UNIVERSIDAD POLITCNICA SALESIANA

Nombre: Carlos BohrquezMateria: Fsica ModernaRESMENMecnica cunticaLamecnica cuntica, -tambinfsica cuntica-, es la ciencia que tiene por objeto el estudio y comportamiento de la materia a escalareducida. El estudio de fenmenos a escala microscpica mediante las hiptesis de la cuantizacin de la energa y la dualidad onda-partcula fue desarrollado bajo el nombre de Mecnica Cuntica alrededor de 1925-1926. A partir de 1930 la mecnica cuntica se aplic con mucho xito a problemas relacionados con ncleos atmicos, molculas y materia en estado slido. La mecnica cuntica hizo posible comprender un extenso conjunto de datos, de otra manera enigmticos. Sus predicciones han sido de una exactitud notable. La Mecnica Cuntica es una de las grandes teoras de la Fsica del siglo XX, que explicar fenmenos que contradecan las predicciones de la Fsica Clsica, nacida con Isaac Newton en el siglo XVIIEl nombre Mecnica Cuntica fue utilizado por primera vez por Max Born en 1924 en un paper que llevaba como ttulo: Sobre Mecnica CunticaPor qu se llama Mecnica Cuntica?Porque en esta teora, las magnitudes fsicas tales como la energa y otras cantidades importantes estn normalmente cuantizadas: (dar valores) No pueden tomar cualquier valor, sino slo ciertos valores posibles, que pueden ser determinados en experimentos o mediante complejas ecuaciones matemticas.(Einstein se refera a veces a la misma como "clculo de magia negra".)

En qu consiste?Los sistemas atmicos y las partculas elementales no se pueden describir con las teoras que usamos para estudiar los cuerpos macroscpicos (como las rocas, los carros, las casas, etc.). Esto se debe a un hecho fundamental respecto al comportamiento de las partculas y los tomos que consiste en la imposibilidad de medir todas sus propiedades simultneamente de una manera exacta. Es decir en el mundo de los tomos siempre existe una INCERTIDUMBRE que no puede ser superada. La mecnica cuntica explica este comportamiento. La mecnica cuntica trabaja con medidas muy pequeas para tener un ejemplo: El tamao de un ncleo atmico es del orden de 10^-13 centmetros, esto para nosotros es difcil de imaginar, mucho menos la interaccin de este tipo de cuerpos que son microscpicos.. Por eso lo que dice la mecnica cuntica muchas veces nos parece que no es 'lgico'. Recordemos aqu que la dimensin de un tomo es muy pequea: Tpicamente una diez millonsima de milmetro! (0,0000001 mm, equivalente a un Angstrom). Y la de un ncleo atmico es an cien mil veces menor (0,000000000001 mm, equivalente a un Fermi). Algunas fechas importantesLas ideas que posibilitaron el desarrollo de la Teora nacieron hacia fines del siglo XIX con Planck.Los aportes ms notables fueron:1900: Postulado de Planckde la radiacin del cuerpo negro.1905: Einstein da la explicacin del efecto fotoelctrico.1913: Bohr introduce el llamadoModelo de Bohrdel tomo de hidrgeno. 1924: de Broglie postula que la materia se comporta tambin como una onda1925: Pauli Postula el llamado Principio de Exclusin1926: Schrdinger introduce la Ecuacin de onda1926: Born introduce el concepto de densidad de probabidad asociado a la funcin de onda1927: Heisenberg introduce el Principio de Incertidumbre1928: Dirac introduce la ecuacin de onda relativista de la Mecnica Cunticaextensin a la ecuacin de Schodinger que describe la evolucin en el tiempo de un sistema cunticoLa formulacin general de la Teora Cuntica la realizanHeisenberg-Schrodinger y Diracentre1925 y 1926dando un Marco general para describir sistemas fsicos. La teora implica limitaciones a la precisin con que se puede caracterizar el estado de un sistema, pero realiza predicciones muy precisas sobre los valores medibles de cantidades fsicas (energa, spin, etc.) asignando valores discretos (en lugar de continuos).TRES CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE MECNICA CUNTICA

El estudio del tomo desempe un papelesencialen la crisis de la fsica y, a su vez, se convirti en la primera conquista de la mecnica cuntica surgida de dicha crisis.

