i

ESTIMATOR PARAMETER TERBAIK PADA

DISTRIBUSI -STABLE

skripsi

disajikan sebagai salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

oleh

Putut Mitasarhi

4111409016

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2013

ii

PERNYATAAN

Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian

hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya akan bersedia menerima

sanksi sesuai ketentuan perundang-undangan.

Semarang, 22 Juli 2013

Putut Mitasarhi

NIM 4111409016

iii

PENGESAHAN

Skripsi yang berjudul

Estimator Parameter Terbaik pada Distribusi -Stable

disusun oleh

Putut Mitasarhi

4111409016

telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES pada

tanggal 22 Juli 2013.

Panitia:

Ketua Sekretaris

Prof. Dr. Wiyanto, M. Si. Drs. Arief Agoestanto, M. Si.

NIP 19631012 198803 1001 NIP 19680722 199303 1005

Ketua Penguji

Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.

NIP 19820818 200604 2001

Anggota Penguji/ Anggota Penguji/

Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping

Dr. Scolastika Mariani, M.Si. Drs. Wuryanto, M.Si.

NIP 19650210 199102 2001 NIP 19530205 198303 1003

iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Motto:

Peluang berhasil tercipta dari mencoba.

Persembahan:

Orang tua terhebat dalam hidupku Subandi dan

Sujiati, terima kasih atas segalanya.

Wiwik, Santoso, Agus, Ana, kakak-kakak terbaik

yang Allah SWT kirimkan untukku, terima kasih

seluruh dukungannya.

Frestika, Ratnaningtyas, sahabat terbaik yang Allah

SWT perkenalkan padaku.

Kyuhyun, yang telah mengajarkan arti perjuangan

untukku.

Anak-anak kos Alif, teman-teman seperjuangan

MIRC.

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobil’alamin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang

telah melimpahkan berkah serta hidayah-Nya kepada penulis sehingga skripsi ini

dapat terselesaikan. Sholawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada suri

teladan yang mulia, Nabi Muhammad SAW yang telah memberikan tuntunan

yang bijaksana untuk umat manusia umumnya dan pada penulis khususnya.

Terselesaikannya skripsi ini, merupakan sebuah usaha dan perjuangan

yang berlandaskan keteguhan, kesabaran, dan keikhlasan. Terima kasih atas

kemurahan dari kekuasaan-Nya yang tidak tertandingi oleh apapun dan siapapun.

Penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari berbagai pihak yang dari awal

hingga akhir memberikan segenap dukungan, baik moral dan spiritual. Hanya

ucapan terima kasih yang bisa penulis haturkan kepada pihak-pihak yang selalu

memberikan dukungan tenaga, pikiran, dan semangat.

1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang.

2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si., Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri

Semarang.

3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA

Universitas Negeri Semarang.

4. Dra. Kristina Wijayanti, M.S., Ketua Program Studi Matematika Fakultas

MIPA Universitas Negeri Semarang.

5. Dr. Scolastika Mariani, M.Si serta Drs. Wuryanto, M.Si, dosen pembimbing

yang telah mencurahkan segenap bimbingan, kesabaran, dan pengertian

vi

kepada penulis dari awal penyusunan sampai akhir selesainya skripsi ini.

Mohon maaf jika selama ini banyak sikap yang kurang berkenan di hati Ibu

dan Bapak.

6. Iqbal Kharisudin, S.Pd., M.Sc. Terimakasih atas bimbingan, inspirasi dan

semangat yang telah Bapak bagikan kepada penulis, sehingga semua ini bisa

tercapai dengan maksimal.

7. Seluruh Dosen di Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang yang telah

membagikan banyak ilmu tentang berbagai hal kepada penulis.

8. Bapakku Subandi dan Ibuku Sujiati yang selalu memberikan kekuatan dan

inspirasi untuk tetap berjuang.

Berbagai saran maupun kritik demi penyempurna lebih lanjut atas

penelitian pengembangan skripsi ini sangat diharapkan oleh penulis. Semoga

memberi manfaat bagi penulis dan bagi pembaca.

Semarang, 22 Juli 2013

Penulis

vii

ABSTRAK

Mitasarhi, Putut. 2013. Estimator Parameter Terbaik pada Distribusi -Stable.

Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dr. Scolastika Mariani, M.Si.,

Pembimbing II: Drs. Wuryanto, M.Si.

Kata Kunci: estimasi parameter distribusi stable, mean squared error, estimator

Hint, estimator Hill, estimator McCulloch

Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu masalah yaitu

kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan konsekuensi yang

cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial dan khususnya untuk

penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut adalah dengan

mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi -stable. Sebagai awal

dalam mengasumsikan bahwa sekumpulan data tersebut merupakan salah satu

wujud dari keluarga distribusi -stable, maka perlu diketahui nilai indeks

stabilitas dari sekumpulan data, selain untuk mengetahui ketebalan suatu ekor,

dapat digunakan untuk mengindikasikan kemungkinan dari kenjadian-kejadian

ekstrem, menunjukkan keberadaan momen yang paling maksimal dari suatu data

dan membantu memilih pengujian statistik yang tepat untuk sekumpulan data

tersebut.

Pembahasan kali ini berpusat pada bagaimana menentukan estimator

parameter terbaik pada distribusi stable dengan kriteria MSE minimum dan

banyaknya sampel optimum. Tiga estimator yang dipakai adalah estimator Hill,

estimator Hint, dan estimator McCulloch, melalui simulasi data random hasil

pembangkitan dengan dengan masing-masing ukuran sampel

, ditentukan nilai MSE minimum untuk masing-masing

estimator. Diperoleh hasil bahwa, MSE minimal dengan ukuran sampel ( )

optimal terjadi pada estimator Hint dengan yang berlaku untuk setiap

yang diperiksa yaitu .

viii

DAFTAR ISI Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................. i

PERNYATAAN .......................................................................................... ii

PENGESAHAN .......................................................................................... iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN .............................................................. iv

KATA PENGANTAR ................................................................................ v

ABSTRAK .................................................................................................. vii

DAFTAR ISI ............................................................................................... viii

DAFTAR TABEL ....................................................................................... xi

DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... xiv

BAB

1. PENDAHULUAN ............................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 8

1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................... 8

1.4 Manfaat Penelitian ......................................................................... 8

1.5 Sistematika Penulisan .................................................................... 8

2. LANDASAN TEORI .......................................................................... 10

2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang ......................... 10

2.1.1 Fungsi Distribusi ..................................................................... 10

2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang ..................................................... 11

2.2 Fungsi Karakteristik ....................................................................... 15

2.3 Distribusi Kontinu .......................................................................... 18

ix

2.3.1 Distribusi Normal .................................................................... 18

2.3.2 Distribusi Normal Standar ....................................................... 23

2.3.3 Distribusi Cauchy Standar ....................................................... 26

2.3.4 Distribusi Cauchy ..................................................................... 29

2.4 Distribusi Stable ............................................................................ 30

2.5 Estimator ........................................................................................ 57

2.5.1 Estimator Parameter ............................................................. 57

2.5.1.1 Estimator Hill ....................................................................... 57

2.5.1.2 Estimator McCulloch ........................................................... 58

2.5.1.2.1 Estimasi untuk dan .................................................. 58

2.5.1.3 Estimator Hint ...................................................................... 60

2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3 ........................ 63

2.6.1 Interface R Studio .................................................................... 63

2.6.2 Perintah dalam R Studio .......................................................... 67

3. METODE PENELITIAN ..................................................................... 71

3.1 Perumusan Masalah ........................................................................ 71

3.2 Studi Pustaka .................................................................................. 71

3.3 Pengumpulan Data .......................................................................... 71

3.4 Pemecahan Masalah ........................................................................ 71

3.5 Prosedur Penelitian ......................................................................... 72

3.6 Penarikan Kesimpulan .................................................................... 73

4. HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 74

4.1 Simulasi dan Hasil Analisis............................................................. 74

4.1.1 Fungsi Penghitung Estimasi di Rstudio ................................... 74

4.1.2 Pembangkit Data ..................................................................... 74

4.1.3 Simulasi Data Hasil Bangkitan ................................................ 77

4.1.3.1 Simulasi untuk Estimator McCulloch .................................... 77

4.1.3.2 Simulasi untuk Estimator Hill ................................................ 77

4.1.3.3 Simulasi untuk Estimator Hint ............................................... 79

4.1.4 Analisis Hasil Simulasi ............................................................ 80

4.2 Contoh ............................................................................................ 82

x

5. PENUTUP ........................................................................................... 84

5.1 Simpulan ......................................................................................... 84

5.2 Saran ............................................................................................... 84

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 86

LAMPIRAN ................................................................................................ 90

xi

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4.1 MSE minimum untuk setiap ............................................................... 80

4.2 MSE minimum untuk setiap ............................................................... 81

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Koefisien ( ) untuk Perpotongan ( )....................... 61

2.2 Interface R Studio ................................................................................. 63

2.3 Bagian Menu Utama .............................................................................. 64

2.4 Jendela Dokumen .................................................................................. 64

2.5 Jendela Console ..................................................................................... 65

2.6 Jendela Workspace dan History ............................................................. 65

2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help .............................................. 66

4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist ............................. ............ 75

4.2 Script generating.R ................................................................................ 75

4.3 Jendela Workspace R studio .................................................................. 76

4.4 Plot Garis dan Histogram ............................................................ 76

4.5 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator

McCulloch ............................................................................................ 77

4.6 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator

Hill .......................................................................................... 78

4.7 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator

Hill ....................................................................................... 79

4.8 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator

Hint ....................................................................................................... 79

4.9 Scatter plot dan Histogram Data TLKMRETURN2 ............................. 82

xiii

4.10 Hasil Estimasi data TLKMRETURN2 ............................................... 82

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Halaman

1. Tabel McCulloch................................................................................... 90

2. Plot Garis dan Histogram Data Random Berdistribusi Stable

Hasil Bangkitan..................................................................................... 93

3. Daftar Nilai , MSE untuk Data Random

Berditribusi Stable................................................................................ 115

4. MSE Parameter untuk Masing-masing Estimator ............................ 126

5. Script Membangkitkan Data Random

Berdistribusi Stable .............................................................................. 128

6. Script Fungsi Estimator untuk Simulasi .............................................. 129

7. Script Fungsi Estimator ........................................................................ 136

8. Data Saham TLKM ................................................................... ........... 143

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu topik terpenting dalam statistika adalah masalah distribusi.

Permasalahan distribusi telah diajarkan namun hanya terbatas untuk beberapa

model distribusi seperti distribusi binomial, poisson, gamma, chi-kuadrat, cauchy,

dan normal. Dalam kehidupan nyata, distribusi normal adalah salah satu distribusi

yang popular digunakan.

Kenyataannya ada kalanya terdapat data-data yang berfluktuasi tinggi.

Grafik data tersebut berupa grafik heavy-tail dan sering dijumpai dalam

permasalahan finansial, pemrosesan signal, telekomunikasi, kimia, fisika, dan

biologi (misal dalam Zolotarev (1986)).

Data dengan karakteristik, grafiknya berupa grafik heavy-tail dengan

puncaknya berada di sekitar pusat dikatakan berdistribusi Leptokurtik. Kelas

distribusi yang penting dalam konteks ini adalah distribusi stable, yang

merupakan kelas yang fleksibel untuk memodelkan data.

Sekitar tahun 1920 sampai 1930, teori distribusi stable univariat mulai

dikembangkan oleh Paul Levy dan Aleksander Yakovlevich Khinchine, disusul

oleh Gnedenko & Kolmogorov (1954), Feller (1971), Zolotarev (1986), dan Sato

(1999).

Banyak aplikasi statistik dari distribusi stable yang digunakan untuk

memodelkan fenomena fat-tail dalam observasi finansial ekonomi maupun dalam

2

lingkup lain statistika. Lebih lengkapnya dapat dilihat dalam Mandelbrot (1963),

Paulson et al., (1975), Nolan (2001), tidak hanya sebatas itu masalah kekinian

tentang penggunaan distribusi stable dapat diperiksa dalam Burnecki et al., (2008)

yang berhasil menunjukkan bahwa proses FARIMA dengan -stable noise dapat

menyediakan suatu alat stokastik baru untuk mempelajari fenomena letupan

matahari dalam kerangka kerja dari pemecahan persamaan Langevin, dalam

bidang finansial Burnecki et al., (2011) membicarakan tentang logaritma return

dari index Hang Seng mulai 2 Januari 1987 sampai 14 November 2005, secara

statistik menyerupai suatu barisan independen yang identik dengan variabel

random berdistribusi Levy stable.

Pengembangan secara teoritis dari distribusi stable dapat dilihat dalam

Magdziarz (2009), Taqqu & Levy (2008) yang melakukan pengujian terhadap

proses log-fractional stable motion (log-FSM), yang merupakan suatu proses -

stable dengan ( ). Rosadi & Deistler (2009) fokus pada kodifferen dan

fungsi kodifferen yang dinormalisasi sebagai ukuran ketergantungan untuk proses

stasioner. Selain itu Rosadi (2009) mempertimbangkan suatu tes tipe Portmanteau

dari keacakan untuk variabel random -stable dengan eksponen ,

menggunakan suatu tes statistik yang berbeda namun memiliki bentuk umum

yang sama dengan Box-Pierce Q-statistik, yang didefinisikan menggunakan

fungsi Kodifferen. Dalam Wylomanska (2011) menyelidiki struktur dependen

untuk proses Ornstein-Uhlenbeck dengan sifat distribusi stable, yang biasanya

perluasan dari proses Ornstein-Uhlenbeck klasik dengan Gaussian dan perilaku -

stable.

3

Penelitian aplikasi distribusi stable dalam permasalah finansial dibahas

dalam Frain (2009). Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu

masalah yaitu kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan

konsekuensi yang cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial

dan khususnya untuk penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut

adalah dengan mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi -stable.

Dalam penelitiannya diungkapkan bahwa distribusi -stable memiliki beberapa

keistimewaan yang mengakibatkan distribusi -stable menjadi model yang

menarik untuk permasalahan keuntungan, yaitu:

1. memungkinkan seseorang untuk memperhitungkan frekuensi garis besar

nilai-nilai ekstrim,

2. memungkinkan seseorang untuk memodelkan kemiringan dalam data.

Apakah nilai-nilai negatif yang ekstrim lebih mungkin dibandingkan positif

ekstrim?,

3. jika kita bisa menjelaskan kemungkinan waktu dalam sehari, sehari dalam

seminggu, efek musiman dan ketidakstasioneran lainnya yang melekat dalam

proses menghasilkan keuntungan, kita mungkin mengasumsikan bahwa

kumpulan keuntungan dari waktu ke waktu memiliki distribusi yang sama,

hingga faktor skala dan faktor lokasi, sebagai data frekuensi tinggi asli. Data

tersebut kemudian harus memiliki suatu distribusi -stable. Distribusi normal

adalah salah satu anggota dari distribusi -stable. Distribusi -stable

memungkinkan seseorang untuk mempertahankan sifat ini ketika data

dimodelkan dengan cara yang lebih fleksibel,

4

4. distribusi -stable menggantikan distribusi normal seperti yang diketahui

sebagai generalisasi teorema limit pusat, dan

5. dalam beberapa kasus seseorang bisa memodelkan keuntungan sebagai suatu

distribusi -stable dengan memeriksa nilai ekstrim atau mengurai nilai

ekstrim melalui beberapa proses.

Wang et al., (2008) membahas pengembangan Constant False Alarm Rate

(CFAR) algoritma deteksi kapal pada citra radar apertur sintetik pesawat ruang

angkasa (SAR) berdasarkan model distribusi -stabel. Algoritma CFAR

menggunakan model distribusi normal untuk menggambarkan karakteristik

statistik dari suatu gejolak citra SAR. Seperti gelombang air laut dalam citra SAR

menunjukkan karakteristik runcing atau heavy-tail, distribusi normal sering gagal

untuk menggambarkan gelombang air laut. Distribusi -stable digunakan untuk

menggantikan distribusi normal yang banyak digunakan dalam pemrosesan sinyal

impulsif untuk menggambarkan gelombang air laut dalam pencitraan SAR.

