probabilitas ini selain bergantung pada jarak juga bergantung pada bilangan kuantum n dan e . Untuk spesifikasi keadaan seringkali digunakan notasi spektroskopik sebagai berikut:

e 0 1 2 3 ... notasi spektroskopik s p d f ...

Untuk mendapatkan gambaran perilaku umum Pn,(r).kita gunakan kenyataan-kenyataaan sebagai berikut: i. Rumus rekursi (4.34) dan polinom (4.37) memperlihatkan

bahwa polinom L(p) merupakan polinom berorde = ,-(-I sehingga L(p) mempunyai s titik nol.

Akibatnya, Pnt(r)mempunyai n -e gelembung atau titik puncak.

ii. Untuk nilai !terbesar (( = n -1), Pnt ( r ) hanya mempunyai satu gelembung. Menurut ungkapan (4.47).

Karena itu, puncak Pnn-l(da terjadi jika

dipenuhi oleh

Beberpa fungsi R, diberikan oleh pada tabel berikut:


Tabel 4.1. Fungsi Radial P

Grafik-grafik proabilitas radial P,, ( r )diberikan oleh Gambar4.2 (b)

(a) Gambar4.2 Rapat Probabilitas sebagai fungsi jarak

, Contoh4.2:

1 Hitung kemungkinan mendapatkan elektron berada pada jarak kurang dari jari-jari Bohr untuk atom hidrogen dalam keadaan dasar.


Penyelesaian: Tabel 4.2. Fungsi Harmonik Bola

Fungsiradial keadaan dasar atom hidrogen I I I

Maka probalitas per satuan panjang untuk mendapatkan elemon pada jarak rdari inti

Karena itu, probabiliis elektron berada pada jarak kurang dari a,, 1;,,(0,s)= -sin e e" yZi2(0,v )= s i 2 e/ 6 1 1 Mengingat bentuk eksplisit @, ,maka rapat probabilitas

polar hanya bergantung pada sudut 8

P(B,q )= yr: (0,P)Y, (6,a) 02@)oh(8)= ~ ( 0 ) (4.56)

Gambar-gambar probabilitas angular diberikan dalam diagram tiga dimensi berikut

Disfribusi Probabilitas Angular. Dari pers.(4.49), (4.1 5) dan (4.18) diperoleh bagian sudut

Fungsi Y, (8,p)disebut fungsi harrnonik bola (spherical harrnon- ics function), dan memenuhi ortonormalitas

Beberapa bentuk eksplisit fungsi harrnonik bola Y, ( B , ~ ) diberikan pada tabel berikut


Karenaitu,enersi kinetik rata-ratanya :

Gambar 4.3 Representasi Perrnukaan Y, ( 0 , ~ )

Rapat probabilitas di setiap titik di dalam ruang diperoleh dari perkalian antara distriusi angular ~ ( 0 )dan distribusi radial

P(r) -Solusi eigen lainnya yakni nilai eigen diperoleh dari pers(4.24)

dan (4.35), yaitu energi atom hidrogen

yang bersesuaian dengan prediksi teori atom Bohr terdahulu.

Contoh4.3 : b. Energi total elektron keadaan dasar

Hitung : a. Energi kinetik rata-rata b. Energi potensial rata-rata, elektron dalam keadaan dasar dari maka

atom hidrogen.

Penyelesaian : a. Fungsi gelombang keadaan dasar v,, hanya bergantung

pada jari-jan r, Sehingga

Atom Hidrogen

1 a 1sin 0 ae

4.2.1 Operator MomentumSudut = -fi2{--(sin~-&)+a$}

Operator momentum sodut didefinisikan sebagaimana fisika klasik seperti pers.(g 17).Di dalam teori kuantum kuantitas ini

Selanjutnya, perhatikan penerapan operator LZpada fungsi

menjadi operator rnelalui korespondensi (2.9) ytm(e,ip)

Di dalam koordinat bola kornponen-komponen operator momentum sudut di atas dapat din)'atakan sebagai berikut

Operator yang banyakdig~nakan adalah kuadrat dari momentum sudut. Dan' pers.(3.i6) diperoleh

= -ih(im){J- P;' (COS e)eimv} (4.61)4n(e + in)!

Jadi Y, (8,p) merupakan fungsi eigen dari operator momentum sudut Lzdengan nilai eigen (mh).Sedangkan pengoperasian L2

dan Y,,(Q,v)

Menggunakan hasil perhitungan (4.61),


Karena itu

L2 Ycm=-A2 {sii--:e (Sin '$)-&Iytm

1 d 02)-L)O.,,,)~= sin0 d6 3 8 s in2e (4.62~)

1 d d@tm m2 --(sin@7)+k(L+l)-abh = Osin6 dB

{ - ~ d ( s i ~8%) sin28 = -e(( +l p t m(4.63)sin8 d@

Dengan demikian, diperoleh

L2yfm= -h2[-~(~+1)0tm@m

Arbnya, Y, (6,p) juga merupakan fungsi eigen dati L2dengan nilai eigen P(! + l)A2.Hal ini berarti Y,( o , ~ )merupakan fungsi eigen serempak dari Lz dan L2 , dan hasil ini memberikan konsekwensi lebih lanjut yaitu

Dari operasi LZdan L2 pada fungsi harmonik Y,(O,~) ,memungkinkan untuk melakukan penafsiran fisis sebagai berikut. Y;,(8,p) menggambarkan perilaku elektron dengan besar momentum sudut L

@, untuk(4.11B)Selanjutnya, gunakan pers

Momentum sudut sebesar A,/mini tidak mepunyai arah yang bebas melainkiin sedemikian rupa sehingga proyeksinya telhadap sum bu-Z,

Artinya, momentum sudut terkuantisasi dalam ruang. llustrasi gerak elektronnya diberikan oleh gambar berikut:

Gambar4.4. llustrasi klasik gerak elektron

Dari Gambar 4.4 tampak bahwa kendala bagi arah momentum sudut J? adalah :

Sebagai sumbu z biasanya diambil arah medan luar misalnya medan magnet Byang meliputi atom

Fisika Kuantum

Gambar 4.5 Berbagai gerak elektron

Gambar.4.6. Kuantisasi ruang bagi momentum sudut J6ti

Contoh4.4: Satu elektron di dalam medan Coulomb dari suatu proton

mempunyai keadaan yang dinyatakan oleh fungsi gelombang:

Hitung harga ekspektasi dari a. Energi b. L2

c. LZ,dari elektron

Penyelesaian

a. Hamiltonian (4.3) dan persamaan eigen (4.4) memberikan

Atom Hidrogen

Hyn, (7) =En~ntn('1

dengan energi eigen hanya bergantung pada bilangan kuantum utaman

Kemudian menginat ortonormalitas fungsi eigen cy,, (7)

( W ~ . ~ , , . , W ~ , ~= J n . , ~ , . , ~ r n h

kita dapatkan

b. Menggunakan pers.(4.64)

I? ytm= e(e +i ) ~Y,

yang hanya bergantung pada bilangan kuantum orbital, maka

i) Z ~ ~ , ~ ( ? ) = O

Fisika Kuantum

ii) ~ ~ l y ~ , , ( T ) = 2 A ~ y ~ ~ ~ ( r ' )

iii) ~ ~ ~ , , ~ ( r ' )= 2A21y2,0(r')

b) L2v2,-,(7) =2A2v,,-,(3)

Sehingga

c. Mmenggunakan pers(4.61)

yang hanya bergantung bilangan kuantum magnetik, diperoleh

i) L,v,oo (7)= 0 ii) L,v2, ,(7)= A v2,,(7) iii) Lzt,v210(7)= 0

b) L,v2,-1(7)= -A v21-,(?I Bersama ortonormalitas (4.25) memberikan

Plorn Hidrogen

42.2 Spektrum Nit Bi Eigen Komutator(3.7b

dan (3.9),serta operator (3.l7) memberikan:

