BAB I

PENDAHULUAN

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat untuk mencerninkan dan

meliputi sifat alami matematika. Filsafat matematika meliputi pernyataan-pernyataan

seperti apa yang merupakan dasar untuk pengetahuan matematika? Apa sifat

kebenaran matematika? Apa ciri-ciri dari kebenaran matematika? Apa pertimbangan

atas peryataan berikut? Mengapa kebenaran matematika, kebenarannya diperlukan?

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-

anggapan filsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat

matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan

untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia.

Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari

pernyataan yang ingin kita sampaikan, lambang-lambang matematika bersifat

artifisial yang baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya, tanpa

itu maka matematika hanya merupakan kumpulan rumus-rumus yang mati.

Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafati tentang pendidikan.

Dapat mengkonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat pula pada ilmu pendidikan.

Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dibicarakan adalah cita-cita, bentuk dan

metode serta hasil proses belajar itu. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang

menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide dan metode yang digunakan dalam

menelaah ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang

membicarakan proses pendidikan matematika.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Filsafat Matematika

Tujuan utama dari bab ini adalah untuk menguraikan secara terperinci dan

mengeritik prespektif epistemologi dominan dari matematika. Penganut kemutlakan

memandang bahwa kebenaran matematika adalah mutlak. Bahwa matematika adalah

satu dan satu-satunya dunia pengetahuan yang tertentu, objek dan yang tidak

diragukan lagi.

Dibanding dengan sangat berlawanan yang menandang bahwa kebenaran

matematika adalah dapat dibenarkan dan tidak pernah dihormati sebagai hal yang

direvisi dan koreksi.

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat untuk mencerninkan dan

meliputi sifat alami matematika. Filsafat matematika meliputi pernyataan-pernyataan

seperti apa yang merupakan dasar untuk pengetahuan matematika? Apa sifat

kebenaran matematika? Apa ciri-ciri dari kebenaran matematika? Apa pertimbangan

atas peryataan berikut? Mengapa kebenaran matematika, kebenarannya diperlukan?

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-

anggapan filsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika . Tujuan dari filsafat

matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan

untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia.

2.2 Matematika

Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari

pernyataan yang ingin kita sampaikan, lambang-lambang matematika bersifat

artifisial yang baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya, tanpa

itu maka matematika hanya merupakan kumpulan rumus-rumus yang mati.

Bahasa verbal mempunyai beberapa kekurangan untuk mengatasi kekurangan

yang terdapat pada bahasa verbal, kita berpaling pada matematika. Dalam hal ini kita

katakan bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat

mejemuk dan emosional dari bahasa verbal, matematika mengembangkan bahasa

numeric yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif

sementara dalam bahasa verbal kita hanya bisa membandingkan objek yang

berlainan. Umpamanya gajah dan semut maka kita hanya bisa mengatakan bahwa

gajah itu lebih besar dari semut. berbeda halnya dengan matematika kita bisa

menelusuri lebih jauh seberapa besar gajah dengan mengadakan pengukuran.

Matematika merupakan pengetahuan dan sarana berpikir deduktif. Bahasa

yang digunakan adalah bahasa artificial yakni bahasa buatan, keistimewaan bahasa ini

adalah terbebas asfek emotif dan efektif serta jelas kelihatan bentuk hubungannya.

Matematika lebih mementingkan bentuk logisnya. Pertanyaan-pertanyaan mempunyai

sifat yang jelas. Pola berpikir deduktif banyak digunakan baik dalam bidang ilmiah

maupun bidang lain yang merupakan proses pengambilan kesimpulan yang di

dasarkan pada premis-premis yang kebenarnnya telah ditentukan, misalnya jika

diketahui A termasuk dalam lingkaran B sedangkan B tidak ada hubungan dengan C

maka A tidak ada hubungan dengan C.

2.3 Ontologi Matematika

Ontologi merupakan salah satu kajian kefilsafatan yang paling kuno dan

berasal dari Yunani. Studi tersebut membahas keberadaan sesuatu yang bersifat

konkret. Tokoh Yunani yang memiliki pandangan yang bersifat ontologis dikenal

seperti Thales, Plato, dan Aristoteles . Pada masanya, kebanyakan orang belum

membedaan antara penampakan dengan kenyataan. Thales terkenal sebagai filsuf

yang pernah sampai pada kesimpulan bahwa air merupakan substansi terdalam yang

merupakan asal mula segala sesuatu. Namun yang lebih penting ialah pendiriannya

bahwa mungkin sekali segala sesuatu itu berasal dari satu substansi belaka (sehingga

sesuatu itu tidak bisa dianggap ada berdiri sendiri).