Model distribusi stable merupakan generalisasi dari beberapa model

distribusi yang telah dikenal, selain distribusi normal, distribusi cauchy juga

merupakan anggota dari distribusi stable. Distribusi normal yang merupakan salah

satu kasus khusus dalam distribusi stable terjadi ketika nilai parameter dan

sehingga dapat dituliskan ( ) ( ). Sedangkan untuk

distribusi cauchy terjadi ketika nilai parameter dan , dapat dituliskan

( ). Selain distribusi normal dan cauchy, ada dua model distribusi lain

yang merupakan kejadian khusus dalam distribusi stable yaitu distribusi levy yang

5

terjadi ketika nilai parameter

dan , kemudian distribusi menurun yang

berbentuk ( ) untuk suatu .

Distribusi suatu variabel random biasanya digambarkan dengan

menggunakan bentuk fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan

fungsi pembangkit momennya. Namun dalam distribusi stable bentuk fungsi

kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan momen ke-2 nya tidak

diketahui dengan pasti. Jadi untuk dapat mengenali distribusi stable diberikan

suatu fungsi yang disebut fungsi karakteristik. Oleh sebab itu fungsi karakteristik

dapat dijadikan jalan untuk menggambarkan suatu variabel random karena

eksistensi dari fungsi karakteristik selalu ada.

Meskipun bentuk fungsi kepadatan peluang dari distribusi stable tidak

diketahui secara pasti kecuali untuk kasus khusus, Zolotarev (1964) berusaha

menyajikan perhitungan tentang distribusi stable dan fungsi kepadatannya dengan

menggunakan gambaran integral yang baik. Kemudian DuMouchel (1971)

menyajikan tabulasi fungsi distribusi untuk dengan

. Sebelumnya Fama and Roll (1968) telah mampu

menyajikan tabulasi untuk dengan . Tabulasi dan

grafik dari fungsi kepadatan untuk dan

disajikan oleh Holt dan Crow (1973).

Distribusi stable memiliki empat parameter yaitu indeks stabilitas (index of

stability) ( - yang menyatakan ketebalan ekor dari distribusi (dimana nilai

yang lebih kecil menerangkan ekor yang lebih tebal pada distribusi), parameter

kemiringan (skewness parameter) , - menyatakan ukuran dari asimetri,

6

parameter skala (scale parameter) , dan parameter lokasi (location

parameter) ( ).

Paolella (2001) dalam penelitiannya menyebutkan bahwa dengan

mengetahui nilai indeks stabilitas dari sekumpulan data, dapat memberikan

keuntungan yaitu dapat menjadi suatu alasan penting untuk mengasumsikan

bahwa sekumpulan data tersebut merupakan wujud dari salah satu keluarga

distribusi yang memiliki domain of attraction dalam ekor yang sama. Seperti

dalam data finansial, Stable Paretian, Pareto, dan, untuk tingkat kebebasan yang

cukup kecil, Student’t dan generalisasi t (dalam McDonald & Newey (1988),

Bollerslev et al., (1994)) yang menunjukkan tipe ekor Pareto. Selain untuk

mengetahui ketebalan suatu ekor, dapat digunakan untuk mengindikasikan

kemungkinan dari kenjadian-kejadian ekstrem, menunjukkan keberadaan momen

yang paling maksimal dari suatu data dan membantu memilih pengujian statistik

yang tepat untuk sekumpulan data tersebut. Jadi, untuk dapat melakukan hal

tersebut dibutuhkan suatu estimator ekor.

Beberapa metode estimasi untuk parameter kunci distribusi stable telah

diusulkan. Penyelidikan penggunaan metode maksimum likelihood untuk

mengestimasi parameter telah dilakukan oleh DuMouchel (1971) dan Nolan

(1997) telah memperluas algoritma numerik dari penaksiran likelihood. Fama dan

Roll (1968, 1971) mengusulkan metode lain yaitu metode estimasi praktis

berdasarkan distribusi empiris persentil dan kemudian metode tersebut

dikembangkan oleh McCulloch (1986). Kemudian Press (1972) mengusulkan

metode estimasi fungsi karakteristik empiris, studi lain yang berhubungan

7

dilakukan oleh Paulson et al., (1975), Koutrouvelis (1980), Kogon & Williams

(1998), Feuerverger & McDunnough (1981). Ada pula yang mengusulkan metode

likelihood empiris. Metode ini awalnya diperkenalkan oleh Owen (1988, 1990)

untuk membangun konstruksi interval kepercayaan nonparametrik dan kemudian

dikembangkan untuk estimasi masalah persamaan dilakukan oleh Qin & Lawless

(1994). Hill (1975) mengusulkan estimator grafik untuk indeks yang dikenal

sebagai estimator Hill ( ). Mittnik dan Paolella (1999) memperbaiki

kekurangan-kekurangan yang ada dalam estimator Hill ( ) dan estimator

McCulloch ( ) sehingga tercipta estimator baru yang disebut estimator Hint

( ).

Nilai estimasi dari suatu parameter untuk setiap estimator berbeda-beda,

namun untuk menentukan nilai estimasi parameter terbaik dari beberapa estimator

dapat menggunakan beberapa kriteria yang telah diperkenalkan misal Unbias,

Efisiensi, Mean Squared Error, dan Best Linear Unbiased Estimator.

Mittnik dan Paolella (1999), menunjukkan bahwa untuk

dengan ukuran sampel dan pada kasus distribusi

Stable yang simetris yaitu dan , hampir sempurna simetris bias

untuk seluruh rentang yang dipertimbangkan, dengan pengecualian .

Dibandingkan , unggul dalam hal bias dan varian.

Dalam penelitian kali ini, dipusatkan untuk mencari estimator terbaik

untuk parameter dalam distribusi Stable dengan banyaknya sampel optimum

menggunakan data random hasil bangkitan dengan dengan

variasi menggunakan kriteria Mean Squared

8

Error (MSE). Estimator yang digunakan adalah estimator McCulloch, estimator

Hill, dan estimator Hint.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana menentukan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE

minimum dan banyaknya sampel optimum?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Untuk menentukan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE

minimum dan banyaknya sampel optimum.

1.4 Manfaat Penelitian

Melalui tulisan ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam

pengenalan dan pemahaman tentang model distribusi stable, karena model

distribusi stable sendiri memberikan ruang yang lebih luas dalam penggunaannya

sehingga mampu memberikan solusi lain dalam penyelesaian suatu masalah

statistika dalam kehidupan nyata.

1.5 Sistematika Penulisan

Skripsi ini terbagi atas lima bab. Bab 1 berisi pendahuluan. Bab 2 landasan

teori yang berisi teori konsep-konsep dasar probabilitas dan statistika serta

karakteristik distribusi stable yang digunakan dalam pembahasan bab selanjutnya.

Bab 3 berisi metodologi penelitian. Bab 4 berisi pembahasan menentukan

estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya

9

sampel optimum. Bab 5 berisi simpulan yang diperoleh dari pembahasan dalam

bab 4 disertai saran.

10

BAB 2

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini dipaparkan berbagai teori pendukung berkaitan dengan

fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi, fungsi karakteristik, distribusi normal,

distribusi cauchy dan distribusi stable.

2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang

2.1.1 Fungsi Distribusi

Untuk suatu variabel random , didefinisikan himpunan fungsi ( )

( ). Maka adalah fungsi peluang karena ( ) untuk setiap ,

( ) ( ) , dan jika dengan ( ) .

Jelas ( ) , yang juga setiap pasangannya disjoin dan (⋃ )

⋃ . Oleh karena itu

(⋃

) * (⋃

)+

*⋃( )

+

∑ ( )

∑ ( )

11

disebut sebagai distribusi peluang dari variabel random . Dengan

memilih menjadi ( - , dipunyai ( ) ( ( -)

( ). Dari sini didefinisikan fungsi yang disebut sebagai fungsi distribusi

dari . Jadi bila diketahui maka dapat ditentukan nya dan berlaku

sebaliknya (Roussas, 2003:33-34).

Fungsi distribusi dari variabel random memiliki beberapa sifat dasar,

yaitu:

Sifat 2.1.1. (Roussas, 2003:34)

(i) ( ) untuk setiap ;

(ii) fungsi tak turun;

(iii) kontinu dari kanan; dan

(iv) ( ) ( ) .

2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang

Dipunyai variabel random diskrit dan ambil nilai . Pilih

{ } dan pada himpunan definisikan fungsi dengan ( )

({ }). Selanjutnya, perpanjang atas seluruh dengan menetapkan ( )

untuk . Kemudian ( ) untuk setiap , jelas bahwa

( ) ∑ ( ) untuk . Khususnya, ∑ ( )

∑ ( ) ( ) . Dalam Roussas (2003), fungsi yang telah

didefinisikan tersebut disebut sebagai fungsi kepadatan peluang dari variabel

random .

12

Dengan memilih ( - untuk suatu , dipunyai ( )

∑ ( ) . Misalkan dipunyai titik .

( ) ( ) ( )

(2.1)

dengan ( ) ( ).

Dipunyai variabel random kontinu, pilih semua nilai dalam interval

(berhingga ataupun tidak berhingga) dalam , sehingga ( ) dengan

. Dipunyai sifat ( ) ∫ ( )

. Khususnya,

∫ ( )

( ) ( ) ( )

(2.2)

Jika tidak semuanya elemen , perpanjang dari dengan mengatur

( ) untuk . Jadi untuk semua , ( ) dan ( )

∫ ( )

. Berakibat ( ) ( ) ∫ ( )

dan khususnya,

∫ ( )

∫ ( )

( )

(2.3)

Fungsi dengan sifat: ( ) untuk semua dan ( )

∫ ( ) , merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel random

(Roussas, 2003:34-36).

Dalam Hogg & Craig (1978:23) fungsi kepadatan peluang didefinisikan

sebagai berikut.

Definisi 2.1.2. Dipunyai dinotasikan sebagai suatu variabel random dengan

ruang berdimensi satu yaitu . Misalkan ruang adalah suatu himpunan titik-

13

titik yang berhingga dalam setiap interval berhingga. Misalkan himpunan

disebut himpunan titik-titik diskrit. Dipunyai fungsi ( ) dengan ( )

, dan

∑ ( )

Bagaimanapun peluang ( ) dengan , dapat dinyatakan dalam bentuk

( ) sebagai berikut.

( ) ( ) ∑ ( )

Dipunyai himpunan berdimensi satu yaitu sehingga integral Riemann

∫ ( )

dengan ( ) , dan ( ) memiliki paling banyak suatu bilangan

berhingga kontinu dalam setiap interval berhingga yang merupakan subset dari

. Jika merupakan ruang variabel random dan jika peluang ( ) ,

dapat dinyatakan dalam bentuk ( ) sebagai berikut.

( ) ( ) ∫ ( )

Maka ( ) disebut fungsi kepadatan dari variabel random .

Dalam Aunon & Chandrasekar (1997), fungsi kepadatan peluang

didefinisikan sebagai turunan dari fungsi distribusi untuk ( ) kontinu.

( ) ( )

(2.4)

14

Jika variabel random diskrit maka fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai

( ) { ( )

(2.5)

Jadi dapat dituliskan, untuk setiap

( ) ( )

{

∑ ( )

∫ ( )

(2.6)

atau, lebih umum

( ) ( )

{

∑ ( )

∫ ( )

(2.7)

Teorema 2.1.3. (Stone, 1996:62) Dipunyai , dimana .

Maka fungsi distribusi dari dinyatakan sebagai

( ) .

/

Fungsi kepadatannya dinyatakan sebagai

( )

.

/

dan ( ) untuk yang lain, dan kuantil ke- dinyatakan sebagai

.

Bukti.

Dipunyai , ,

.

15

Jadi

( ) ( ) ( ) .

/ .

/

berakibat ( ) merupakan fungsi kontinu dari .

Jelas ( )

.

/

.

/

Kuantil ke- dari yaitu adalah penyelesaian yang unik untuk ( )

.

/. Karena terdapat secara unik yang memenuhi persamaan ( )

, berakibat

. Jadi

2.2 Fungsi Karakteristik

Berawal dari suatu tranformasi integral yang dijelaskan dalam Lukacs

(1970) yaitu Integral Lebesgue-Stieltjes yang didefiniskan dengan

∫ ( )

( )

(2.8)

Kondisi untuk menentukan adanya integral ini tentu sangat penting. Ada beberapa

kemungkinan pilihan untuk ( ).

1. ( ) .

2. ( ) | | .

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

4. ( ) .

5. ( ) .

6. ( ) ( ) √ .

16

Dalam kasus 4, 5, dan 6 parameter adalah suatu nilai real dan variabel

kontinu.

Transfomasi 1, 2, dan 3 mentransformasikan fungsi distribusi ( )

kedalam suatu barisan (dengan syarat integralnya ada).

∫

( )

(2.9)

disebut sebagai aljabar momen ke- dari ( ) atau lebih singkatnya momen ke-

dari ( ).

∫| |

( )

(2.10)

disebut momen mutlak ke- dari ( ).

Momen faktorial

∫ ( )

( )

(2.11)

jarang digunakan.

Kernel 4, 5, dan 6 mentransformasikan fungsi distribusi ( ) kedalam

fungsi variabel real . Fungsinya adalah

( ) ∫ ( )

( )

(2.12)

dan ini merupakan asal usul dari fungsi pembangkit momen. Kernel 5 hanya

digunakan ketika ( ) murni distribusi tak kontinu yang semua nilai variabel

17

memiliki lompatan pada bilangan bulat tak negatif. Dari kasus ini diperoleh fungsi

pembangkit peluang

( ) ∫

( ) ∑

(2.13)

dengan

∑

Disini adalah saltus (lompatan) dari ( ) pada titik ( bilangan

bulat tak negatif). Fungsi pembangkit peluang diperkenalkan oleh Laplace, fungsi

ini jarang digunakan.

Substitusi 6 dalam persamaan 2.8. Diperoleh

( ) ∫ ( )

( )

(2.14)

Transformasi ini yang disebut sebagai fungsi karakteristik fungsi distribusi ( ).

Dalam Uchaikin dan Zolotarev (1999:69), didefinisikan fungsi

karakteristik sebagai berikut:

Definisi 2.2.1. Fungsi bernilai kompleks

( ) , ( )- (2.15)

disebut sebagai fungsi karakteristik dari variabel real .

Dengan suatu variabel bernilai real. Jika fungsi kepadatan peluang ( ) ada,

2.15 transformasi fouriernya berbentuk

18

( ) ∫ ( ) ( )

(2.16)

Invers transformasi fouriernya adalah

( )

∫ ( ) ( )

(2.17)

2.3 Distribusi Kontinu

2.3.1 Distribusi Normal

Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random

( ) dengan parameter dalam hal ini merupakan mean (rataan) dan

parameter merupakan standard deviasi dinyatakan sebagai berikut.

( ) 4

5

Stone (1996:148) menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random

( )

( )

√ 4

( )

5

Bukti.

Dipunyai integral

∫ 4

5

Integral ini ada karena integrand nya merupakan suatu fungsi kontinu

positif yang dibatasi oleh suatu fungsi integrable; yaitu,

19

4

5 ( | | )

dan

∫ ( | | )

Untuk menilai integral , perhatikan dan bahwa dituliskan sebagai:

∫ ∫ 4

5

Misal dan , diperoleh

∫ ∫ 4

5

∫

Berakibat √ dan

∫ 4

5

√ ∫ 4

5

20

∫

√ 4

5

Diperkenalkan variabel integrasi , dengan

sehingga

∫

√ 4

5

∫

√ 4

( )

5

Oleh sebab , berakibat

( )

√ .

