TESIS - SS14 2501 SS14 2501

ESTIMATOR CAMPURAN KERNEL DAN SPLINE TRUNCATED LINIER MULTIVARIABEL DALAM REGRESI NONPARAMETRIK (Studi Kasus : Model Rata-Rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa Tengah)

ALI AKBAR SANJAYA ILHAM PURNOMO NRP. 1314201701 DOSEN PEMBIMBING : Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si Dr. Bambang Widjanarko Otok, M.Si.

PROGRAM MAGISTER

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2016

TESIS - SS14 2501 SS14 2501

MIXED ESTIMATOR OF KERNEL AND MULTIVARIABEL LINIER SPLINE TRUNCATED IN NONPARAMETRIC REGRESSION (Case Study : Mean Years of Scholling Model in Central Java Province)

ALI AKBAR SANJAYA ILHAM PURNOMO NRP. 1314201701 SUPERVISOR

Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si.

Dr. Bambang Widjanarko Otok, M.Si.

MASTER PROGRAM

DEPARTMENT OF STATISTICS

FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCE

INSTITUTE OF TECHNOLOGY SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2016

vii

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR v

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

BAB 1. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 8

1.3 Tujuan Penelitian 8

1.4 Manfaat Penelitian 8

1.5 Batasan Permasalahan 9

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 11

2.1 Pemodelan Regresi Parametrik dan Nonparametrik 11

2.2 Regresi Nonparametrik Spline Truncated 12

2.3 Regresi Nonparametrik Kernel 13

2.4. Estimator Campuran Spline dan Kernel 15

2.5 Teorema Dasar Terkait dengan Aljabar Matriks 19

2.6 Tinjauan Non Statistika 19

BAB 3. METODE PENELITIAN 23

3.1 3.1 Sumber Data 23

3.2 3.2 Variabel Penelitian 23

3.3 3.3 Definisi Operasional Variabel Penelitian 23

3.4 3.4 Tahapan Penelitian 26

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 31

4.1 Bentuk Model Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated

Multivariabel

31

4.2 Estimasi Kurva Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel

33

viii

Halaman

4.3 Aplikasi pada Model Rata-rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa

Tengah

39

4.3.1 Analisis Dekriptif 40

4.3.2 Model Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel

44

4.3.2.1 Pemilihan Titik Knot dan Bandwidth

Optimal dengan Satu Titik Knot

44

4.3.2.2 Pemilihan Titik Knot dan Bandwitdth

Optimal dengan Dua Titik Knot

45

4.3.2.3 Pemilihan Titik Knot dan Bandwitdth

Optimal dengan Tiga Titik Knot

47

4.3.3 Penaksiran Parameter Model Regresi Campuran

Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel

49

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 53

5.1 Kesimpulan 53

5.2 Saran 55

DAFTAR PUSTAKA 57

LAMPIRAN 63

BIOGRAFI PENULIS 87

ix

DAFTAR TABEL

Tabel Judul Halaman

Tabel 3.1. Konversi Tahun Pendidikan Tertinggi yang ditamatkan 24

Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Variabel Respon dan Variabel Prediktor 40

Tabel 4.2 Nilai GCV dengan Satu Titik Knot 45

Tabel 4.3 Nilai GCV dengan Dua Titik Knot 46

Tabel 4.4 Nilai GCV dengan Tiga Titik Knot 47-48

Tabel 4.5 Perbandingan Nilai GCV Minimum 49

Tabel 4.6 Estimasi Parameter 50

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar Judul Halaman

Gambar 2.1 Spline truncated dengan tiga titik knots

13

Gambar 2.2 Visualisasi fungsi kernel dengan berbagai besaran

bandwidth (Guidoum, 2015; data dari Olver et al.,

2010)

15

Gambar 3.1 Langkah-langkah Tahapan Analisis untuk Tujuan

Pertama

29

Gambar 3.2 Langkah-langkah Tahapan Analisis untuk Tujuan

Kedua

30

Gambar 4.1 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y)

dengan Rata-rata Pengeluaran perkapita (X1).

41

Gambar 4.2 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y)

dengan Pesentase Pengeluaran Pemerintah Daerah

(APBD) di Bidang Pendidikan (X2).

41

Gambar 4.3 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y)

dengan Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah

tingkat SLTA (X3).

42

Gambar 4.4 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y)

dengan Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Guru

tingkat SLTA (X4).

42

Gambar 4.5 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y)

dengan Rata-rata Anggota Rumah Tangga (t).

43

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Tabel Judul Halaman

Lampiran 1. Data Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel 63

Lampiran 2 Program Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated

Linier Multivariabel 1 Titik Knot Menggunakan Software R

65

Lampiran 3 Program Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated

Linier Multivariabel 2 Titik Knot Menggunakan Software R

69

Lampiran 4 Program Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated

Linier Multivariabel 3 Titik Knot Menggunakan Software R

74

Lampiran 5 Output Hasil Program Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel 1 Titik Knot Menggunakan

Software R

79

Lampiran 6 Output Hasil Program Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel 2 Titik Knot Menggunakan

Software R

81

Lampiran 7 Output Hasil Program Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel 3 Titik Knot Menggunakan

Software R

83

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan ke kehadirat Allah SWT,

atas segala limpahan rahmat dan kemurahan-Nya penulis dapat menyelesaikan

tesis dengan judul “Estimator Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel Dalam Regresi Nonparametrik (Studi Kasus : Model Rata-rata

Lama Sekolah di Provinsi Jawa Tengah)”.

Penyelesaian Tesis ini tak lepas dari peranan, dukungan dan motivasi

berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan

terima kasih yang sedalam-dalamnya secara khusus kepada istriku yang sholehah :

Dewi Yanti, beserta tiga cahaya dan penyejuk hati kami: Adam Surya Permana,

Adinda Alya Putri dan Dimas Muhammad Ilham, terima kasih atas kasih sayang,

doa, perhatian dan semangat yang selalu mencerahkan hati penulis. Ibunda di Solo

dan kedua mertua di Buntok yang sangat saya cintai dan hormati. Terima kasih

atas segala cinta, pendidikan, doa dan motivasi yang tiada henti. Selanjutnya

penulis ingin menyampaikan rasa terimakasih kepada :

1. Bapak Prof. Drs. Nur Iriawan, M.Ikom., Ph.D selaku dosen wali selama

penulis menempuh pendidikan pasca sarjana di ITS.

2. Bapak Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si dan Bapak Dr. Bambang

Widjanarko Otok, M.Si. selaku dosen pembimbing atas motivasi dan

kesabarannya dalam mengarahkan penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

3. Ibu Dr. Vita Ratnasari, M.Si., Bapak Dr. Sutikno, M.Si dan Ibu Dr. Erni Tri

Astuti, M.Math selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak saran

dan masukan terhadap tesis ini.

4. Bapak Dr. Suhartono, M.Sc, selaku ketua Jurusan Statistika FMIPA ITS, atas

segala kemudahan urusan akademis dan fasilitas yang menunjang di Jurusan

Statistika ini.

5. Segenap Staf Pengajar dan Pegawai di Jurusan Statistika dan Matematika

FMIPA ITS, spesial thanks buat Pak Irul atas pelayanannya yang tulus dan

ramah.

vi

6. Bapak Kepala Badan Pusat Statistik (BPS) RI beserta seluruh jajarannya, atas

kesempatan yang diberikan kepada penulis untuk melanjutkan pendidikan.

7. Bapak Kepala BPS Provinsi Kalimantan Tengah, atas ijin dan kesempatan

yang diberikan kepada penulis untuk melanjutkan studi.

8. Rekan-rekan senasib seperjuangan (Postgraduate BPS angkatan ke-8), atas

kekompakan, kerjasama dan kenangan suka duka selama menyelesaikan

studi. Masuk bareng, keluar bareng.

9. Penghuni MABES, Mas Duto, Mas Henry, Uda Rory and Mas Aan, atas

kekeluargaan yang dijalin selama kita di Surabaya.