Hakekat kenyataan atau realitas memang bisa didekati ontologi dengan dua

macam sudut pandang:

1. Kuantitatif, yaitu dengan mempertanyakan apakah kenyataan itu tunggal atau

jamak?

2. Kualitatif, yaitu dengan mempertanyakan apakah kenyataan (realitas) tersebut

memiliki kualitas tertentu, seperti misalnya daun yang memiliki warna kehijauan,

bunga mawar yang berbau harum.

Secara sederhana ontologi bisa dirumuskan sebagai ilmu yang mempelajari

realitas atau kenyataan konkret secara kritis.

Beberapa aliran dalam bidang ontologi, yakni realisme, naturalisme,

empirisme. Istilah istilah terpenting yang terkait dengan ontologi adalah:

yang-ada (being)

kenyataan/realitas (reality)

eksistensi (existence)

esensi (essence)

substansi (substance)

perubahan (change)

tunggal (one)

jamak (many)

Ontologi ini pantas dipelajari bagi orang yang ingin memahami secara menyeluruh

tentang dunia ini dan berguna bagi studi ilmu-ilmu empiris (misalnya antropologi,

sosiologi, ilmu kedokteran, ilmu budaya, fisika, ilmu teknik dan sebagainya).

2.4 Hubungan Matematika Dengan Filsafat

Secara filosofis bisa dilihat ketika dunia Islam dalam keemasan, banyak

orang-orang Eropa (Barat) pada umumnya, sekitar kurang lebih abad pertengahan,

negara-negara Barat mengalami kegelapan dan kemunduran, setelah beberapa saat

mengalami kemajuan dibidang filsafat-khususnya di negara Yunani-diawal abad

Masehi. Alam pikir mereka cenderung mengarah pada profanistik. Sehingga Barat

harus mengakui kemundurannya.

Kemajuan yang terjadi didunia Islam, ternyata memiliki daya tarik tersendiri

bagi mereka orang-orang Barat. Maka pada masa seperti inilah banyak orang-orang

Barat yang datang ke dunia Islam untuk mempelajari filsafat dan ilmu pengetahuan.

Kemudian hal ini menjadi jembatan informasi antara Barat dan Islam. Dari

pemikiran-pemikiran ilmiah, rasional dan filosofis, atau bahkan sains Islam mulai

ditransfer ke-daratan Eropa. Kontak antara dunia Barat dan Islam pada lima Abad

berikutnya ternyata mampu mengantarkan Eropa pada masa kebangkitannya kembali

(renaisance) pada bidang ilmu pengetahuan dan filsafat. Selanjutnya berkembang

pada era baru yaitu era-modern.

Pada era-modern kali ini pun ilmu filsafat yang dijadikan sebagai ilmu

pengetahuan yang dapat merubah paradigma berfikir manusia mengalami

perkembangan. Hal ini dikarenakan sifat berfikir kritis yang dilakukan para filosof

tak terkecuali filosof atau ilmuwan sains dan matematika yang mampu melahirkan

ide-ide dan metode pembelajarannya.

Oleh karena itu filsafat umum dan filsafat matematika dalam sejarahnya

adalah saling melengkapi. Filsafat matematika saling bersangkut-paut dengan   fungsi

dan struktur teori-teori matematika.teori-teori tersebut terbebas dari asumsi-asumsi

spekulatif atau metafisik.

Filsuf matematika yang dikenal adalah Phytagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz

dan Kant. Adapaun pemikiran atau pandangan mereka terhadap ilmu matematika

yaitu :

Pandangan Plato

Bagi plato yang penting adalah tugas akal untuk membedakan tampilan

(penampakan) dari realita (kenyataan) yang sebenar-benarnya. Menurutnya

ketetapan abadi/permanent, bebas untuk dipahami adalah hanya merupakan

karakteristik pernyataan-pernyataan matematika. Plato yakin bahwa terdapat

objek-objek yang permanent, tertentu bebas dari pikir yang anda sebut “satu”,

“dua”, “tiga” dan sebagainya. Bagi Plato Matematika bukanlah idealisasi aspek-

aspek tertentu yang bersifat empiris akan tetapi sebagai deskripsi dari bagian

realitanya.