( )

/

memenuhi syarat untuk menjadi fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel

random bertipe kontinu. Variabel random bertipe kontinu yang memiliki fungsi

kepadatan peluang ( ) disebut berdistribusi normal (dalam Hogg dan Craig

(1978)).

Selanjutnya menentukan fungsi pembangkit momen untuk distribusi

normal.

( ) , ( )- ∫ ( ) ( )

21

∫ ( )

√ 4

( )

5

√ ∫ 4

( )

5

√ ∫ 4

5

√ ∫ 4

5

√ ∫ 4

( )

5

√ ∫ 4

( ( ) )

5

√ ∫ 4

( ( ) ( ) ( ) )

5

√ ∫ (

( ( ))

) 4

( )

5

4( )

5 ∫

√ (

( ( ))

)

4( )

5

4

5

4

5

22

4

5

Jelas

( ) [ (

)]

[ (

)]

(

)

(

)

4

5 ( )

Jadi

( ) .

Jelas

( ) [ (

) ( )]

[ (

)]

(

)

(

)

( )

( )

4

5

4

5 ( ) 4

5

4

5 ,( ) -

Jadi

( )

( ) ( ( ))

23

Jadi dapat dituliskan ( ) dengan merupakan mean dan merupakan

varian.

2.3.2 Distribusi Normal Standar

Stone (1996:146) menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random

berdistribusi normal standar.

( )

√ 4

5

Dinotasikan sebagai ( )

Bukti.

Dipunyai variabel random ( ).

Jelas variabel random ( ) mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai

berikut.

( )

√ 4

( )

5

√ 4

5

Fungsi pembangkit momen dari variabel random ( ) dapat

dinyatakan sebagai:

( ) , ( )- ∫ ( ) ( )

∫ ( )

√ 4

5

√ ∫ 4

5

24

√ ∫ 4

5

√ ∫ 4

( )

5

√ ∫ 4

( )

5

√ ∫ 4

( )

5

√ 4

5 ∫ 4

( )

5

4

5 ∫

√ 4

( )

5

4

5

Jelas

( ) [ (

)]

[ (

)]

(

)

(

)

4

5

Jadi ( )

Jadi mean dari variabel random ( ) adalah .

25

Jelas

( ) [ (

)]

[ (

)]

, - (

)

4

5 4

5

( ) 4

5

Jadi

( )

Jadi varian dari variabel random ( ) adalah sebagai berikut.

( ) ( ( ))

Kelebihan distribusi normal didukung dengan keberadaan teorema limit pusat,

dalam Roussas (2003:210) dinyatakan sebagai berikut.

Teorema 2.3.1. Dipunyai variabel random yang saling bebas stokastik

dengan berhingga dan positif berhingga, dan dipunyai rataan sampel

dari . Maka:

, -

√ , -

√

√ ( )

⇒ ( )

selama

atau

4√ ( )

5

→ ( ) ∫

√ 4

5

26

2.3.3 Distribusi Cauchy Standar

Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika ( ) dan

( ) saling independen, maka distribusi dari

memiliki fungsi

kepadatan peluang

( )

( )

disebut sebagai distribusi cauchy standar dinyatakan sebagai ( )

Bukti.

Dipunyai ( ) dan ( ) saling independen.

Misal

Jelas variabel random ( ) memiliki fungsi kepadatan peluang

( )

√ 4

5

Jelas variabel random ( ) memiliki fungsi kepadatan peluang

( )

√ 4

5

Jelas fungsi kepadatan peluang bersama dari dan adalah

( )

√

√ 4

5 4

5

4

5 4

5

Berdasarkan transformasi

, dengan invers transformasi

. Jacobiannya adalah , berakibat

27

( ) | |

4

( )

5 4

5

Jelas

( ) ∫ ( )

∫| |

4

( )

5 4

5

kasus

( ) ∫

4

( )

5 4

5

∫

4

( )

5

∫ (

( ))

∫

( )

4 (

( ))5

( )∫ 4 (

( ))5

( )( (

( ))|

)

( )( ( ) ( ))

( )( )

28

( )

kasus

( ) ∫( )

4

( )

5 4

5

∫ (

( ))

∫

( )

4 (

( ))5

( )∫ 4 (

( ))5

( )( (

( ))|

)

( )( ( ) ( ))

( )( )

( )

berakibat

( ) ∫| |

4

( )

5 4

5

∫( )

4

( )

5 4

5

29

∫

4

( )

5 4

5

( )

( )

( )

( )

2.3.4 Distribusi Cauchy

Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random

( ) dengan merupakan parameter lokasi dan parameter skala

dinyatakatan sebagai:

( ) | |

Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika ( ),

maka distribusi dari variabel random memiliki fungsi

kepadatan peluang

( )

( . /

)

disebut sebagai distribusi cauchy dan dinyatakan sebagai ( ).

Bukti.

Dipunyai ( ), .

Misal .

Jelas variabel random ( ) memiliki fungsi kepadatan peluang

( )

( )

Berdasarkan Teorema 3.2.3 diperoleh

( )

.

/

30

( . /

)

( . /

)

untuk

Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957), distribusi cauchy tidak memiliki fungsi

pembangkit momen, mean, maupun varian.

2.4 Distribusi Stable

Ada beberapa definisi yang memberikan gambaran tentang distribusi

stable, yaitu:

Definisi 2.4.1. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:1) Variabel random dikatakan

berdistribusi Stable jika untuk setiap bilangan positif dan , terdapat bilangan

positif dan bilangan real sehingga

(2.18)

Dimana dan independent copies dari , dan menyatakan persamaan

dalam distribusi.

Terdapat beberapa macam distribusi stable seperti stable mutlak (strictly

stable) dan stable simetri (symmetric stable). Variable random dikatakan strictly

stable jika pada Definisi 2.4.1 terjadi dengan nilai . Variable random stable

dikatakan symmetric stable jika distribusinya simetris yaitu dengan dan

31

memiliki distribusi yang sama. Variable random stable simetris dipastikan dia

stable mutlak.

Teorema 2.4.2 (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:2) Untuk setiap variable random

stable , terdapat suatu bilangan ( - sehingga bilangan dalam Definisi

2.4.1 memenuhi

(2.19)

Bukti di Feller (1971), Section V1.1.

Dalam Teorema 2.4.2 muncul suatu nilai yang kemudian disebut

sebagai index stabilitas atau eksponen karakteristik. Suatu variable random stable

dengan index selanjutnya disebut -stable.

Definisi 2.4.3. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:3) Suatu variable random

dikatakan berdistribusi stable jika untuk setiap , terdapat bilangan positif

dan bilangan real sehingga

(2.20)

dengan independent copies dari .

Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3 saling ekivalen. Untuk menunjukkannya

dari Definisi 2.4.1 ke Definisi 2.4.3, dilakukan induksi. Untuk bukti sebaliknya

ada di Feller (1971), SectionV1.1.

Definisi 2.4.4. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random

dikatakan berdistribusi stable jika memiliki suatu domain of attraction, atau bisa

dikatakan jika terdapat suatu deret variable random yang saling

32

bebas stokastik dan suatu deret bilangan positif * + dan bilangan real * +,

sehingga

⇒

(2.21)

⇒ menunjukkan kekonvergenan dalam distribusi.

Definisi 2.4.3, dan Definisi 2.4.4 saling ekivalen.

Definisi 2.4.5. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random

dikatakan berdistribusi stable jika terdapat parameter

, dan real sehingga fungsi karakteristik mengikuti bentuk:

, ( )- { 0 | | . ( )

/ 1

[ | | (

( ) | |) ]

(2.22)

{

Parameter bersifat unik ( menyimpang ketika ).

Fungsi karakteristik Definisi 2.4.5 dapat dituliskan

, ( ) - [ ( | | ( )) ]

(2.23)

dengan

( ) { | |

| |

33

Fungsi ( ) tak kontinu pada dan .

Fungsi karakteristik yang berbentuk

, ( ) - [ ( | | ( )) ]

(2.24)

dengan

( ) { (| | )

| |

{

adalah suatu fungsi yang kontinu bersamaan di dan (Samorodnitsky dan

Taqqu, 1994:7).

Fungsi Karakteristik di atas merupakan salah satu alat yang digunakan

untuk mengidentifikasi bahwa suatu variabel random berdistribusi stable.

Distribusi stable dengan varian berhingga merupakan distribusi normal.

Kepadatan peluang variabel random -stable ada dan kontinu dengan

beberapa pengecualian, mereka tidak diketahui bentuk terdekatnya (Zolotarev,

1986). Distribusi yang telah dipelajari dan merupakan kasus khusus distribusi

stable yaitu:

1. distribusi normal ( ) ( ), dengan kepadatan peluangnya

berbentuk

( ) ( √ ) ( )

34

Bukti.

Fungsi karakteristiknya

, ( )- , | | ( ) -

( ) ( )

Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi ( ( )) dapat dicari melalui

fungsi karakteristiknya.

( )

∫ ( )

∫ (

)

∫ (

)

∫

∫

∫

( )

∫ [

( ) ]

∫

6( ) ( )

.

/

.

/

7

∫

6( ) ( )

.

/

7 .

/

35

.

/

∫ 6( )

( )

.

/

7

.

/

∫ .

/

misal

dan

. Maka

( )

.

/

∫ .

/

.

/

∫

.

/

∫

misal maka √ dan

. Berakibat

( )

.

/

∫

.

/

∫

.

/

∫

.

/

√

√

.

/

√ .

/

√ ( )

√ ( )

merupakan fungsi kepadatan peluang dari ( ).

2. distribusi cauchy ( ), dengan kepadatan peluangnya berbentuk

( )

(( ) )

Bukti.

Fungsi Karakteristiknya

, ( )- , | |( ) -

36

( ) ( | | )

Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi ( ( )) dapat dicari melalui

fungsi karakteristiknya.

( )

∫ ( )

∫ ( | | )

∫ ( | | )

∫ | |

* ∫

∫

+

* ∫ ( )

∫ ( )

+

[

[ ( )]

[ ( )]

]

[

( )

( )]

[

( )

( )]

[

]

[

( )( )

( )( )]

37

6 ( )

( )( )7

[

]

[

]

[

]

[

( ) ]

,( ) -

merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi cauchy dengan parameter

dan .

Selain dua distribusi di atas, ada distribusi lain yang merupakan kasus

khusus dari distribusi stable, yaitu sebagai berikut.

1. Distribusi levy

( ), dimana kepadatan peluangnya berbentuk

( ) .

/

( )

(

( ))

2. Konstant yang mempunyai distribusi menurun ( ) untuk suatu

.

Sifat 2.4.6. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:10) Dipunyai dan variabel

random independen dengan ( ) . Maka

( ), dengan

38

(

)

Bukti.

Kasus

( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)

(

)| | | | ( ) .

/ (

)

( )

(

)| | 6

( ) .

/7

( )

Kasus

( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)

( )| | | |( )

( ) (| |)

( )

( )| | [

( ) (| |)]

( )

39

disebut parameter geseran (shift parameter).

Sifat 2.4.7. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai ( ) dan

suatu konstanta real. Maka ( ).

Bukti.

Kasus

( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)

| | 4 ( ) .

/5

, ( )-

| | 4 ( ) .

/5

| | 4 ( ) .

/5 ( )

Kasus

( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)

| | (

( ) (| |))

, ( )-

| | (

( ) (| |))

| | (

( ) (| |)) ( )

40

Sifat 2.4.8. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai ( ) dan

suatu konstanta real tak nol. Maka

(| | ( ) )

(| | ( )

( (| |)) )

(2.25)

Bukti.

Kasus

( [ ( ( ))]) | | 4 ( ) .

/5 ( )

(| | ) | | 4 ( )( ) .

/5

( )

Kasus

( [ ( ( ))]) | | (

( ) (| |)) ( )

( | |)| | ( ( )

( ) (| || |)) ( )

disebut parameter skala (scale parameter).

Sifat 2.4.9. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Untuk suatu ,

( ) ( )

(2.26)

41

Bukti.

Kasus

(i) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

Dipunyai ( ).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh

(| | ( ( )) ( ) )

( ( ) )

( )

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

Dipunyai ( ).

Jelas ( ).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh

( ) (| | ( ( ))( ) ( ) )

( ( )( ) )

( )

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ( )”,

benar.

Kasus

(i) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

42

Dipunyai ( ).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh

(| | ( ( )) ( )

( )( (| |)) )

( ( )

( )( ( )) )

( )

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

Dipunyai ( ).

Jelas ( ).

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh

( ) 4| | ( ( ))( ) ( )

( )( (| |)) ( )5

4 ( )( ) ( )

( )( ( )) ( )5

( )

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.

Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ( )”, benar.

disebut parameter kemiringan (skewness parameter).

Sifat 2.4.10. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) ( ) simetri jika dan

hanya jika dan . simetri terhadap jika dan hanya jika .

Bukti.

43

Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ”, benar

dan “ simetris terhadap ”, benar.

(i) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ”,

benar.

a) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ”,

benar.

Dipunyai ( ) .

Jelas simetris jika dan berdistribusi sama atau .

Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh

kasus

(| | ( ( )) ( ) )

( )

kasus

(| | ( ( )) ( )

( )( (| |)) )

( ( )

( )( ( )) )

( )

Jadi terjadi ketika dan .

Jadi terbukti pernyataan “ ( ) simetris ⇒ ”, benar.

b) Ditunjukkan pernyataan “ dan ⇒ ( ) simetris”, benar.

Dipunyai ( ), .

Jelas ( ).

Jelas

44

( )

( )

Jadi diperoleh atau dengan kata lain ( ) simetris.

Jadi terbukti pernyataan“ dan ⇒ ( ) simetris”, benar.

Jadi terbukti pernyataan “ ( ) ”, benar.

(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) simetri terhadap ”, benar.

a) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) simetri terhadap ⇒ ”, benar.

Dipunyai .

Jelas ( ), jadi .

Jadi terbukti pernyataan “ ( ) simetri terhadap ⇒ ”, benar.

b) Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ ( ) simetri terhadap ”, benar.

Dipunyai ( ), jelas .

Jelas

( ) ( )

dan

( ) ( )

( ) ( )

Berakibat , jadi ( ) simetri terhadap .

Jadi terbukti pernyataan “ ⇒ ( ) simetri terhadap ”, benar.

Jadi terbukti pernyataan “ ( ) simetri terhadap ”, benar.

45

Suatu variabel random stable simetri (symmetric stable) adalah stable

sempurna (strictly stable) tetapi variabel random stable sempurna (strictly stable)

tak perlu simetri.

Sifat 2.4.11. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12) Dipunyai ( ) dengan

. Maka stable sempurna (strictly stable) jika dan hanya jika .

Bukti.

Dipunyai independent copies dari dan dipunyai dan secara berturut-

turut konstanta positif. Dari Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.8 diperoleh

4 ( )

( )5

Dengan mengatur ( )

dalam Definisi 2.4.1. Dari Sifat 2.4.7 dan

Sifat 2.4.8 diperoleh

( ( )

( )

)

dan, dipunyai dengan jika dan hanya jika .

Akibat 2.4.12. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Akibat 1.2.7) Dipunyai

( ) dengan . Maka stable sempurna (strictly stable).

Bukti.

Berdasarkan Sifat 2.4.7 diperoleh ( ). Oleh sebab parameter

untuk variabel random , menurut Sifat 2.4.11 maka variabel random

stable mutlak.

Sifat 2.4.13. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Sifat 1.2.8) ( )

berdistribusi stable mutlak (strictly stable) jika dan hanya jika .

46

Bukti.

Dipunyai dan berdistribusi sama dengan dan dipunyai .

Maka, dari Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.6,

4 ( ) ( )

( )5

mengingat

( ) ( ( ) ( )

( ) ( ))

Oleh sebab itu dalam Definisi 2.4.1 jika dan hanya jika

( ) atau dengan kata lain jika dan hanya jika

( ) ( ) ( )

untuk suatu . Jadi cukup bahwa .