Dualidad onda-corpsculoTambin llamada onda partcula resolvi una aparente paradoja, demostrando que la luz y la materia pueden, a la vez, poseer propiedades de partcula y propiedades ondulatorias.La ley de De Broglie inici el desarrollo de la fsica cuntica donde se establece que toda entidad individual(las partculas y tambin los fotones) tiene unanaturaleza dual, de modo que su comportamiento global presenta dos aspectos complementarios: ondulatorio y corpuscular. Dependiendo de la situacin predomina uno de estos dos aspectos.Principio de incertidumbre

Estas relaciones son expresin delprincipio de incertidumbre, planteado en 1927 porHeisemberg(1901-1976) que parte de los estudios de Planck y Bohr es uno de los principios fundamentales de la mecnica cuntica indica que existe un lmite en la precisin con la que podemos medir simultneamente la posicin y la velocidad de una partcula.Ecuacin de SchrdingerRepresenta la probabilidad de que el objeto sea detectado en un lugar y en un instante determinado tomando en cuenta el carcter dual de la materia.La solucin de Schrdinger fue basarse en todo lo contrario a lo de Heisenberg: s, las ondas son partculas,pero las partculas son tambin ondas. Donde Heisenberg hace nfasis en la cuantizacin,Schrdinger lo hace en la naturaleza ondulatoria.

Es importante que se entienda que la mecnica cuntica no es una ampliacin de la anterior mecnica clsica, sino una teora autnoma, cuyo campo de aplicacin se extiende all donde se poda aplicar la mecnica de Newton y tambin, por supuesto, al mbito donde las predicciones de la mecnica de Newton erraban (fsica atmica, nuclear, partculas).

Por lo tanto y en resumen que propone la mecnica cuntica:El intercambio de energa entre tomos y partculas solo puede ocurrir en paquetes de energa de cantidad discreta (Fuerzas e Interacciones) Las ondas de luz, en algunas circunstancias se pueden comportar como si fueran partculas (fotones) y viceversa.Es imposible conocer la posicin exacta y la velocidad exacta de una partcula al mismo tiempo. Este es el famoso Principio de Incertidumbre de Heisemberg.Algunas de las aplicaciones de la Mecnica Cuntica, en la actualidad, son:Los semiconductoresLos superconductoresSalud y tecnologa mdica (lser longitud de onda)Tecnologa de la informacin y telecomunicaciones (lser y fibra ptica)Las imgenes por resonancia magntica (provocando un campo magntico constante y uno oscilante en ciertos ncleos atmicos)La encriptacin Diseo de frmacos (teora molecular)Energa nuclearMetrologa (especificacin precisa de todos los patrones de medida)

Ecuaciones de Onda

Laecuacin de ondaes una importanteecuacin diferencial en derivadas parcialeslineal de segundo orden que describe la propagacin de una variedad deondas, como las ondas sonoras, las ondas deluzy las ondas en elagua. Es importante en varios campos como laacstica, elelectromagnetismoy ladinmica de fluidos. Histricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que estn en losinstrumentos musicalesfue estudiado porJean le Rond d'Alembert(1746) por primera vez,Leonhard Euler(1748),Daniel Bernoulli(1753) y Joseph-Louis Lagrange (1759). Se hallaron soluciones en diversas formas que ocasionaron discusiones por ms de veinticinco aos. Las disputas an se resolvieron en el siglo XIX.La ecuacin de onda de una onda plana de propagacin en la direccin x es:

Donde v es la velocidad de fase de la onda e y representa la variable que cambia al paso de la onda. Esta es la ecuacin de onda que aplica a una cuerda estirada o a una onda electromagntica plana. La descripcin matemtica de una onda, hace uso de las derivadas parciales.En dos dimensiones, la ecuacin de onda toma la forma:

Ondas en una Cuerda IdealLa ecuacin de onda para una onda en una cuerda ideal se puede obtener aplicando la segunda ley de Newton a un segmento infinitesimal de una cuerda.

