file aq.doc

Upload: baldus-pierre-bouvier

Post on 14-Jan-2016

19 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

BAB I

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern. Matematika mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu dan memajukan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini tidak lepas dari hasil perkembangan matematika. Untuk menguasai dan mencipta teknologi di masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini. Pembelajaran matematika diharapkan dapat berperan dalam menyiapkan, meningkatkan dan membekali individu dan masyarakat di era yang penuh perubahan. Berbagai teori dalam matematika seperti matematika diskrit bias diaplikasikan dalam ilmu kimia. Teori graf bias diterapkan dalam struktur kuantum elektronis, mekanika molekul, simulasi fase kondensasi, desain struktur molekul, polimer, topografi energi potensial, dan makromolekul biologic (termasuk protein). Belakangan, penerapan graf dan kombinatorial terutama berkaitan dengan isomer struktur molekul terutama molekul yang mengandung karbon, serta spektroskopi.Isomerisme bahan kimia merupakan konsep yang sangat penting dalam kimia modern. Suatu pertanyaan klasik yang sering diajukan tentang konsep isomer ini adalah berapakah jumlah isomer yang dimiliki oleh suatu senyawa. Pada awal dikenalnya isomer dalam kimia, jumlah isomer dari suatu senyawa ditentukan dengan cara menggambar lalu menghitungnya (draw and count method). Metode ini mungkin dilakukan terhadap senyawa yang mempunyai struktur yang sederhana. Akan tetapi, secara umum dibutuhkan metode yang lebih rasional.Tahun 1874, Cayley menghitung jumlah isomer senyawa alkana menggunakan konsep graf. Metode lain juga terus dikembangkan. Tahun 1936, metode penghitungan jumlah isomer semakin maju. George Plya membuat teorema yang sangat penting untuk kimia teoritis. Plya memakai kombinatorial untuk menentukan jumlah isomer senyawa kimia. Teori Plya ini sangat relevan untuk berbagai jenis perhitungan kombinatorik.1.2 Rumusan Masalah

Adapun masalah-masalah yang akan dibahas dalam makalah ini yaitu:

1. Bagaimana konsep-konsep dasar matematika?

2. Bagaimana aplikasi matematika dalam kimia?1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan hal-hal tersebut di atas, maka tujuan penulisan makalah ini adalah :1. Untuk mengetahui konsep-konsep dasar matematika;2. Untuk mengetahui aplikasi matematika dalam kimia;1.4 MetodologiMetode yang digunakan penulis dalam penyusunan makalah ini adalah metode tinjauan kepustakaan (Study Literature) yaitu dengan memahami jurnal dan mengumpulkan bahan pustaka yang berkaitan dengan graf dan kombinatorial dalam kimia.BAB IILANDASAN TEORI

2.1 Konsep Isomer dalam Kimia

Isomer pertama kali dikenal pada tahun 1827. Friedrich Woehler menemukan bahwa antara cyanic acid dan fulminic acid terdapat karakteristik yang berbeda, padahal keduanya memiliki komposisi kimia yang identik. Saat itu, pengetahuan yang berkembang, bahan kimia akan berbeda karakteristiknya hanya jika memiliki komposisi kimia yang berbeda pula. Kemudian tahun 1828 Woehler juga menemukan hal yang sama antara urea dan ammonium cyanate. Pada tahun 1830, Jns Jakob Berzelius menggunakan istilah isomer untuk menggambarkan fenomena ini. Dalam kimia, senyawa-senyawa kimia yang mempunyai komposisi atom penyusun (rumus kimia) yang sama, tetapi struktur kimianya berbeda disebut isomer. Isomer dikelompokkan sebagai berikut.2.1.1 Isomer struktur (structural isomers/ constitutional isomers)Pada isomer struktur, atom-atom atau gugus fungsi penyusun senyawa tersusun dengan cara yang berbeda. Pada senyawa organik, isomer struktur ini bisa dibedakan lagi atas isomer posisi (position isomerism) dan isomer fungsional (functional group isomerism). Isomer posisi berkaitan dengan posisi atom yang berbeda pada senyawa yang masih berada dalam satu gugus fungsi, sementara isomer fungsional berkaitan dengan isomer pada gugus fungsi yang berbeda.Contoh:

Keterangan:

1. (a) dengan (b) adalah isomer posisi

2. (a) dengan (c) atau (b) dengan (c) adalah isomer fungsional2.1.2 Isomer Ruang (spatialisomers/ stereoisomer)Pada isomer ruang, struktur dari susunan atom penyusun senyawa adalah sama, tetapi posisi atom-atom itu secara geometri dalam ruang berbeda. Isomer ruang dibedakan atas enantiomers dimana isomer tersebut saling bercerminan dan diastereomers di mana isomer tidak saling bercerminan. Diastereomers dibagi lagi atas dua kelompok, yaitu conformational isomerism (conformers) jika isomer bias diperoleh dari rotasi ikatan kimianya dan cis-trans isomerism jika rotasi tidak mungkin dilakukan. Akan tetapi perlu digarisbawahi bahwa tidak semua conformers termasuk diastereomers jika hasil rotasi pada conformers saling bercerminan.Contoh:

Keterangan:a) enantiomers

b) conformers

c) cis-trans isomerism2.2 Aplikasi Graf untuk Menghitung Jumlah Isomer Senyawa Karbon2.2.1 Hubungan Graf dengan Ilmu KimiaSejarah graf dimulai dengan permasalahan tentang jembatan Knigsberg yang ditulis oleh Leonhard Euler dalam paper-nya Seven Bridges of Knigsberg (1736).

Gambar 1 Jembatan Knigsberg dan graf yang merepresentasikannyaLebih dari satu abad kemudian, Arthur Cayley mempelajari bagian dari graf, yaitu pohon. Studinya ini membawa banyak pengaruh ke dalam kimia teoritis. Cayley menghubungkan studinya tentang pohon dengan studi tentang komposisi kimia. Meleburnya ide yang dating dari matematika dengan ilmu kimia ini berkembang sebagai bagian dari perkembangan terminologi dasar dalam teori graf. Istilah graf (graph) sendiri diperkenalkan oleh Sylvester dalam paper-nya Nature tahun 1878.Berbagai istilah dalam graf sebenarnya juga digunakan dalam kimia, hanya saja dengan nama yang berbeda.

Struktur senyawa kimia bisa digambarkan sebagai graf dengan atom-atom sebagai simpul dan ikatan antar atom sebagai sisi. Penggunaan graf untuk menggambarkan struktur senyawa kimia antara lain banyak ditemukan dalam kimia organik.

Hidrokarbon sebagai salah satu senyawa organic merupakan senyawa kimia yang hanya mengandung atom karbon dan hidrogen. Hidrokarbon bisa dibagi atas hidrokarbon asiklik (alifatik) dan siklik. Hidrokarbon asiklik memiliki struktur pohon, dan bisa dibagi atas tiga kelompok.1. Alkana, hanya mengandung ikatan tunggal (), rumus umumnya CnH2n+2.2. Alkena, mengandung ikatan rangkap (), rumus umumnya CnH2n.3. Alkuna, mengandung ikatan rangkap tiga (), rumus umumnya CnH2n-2.Struktur hidrokarbon asiklik dengan graf digambarkan sebagai berikut.

Sementara hidrokarbon siklik ditandai dengan adanya struktur tertutup seperti cincin. Kelompok ini dibagi atas dua kategori.

1. Sikloalkana, hanya mengandung ikatan tunggal (), rumus umumnya CnH2n.2. Hidrkarbon aromatik, berdasarkan permutasi molekul benzena, rumus umumnya C6H6.Struktur hidrokarbon siklik dengan graf bias digambarkan sebagai berikut.