10. Penghuni Classic, Mas Muryanto, Mas arip and Daeng Zablin.

11. Penghuni Mabes Cewek, Eunike, Widi, Santi, Yanti, Yani, Dian n Mpih.

Share tugasnya jangan malam banget, sudah ngantuk nich..

12. Bu bendahara Afni, Maul, Anita juga Vivin.

13. Mas Fatih, selamat atas kelahiran putri pertamanya menjelang sidang tesis.

14. Rekan – rekan seperjuangan Tesis Regresi Nonparametrik, Rory, Rismal dan

Sulis , atas ketulusan, motivasi dan kesiapan membantu penulis.

15. Dik Irwan dan adik-adik S1, atas bantuan dan diskusinya selama penyusunan

tesis ini.

16. Rekan-rekan Angkatan 9, atas dukungan selama Seminar proposal dan

Seminar hasil.

17. Semua pihak yang telah membantu selama penulis menyelesaikan studi, yang

tidak dapat penulis sampaikan satu persatu.

Semoga tesis ini dapat bermanfaat dan dapat menambah wawasan

keilmuan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Saran dan

kritik yang membangun dari semua pihak, sangat penulis harapkan untuk

perbaikan.

Surabaya, Januari 2016

Penulis

i

ESTIMATOR CAMPURAN KERNEL DAN SPLINE

TRUNCATED LINIER MULTIVARIABEL DALAM REGRESI

NONPARAMETRIK (Studi Kasus : Model Rata-Rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa Tengah)

Nama Mahasiswa : Ali Akbar Sanjaya Ilham Purnomo NRP : 1314201701 Pembimbing 1 : Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si Pembimbing 2 : Dr. Bambang Widjanarko Otok, M.Si

ABSTRAK

Hubungan variabel respon dengan beberapa variabel prediktor pada regresi nonparametrik tidak selalu menggunakan satu jenis pendekatan seperti spline, kernel, atau deret fourier. Dalam model regresi memungkinkan variabel respon mengikuti kurva regresi nonparametrik yang berbeda antara satu variabel prediktor dengan variabel prediktor lainnya. Pada data berpasangan (x1i,..xpi,ti,yi) yang hubungan antar variabel prediktor x1i,..xpi, ti, dan variabel respon yi mengikuti model regresi nonparametrik additif:

11

,..., , ,q

i i qi i i pi i ip

y x x t f x g t

i = 1,2,…,n

Komponen prediktor x1i,..xqi, dihampiri dengan fungsi Spline truncated linier sedangkan komponen prediktor ti dihampiri dengan fungsi kernel. Tujuan penelitian ini adalah mencari bentuk estimator campuran kernel dan spline truncated linier multivariabel untuk mengestimasi kurva regresi nonparametrik. Penurunan estimator model dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS). Hasil estimator yang diperoleh adalah :

1

( ) ,q

p pip

x

Af y

,ˆ t Dg y

1

ˆ ˆˆ( , )q

i i p pi ip

t x t

x f g

Estimator campuran kernel dan regresi spline truncated linier multivariabel bergantung pada titik-titik knot dan bandwidth. Estimator campuran kernel dan regresi spline multivariabel terbaik diperoleh dari titik-titik knot dan parameter bandwidth yang optimal. Estimator Campuran Kernel dan regresi Spline truncated multivariabel diaplikasikan pada data Rata-Rata Lama Sekolah di Propinsi Jawa Tengah dengan dua titik knot optimal menghasilkan nilai R2 sebesar 0,909313.

Kata kunci: Regresi Nonparametrik, Estimator campuran, Spline, Kernel, Rata-

Rata Lama sekolah

ii

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

iii

MIXED ESTIMATOR OF KERNEL AND

MULTIVARIABLE LINEAR SPLINE TRUNCATED

IN NONPARAMETRIC REGRESSION (Case Study : Mean Years of Schooling Model In Central Java Province)

By : Ali Akbar Sanjaya Ilham Purnomo Student Identity Number : 1314201701 Supervisor : Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si Co Supervisor : Dr. Bambang Widjanarko Otok, M.Si

ABSTRACT

The relationship of respond variable with some predictor variables is not always using only single approach such as spline, kernel or Fourier series. In the regression model allows the response variable to follow different nonparametric regression curve between the predictor variables and other predictor variables. Data given in pairs ( x1i , .. xqi , ti , yi ) the relationship between the predictor variables x1i , .. xqi , ti , and the response variable yi follow additive nonparametric regression model :

11

,..., , ,q

i i qi i i pi i ip

y x x t f x g t

i = 1,2,…,n

Predictor component , x1i .. xqi , approached using Spline Functions linear predictor component while ti approached by the kernel function . This research was conducted with the purpose of seeking estimator truncated form of linear spline and kernel to estimate the nonparametric regression curve. Estimator models obtained using Ordinary Least Square method ( OLS ) . The Estimator regression curves are :

1

( ) ,q

p pip

x

Af y

,ˆ t Dg y

1

ˆ ˆˆ( , )q

i i p pi ip

t x t

x f g

Mixed Estimator Kernel and multivariable Linier Spline Truncated rely heavily on points knots and bandwidth. Mixed Estimator Kernel and multivariable Linier Spline Truncated is the finest in determining optimal point’s knots and bandwidth. Mixed Estimator Kernel and multivariable Linier Spline Truncated application in Mean Years of Schooling Model Central Java Province have R-Square 0,909313. Key words : Nonparametric regression, Spline, Mixed Estimator, Kernel,

Mean Years of Scholling

iv

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang

hubungannya tidak dapat dipisahkan, maka hal tersebut biasanya akan diselidiki

sifat hubungannya. Analisis Regresi adalah sebuah teknik statistik untuk membuat

model dan menyelidiki hubungan antara dua variabel atau lebih. Misalnya Y

adalah variabel respon dan X adalah variabel prediktor, untuk n buah pengamatan,

secara umum antara yi dengan xi dihubungkan dengan model regresi berikut :

yi= f (xi) + εi, i = 1, ..., n (1.1)

dimana εi adalah error random dan f (xi) merupakan suatu fungsi f yang tidak

diketahui dan disebut kurva regresi. Jika kurva regresi diketahui bentuknya, maka

disebut sebagai regresi parametrik dan apabila model yang diasumsikan ini benar,

maka pendekatan regresi parametrik sangat efisien, tetapi jika tidak, menyebabkan

interpretasi data yang menyesatkan (Hardle,1990). Apabila tidak ada informasi

apapun tentang bentuk kurva f(xi), maka pendekatan yang digunakan adalah

regresi nonparametrik. Dalam regresi parametrik terdapat asumsi yang sangat

kaku dan kuat, yaitu bentuk kurva regresi diketahui, misalnya linear, kuadratik,

kubik, polinomial derajat-p, eksponen, dan lain-lain. Untuk memodelkan data

menggunakan regresi parametrik linear, kuadrat, kubik atau yang lain, umumnya

dimulai dengan membuat scatter plot (Budiantara, 2006). Apabila scatter plot ini

terdapat kecenderungan data mengikuti pola linear maka digunakan model regresi

(parametrik) linear, sebaliknya jika scatter plot data terdapat kecenderungan pola

kuadratik maka digunakan model regresi (parametrik) kuadratik, dan seterusnya.

Disamping memperhatikan pola kecenderungan data melalui scatter plot, dalam

regresi parametrik harus memiliki informasi masa lalu yang detail tentang pola

data agar diperoleh pemodelan yang baik (Wahba, 1990; Eubank, 1999; Kayri &

Zirhhoglu, 2009; Budiantara, 2009). Pendekatan regresi parametrik memiliki sifat

yang sangat baik dari pandangan Statistika inferensi (Budiantara, 2009), seperti

sederhana, mudah interpretasinya, parsimoni, estimatornya tidak bias, tergolong

2

estimator linear, efisien, konsisten, BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), yang

sangat jarang dimiliki oleh pendekatan regresi lain seperti regresi nonparametrik

dan regresi semiparametrik. Kelebihan yang dimiliki oleh regresi parametrik

inilah yang menyebabkan model regresi parametrik sangat populer dan sangat

disukai oleh berbagai kalangan, baik dari golongan Statistika teoritis maupun

golongan Statistika aplikasi (Becher, dkk., 2009; Huang & Liu, 2006).