Dengan cara s i r lu~ bagi L, $, Serupa diperoleh hubungan

dan L, yang secab a kompak dituliskan

an Eiik adalah = L, d

symbol pemutagi Yang (dapat) berharga

jika permutasi genap jika permutasi ganjil

jika ada indeks sama

Selanjutnyq SeD~gaikombinasididefinisikan operator L,,

dari dua komp0t.l en operator momentum sudut

MengingatL, L r LZadalah operator Hermitian

#aka

dan sebaliknya

Sedangkan perkalian anatara dua operator tersebut memberikan

dan

L-L+ = LS;+L; -hL,

= L 2 - L : - A L ,

Kornutator-kornutator dari operator momentum sudut secara lengkap diberikan oleh pe~(4.70) dan persamaan berikut

Berikut ini kita gunakan kornutator-komutator operator momentum sudut untuk mengurai spektrum nilai eigen dari fungsi eigen

qm( 0 ,P)r

Pertama, kita lihat pengaruh L+ pada Y, (8,~)yakni L+Y,(B,p). Untuk realisasi maksud ini operasikan Lz padaL + Y , (0 , p ) ,didapatkan

Atom Hidrogen ,v L,L+ y, = (L,L+-L+L, )ycm+L+L, Y h

Menggunakan hasil operasi (4.61) dan komutator kedua (4.74). diperoleh

Tampak bahwa L+Yh(O,p) merupakan fungsi eigen dari L, dengan nilai eigen ( m+1)h .Karenaitu,setelah membandingkan dengan pem(4.61) diperoleh

Kita andaikan

dengan konstanta kompleks C + (1, m) yang akan kita tentukan. Dari definisi operator sekawan Henite (3.18)

(L+yem,L+y,)= I c + ( ~ , m ) ~ ( y C m , y h )

= Ic+ (L,m)I2 (4.77a)

2 0

dan mengingat pers.(4.72a) serta (4.73b) maka didapatkan:

Dua hasil terakhir memberikan

Dengan demikian

Jadi, L+ menaikkan keadaan ~ ~ ( 8 , ~ ) satu tingkat rnenjadi keadaan Y,+,(0,c).Karena itu, disabut sebagai operator tangga penaik.

Langkah serupa dapat diterapkan untuk operator L- ,dengan menggunakan komutator

[L,,L-1= -hL-

memberikan

Jadi L- rnenurunkan fungsi eigen Y, ( 8 , ~ )+Y,+, (8,q) dan misalkan ditulis

didapatkan:

C-(!,m) = h 2,/P(~+I)-~(~-I) (4.79~)

Sehingga

Selanjutnya kita tentukan m rnaksimum dan m minimum untuk !tertentu. Untuk m maksimum, misalkan m = m+ didefinisikan

Atom Hidreen I' Lakukan operasi L- dan gunakan pers.(4.73b), didapatkan

Persamaan terakhir ini dipenuhi oleh

(4.82)m+ =!

Sedangkan untuk mminimum, misalkan m = m- didefinisikan

OperasikanL+dan pers.(4.73a) memberikan

yang dipenuhi oleh

Seperti telah diperlihatkan di depan L+(L-)menaikkan (menurunkan) bilangan kuantum rn satu tingkat. Karena itu, untuk e tertentum berharga

seperti hasil yang diperoleh di depan. Spektrum nilai eigen mdiilustrasikan sebagai berikut.

Fisika Kuantum Atom Hidrogen I'

Gambar4.7 Spektrum dari operator Lz untuk [ tertentu

Contoh 4.5 : a. Tunjukkan bahwa fungsi

ry =c r e - r 1 2 6 cos8, dengan S =-h m k e 2

adalah solusi dari atom hidrogen. b. Tentukan energi keadaan tersebut. c. Hitung nilai momentum sudut (i) L dan (ii) Lz d. Hitung komponen momentum sudut LZdari L+v

Penyelesaian : a. Operasikan operator energi kinetik pada ry ,

Jelas suku ketiga ruas kanan sama dengan nol, karena W tidak bergantung 9 secara eksplisit. Sementara dua suku lainnya,

I a - r126 d cos0

=-C r e - r / 2 6

-2-(sin2e)sine 88

e-r126

= - (2sin 8cos8)sin 0

2 r =2c r e-'Iz6cosB --r c r e-'lts cos0 +-cr e-'IMcostJ

6 (26)'

Substitusi kembali ke dalam persamaan kinetis di atas, kita dapatkan


Tarnpak bahwa nilai eigen dari operator L~ adalah 2h2. Atau Karena itu, nilai mornenturn sudut L adalah f i h .

ii) Terapkan operator L, (4.32~) untuk rnendapatkan nilai kornponen-komponen dari momentum sudut

Persarnaan ini tidak lain adalah persarnaan Schrodinger untuk

atom hirogen dengan energi potensial V(r) = --k eZ , karena W tidak bergantung pada 9 secara eksplisit. r sehingga dalarn ungkapan Harniltonian H,

d. Menggunakan ungkapan (4.71) dan (4.59) didapatkan

b. Dari persarnaan eigen = itz(sin p, -i cos 9)cr e-r126(-sin 0)

= -ih c r e-'"%in sinp,- i cosp,)

didapatkan bahwa energi keadaan tersebut adalah Selanjutnya operasikan L, pada L+y

L, (L, y ) = -ih -a (- ih cr e-r"b sin 0(sin p, - i cosp,)}89

= ih e-r"6 sin 6)-d (sin p, -i cos(D)

c. Nilai momentum sudut Ldapat diperoleh dengan rnenerapkan ap,

i) Operasikan L* seperti (4.33) pada ry , = -I(- ihc r e-r"6 sin excos p,+isin p,)

= A(- iftc r e-"" sin 8)- i eos p, +Sinp,)

=RCifi e r e-'"& sin sin(o- i COS 9))

Fisika Kuantum

Jadi L+y adalah fungsi eigen dari L, dengan nilai eigen A . Atau dengan kata lain, komponen-z momentum sudut keadaan elektron L+cy adalah A .

Di dalam persoalan mekanika kuantum lebih lanjut seringkali orang tidak peduli pada ungkapan sebenarnya dari fungsi eigen. Sebagai gantinya orang rnenggunakan simbol-simbol abstrak yang masih membawa sifat dari fungsi eigen dan hasil operasi dari suatu operator padanya. Hal ini dilakukan karena selain rnemberikan hasil yang sama, dalam banyak ha1 persoalan juga menjadi jauh lebih sederhana. Di dalarn bab ini diuraikan metoda (dengan simbol-simbol) abstrak tersebut.

5.1 REPRESENTASI MATRIKS

Perhatikan fungsi harrnonik bola

ytm(6,V ) = (-1)"' 47~ (!+m)!Py (cos 8)ei""" (5.1)

Fungsi ini bersifat ortonormal

Fisika Kuantum Metoda Operator 1 1

Sekarang, perkenalkan notasi baru yang dikenal sebagai notasi Dirac I ) ,yang dibaca bra

Didefinisikan pasangan Hermite ( I ,dibaca ket, dari fungsi yang dituliskan dengan notasi Dirac ( ) ,yakni

Untuk kasus (em),

(em]= 1 ern)+

Dalam kasus di atas sekawan Herrnite dapat diganti dengan sekawan kompleks karena &,,,(0,9)adalah fungsi biasa bukan matriks. Tetapi notasi Dirac ini dapat digunakan untukfungsi yang lebih urnum seperti dalam bentuk matriks kolorn. Notasi Dirac ini

juga dapat dikatakan mengungkapkan (merepresentasikan) fungsi Y,,(e,p) dalam bentuk matriks seperti akan kita lihat nanti.