Si se mantiene una tensin T constante en la cuerda, entonces

La segunda ley de Newton viene a ser:

La combinacin de estas dos expresiones para ngulos pequeos da:

Limitaciones a la Cuerda IdealCon objeto de aplicar la ecuacin de onda a las ondas en una cuerda, se deben cumplir ciertas condiciones. En una cuerda ideal se asume que:La cuerda es perfectamente uniforme con una masa constante por unidad de longitud, y es perfectamente elstica sin ofrecer resistencia a la flexin.La tensin de la cuerda es lo suficientemente grande para poder despreciar los efectos de la gravedad.Se supone que los pequeos segmentos de la cuerda se mueven transversalmente en un plano perpendicular a la cuerda, y que los desplazamientos y pendientes de segmentos son pequeos.Aunque estrictas, estas idealizaciones permiten el desarrollo de una ecuacin de onda que describe as las vibraciones de las cuerdas finas reales.Soluciones a las Ondas en una CuerdaOnda de propagacinUna solucin til a la ecuacin de onda para una cuerda ideal es:

Se puede demostrar la solucin a una ecuacin de onda de una dimensin, por sustitucin directa:

Estableciendo la igualdad entre las dos expresiones finales, y sacando factor comn, da:

Estas dos expresiones son iguales para todos los valores de x y t, y por tanto representa una solucin vlida si la velocidad de onda es

Parmetros de Ondas de PropagacinUna solucin de onda de propagacin a la ecuacin de onda se puede escribir de varias maneras diferentes, con diferentes opciones de los parmetros relacionados. Estos incluyen los parmetros de movimientos peridicos bsicos de amplitud, perodo y frecuencia.

Ondas estacionariasEn una cuerda ideal de longitud L, que est fijada por ambos extremos, las soluciones de la ecuacin de onda pueden tomar las formas de ondas estacionarias:C

Esta clase de solucin se puede verificar por sustitucin directa en la ecuacin de onda:

Sustituyendo:

Estas dos expresiones son iguales para todos los valores de x y t proporcionados:

Vibracin de una CuerdaEl modo de vibracin fundamental de una cuerda estirada es tal que, la longitud de onda es dos veces la longitud de la cuerda.

Aplicando las relaciones de onda bsicas, da la expresin para la frecuencia fundamental:La expresin de frecuencia se puede poner en la forma:

Ecuacin de Schrdinger

Uno de los primeros desarrollos de la mecnica cuntica fue llevado a cabo por Erwin Schrdinger en 1925 al deducir la ecuacin que obedece la funcin de onda asociada con una partcula.As como las ondas electromagnticas satisfacen la ecuacin de ondas derivada de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, la funcin de onda de Broglie satisface una ecuacin conocida como Ecuacin de Schrdinger.La ecuacin de Schrdinger desempea el papel de las leyes de Newton y la conservacin de la energa de la mecnica clsica, -es decir, predice el comportamiento futuro de un sistema dinmico-. Se trata de una ecuacin de onda en trminos de la funcin de onda, que predice analticamente y con precisin, la probabilidad de eventos o resultados. El resultado detallado no est estrictamente determinado, pero dado un gran nmero de eventos, la ecuacin de Schrdinger predice la distribucin de los resultados.

Las energas cintica y potencial se transforman en el hamiltoniano que acta sobre la funcin de onda, para generar la evolucin de la funcin de onda en el tiempo y el espacio. La ecuacin de Schrdinger da las energas cuantizadas del sistema, y da la forma de la funcin de onda, de manera que pueden ser calculadas otras propiedades.

Dependiente del Tiempo:Deduccin de la Ecuacin de Schrdinger para una Partcula LibreGuindonos por la forma de la ecuacin de ondas procedemos ahora de la siguiente manera:El tipo de ondas viajeras ms simple son las llamadas ondas planas descritas mediante la funcin

Es natural pensar que una partcula libre, tiene asociada una onda plana, por lo que podemos suponer que la funcin de onda es de la forma

Hemos visto que el nmero de ondas k y el momento de la partcula estn relacionados mediante la relacin

Tambin sabemos que la frecuencia angular w est relacionada con la frecuencia v y por lo tanto con la energa E de la siguiente manera:

La funcin de ondas por lo tanto se puede escribir como

Si derivamos dos veces la funcin de ondas con respecto a x obtenemos

Para una partcula libre la energa est relacionada con el cuadrado del momento y por lo tanto

Por otra parte para obtener la energa E podemos derivar ahora la funcin de ondas con respecto de t

De las ecuaciones anteriores se deduce la ecuacin de Schrdinger para una partcula libre

A diferencia de la ecuacin de ondas general, la ecuacin de Schrdinger solo es de primer orden en el tiempo.