Pendekatan regresi parametrik untuk tujuan pemodelan dan prediksi tidak

tepat pada suatu variabel respon dan variabel prediktor yang bentuk pola

hubungannya tidak jelas (tidak mengikuti pola tertentu), dan seolah-olah tidak

beraturan (Budiantara, 2009). Model Statistika diharapkan sedapat mungkin

menggunakan model yang parsimoni (sederhana), tetapi dalam keadaan dimana

terdapat kondisi yang mengharuskan pemodelan menggunakan model yang lebih

kompleks, maka model parsimoni tidak selayaknya dipaksakan, karena hasil yang

diperoleh akan sangat bias dan memiliki error yang sangat besar (Budiantara,

2009). Berbeda dengan regresi parametrik yang cenderung ada unsur pemaksaan

dari peneliti dan peneliti ikut menentukan bentuk estimasi dari kurva regresi,

dalam regresi nonparametrik tidak terjadi pemaksaan bentuk kurva regresi

tersebut. Pendekatan regresi nonparametrik membiarkan data sendiri yang akan

mencari bentuk estimasi dari kurva regresinya, tanpa harus dipengaruhi oleh

faktor subyektifitas peneliti (Eubank, 1988; Budiantara, 2001). Ini berarti

pendekatan model regresi nonparametrik sangat fleksibel dan obyektif.

Ada banyak jenis estimator dalam model regresi nonparametrik, seperti

kernel, spline, polinomial lokal, wavelet dan deret fourier. Beberapa penelitian

mengenai estimator kernel telah dilakukan oleh banyak peneliti seperti oleh

Nadaraya (1964), Watson (1964), Hadijati, (2004), Yao (2007), Okumura dan

Naito (2006), Budiantara dan Mulianah, (2007) serta Kayri dan Zirhlioglu (2009),

Du, Parmeter dan Racine (2012), Aljuhani dan Al Turk (2014). Penelitian

mengenai estimator spline telah dilakukan oleh peneliti lain seperti Craven dan

Wahba (1979), Wahba (1990), Eubank (1999), Otok (2006), Budiantara, Lestari

dan Islamiyati (2010), Budiantara, Ratna, Zain dan Wibowo (2012), serta

Darmawi dan Otok (2014). Penelitian tentang estimator polinomial lokal

dilakukan oleh Welsh dan Yee (2006), Su dan Ullah (2008), He dan Huang

3

(2009), Martins-Filho dan Yao (2009) serta Qingguo (2010). Penelitian mengenai

estimator wavelet antara lain dilakukan oleh Antoniadis, Bigot dan Sapatinas

(2001), Amato dan De Canditiis (2001), Rakotomamonjy, Mary dan Canu (2005)

serta Taylor (2009). Penelitian untuk estimator deret fourier dilakukan oleh

peneliti antara lain Faber, Douglas, Susan dan Stuart (2004), Tripena dan

Budiantara (2007), Galtchouk dan Pergamenshchikov (2009) serta Ratnasari,

Budiantara, Zain, Ratna dan Mariati (2015)

Kernel merupakan estimator yang pada awalnya banyak digunakan

dalam regresi nonparametrik. Kelompok peneliti pertama yang meneliti kernel

diawali oleh Nadaraya (1964) dan Watson (1964). Kemudian diikuti penelitian

lain dalam perkembangan regresi kernel, seperti Okumura dan Naito (2006) yang

meneliti Metode smoothing kernel untuk regresi multinomial. Yao (2007) yang

dalam penelitiannya telah menurunkan distribusi asimtotik dari distribusi kernel

dengan menggunakan rata-rata terbobot untuk data longitudinal. Ada juga

penelitian tentang estimator kernel untk melihat hubungan antara tingkat

ketergantungan internet dengan lama-nya penggunaan internet setiap hari di

sekolah menengah oleh Kayri dan Zirhlioglu (2009). Peneliti lain, Aljuhani dan

Al Turk (2014) yang melakukan penelitian modifikasi estimasi regresi kernel

adaptif Nadaraya-Watson.

Spline pertama kali diperkenalkan oleh Whitaker pada tahun 1923

sebagai pendekatan pola data. Spline yang didasarkan pada suatu persoalan

optimasi dikembangkan oleh Reinsc pada tahun 1967 (Wahba, 1990). Pendekatan

spline mempunyai suatu basis fungsi, yang biasa digunakan adalah spline

truncated dan B-Spline. Spline truncated merupakan fungsi dimana terdapat

perubahan pola perilaku kurva yang berbeda pada interval-interval yang berbeda.

Kelebihan spline truncated adalah dapat menggambarkan perubahan pola perilaku

dari fungsi pada sub interval tertentu. Kelebihan Spline (Eubank, 1988;

Budiantara, 2009; Wu dan Zhang, 2006) adalah Spline memiliki interpretasi

Statistik dan interpretasi visual yang sangat khusus dan sangat baik. Model Spline

diperoleh dari optimasi Penalized Least Square (PLS). Spline memiliki

fleksibelitas yang tinggi. Spline mampu menangani data/fungsi yang mulus

(smooth). Spline memiliki kemampuan yang sangat baik untuk menangani data

4

yang perilakunya berubah-ubah pada sub-sub interval tertentu. Spline mempunyai

kemampuan yang sangat baik untuk digeneralisasikan pada pemodelan Statistika

yang kompleks dan rumit. Kelebihan lain dari spline truncated pada penelitian

Otok (2006) menunjukkan kurva spline truncated lebih baik dari Multivariate

Adaptive Regression Spline (MARS) pada fungsi yang melibatkan satu variabel

prediktor. Budiantara dkk (2012) Memodelkan Persentase Penduduk Miskin di

Indonesia dengan menggunakan Pendekatan Regresi Nonparametrik Spline.

Darmawi dan Otok (2014) dalam penelitiannya menyimpulkan nilai MSE pada

kurva Spline truncated lebih kecil dibanding dengan regresi linier pada semua

fungsi, hal ini berarti bahwa kurva spline truncated lebih baik dibanding dengan

regresi linier.

Estimator lain dalam regesi nonparametrik yang juga digunakan adalah

polinomial lokal. Beberapa penelitian tentang polinomial lokal dilakukan oleh

Welsh dan Yee (2006) yang menurukan sifat bias dan varians asimtotik dari

estimator polinomial lokal tersebut dalam regresi nonparametrik dengan variabel

respon lebih dari satu. Penelitian dilakukan di New Zealand dengan menggunakan

variabel respon tekanan darah systolic dan diastolic untuk mengukur tingkat

kegemukan buruh dan body mass index (BMI) sebagai variabel prediktor.

Pendekatan lain adalah wavelet yang juga sering digunakan dalam regresi

nonparametrik. Penelitian antara lain dilakukan oleh Antoniadis dkk (2001) yang

mengkaji metode wavelet untuk memodelkan observasi dari suatu signal

terkontaminasi gangguan yang berdistribusi Gauss dan bersifat aditif. Peneliti lain

Rakotomamonjy (2005) yang menunjukkan evektivitas model kernel wavelet pada

metode yang mengkonstruksi pada suatu ruang Hilbert untuk regresi

nonparametrik ketika titik-titi sampelnya tidak sama lebar.

Model regresi nonparametrik lain adalah deret fourier. Peneliti yang

menggunakan deret fourier antara lain Oirrak (2001) yang menyatakan bahwa

deret foureir memberikan estimasi secara menyeluruh dalam ruang dimensi dua

dan bergerak perlahan. Kemudian, Amato, Antoniadis dan Feis (2002)

menunjukan bahwa estimator deret fourier memberikan optimasi terbaik antara

ketepatan dan biaya komputasi dalam model regresi nonparametrik aditif.