Dalam notasi Dirac ini, perkalian skalar (5.2) dapat dituliskan sebagai

Notasi Dirac diperkenalkan untuk'memudahkan serta menyedehanakan penulisan. Dalam notasi ini seringkali kita tidak perlu tahu bentuk eksplisit dari fungsi yang dinyatakannya. sebagai gantinya kita hanya mengganti dengan sifat-sifat ortogonalitas dan bila dikenai operasi suatu operator. Perhatikan sifat berikut

atau

L=1 em)=mhl em) (5.7)

Perkalian skalar dan pemakaian notasi Dirac

Untuk memperoleh bentuk matriks baik bagi 1 em) maupun L,, kita ambil contoh kasus I f = I = I dan tuliskan llm)= im) . Untuk kasus ini, dari pers.(5.8) diperoleh

Didalam representasi matriks (L,)_., menyatakanelemenbaris ke-m'dan kolom ke-m dari matriks operator L, .Bentuk eksplisit elemen ini diberikan oleh rnAF,,,,, .Dari uraian momentum sudut

Fisika Kuantum Metoda Operator

didapatkan untuk f =1 maka m = 1.0, -1 .Dengan demikian m'\m 1 0 -1 elemen lengkap operator L, diberikan oleh

dengan 1 m) = 1 lm)

Contoh5.1. Berikan ungkapan (representasi) matriks operator L+ dan t-untuk ! = I .

Penyelesaian: Dari pers.(4.48b) didapatkan hubungan

Perkalian skalar untuk 2 =1

Sedangkan dari pers.(49) kita dapatkan

L- 1 l m ) = h , / e ( e +1)-m(m- l)l l m -1) (5.1 3a)

Dengan cara yang sama untuk = 1,didapatkan

dan

Perlu ditekankan di sini bahwa bentuk matriks bagi L, L, dan L- diperoleh dari vektor basis standar (5.11b). Bentuk di atas dapat berubah untuk vektor basis ortonormal yang lain, dengan hubungan operasional yang tetap (tidak bisa berubah).

Contoh5.2 Berikan ungkapan matriks Lz untuk vektor basis ortonormal (m'l m) =6,,,.,

Maka.

1 Fisika Kuantum Metoda Operator

Penyelesaian: Misalkan bentuk LZdiberikan oleh

Maka, dari pers.(S.IO) yang harus tetap, diperoleh

dan dengan cara serupa didapatkan

Dari perhitungan di atas diperoleh c =f =g =h = 0 , i = -A dan a =b =d =e =Al2. Dengan dernikian

5.2 SPIN

5.2.1 Representasi Matriks dari Spin Dari proses perurnusan matematis untuk rnendapatkan

bentuk fungsi harrnonik bola Y,(0,q) kita ketahui bahwa fungsi ini hanya didefinisikan untuk P bulat. Dalam notasi Dirac [em) dan representasi matriks fungsi ini juga dapat didefinisikan untuk

Fisika Kuantum

C tidak bulat misalkan 1 =112 dan definisikan kuantitas mirip momentum sudut ,f yaitu momentum sudut internal yang disebut spin 3

dengan komponen spin S memenuhi hubungan kornutasi sebagaimana Z

Didefinisikan pula S, ,

Dari hubungan antara l dan m .untuk 1 = 112 diperoleh

m = 112 dan m = -112. Fungsi eigen dari Szadalah I f $) = I$) dan If +) =I-f) ,dengan ..

Representasi matriks dari SZdapat diperoleh dari hubungan (5.10) setelah dimodifikasi

(m' l~ , Im)= =(s,)~,,,inh6,.,

dan bentuk eksplisitnya diberikan oleh

dengan vektor basis standar

Metoda Operator

Contoh5.3 Berikan representasi matriks dari Sxdan S,

Penyelesaian: Dari operasi operator tangga diperoleh

S-1 sm) = h,/s(s +1) -m(m-I)] sm -1)

maka untuk S,

dan

Sedangkan untuk S-

dan

Dengan demikian

Metoda Operator Fisika Kuantum

Dari hasil-hasil di atas, definisikan matriks 0,.menurut

h Si =-oi dengan i= x,y,z

2

maka

Matriks ini dikenal sebagai matriks (spin) Pauli.

5.2.2 PenjumlahanMomentum Sudut Pada pembahasan terdahulu kita hanya membahas momen-

tum sudut satu elektron. Masalahnya sekarang bila terdapat dua elektron masing-masing dengan momentum sudut internal S, dan 3, atau satu elektron dengan momentum sudut dan spin

bagaimana momentum sudut total sistem. Untuk penyederhanaan kita tinjau dua elektron dengan mo-

mentum sudut internal 3 , dan 3, ,dan mengabaikan momentum sudut keduanya. Misalkan keadaan spin masing-masing dituliskan X I dan X Z . Jika spin-up ditulis dengan tanda plus dan spin-down dengan tanda minus, jelas bahwa keseluruhan spin masing-masing yang mungkin adalah X: ,X; , X: dan X; . Sedangkan seluruh kombinasi keadaan individual tidak berinteraksi yang mungkin adalah

dan

Operator ini hanya bekerja pada keadaan spin masing-

masing, elektron pertama

elektron kedua

dan

Sl,x: =0

Spin total didefinisikan

Operasikan

Masalahnya, bagaimana bila keduanya berinteraksi? Operator spin masing-masing 3, dan 3, ,memenuhi


atau

Dengancara serupa,

dan

Sedangkan untuk dua spin down

Dan hasil-hasil di atas, diperoleh empat keadaan yaitu satu denganm= 1,dua dengan m=0dansatum=-1. Untuk kasus m=0, dapat juga dibenkan oleh kombinasi tinier setelah dinorrnalisasi

Masalah selanjutnya bagaimana membedakan dua keadaan dengan m = 0 di atas ? Untuk menjawab pertanyaan ini kita gunakan operator penaik dan penurun total

Si = SI*+S2i (5.31)

Operator ini berfungsi menaikkan bilangan kuantum m di dalam satu multiplet yang sama.

dan

--45

(%)Xi +XI- (fix; 1--JZ

=Afix;x; (5.32b)


Sedangkan Perurnusandi atas dapat dinyatakandalam notasi Dirac, Ism)

dan

dan

-- 6% k-~ l - (5.32d)(fin;)JZ

Daricontoh di atas, didapatkan bahwa

membangunsatutripetdan masingmasingkeadaandihubungkan oleh S, ,sedangkan

merupakansinglet.

Spintotal I S M ) yang diperoleh

dan

Secara sederhana, penjumlahan momentum sudut dapat dilakukandengan

S=Sl+s2,Sl+s2 -1 ... , IS1 -S* I (5-36a)

dan masing-masingS, mempunyai

M = S . S - 1 , s - 2 ...,-S (5.36b)


Jumlah keadaan baru sama dengan jumlah keadaan kombinasi yang lama. c. Keadaan yang dapat diketahui dan bukan merupakan

kombinasi linier adalah keadaan tertinggi dan terendah,

Contoh5.4 I$$)=ll.l)l++) (5.39)Momentum Sudut Orbital dan Spin. Elektron di dalam atom I$+)=11-1)1+?)hidrogen selain mempunyai momentum sudut karena gerak orbital mengelilingi inti atom juga mempunyai spin. Untuk 1 = I, Keadaan tertinggi tidak dapat dinaikkan sedangkan keadaan tentukan: terendah tidak dapat diturunkan a. Semua kombinasi momentum individual b. Semua momentum sudut total c. Setiap momentum sudut baru sebagai kombinasi linier

kombinasi momentum individual.

Penyelesaian: Dua keadaan di antaranya dapat diperoleh dengan

a. Untuk momentum sudut orbital t = 1 maka m = I, 0,-1 menerapkan operator tangga pula,

sedangkan spin s = f maka m = f ,-f . Dengan demikian ada enam kombinasi keadaan yang mungkin, yaitu

Suku ruas lainnya,

b. Karena kombinasi individual keadaan lama ada enam maka keadaan am juga ada enam yaitu untuk L = 1 +f =f dengan M =$, $,-L, ,-2 dan L = l - f = f dengan M = l - l Penyamaan kedua persamaan di atas, setelah dimasukkan

Keadaan-keadaan tersebut adalah 2 ' 2 ' faktor normalisasi, diperoleh

122) 111) 2 ) ( 3 -3)2 2 9 2 2 7 2 2 ' 7 7

dan

Dengan cara yang sama

s,l++) =&,/+(++l)+f( -L+l 1 1 ~ 2 )=h&IT 333 d + l 2 ) (5.433)

1 Fisika Kuantum Metoda Operator

atau, dalarn frekwensi gerak osilasi =fi

Dari persarnaan energi total ini diperoleh persarnaan Schrodinger takbergantung waktu

ii2 d2g,+-mo2x2g,1

=Eg,2m dx2 2

Pergantian variabel

mernbuat pers.(5.52) rnenjadi

atau

d2" ( ' b = o-+ a-z dz

dengan

Untuk rnendapatkan solusi pers.(5.54b), cobakan g, =u(z) = e-v2 dan diperoleh

"..

sehihgga pers.(5.54b) rnenjadi

Persarnaan ini dipenuhi oleh sernua z jika q = 112, A = 1. Artinya, u ( Z ) = e-z2'2 rnerupakan solusi eksak bagi pers (5.54b) dengan a = 1,

Nilai 1= 1I2 juga menjamin bahwa fungsi gelombang lenyap g, +0 pada posisi jauh sekali, z -,*w.

