feg2c3 elektromagnetika i gelombang datar dalam material...persamaan gelombang soal : tuliskan...

FEG2C3 Elektromagnetika I

Gelombang Datar dalam Material

Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi

Fakultas Teknik ElektroUniversitas Telkom

2014

Tujuan Pembelajaran

1. Mahasiswa memahami penurunan persamaan gelombangdatar dalam material,

2. Mahasiswa mengetahui berbagai parameter yang menjelaskan karakteristik propagasi gelombang datar dalammaterial,

3. Mahasiswa mampu membedakan berbagai karakteristikpropagasi gelombang datar yang merambat dalam berbagaijenis material.

2FEG2C3 Elektromagnetika I

Organisasi Materi


o Review Gel Datar Serbasama di udara

o Gelombang Datar Serbasama di dielektrik

o Gelombang Datar Serbasama di konduktor

o Vektor Poynting dan Tinjauan Daya



• Medium Propagasi

– Medium propagasi gelombang EM sangat beragam : udara, air tawar, air laut, tanah pasir, tanah basah, kayu, beton, tembok, tubuh manusia, dll

– Karakteristik medium propagasi sebagai reaksi adanyagelombang EM ditentukan oleh :

• (permeabilitas) reaksi bahan thd medan magnetik

• (permitivitas) reaksi bahan thd medan listrik

• (konduktivitas) reaksi bahan yang bersifatkonduktif



• Jenis medium

– Free space 0 0 0– Dielektrik Sempurna r 0 r 0 0– Dielektrik r 0 r 0 <– Konduktor yang baik r 0 r 0 >>– Konduktor sempurna r 0 r 0

– Bahan magnetis r 0 r 0>>

• Jenis medium juga sangat dipengaruhi oleh frekuensi. yang membedakansuatu bahan termasuk konduktor atau dielektrik adalah : perbandinganantara arus konduksi dan arus pergeseran



• Syarat dielektrik

• Syarat konduktor yang baik

• Contoh :– Air laut mempunyai

karakteristik r=1, r=79, =3 S/m. Air laut initermasuk jeniskonduktor ataudielektrik untukfrekuensi• 20 KHz ?• 20 GHz ?

12 0

rf

12 0

rf



• Contoh berbagai karakteristik medium

Material r

Udara 1.0006

Alkohol 25

Tanah kering 7

Tanah lembab 15

Tanah basah 30

Kaca 4 – 10

Es 4.2

Mika 5.4

Nylon 4

Kertas 2 - 4

Material r

Polystirene 2.56

Porcelain 6

Pyrex 5

Karet 2.5 – 3

Salju 3.3

Styrofoam 1.03

Teflon 2.1

Air murni 81

Air laut 70

Silica 3.8


Penurunan Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, denganparameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristikmedium perambatan. Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kitamenurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untukmedium perambatan berupa dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatanyang lain, yaitu : udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagaikasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi…

1

1

0

0

r

r

V

Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrikmerugi :

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

Perubahan E dan H sinusoidal, dengan pertimbangan bahwaperubahan periodik lain sptsegitiga, persegi dsb dapatdidekati dengan pendekatanFourier



ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.

sss EEE

2

0 sE

Dari identitas vektor

ss EE

2

Ss HjE

ss EjH

ss EjjE

Dari pers. Maxwell I

Didapatkan PersamaanDiferensial Vektor GelombangHelmholtz, sbb :

ss EjjE

2



ss EjjE

2ss EE

22

dimana

Atau dapat dituliskan sbb :

2 = j ( + j)

disebut sebagaikonstanta propagasi

Kemudian, dengan uraian bahwa :

zzszszs

y

ysysys

xxsxsxs

s az

E

y

E

x

Ea

z

E

y

E

x

Ea

z

E

y

E

x

EE ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

Komponen x Komponen y Komponen z

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

00 zsyszy EEEE



ss EjjE

2

00 zsyszy EEEE

sxsxsxs

s Ejjz

E

y

E

x

EE

2

2

2

2

2

22

Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E tidak berubah terhadap x dan y, didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :

xsxs Ejj

z

E

2

2

xsxs E

z

E 2

2

2

atau



xsxs E

z

E 2

2

2

Solusi persamaan diferensial dapat dituliskan :

z

xxs eEE 0dimana,

2 = j ( + j)