Ratnasari, dkk (2015) dalam penelitian yang diaplikasikan dalam Data

5

Kemiskinan di Papua menyimpulkan spline truncated lebih baik daripada deret

fourier dalam model regresi nonparametrik multivariabel.

Diantara model-model regresi nonparametrik di atas, spline truncated

merupakan salah satu model yang mempunyai model interpretasi statistik dan

interpretasi visual sangat khusus dan sangat baik (Budiantara dkk, 2012).

Estimator spline truncated memiliki fleksibilitas yang tinggi (Eubank, 1988).

Spline truncated juga memiliki kemampuan yang sangata baik menangani data

yang perilakunya berubah-ubah pada sub-sub nterval tertentu (Eubank, 1988;

Budiantara dkk, 2012). Estimator Kernel juga memiliki beberapa kelebihan,

diantaranya estimator kernel memiliki kemampuan yang baik untuk memodelkan

data yang tidak mempunyai pola tertentu (Hardle, 1990). Estimator Kernel juga

memiliki kecepatan kekonvergenan yang relatif lebih cepat dibandingkan dengan

kurva regresi nonparamerik yang lain seperti Polinomial Lokal, Deret Fourier

maupun Spline (Hardle, 1990).

Model-model pendekatan regresi nonparametrik yang dikembangkan

oleh penelitian sebelumnya, pada dasarnya terdapat dua asumsi yang yang sangat

berat dan mendasar pada modelnya, yaitu pola dari masing-masing prediktor

dalam model regresi nonparametrik multivariabel prediktor dianggap mempunyai

pola yang sama dan peneliti memaksakan menggunakan satu bentuk estimator

model untuk setiap variabel prediktor. Dua asumsi yang digunakan dalam model

regresi nonparametrik ini pada dasarnya hanya ada secara teoritis. Pada penelitian

sebenarnya sering dijumpai kasus-kasus dimana terjadi pola data yang berbeda

dari masing-masing variabel prediktor. Selain itu dengan hanya menggunakan

satu bentuk estimator dalam mengestimasi kurva regresi nonparametrik

multivariabel, berakibat estimator yang diperoleh tidak akan sesuai dengan pola

data. Akibatnya, estimasi model regresi yang diperoleh tidak tepat dan cenderung

mempunyai error yang besar (Budiantara, Ratnasari, Ratna dan Zain, 2015).

Berdasarkan hasil-hasil penelitian diatas, Budiantara dkk. (2015) menyarankan

penggunaan estimasi model kurva regresi yang sesuai dengan pola data. Dalam

penelitian ini merujuk pada pengunaan model estimator campuran kernel dan

regresi spline truncated linier multivariabel dalam regresi nonparametrik. Peneliti

lain yang melakukan penelitian estimasi model kurva regresi yang sesuai dengan

6

pola data juga dilakukan oleh Sudiarsa, Budiantara, Suhartono dan Purnami

(2015) yang melakukan penelitian mengenai Estimator Gabungan Deret Fourier

dan Truncated Spline dalam Regresi Nonparametrik Multivariabel. Dalam

penelitia itu, estimator diperoleh melalui optimasi Penalized Least Square (PLS).

Pembangunan manusia merupakan perwujudan tujuan jangka panjang

dari suatu masyarakat, dan meletakan pembangunan di sekeliling manusia, bukan

manusia di sekeliling pembangunan. Penyertaan konsep pembangunan manusia

dalam kebijakan pembangunan tidak berarti meninggalkan berbagai strategi

pembangunan terdahulu, antara lain mempercepat pertumbuhan ekonomi,

mengurangi kemiskinan dan mencegah perusakan lingkungan. Perbedaannya

adalah bahwa dari sudut pandang pembangunan manusia, semua tujuan tersebut

diatas diletakan dalam kerangka untuk memperluas pilihan-pilihan bagi manusia.

Human Development Report (HDR) global telah mengembangkan dan

menyempurnakan pengukuran statistik dari pembangunan manusia yaitu berupa

Indeks Pembangunan Manusia (IPM). Indikator tersebut melihat tiga masalah

pokok yang menjadi ukuran yaitu kesehatan melalui angka harapan hidup,

pendidikan serta pendapatan melalui paritas daya beli. United Nations

Development Programme (UNDP), pada Tahun 2014 melaporkan peringkat

Indeks Pembangunan Manusia (IPM) Indonesia berada di posisi 108 dari 187

negara yang laporkan (UNDP Report, 2014). Peringkat Indonesia secara regional

masih lebih baik dari Filipina yang berada di peringkat 117 dimana keduanya

masuk kelompok Medium Human Development tetapi masih di bawah empat

negara ASEAN lainnya. Dimana Singapura di posisi tertinggi di peringkat 9,

Brunei Darussalam berada di peringkat 30 yang menempatkan kedua Negara

tersebut termasuk kelompok Very High Human Development, kemudian Malaysia

berada di peringkat 62, Thailand berada di peringkat 89 termasuk kelompok High

Human Development.

Menurut publikasi BPS tahun 2013, Untuk tingkat nasional, IPM

tertinggi dicapai DKI Jakarta dengan nilai 78,59 dan terendah Propinsi Papuan

dengan nilai 66,25. Di Pulau Jawa setelah DKI Jakarta ditempati oleh DI

Yogyakarta dengan nilai 77,37, lalu Propinsi Jawa Tengah sebesar 74,05,

7

kemudian Propinsi Jawa Barat dengan nilai 73,58, Propinsi Jawa Timur dengan

nilai 73,54 dan Terakhir Propinsi Banten dengan nilai 71,90.

Rata-rata lama sekolah penduduk usia 15 tahun keatas merupakan salah

satu variabel yang digunakan pada penghitungan IPM selain angka harapan hidup,

pengeluaran perkapita dan angka melek huruf. Menurut publikasi BPS pada tahun

2013, Provinsi Jawa Tengah memiliki nilai rata-rata lama sekolah penduduk usia

15 tahun keatas yang terendah dibandingkan provinsi lain di Pulau Jawa.

Tertinggi ditempati DKI Jakarta dengan rata-rata lama sekolah sebesar 11 tahun,

diikuti D.I Yogyakarta sebesar 9,33 tahun, Banten 8,61 tahun, Jawa Barat 8,11

tahun, Jawa Timur 7,53 tahun dan terakhir Jawa Tengah sebesar 7,43 tahun. Perlu

kerja keras pemerintah Propinsi Jawa Tengah untuk mengejar ketertinggalannya

dari propinsi lain apalagi untuk memenuhi standar rata-rata lama sekolah yang

disarankan UNDP sebesar 15 tahun.

Penelitian mengenai lama pendidikan penah sering dilakukan diberbagai

Negara. Penelitian di Republik Rakyat Tiongkok pernah dilakukan Connely dan

Zhang (2002) mengenai penentuan kelanjutan sekolah penduduk umur 10 hingga

18 tahun. Penelitian tersebut menyimpulkan lokasi tempat tinggal dan jenis

kelamin sangat mempengaruhi dalam pendaftaran dan kelulusan sekolah.

Perempuan pedesaan cenderung kurang beruntung dalam kelanjutan sekolahnya.

Pendidikan orang tua, jumlah saudara (jumlah anggota kelurga), Produk Domestik

Regional Bruto (PDRB) dan biaya sekolah juga sangat berpengaruh dalam

kelanjutan pendidikan penduduk. Huisman, Rani dan Smits (2010) dalam

penelitiannya di 26 negara bagian India mengungkapkan bahwa faktor sosial

rumah tangga sangat berpengaruh dalam mengenyam pendidikan. Katersediaan

fasilitas sekolah dan guru juga sangat memegang peran penting. Anak-anak

perempuan terutama di pedesaan lebih tertinggal dalam partisipasi pendidikan.

Penelitian capaian rata-rata lama sekolah di dalam negeri pernah

dilakukan Solikhah (2009) mengenai Analisis Rata-rata Lama sekolah di Pulau

Kalimantan dengan menggunakan metode Spatial Conditional Autoregrresion.