Aristoteles

Menolak pembedaan Plato antara dunia ide yang disebutnya realita kebenaran,

Aristotheles menekankan menemukan ‘dunia ide’ yang permanent dan merupakan

realita daripada ‘abstraksi’ dari ‘apa’ yang tampak.

Leibniz

Leibniz setuju dengan Aristhoteles, bahwa setiap proposisi didalam analisis

terakhir berbentuk subjek-predikat. Konsep Leibniz tentang bidang study

matematika murni sangat berbeda dengan pandangan Plato dan aristotheles karena

menurutnya semua boleh mengatakan bahwa proposisi-proposisi adalah perlu

benar untuk semua objek, semua kejadian yang mungkin, atau dengan

menggunakan phrasenya yaitu ‘dalam semua dunia yang mungkin’.

Kant

Kant membagi proposisi ke dalam tiga kelas :

1. Proposisi Analitis

2. Proposisi sintet

3. Proposisi Aritmatika dan geometri murni.

Phytagoras

Doktrin Phytagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapat

memiliki representative matematika yang identik (cahaya,magnet,listrik dapat

mempunyai persamaan diferensial yang sama).

Untuk perkembangan selanjutnya filsafat matematika pun merambah kepada

filsafat pendidikan matematika akan tetapi sebelum membahas ke filsafat pendidikan

matematika kita akan membahas terlebih dahulu filsafat pendidikan.

Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafati tentang pendidikan.

Dapat mengkonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat pula pada ilmu pendidikan.

Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dibicarakan adalah cita-cita, bentuk dan

metode serta hasil proses belajar itu. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang

menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide dan metode yang digunakan dalam

menelaah ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang

membicarakan proses pendidikan matematika.

Filsafat pendidikan matematika mempersoalkan permasalahan-permasalahan

sebagi berikut :

1. Sifat-sifat dasar matematika

2. Sejarah matematika

3. Psikologi belajar matematika

4. Teori mengajar matematika

5. Psikologis anak dalam kaitannya dengan pertumbuhan konsep matematis.

6. Pengembangan kurikulum matematika sekolah

7. Penerapan kurikulum matematika di sekolah.

2.5 Pandangan Penganut Kemutlakan dari Pengetahuan Matematika

Pandangan penganut kemutlakan dari Pengetahuan matematika adalah bahwa

hal itu terdiri dari kepastian dan kebenaran yang tidak menantang. Menurut

pandangan ini, pengetahuan matematika terdiri dari kebenaran mutlak, dan

menghadirkan kenyataan yang unik dari pengetahuan tertentu, terlepas dari logika

dan pernyataan kebenaran berdasarkan arti istilah, seperti ‘semua bujangan adalah

yang belum menikah ‘.

Banyak filsuf, baik modern dan tradisional, berpegang pada pandangan

absolutis pengetahuan matematika. Dengan demikian, menurut Hempel:

Validitas matematika berasal dari ketentuan yang menentukan

Makna dari konsep-konsep matematika, dan bahwa proposisi dari matematika adalah

hal yang penting atau defenisi dari kebenaran.

(Feigl dan Sellars, 1949, page225)

Pendukung lain kepastian matematika AJAyer yang mengklaim berikut.

Sedangkan generalisasi ilmiah adalah mudah mengakui menjadi keliru, kebenaran

Matematika dan logika muncul untuk semua orang untuk menjadi perlu dan pasti.

Kebenaran logika dan matematika analitis proporsi atau tautologies.

Kepastian suatu proposisi apriori tergantung pada kenyataan bahwa mereka

tautologies. Sebuah proposisi [adalah] sebuah tautologi jika analitis. Sebuah

propotion adalah analitik jika benar Semata-mata keutamaan makna dari simbol-

simbol consistituent, dan kucing tidak Oleh karena itu berupa dikonfirmasi dari

disanggah oleh fatc pengalaman. Ayer, 1946, pages72, 77and 16, reppectively)

Metode yang deduktif memberikan surat perintah untuk pernyataan

pengetahuan matematika. Alasan untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika)

benar-benar memberikan pengetahuan tertentu, itu adalah kebenaran, karena itu

sebagai berikut. Pertama-tama, pernyataan dasar yang digunakan dalam bukti-bukti

yang dianggap benar. Aksioma matematis diasumsikan benar, untuk tujuan

pengembangan sistem yang sedang dipertimbangkan, mathematicaldefinitions yang

benar oleh fiat, dan aksioma logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan-aturan

inferensi logis melestarikan kebenaran, yang memungkinkan mereka tidak lain

hanyalah kebenaran yang disimpulkan dari kebenaran.