Akibat 2.4.14. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13) Jika bebas

stokastik ( ), maka

(

)

(2.27)

jika , dan

( )

(2.28)

jika .

Bukti.

Dipunyai bebas stokastik ( ).

47

Ditunjukkan

(i) kasus ditunjukkan

.

/.

ditunjukkan generalisasi Sifat 2.4.6 yaitu

( )

dengan

4 ⏟

5

( )

⏟

⏟

untuk

( ) sesuai dengan yang didefinisikan.

Andaikan pernyataan , benar.

( )

dibuktikan , benar.

.( )

( ) /

( ) ( )

48

dengan

(( )

)

( ) ( ( ))

( )

( )

jadi .

/, benar untuk bebas

stokastik ( ), .

Berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh

(

) (|

| 4 (

)5

(

))

(

) (

)

(

) (

)

jadi untuk ,

.

/; dan

(ii) kasus , ditunjukkan

( ). Berdasarkan

generalisasi Sifat 2.4.6 diperoleh

( )

dengan

⏟

⏟

49

⏟

berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh

( ) (| | ( ( ))

( )

( ))

( ) (

( )

( ))

( ) ( )

jadi ,

( ).

Akibat 2.4.15. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13)

1. Tidak ada variabel random -stable yang tidak mutlak bisa dibuat menjadi

stable mutlak dengan menggunakan geseran.

2. Setiap variabel random -stable mutlak bisa dibuat simetri melalui

penggeseran.

Bukti.

1. Ambil sembarang ( ), , dengan melakukan geseran

( )

( )

berdasarkan Sifat 2.4.13 maka variabel random tidak dapat dinyatakan

stable mutlak.

2. Ambil sembarang ( ), dengan menggunakan Akibat 2.4.12 maka

( )

( ).

Menurut Sifat 2.4.10 maka dinyatakan simetris.

50

Karena parameter hanya memperngaruhi pada lokasi maka biasanya

dianggap . Distribusi ( ) dikatakan miring ke kanan jika dan

miring ke kiri jika . Kemudian dikatakan miring seluruhnya ke kanan jika

dan miring seluruhnya ke kiri jika .

Sifat 2.4.16. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:16) Dipunyai berdistribusi

( ) dengan . Maka terdapat dua variabel yang bebas stokastik yaitu

dan dengan distribusi lazim ( ) sehingga

(

)

(

)

(2.29)

dan

(

) (

) (

(

)

(

))

(2.30)

Bukti.

Dipunyai ( ) dengan , ( ) ( ).

Kasus , ditunjukkan .

/

.

/

. Berdasarkan Sifat 2.4.8

diperoleh

(

)

(|(

)

| ( *(

)

+) )

51

(

)

((

)

)

(

)

((

)

)

(

)

(|(

)

| ( *(

)

+) )

(

)

((

)

)

(

)

((

)

)

Berdasarkan Sifat 2.4.9 diperoleh

(

)

((

)

)

Berdasarkan Sifat 2.4.6 diperoleh

(

)

* (

)

+ (

)

(

)

( )

dengan

*((

)

)

((

)

)

+

(

)

52

(

)

(

)

(( )

)

( ) (( )

)

(( )

)

(( )

)

(

)

(

)

( )

Jadi .

/

.

/

.

Kasus , ditunjukkan

(

) (

) (

(

)

(

))

Berdasarkan Sifat 2.4.8

(

) (|(

)| ( [(

)])

(

) (|

|) )

(

) (

(

) (

) )

(

) (| (

)| ( [ (

)])

(

) (|

|) )

(

) (

(

) (

) )

Berdasarkan Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.7 diperoleh

53

(

) [ (

) ] (

(

)

(

)) ( )

dengan

(

)

(

) ( )

. /

(

) (

)

(

) (

)

(

(

)

(

))

[

(

)

(

)]

(

(

)

(

))

Jadi

(

) (

) (

(

)

(

))

Sifat 2.4.17. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:19) Ketika , parameter

geseran sama dengan rataannya.

54

Bukti.

Dipunyai ( ) . Variabel random mempunyai mean

berhingga (melalui Sifat 2.4.19 dalam kasus , dan karena normal

ketika ). Selain itu, stable mutlak berdasarkan Akibat 2.4.12.

Dipunyai dan masing-masing berdistribusi sama dengan . Berdasarkan

Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3, hubungan

( ) ( ) ( )

( )

Untuk suatu dan positif. Ekspektasi yang diberikan untuk kedua sisi adalah

( , - ) ( , -) ( ) ( , - )

dan dengan begitu , -.

Dalam Bilik (2008) dijelaskan bahwa dari Definisi 2.4.4. menghantarkan pada

satu versi dari teorema limit pusat heavy-tail.

Teorema 2.4.18. (Breiman, 1968) Suatu fungsi distribusi F berada dalam domain

of attraction suatu hukum stable dengan jika dan hanya jika terdapat

konstanta , sehingga :

( )

( )

dan untuk setiap ,

⇒ ( )

( )

55

⇒ ( )

( )

Versi lain dari teorema dengan penyajian yang lebih kongkret. Pertama,

diperkenalkan definisi baru:

Definisi 2.4.19. (Whitt, 2002) Suatu fungsi terdefinisi pada ( ) disebut

regularly varying dengan indeks jika

( )

( )

Suatu fungsi terdefinisi pada ( ) disebut slowly varying jika

( )

( )

Misalkan adalah variabel random dengan fungsi distribusi . Dipunyai

menyatakan komplemen fungsi distribusi dan menyatakan komplemen

fungsi distribusi dari | | yang dinyakatan sebagai berikut.

(| | ) ( ) ( )

Dalam versi teorema selanjutnya digunakan notasi

( )

( )

dengan , suatu deret variable random yang

saling bebas stokastik.

Diperoleh versi selanjutnya untuk teorema limit pusat heavy-tale distribusi Stable:

56

Teorema 2.4.20. (Whitt, 2002) Dipunyai * + bariasan dari nilai nyata

variabel random yang i.i.d dengan fungsi distribusi . Fungsi distribusi

termasuk dalam domain of attraction dari ( ) untuk jika dan

hanya jika

( ) ( )

dengan adalah slowly varying, dan

( )

( )

Ruang skala konstanta harus memenuhi

( )

untuk

(∫

)

Dan konstanta yang dipilih memenuhi

{

∫ (

) ( )

∫ ( )

Dalam kasus ini,

( ), dengan adalah slowly varying (secara umum

berbeda dengan ).

57

2.5 Estimator

2.5.1 Estimator Parameter

Untuk menemukan estimasi dari parameter-parameter di dalam distribusi

Stable diperkenalkan beberapa macam estimator yang digunakan.

2.5.1.1 Estimator Hill

Estimator Hill yang diperkenalkan Hill (1975), merupakan salah satu

estimator grafik yang popular untuk indeks , yang berdasarkan urutan statistik,

dalam kelas heavy-tailed yang tidak hanya distribusi stable. Diberikan urutan

statistik dari sampel , estimator Hill dapat

didefinisikan sebagai

∑ ( ) ( )

(2.31)

dengan

( ) ( ) ( )

(2.32)

Akurasi dari nilai estimasi bergantung pada parameter ( ) yang

mengindikasi dimana ekor distribusi berawal. Nilai lebih mudah ditentukan jika

kita mengetahui distribusi samplingnya.

Estimator ini hanya digunakan untuk nilai-nilai ekstrim terbesar. Jika

, distribusi Pareto berada di dalam domain distribusi stable maka

estimator Hill dapat digunakan untuk mengestimasi indeks stable.

58

2.5.1.2 Estimator McCulloch

Estimator lain yang dapat digunakan untuk melakukan estimasi terhadap

parameter dalam distribusi stable adalah estimator yang diperkenalkan oleh

McCulloch (1986). Metode yang dikembangkan oleh McCulloch (1986)

merupakan generalisasi dari pendekatan Fama and Roll (1968, 1971) yang

mengembangkan metode yang lebih sederhana, menggunakan fungsi sederhana

dari satistik yang telah ditentukan, mereka bisa mengestimasi secara konsisten

begitu juga untuk dan yang hampir konsisten. Namun metode yang telah

mereka kembangkan terbatas pada kasus simetris , dan pada nilai , -.

Generalisasi ini dimaksudkan untuk menyediakan estimator yang konsisten untuk

keempat parameter, dengan yang berada pada range , -, dan pada range

, -. Seperti pada estimator Fama/Roll, estimator ini menggunakan fungsi

sederhana dari lima sampel quantil yang telah ditentukan, normal asimtotik dapat

dihitung dengan error standart asimtotik. Metode ini menghilangkan bias

asimtotik yang kecil dalam estimator Fama/Roll dari parameter dan ; pada

waktu yang sama ini mengurangi keterbatasan pada dan .

2.5.1.2.1 Estimasi untuk dan

Misalkan dipunyai independen dari distribusi stable ( ),

parameter tersebut akan diestimasi. Dipunyai merupakan quantil populasi ke- ,

sehingga ( ) . Dipunyai merupakan quantil sampel, yang

sesuai tepat untuk kekontinuan. Jika urutannya tersusun naik, merupakan

estimator konsisten untuk .

59

Didefinisikan

(2.33)

Indeks ini independen terhadap dan . Tabulasi nilai sebagai suatu

fungsi ( ) ada pada Lampiran 1 Tabel 1. Dipunyai menjadi nilai sampel

yang bersesuai yaitu

(2.34)

merupakan estimator konsisten dari indeks .

Didefinisikan

(2.35)

Dipunyai menjadi nilai sampel yang bersesuaian, yaitu

(2.36)

Sama seperti , juga tidak bergantung pada salah satu atau .

Tabulasi fungsi ( ) ada pada Lampiran 1 Tabel 2. merupakan estimator

konsisten dari indeks

Hubungan

( )

( )

60

dapat dibalik untuk menghasilkan hubungan

( ),

( )

Parameter dan dapat diestimasi oleh

( ),

( )

Tabel 3 dan Tabel 4 (lihat Lampiran 1) menunjukan dan sebagai fungsi

dan .

Dengan sampel berhingga, dapat terjadi bahwa mungkin kurang dari

nilai terkecil yang diizinkan yaitu 2.439, dan oleh karena itu akan keluar dari

skala pada Table 3 (lihat Lampiran 1). Pada kasus ini harusnya diatur sama

dengan 2.0 dan mungkin diatur secara paksa ke signum ( ).

Standart Error (SE) dari estimator McCulloch dinyatakan sebagai

( )

√

(2.37)

dengan

merupakan Normalized Asymptotic Standart Deviations of Parameter

Estimates, dan merupakan ukuran sampel. Lebih lengkap lihat Lampiran 1

Tabel 5.

2.5.1.3 Estimator Hint

Estimator yang baru dikembangkan oleh Mittnik dan Paolella (1999)

dimana seperti McCulloch, didesain untuk memperjelas data berdistribusi stable,

61

akan tetapi berdasarkan fungsi estimasi Hill untuk suatu nilai (dalam estimator

ini, dinyatakan sebagai Hill-intercept atau . Telah ditemukan bahwa

keduanya perpotongan dan kemiringan penaksir linear ini bisa digunakan untuk

memperoleh ketepatan estimasi tertinggi. Bentuk dari estimatornya adalah

(2.38)

dimana merupakan perpotongan dalam regresi linear sederhana dari ( )

pada

, dimana elemen dari sedemikian sehingga dalam

langkah maksimum 2⌊

⌋ 3.

( )

(2.39)

melalui grafik koefisien ( ) untuk perpotongan ( ), dalam

Mittnik dan Paolella (1999, Gambar 2) seperti disajikan pada Gambar 2.1

diperoleh

62

Gambar 2.1 Koefisien ( ) untuk Perpotongan ( )

( ) ( ) ( )

diperoleh

(2.40)

Tidak seperti estimator McCulloh, baru diaplikasikan untuk simetri,

stable Paretian dengan lokasi sama dengan nol, dengan dan rataan sama

dengan nol, tetapi skalanya invarians.

( )

(2.41)

dengan

.

Untuk menentukan bahwa suatu estimator merupakan estimator yang baik,

dapat digunakan beberapa kriteria salah satunya kriteria Mean Squared Error

(MSE).

Dalam Dekking et al. (2005), definisi dari MSE dinyatakan sebagai

berikut.

63

Definisi 2.5.1. Dipunyai suatu estimator dari suatu parameter . Mean Squared

Error dari adalah bilangan ( ) ,( ) -.

Berdasarkan kriteria Mean Squared Error (MSE), estimator lebih baik

daripada estimator jika ( ) ( ).

2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3

R Studio merupakan semacam alat pendukung dalam penggunaaan

program R yang masing-masing secara bebas beredar di internet, dengan

menggunakan R Studio beberapa pekerjaan yang belum bisa dilakukan di R dapat

dilakukan di R Studio misal mendefinisikan fungsi sendiri melaui R script,

menyimpan fungsi tersebut dan menggunakannya kembali. Menggunakan R

Studio dengan interface yang lebih baik dapat mempermudah penggunanya

daripada menggunakan R secara langsung.

2.6.1 Interface R Studio

Gambar 2.2 merupakan interface dalam program R Studio yang masing-

masing bagian dapat dilihat pada Gambar 2.3, Gambar 2.4, Gambar 2.5, Gambar

2.6, dan Gambar 2.7.

Gambar 2.2 Interface R Studio

1 2

3

4

5

64

1. Menu Utama

Terdiri dari File, Edit, Code, View, Plot, Session, Project, Build, Tools,

dan Help. Ditambah pula shortcut seperti (6) New, (7) Open an existing file, (8)

Save current document, (9) Save all open documents, (10) Print the current

document, dan (11) Go to file/function.

Gambar 2.3 Bagian Menu Utama

2. Jendela Dokumen

Tempat untuk melakukan editing dokumen yang dibuat maupun membuat

R script, dan tempat untuk menjalankan script yang telah dibuat. Dilengkapi

dengan shortcut seperti (12) Go back/forward to the previous/next source

location, (13) Save current document, (14) Source on Save, (15) Find/Replace,

(16) Code Tools, (17) Run the current line or selection, (18) Re-run the previous

code region, (19) Source the active document, dan (20) Compile an HTML

notebook from the current R script.

Gambar 2.4 Jendela Dokumen

6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

65

3. Jendela Console

Jendela console berisi suatu keinstanan dari R, dengan kata lain tidak perlu

menjalankan program R secara terpisah.

Gambar 2.5 Jendela Console

4. Jendela Workspace dan History

Jendela workspace menampilkan hasil dari perintah yang dijalan di R

Studio, sedangkan jendela history menampilkan perintah apa saja yang telah

dijalankan di R Studio. Terdapat shorcut (21) Load Workspace, (22) Save

Workspace, (23) Import Dataset (import data yang telah tersimpan), (24) Clear all

objects from workspace, (25) Send the selected commands to the R console, (26)

Insert the selected commands into the current document, (27) Remove the selected

history entries.

Gambar 2.6 Jendela Workspace dan History

21 22 23 24 25 26 27

66

5. Jendela Files, Plots, Packages, dan Help

Jendela Files menampilkan bermacam-macam file yang tersimpan, jendela

Plots menampilkan gambar hasil dari berbagai perintah yang berhubungan dengan

plot gambar misal histogram, scatterplot, dan grafik-grafik yang lain, jendela

Packages menampilkan berbagai packages yang telah ada di R Studio selain bisa

menggunakan packages yang sudah ada dapat pula menambah package dengan

cara melakukan download package, jendela Help menampilkan berbagai

informasi yang berhubungan dengan packages yang telah ada di R Studio.

Tambahan shortcut yang cukup penting adalah (28) New Folder, (29) Delete, (30)

Rename, (31) More (berisi perintah Copy, Move, dll), (32) Zoom, (33) Export

(menyimpan plot dalam bentuk gambar atau pdf), (34) Install Packages (untuk

melakukan download packages yang diperlukan), dan (35) Check for Updates.