Gambar 3 Graf untuk hidrokarbon siklik2.2.2 Penggunaan Graf terkait dengan Isomer Senyawa Karbon

1. Cayley GraphMisalkan G dan S himpunan di mana S G dan I S. Cayley graph sehubungan dengan (G,S) didefinisikan sebagai graf berarah yang mempunyai suatu simpul yang berhubungan dengan elemen himpunan dan sisi berarah (g,h) sehingga g h-1 S.2.2.3 Penggunaan Graf Terkait dengan Isomer Senyawa Karbon2.3 Aplikasi Kombinatorial untuk Menghitung Jumlah Isomer Senyawa KlorinBAB IIIPEMBAHSAN

A. Konsep Dasar Matematika

Ada berbagai macam pendapat dan pandangan tentang pengertian matematika, antara lain: 1. matematika adalah bahasa simbol dan numerik yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosional;

2. matematika adalah metode berpikir logis;

3. matematika adalah ilmu pengetahuan mengenai kuantitas dan besaran,

4. matematika adalah ilmu pengetahuan yang bekerja menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu;

5. matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk, dan struktur,

6. matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif,

7. matematika adalah aktivitas manusia.Istilah matematika awalnya diambil dari perkataan Yunani, mathematica, yang berarti relating to learning. Perkataan ini mempunyai akar kata mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science) dan kata mathanein yang mengandung arti belajar (berpikir). Hakikat matematika adalah ilmu tentang berfikir logis. Istilah matematika berasal dari mathematics (Inggris), mathematik (Jerman), mathematique (Perancis), matematico (Itali), matematiceski (Rusia), atau mathematick (Belanda) dan perkataan (Latin) mathematica.Menurut Elea Tinggih dalam Suherman (2003), perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan penalaran. Hal ini dimaksudkan bukan berarti ilmu lain diperoleh tidak melalui penalaran, akan tetapi dalam matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio (penalaran), sedangkan dalam ilmu lain lebih menekankan hasil observasi atau eksperimen di samping penalaran. Matematika terbentuk sebagai hasil pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran (Ruseffendi, 2006). Pada tahap awal matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris, karena matematika sebagai aktivitas manusia kemudian pengalaman diproses dalam dunia rasio. Selanjutnya dilakukan analisis dan sintesis dengan penalaran di dalam struktur kognitif, sehingga sampailah pada suatu kesimpulan berupa konsep-konsep matematika. Agar konsep-konsep matematika yang telah terbentuk dapat dipahami orang lain dan dapat dengan mudah dimanipulasi secara tepat, maka digunakan notasi dan istilah yang cermat, kemudian disepakati bersama secara universal yang dikenal dengan bahasa matematika.

James dan James dalam kamus matematikanya menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya. James membagi matematika ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri. Namun pembagian yang jelas sangatlah sukar untuk dibuat, sebab cabang-cabang itu semakin bercampur. Sebagai contoh, adanya pendapat yang menyatakan bahwa matematika itu timbul karena pikiran-pikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses, dan penalaran yang terbagi menjadi empat wawasan yang luas, yaitu aritmatika, aljabar, geometri dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistik.

Kemudian Kline menyatakan pula, bahwa matematika itu walaupun pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir, oleh karena itu logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika. Logika adalah masa bayinya matematika, sebaliknya matematika adalah masa dewasanya logika. Pada permulaannya cabang-cabang matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau berhitung, Aljabar dan Geometri. Setelah itu ditemukan Kalkulus yang berfungsi sebagai tonggak penopang terbentuknya cabang matematika baru yang lebih kompleks, antara lain Statistik, Topologi, Aljabar (Linear, Abstrak, Himpunan), Geometri (Sistem Geometri, Geometri Linear), Analisis Vektor, dan lain-lain. Selanjutnya cabang matematika yang melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya yang kita kenal sebagai Matematika Terapan.

Fisika matematika

Statistika

Kimia matematika

Biologi matematika

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan,bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalahstatistika, yang menggunakanteori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di manapeluangberperan penting. Sebagian besar percobaan, survei, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. Tetapi banyakstatistikawan tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.Analisis numerikmenyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajiangalat pemotonganatau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Dari penjelasan tersebut dapat kita ketahui bahwa matematika dapat ditinjau dari segala sudut, dan matematika itu sendiri bisa memasuki seluruh segi kehidupan manusia, dari yang paling sederhana sampai kepada yang paling kompleks. Meskipun diberikan pengertian matematika dengan panjang lebar secara tertulis atau lisan penjelasannya, belum memberikan jawaban secara utuh yang dapat dipahami secara menyeluruh tentang apa matematika itu. Menurut Courant dan Robbin bahwa untuk dapat mengetahui apa matematika itu sebenarnya, seseorang harus mempelajari sendiri ilmu matematika tersebut. Matematika dapat kita pelajari dengan baik bila disertai dengan mengerjakannya. Dalam proses bekerja tersebut diperlukan keterlibatan berpikir yang kita sebut dengan berpikir kritis.