Berdasarkan kedua fakta, setiap pernyataan dalam deduktif bukti, termasuk

kesimpulan, adalah benar. Jadi, karena semua teorema matematika didirikan oleh alat

bukti deduktif, mereka semua kebenaran tertentu. Ini merupakan dasar dari banyak

filsuf klaim bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran tertentu.

Pandangan absolutis ini pengetahuan matematika isbesad pada dua jenis asumsi:

orang matematika, asumsi mengenai aksioma anddefinitions, dan orang-orang dari

logika mengenai asumsi aksioma, aturan-aturan formal inferencend bahasa dan

sintaks. Ini adalah mikro-lokal atau asumsi. Ada juga kemungkinan global atau

asumsi-asumsi makro, seperti apakah deduksi logis sudah cukup untuk menetapkan

semua kebenaran matematika. Saya akan kemudian berpendapat bahwa masing-

masing asumsi klaim weakeng kepastian untuk matematika knowlegde.

Pandangan absolutis matematika knowligde mengalami masalah pada awal

abad kedua puluh ketika sejumlah kontradiksi antinomies dan diturunkan dalam

matematika (Kline, 1980; kneebone, 1963; liar, 1965). Dalam serangkaian publikasi

Gottlob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh yang paling ketat perumusan logika

matematika dikenal waktu itu, sebagai landasan untuk pengetahuan matematika.

Russell (1902), bagaimanapun, mampu menunjukkan bahwa sistem Frege tidak

konsisten. Masalahnya terletak pada Kelima Frege Undang-Undang Dasar, yang

memungkinkan satu set untuk dapat dibuat dari perluasan konsep apapun, dan untuk

konsep-konsep atau properti yang akan diterapkan untuk mengatur ini (Furth, 1964).

Russell diproduksi-nya yang terkenal paradoks dengan mendefinisikan properti of'not

menjadi unsur itu sendiri. Hukum Frege memungkinkan perluasan properti ini

dianggap sebagai satu set. Tapi kemudian menetapkan ini adalah elemen itu sendiri

jika, dan hanya jika, tidak; acontradiction. Frege hukum tidak dapat dijatuhkan tanpa

serius melemahnya sistem nya, namun hal itu tidak bisa dipertahankan.

Kontradiksi lain juga muncul dalam teori set dan teori fungsi. Temuan-temuan

seperti memiliki, tentu saja, makam implikasi bagi pandangan absolutis pengetahuan

matematika. Sebab matematika yang pasti, dan semua teorema yang pasti, bagaimana

bisa kontradiksi (yaitu, dusta) harus di antara para teorema? Karena tidak ada misteke

tentang munculnya kontradiksi-kontradiksi ini, pasti ada yang salah dalam dasar

matematika. The outcame dari krisis ini adalah pengembangan dari sejumlah sekolah

dalam filsafat matematika yang bertujuan adalah untuk menjelaskan sifat dari

pengetahuan matematika dan untuk membangun kembali yang pasti. Tiga sekolah

utama yang dikenal sebagai logicism, formalisme dan konstruktivisme (termasuk

intuisionisme). Prinsip-prinsip mazhab ini dan belum sepenuhnya berkembang

sampai abad kedua puluh, tapi Korner (1960) menunjukkan bahwa akar filosofis

mereka dapat ditelusuri kembali setidaknya sejauh Leibniz dan Kant.

a. logicism

logicism adalah aliran pemikiran yang menganggap matematika murni

sebagai bagian dari logika. Pendukung utama pandangan ini adalah G. Leibniz, G.

Frege (1893), B. Russell (1919), ANWhitechead dan R. Carnap (1931). Di tangan

Bertrand Russell klaim logicism receved yang paling jelas dan eksplisit perumusan.

Ada dua klaim:

1. Semua konsep matematika pada akhirnya dapat direduksi menjadi konsep-konsep

logis, asalkan ini diambil untuk memasukkan konsep teori himpunan atau

beberapa smilar sistem kekuasaan, seperti teori Russell jenis

2. Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan inferensi

logika sendiri.

Tujuan dari klaim ini adalah jelas. Jika semua dapat matematika murni

axpressed dalam istilah logis dan terbukti dari logika sendiri, maka kepastian

pengetahuan matematika dapat dikurangi dengan logika. Logika dianggap untuk

memberikan landasan untuk kebenaran tertentu, terlepas dari terlalu ambisius upaya

untuk memperluas logika, seperti Frege hukum kelima. Jadi, jika dilakukan demikian,

program logicist akan memberikan dasar logis tertentu untuk pengetahuan

matematika, membangun kembali inmathematics kepastian mutlak.