Gambar 2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help

28 29 30 31 32 33

67

2.6.2 Perintah dalam R Studio.

Disajikan beberapa macam perintah yang digunakan dalam R Studio.

1. Aritmatika

(Enter)

, -

(Enter)

, -

Operator matematika yang sering digunakan seperti +, -, ^, *, /, ==(sama

dengan), >= (lebih dari atau sama dengan), dan <= (kurang dari atau sama

dengan).

2. Objek

(Enter)

, -

Dapat pula menuliskan objek lain misal temp, seperti contoh berikut.

(Enter)

(Enter)

, -

3. Vektor

( ) (Enter) #Vektor dengan tiga elemen.

(Enter)

, -

, - (Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dari vektor x.

[1] 2

68

, ( )- (Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dan ke-3 dari vektor x.

, -

4. Matriks

( ( ) ) (Enter)

#Dua perintah terakhir dari fungsi matrix tersebut adalah ukuran baris dan kolom

dari matriks yang dibuat.

(Enter)

, - , -, - , -

( ) (Enter) #Menampilkan elemen baris pertama dari matriks y.

, -

5. Mode

( ) (Enter) #Menyatakan panjang total dari vektor x.

, -

Fungsi lain yang mendukung selain length, dim, mode, names adalah sebagai

berikut.

(a) sin, cos, tan, asin, acos, atan: fungsi trigonometri.

(b) log*, log10, exp: fungsi log dan eksponensial.

(c) min, median, max, quantile*: urutan statistik untuk suatu vektor.

(d) sum, prod: jumlah, produk dari elemen-elemen suatu vektor.

(e) var, sd, cov, cor: varian, standar deviasi, covarian, korelasi.

(f) union, intersect: gabungan, irisan dari himpunan.

(g) t: transpose matriks.

69

(h) %*%: perkalian matriks.

(i) solve*: inverse jika hanya satu matrik, penyelesaian untuk x dalam a%*%x=b

jika dua matriks.

(j) diag: diagonal matriks.

Selain menggunakan fungsi yang ada, fungsi baru dapat dibuat dalam R

script dengan perintah dasar fungsi sebagai berikut.

function ( )

{

}

6. Plot

(a) Scatterplots

Membuat matriks yang dinamakan regdata, seperti berikut.

( ( ( )) )

, - , -

, -

, -

, -

, -

, -

, -

# plot titik dari data:

( , - , -) #sumbu x merupakan argumen pertama.

# plot titik dari data dan dihubungkan dengan garis:

70

( , - , - )

# plot garis:

( , - , - )

# menambahkan label sumbu dan judul pada scatterplot:

( , - , -

)

# mengatur pembatasan dari sumbu y:

( , - , - ( ))

(b) Histograms

# plot histogram data random uniform(0,1):

> hist(runif(1000, min=0, max=1))

> hist(rnorm(1000, mean=0, sd=1))

#fungsi hist diijinkan untuk beberapa pilihan, lebih lengkapnya ketikan

`help(hist)'.

Untuk lebih lengkapnya, tutorial tentang R dapat dilihat di

http://research.pomona.edu/johardin/jo.hardin@pomona.edu.

71

BAB 3

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini langkah-langkah yang dilakukan adalah merumuskan

masalah, studi pustaka, penyelesaian masalah dan penarikan kesimpulan.

3.1 Perumusan Masalah

Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga

mempermudah pambahasan selanjutnya.

3.2 Studi Pustaka

Dalam studi pustaka ini digunakan sumber pustaka yang relevan yang

digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian.

Studi pustaka dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat berupa buku,

jurnal, makalah dan sebagainya. Setelah sumber pustaka terkumpul dilanjutkan

dengan pengkajian dari sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka

itu dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan.

3.3 Pengumpulan Data

Data yang digunakan adalah data hasil pembangkitan melalui R studio,

berupa data random berdistribusi stable dengan dan .

Ukuran sampel

3.4 Pemecahan Masalah

3.4.1 Membuat fungsi untuk menghitung nilai estimasi dari parameter beserta

MSE nya berdasarkan teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan

estimator Hint dengan menggunakan program R studio.

72

3.4.2 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data

berdistribusi Stable dengan dan . Ukuran sampel

3.4.3 Melakukan simulasi dengan data yang telah disediakan dan fungsi

penghitung estimasi serta MSE yang telah dibuat, diperoleh MSE untuk

masing-masing nilai dengan ukuran sampel

3.4.4 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.

3.4.5 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.

3.4.6 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator.

3.5 Prosedur Penelitian

3.5.1 Mencari jurnal ataupun buku-buku yang berhubungan dengan teori

distribusi stable, distribusi normal, distribusi cauchy, teori estimator Hill,

estimator McCulloch, dan estimator Hint.

3.5.2 Mengkaji informasi tentang distribusi stable, distribusi normal, distribusi

cauchy, estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint.

3.5.3 Membuat fungsi untuk menghitung nilai estimasi dari parameter beserta

MSE nya berdasarkan teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan

estimator Hint dengan menggunakan program R studio.

3.5.4 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data

berdistribusi Stable dengan dan . Ukuran sampel

3.5.5 Melakukan simulasi dengan data dan fungsi yang telah dibuat.

73

3.5.6 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.

3.5.7 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.

3.5.8 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator.

3.6 Penarikan Kesimpulan

Langkah ini merupakan langkah terakhir dari penelitan. Penarikan

kesimpulan didasarkan pada studi pustaka dan pembahasan permasalahan.

Simpulan yang diperoleh merupakan hasil analisis dari penelitian.

74

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini dijelaskan tentang penentuan estimator parameter terbaik

dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum untuk distribusi

stable.

4.1 Simulasi dan Hasil Analisis

4.1.1 Fungsi Penghitung Estimasi di R Studio

Fungsi dibuat dalam dua bentuk yaitu fungsi untuk melakukan simulasi

dan fungsi untuk diterapkan dalam contoh menggunakan program R Studio. Pada

dasarnya landasan teori yang digunakan untuk kedua fungsi itu sama meliputi

estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint, perbedaannya terletak

pada tambahan perhitungan untuk MSE (Mean Squared Error). Perhitungan MSE

dibutuhkan dalam simulasi karena dalam pembahasan kali ini kriteria untuk

menentukan estimator parameter terbaik menggunakan kriteria MSE.

Sedangkan fungsi yang digunakan dalam perhitungan contoh, dibatasi hingga

perhitungan SE (Standart Error). Script lengkapnya lihat Lampiran 6 dan

Lampiran 7.

4.1.2 Pembangkitan Data

Pembangkitan data random berdistribusi Stable yang dibutuhkan dalam

simulasi menggunakan program Rstudio, melalui langkah-langkah berikut.

(i) Aktifkan package stabledist di Rstudio, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 4.1.

75

Gambar 4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist

(ii) Aktifkan script untuk membangkitkan data, dalam pembahasan ini script

dinamakan generating.R.

Gambar 4.2 Script generating.R

Pada baris pertama script yang ditunjukkan pada Gambar 4.2 gantikan

T dengan nama yang diinginkan dan isikan nilai n, alpha, beta dengan nilai

yang diinginkan, untuk script selanjutnya sesuaikan nilai variabel yang

76

dibutuhkan dengan nilai variabel yang telah diisikan pada script baris

pertama. Seperti yang telah dicontohkan pada gambar. Script lengkapnya lihat

Lampiran 5. Untuk menggunakan script generating.R, tekan tombol

Ctrl+Shift+Enter.

Pembahasan kali ini data yang dibangkitkan menggunakan batas

dan , dengan ukuran sampel .

Plot data hasil bangkitan dapat dilihat di Lampiran 2. Data yang telah

dibangkitkan muncul pada jendela Workspace di R studio, lihat Gambar 4.3.

Secara otomatis grafik plot data dan histogram data muncul di jendela Plots,

lihat Gambar 4.4. Contoh digunakan data random hasil bangkitan yaitu

dengan .

Gambar 4.3 Jendela Workspace Rstudio

Gambar 4.4 Plot Garis dan Histogram

77

4.1.3 Simulasi Data Hasil Bangkitan

Fungsi simulasi yang telah dibuat dinamakan functionhill.R,

functionhill.R, dan functionmccnew.R.

4.1.3.1 Simulasi untuk Estimator McCulloch

Aktifkan script functionmccnew.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela

Console ketikkan mcc( ) ( merupakan nama data yang dibangkitkan)

diikuti – Enter, maka muncul hasil yang ditunjukkan pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator McCulloch

Representasi dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.

4.1.3.2 Simulasi untuk Estimator Hill

Untuk estimator Hill, setiap data dilakukan dua kali simulasi, alasannya

hasil dari estimasi dengan menggunakan estimator Hill selanjutnya akan

digunakan untuk estimasi dengan menggunakan estimator Hint.

78

Untuk estimator Hill, dipilih menggunakan seperti

dalam Paolella (2001), sebelumnya Mittnik & Paolella (1999) menggunakan

interval , kemudian Paolella (2001) mengungkapkan interval

dianjurkan untuk dengan ukuran sampel

. Walaupun dalam simulasi menggunakan

dengan ukuran sampel kurang dari , karena interval simulasi yang dilakukan

lebih mendekati dengan syarat-syarat tersebut, maka interval dari Paolella

(2001) yang dipilih untuk digunakan, dengan interval demikian memberikan

MSE yang cenderung bernilai kecil.

Aktifkan script functionhill.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console

ketikkan hill( ) ( merupakan nama data yang dibangkitkan,

adalah nilai yang dipilih dimana ) – Enter, hasil dapat dilihat pada

Gambar 4.6.

Gambar 4.6 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill

Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.

79

Untuk simulasi kedua, dipilih nilai . Hasil ditunjukkan pada gambar 4.7.

Gambar 4.7 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill

Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.

4.1.3.3 Simulasi untuk Estimator Hint

Aktifkan script functionhint.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console

ketikkan hint( ) ( merupakan nama data

yang dibangkitkan, dan secara berturut-turut menyatakan nilai dengan

dan yang digunakan pada estimasi data dengan

menggunakan estimator Hill, dan berturut-turut merupakan

nilai dari data dengan dan ) – Enter, hasilnya

seperti pada Gambar 4.8.

Gambar 4.8 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hint

80

Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.

Hasil dari estimasi setiap data hasil bangkitan untuk setiap estimator lihat

Lampiran 3, MSE masing-masing estimator untuk setiap dan dapat dilihat di

Lampiran 4.

4.1.4 Analisis Hasil Simulasi

Berikut ini disajikan Tabel 4.1 yang memuat MSE minimum untuk ketiga

estimator yang digunakan untuk setiap nilai .

Tabel 4.1 MSE minimum untuk setiap

Hill Hint McCulloch

MSE MSE MSE

1.0 100 0.020979 40 0.006147 90 0.02704

1.1 100 0.034533 40 0.006147 90 0.02704

1.2 90 0.024085 40 0.006147 90 0.02704

1.3 90 0.026161 40 0.006147 90 0.02704

1.4 90 0.049709 40 0.006147 90 0.04761

1.5 100 0.052967 40 0.006147 100 0.042849

1.6 80 0.077512 40 0.006147 80 0.053561

1.7 70 0.106858 40 0.006147 90 0.095388

1.8 100 0.061001 40 0.006147 70 0.055441

1.9 100 0.069422 40 0.006147 80 0.067861

2.0 90 0.061999 40 0.006147 60 0.0081451

Dari nilai-nilai MSE minimal untuk masing-masing nilai

untuk setiap estimator yang digunakan, MSE terkecil di antara

untuk estimator Hill terjadi pada dengan . MSE terkecil di antara

81

untuk estimator Hint terjadi pada semua yang diperiksa dengan ,

kemudian untuk estimator McCulloch MSE terkecil di antara terjadi pada

dengan .

Disajikan pula Tabel 4.2 yang memuat MSE minimum untuk ketiga

estimator yang digunakan untuk setiap nilai .

Tabel 4.2 MSE minimum untuk setiap

Hill Hint McCulloch

MSE MSE MSE

30 1.1 0.072458 [1.0,2.0] 0.019099 1.2 0.07803

40 1.1 0.048717 [1.0,2.0] 0.006147 1.1 0.05041

50 1.3 0.052828 [1.0,2.0] 0.023287 1.3 0.040323

60 1.0 0.031827 [1.0,2.0] 0.032005 2.0 0.008145

70 1.2 0.025223 [1.0,2.0] 0.034715 1.2 0.028806

80 1.0 0.042932 [1.0,2.0] 0.03447 1.0 0.034031

90 1.2 0.024085 [1.0,2.0] 0.032928 [1.0,1.3] 0.02704

100 1.0 0.020979 [1.0,2.0] 0.030899 1.1 0.032041

Nilai MSE minimal untuk masing-masing nilai yang

telah disajikan, terlihat bahwa nilai MSE terkecil di antara untuk estimator Hill

terjadi pada dengan nilai . MSE terkecil di antara untuk

estimator Hint terjadi ketika yaitu pada semua yang diperiksa, dan

untuk estimator McCulloch, MSE terkecil di antara terjadi saat dengan

nilai .

Dari hasil pengamatan tabel nilai MSE masing-masing estimator,

diperoleh hasil bahwa MSE minimal dengan ukuran sampel ( ) optimum terjadi

82

pada estimator Hint dengan yang berlaku untuk setiap yang diperiksa

yaitu .

4.2 Contoh

Menggunakan data return harian dari saham TLKM dengan nama

TLKMRETURN2, sebanyak 50 buah sampel yang mulai pada 20 Oktober 2011

sampai 30 Desember 2011. Hasil scatter plot dan histogram data

TLKMRETURN2 disajikan pada Gambar 4.9.

Gambar 4.9 Scatter plot dan Histogram Data TLKMRETURN2

Diperoleh hasil sebagai berikut.

Gambar 4.10 Hasil Estimasi data TLKMRETURN2

Representasi dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.

83

Disebutkan bahwa estimator dengan standart error terkecil adalah estimator Hint

dengan dan .

84

BAB 5

PENUTUP

5.1 Simpulan

Berdasarkan hasil pembahasan pada Bab 4, diperoleh simpulan bahwa

berdasarkan estimator yang dipilih untuk digunakan yaitu estimator Hill, estimator

Hint, dan estimator McCulloch, dengan kriteria Mean Squared Error (MSE)

diperoleh hasil bahwa MSE minimal dengan ukuran sampel ( ) optimum terjadi

pada estimator Hint dengan yang berlaku untuk setiap yang diperiksa

yaitu .

5.2 Saran

1. Ukuran sampel yang relatif kecil seperti hasil simulasi lebih

disarankan menggunakan estimator Hint karena mampu menghasilkan MSE

minimal.

2. Pendekatan distribusi stable pada permasalahan finansial seperti pengambilan

keputusan menjual atau membeli saham tertentu dilihat dari plot histogram

histori return data saham tersebut. Bila puncak plot dari return saham tersebut

runcing(leptokurtik) simetris pada daerah positif atau condong ke daerah

positif artinya peluang saham tersebut mampu memberikan keuntungan lebih

besar sehingga investor lebih baik memutuskan untuk membeli saham

tersebut dan pemilik saham lebih baik memutuskan untuk menjual saham.

Tapi bila sebaliknya, artinya peluang saham akan menimbulkan kerugian

85

lebih besar sehingga tidak akan menguntungkan bila investor membeli saham

tersebut. Pemilik saham lebih baik tetap mempertahankan sahamnya.

86

DAFTAR PUSTAKA

Aunon, J. I., & Chandrasekar, V. 1997. Introduction to Probability and Random

Processes. McGraw-Hill Companies, Inc.

Bilik, A. 2008. Heavy-Tail Central Limit Theorem. Preprint diperoleh dari

http://www.math.ucsd.edu/~williams/courses/.../bilikHeavy_Tail_Notes.

pdf.

Bollerslev, T., Engle, R. F., & Nelson, D. B. 1994. ARCH models, In Handbook

of Econometrics. (Edited by R. Engle & D. McFadden). Elsiver Science,

Amsterdam.