Dimana dalam penelitian iti, faktor-faktor yang mempengaruhi rata-rata lama

sekolah bila variabel lain dianggap konstan adalah persentase penduduk muda,

rasio murid dan guru SLTA, rasio murid dan guru SLTP, rasio jenis kelamin,

8

persentase desa/kelurahan yang memiliki SLTP, persentase desa/kelurahan yang

memiliki SLTA, persentase penduduk perkotaan, persentase kecamatan yang

memiliki perguruan tinggi, kontribusi sektor non pertanian dalam PDRB dan rata-

rata pendapatan perkapita 1 bulan.

1.2 Perumusan Masalah

Dengan memperhatikan latar belakang yang telah diuraikan diatas,

permasalahan yang dapat dirumuskan adalah :

1. Bagaimana bentuk Estimator Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel dalam regresi nonparametrik aditif ?

2. Bagaimana model Rata-Rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa Tengah

menggunakan Estimator Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel dalam regresi nonparametrik aditif.

1.3 Tujuan Penelitian

1. Mendapatkan bentuk Estimator Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel dalam regresi nonparametrik aditif.

2. Memodelkan Rata-Rata Lama Sekolah penduduk di Provinsi Jawa Tengah

menggunakan Estimator Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel dalam regresi nonparametrik aditif.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah :

1. Mengembangkan wawasan keilmuan dan pengetahuan tentang regresi

nonparametrik spline truncated.

2. Mengembangkan wawasan keilmuan dan pengetahuan tentang regresi

nonparametrik kernel.

3. Mengembangkan wawasan keilmuan dan pengetahuan tentang Estimator

Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel dalam regresi

nonparametrik aditif.

4. Model Rata-Rata Lama Sekolah penduduk di Provinsi Jawa Tengah

menggunakan Estimator Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

9

Multivariabel dalam regresi nonparametrik aditif dapat digunakan untuk

memprediksi target rata-rata lama sekolah akibat dari perubahan pada masing-

masing variabel prediktor yang mempengaruhi.

1.5 Batasan Masalah Penelitian

Batasan permasalahan pada penelitian ini untuk pembentukan model

Estimator Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel dalam

regresi nonparametrik yang bersifat additif. Satu variabel prediktor mengikuti

fungsi kernel dan variabel prediktor lainnya mengikuti kurva spline. Penggunaan

titik knot optimal diasumsikan sama untuk setiap variabel prediktor yang didekati

dengan kurva regresi spline dibatasi sampai maksimal tiga titik knot. Untuk

mendapatkan estimator kurva regresi menggunakan optimasi Ordinary Least

Square (OLS). Data yang digunakan adalah data sekunder hasil publikasi BPS

Pusat dan BPS Propinsi Jawa Tengah serta data dari Direktorat Jenderal

Perimbangan Keuangan (DJPK) Kementrian Keuangan Republik Indonesia Tahun

2014.

10

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

11

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pemodelan Regresi Parametrik dan Nonparametrik

Pemodelan regresi parametrik digunakan apabila kurva regresi data

membentuk pola tertentu, seperti linier, kuadratik ataupun kubik. Model regresi

parametrik dalam penggunaanya memerlukan informasi dari masa lalu atau

sumber informasi lain yang tersedia yang dapat menggambarkan secara detail

tentang data tersebut. Model regresi parametrik juga mempunyai asumsi yaitu

bentuk kurva regresi harus diketahui (Eubank, 1999). Metode untuk mengestimasi

parameter adalah metode Least Square dan Maximum Likelihood (Wahba, 1990).

Pada umumnya, variabel respon y dapat dihubungkan dengan k variabel-variabel

prediktor. Model tersebut dalam bentuk (Montgomery & Hines, 1972)

0 1 1 2 2 , 1,2,...,i i i k ki iy x x x i n (2.1)

dimana yi merupakan variabel respon, 1 2, ,..., kx x x sebagai variabel prediktor, i

merupakan error random independen berdistribusi normal dengan mean nol dan

varians 2 parameter 0 1 2, , ,..., k tidak diketahui.

Secara umum bentuk regresi parametrik multivariabel dengan k variabel

prediktor pada persamaan (2.1) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai :

y X , dimana (2.2)

1

2

n

yy

y

y

11 12 1

21 22 2

1 2

11

1

k

k

n n nk

x x xx x x

x x x

X

0

1

k

dan

1

2

n

Pada umumnya, y adalah sebuah vektor (n x 1) dari observasi-observasi,

X adalah sebuah matriks (n x (k+1)) dari variabel-variabel bebas, adalah

sebuah vektor ((k+1)x1) dari koefisien-koefisien regresi dan adalah sebuah

vektor (nx1) dari error random. Parameter diestimasi dengan metode kuadrat

terkecil yang meminimumkan T dimana :

( ) ( )T T y X y X

12

Dengan menurunkan parsial T terhadap dan menyamakan dengan nol, maka

diperoleh estimator : 1ˆ ( )T T X X X y (2.3)

2.2 Regresi Nonparametrik Spline Truncated

Pendekatan regresi nonparametrik yang banyak digunakan adalah spline

truncated. Spline truncated merupakan potongan-potongan polinomial yang

memiliki sifat tersegmen dan kontinu. Salah satu kelebihan spline truncated

adalah model ini cenderung mencari sendiri estimasi data kemanapun pola data

tersebut bergerak. Kelebihan ini terjadi karena dalam spline truncated terdapat

titik-titik knot, yaitu titik perpaduan bersama yang menunjukkan terjadinya

perubahan pola perilaku data (Eubank, 1999; Budiantara, 2009). Secara umum,

fungsi spline truncated dengan derajad m dan titik-titik knot 1 2, ,..., r adalah

suatu fungsi yang dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut :

yi = f(xi) + εi, i= 1, 2, …., n. (2.4)

0 1

m r mjj i j i j i

j jx x

, i = 1, 2,…., n. (2.5)

dengan,

,,0

mm i ri r

i ri r

xxxx

Error random εi diasumsikan berdistribusi normal independen dengan mean nol

dan variansi 2 . Sebagai salah satu ilustrasi sederhana diberikan Spline linier

truncated dengan tiga knots pada 1 2 3x diberikan oleh : 1 1 1

3 1 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x

Fungsi Spline 3( )f x disajikan (Budiantara, 2011) dalam bentuk (di gambar 2.1):

1 11

1 1 1 1 23 1 1

1 1 1 2 2 2 31 1 1

1 1 1 2 2 3 3 3

,( ) ,

( )( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ,

x xx x x

f xx x x xx x x x x

13

Gambar 2.1 Simulasi Spline truncated dengan tiga titik knots

Dalam regresi nonparametrik dengan pendekatan spline truncated, hal

penting yang berperan dalam mendapatkan estimator spline truncated adalah

pemilihan titik knot yang optimal. Salah satu metode yang sering digunakan

dalam memilih titik knot optimal adalah Generalized Cross Validation (GCV).