Hasil di atas rnenyatakan bahwa solusi urnurn haruslah rnernuat u ( ~ )= e - z 2 ' 2 . Karena itu kita arnbil bentuk urnurn sernbarang yang rnerupakan perkalian dengan U ( Z ) = e - z 2 ' 2 ,

Subtitusikan bentuk ini ke dalarn pers.(5.57) diperoleh persarnaan baru bagi f ( 2 )

Solusi dari persarnaan diferensial orde dua ini dapat diperoleh dengan rnetoda Frobrnius yakni dengan cara rnengekspansi dalarn deret takhingga.

Subtitusi deret (5.60) ke dalarn pers.(5.59) diperoleh

Fisika Kuanturn Metoda Operator

atau, dalam frekwensi gerak osilasi =

Dari persamaan energi total ini diperoleh persamaan Schrodingertakbergantungwaktu

Pergantian variabel

membuat pers.(5.52) menjadi

atau

dengan

Untuk mendapatkan solusi pers.(5.54b), cobakan = e-w2 dan diperoleh p=

sehihgga pers.(5.54b) menjadi

Persamaan ini dipenuhi oleh semua z jika 7=112, A. = 1. Artinya, u(Z)= e-'t'2 merupakan solusi eksak bagi pers (5.54b) dengan A = 1 ,

Nilai 77 = 112 juga menjamin bahwa fungsi gelombang lenyap p-,0 pada posisi jauh sekali, z -,+XI.

Hasil di atas menyatakan bahwa solusi umum haruslah memuat u(z) = e-z2'2.Karena itu kita ambil bentuk umum sembarang yang merupakan perkalian dengan u ( ~ )= e-z2'2,

p=e-"" f (z) (5.58)

Subtitusikan bentuk ini ke dalam pers.(5.57) diperoleh persamaan baru bagi f(2)

Solusi dari persamaan diferensial orde dua ini dapat diperoleh dengan metoda Frobmius yakni dengan cara mengekspansi dalam deret takhingga.

Subtitusi deret (5.60) ke dalam pers.(5.59) diperoleh

Fisika Kuantum

0 ca

= a,,, (k +2)(k +l)z* -xa,(2r- ( A-l))zr (5.61)

k=O r=O

Persamaan di atas akan selalu dipenuhi oleh semua z jika koefisien Z k adalah not,

atau

Pers.(5.62b) mengisyaratkan bahwa solusi akan berbentuk deret berhingga yakni berhenti pada k =n jika

yaitu

an+*=0, a, f 0 (5.63b)

dan kita ambil

an+,= 0 (5.63~)

Sehingga a,+,=a,+,=a,,, =a,,, =- - - =0.

Metoda Operator

Dengan pengambilan -1 =2n pers(5.59) menjadi

dan solusi deretnya diberikan oleh

f(z)= a,+a,z+a,z 2 +- - -+anzn (5.65)

Persoalan selanjutnya adalah menentukan bentuk koefisien a,, a,, a,,-..,a, .Rumus rekursi (5.62b) dapat ditulis menjadi

Misalkan diketahui a, maka

dan

n ! = ( -1) j

2*j(n-2j)!j ! 0"


Bila n genap maka a, terendah adalah a, terjadi pada . j = N = n / 2 tetapi bila n ganjil rnaka a, terendah adalah a, yaitu n-2j = 1atau j = N= (n-1)/2.Dengan demikian, solusi deret (5.65) menjadi

N

f(2)= a,,C 11 +genap j=o 2" (n-2j)!j ! (n- 1) 12, n -+ ganjil (5.68a)

Pernilihan an = 2" rnemberikan

f(2)= Hn(z)= x (-l)jn! (2z)"-*j

j=o (n-2 j)! j ! Garnbar 5.2 Solusi Ganjil Osilator Harrnonik

Dengan dernikian solusi lengkap pers.(5.52), setelah dinor-nalisasi, diberikan oleh

Sedangkan dari pers.(5.55) dan (5.63a) diperoleh energi

Grafik beberapa fungsi diberikan oleh garnbar berikut

Gar!-'7ar 5.3 Energi Potensial Klasik, Nilai dan Fungsi Eigen Osilator Harrnonik

Garnbar 5.1 Solusi Genap Osilator Harrnonik


Bila n genap maka a, terendah adalah a, terjadi pada j = N= n l 2 tetapi bila n ganjil maka a, terendah adalah a, yaitu n-2j = 1 atau j = N= (n-1)12.Dengan demikian, solusi deret (5.65) menjadi

N n / 2 , n +genap f ( z ) = a , C ,.

2 ' ( n - 2 j ) ! j ! ( n - 1 ) / 2 , n+ganjil (5.68a)

Pemilihan a, =2" memberikan

f ( 2 )=H, (2)= C ( - l ) jn! ( 2 ~ ) " - ~ j

j=o (n-2 j)! j ! Gambar 5.2 Solusi Ganjil Osilator Harmonik

Dengan demikian solusi lengkap pers.(5.52), setelah dinormalisasi, diberikan oleh Sedangkan dari pers.(5.55) dan (5.63a) diperoleh energi

E + E, = ( n + + h m (5.70)

Grafik beberapa fungsi diberikan oleh gambar berikut

,=,,

Gar!.'lar 5.3 Energi Potensial Klasik, Nilai dan Fungsi Eigen Osilator Harmonik

Gambar 5.1 Solusi Genap Osilator Harmonik

I Fisika Kuantum Metoda Operator

Contoh5.5 Sifat Fungsi Eigen Osilator Harrnonik. Perhatikan solusi

persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik

a. Perlihatkan ortogonatitas p,

menggunakan fungsi pembangkit

b. Tentukan xp, ,dan

Penyelesaian: a. Tinjau integral dari perkalian dua fungsi pernbangkit

Evaluasi ruas kiri

Dengan dernikian

atau

ODIH,,,(z )H,,(z)e"'dz =&2" n!6,,, 4

Selanjutnya

=JT ( m X k - ? d ( e x )jHm(mx).,,n2" m!2"n!,

b. Gunakan bentuk eksplisit (5.68b)

rnaka

Fisika Kuantum Metoda Operator II

Hn+,(z)= C ( - l ) j (n+l)! (2z)"+l-2i

j=o (n+1-2 j ) ! j !

,=o (n-2j)! j ! (n + 1-2 j )

- (-l) 'n!(n+l-2j)-2 z g ( n - 2 j ) ! j ! ( n + I - 2 j ) ( 2 ~ ) " - ~ '

e-22Hn+l ( z ) &2"+' ( n + I ) !

(-l)jn! ( 2 ~ ) " - ~ '+ CN (- 1)j n! (2j) (2Z)n+I-2j= 2 z C j=o ( n - 2 j ) ! j ! ( n + l - 2 j ) ! j !

N = 2zHn+ 2 c (-1)' n! (2Z)n+l-2j

,=, ( n + l - 2 j ) ! ( j - I ) !

= 2zH, + 2 c ( - ~ ) ~ + ' n !