Breiman, L. 1968. Probability. Boston: Addison-Wesley Publishing Company

Inc.

Burnecki, K., Gajda, J., & Sikora, G. 2011. Stability and lack of memory of the

returns of the Hang Seng index. Elsevier, 390:3136-3146.

Burnecki, K., Klafter, J., Magdziarz, M., & Wero, A. 2008. From solar flare time

series to fractional dynamics. Elsevier, 387:1077-1087.

Dekking, F. M., Kraaikamp, C., Lopuhaa, H. P., & Meester, L. E. 2005.

Introduction to Probability dan Statistics Understdaning Why dan How.

Springer.

DuMouchel, W. H. 1971. Stable Distributions in Statistical Inference. PhD

thesis, Yale University.

Fama, E. F., & Roll, R. 1968. Some properties of symmetric Stable distributions.

Journal of the American Statistical Association, 63:817–836.

Fama, E. F., & Roll, R. 1971. Parameters estimates for symmetric Stable

distribution. Journal of the American Statistical Association,

66(334):331–338.

Feller, W. 1971. An Introduction to Probability Theory dan Its Applications.

John Wiley, New York, 2nd edition.

Feuerverger, A., & McDunnough, P. 1981. On the efficiency of empirical

characteristic function procedures. Journal of the Royal Statistical

Society, 43:20–27.

Frain, J. C. 2009. Studies on the applications of the alpha-Stable distribution in

economics. Master’s thesis, University of Dublin.

Gnedenko, B. V., & Kolmogorov, A. N. 1954. Limit Distributions for Sums of

Independent Random Variables. Addison-Wesley Publishing Company.

87

Hill, B. M. 1975. A simple general approach to inference about the tail of a

distribution. The Annals of Statistics, 3(5):1163–1174.

Hogg, R. V., & Craig, A. T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics.

Macmillan Publishing Co., Inc., New York.

Holt, D. R., & Crow, E. L. 1973. Tables and Graphs of the Stable Probability

Density Functions. Journal of Research of the National Bureau of

Standards B, 77:143-198.

Kogon, S. M., & Williams, D. B. 1998. Characteristic function based estimation

of Stable distribution parameters. In Adler, R. J., Feldman, R. E., dan

Taqqu, M. S., editors, A Practical Guide to Heavy Tailed Data, pages

311–335. Birkhauser, Boston.

Koutrouvelis, I. A. 1980. Regression-type estimation of the parameters of Stable

laws. Journal of the American Statistical Association, 75:918–928.

Lukacs, E. 1970. Characteristic Functions. Charles Griffin & Company Limited

42 Drury Lane, London.

Magdziarz, M. 2009. Correlation cascades, ergodic properties and long memory

of infinitely divisible processe. Elsevier, 119:3416-3434.

Mandelbrot, B. 1963. The variation of certain speculative prices. Journal of

Business, 36:394–419.

McCulloch, J. H. 1986. Simple consistent estimators of Stable distribution

parameters. Communications in Statistics - Simulation dan Computation,

15(4):1109–1136.

McDonald, J. B., & Newey, W. K. 1988. Partially adaptive estimation of

regression models via the generalized t distribution, Econometric Theory,

4:428-457.

Mittnik, S., & Paolella, S. 1999. A Simple Estimator for the Characteristic

Exponent of the Stable Paretian Distribution. Mathematical and

Computer Modelling, 29:161-176.

Nolan, J. P. 1997. Numerical calculation of Stable densities and distribution

functions. Communications in Statistics : Stochastic Models, 13:759–

774.

Nolan, J. P. 2001. Maximum likelihood estimation dan diagnostics for Stable

distributions. In Barndorff-Nielsen, O. E., Mikosch, T., dan Resnick, S.

I., editors, Lévy Processes: Theory dan Applications, pages 379–400.

Birkhauser, Boston.

Owen, A. B. 1988. Empirical likelihood ratio confidence intervals for a single

functional. Biometrika, 75:237–249.

88

Owen, A. B. 1990. Empirical likelihood ratio confidence regions. The Annals of

Statistics, 18:90–120.

Paolella, M. S. 2001. Testing the Stable paretian assumption. Mathematical dan

Computer Modelling, 34:1095–1112.

Paulson, A. S., Holcomb, E. W., & Leitch, R. A. 1975. The estimation of the

parameters of the Stable laws. Biometrika, 62:163–170.

Press, S. J. 1972. Estimation in univariate dan multivariate Stable distributions.

Journal of the American Statistical Association, 67:842–846.

Qin, J., & Lawless, J. 1994. Empirical likelihood dan general estimating

equations. The Annals of Statistics, 22:300–325.

Rosadi, D. 2009. Testing for independence in heavy-tailed time series using

codifference function. Elsevier, 53:4516-4529.

Rosadi, D., & Deistler, M. 2009. Estimating the codifference function of linear

time series models with infinite variance. Metrik, 73:395-429.

Roussas, G. 2003. An Introduction to Probability dan Statistical Inference.

Academic Press.

Sato, K. 1999. L’evy Processes dan Infinitely Divisible Distributions. Cambridge

University Press.

Stone, C. J. 1996. A Course in Probability dan Statistics. China Machine Press.

Taqqu, M. S., & Levy, J. B. 2008. The dependence structure of log-fractiona

stable noise with analogy to fractional Gaussian noise. Rendiconti di

Matematica, 28:97-115.

Samorodnitsky, G., & Taqqu, M. S. 1994. Stable Non-Gaussian Random

Processes. Chapman and Hall.

Uchaikin, V. V., & Zolotarev, V. M. 1999. Chance and Stability Stable

Distributions dan their Applications. VSP.

Wang, C., Liao, M., & Li, X. 2008. Ship Detection in SAR Image based on the

Alpha-Stable Distribution. Sensors, 8:4948–4960.

Whitt, W. 2002. Stochastic-Process Limit: An Introduction to Stochastic-

Process Limits and Their Application to Queues. Springer.

Wylomanska, A. 2011. Measures of dependence for Ornstein-Uhlenbeck

processes with tempered stable distribution. Acta Physica Polonica B,

42:2049-2062.

89

Zolotarev, V. M. 1964. The First Passage Time of a Level and the Behavior at

Infinity for a Class of Processes with Independent Increments. Theory

Probability & Its Application, 9(4):653-662.

Zolotarev, V. M. 1986. One-Dimensional Stable Distributions. American

Mathematical Society, Providence.

Zwillinger, D., and Kokoska, S. 1957. Standard Probability and Statistics

Tables and Formulae. Chapman and Hall, Florida.

LAMPIRAN-LAMPIRAN

90

LAMPIRAN 1

Tabel 1 ( )

(McCulloch (1986), Tabel I)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

2.00 2.439 2.439 2.439 2.439 2.439

1.90 2.512 2.512 2.513 2.513 2.515

1.80 2.608 2.609 2.610 2.613 2.617

1.70 2.737 2.738 2.739 2.742 2.746

1.60 2.912 2.909 2.904 2.900 2.902

1.50 3.148 3.136 3.112 3.092 3.089

1.40 3.464 3.436 3.378 3.331 3.316

1.30 3.882 3.834 3.720 3.626 3.600

1.20 4.447 4.365 4.171 4.005 3.963

1.10 5.217 5.084 4.778 4.512 4.451

1.00 6.314 6.098 5.624 5.220 5.126

0.90 7.910 7.590 6.861 6.260 6.124

0.80 10.448 9.934 8.779 7.900 7.687

0.70 14.838 13.954 12.042 10.722 10.370

0.60 23.483 21.768 18.332 16.216 15.584

0.50 44.281 40.137 33.002 29.140 27.782

Catatan: ( ) ( )

Tabel 2 ( )

(McCulloch (1986), Tabel II)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

2.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

1.90 0.0 0.018 0.036 0.053 0.071

1.80 0.0 0.039 0.077 0.113 0.148

1.70 0.0 0.063 0.123 0.178 0.228

1.60 0.0 0.089 0.174 0.248 0.309

1.50 0.0 0.118 0.228 0.320 0.390

1.40 0.0 0.148 0.285 0.394 0.469

1.30 0.0 0.177 0.342 0.470 0.546

1.20 0.0 0.206 0.399 0.547 0.621

1.10 0.0 0.236 0.456 0.624 0.693

1.00 0.0 0.268 0.513 0.699 0.762

0.90 0.0 0.303 0.573 0.770 0.825

0.80 0.0 0.341 0.634 0.834 0.881

0.70 0.0 0.387 0.699 0.890 0.927

0.60 0.0 0.441 0.768 0.936 0.962

0.50 0.0 0.510 0.838 0.970 0.985

Catatan: ( ) ( )

91

Tabel 3 ( )

(McCulloch (1986), Tabel III)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0

2.439 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0

2.5 1.916 1.924 1.924 1.924 1.924 1.924 1.924

2.6 1.808 1.813 1.829 1.829 1.829 1.829 1.829

2.7 1.729 1.730 1.737 1.745 1.745 1.745 1.745

2.8 1.664 1.663 1.663 1.668 1.676 1.676 1.676

3.0 1.563 1.560 1.553 1.548 1.547 1.547 1.547

3.2 1.484 1.480 1,471 1,460 1.448 1.438 1.438

3.5 1.391 1.386 1.378 1.364 1.337 1.318 1.318

4.0 1.279 1.273 1.266 1.250 1.210 1.184 1.150

5.0 1.128 1.121 1.114 1.101 1.067 1.027 0.973

6.0 1.029 1.021 1.014 1.004 0.974 0.935 0.874

8.0 0.896 0.892 0.887 0.883 0.855 0.823 0.769

10.0 0.818 0.812 0.806 0.801 0.780 0.756 0.691

15.0 0.698 0.695 0.692 0.689 0.676 0.656 0.595

25.0 0.593 0.590 0.588 0.586 0.579 0.563 0.513

Catatan: ( ) ( )

Tabel 4 ( )

(McCulloch (1986), Tabel IV)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0

2.439 0.0 2.160 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

2.5 0.0 1.592 3.390 1.0 1.0 1.0 1.0

2.6 0.0 0.759 1.800 1.0 1.0 1.0 1.0

2.7 0.0 0.482 1.048 1.694 1.0 1.0 1.0

2.8 0.0 0.360 0.760 1.232 2.229 1.0 1.0

3.0 0.0 0.253 0.518 0.823 1.575 1.0 1.0

3.2 0.0 0.203 0.410 0.632 1.244 1.906 1.0

3.5 0.0 0.165 0.332 0.499 0.943 1.560 1.0

4.0 0.0 0.136 0.271 0.404 0.689 1.230 2.195

5.0 0.0 0.109 0.216 0.323 0.539 0.827 1.917

6.0 0.0 0.096 0.190 0.284 0.472 0.693 1.759

8.0 0.0 0.082 0.163 0.243 0.412 0.601 1.596

10.0 0.0 0.074 0.147 0.220 0.377 0.546 1.482

15.0 0.0 0.064 0.128 0.191 0.330 0.478 1.362

25.0 0.0 0.056 0.112 0.167 0.285 0.428 1.274

Catatan: ( ) ( )

92

Tabel 5

untuk parameter (McCulloch (1986), Table VIII a)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

2.00 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02

1.75 2.81 2.85 2.93 3.05 3.17

1.50 1.97 2.07 2.33 2.64 2.85

1.25 1.65 1.79 2.03 2.42 2.55

1.00 1.42 1.56 1.87 2.16 2.16

0.75 1.13 1.41 1.53 1.77 1.65

0.50 1.32 1.54 1.73 1.70 1.75

93

LAMPIRAN 2

Plot Garis dan Histogram Data Random Berdistribusi Stable Hasil Bangkitan

94

95

96

97

LAMPIRAN 2

98

99

100

101

102

LAMPIRAN 2

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

LAMPIRAN 3

Daftar Nilai , MSE untuk Data Random Berditribusi Stable

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.3212 0.45577 0.207726 13 0.94448 0.3085 0.095172 2.292 -0.1382 0.019099 1.128 0 0.3012474 0.09075

40

16 1.3991 0.39886 0.159089 18 1.32797 0.3515 0.123552 1.4278 0.0784 0.006147 1.73 0.482 0.463237 0.2146225

50

20 1.2925 0.32069 0.102842 22 1.3009 0.3048 0.092903 1.0461 0.1526 0.023287 1.21 -0.689 0.3422397 0.117128

60

24 0.8201 0.18244 0.033284 26 0.8402 0.1784 0.031827 0.5536 0.1789 0.032005 0.896 0 0.18332121 0.03360667

70

28 1.1624 0.23639 0.05588 31 1.22867 0.2358 0.055602 0.51701 0.18632 0.034715 1.273 -0.136 0.19721272 0.03889286

80

32 1.1707 0.2206 0.048664 35 1.15612 0.2072 0.042932 1.1159 0.18566 0.03447 1.279 0 0.18447561 0.03403125

90

36 1.0086 0.17791 0.031652 40 1.02747 0.17095 0.029224 0.78789 0.18146 0.032928 1.004 0.284 0.1644384 0.02704

100

40 0.9107 0.15152 0.022958 44 0.9173 0.14484 0.020979 0.79262 0.17578 0.030899 1.128 0 0.165 0.27225

116

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.0232 0.35298 0.124595 13 0.8241 0.26918 0.072458 1.8842 -0.1382 0.019099 1.128 0 0.3012474 0.09075

40

16 1.10199 0.31416 0.098697 18 0.83382 0.22072 0.048717 1.8433 0.0784 0.006147 1.021 0.096 0.2245217 0.05041

50

20 1.15916 0.2875971 0.082712 22 1.2517 0.2932239 0.08598 0.0974 0.1526 0.023287 1.378 -0.332 0.2927422 0.085698

60

24 1.08129 0.24055588 0.057867 26 1.1261 0.2390583 0.057149 0.51667 0.1789 0.032005 1.014 0.19 0.2013951 0.04056

70

28 1.03778 0.21106394 0.044548 31 0.9822 0.18846889 0.035521 1.23965 0.18632 0.034715 1.114 0.216 0.18645566 0.03476571

80

32 1.13783 0.2144403 0.045985 35 1.1663 0.20899215 0.043678 0.78419 0.18566 0.03447 1.266 -0.271 0.20012808 0.04005125

90

36 1.20019 0.21171233 0.044822 40 1.1401 0.18968875 0.035982 1.32857 0.18146 0.032928 1.114 -0.216 0.1644384 0.02704

100

40 1.26187 0.20995154 0.04408 44 1.1769 0.18583127 0.034533 1.48549 0.17578 0.030899 1.25 -0.404 0.179 0.032041

117

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 0.8478 0.2924783 0.085544 13 0.91736 0.2996441 0.089787 -0.58311 -0.1382 0.019099 0.823 0.601 0.2793385 0.07803

40

16 1.2042 0.343305 0.117858 18 1.23974 0.3281652 0.107692 0.85064 0.0784 0.006147 1.386 -0.165 0.3114843 0.0970225

50

20 1.4628 0.3629295 0.131718 22 1.21561 0.28476287 0.08109 1.99987 0.1526 0.023287 1.664 0 0.397394 0.157922

60

24 1.4816 0.3296121 0.108644 26 1.31936 0.28008508 0.078448 1.88808 0.1789 0.032005 1.56 -0.253 0.2672359 0.071415

70

28 0.78683 0.1600249 0.025608 31 0.82766 0.1588166 0.025223 0.35575 0.18632 0.034715 1.021 -0.096 0.16972246 0.02880571

80

32 1.39557 0.2630147 0.069177 35 1.49347 0.2676259 0.071624 0.28273 0.18566 0.03447 1.471 -0.41 0.23143304 0.05356125

90

36 0.99827 0.17609405 0.031009 40 0.93276 0.15519365 0.024085 1.25534 0.18146 0.032928 1.004 0.284 0.1644384 0.02704