Jika dibandingkan dengan metode lain, misalnya Cross Validation (CV) dan

metode Unbiased Risk (UBR) ataupun Generalized Maximum Likelihood (GML),

GCV secara teoritis memiliki sifat optimal asymtotik. Metode GCV juga memiliki

kelebihan tidak memerlukan pengetahuan terhadap variansi populasi 2 serta

metode GCV invarians terhadap transformasi. Metode GCV merupakan

pengembangan dari CV (Wahba, 1990). Fungsi GCV untuk pemilihan titik knot

optimal dapat ditunjukkan dalam persamaan berikut:

1 2

1 2 211 2

, ,...,, ,...,

, ,...,r

r

r

MSEGCV

n trace I A

(2.6)

dengan

2

11 2

1

ˆ, ,...,n

r i ii

MSE n y f x

(2.7)

2.3 Regresi Nonparametrik Kernel

Estimator kernel mempunyai kelebihan yaitu fleksibel, bentuk

matematisnya mudah dan dapat mencapai tingkat kekonvergenan yang relative

14

cepat. Kurva regresi ( )ig t yang dihampiri fungsi kernel, estimasi kurva regresi

dapat disajikan dalam bentuk :

1 1

11 1

1

ˆn n

ii i in

i ij

j

K t tg t n y n W t y

n K t t

(2.8)

dimana :

1

1

1;i ii in

jj

K t t t tW t K t t Kn K t t

dengan K merupakan fungsi kernel. Menurut Hardle (1990), fungsi kernel K dapat

berupa :

- Kernel Gaussian : 2

[ , ]1( ) exp( ) ( )

22zK z I z

- Kernel Uniform : [ 1,1]( ) 0,5 ( )K z I z

- Kernel Epanicov : 2[ 1,1]( ) 0,75(1 ) ( )K z z I z

- Kernel Kuadrat : 2 2[ 1,1]

15( ) (1 ) ( )16

K z z I z

dimana , 1,2,...,ii

t tz i n

. t adalah variabel prediktor, ti adalah nilai

ke-i variabel prediktor dan adalah bandwidth . Pendekatan kernel tergantung

pada bandwidth , yang berfungsi untuk mengontrol smoothness dari kurva

estimasi. Pemilihan bandwitdh yang tepat merupakan hal yang sangat penting

dalam regresi kernel (Hadijati, 2004; Budiantara dan Mulianah, 2007). Bandwidth

yang terlalu besar akan menghasilkan kurva estimasi yang sangat smooth dan

menuju ke rata-rata dari variabel respon, sebaliknya bila bandwidth terlalu kecil

akan menghasilkan kurva estimasi yang kurang smooth yaitu hasil estimasi akan

menuju ke data. Visualisasi fungsi kernel dengan berbagai besaran bandwidth

ditunjukan pada gambar 2.2.

15

Gambar 2.2. Visualisasi fungsi kernel dengan berbagai besaran bandwidth

(Guidoum, 2015; data dari Olver et al., 2010)

Estimator kurva regresi (2.8) sangat tergantung pada dua hal, yaitu

parameter bandwidth dan fungsi kernelnya (Budiantara dkk, 2015), tetapi dari dua

hal tersebut ternyata bandwidth lebih signifikan pengaruhnya terhadap estimator

kernel dibanding fungsi kernel. Dalam kaitannya pemilihan bandwidth optimal,

akan digunakan metode Generalized Cross Validatian (GCV). Jika estimasi

model (2.8) dinyatakan dengan ˆ ( )t D y g maka Fungsi Generalized Cross

Validatian (GCV) dalam Hong (1999) didefinisikan dengan :

2 2

2 2

1 1( ( )) ( ( ))( ) 1 1[ (( ( ))] [(1 ( ))]

n nGCV ttr tr

n n

I D y I D y

I D D

(2.9)

Bandwith optimal diperoleh dengan cara meminimunkan fungsi GCV.

2.4 Estimator Campuran Spline dan Kernel

Budiantara dkk (2015) meneliti tentang model regresi nonparametrik

additif yang memiliki dua komponen variabel prediktor. Komponen prediktor

pertama, kurva regresinya dihampiri menggunakan regresi spline, sedang

komponen prediktor kedua kurva regresi dihampiri dengan regresi kernel. Data

16

berpasangan ( , , )i i ix t y dengan diasumsikan hubungan antar variabel prediktor

,i ix t dan variabel respon iy mengikuti model regresi nonparametrik :

( , )i i i iy x t , i=1,2,…,n (2.10)

Bentuk kurva regresi diasumsikan tidak diketahui dan hanya diasumsikan smooth

dalam arti kontinu dan differensiabel. Error random i berdistribusi normal

dengan mean nol dan 2 2( )iE . Selanjutnya kurva regesi ( , )i ix t diasumsikan

additif, dalam arti ( , )i ix t dapat ditulis dalam bentuk :

( , ) ( ) ( )i i i ix t f x g t (2.11)

Dengan ( )if x dan ( )ig t merupakan fungsi-fungsi yang smooth. Persoalan utama

dalam estimator campuran kurva regresi nonparametrik adalah mendapatkan

bentuk estimasi kurva regresi ( , )i ix t yaitu :

, ,ˆˆ ˆ( , ) ( ) ( )i i i ix t f x g t (2.12)

Parameter merupakan parameter bandwith dan merupakan titik knot.

Estimator campuran regresi spline dan kernel bisa didapatkan dengan kurva

regresi ( )if x dihampiri dengan fungsi spline truncated derajad m dan titik knot

1 2( , ,..., )Tr serta kurva regresi ( )ig t dihampiri dengan fungsi kernel.

Menurut Budiantara dkk (2015), kurva regresi ( )if x yang diberikan persamaan

(2.5) akan diperoleh :

1 2( ) X Xf (2.13)

dari Persamaan (2.8) yang berlaku untuk setiap t = t1, t =t2,…, t = tn maka :

11

1 1 11 1 1 1 1

1 1 12 2 1 2 1 2

1

1 11 1

1

1

ˆˆ

ˆ

n

i ii

n nn

i i n ni

n n n n nn

i n ii

n W t yg t n W t y n W t yg t n W t y n W t y n W t y

g t n W t y n W t yn W t y

17

1 1 111 1 2 1 1

1 1 121 2 2 2 2

1 1 11 2

n

n

nn n n n

yn W t n W t n W tyn W t n W t n W t

yn W t n W t n W t

D y,

sehingga

ˆ ( )t g D y (2.14)

dengan demikian model regresi campuran spline dan kernel persamaan (2.10)

menjadi :

[ ( ) ] ( ) 1 2

y X X D y

[ ( )] ( )

1 2

X X D y

( ) ( ) Z D y (2.15)

Estimator parameter dapat diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary

Least Square (OLS) dari persamaan (2.15) diatas yang menghasilkan persamaan :

2

1/ ,

n

ii

Q

22 T TT T I D y Z I D Z Z y (2.16)

Untuk mendapatkan estimator dari parameter , dilakukan derivatif parsial dari

persamaan (2.16) / ,Q terhadap diperoleh :

1

ˆ T T

Z Z Z I D y (2.17)

Persamaan (2.17) dapat diringkas menjadi bentuk persamaan :

ˆ , C y (2.18)

dimana :

1T T

C Z Z Z I D

Sehingga didapatkan estimator kurva spline untuk ˆ ˆ,x t Zf diberikan

oleh persamaan :

18

,ˆ ˆ, , .x t Z f (2.19)

1T T

Z Z Z Z I D y

, A y (2.20)

dengan matrik A adalah :

1T T

A Z Z Z Z I D

kemudian dari persamaan (2.11) menunjukkan estimator persamaan kernel :

,ˆ t g D y

sehingga didapatkan estimator campuran regresi spline linier dan kernel :

,ˆ ˆˆ , ,x t x t t f g

, ( ) A y D y

( , ( )) A D y

( , )B y (2.21)

dimana matrik B adalah :

, , B A D

Estimator campuran regresi Spline dan Kernel ,ˆ ,x t sangat

bergantung kepada banyak dan letak titik knot 1 2( , ,..., )Tr dan parameter

bandwitdh . Untuk memperoleh estimator campuran regresi Spline dan Kernel

yang terbaik perlu dilakukan pemilihan titik knot dan parameter bandwidth yang

optimal. Metode yang biasa digunakan adalah Generalized Cross Validation

(GCV). Fungsi GCV yang diberikan oleh Wahba (1990) adalah :

1 2,

21

ˆ|| ( , ) ||,

, ( )

n x tGCV

n trace

y

I A D

(2.22)

Titik knot optimal 1( ) 2( ) ( )( , ,..., )Topt opt opt r opt dan parameter bandwidth

optimal opt diperoleh dari optimasi :

,( , ) { ( , )}opt optG Min G

(2.23)

Titik knot dan parameter bandwidth optimal diperoleh dari nilai GCV terkecil.