(2Z)n+l-2(k+l), j = k + l k=o (n+ 1 -2(k + I))!k! c. Gunakan pers(5.76) dan bentuk eksplisit (5.68b), diperoleh

= 2zH, -2 n x ( - ~ ) ~ ( n - l ) ! n=o (n-1-2k)!k! (2.4

= 2zHn-2nHn-,

(5.75a)

Sehingga

Karena itu,

+ JyJLJ J m o l h -f.' (2n)$ ( - 1 ) j b -I)! (2z)"-'-2' 2n fi2^-' (n - l)! j=o ( n-1 -2j)!j !

-- -


Contoh5.6 Tentukan a. x2pn

Penyelesaian: a. Dari pers(5.76)

maka operasi lebih lanjut memberikan

5.3.2 Operator Tangga dan Representasi Ma iks L Y

Perhatikan kembali hasil operasi x dan -pada (onyaitudx

pers.(5.77) dan pers.(5.78). Penjumlahan dan pengurangan dua operasi tersebut memberikan

= R~Fw%,,+~(XI+J%GP~-, atau(x)+ (2n +1)~. (XI)2 m o

(5.78a)

b. Dari pers(5.77)

didapatkan Hubungan ini cukup menarik, sebab dua operasi berturut-turut

Metoda Operator Fisika Kuantum

Dari definisi ini, didapatkan hubungan sebaliknya

Artinya, p, (x ) merupakan fungsi eigen dari dua operator dengan rnaka urutan seperti di atas dan rnempunyai nilai eigen n .

Perurnusan di atas dapat disederhanakan dengan rnendefinisikan operator

dan

Kedua operator a dan a+ ini disebut sebagai operator tangga. Dari kornutator

[x, = ih (5.82a)

dan ----mAm(a2 -2a+a-1+(a+)~)

2

Karena itu, Hamiltonian osilator harrnonik rnenjadi didapatkan

Fisika Kuantum

Selanjutnya, definisikan pula keadaan eigen In)

' ~ n 1") (5.87)

dan ortonormalitas

(mln) ='mn (5.88)

Hubungan (5.79b) dan (5.80) memberikan

Karena itu, operator a disebut sebagai operatortanggapenurun

In) +n -1) , a+ operator tangga penaik in) +In +1) sedangkan

disebut operator jumlah atau operator bilangan. Di dalam ungkapan operator tangga ini, persamaan eigen bagi osilator harmonik menjadi

dengan

Selanjutnya definisikan keadaan dasar atau keadaan vakum (0) yang memenuhi

dan

Metoda Operator

Keadaan vakum dapat ditafsirkan sebagai ketiadaan partikel dengan frekwensi o .3ari pers.(5.89) didapatkan

Karena itu, operator a disebut juga operatoranihilasiatau pemusnah satu partikel menjadi tidak ada 11) +lo), sedangkan a+ operator kreasi dari vakum menjadi ada satu partikel

Io>+I1>-

Contoh5.7 Keadaan Eigen. Tentukan

a. komutator antara 8 dan a

b. komutatorantara fi dan a+

c. hubungan antara keadaan tereksitasi In) dan keadaan vakum

10)

Penyelesaian: a. Dari komutator tiga operator

b. Dengan cara serupa

Fisika Kuantum Metoda Operator I I

c. Terapkan pers(5.89) untuk operator kreasi n kali berturut- turut

dan 2 parameter kecil.

Penyelesaian: a. Ortonormalitas dan operasi a, a+ terhadap In), diperoleh

komponen matrtiks

Bentuk eksplisitnya

Sehingga,

Serupa, kornponen matriks

Contoh5.8 Representasi Matriks. Berikan representasi matriks dari Bentuk eksplisitnya

a. Operator a dan a+ b. Hamiltonian osilator harrnonik c. Hamiltonian osilator harmonik terganggu

dengan


b. Komponen matriks hamiltonian osilator harrnonik

Bentuk eksplisitnya

c. Untuk mendapatkan suku kubik dalam hamiltonian, Elemen matriks bersangkutan pematikan hubungan

dan Atau

Kedua persamaan ini memberikan

Operasi lebih lanjut Dengan demikian, Hamiltonian osilator harrnonik terganggu

Bentuk-bentuk di depan diberoleh menggunakan basis

Teori Gangguan

Dari contohcontoh terdahulu kita dapatkan hanya sedikit sistem fisis yang dapat diselesaikan secara eksak yaitu surnur potensial takhingga, atom hidrogen dan osilator harmonik. Dalarn banyak kasus, solusi hanya dapat diperoleh menggunakan pendekatan, Salah satu solusi pendekatan tersebut adalah teori gangguan.

6.1 GANGGUAN STASIONER

6.1.I Keadaan Nondegenerasi Di dalam teori gangguan, Harniltonian sistem diuraikan

menjadi dua bagian utama yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian atau suku pengganggu. Suku pengganggu rnasih diklasifikasikan menjadi dua yaitu gangguan stasioner atau takbergantungvv.!ktu dan gangguan yang berubah terhadap waktu. Pertama akan dibahas gangguan yang tak bergantung waktu. Hamiltoiiian sistem dapat dituliskan dalam bentuk umurn

H = H , +AH, dengan ;1 parameter kecil (6.1)

Fisika Kuantum

Hamiltonian yang telah dipisah dari bagian pengganggu hams diketahui solusi eigennya, misalkan

Hoqn= E,"% (6-2)

dengan fungsi eigen rnernenuhi ortonormalitas

Pada pernbahasan sekarang k ibatasi pada kasus nondegenerasi yaitu

E; # E," untuk

qmn m * n

Sekarang, dirnisalkan Harniltonian mernenuhi persamaan eigen

Maka dalarn limit A +0 pem(6.4) mereduksi rnenjadi pem(6.2) dengan

Fungsi eigen yang memenuhi sifat tersebut dapat berbentuk

Kondisi (6.5) ;Z +0 , yn+q, dipenuhi oleh

Arnbil N(A)= 1 dan

Teori Cangguan

cnk(a)= LC;; +a2c;:)+a3c&)+. - (6.8)

Sehingga

I,= qn+act:,"pk+A' xc;:'(Dk+2 ~Li'qk +. . . (6.9) k t n k t n k t n

Serupa dengan fungsi eigen, nilai eigen yang memenuhi kondisi (6.5) diuraikan dalarn deret

Subtitusi ekspansi (6.9) dan (6.10) ke dalam pers(6.4) diperoleh

Persamaan di atas akan dipenuhi jika semua komponen dari sarna. Pengalian masing-masing suku memberikan, untuk

komponen lo,

yang konsisten dengan pem(6.2). Sedangkan unatk kornponen A

x0xc:;qk +Hlqn= E," c;:)qk+E ~ ) A (6.1 3) k t n k t n

atau dengan menerapkan pem(6.2) rnenjadi

k t n k t n

Selanjutnya lakukan kali skalar dengan q, dan menggunakan ortonormalitas (6.3) diperoleh, mas kiri

I ~

Fisika Kuantum TeoriGangguan

E i x c : ~ ) ( q n , q k ) + ( q n , H l ~ n ) = ~ E , " c : l ) 6 n k +(% I H l l h ) k t n k t n

dan ruas kanan

E." x c::) (qn3 q k )+ ( q n 9 ' , ! ' ) ~ n )= E;x c:i)6nk + I )( q n PJI k t n k t n

Sehingga

lnilah energi koreksi orde pertarna dari energi keadaan ke-n. Selanjutnya, lakukan perkalian skalar pada pers.(6.13a)

dengan pTuntuk m # n .Ruas kiri

~ , " z ~ : : ) ( q m 3 q k ) + ( q m , ~ I q n ) = ~ ~ , " ~ : ~ ) ~ m k+(qml H l l q n ) k t n k t n

dan mas kanannya

E," c ( ~ m ,q k )+( q n 9 ' : " ~ n )= E: x c::)6mk +E:') (%1q n ) k t n k t n

Dari dua persarnaan terakhir ini diperoleh

(1) - ( q m I H I l q n ) ' n m -

E," -Ez

Selanjutnya komponen dari l2

H,x~ 2 ' ~ ~+H ,xc!;'tpk=E,"CC!:'pk + E,!" xC$'cp, +E;)qn k t n k+n k t n k t n

(6.16)

atau

E," Cc!;)vk+H,x = E,"Cc;:)vk +E;)v,,+E:) Cc:;)~, k t " P t n k t n k t n

(6.16a)

Seperti proses sebelumnya, lakukan perkalian skalar dengan p,, ,dari ruas kindiperoleh

E ; x c : ) ~ ~ ~X " I ~ I H , I % )E ; ~ c : ) ( ~ .I % ) + ~ C ! ? ( ~ ~l ~ , l p . ) = + ( I ~ ~ " ) ( ~ k i n A*" km ILI E: -E,"

( P A ) t H I I ~ m ) ( ~ n ) . H l l ~ k )=o+C k i n E: -E,"

Ruas kanan memberikan

Sehingga didapatkan energi koreksi orde dua dari tinykat energi ke-n

( q k ~ ~ I ~ ~ l H l l q k )) ( ~n nE: =z k t n E,"-E,"

Kor'eksi untuk orde lebih tinggi dapat dilakukan dengan prosedur serupa.