Whitehead dan Russel (1910-13) mampu mendirikan pertama dari dua klaim melalui

rantai definisi. Namun logicism karam di klaim kedua. Matematika membutuhkan

non-logis aksioma seperti aksioma infinty (produk yang cartesain keluarga non-

empaty set itu sendiri tidak kosong) Russell expressedit dirinya sebagai berikut.

Tetapi meskipun semua logis (atau matematika) proposisi dapat dinyatakan

sepenuhnya.

Dalam jangka konstanta logis bersama-sama dengan variabel, bukan kasus itu,

Sebaliknya, semua proporsi yang dapat dinyatakan dalam cara ini adalah logis.

Fouds sejauh yang diperlukan tetapi tidak cukup kriteria dari gagasan primitif

Persyaratan yang semua ide-ide matematika dapat didefinisikan, tetapi tidak dari

Proposisi primitif dari mana semua proposisi matematika dapat

Menyimpulkan. Ini adalah masalah yang lebih sulit, karena untuk yang belum

diketahui apa yang Kendali Jawabannya adalah.

Kita dapat mengambil aksioma infinity sebagai contoh dari proposisi yang,

walaupun dapat diucapkan dalam istilah logis, tidak dapat dinyatakan oleh logika

benar. (Russell, 1919, halaman 202-3, penekanan asli) Dengan demikian tidak semua

teorema matematika dan karenanya tidak semua truthsof matematika dapat

diturunkan dari aksioma logika sendiri. Ini berarti bahwa aksioma matematika tidak

alimimable mendukung logika tersebut. Teorema matematika dapat diminimalkan

bergantung pada seperangkat asumsi matematis. Memang, anumber dari aksioma

matematika yang penting adalah independen, dan baik mereka atau mereka dapat

adolted negasi, tanpa ketidakkonsistenan (Cohen, 1966). Jadi klaim kedua adalah

logicism ditentang.

Untuk mengatasi masalah ini Russell mundur Toa versi yang lebih lemah

logicism dipanggil jika-thenism ', yang menyatakan bahwa matematika murni terdiri

dari pernyataan implikasi from'AT'. Menurut pandangan ini, seperti sebelumnya,

matematika adalah kebenaran teorema oleh establisthed sebagai bukti-bukti logis.

Setiap thesetheorems (T) menjadi konsekuensi dalam sebuah pernyataan implikasi.

Gabungan dari matematika axioms9A) yang digunakan dalam pembuktian

dimasukkan ke dalam pernyataan sebagai theimplication yg di atas (lihat Carnap,

1931). Jadi semua asumsi matematika (A) di mana teorema 9T) depensare sekarang

dimasukkan ke dalam baru dari dari teorema (AT), menghindarkan kebutuhan

aksioma matematika.

Kecerdasan ini jumlah untuk sebuah pengakuan bahwa matematika adalah

sebuah sistem hypotheticodeductive, di mana konsekuensi dari aksioma diasumsikan

set dieksplorasi, tanpa menyatakan kebenaran niscaya mereka. Sayangnya, perangkat

ini juga mengarah pada kegagalan, karena tidak semua kebenaran matematika, seperti

aritmatika as'Peano konsisten, 'dapat dinyatakan dengan cara ini pernyataan

asimplications, sebagai Machover (1983) berpendapat.

Keberatan yang kedua, yang terus terlepas dari validitas dari dua logicist

klaim, merupakan alasan utama untuk penolakan dari formalisme. Ini adalah teorema

ketidaklengkapan Godel, yang menetapkan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk

menunjukkan semua kebenaran matematika. Maka pengurangan sukses aksioma

matematika logika orang-orang masih tidak cukup untuk derivasi dari semua

kebenaran matematika.

Ketiga yang mungkin keberatan menyangkut kepastian dan kehandalan logika

yang mendasarinya. Hal ini tergantung pada unexarmined dan, seperti yang akan

berpendapat, asumsi tidak berdasar. Dengan demikian program logicist mengurangi

kepastian pengetahuan matematika dengan logika gagal dalam prinsip. Logika tidak

memberikan dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.

b. formalisme

Dalam istilah populer, formalisme adalah pandangan bahwa matematika

adalah permainan yang dimainkan meaninglees formal dengan tanda-tanda di atas

kertas, aturan berikut. Jejak-jejak filsafat yang formalis matematika dapat ditemukan

dalam tulisan-tulisan Uskup Berkeley, tapi pendukung utama formalis adalah David

Hilbert (1925) awal J. von Neumann (1931) dan H. Curry (1951). Hilbert's formalis

program matematika bertujuan untuk menerjemahkan ke dalam sistem formal

ditafsirkan. Dengan sarana terbatas namun bermakna meta-matematika sistem formal

itu harus ditunjukkan sebagai memadai untuk matematika, oleh mitra resmi yang

berasal dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika, meskipun

bukti-bukti konsistensi.

