FISIKA-BANDUL GABUNGAN

Pendulum SederhanaContoh gerak osilasi (getaran) yang populer adalah gerak osilasi pendulum (bandul). Pendulum sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa m yang digantungkan pada ujung tali, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Dalam menganalisis gerakan pendulum sederhana, gaya gesekan udara kita abaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat diabaikan relatif terhadap bola.

Gambar di atas memperlihatkan pendulum sederhana yang terdiri dari tali dengan panjang L dan bola pendulum bermassa m. Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat (w = mg) dan gaya tegangan tali FT. Gaya berat memiliki komponen mg cos teta yang searah tali dan mg sin teta yang tegak lurus tali. Pendulum berosilasi akibat adanya komponen gaya berat mg sin teta. Karena tidak ada gaya gesekan udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur lingkaran dengan besar amplitudo tetap sama.

Hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan :

(ingat bahwa sudut teta adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang tali L)Syarat sebuah benda melakukan Gerak Harmonik Sederhana adalah apabila gaya pemulih sebanding dengan simpangannya Apabila gaya pemulih sebanding dengan simpangan x atau sudut teta maka pendulum melakukan Gerak Harmonik Sederhana.

Gaya pemulih yang bekerja pada pendulum adalah -mg sin teta. Secara matematis ditulis :

Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya mempunyai arah yang berlawanan dengan simpangan sudut teta. Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa gaya pemulih sebanding dengan sin teta, bukan dengan teta. Karena gaya pemulih F berbanding lurus dengan sin teta bukan dengan teta, maka gerakan tersebut bukan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Alasannya jika sudut teta kecil, maka panjang busur x (x = L kali teta) hampir sama dengan panjang L sin teta (garis putus-putus pada arah horisontal). Dengan demikian untuk sudut yang kecil, lebih baik kita menggunakan pendekatan :

Periode Pendulum SederhanaPeriode pendulum sederhana dapat kita tentukan menggunakan persamaan :

Ini adalah persamaan periode pendulum sederhanaFrekuensi Pendulum SederhanaIni adalah persamaan frekuensi pendulum sederhanaKeterangan :

T adalah periode, f adalah frekuensi, L adalah panjang tali dan g adalah percepatan gravitasi.

Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa periode dan frekuensi getaran pendulum sederhana bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi. Karena percepatan gravitasi bernilai tetap, maka periode sepenuhnya hanya bergantung pada panjang tali (L). Dengan kata lain, periode dan frekuensi pendulum tidak bergantung pada massa beban alias bola pendulum. Anda dapat dapat membuktikannya dengan mendorong seorang yang gendut di atas ayunan. Bandingkan dengan seorang anak kecil yang didorong pada ayunan yang sama.

Contoh soal 1 :Sebuah pendulum melakukan 40 getaran dalam 20 sekon. Hitunglah periode dan frekuensi-nya

Panduan Jawaban :a) Periode

Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran lengkap. Karena pendulum melakukan 40 getaran dalam 20 detik, maka satu getaran dilakukan selama 2 detik (40/20 = 2). Jadi T = 2 detik

b) Frekuensi

Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam satu detik. Karena satu getaran dilakukan selama 2 detik, maka dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran. Kita juga menghitungkan menggunakan persamaan di bawah :

Jadi dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran lengkap.

Contoh soal 2 :a) Hitunglah panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik

b) Berapa periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter ?

Anggap saja percepatan gravitasi (g) = 10 m/s2

Panduan jawaban :a) Panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik

Karena jam berdetak sekali perdetik, maka kita bisa menganggap jam melakukan satu getaran selama satu detik (T= 1 sekon).

Untuk menentukan panjang pendulum, kita menggunakan persamaan :

Jadi panjangnya 0,25 meter (tidak tepat 0,25 meter karena dipengaruhi oleh faktor pembulatan).b) Periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter ?