Ecuacin de Schrdinger Independiente del TiempoLa ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo en una dimensin es de la forma

Donde U (x) es la energa potencial, y E representa la energa del sistema. Es fcilmente generalizada a tres dimensiones, y se utiliza a menudo con coordenadas polares esfricas.

Partcula en una cajaEn fsica, la partcula en una caja (tambin conocida como pozo de potencial infinito) es un problema que consiste de una sola partcula que rebota dentro de una caja inmvil de la cual no puede escapar, y donde no pierde energa al colisionar contra sus paredes. En mecnica clsica, la solucin al problema es trivial: la partcula se mueve en una lnea recta a una velocidad constante hasta que rebota en una de las paredes. Al rebotar, la velocidad cambia de sentido cambiando de signo la componente paralela a la direccin perpendicular a la pared y mantenindose la velocidad paralela a la pared, sin embargo, no hay cambio en el mdulo de la misma velocidad.El problema puede plantearse en cualquier nmero de dimensiones, pero el ms simple es el problema unidimensional, mientras que el ms til es el que se centra en una caja tridimensional. En una dimensin, se representa por una partcula que existe en un segmento de una lnea, siendo las paredes los puntos finales del segmento.En trminos de la fsica, la partcula en una caja se define como una partcula puntual, encerrada en una caja donde no experimenta ningn tipo de fuerza (es decir, su energa potencial es constante, aunque sin prdida de generalidad podemos considerar que vale cero). En las paredes de la caja, el potencial aumenta hasta un valor infinito, hacindola impenetrable. Usando esta descripcin en trminos de potenciales nos permite usar la ecuacin de Schrdinger para determinar una solucin. Para una partcula en el interior de la caja, es apropiada unafuncin de onda partcula libre, pero como la probabilidad de encontrar la partcula fuera de la caja es cero, la funcin de onda debe ir a cero en las paredes. Esto limita la forma de la solucin a: . Donde

y despus de la normalizacin la funcin de onda ser:

Como se menciona ms arriba, si estuviramos estudiando el problema bajo las reglas de la mecnica clsica, deberamos aplicar las leyes del movimiento de Newton a las condiciones iniciales, y el resultado sera razonable e intuitivo. En mecnica cuntica, cuando se aplica la ecuacin de Schrdinger, los resultados no son intuitivos. En primer lugar, la partcula slo puede tener ciertos niveles de energa especficos, y el nivel cero no es uno de ellos. En segundo lugar, las probabilidades de detectar la partcula dentro de la caja en cada nivel especfico de energa no son uniformes - existen varias posiciones dentro de la caja donde la partcula puede ser encontrada, pero tambin hay posiciones donde es imposible hacerlo. Ambos resultados difieren de la manera usual en la que percibimos al mundo, incluso si estn fundamentados por principios extensivamente verificados a travs de experimentos.

Deduccin de la FrmulaPara saber la ecuacin que nos muestre la Energa que contiene la partcula es necesario aplicar la ecuacin de Schrodinger. Si sabemos que la mayor longitud de onda es: y los modos superiores tienen longitudes de onda dadas por , donde n= 1,2,3,4.Cuando esto se sustituye en la relacin de De Broglie produce el momento Procedemos a resolver:

Esto indica algunas cosas importantes sobre los estados ligados de partculas:1. Las energas estn cuantizadas y pueden ser caracterizadas por un nmero cuntico n.2. La energa no puede ser exactamente cero.3. Cuanto menor es el confinamiento, ms grande es la energa necesaria.Si una partcula est confinada en un volumen rectangular, el mismo tipo de proceso se puede aplicar a una "partcula en una caja" de tres dimensiones, y se hace el mismo

tipo de aportacin de energa desde cada dimensin. Las energas para una caja tridimensional son:

EFECTO TNELHistoriaAproximadamente, en 1928,George Gamow (fsico aleman)resolvi la teora de ladesintegracin Alfa(cuado unncleo atmicoemite una partcula alfa) de losncleos atmicosa travs de las propiedades del efecto tnel. Clsicamente, la partculase encuentra confinada al ncleo debido a la ingente cantidad de energa requerida para escapar a su potencial. Asimismo, es necesario un aporte enorme de energa para desgajar el ncleo de las mismas. En mecnica cuntica, sin embargo, existe una probabilidad razonable de que la partcula atraviese el potencial enrgico descrito por el ncleo y logre escapar de la influencia del mismo. La descomposicin alpha tambin fue resuelta al mismo tiempo porRonald Gurney, fsico terico britnico (1898 1953)yEdward Condon, distinguidofsico nuclear y un pionero enmecnica cuntica (1902 1974). A partir de entonces, se consider que las partculas pueden introducirse en un tnel energtico que incluso atraviese el mismo ncleo atmico, dotando de validez completa al modelo energtico para cualquier aplicacin del "efecto tnel".Despus de la asistencia deMax Bornal seminario de Gamow, el primero reconoci las generalidades o bsicas de la mecnica del efecto. Se dio cuenta de que el "efecto tnel" no se restringa nicamente a lafsica nuclear, sino que provea un resultado general que se aplica a un conjunto muy heterogneo de sistemas que se rigen por las leyes de la mecnica cuntica.Ladesintegracin alfaodecaimiento alfaes una variante dedesintegracin radiactivapor la cual unncleo atmicoemite una partcula alfay se convierte en un ncleo con cuatro unidades menos denmero msicoy dos unidades menos denmero atmico.

Hoy en da, la teora de los tneles energticos o "efecto tnel" est siendo aplicada a la fsica de lacosmologadel universo. Sus usos estn, asimismo, derivndose a otras reas del progreso tecnolgico, como la transmisin en fro de electrones, y quiz, de forma ms importante y reconocida a la fsica desemiconductoresy superconductores. Fenmenos como la emisin de campo, vital para lasmemorias flashson dilucidados cunticamente a travs de las consecuencias del efecto tnel.Este efecto tambin es un recurso para ampliar el escape en la electrnica de Integracin a Muy Altas Escalasy resulta en el substancial poder de drenado y efecto de calentamiento que mina latecnologa mvilde alta velocidad.Gerd Binnig, en1978, acepta una oferta deIBMpara trabajar con ellos enZrich. Recibiendo elPremio Nobel de Fsicaen1986junto con su colega de la empresaHeinrich Rohrerpor inventar elmicroscopio de efecto tnel, que permite vertomosindividuales, obteniendo una imagen muy precisa de la superficie de un material.Microscopio de efecto tnelUnmicroscopio de efecto tnel(Scanning tunneling microscopeoSTM) es un instrumento para tomar imgenes de superficies a nivel atmico. Su desarrollo en 1981 hizo ganar a sus inventores,Gerd BinnigyHeinrich Rohrer(deIBMZrich), elPremio Nobel de Fsicaen 1986.Para un STM, se considera que una buena resolucin es 0.1nmde resolucin lateral y 0.01nm de resolucin de profundidad.Con esta resolucin, los tomos individuales dentro de los materiales son rutinariamente visualizados y manipulados. El STM puede ser usado no solo en ultra alto vaco, sino que tambin en aire, agua, y varios otros lquidos o gases del ambiente, y a temperaturas que abarcan un rango desde casicero Kelvinhasta unos pocos cientos de grados Celsius.El STM est basado en el concepto deefecto tnel. Cuando una punta conductora es colocada muy cerca de la superficie a ser examinada, unacorriente de polarizacin(diferencia de voltaje) aplicada entre las dos puede permitir a los electrones pasar al otro lado mediante efecto tnel a travs del vaco entre ellas.La informacin es adquirida monitoreando la corriente conforme la posicin de la punta escanea a travs de la superficie, y es usualmente desplegada en forma de imagen. La microscopa de efecto tnel puede ser una tcnica desafiante, ya que requiere superficies extremadamente limpias y estables, puntas afiladas, excelente control de vibraciones, y electrnica sofisticada.

Efecto tnel en la Mecnica cunticaEn nuestra vida cotidiana nos enfrentamos ante situaciones en las que nos enfrentamos a la cruda realidad de que hay barreras energticas que no podemos superar. Si yo intento pasar de un lado a otro de un edificio saltndolo muy posiblemente no lo consiga. Enmecnica cuntica, elefecto tneles un fenmeno nanoscpico por el que una partcula viola los principios de lamecnica clsica penetrando unabarrera de potencialoimpedanciamayor que laenerga cinticade la propia partcula. Una barrera, en trminos cunticos aplicados al efecto tnel, se trata de una cualidad delestado energticode la materia anlogo a una "colina" o pendiente clsica, compuesta por crestas y flancos alternos, que sugiere que el camino ms corto de un mvil entre dos o ms flancos debe atravesar su correspondiente cresta intermedia. Si el objeto no dispone deenerga mecnicasuficiente como para atravesar la barrera, la mecnica clsica afirma que nunca podr aparecer en un estado perteneciente al otro lado de la barrera.