= + j = Konstanta propagasi

Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :

x

tjzj

x aeeEtE ˆRe)( 0

x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

Ingat kembali perubahan dari bentukfasor ke bentuk waktu !!

jjjj

1

jpropagasi konstanta



ss HjE

ysyxs

xs

zyx

Hjaz

E

E

zyx

aaa

0

ˆ

00

ˆˆˆ

y

xsys a

z

E

jH ˆ

1

0

y

zx azteE

H ˆcos0

jj

j

H

E

y

x

1

1

intrinsik impedansi

Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :



Loss TangentDidefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akandipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

tan

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi terhadap rapat arus pergeseran

Nilai-Nilai Pendekatan

Untuk 1,0

j1

2



H P

Arah perambatangelombang

Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudahkita dapatkan,

x

z

x azteEtzE ˆcos),( 0

y

zx azteE

tzH ˆcos, 0

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak luruspula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti inidisebut sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidaksefasa

E

E

H P


Persamaan Gelombang

x

z

xo azteEE ˆcos

Persamaan umum gelombang berjalanAmplituda medan

= konstanta redaman (neper/meter)

= konstanta fasa (radian/meter)

Tanda ( - ) berarti gelombang merambat kearah sumbu z positif. Tanda ( + ) berarti gelombang merambat kearah sumbu z negatif

Gelombang bergetar searah sumbu x

meter

Volt

= + j = Konstanta Propagasi

17

FEG2C3 Elektromagnetika I

Persamaan Gelombang

Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arahsumbu x negatif , dan bergetar searah sumbu z. Diketahui amplitudo gelombangadalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5 dan frekuensi 1 MHz

m

AaxteH z

x ˆ5,0102cos100 62

Amplitudo = 100 (A/m)

Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu x negatif

Konstanta fasa = 2 (radian/m), merambat ke sumbu-x negatif

Frekuensi = 1 MHz = 106 Hertz

Bergetar searah sumbu z

Jawab :


Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsiwaktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar disamping.Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalandapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang berubah, maka suatu titik dengan amplitudotertentu akan berubah posisi


Vektor Poynting dan Tinjauan Daya

Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

t

DJH

Kedua ruas dikalikan dengan E

t

DEEJHE

Dengan Identitas vektor

t

DEEJEHHE

Dengan substitusi,

t

BE

HB

ED

t

HH

t

EEEJHE

2

2E

tt

EE

2

2H

tt

HH

22

22 HE

tEJHE



22

22 HE

tEJHE

Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume

dvHE

tdvEJdvHE

vvv

22

22

Dengan Teorema Divergensi, didapatkan :

Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi dayatotal pada volume tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)

Ruas kanan :Integrasi suku pertamamenunjukkan disipasi ohmik.Integrasi suku kedua adalahenergi total yang disebabkan/ tersimpandalam medan listrik danmedan magnetik padavolume tersebut, kemudianturunan parsial terhadapwaktu menyatakan dayasesaatnya.

dvHE

tdvEJdsHE

vvs

22

22



Didefinisikan Vektor Poynting =

E

H

P

Arah perambatan gelombang HEP

P

yyxxzz aHaEaP ˆˆˆ E

H



Peninjauan Daya ...

Misalkan :

x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

y

zx azteE

tH ˆcos0

Maka,

2m

Watt

z

zx

z

zx

azteE

aztzteE

HEP

ˆ22coscos2

ˆcoscos

2

2

0

2

2

0



Vektor Poynting Rata-Rata

• Terjadi redaman kerapatan daya seharga• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos yang

juga menentukan kerapatan daya

ze 2

cos

2

1 2

2

0

0,

zxT

zavz eE

dtPT

P


Propagasi Gelombang Datar dalam Ruang Hampa

Untuk ruang hampa :

)/(10.