Periode getaran-nya adalah 0,99 sekon (hasilnya tidak tepat = 0,99 sekon karena dipengaruhi oleh faktor pembulatan)

Persamaan Posisi, Kecepatan dan Percepatan padaGHSPada pokok bahasan mengenai hubungan antara GMB dan GHS, kita telah melihat keterkaitan antara GMB dan GHS, di mana Gerak Harmonik Sederhana dipandang sebagai suatu komponen Gerak Melingkar Beraturan atau sebaliknya, Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik sederhana yang saling tegak lurus. Sekarang dengan menggunakan lingkaran acuan, mari kita selidiki persamaan yang menyatakan posisi, kecepatan dan percepatan benda bermassa yang melakukan GHS sebagai fungsi waktu.

PERSAMAAN POSISI SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS

Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.

Karena benda melakukan gerak melingkar dengan kecepatan sudut omega , di mana hubungan antara kecepatan sudut omega dan besar sudut simpangan teta dinyatakan dengan persamaan :

Di mana teta dinyatakan dalam radian. (bandingkan dengan s = vt pada gerak lurus)Kita subtitusikan nilai teta pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :

Ini adalah persamaan posisi sebagai fungsi waktuDalam hubungan dengan frekuensi, kecepatan sudut omega dapat juga dinyatakan dengan persamaan :

Di mana f adalah frekuensi. (kita telah mempelajari hal ini pada Pokok Bahasan Besaran-besaran fisis gerak melingkar beraturan)Nah, sekarang kita subtitusikan nilai omega ke dalam persamaan 3 :

Persamaan 3a, 3b dan 3c merupakan persamaan posisi sebagai fungsi waktu pada Gerak Harmonik Sederhana.

Grafik posisi sebagai fungsi waktuPosisi sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini

Pada saat t = 0, benda berada pada simpangan sejauh +A (A alias amplitudo). Tanda positif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kanan atau bagian atas titik setimbang nol.

Pada saat t = T, benda berada pada posisi setimbang (A = 0).

Pada saat t = T, benda berada pada simpangan sejauh -A. Tanda negatif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kiri titik acuan nol.

Pada saat t = T, benda kembali berada di posisi setimbang (A = 0). Jadi benda bergerak kembali dari simpangan sejauh -A menuju titik setimbang.

Pada saat t = T, benda berada lagi di timpangan sejauh +A, posisi di mana benda pertama kali mulai bergerak. Demikian deterusnya, benda bergerak bolak balik dan membentuk kurva cosinus. Posisi benda dapat kita hitung dengan persamaan

Kita menggunakan persamaan ini karena gerakan benda membentuk kurva cosinus.

Pada grafik di atas, benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A sehingga gerakan benda tersebut membentuk kurva cosinus. Apabila benda mulai bergerak dari posisi setimbang (A = 0), maka gerakan benda tersebut membentuk kurva sinus.

Jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang (x = 0) sehingga membentuk kurva sinus, bagaimana dengan persamaan untuk menghitung posisi benda ?

Kita menggunakan persamaan :

Jadi jangan terpaku dengan persamaan di atas. Tergantung benda bergerak dari mana. Apabila benda mulai bergerak dari simpangan sejauh A (amplitudo) maka kita menggunakan persamaan cosinus di atas. tapi jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang, kita menggunakan persamaan sinus. bisa dipahami ya ? dibaca kembali secara perlahan-lahan biar dirimu memahami penjelasan GuruMuda.Sekarang kita lanjut ke persamaan kecepatan.

PERSAMAAN KECEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHSSekarang mari kita tinjau persamaan kecepatan pada GHS. Kita tetap menggunakan bantuan lingkaran acuan untuk menurunkan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu. Kita tinjau lagi sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah

v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris.

Pada gambar di atas, tampak bahwa besar vx = v sin teta, di mana arah vx menuju ke kiri. Karena kecepatan termasuk besaran vektor, maka kita tulis kembali persamaan vx menjadi :

Bagaimana dengan besar v ?

Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, maka kelajuan linearnya sama dengan keliling lingkaran dibagi periode. Secara matematis ditulis :

Kecepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini

Cara membaca grafik ini sangat gampang Grafik di atas mengatakan bahwa pada saat t = 0, kecepatan benda = 0.

Pada saat t = T, kecepatan benda menjadi menjadi -v (kecepatan maksimum). Tanda negatif menunjukkan bahwa arah kecepatan ke kiri atau ke bawah jika kita tetapkan posisi setimbang adalah 0 pada sumbu koordinat xy. Karena kecepatan benda bernilai negatif maka bisa dipastikan benda sedang berada pada posisi setimbang. jadi dari grafik di atas tampak bahwa benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang (A = 0).

Pada saat t = T kecepatan benda = 0. Benda sekarang berada pada simpangan sejauh -A. Ingat bahwa ketika mencapai simpangan maksimum, kecepatan benda = 0 dan sekarang benda akan berbalik arah.

Pada saat t = T, benda bergerak dengan kecepatan maksimum. Dari grafik, kita tahu bahwa kecepatan benda bernilai positif, sehingga bisa disimpulkan benda sedang bergerak ke kanan dan saat ini berada pada posisi setimbang. sekali lagi ingat bahwa ketika berada pada posisi setimbang, benda memiliki kecepatan maksimum.

Pada saat t = T, kecepatan benda = 0. nah, sekarang benda berada pada simpangan sejauh +A (benda berada di sebelah kanan posisi setimbang). sekarang benda telah melakukan satu getaran lengkap. Selanjutnya benda akan bergerak lagi ke posisi setimbang. demikian seterusnya

Untuk menghitung kecepatan benda sepanjang kurva di atas, kita menggunakan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu yang telah diturunkan di atas, yakni :

Mengapa menggunakan sinus ? coba dirimu baca kembali pembahasan mengenai persamaan simpangan GuruMuda telah menyinggung hal tersebut..

PERSAMAAN PERCEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHSPersamaan percepatan sebagai fungsi waktu kita turunkan dari Hukum II Newton :

Kita subtitusikan besar gaya total (sigma F) pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :

Persamaan 3a dan persamaan 3b adalah persamaan percepatan sebagai fungsi waktu.

Grafik percepatan sebagai fungsi waktu Percepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini

Bagaimana membaca grafik ini ?

Pada saat t = 0, percepatan benda bernilai maksimum. Ingat lagi persamaan yang telah kita turunkan tadi

Sesuai dengan grafik di atas, percepatan benda bernilai negatif. ini berarti benda sedang bergerak ke kiri atau ke bawah dan benda berada pada posisi setimbang.

Pada saat t = T, percepatan benda = 0. benda sekarang sedang berada pada simpangan sejauh -A. Pada saat berada pada simpangan maksimum, kecepatan benda bernilai nol sesaat, sehingga percepatannya juga nol. Pada posisi ini benda mulai berbalik arah menuju ke kanan.

Pada saat t = T, percepatan bernilai maksimum. Tanda negatif menunjukkan bahwa arah percepatan ke kanan. Saat ini benda sedang berada di posisi setimbang

Pada saat t = T, percepatan bernilai nol. Benda sedang berada pada simpangan sejauh +A.

Pada saat t = T, percepatan benda kembali bernilai maksimum (percepatan benda negatif). jadi benda sedang bergerak ke kiri dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang. pada saat t = T, benda telah melakukan satu getaran lengkap. demikian seterusnya.

Catatan : penurunan rumus yang bertele-tele di atas hanya mau menujukkan dari mana asal rumus tersebut. Pada akhirnya dalam setiap soal hitungan, kita menggunakan rumus final. Jadi dirimu jangan bingung dengan rumus yang banyak di atas. pahami saja proses penurunannya lalu sering-sering latihan soal sehingga rumus final otomatis diingat. Sttt Jangan pake hafal