19

2.5 Teorema Dasar Terkait dengan Aljabar Matriks

Beberapa konsep dasar yang digunakan dalam proses mendapatkan

estimator model regresi nonparametrik kernel dan spline truncated linier

multivariabel berikut ini.

Teorema 2.5.1 (Rencher dan Schaalje 2008: 9, 13)

Pada matriks A dan B, maka berlaku sifat – sifat sebagai berikut :

a. Jika matriks A simetris, maka TA = A.

b. T T T A B A B

c. T T TAB B A

Teorema selanjutnya berkaitan dengan penurunan matriks dan vektor.

Teorema 2.5.2 (Rencher dan Schaalje 2008: 56)

Pada vektor a dan x , dimana T Ta x x a , 1 2, ,...,Tpa a aa

memuat konstanta,

dengan ini berlaku

T T

a

a x x a

x x

Teorema 2.5.3 (Rencher dan Schaalje 2008: 56)

Apabila vektor x dan merupakan suatu matriks simetri, maka

2

T

x AxAx

x

2.6. Rata-rata Lama Sekolah

Penelitian tentang pendidikan sudah sering dilakukan di Negara-negara

berkembang dengan tujuan untuk mendeteksi permasalahan dan mengembangkan

pembangunan faktor sumber daya manusia yang masih bisa dikatakan rendah jika

dibandingkan dengan negara-negara yang sudah maju, bahkan tidak jarang

digunakan untuk kepentingan evaluasi dari suatu program yang telah

dilaksanakan. Parikh dan Sadoulet (2005) menggunakan variabel umur, jenis

kelamin, jumlah anak, pendidikan orangtua, pekerjaan orang tua dan kemampuan

baca tulis orangtua dalam penelitiannya tentang partisipasi sekolah dan

bekerja anak di Brasil. Zhao dan Glewwe (2009) dalam penelitian di Propinsi

20

Gansu RRT, memperkirakan faktor yang mentukan lama sekolah dilihat dari

capaian gizi anak, yang diukur dari Z skor dan pendapatan rumah tangga memiliki

efek positif pada lama sekolah anak. Pendidikan ibu di Propinsi Gangsu juga

sangat mempengaruhi tingkat pendidikan anak-anaknya.

Dalam penelitian lain, Setyawan (2011) yang melakukan penelitian

tentang permodelan determinan tingkat pendidikan di Pulau Papua. Dimana dalam

penelitian tersebut didapatkan beberapa variabel yang berpengaruh secara

signifikan, diantaranya adalah angka harapan hidup, rata-rata pengeluaran rumah

tangga perbulan, banyaknya anggota rumah tangga, rasio jenis kelamin,

persentase ibu berpendidikan SLTA keatas, rasio murid dengan guru, rasio murid

dengan sekolah, persentase penduduk perkotaan, persentase penduduk yang

tinggal di pesisir dan persentase angaran pendidikan di APBD. Melliana (2013)

dalam penelitiannya menyebutkan bahwa rasio murid guru pada tingkat

SLTP/MTS memberikan pengaruh terhadap angka IPM di Provinsi Jawa Timur

dimana didalamnya terdapat ukuran tingkat pendidikan. Fasilitas pendidikan

merupakan aspek yang tidak bisa diabaikan dalam proses pendidikan khususnya

dalam proses belajar mengajar. Berdasarkan penelitian sebelumnya tersebut,

penelitian ini banyak mengadopsi variabel-variabel yang telah digunakan dalam

penelitian-penelitian yang telah disebutkan diatas. Sehinggah dalam penelitian ini

menggunakan variabel-variabel prediktor yaitu Rata-rata Pengeluaran Rumah

Tangga per Bulan, Rata-rata banyaknya anggota rumah tangga, Rasio jenis

kelamin, Rasio murid terhadap guru dan Rasio murid terhadap sekolah. Berikut

ini akan diuraikan konsep serta definisi dari variabel-variabel tersebut secara

terperinci.

Rata-rata Lama Sekolah

Rata-rata lama sekolah merupakan jumlah tahun belajar penduduk usia 25

tahun ke atas yang telah diselesaikan dalam pendidikan formal (tidak termasuk

tahun yang mengulang) (BPS, 2011). Rata-rata lama sekolah bermanfaat untuk

melihat kualitas penduduk dalam hal mengenyam pendidikan formal . Rata-rata

lama sekolah merupakan indikator yang telah ditetapkan oleh UNDP pada

tahun 1990 untuk penyusunan IPM. Angka lama sekolah dapat juga digunakan

untuk monitoring pelaksanaan Program Hak Belajar pendidikan dasar Sembilan

21

tahun yang dicanangkan oleh pemerintah. Artinya untuk melewati target

program tersebut maka angka lama sekolah harus sudah mencapai 9 tahun.

Rata-rata Pengeluaran Rumah Tangga per Kapita

Rata-rata Pengeluaran Rumah Tangga per kapita adalah biaya yang

dikeluarkan untuk konsumsi anggota rumah tangga selama sebulan dibagi dengan

banyaknya anggota rumah tangga merupakan gambaran tingkat kesejahteraan

yang dinikmati oleh penduduk sebagai dampak semakin membaiknya ekonomi

(BPS, 2011). Variabel rata-rata pengeluaran rumah tangga merupakan salah satu

variabel yang mempengaruhi rata-rata lama sekolah pada penelitian Setyawan

(2011)

Banyaknya Anggota Rumah Tangga

Pada beberapa kalangan masyarakat tertentu, seringkali banyaknya

anggota keluarga menjadi suatu bahan pertimbangan ketika harus memutuskan

anggota keluarga yang mana yang harus melanjutkan ke suatu jenjang pendidikan

yang lebih tinggi. Kesejahteraan yang masih rendah serta banyaknya jumlah

anggota keluarga memaksa mereka untuk menentukan pilihan. Sehingga tentu saja

ada anggota keluarga yang akhirnya harus dikorbankan untuk tidak mendapatkan

pendidikan yang seharusnya layak untuk diikutinya. Variabel ini merupakan

bentuk asimilasi dari variabel yang diteliti oleh Connely dan Zhang (2002) yaitu

Family Size atau banyaknya anggota keluarga.

Persentase Anggaran Pendidikan dari APBD

Persentase anggaran pendidikan merupakan alokasi anggaran pendidikan

dari total Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD) pada satu tahun

anggaran. Variabel persentase anggaran pendidikan dari Total APBD merupakan

variabel yang mempengaruhi rata-rata lama sekolah pada penelitian setyawan

(2011)

Rasio Murid dengan Sekolah

Rasio murid terhadap sekolah merupakan suatu ukuran terhadap

kecukupan fasilitas fisik untuk melakukan proses belajar dan mengajar. Semakin

banyak sekolah-sekolah yang dibangun akan memberikan peluang yang lebih

besar kepada penduduk usia sekolah untuk dapat mengenyam bangku pendidikan.

22

Penelitian Huisman, dkk (2010) menunjukkan peran kecukupan fasilitas sekolah

dalam peningkatan pendidikan.

Rasio Murid dengan Guru

Rasio murid terhadap guru ini merupakan rata-rata jumlah murid/ siswa

per guru di tingkat pendidikan tertentu pada ajaran tertentu (BPS, 2011). RMG

bermanfaat untuk mengambarkan beban kerja seorang guru dalam mengajar dan

untuk melihat mutu pengajaran di kelas. Semakin tinggi nilai rasionya, diduga

akan semakin berkurang pengawasan/ perhatian guru terhadap murid sehingga

kualitas pengajaran akan cenderung semakin rendah. Hal ini umumnya

diasumsikan bahwa rasio guru-murid yang rendah menandakan kelas yang lebih

kecil yang memungkinkan para guru untu lebih memperhatikan individu siswa,

yang memungkinkan dalam jangka panjang menghasilkan peforma yang lebih

baik dari murid. Melliana (2013) dalam penelitiannya menunjukkan bahwa rasio

murid guru memiliki pengaruh yang signifikan terhadap besaran angka IPM yang

dibentuk melalui beberapa komponen yang salah satunya adalah tingkat

pendidikan.