B. Aplikasi Matematika dalam Kimia

Kimia adalah ilmuyang mempelajari mengenai komposisi dan sifat zat ataumateridari skalaatomhinggamolekulserta perubahan atau transformasi serta interaksi mereka untuk membentuk materi yang ditemukan sehari-hari. Kimia juga mempelajari pemahamansifatdan interaksi atom individu dengan tujuan untuk menerapkan pengetahuantersebut pada tingkat makroskopik.

Hubungan antara kimia dan matematika dapat dilihat dalam penyelesaian beberapa persoalan di bidang kimia yang sering mengalami beberapa kendala- kendala dan kemudian dapat diatasi dengan penerapan konsep-konsep matematika di dalamnya. Salah satu contohnya adalah penggunaan konsep yang ada pada matematika diskrit dalam ilmu kimia yakni aplikasi kombinatorial untuk menghitung jumlah isomer senyawa klorin.Metode Cayley terus dikembangkan hingga pada tahun 1936 George Plya memperkenalkan teoremanya (Plyas Enumeration Theorem), teori yang cukup penting dalam kimia teoritis. Dalam tulisannya, Plya menggunakan metode kombinatorial, cara yang lebih singkat dan ilustratif untuk menghitung jumlah isomer senyawa kimia. Metode ini bisa diilustrasikan seperti contoh berikut.

Misalkan kita mempunyai sebuah kotak dan sejumlah manik-manik untuk membuat sebuah kalung. Manik-manik tersebut terdiri atas dua warna, yakni hitam (b) dan putih (w). Jika kita ingin meletakkan sebuah manik-manik

ke dalam kotak tersebut, ada dua cara yang bisa dilakukan, yaitu memasukkan manik-manik berwarna hitam atau manik-manik berwarna putih. Dua cara ini diperoleh dari b+w.

Jika ada dua buah kotak yang berbeda, ada empat cara yang bisa dilakukan untuk memasukkan sebuah manik-manik di setiap kotak seperti pada gambar berikut.

Empat cara ini diperoleh dari persamaan

(b+w)2 = b2 + 2bw + w2Secara umum, jika terdapat n buah kotak, banyaknya cara yang bisa dilakukan untuk memasukkan sebuah manik-manik ke tiap kotak bisa dihitung dengan

di mana terdapat n-k buah kotak yang berisi manik-manik hitam dan k buah kotak yang berisi manik-manik putih dan

Sekarang misalkan kita akan membuat sebuah kalung menggunakan lima buah manik-manik. Gambar berikut menunjukkan semua kemungkinan yang ada.

Persoalan ini tidak bisa disamakan dengan persoalan memasukkan manik-manik ke dalam lima buah kotak. Untuk persoalan memasukkan manik-manik ke kotak, kemungkinan yang ada dihitung dengan

(b+w)5 = b5 + 5b4w + 10b3w2 + 10b2w3 + 5bw4 + w5Sementara untuk kalung, manik-manik itu tersusun melingkar, bentuk yang simetris dianggap sama. Persamaan di atas tidak bisa digunakan. Hal ini akan sama dengan persoalan permutasi siklik1 5 24 3yang menghasilkan permutasi sebagai berikut.

Cycle index Z(G) untuk suatu himpunan G didefinisikan sebagai berikut.

di mana |G| adalah urutan himpunan G, p adalah jumlah titik yang dipermutasikan, h adalah jumlah permutasi G yang mengandung a1, a2, siklus. f adalah variabel.

Kembali ke persoalan sebelumnya, Z(D5) (D5 adalah pentagon) dirumuskan

Teorema Plya diperoleh dengan mensubstitusikan f dengan figure counting series, di sini

Fnm = (bn + wn)mDengan mensubstitusikan rumusan fnm ke Z(D5) diperoleh

= b5 + b4w + 2b3w2 + 2b2w3 + bw2 + w5Penggunaan metode kombinatorial Plya untuk menghitung jumlah isomer senyawa kimia mengikuti langkah-langkah berikut.