I 1 Fisika Kuantum Teori Cangguan

Contoh 6.1 Model Matriks. Jadi energi eigen tanpa gangguan

Hamiltonian suatu sistem diberikan oleh matriks berikut: E," = 0 , E," = 1 , E; = 2

Fungsi eigen bersangkutan

Tentukan: a. Solusi eigen tanpa gangguan b. Koreksi energi orde pertama b. Koreksi energi orde pertama, dari pers(6.14)

c. Koreksi energi orde dua.

Penyelesaian: a. Hamiltonian dapat diuraikan menjadi


maka

c. Koreksi energi orde kedua, dari pers.(6.17)

Nilai eigen dari H , ,diperoleh dari persamaan sekular

-- KE; I H , ( ~ ; ) ( 2+ I ( E ; I H , 1 ~ ; ) rE,"-E," E; -E,"


Fisika Kuantum Teori Cangguan

E22 = 1I("," I S lEr)12 + I H I IqI2----E,"-EP E,"-E," 2

Dari hasil-hasil perhitungan di depan, energi sistem sampai koreksi orde dua

Gambar 6.1 Spektrum Energi

Contoh 6.2 Sumur Potensial Dasar Tidak Rata. Partikel berrnassa m terperangkap dalam sumur potensial sebagai berikut

Gambar6.2 Sumur Potensial Dasar Tidak Rata

Tentukan energi partikel sampai orde pertama tonjolan dasar sumur.

Penyelesaian: Untuk menyelesaikan persoalan di atas kita gunakan sumur potensial satu dimensi dengan gangguan dasar sumur miring. Hamiltonian diberikan oleh

h2 d 2 L+Vo, O < x < -

2 L ,dengan Vo <<

-7- - < x < L 2m dx2 ' 2

yang dapat dipisah menjadi

dengan

Fisika Kuantum

Solusi untuk sumur potensial rata H, ,

dan fungsi eigen

Koreksi energi orde pertama

Jadi energi tingkat ke-n partikel di dalarn surnur

Teori Gangguan

6.1.2 Kasus Degenerasi Berikut ini k ibahas sistern fisis yang rnengalarni degenarasi,

yaitu

E: = E,"

untuk

Bila ha1 ini terjadi rnaka penyebut (6.15) dan (6.17) menjadi nol. Karena itu, perurnusan di depan rnenjadi tidak terdefinisi dan perlu dirnodifikasi.

Misalkan energi tingkat ke-n rnernpunyai derajat degenerasi g dan keadaan degenerasi kita label qf), i = l , 2, -..,g. Keadaan ini rnernpunyai ortonormalitas

Langkah rnodifikasi sederhana dilakukan dengan rnengubah ekspansi (6.9) rnenjadi

Selanjutnya subtitusi ekspansi ini dan uraian energi (6.1 0) ke dalarn pers.(6.4) diperoleh kornponen untuk suku ,

Seperti kasus nondegenerasi, lakukan kali skalar dengan qi didapakan

I

1 ; / III

I !

l 1 II ' ) I I !

Fisika Kuantum

2.i (q:1~~ 19:) ~ i l ' t a i(pi I9;)i=l , = i=l

=Ell)a,

Tuliskan

(4I X , I ~ : ) = h;

maka

Persamaan ini tidak lain

h,",a,+h:a2 hka, =Ell)a, + . a * +

h;,a, +h&a, +..-+h&a, =Ei1)a2

hila,+h,",a, +.-.+hka , =Eil)ag

atau

h,; h,", !["]=[h; . . . -

h,", h,", .-. ag ag

Jelas, koreksi energi orde pertama keadaan terdegenerasi

merupakan nilai eigen dari Hamiltonian gangguan dalam basis

ortogonal baru.

Contoh 6.3

Model Matriks. Hamiltonian sistem fisis diberikan oleh

Tmri Cangguan

Tentukan energi sistem sampai koreksi orde pertama.

Pen yelesaian: a. Hamiltonian

Hamiltonian Ho memberi persamaan sekular

Solusinya

dan fungsi eigen bersangkutan

Fisika Kuantum h r i Cangguan

b. Energi koreksi orde pertama dibagi menjadi dua bagian. yaitu Pertama, keadaan nondegenerasi dengan E; = 1 .Untuk kasus ini digunakan hubungan (6.14)

5Kedua, keadaan degenerasi dengan E," = E," =

Energi koreksi orde satu adalah nilai eigen dari

Didapatkan E!) =S.Untuk E;" =3

dipenuhi oleh a, =1, a, =-fi .Sehingga

Untuk E!) = -3

dipenuhi oleh a, =A, a, =1.Sehingga

Jadi, energi eigen setelah dikoreksi

E; = 1 , E," 3 5 - 3 4 E," = 5 + 3 i l

Spektrum energi diberikan oleh Gambar 6.3

.

Fisika Kuantum

Garnbar6.3 Pernisahan Energi Terdegenerasi

Contoh 6.4 Efek Stark. Atom hidrogen diternpatkan dalarn ruang yang ada medan listrik lernah dan hornogen. Tentukan spektrurn energi atom hidrogen.

Penyelesaian:Medan listrik E rnenirnbulkan beda potensial listrik pada titik- titik yang berlainan di dalam ruang. Misalkan, arah rnedan diarnbil sebagai arah surnbu z rnaka Harniltonian gangguan diberikan oleh

L' x l0l0voltlmAH,= - E l . &<<(A'lrn,ej

Harniltonian atom hidrogen tanpa rnedan luar,

dengan bilangan kuanturn

dan energi eigen

Sebagai catatan, untuk tingkat energi ke-n tertentu ada n 2kedaan eigen yang berbeda. Dengan dernikian sernua keadaan atom hidrogen rnerupakan keadaan degenerasi kecuali keadaan dasar yaitu keadaan dengan n = 1.Energi koreksi. Energi koreksi untuk tingkat dasar.

Karena integral Jcosesin = 0

Energi koreksi untuk keadaan eksitasi pertarna, n = 2. Energi hidrogen bebas keadaan ini

Persarnaan eigen bersangkutan

Hoyntm ('9 '3 'PI =En~ntm('9 '9 9) (6.26b)

dan keadaan degenerasi yn, adalah y2,,, V 2 , ~ , V ~ O OV ~ I - I , . Tuliskan yn,, dalarn notasi Dirac, y,, = Intm). Energi koreksi orde pertama keadaan degenerasi lipat ernpat ini rnerupakan nilai eigen dari

Fisika Kuantum Jeori Gangguan

Untuk menghitung persamaan eigen di atas, tinjau terlebih dahulu operator momentum sudut LZ, Selanjutnya, menggunakan Tabel 4.1 dan Tabel 4.2, evaluasi

komponen-komponendiatas

Jelas, operator ini komut dengan z,

Mengingat bentuk (6.25) maka

Dengan demikian, H , tidak mengubah nilai eigen Lz yaitu m .