Tesis yang formalis terdiri dari dua klaim.

1. Matematika murni dapat dinyatakan sebagai ditafsirkan sistem formal, di mana

kebenaran matematika yang diwakili oleh teorema formal.

2. Keamanan sistem formal ini dapat dibuktikan dalam trems dari theirfreedom dari

inkonsistensi, dengan menggunakan meta-matematika.

Kurt Gödel's ketidaklengkapan Teorema (Godel, 1931) menunjukkan bahwa

program tidak dapat terpenuhi. Teorema pertama menunjukkan bahwa tidak semua

aritmetika truts dapat diturunkan dari Peano's Aksioma (atau yang lebih besar

aksioma rekursif diatur). Bukti-teori ini hasil sejak saat itu telah dicontohkan dalam

matematika oleh Paris yang Harrington, yang versi Teorema Ramsey benar, tetapi

tidak dapat dibuktikan dalam pean Aritmetika (Barwise, 1977). Teorema

Incomleteness kedua menunjukkan bahwa dalam kasus thedesired memerlukan bukti

konsistensi meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dijaga, yang

dengan demikian tidak menjaga sama sekali. Sebagai contoh, untuk membuktikan

konsistensi Arithmetic Peano diperlukan semua aksioma dari sistem itu dan lebih

lanjut asumsi, seperti prinsip induksi atas dihitung oftrasfinite ordinal (Gentzen,

1936)

Program yang formalis, sudah itu berhasil, akan memberikan dukungan bagi

pandangan absolutis kebenaran matematis. Bukti formal, yang berbasis di sistem

matematika formal konsisten, akan memberikan matematika touchtone untuk

kebenaran. Namun, dapat dilihat bahwa baik tuntutan formalisme telah ditentang.

Tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai teorema dalam sistem

formal dan lebih jauh lagi, sistem itu sendiri tidak dapat dijamin aman.

Untai yang konstruktivis dalam filsafat matematika dapat ditelusuri kembali

setidaknya sejauh Kant dan Kronecker (Korner,1960). Program yang konstruktivis

adalah salah satu matematika merekonstruksi pengetahuan (dan mereformasi praktik

matematika) untuk menjaganya aman dari kehilangan makna, dan dari kontradiksi.

Untuk tujuan ini, konstruktivis menolak argumen non-konstruktif seperti Cantor bukti

bahwa bilangan real yang tak terhitung, dan Hukum logis Dikecualikan Tengah.

Konstruktivis yang paling terkenal adalah intuitionists L.E.J.Brouwer dan A. Heyting.

Baru-baru ini ahli matematika E. Bishop(1967) telah membawa program

konstruktivis jauh, dengan merekonstruksi sebagian besar analisis, dengan

constuctivism berarti. Berbagai bentuk konstruktivisme masih berkembang saat ini,

seperti dalam karya filosofis M. intuisionis Dummett. Konstruktivisme mencakup

keseluruhan berbagai pandangan yang berbeda, dari ultra-intuitionists, melihat apa

yang dapat disebut filosofis intuitionists ketat, tengah jalan intuitionists, intuitionists

logis modern untuk berbagai macam kurang lebih konstruktivis termasuk liberal.

Matematikawan ini berbagi pandangan bahwa matematika klasik mungkin

tidak aman, dan bahwa hal itu perlu dibangun kembali oleh metode konstruktif dan

penalaran. Konstruktivis menyatakan bahwa kedua matematika kebenaran dan objek

matematika axistence harus ditetapkan oleh metode konstruktif. Ini berarti bahwa

konstruksi matematis diperlukan untuk menetapkan kebenaran atau keberadaan,

berlawanan dengan metode mengandalkan bukti oleh kontradiksi, berdasarkan

konstruktivis Pembatasan logika, dan makna dari istilah matematika / objek terdiri

dari prosedur formal yang mereka arre dibangun.