100

40 1.35742 0.2258483 0.051007 44 1.20165 0.18973132 0.035998 1.75364 0.17578 0.030899 1.386 -0.165 0.197 0.038809

118

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.1147 0.3845567 0.147884 13 0.9873 0.3224965 0.104004 1.672 -0.1382 0.019099 1.378 -0.332 0.3779286 0.14283

40

16 1.1733 0.3344957 0.111887 18 1.1714 0.310066 0.096141 1.0337 0.0784 0.006147 1.378 0.332 0.3272957 0.1071225

50

20 0.9427 0.2338802 0.0547 22 0.9812 0.2298433 0.052828 0.5316 0.1526 0.023287 1.121 -0.109 0.2008183 0.0403228

60

24 1.33488 0.29697147 0.088192 26 1.2697 0.26954989 0.072657 1.4923 0.1789 0.032005 1.480 -0.203 0.2672359 0.071415

70

28 1.2184 0.24779029 0.0614 31 1.2147 0.23307371 0.054323 1.073 0.18632 0.034715 1.279 0 0.19721272 0.03889286

80

32 1.3091 0.24672465 0.060873 35 1.3115 0.2350214 0.055235 1.0911 0.18566 0.03447 1.364 0.499 0.2269609 0.05151125

90

36 1.1055 0.1950039 0.038027 40 0.9721 0.1617443 0.026161 1.5583 0.18146 0.032928 1.101 -0.323 0.1644384 0.02704

100

40 1.5682 0.2609106 0.068074 44 1.4736 0.23267493 0.054138 1.6302 0.17578 0.030899 1.386 -0.165 0.197 0.038809

119

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.1265 0.3886229 0.151028 13 1.0761 0.3514865 0.123543 1.3241 -0.1382 0.019099 1.004 0.284 0.2848157 0.08112

40

16 1.9389 0.5527246 0.305504 18 1.5996 0.4234318 0.179294 2.1305 0.0784 0.006147 1.663 -0.36 0.4506246 0.2030625

50

20 1.6859 0.4183062 0.17498 22 1.4161 0.3317351 0.110048 2.0849 0.1526 0.023287 1.56 -0.253 0.2927422 0.0856980

60

24 1.3686 0.30447134 0.092703 26 1.2729 0.2702307 0.073025 1.6311 0.1789 0.032005 1.364 -0.499 0.26207187 0.06868167

70

28 1.3407 0.27266536 0.074346 31 1.3645 0.2618201 0.06855 0.9892 0.18632 0.034715 1.553 -0.518 0.27848827 0.07755571

80

32 1.5578 0.2935793 0.086189 35 1.3863 0.24842918 0.061717 1.8780985 0.18566 0.03447 1.471 -0.41 0.23143304 0.05356125

90

36 1.6769 0.2958197 0.087509 40 1.34 0.22295612 0.049709 2.1394716 0.18146 0.032928 1.471 0.41 0.2181972 0.04761

100

40 1.9275951 0.3207151 0.102858 44 1.6802 0.2652918 0.07038 2.0880698 0.17578 0.030899 1.73 0.482 0.293 0.085849

120

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.9342 0.6672396 0.445209 13 1.4504 0.4737475 0.224437 2.4474 -0.1382 0.019099 1.664 0 0.5130335 0.2632033

40

16 2.1391 0.6098155 0.371875 18 2.1028 0.5566283 0.309835 1.6017 0.0784 0.006147 2 1 0.6356178 0.40401

50

20 1.8249 0.45278 0.20501 22 1.8746 0.4391301 0.192835 1.1169 0.1526 0.023287 2 -1 0.5685139 0.323208

60

24 2.2029 0.4900893 0.240188 26 1.8792 0.3989292 0.159145 2.3178 0.1789 0.032005 2 0 0.5189798 0.26934

70

28 1.9096 0.3883811 0.15084 31 1.7687 0.3393895 0.115185 1.8375 0.18632 0.034715 1.663 0.36 0.3406402 0.1160357

80

32 1.9183 0.3615356 0.130708 35 1.8817 0.3371982 0.113703 1.5593 0.18566 0.03447 2 1 0.4494497 0.202005

90

36 1.5838 0.27937239 0.078049 40 1.4659 0.24390706 0.059491 1.6725 0.18146 0.032928 1.364 -0.499 0.21398079 0.04578778

100

40 1.4373 0.23913377 0.057185 44 1.4576 0.23014609 0.052967 1.0618 0.17578 0.030899 1.56 -0.253 0.207 0.042849

121

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.9961 0.6886071 0.47418 13 1.7664 0.5769814 0.332908 2.1464 -0.1382 0.019099 2 1 0.7339482 0.53868

40

16 2.2872 0.6520385 0.425154 18 2.1677 0.5738128 0.329261 1.8423 0.0784 0.006147 2 -1 0.6356178 0.40401

50

20 1.5135 0.3517938 0.123759 22 1.5018 0.3517938 0.123759 1.2763 0.1526 0.023287 1.663 0.76 0.4313351 0.18605

60

24 2.1566 0.4797849 0.230194 26 2.0877 0.4431924 0.19642 1.7729 0.1789 0.032005 2 -1 0.5189798 0.26934

70

28 2.2361 0.4547699 0.206816 31 1.7303 0.3320159 0.110235 2.3955 0.18632 0.034715 1.664 0 0.3358592 0.1128014

80

32 1.5516 0.29242127 0.08551 35 1.5536 0.27840917 0.077512 1.2263 0.18566 0.03447 1.56 0.253 0.23143304 0.05356125

90

36 2.0158 0.3555809 0.126438 40 1.8622 0.3098317 0.095996 1.88078 0.18146 0.032928 1.663 -0.36 0.3004164 0.09025

100

40 2.0109 0.3345757 0.111941 44 1.8368 0.2900163 0.084109 1.9616 0.17578 0.030899 1.663 0.76 0.305 0.093025

122

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.7534 0.6048836 0.365884 13 1.8254 0.5962564 0.355522 0.8275 -0.1382 0.019099 1.73 -0.482 0.5349424 0.2861633

40

16 2.0592 0.5870314 0.344606 18 1.7996 0.4763719 0.22693 2.0395 0.0784 0.006147 1.56 0.253 0.3272957 0.1071225

50

20 2.0359 0.5051416 0.255168 22 1.6761 0.3926407 0.154167 2.2675 0.1526 0.023287 2 1 0.5685139 0.3232080

60

24 1.7167 0.3819228 0.145865 26 1.7066 0.3622949 0.131258 1.3722 0.1789 0.032005 1.829 1 0.4092452 0.1674817

70

28 1.6073 0.326891 0.106858 31 1.5891 0.3049235 0.092978 1.3451 0.18632 0.034715 1.663 0.36 0.3406402 0.1160357

80

32 2.0439 0.3852079 0.148385 35 2.0015 0.3586729 0.128646 1.6242 0.18566 0.03447 1.663 -0.36 0.3186397 0.1015312

90

36 1.9159 0.3379722 0.114225 40 1.8611 0.3096466 0.095881 1.5946 0.18146 0.032928 1.73 0.482 0.30884912 0.09538778

100

40 2.189 0.3642136 0.132652 44 1.8951 0.2992184 0.089532 2.2021 0.17578 0.030899 1.916 0 0.402 0.161604

123

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 2.2219 0.7665121 0.587541 13 2.3149 0.7561402 0.571748 0.9809 -0.1382 0.019099 2 1 0.7339482 0.53868

40

16 2.1486 0.6125328 0.375196 18 2.2516 0.5960002 0.355216 1.1149 0.0784 0.006147 2 1 0.6356178 0.40401

50

20 2.2771 0.5649644 0.319185 22 1.9249 0.4509253 0.203334 2.2867 0.1526 0.023287 1.563 0 0.2786001 0.0776180

60

24 1.8924 0.4209935 0.177236 26 1.9099 0.4054405 0.164382 1.3012 0.1789 0.032005 1.924 1 0.5189798 0.26934

70

28 1.732 0.3522588 0.124086 31 1.7409 0.3340533 0.111592 1.2852 0.18632 0.034715 1.563 0 0.23546004 0.05544143

80

32 2.1065 0.3969957 0.157606 35 2.0149 0.3610755 0.130376 1.8004 0.18566 0.03447 1.73 -0.482 0.327584 0.1073113

90

36 1.6447 0.2901204 0.08417 40 1.5995 0.2661196 0.07082 1.4618 0.18146 0.032928 1.813 0.759 0.3214982 0.1033611

100

40 1.6173 0.269081 0.072405 44 1.5643 0.2469829 0.061001 1.4993 0.17578 0.030899 1.664 0 0.281 0.078961

124

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 1.8039 0.6222911 0.387246 13 1.5339 0.501016 0.251017 2.1901 -0.1382 0.019099 1.729 0 0.5130335 0.2632033

40

16 1.5233 0.4342737 0.188594 18 1.6617 0.4398666 0.193483 0.3689317 0.0784 0.006147 1.729 0 0.4443 0.1974025

50

20 2.4346 0.604041 0.364866 22 2.3229 0.5441534 0.296103 1.9169 0.1526 0.023287 2 -1 0.5685139 0.323208

60

24 2.1126 0.4699875 0.220888 26 2.1919 0.4653168 0.21652 1.0165 0.1789 0.032005 2 0 0.5189798 0.26934

70

28 1.8099 0.3680969 0.135495 31 1.8964 0.363897 0.132421 0.9107 0.18632 0.034715 1.73 -0.482 0.350202 0.1226414

80

32 1.6281 0.3068447 0.094154 35 1.6378 0.2934903 0.086137 1.2234 0.18566 0.03447 1.553 0.518 0.26050192 0.06786125

90

36 1.8772 0.3311343 0.10965 40 1.6149 0.2686823 0.07219 2.0586 0.18146 0.032928 1.663 0.36 0.3004164 0.09025

100

40 2.1116 0.3513217 0.123427 44 1.6687 0.2634799 0.069422 2.3117 0.17578 0.030899 1.924 -1 0.402 0.161604

125

Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan

Hill Hill Hint McCulloch

30

12 2.0487 0.706748 0.499493 13 2.1325 0.6965416 0.48517 0.9389 -0.1382 0.019099 2 -1 0.7339482 0.53868

40

16 1.9348 0.5515579 0.304216 18 1.8744 0.4961614 0.246176 1.5977 0.0784 0.006147 2 -1 0.6356178 0.40401

50

20 2.4556 0.6092545 0.371191 22 1.9748 0.4625963 0.213995 2.4177 0.1526 0.023287 2 1 0.568539 0.323208

60

24 2.0899 0.4649628 0.21619 26 1.8419 0.3910333 0.152907 2.1933 0.17891 0.032009 2 0 0.518989 0.26934958

70

28 2.2081 0.4490877 0.20168 31 2.0522 0.393785 0.155067 1.9422 0.18632 0.034715 2 1 0.4804819 0.2308629

80

32 1.6714 0.314991 0.099219 35 1.6563 0.2968074 0.088095 1.3698 0.18566 0.03447 1.813 -0.759 0.3410004 0.1162812

90

36 1.6666 0.2939825 0.086426 40 1.4965 0.2489955 0.061999 1.8289 0.18146 0.032928 1.829 1 0.3341473 0.1116544

100

40 1.847 0.3073127 0.094441 44 1.6908 0.2669632 0.071269 1.8834 0.17578 0.030899 1.916 0 0.402 0.161604

126

LAMPIRAN 4

MSE Parameter untuk Masing-masing Estimator

MSE parameter dengan menggunakan estimator Hill

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

30 0.207726 0.124595 0.085544 0.147884 0.151028 0.445209 0.47418 0.365884 0.587541 0.387246 0.499493

40 0.159089 0.098697 0.117858 0.111887 0.305504 0.371875 0.425154 0.344606 0.375196 0.188594 0.304216

50 0.102842 0.082712 0.131718 0.0547 0.17498 0.20501 0.123759 0.255168 0.319185 0.364866 0.371191

60 0.033284 0.057867 0.108644 0.088192 0.092703 0.240188 0.230194 0.145865 0.177236 0.220888 0.21619

70 0.05588 0.044548 0.025608 0.0614 0.074346 0.15084 0.206816 0.106858 0.124086 0.135495 0.20168

80 0.048664 0.045985 0.069177 0.060873 0.086189 0.130708 0.08551 0.148385 0.157606 0.094154 0.099219

90 0.031652 0.044822 0.031009 0.038027 0.087509 0.078049 0.126438 0.114225 0.08417 0.10965 0.086426

100 0.022958 0.04408 0.051007 0.068074 0.102858 0.057185 0.111941 0.132652 0.072405 0.123427 0.094441

MSE parameter dengan menggunakan estimator Hill

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

30 0.095172 0.072458 0.089787 0.104004 0.123543 0.224437 0.332908 0.365884 0.571748 0.251017 0.48517

40 0.123552 0.048717 0.107692 0.096141 0.179294 0.309835 0.329261 0.344606 0.355216 0.193483 0.246176

50 0.092903 0.08598 0.08109 0.052828 0.110048 0.192835 0.123759 0.255168 0.203334 0.296103 0.213995

60 0.031827 0.057149 0.078448 0.072657 0.073025 0.159145 0.19642 0.145865 0.164382 0.21652 0.152907

70 0.055602 0.035521 0.025223 0.054323 0.06855 0.115185 0.110235 0.106858 0.111592 0.132421 0.155067

80 0.042932 0.043678 0.071624 0.055235 0.061717 0.113703 0.077512 0.148385 0.130376 0.086137 0.088095

90 0.029224 0.035982 0.024085 0.026161 0.049709 0.059491 0.095996 0.114225 0.07082 0.07219 0.061999

100 0.020979 0.034533 0.035998 0.054138 0.07038 0.052967 0.084109 0.132652 0.061001 0.069422 0.071269

127

MSE parameter dengan menggunakan estimator Hint

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

30 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099

40 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147

50 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287

60 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005

70 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715

80 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447

90 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928

100 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899

MSE parameter dengan menggunakan estimator McCulloch

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

30 0.09075 0.09075 0.07803 0.14283 0.08112 0.2632033 0.53868 0.2861633 0.53868 0.2632033 0.53868

40 0.2146225 0.05041 0.0970225 0.1071225 0.2030625 0.40401 0.40401 0.1071225 0.40401 0.1974025 0.40401

50 0.117128 0.085698 0.157922 0.0403228 0.085698 0.323208 0.18605 0.323208 0.077618 0.323208 0.323208

60 0.0336067 0.04056 0.071415 0.071415 0.0686817 0.26934 0.26934 0.1674817 0.26934 0.26934 0.0081451

70 0.0388929 0.0347657 0.02880571 0.0388929 0.0775557 0.1160357 0.1128014 0.1160357 0.0554414 0.1226414 0.2308629

80 0.0340313 0.0400513 0.05356125 0.0515113 0.0535613 0.202005 0.0535613 0.1015312 0.1073113 0.0678613 0.1162812

90 0.02704 0.02704 0.02704 0.02704 0.04761 0.0457878 0.09025 0.0953878 0.1033611 0.09025 0.1116544

100 0.27225 0.032041 0.038809 0.038809 0.085849 0.042849 0.093025 0.161604 0.078961 0.161604 0.161604

128

LAMPIRAN 5

Script Membangkitkan Data Random Berdistribusi Stable

T <- rstable(n = a, alpha =b , beta =c )

plot(T, type = "l", main = "stable: alpha=b beta=c ",

col = "steelblue")

hist(T, n = round(1+(3.3*log10(length(T)))), probability = TRUE, border =

"white",

col = "steelblue")

x <- seq(-10, 10, 0.25)

lines(x, dstable(x, alpha = b, beta = c, tol= 1e-3), lwd = 2)

129

LAMPIRAN 6

Script Fungsi Estimator untuk Simulasi

Estimator Hill

hill <- function(x,a){

k <- a*length(x)

kbulat <- round(k)

absx <- abs(x)

sortabsx <- sort(absx)

sum <- sum((1/kbulat)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat))]))

alfainvers <- sum-log(sortabsx[length(x)-kbulat])

alfahill <- 1/alfainvers

sehill <- (kbulat*alfahill)/((kbulat-1)*(sqrt(kbulat-2)))