/10.4

9

361

0

7

0

mF

mH

0

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi, Pada ruang hampa :

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

ss HjE

0

ss EjH

0

0 sE

0 sH

• Persamaan gelombang Helmholtz

ss EjjE

2ss EE

00

22



• Persamaan medan listrik

Pada ruang hampa,

x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

yx azt

EtH ˆcos

377

0

xx aztEtE ˆcos)( 0

y

zx azteE

tH ˆcos0

• Persamaan medan magnet

• Konstanta propagasi

jjjj 1 000 j

• Impedansi intrinsik

jj

j

1

1 o03770

0



• Bentuk GelombangPada ruang hampa,

• Kecepatan gelombang

• Vektor Poynting sesaat

z

zx azteE

P ˆ22coscos2

2

2

0

• Vektor Poynting rata-rata

cos2

1 2

2

0

0

,

zx

T

zavz eE

dtPT

P

rr

v

810.31

E

H

P

zx

avz aztE

P ˆcos377

2

2

0,

377

2

0,

xavz

EP

8103v


Propagasi Gelombang Datar dalam Dielektrik Sempurna

Untuk dielektrik sempurna :

0

0

Dielektrik sempurna memiliki sifatdan karakteristik yang hampirsama dengan udara vakum

1

1

r

r

• Bentuk umum pada dielektrikmerugi,

Pada dielektrik sempurna

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

• Persamaan gelombang Helmholtz

ss EjjE

2

ss EE

22




Pada dielektrik sempurna

x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

y

r

rx aztE

tH ˆcos377

0

xx aztEtE ˆcos)( 0

y

zx azteE

tH ˆcos0



jjjj 1 j 0


jj

j

1

1

r

r

377



• Bentuk GelombangPada dielektrik sempurna

E

H

P

• Kecepatan gelombang

rr

v

810.31

• Vektor Poynting sesaat

z

zx azteE

P ˆ22coscos2

2

2

0

z

r

rx aztE

P ˆcos377

2

2

0

• Vektor Poynting rata-rata

cos2

1 2

2

0

0

,

zx

T

zavz eE

dtPT

P r

rxavz

EP

3772

12

0,

rr

v

810.3


Propagasi Gelombang Datar dalam Konduktor yang Baik

Pada konduktor yang baik

1

1

r

r

0

1

Pada konduktor yang baik• Konstanta propagasi

jjjj 1


jj

j

1

1

Didefinisikan“Skin Depth”

111

f

fjf

oj 45211






x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

y

zx azteE

tH ˆcos0



x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

y

z

x azteEtH ˆ4

cos.2

0

Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8 siklus) terhadapintensitas medan listrik

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk analisis karakteristiksuatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapatdiabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan denganmedan listrik sbb :

/cos)( /

0 zteEtEtJ z

xx



• Vektor Poynting

z

zx azteE

P ˆ22coscos2

2

2

0

• Rapat daya rata-rata

cos2

1 2

2

0

0

,

zx

T

zavz eE

dtPT

P


z

z

x az

teEP ˆ4

22cos

4cos

2

22

0

z

xavz eEP

22

0,4

1

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapatdaya pada bidang z = adalah sebesar e-2, atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya padapermukaan konduktor (z = 0).



Jika misalkan ditanyakan daya yang menembus permukaanz = 0 , yang memiliki lebar 0 < y < b , dan panjang 0 < x < L (ke arah arus), maka dapat dihitung :

00 0

22

0,4

1

z

b L z

x

s

avbL dydxeESdPP

2

0,4

1xavbL ELbP

Rapat arus pada permukaan konduktor akan menurun dengan cepat dengan faktor e-z/ jika masukkedalam konduktor. Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam konduktor, akan tetapimerambat di sekeliling konduktor, sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus yang mengalir dalam konduktor akan mengalami redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugianbagi konduktor sebagai pembimbing gelombang. Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan konduktor sangat buruk dipakai sebagai medium penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk pembimbing / penghantar arus dan cukup dalambentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi.

z

x

y

L

b

feg2c3 elektromagnetika i gelombang datar dalam material...persamaan gelombang soal : tuliskan...

Documents