Meskipun beberapa konstruktivis berpendapat bahwa matematika adalah studi

tentang proses konstruktif dilakukan dengan pensil dan kertas, pandangan yang lebih

ketat dari intuitionists, dipimpin oleh Brouwer, adalah bahwa matematika terjadi

terutama dalam pikiran, dan bahwa matematika tertulis sekunder. Satu konsekuensi

dari itu adalah bahwa Brouwer menganggap semua axiomatizations dari logika

intuitionistic menjadi tidak lengkap. Refleksi dapat selalu menemukan secara intuitif

lebih lanjut dari intuitionistic benar aksioma logika, dan sehingga tidak pernah dapat

dianggap sebagai berada dalam bentuk akhir.

Intuisionisme mewakili konstruktivis dirumuskan paling penuh filosofi

matematika. Dua dipisahkan klaim intuitiuonism dapat dibedakan, yang istilah

Dummett positif dan negatif tesis. Yang positif adalah efek bahwa cara intuitionistic

matematika construiring gagasan dan operasi logis koheren dan sah satu, bahwa

matematika intuitionistic membentuk tubuh dimengerti teori. Tesis negatif yang

menyatakan bahwa cara klasik costuiring gagasan matematis dan operasi logis

inkoheren dan illegimate, itu matematika klasik, sementara yang mengandung, dalam

bentuk menyimpang, banyak nilai, yang tetap, karena berdiri tidak dapat dimengerti.

Pada daerah terlarang di mana terdapat baik klasik dan bukti contructivist

hasil, yang terakhir sering lebih disukai karena lebih informatif. Sedangkan

keberadaan klasik mungkin hanya menunjukkan bukti logis perlunya eksistensi,

eksistensi yang konstruktif bukti menunjukkan bagaimana untuk membangun objek

matematika yang eksistensinya ditegaskan. Hal ini meminjamkan kekuatan untuk

tesis positif, dari sudut pandang matematika. Namun, tesis negatif jauh lebih

bermasalah, karena tidak hanya gagal untuk menjelaskan tubuh substansial non-

konstruktif matematika klasik, tetapi juga menyangkal validitasnya.

Para konstruktivis tidak menunjukkan bahwa ada masalah yang dihadapi tidak

bisa dihindari matematika klasik atau bahwa inkoheren dan valid. Inded baik murni

dan terapan matematika klasik memiliki kekuatan untuk pergi dari kekuatan sejak

program konstruktivis diusulkan. Oleh karena itu, tesis negatif intuisionisme ditolak.

Masalah lain untuk pandangan konstruktivis, adalah bahwa sebagian dari hasil yang

tidak konsisten dengan matematika klasik. Jadi, misalnya, bilangan real kontinum,

seperti yang didefinisikan oleh intuitionists, adalah dihitung. Ini bertentangan dengan

hasil klasik bukan karena ada kontradiksi yang melekat, tetapi karena definisi

bilangan real berbeda. Pengertian konstruktivis sering memiliki arti yang berbeda dari

pengertian klasik yang sesuai.

Dari perspektif epistemologis, baik positif dan negatif dari intuisionisme tesis

cacat. Yang intuitionists klaim untuk menyediakan dasar tertentu untuk matematika

versi mereka kebenaran dengan menurunkan itu (mental) dari intuitif aksioma

tertentu, dengan menggunakan metode yang aman secara intuitif bukti. Pandangan ini

basis pengetahuan matematika secara eksklusif pada keyakinan subjektif. Tetapi

kebenaran mutlak (yang klaim untuk menyediakan intuitionists) tidak dapat

didasarkan pada keyakinan subjektif sendirian. Juga tidak ada jaminan bahwa berbeda

intuitionists 'intuisi kebenaran dasar akan sama, karena memang mereka tidak.

Intuisionisme mengorbankan sebagian besar matematika dalam pertukaran

untuk menenangkan kepastian bahwa apa yang tersisa dibenarkan oleh kami 'intuisi

primordial' (Urintuition). Tapi intuisi adalah subyektif, dan tidak cukup untuk

mencegah intersubjektif intuitionists dari berbeda-beda tentang apa yang mereka

'intuisi primordial' harus enshirine sebagai dasar matematika. (Kalmar, 1967, halaman

190) Dengan demikian tesis positif intuisionisme tidak menyediakan dasar tertentu

bahkan untuk subset dari pengetahuan matematika. Criticsm ini memanjang ke

bentuk konstruktivisme lain yang juga mengklaim kebenaran dasar matematika

konstruktif pada landasan konstruktivis jelas asumsi.