Efecto tnel a travs de una barrera de energa potencial

Por tanto, una partcula puede penetrar en una pared de potencial, algo imposible segn la fsica clsica. Una partcula puede penetrar una distancia (pequea), aunque la probabilidad de encontrar a la partcula en ese lugar disminuye segn se profundiza.El efecto tnel es, bsicamente, que un electrn "atraviese" una barrera de energa. Si bien no es exactamente que una pelota atraviese una pared, esa sera una analoga.As, un electrn no podra saltar a una zona con un nivel de energa mayor al que este tiene, porque las aproximaciones newtonianas no lo permiten, pero la ecuacin de Shrdinger y el punto de vista cuntico dejan que haya una cierta probabilidad de que el electrn se encuentre al otro lado.

Clsicamente, la partcula sera reflejada por la barrera. Si la partcula debiera existir en la regin II, su energa cintica sera negativa, lo cual no es permitido desde el punto de vista clsico. En consecuencia, la regin II, y por tanto la regin III, son clsicamente prohibidas para la partcula que incide desde la izquierda. Sin embargo, segn la mecnica cuntica, todas las regiones son accesibles a la partcula, cualquiera que sea su energa. (Aun cuando todas las regiones son accesibles, la probabilidad de que la partcula se encuentre en una regin clsicamente prohibida es muy baja) Planteando esta situacin con una representacin matemtica. La ecuacin de Schrdinger tiene soluciones vlidas en las regiones I, II y III. Las soluciones en las regiones I y III son sinusoidales, como en la ecuacin.

La ecuacin a resolver es la siguiente:

Cuya solucin, vimos en la entrada anterior, es una combinacin de seno y coseno. La combinacin de seno y coseno, por la frmula de Euler, es equivalente a una funcin exponencial imaginaria, y ms til para el anlisis que sigue. As, la funcin de onda se puede expresar de forma general como:

Tal como vimos anteriormente, k (el vector de onda) est relacionado con el momento cintico, y por tanto, el sentido en que se desplaza la partcula. Un signo + significa que se desplaza en el sentido creciente de x (va de izquierda a derecha). El signo describe un movimiento en sentido contrario. Tal como se ha planteado el dibujo, estamos en el primer caso, es decir, el electrn se desplaza de izquierda a derecha, situacin que en la funcin de onda describe el primer trmino(k positivo). Por tanto, en nuestro caso concreto, se debe escoger B=0 para anular el segundo trmino.Veamos ahora las dos regiones del espacio que delimita el escaln. A la izquierda, (E-V) es una cantidad positiva,(energa total mayor que la potencial), y la ecuacin de onda representa a un electrn libre (una exponencial imaginaria, o una combinacin de funciones seno y coseno). En cambio, en la zona derecha, (E-V) es negativo (energa menor que la energa potencial), el vector de onda es imaginario, y la funcin de onda representa una exponencial real decreciente. Es decir, an siendo una zona prohibida segn la fsica clsica, en la mecnica cuntica una partcula puede existir en esa zona, pero con una probabilidad cada vez menor, segn se profundiza en la pared.La distancia que puede penetrar un electrn en la zona prohibida antes de que su probabilidad sea prcticamente nula, depende de la diferencia entre su energa y el valor del potencial. Cuanto mayor sea la diferencia E-V, ms rpidamente cae la probabilidad. En el caso extremo en que V tiende a infinito, la profundidad de penetracin tiende a cero, es decir, el electrn no entrar en la pared (tal como se asumi cuando hablbamos del pozo cuntico).

La probabilidad del efecto tnel

La probabilidad del efecto tnel se puede describir con un coeficiente de transmisin T y un coeficiente de reflexin R.T representa la probabilidad de que la partcula penetre al otro lado de la barrera.R es la probabilidad de que la partcula sea reflejada por la barrera. El secreto est en que cuando la partcula descrita por la funcin de onda se encuentra con la barrera de potencial, la funcin de onda inicial se parte en dos contribuciones: Parte reflejada + Parte transmitida.

Puesto que la partcula incidente, es reflejada o transmitida, se requiere que T + R = 1. Una expresin aproximada para el coeficiente de transmisin que se obtiene cuando T > E)