MSEhill <- (sehill*sehill)

myvec <- c(kbulat,alfahill,sehill,MSEhill)

return (myvec)

}

Estimator Hint

hint <- function(x,k1,k2,alfa1,alfa2){

Tperseribu <- length(x)/1000

k <- c(k1,k2)

kperseribu <- k/1000

alfahill <- c(alfa1,alfa2)

sumalfahillkperseribu <- sum(alfahill*kperseribu)

sumalfahill <- sum(alfahill)

sumkperseribu <- sum(kperseribu)

sumkperseribukuadrat <- sum(kperseribu*kperseribu)

ratakperseribu <- mean(kperseribu)

rataalfahill <- mean(alfahill)

m <- ((length(k)*sumalfahillkperseribu)

-(sumalfahill*sumkperseribu))/((length(k)*sumkperseribukuadrat)-

(sumkperseribu*sumkperseribu))

b <- rataalfahill-(m*ratakperseribu)

alfahint <- -0.811-0.3079*b+2.0278*sqrt(b)

sehint <- 0.0322-0.00205*Tperseribu+0.02273/Tperseribu-0.0008352/(Tperseribu*Tperseribu)

MSEhint <- (sehint*sehint)

myvec <- c(alfahint,sehint,MSEhint)

130

return (myvec)

}

Estimator McCulloch

mcc <- function(x){

sortx <- sort(x)

va <- (quantile(sortx,0.95)-quantile(sortx,0.05))/(quantile(sortx,0.75)-quantile(sortx,0.25))

vb <- (quantile(sortx,0.95)+quantile(sortx,0.05)-2*quantile(sortx,0.5))/(quantile(sortx,0.95)

-quantile(sortx,0.05))

rva <- round(va,3)

rvb <- round(abs(vb),1)

alfamcc <- if (rva<=2.445&(0.0<=rvb&rvb<=1.0)) {print(2.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.916)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.1<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.924)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.808)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(1.813)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.829)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.0){print(1.729)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(1.730)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.737)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.745)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.0){print(1.664)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.1<=rvb&rvb<=0.2)){print(1.663)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.668)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.676)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.0){print(1.563)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(1.560)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(1.553)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.548)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.547)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.0){print(1.484)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(1.480)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(1.471)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.460)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.448)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.438)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.0){print(1.391)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(1.386)}else

131

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(1.378)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.364)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.337)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.318)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.0){print(1.279)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(1.273)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(1.266)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.250)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.210)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.184)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.150)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.0){print(1.128)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(1.121)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(1.114)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.101)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.067)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.027)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.973)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.0){print(1.029)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(1.021)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(1.014)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.004)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.974)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.935)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.874)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.0){print(0.896)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.892)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.887)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.883)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.855)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.823)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.769)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.0){print(0.818)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&r==0.1){print(0.812)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.806)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.801)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.780)}else

132

if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.756)}else

if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.691)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.0){print(0.698)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.695)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.692)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.689)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.676)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.656)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.595)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.0){print(0.593)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.590)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.588)}else

if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.586)}else

if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.579)}else

if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.563)} else {print(0.513)}

betamcc <- if (rva&rvb==0.0){print(0.0)} else if (rva<=2.445&rvb==0.1){print(1.0)}else

if(rva<=2.445&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.1){print(1.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.2){print(1.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(0.759)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.2){print(1.0)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(0.482)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.0)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.694)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.1){print(0.360)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.2){print(0.760)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.232)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.6<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(0.253)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(0.518)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.823)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

133

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(0.203)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(0.410)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.632)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=6)){print(1.0)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(0.165)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(0.332)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.499)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.943)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(0.136)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(0.271)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.404)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.689)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(0.109)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(0.216)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.323)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.539)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.827)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(0.096)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(0.190)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.284)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.472)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.693)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.082)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.163)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.243)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.412)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.601)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.1){print(0.074)}else

134

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.147)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.22)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.377)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.546)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.064)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.128)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.191)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.330)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.478)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.056)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.112)}else

if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.167)}else

if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.285)}else

if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.428)}else {print(1.0)}

nasdmcc<-if(alfamcc<=0.625&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.32)}else

if(alfamcc<=0.625&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.54)}else

if(alfamcc<=0.625&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.73)}else

if(alfamcc<=0.625&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.70)}else

if(alfamcc<=0.625&betamcc>=0.926){print(1.75)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.13)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.41)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.53)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.77)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&betamcc>=0.926){print(1.65)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.42)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.56)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.87)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.16)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&betamcc>=0.926){print(2.16)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.65)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.79)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.03)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.676<betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.42)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&betamcc>=0.926){print(2.55)}else

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.97)}else

135

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.07)}else

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.33)}else

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.85)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(2.81)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.85)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.93)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(3.05)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&betamcc>=0.926){print(3.17)}else {print(4.02)}

semcc <- nasdmcc/sqrt(length(x))

MSEmcc <- (semcc*semcc)

betatruemcc <- if (vb<0){print(-betamcc)}else {print(betamcc)}

myvec <- c(semcc,alfamcc,betatruemcc,MSEmcc)

return(myvec)

}

136

LAMPIRAN 7

Script Fungsi Estimator

estimator <- function(x,a1,a2){

k1 <- a1*length(x)

kbulat1 <- round(k1)

absx <- abs(x)

sortabsx <- sort(absx)

sum1 <- sum((1/kbulat1)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat1))]))

alfainvers1 <- sum1-log(sortabsx[length(x)-kbulat1])

alfahill1 <- 1/alfainvers1

sehill1 <- (kbulat1*alfahill1)/((kbulat1-1)*(sqrt(kbulat1-2)))

k2 <- a2*length(x)

kbulat2 <- round(k2)

sum2 <- sum((1/kbulat2)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat2))]))

alfainvers2 <- sum2-log(sortabsx[length(x)-kbulat2])

alfahill2 <- 1/alfainvers2

sehill2 <- (kbulat2*alfahill2)/((kbulat2-1)*(sqrt(kbulat2-2)))

Tperseribu <- length(x)/1000

k <- c(k1,k2)

kperseribu <- k/1000

alfahill <- c(alfahill1,alfahill2)

sumalfahillkperseribu <- sum(alfahill*kperseribu)

sumalfahill <- sum(alfahill)

sumkperseribu <- sum(kperseribu)

sumkperseribukuadrat <- sum(kperseribu*kperseribu)

ratakperseribu <- mean(kperseribu)

rataalfahill <- mean(alfahill)

m<-((length(k)*sumalfahillkperseribu)

-(sumalfahill*sumkperseribu))/((length(k)*sumkperseribukuadrat)

- (sumkperseribu*sumkperseribu))

b <- rataalfahill-(m*ratakperseribu)

alfahint <- -0.811-0.3079*b+2.0278*sqrt(b)

sehint <- 0.0322-0.00205*Tperseribu+0.02273/Tperseribu-0.0008352/(Tperseribu*Tperseribu)

sortx <- sort(x)

va <- (quantile(sortx,0.95)-quantile(sortx,0.05))/(quantile(sortx,0.75)-quantile(sortx,0.25))

vb<-(quantile(sortx,0.95)+quantile(sortx,0.05)-2*quantile(sortx,0.5))/(quantile(sortx,0.95)-

quantile(sortx,0.05))

137

rva <- round(va,3)

rvb <- round(abs(vb),1)

alfamcc <- if (rva<=2.445&(0.0<=rvb&rvb<=1.0)) {print(2.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.916)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.1<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.924)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.808)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(1.813)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.829)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.0){print(1.729)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(1.730)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.737)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.745)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.0){print(1.664)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.1<=rvb&rvb<=0.2)){print(1.663)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.668)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.676)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.0){print(1.563)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(1.560)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(1.553)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.548)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.547)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.0){print(1.484)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(1.480)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(1.471)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.460)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.448)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.438)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.0){print(1.391)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(1.386)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(1.378)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.364)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.337)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.318)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.0){print(1.279)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(1.273)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(1.266)}else

138

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.250)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.210)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.184)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.150)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.0){print(1.128)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(1.121)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(1.114)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.101)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.067)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.027)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.973)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.0){print(1.029)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(1.021)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(1.014)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.004)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.974)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.935)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.874)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.0){print(0.896)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.892)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.887)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.883)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.855)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.823)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.769)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.0){print(0.818)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&r==0.1){print(0.812)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.806)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.801)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.780)}else

if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.756)}else

if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.691)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.0){print(0.698)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.695)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.692)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.689)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.676)}else

139

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.656)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.595)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.0){print(0.593)}else if (rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.590)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.588)}else

if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.586)}else

if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.579)}else

if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.563)} else {print(0.513)}

betamcc <- if (rva&rvb==0.0){print(0.0)}else

if(rva<=2.445&rvb==0.1){print(1.0)}else

if(rva<=2.445&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.1){print(1.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.2){print(1.0)}else

if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(0.759)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.2){print(1.0)}else

if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(0.482)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.0)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.694)}else

if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.1){print(0.360)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.2){print(0.760)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.232)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else

if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.6<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(0.253)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(0.518)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.823)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else

if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(0.203)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(0.410)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.632)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=6)){print(1.0)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else

if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(0.165)}else

140

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(0.332)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.499)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.943)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else

if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(0.136)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(0.271)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.404)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.689)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else

if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(0.109)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(0.216)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.323)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.539)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.827)}else

if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(0.096)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(0.190)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.284)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.472)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.693)}else

if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.082)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.163)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.243)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.412)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.601)}else

if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.1){print(0.074)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.147)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.22)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.377)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.546)}else

if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.064)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.128)}else

141

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.191)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.330)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.478)}else

if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.056)}else

if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.112)}else

if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.167)}else

if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.285)}else

if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.428)}else {print(1.0)}

nasdmcc<-if(alfamcc<=0.625&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.32)}else

if(alfamcc<=0.625&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.54)}else

if(alfamcc<=0.625&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.73)}else

if(alfamcc<=0.625&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.70)}else

if(alfamcc<=0.625&betamcc>=0.926){print(1.75)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.13)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.41)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.53)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.77)}else

if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&betamcc>=0.926){print(1.65)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.42)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.56)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.87)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.16)}else

if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&betamcc>=0.926){print(2.16)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.65)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.79)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.03)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.676<betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.42)}else

if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&betamcc>=0.926){print(2.55)}else

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.97)}else

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.07)}else

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.33)}else

if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.85)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(2.81)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.85)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.93)}else

142

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(3.05)}else

if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&betamcc>=0.926){print(3.17)}else {print(4.02)}

semcc <- nasdmcc/sqrt(length(x))

betatruemcc <- if (vb<0){print(-betamcc)}else {print(betamcc)}

minimal <- min(sehill1,sehill2,sehint,semcc)

est <- if (minimal==sehill1){print('Hill Estimator',a1)}else

if(minimal==sehill2){print('Hill Estimator',a2)}else

if(minimal==sehint){print('Hint Estimator')}else {print('McCulloch Estimator')}

simpulan <- if (minimal==sehill1){print(alfahill1)}else

if(minimal==sehill2){print(alfahill2)}else

if(minimal==sehint){print(alfahint)}else {print(alfamcc)}

se <- c(sehill1,sehill2,sehint,semcc)

alf <- c(alfahill1,alfahill2,alfahint,alfamcc)

myvec <- c(se,alf)

return (myvec)

}

143

LAMPIRAN 8

Data Saham TLKMRETURN2

Data

ke-i

Date Open High Low Close Volume Adj

Close

Return

1 20-Oct-11 7150 7250 7150 7250 14460000 7250 0

2 21-Oct-11 7300 7350 7250 7250 11297500 7250 0

3 24-Oct-11 7350 7350 7100 7250 25272500 7250 0,01369884

4 25-Oct-11 7350 7350 7250 7350 18935500 7350 0,00677969

5 26-Oct-11 7350 7400 7300 7400 14632500 7400 0,01342302

6 27-Oct-11 7400 7500 7400 7500 23000000 7500 -0,006689

7 28-Oct-11 7500 7550 7350 7450 21185500 7450 -0,006734

8 31-Oct-11 7450 7500 7300 7400 11012000 7400 0

9 1-Nov-11 7500 7500 7400 7400 9112500 7400 0,02006756

10 2-Nov-11 7400 7650 7350 7550 17162500 7550 -0,0066445

11 3-Nov-11 7500 7600 7500 7500 8350500 7500 0,01324523

12 4-Nov-11 7550 7650 7500 7600 7488500 7600 -0,0132452

13 7-Nov-11 7550 7550 7400 7500 7821000 7500 0

14 8-Nov-11 7450 7500 7400 7500 5409500 7500 0

15 9-Nov-11 7550 7550 7450 7500 15396500 7500 -0,013423

16 10-Nov-11 7400 7450 7350 7400 9176000 7400 0

17 11-Nov-11 7500 7500 7400 7400 9981000 7400 0,01342302

18 14-Nov-11 7400 7500 7400 7500 6056000 7500 -0,006689

19 15-Nov-11 7500 7500 7400 7450 10944000 7450 0,01333353

20 16-Nov-11 7450 7550 7450 7550 8607000 7550 0

21 17-Nov-11 7500 7600 7500 7550 6532000 7550 -0,0066445

22 18-Nov-11 7550 7600 7450 7500 9325500 7500 -0,006689

23 21-Nov-11 7450 7500 7350 7450 13900500 7450 0

24 22-Nov-11 7400 7450 7350 7450 8789000 7450 0,01333353

25 23-Nov-11 7400 7550 7400 7550 10087000 7550 -0,0066445

26 24-Nov-11 7450 7550 7450 7500 4384000 7500 -0,0270287

27 25-Nov-11 7450 7500 7300 7300 9227500 7300 0

28 28-Nov-11 7300 7400 7200 7300 10154500 7300 -0,020762

29 29-Nov-11 7250 7350 7150 7150 15538500 7150 0,02758796

30 30-Nov-11 7200 7400 7200 7350 19157000 7350 -0,006826

31 1-Dec-11 7450 7500 7300 7300 16020000 7300 0,00682597

32 2-Dec-11 7300 7400 7300 7350 7610000 7350 -0,0136988

33 5-Dec-11 7400 7400 7250 7250 9804000 7250 0,01369884

34 6-Dec-11 7350 7350 7250 7350 9851000 7350 -0,006826

35 7-Dec-11 7350 7400 7250 7300 14142000 7300 -0,0068729

36 8-Dec-11 7250 7350 7250 7250 10316000 7250 -0,0069204

37 9-Dec-11 7200 7300 7100 7200 28515000 7200 0,00692044

144

38 12-Dec-11 7250 7300 7200 7250 5550000 7250 -0,0138891

39 13-Dec-11 7150 7250 7100 7150 15612000 7150 -0,0070176

40 14-Dec-11 7050 7150 7050 7100 7224000 7100 0,00701757

41 15-Dec-11 7050 7150 7000 7150 21306500 7150 0

42 16-Dec-11 7150 7200 7150 7150 6582500 7150 -0,0140847

43 19-Dec-11 7150 7200 7050 7050 12016500 7050 -0,0071175

44 20-Dec-11 7150 7150 6900 7000 25250500 7000 0,01418463

45 21-Dec-11 7050 7150 7000 7100 24268000 7100 0,00701757

46 22-Dec-11 7150 7150 7050 7150 4899000 7150 0

47 23-Dec-11 7100 7200 7100 7150 3517500 7150 0,00696867

48 27-Dec-11 7200 7200 7100 7200 3745500 7200 -0,0210534

49 28-Dec-11 7200 7200 6950 7050 13480500 7050 0,01408474

50 29-Dec-11 7000 7200 6950 7150 9322000 7150 -0,0140847

51 30-Dec-11 7150 7150 7000 7050 10884000 7050