Tesis negatif intuisionisme (andof konstruktivisme, ketika memeluk),

mengarah ke penolakan tidak beralasan diterima pengetahuan matematika, dengan

alasan bahwa hal itu tidak dapat dimengerti. Tetapi matematika klasik dalam

dipahami. Ini berbeda dari sebagian besar matematika konstruktivis dalam asumsi-

asumsi yang didasarkan. Demikian contructivism bersalah dari apa yang analog

dengan Tipe I Kesalahan dalam statistik, yaitu penolakan terhadap pengetahuan yang

valid.

c. Kontruktivisme

Dua dasa warsa terakhir ini, dunia pendidikan mendapat sumbangan

pemikiran dari teori konstruktivisme sehingga banyak negara mengadakan

perubahan-perubahan secara mendasar terhadap sistem dan praktik pendidikan

mereka, bahkan Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) pun tak luputdari pengaruh

teori ini. Paul Suparno dalam “Filsafat Konstruktivisme dalam Pendidikan” mencoba

mengurai implikasi filsafat konstruktivisme dalam praktik pendidikan. Berikut ini

adalah intisari buku tersebut, sekiranya bisa bermanfaat bagi para pendidik dan

orangtua.

Konstruktivisme adalah salah satu filsafat pengetahuan yang menekankan

bahwa pengetahuan adalah bentukan (konstruksi) kita sendiri (Von Glaserfeld).

Pengetahuan bukan tiruan dari realitas, bukan juga gambaran dari dunia kenyataan

yang ada. Pengetahuan merupakan hasil dari konstruksi kognitif melalui kegiatan

seseorang dengan membuat struktur, kategori, konsep, dan skema yang diperlukan

untuk membentuk pengetahuan tersebut.

Jika behaviorisme menekankan ketrampilan atau tingkah laku sebagai tujuan

pendidikan, sedangkan maturasionisme menekankan pengetahuanyang berkembang

sesuai dengan usia, sementara konstruktivisme menekankan perkembangan konsep

dan pengertian yang mendalam, pengetahuan sebagai konstruksi aktif yang dibuat

siswa. Jika seseorang tidak aktif membangun pengetahuannya, meskipun usianya tua

tetap tidak akan berkembang pengetahuannya. Suatu pengetahuan dianggap benar

bila pengetahuan itu berguna untuk menghadapi dan memecahkan persoalan atau

fenomenayang sesuai. Pengetahuan tidak bisa ditransfer begitu saja, melainkan harus

diinterpretasikan sendiri oleh masing-masing orang. Pengetahuan juga bukan

sesuatuyang sudah ada, melainkan suatu proses yang berkembang terus-menerus.

Dalam proses itu keaktivan seseorang sangat menentukan dalam mengembangkan

pengetahuannya.

Jean Piaget adalah psikolog pertama yang menggunakan filsafat

konstruktivisme, sedangkan teori pengetahuannya dikenal dengan teori adaptasi

kognitif. Sama halnya dengan setiap organisme harus beradaptasi secara fisik dengan

lingkungan untuk dapat bertahan hidup, demikian jugastruktur pemikiran manusia.

Manusia berhadapan dengan tantangan, pengalaman, gejala baru, dan persoalan yang

harus ditanggapinya secaca kognitif (mental). Untuk itu, manusia harus

mengembangkan skema pikiran lebih umum atau rinci, atau perlu perubahan,

menjawab dan menginterpretasikan pengalaman-pengalaman tersebut. Dengan cara

itu, pengetahuan seseorang terbentuk dan selalu berkembang. Proses tersebut

meliputi:

1. Skema/skemata adalah struktur kognitif yang dengannya seseorang beradaptasi

dan terus mengalami perkembangan mental dalam interaksinya dengan

lingkungan. Skema juga berfungsi sebagai kategori-kategori utnuk

mengidentifikasikan rangsanganyang datang, dan terus berkembang.

2. Asimilasi adalah proses kognitif perubahan skema yang tetap mempertahankan

konsep awalnya, hanya menambah atau merinci.

3. Akomodasi adalah proses pembentukan skema atau karena konsep awal sudah

tidak cocok lagi.

4. Equilibrasi adalah keseimbangan antara asimilasi dan akomodasi sehingga

seseorang dapat menyatukan pengalaman luar dengan struktur dalamya (skemata).

Proses perkembangan intelek seseorang berjalan dari disequilibrium menuju

equilibrium melalui asimilasi dan akomodasi.