1. Mengidentifikasi titik-titik yang simetris pada molekul.

2. Menghitung cycle index yang menggambarkan senyawa induk.

3. Menghitung figure counting series yang menggambarkan jumlah atom yang berbeda yang bisa menempati posisi substitusi.

4. Mensubstitusikan hasil figure counting series yang diperoleh ke dalam cycle index.5. Menghitung hasil akhir.Aplikasi metode kombinatorial Plya untuk menghitung jumlah isomer senyawa kimia bisa dilihat pada dua contoh berikut.a. Menentukan Jumlah Isomer Senyawa (Polychlorinated naphthalenes)Molekul senyawa Polychlorinated naphthalene termasuk dalam kelompok D2h. Tapi berdasarkan letak atom klorin pada molekulnya, kelompok D2 telah cukup menggambarkan permutasi pada cincin naphthalene.

Graf untuk senyawaPolychlorinated naphthaleneTitik-titik pada D2 mengandung empat elemen simetris yaitu E, C2(x), C2(y), dan C2(z). Kita akan memperoleh permutasi seperti berikut.

Nilai cycle index untuk persoalan ini adalah

dan nilai figure counting series

fnm = (1+ xn)mdi mana pangkat n pada x adalah jumlah cincin naphthalene yang mengandung n ligan klorin. Angka 1 menunjukkan tidak adanya ligan klorin.Selanjutnya melalui substitusi nilai figure counting diperoleh

= 1 + 2x + 10x2 + 14x3 + 22x4 + 14x5 +10x6 + 2x7 + x8Hasil akhir ini menunjukkan jumlah isomer senyawa Polychlorinated naphthalenes.b. Menentukan Jumlah Isomer Senyawa (Polychlorinated biphenyls)Di sini struktur molekul senyawa Polychlorinated biphenyls bisa digambarkan sebagai berikut.

Graf untuk senyawapolychlorinated biphenylsSeperti prosedur yang digunakan pada persoalan sebelumnya, kita akan memperoleh permutasi seperti berikut.

Akan tetapi, nilai cycle index

tidak bisa digunakan untuk menghitung jumlah isomer yang tepat. Hal ini dikarenakan rotasi terhadap ikatan cc yang menghubungkan dua cincin phenyl harus diperhitungkan. Rotasi ini akan menghasilkan elemen simetris lainnya. Rotasi terhadap cincin phenyl (12345) menghasilkan permutasi berikut.

Karena itu, permutasi yang lebih tepat untuk persoalan senyawa Polychlorinated biphenyls ini adalah sebagai berikut.

Permutasi yang baru ini akan menghasilkan nilai cycle index dan nilai figure counting series

fnm = (1+ xn)mAkhirnya akan diperoleh jumlah isomer untuk senyawa polychlorinated biphenyls memenuhi

F(PCB) = 1 + 3x + 12x2 + 24x3 + 42x4 + 46x5 +42x6 + 24x7 + 12x8 + 3x9 + x10Dari penjelasan di atas dapat kita ketahui bahwa peranan konsep-konsep matematika sangatlah diperlukan terutama dalam memecahkan beberapa persoalan dalam ilmu kimia yang cukup kompleks.BAB III

PENUTUP

A. KesimpulanMatematika dapat ditinjau dari segala sudut, dan matematika itu sendiri bisa memasuki seluruh segi kehidupan manusia, dari yang paling sederhana sampai kepada yang paling kompleks sehingga seringkali disebut sebagai ilmu universal. Sedangkan aplikasinya pada bidang ilmu kimia adalah sebagai berikut :

1. Aplikasi matematika dalam ilmu kimia dapat diterangkan melalui penggunaan konsep yang ada pada matematika diskrit dalam ilmu kimia yakni aplikasi kombinatorial untuk menghitung jumlah isomer senyawa klorin.B. SaranMatematika diketahui bahwa berperan terhadap bidang ilmu kimia maka maka disarankan agar hal ini mendapat perhatian penting sebagai langkah awal upaya peningkatan prestasi belajar dalam dalam berbagai bidang keilmuan khususnya dan peningkatan mutu Sumber Daya Manusia (SDM) Indonesia umumnya.(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

Gambar 2 Graf untuk hidrokarbon asiklik

PAGE 7