LZ( H I vnh) = HlLzvntm Pada evaluasi di atas kontribusi jarak dapat diabaikan karena apa = H,mfi V,,, pun kontribusinya dilenyapkan kontribusi oleh sudut 0.Dengan

=mfi (H,~nm) demikian, persamaan menjadi

Jadi H,I,u,, a ly, , dan akibatnya

Dengan demikian, sepuluh elemen matriks dalam pers.(6.26) menjadi no1

dan secara efektif merupakan persamaan matriks orde dua

Fisika Kuantum Teori Gangguan I , il

Persamaan di atas memberi persamaan sekular

Solusinya

E:" =$2 1 O ~ H , (6.37)1200)l

Selanjutnya, evaluasi komponen nondiagonal memberikan

(2001~~1210)es(2001z1210)=

Dengan demikian, energi koreksi

E:') =S e s a,

Untuk E:" =3esa,

1

diperoleh a2 = -a4 =-fi.Artinya, keadaan terpisah dengan

E:') =3 e ~a, merupakan kombinasi linier

IIL

Dengan cara yang sama, untuk E!) =3es a, diperoleh 1

a2 =a4 =,JZ sehingga

Contoh 6.5. Rotator Tegar. Sistem rotator tegar diungkapkan oleh Hamiltonian

1H =-L2 " 21

denganLadalah operator momentum sudut dan Iadalah momen kelembaman I = rnr: .Tentukan a. spektrum nilai eigen sistem. b. Koreksi efek Stark y = -& f terhadap energi eigen rotator

sampai orde kedua.

Penyelesaian: a. Persamaan eigen tanpa gangguan

Fisika Kuantum

Mengingat bentuk Harniltonian dan persarnaan eigen rnornen- turn sudut pada pernbahasan atom hidrogen rnaka ry + 1 t m ) dan

Jadi spektrum nilai eigen rotator

h2e(t+ 1 )E E E = 0 ot' 21

dengan fungsi eigen degenerasi lipat (2 t +1) , Itm) dengan m = 0,+1,f2,...,+t.

b. Koreksi energi oleh potensial v =-&; untuk kasus degenerasi dapat dicek untuk nilai f! tertentu dan mberbeda (dalam subruang degenerasi).

(em'[V I t m ) = (em'(-E 2)em) = -&(tm1lcos81em)

Menggunakan hubungan pengulangan (recurrence relation) polinorn Legendre terasosiasi

(2e+ l ) .~;"( x ) = (x)+(l- x =cos8(t+m ) e ~ ~ m + 1 ) & ~ , (x),

atau

e + m t - m + ~ cos8 P," (cos8) =-P;1,(cos 8 ) + &:I (COS8)22 +1 2 t + l

Maka

Ortonomalitas Ilm) ( e l m ' ( e m ) = 6( . t6m.m

mernberikan

(emll Vl em) = -c(lrn1l cos81em)

= -LC: (lmlle-1, m) -LC::, (tm'lt +1, m)

= 0

Karena itu, koreksi orde pertarna

E(') = (em~ v I !m) =0 , untuk semua t

Sedangkan koreksi orde dua

Gunakan hublingan yang diperoleh di depan

Hasil ini memberi kaidah seleksi yaitu At = +1 dan -.m= 0. Untuk el= c -1,

(e - I,m Ivltm)= -EC,"

dan

Untuk e '=!+ l ,

dan

Subtitusi hasil-hasil di atas pada energi koreksi orde dua

Teori Cangguan

6.2 GANGGUAN BERGANTUNG WAKTU

6.2.1 Perumusan Umum Perhatikan kehadiran gangguan kecil yang berubah terhadap

waktu dan persamaan Schrodinger dapat dituliskan sebagai

Seperti dalam kasus takbergantung waktu, kita mempunyai solusi lengkap

dengan

Selanjutnya, ~ ( t )diekspansi dalam suku-suku solusi lengkap ini

Subtitusi uraian (6.46) ke dalam pers(6.43) memberikan

Tampak jika V ( t )= 0 ,dan dari pers(6.44) didapatkan c, ( t ) harus konstan. Pers.(6.47) memberikan

Fisika Kuantum

Lakukan perkalian skalar dengan q,,dan gunakan ortonormalitas (6.45) diperoleh

atau

dc ( t ) A. (')(Av(t)1pn)A=- ~ e - ~ ( ~ ; - ' : ) " , I dt ih .

Selanjutnya, koefisien c, diekspansi dalam A.

C , ( t )= C,O+ ( t )+A.~c?)( t )+- .. (6.49)

Subtitusi (6.49) ke dalam (6.48) diperoleh

Jelas,

karena suku A. mas kanan paling rendah adalah orde satu. Syarat awal, A. -,0 yakni pada t +to = 0 ,dan y (0 ) = q, memberikan

ern(0)= cr' (0) =6,.

Suku orde pertama

dan orde ke-k

Kembali ke pers.(6.46), persamaan ini dapat ditafsirkan bahwa pada waktu t keadaan terdiri dari kombinasi semua keadaan 9" dengan koefisien cn(t). Dengan demikian, probabilitas keadaan ry(t) pada waktu t berada dalam keadaan eigen dari H, dengan energi E: ,terapkan ortogonalitas (6.45), adalah

l(qn1~ ( t ) ) l ~ (6.55)pm(0= 1 = lcm (t)12

Untuk orde pertama, dari (6.54) diperoleh

6.2.2 lnteraksi Elektromagnetik Atom berada di dalam ruang dengan medan elektromagnetik

yang dinyatakan dalam potensial vektor j ( ~ , t ).Hamiltonian atom tersebut diberikan oleh

Uraian suku kinetiknya

( j j + g p =j j2+". j+A.d)+i j2 e2 C C

ieh - ieh - e2 = -h2V2 -2-(A-v)- - (v-A)+, j2 .(6-58)

C C C

Dalam gauge Coulomb

V . ~ = O

Fisika Kuanturn Teori Gangguan

rnaka Hamiltonian (6.57) rnenjadi Dari bentuk eksplisit medan vektor didapatkan

Misalkan, potensial vektor dapat diekspansi sebagai

Kerapatan energi elektromanetik per satuan volume

Dan persamaan Maxwell dapat diturunkan persarnaan gelombang bagi potensial vektor

Evaluasinya memberikan

rnaka

dan Kebergantungan potensial vektor terhadap ruang dapat dinyatakan

(7) = joeii.i

Karena itu, -2 ( ~ (Zx 2:))x io)-

Gauge Coulomb memberikan Perata-rataan terhadap waktu akan membuat suku osilasi

lenyap sehingga suku yang memberi kontribusi terhadap kerapatan energi hanya suku silang 2,. 2;. Karena itu,

Dari elektrornagnetisrne, hubungan antara rnedan listrik, rnedan magnet dan potensial vektor dinyatakan oleh bentuk

Misalkan energi ini ditirnbulkan oleh Nfoton di dalarn kotak V, maka

Fisika Kuantum Teori Gangguan

Hubungan ini memberikanbentuk,

dengan vektor polarisasi 2 memenuhi

Dengandemikian, bagianpotensialyangmemberikanprosesemisi

Karena itu, energi satufoton

Koefisienekspansiorde satu diberikanoleh

maka probabilitas

2 27re2 I'+,,, (t)=Ie)(t)l= -m 2 ~ v m

JC.jj eii"lpk)l 1 /ei(md+m)'dtl1) 16.78)

Evaluasibagiantemporal menghasilkan

- sin 2 [. ( a m k +0)t]-(%k +42

--ASin2[+]

A2

dengan A = w,,,,+w. Grafiknya,

Gambar6.4 Fungsi untuk ProbabilitasTransisi

Untuk limit t +oo ,fungsi di atas akan menjadi fungsi delta

Probabilitastransisi per satuanwaktu didefinisikan

Teori CangguanFisika Kuantum

Sedangkan laju transisi didefinisikan Sehingga

(6.86)I(qmIE jei'+1 m: !I = l(qm1 -& ' j l q k ) I

Pendekatan ini dikenal sebagai pendekatan dipol. Untuk rnengevalusi integral ini, perhatikan integran berikut

Kaidah Seleksi. Untuk rnengevaluasi lebih lanjut, perhatikan dua operator

Maka

atau

Aproksimasi Dipol. Untuk rnenghitung laju transisi terlebih dulu kita evaluasi

Dalarn tiga dimensi

Ekspansi suku eksponensial

Karena

[V(r),P] = 0Untuk

dan1k - ? = - ~ a<<I 2

rnaka

eik.i = I rnaka, dari hubungan operator V diperoleh

Sehingga

(qn1 im I [ H O ~ ' I I ~ ~ )I ~ ' - ? I q k ) = ~ ~ ' ( q r n

=-& im - .(vmI (HO7- 'HO) (P~)A

im =-(E: ---~,")z-(q. ( ' l q k ) (6.91)

A

= imq"kz - ( % 1 qvk)

Subtitusi kembali ke dalam ungkapan laju transisi, diperoleh

Bentuk eksplisit perkalian skalar

Di dalam koordinat bola

Gunakan

cose , Y,,(6, =T,/Lsin eefi4 8z (6.94)

4z =sin @(Excos 4 +zYsin I )+ JT&, (6,rn)

- E, - i c y E , + i ~ , ,- sin 0 ei' + 2 2

Karena itu

Bentuk ini memberi kaidah seleksi transisi yakni transisi diijinkan jika dipenuhi

Contoh6.6 Atom hidrogen berada di dalam ruang dengan medan elektromagnetik yang dinyatakan oleh potensial vektor . Tentuhn laju transisi keadaan 2 p +1 s .

Penyelesaian: Keadaan 2 p = ry , , , dan 1s =y,, ,maka

Fisika Kuantum Teori Canggiisn I !

Subtitusi ke pers.(6.92) diperoleh

Integral fungsi harmoniknya membenkan

Sedangkan bagian radialnya

R ( r ) ( r ) 2( - 2 ~ ( : ~ ( ~ ) e - r 1 2 a a r 3 &e-"'~ --

Sehingga

2 8a, E, --icy E, +isy '.(Y/I,~'(Y/~I~)= - -

(3J (T'l.-nl +- JZ 4, +&zSom

dan kuadrat mutlaknya

Untuk integrasi angular dipilih kondisi sederhana yakni keadaan awal p dapat berada dalam tiga keadaan-m yang mungkin dengan probabilitas yang sama.

Transisi dari keadaan tereksitasi pertama ke keadaan dasar terjadi dengan melepas foton dengan frekwensi

Selanjutnya, mengingat ada dua polarisasi maka laju transisi harus dikalikan faktor dua

--

. . Fisika Kuantum Teori Gangguan

Contoh6.7 Atom hidrogen ditempatkan di dalam ruang yang ada medan listrik serbasama dan berubah terhadap waktu menurut

Bagian radialnya Atom hidrogen semula berada dalam keadaan dasar, hitung probabilitas transisi pada keadaan 2p setelah waktu t -,a.

Penyelesaian: Ambil arah medan listrik sebagai arah sumbu-z, energi potensial elektron oleh medan luar diberikan oleh

dV( t )= ei?.r' = eErcos8

Subtitusi ke pers.(7.14) Sehingga

eE 1-iA ( io,+y )

(P", l rcose1Pk) Koefisien ekspansi orde pertama

Sedangkan

Dengan demikian

Dua suku dengan bilangan magnetik berbeda lenyap

Evaluasi bagian sudut,

Acosta, V., Cowan, C.L., and Graham, B.J., Essentials of Mod- em Physics, Harper and Row, New York, 1973.

Alonso, M., and Finn, E.J.. Fundamental University Physics Ill, Addison-Wesley, Massachussetts, 1968.

Beiser, A., Konsep Fisika Modem, terjemahan The Houw Liong, Erlangga, Jakarta, 1983.

Gasiorowicz, S., Quantum Physics, John Wiley and Sons, New York, 1974.

Liboff, R. L, Introductory to Quantum Mechanics, 3'11. ed., Addison-Wesley, Massachussetts, 1992.

Mathews, P.M. and Venkatesan, K. A Textbook of Quantum Mechanics,Tata McGraw-Hill, New Delhi, 1976.

Meyerhof, W.E., Elements ofNuclearPhysics, McGraw-Hill, New York, 1967.

Park, D., Introduction to Quantum Theory, 3'11, McGraw-Hill, New York, 1992.

Pauling, L. and Wilson, E.B., Introduction to Quantum Me- chanics, McGraw-Hill, New York, 1935.

Poweil J.L. and Crasemann, B. Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Massachussetts, 1961 .

Purwanto,A.. PenganfarFisika Kuantum, Citra Media, Surabaya, 1997.

Fisika Kuanturn

Reid, J.M., The Atomic Nucleus, Penguin Books, V'ddlesex,

1972.

Rohlf, J.W., Modern Physics from a to Z, John 'Aliley and Sons, NewYork, 1994.

Zimmerman, R.L. and Olness, F.I., Mathemar. ;a for Physics, Addison-Wesley, Massachussetts, 1995.

Zukav, G., TheDancing of Wu Li Master, Bantam Books, New York, 1979.

I W I D \

KUANT ralkan salah sat^ ar bangur !new[

1 1 1 31:~udntum (lainnya budah teori ~~ lauv i tas) balk Ian3 mengharuskan kelahirannya, evolusi dari klasik k

-ta evolusi formalisme diferensial-integral yang n alisme operator yang abstrak. Penjelasan

]Ian s: p konsep selalu berangkat dari sesuatu yang tela :enal u-~lgan baik (well known) dalam fisika klasik da

- _ . zngkapi contoh-contoh dengan penjabaran matematis yan I '

r ' sangat terinci. Hal terakhir inilah yang menjadi kekuatan dan nil: tambah utama buku ini. Sifatnya yang demikian menjadikan buk ini sanga' ~coC' ~ g ipara pemula baik mahasiswa " "<a maupu ma has is^ bin dan binInni r nolekula nahasi elektro vanc teknol Singk , buku ini dapat dijadikan sebagai pintu pertama unt1.i memasuKl wilayah sains dan teknologi'tc--'--in.(frontier). Sa; in,, tidak ads qtqu kncnnn hin m n n n

auantum mect ics

Bidang minatnya adalah neutrino, teori medan tetnperatur hinsga, dimensi ekstra ( 1 iagadraya asimerrikatauharyogenesis, ,~eneli~i~va ernahdi ublikasikan di

Modem Physics Letter, : I , 'I,,;,: , \ , I ,1 1 ; I , I I ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I \ [ , # ~ , [ ~ \ ~ ~ \ I ~ ~ ~ \ . ! \ I \ ProgressoTheorctca h s , , , , '1 I , ; . ,:'I ,: , 1 , Physical Revicw , , : I ! ; ! I , ( I I ~l'!\~'l!:''',.l !,,I

NuclearPhysics. ' ' 1 : , , .. . ,, ,, , ~ ; . ~ , / , , ~ ! ~ ~ I , ' I I ~ ~ ,I ' i11; 1 :lama kuliah S1 aktif menjadi asisten Laboratorium Fisika Dasar. mata kuliah Fisika Dasa, sika Matematik, Gelombang dan Mekanika Kuantum. Pernah tnendirikan dan menjadi ken@ :lompokdishsi Fisika Astronomi'Teoritik (FiAsTe) ITB, 1987-1989. Aktifmenulisdi medb assa seperti Kuntum, Suara Muhammadiyah, Mekatronika. Kharisma, Simponi, Suryk :puhlika dan Kompas. Sejak tahun 1989 menjadi staf pcngajar rusan fisika FMIPA lnstitut Teknologi Sepuluh Nopemher (IT: trabaya. Selai~i tercatat sehagai staf pengajar Program Pascasarjal sikajuga tercatat sebagai salah seorangpendiri danpengajarprogra

Pascasarjana Studi Penihangunan ITS dengan mata h l iah Sain Teknologi, Filsafat dan Agama. Penulis adalah kepala Laboratoriu

ika ~ e o r i dan Filsafat Alam (Ls 4) ITS. Penulis juga menja a o t a Himpunan Fisika Indonesia 'hysical Society of lapan

fisika kuantum-agus purwanto

Documents