23

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Penelitian ini menggunakan data sekunder dari publikasi yang diterbitkan

oleh BPS Provinsi Jawa Tengah dan Direktorat Jenderal Perimbangan Keuangan

(DJPK) Kementrian Keuangan Republik Indonesia Tahun 2014 dengan unit

observasi adalah seluruh Kabupaten/Kota yaitu sebanyak 35 Kabupaten/Kota di

Provinsi Jawa Tengah.

3.2 Variabel Penelitian

Berdasar pada latar belakang dan tujuan penelitian, terdapat satu variabel

respon dan lima variabel prediktor yang digunakan. Variabel-variabel tersebut

adalah sebagai berikut :

Variabel Respon Y : Rata-Rata Lama Sekolah

Variabel Prediktor

X1 : Pengeluaran Per kapita per bulan.

X2 : Persentase Anggaran Pendidikan di APBD.

X3 : Rasio jumlah murid dengan jumlah sekolah SLTA.

X4 : Rasio jumlah murid dengan jumlah guru SLTA.

t : Rata-rata banyaknya anggota rumah tangga.

Variabel respon dan prediktor akan diaplikasikan terhadap regresi

nonparametrik campuran dengan pendekatan kernel dan spline linier truncated

multivariabel.

3.3 Definisi Operasional Variabel Penelitian

Rata-Rata Lama Sekolah

Rata-rata lama sekolah merupakan jumlah tahun belajar yang telah

diselesaikan dalam pendidikan formal (tidak termasuk tahun yang mengulang)

(BPS, 2011). Untuk menghitung Rata-rata lama sekolah dibutuhkan informasi

tentang :

24

- Partisipasi sekolah

- Jenjang dan jenis pendidikan tertinggi yang pernah/ sedang diduduki.

- Ijasah tertinggi yang dimiliki

- Tingkat/ kelas tertingi yang pernah/ sedang diduduki.

Rumus rata-rata lama sekolah untuk yang partisipasi sekolahnya masih

bersekolah dan tidak bersekolah lagi namun tidak tamat adalah :

Rata-rata lama sekolah = tahun konversi + kelas tertinggi yang pernah

diduduki - 1

Rata-rata lama sekolah untuk yang partisipasi sekolahnya tidak bersekolah dan

tidak bersekolah lagi namun sudah tamat adalah :

Rata-rata lama sekolah = tahun konversi + kelas tertinggi yang pernah

diduduki - 1

Adapun tahun konversi pendidikan yang ditamatkan disajikan pada tabel

berikut ini :

Tabel 3.1. Konversi Tahun Pendidikan Tertinggi yang ditamatkan

No Pendidikan Tertinggi yang ditamatkan Konversi (tahun) 1 Tidak/belum pernah sekolah 0 2 SD dan setara 6 3 SLTP dan setara 9 4 SLTA dan setara 12 5 D-1 13 6 D-2 14 7 D-3 15 8 D-4/ S-1 16 9 S-2 18 10 S-3 21

Sumber: BPS (2011)

Rata-rata Pengeluaran Rumah Tangga per Kapita

Rata-rata Pengeluaran Rumah Tangga per kapita adalah biaya yang

dikeluarkan untuk konsumsi anggota rumah tangga selama sebulan dibagi

dengan banyaknya anggota rumah tangga merupakan gambaran tingkat

kesejahteraan yang dinikmati oleh penduduk sebagai dampak semakin

membaiknya ekonomi (BPS, 2011). Besarnya pengeluaran suatu rumah tangga

seringkali digunakan sebagai pendekatan terhadap besarnya pendapatan rumah

25

tangga tersebut. Sehingga tidak salah juga bila besarnya pengeluaran rumah

tangga dijadikan sebagai salah satu tolok ukur kesejahteraan rumah tangga

tersebut. Semakin besar pengeluarannya maka semakin banyak kebutuhan

rumah tangga yang dapat terpenuhi, sehingga bisa dikatakan bahwa rumah

tangga tersebut juga semakin sejahtera.

Persentase Anggaran Pendidikan di APBD

Persentase anggaran pendidikan merupakan alokasi anggaran pendidikan

dari total Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD) pada satu tahun

anggaran. Persentase anggaran pendidikan dalam APBD seperti tertuang

dalam UU No.20 Tahun 2003 tentang sistem Pendidikan Nasional Pasal 49

ayat (1) yang berbunyi, “ Dana Pendidikan selain gaji pendidik dan biaya

pendidikan kedinasan dialokasikan minimal 20 % dari Anggaran Pendapatan

Belanja Negara (APBN) pada sektor pendidikan dan minimal 20 % dari

Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD). Data bersumber dari

Direktorat Jenderal Perimbangan Keuangan (DJPK) Kementrian Keuangan

Republik Indonesia.

Rasio Murid dengan Sekolah

Rasio murid terhadap sekolah merupakan suatu ukuran terhadap

kecukupan fasilitas fisik untuk melakukan proses belajar dan mengajar.

Semakin banyak sekolah-sekolah yang dibangun akan memberikan peluang

yang lebih besar kepada penduduk usia sekolah untuk dapat mengenyam

bangku pendidikan.

Rumus Rasio t

t hh t

h

MM S

S dengan:

Rasio t

hM S : Jumlah murid/ siswa yang terdaftar di tingkat pendidikan h

pada tahun ajaran t. t

hM : Rasio murid-sekolah di tingkat pendidikan h pada tahun

ajaran t.

26

t

hS : Jumlah sekolah yang tersedia di tingkat pendidikan h pada

tahun ajaran t.

Rasio Murid dengan Guru

Rasio murid terhadap guru ini merupakan rata-rata jumlah murid/ siswa

per guru di tingkat pendidikan tertentu pada ajaran tertentu (BPS, 2011).

Rumus Rasio t

t hh t

h

MM G

G dengan :

Rasio t

hM G : Rasio murid-guru di tingkat pendidikan h pada tahun

ajaran t. t

hM : Jumlah murid/ siswa yang terdaftar di tingkat pendidikan h

pada tahun ajaran t. t

hG : Jumlah guru yang terdaftar di tingkat pendidikan h pada

tahun ajaran t.

Rata-Rata Banyaknya Anggota Rumah Tangga

Mengacu pada konsep rumah tangga serta kondisi sosial masyarakat Jawa

Tengah yang lebih relevan jika menggunakan konsep rumah tangga, sehingga

dalam penelitian ini akan digunakan variabel banyaknya anggota rumah

tangga (household size).

Rumus untuk Rata-rata banyaknya anggota rumah tangga adalah : P

RartRt

dimana :

Rart : Rata-rata banyaknya anggota rumah tangga.

P : Jumlah penduduk suatu wilayah

Rt : Jumlah rumah tanga suatu wilayah

3.4. Tahapan Penelitian

Tujuan pertama dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan estimasi

campuran dengan pendekatan spline linier truncated multivariabel dan kernel

pada regresi nonparametrik. Untuk menyelesaikan tujuan pertama, dilakukan

langkah-langkah sebagai berikut:

27

1. Membuat model regresi nonparametrik. Diberikan respon iy dengan variabel

komponen nonparametrik 1 2, ,..., ,i i iq ix x x t :

1

q

i pi pi i i

p

y f x g t

dimana yi merupakan variabel respon, 1

q

p pi

p

f x

merupakan komponen

variabel prediktor yang didekati kurva regresi spline truncated linier. ig t

merupakan satu kurva regresi yang didekati dengan fungsi kernel dan error

i , i =1,2,…,n saling independen.

2. Menyajikan model estimasi campuran regresi spline linier truncated

multivariabel dan kernel pada regresi nonparametrik tersebut dalam bentuk

matrik:

( ) ( ) y Ζ D y

3. Mendapatkan estimasi menggunakan metode Ordinary Least Square

(OLS) dengan menyelesaikan optimasi:

ˆˆ

T

Min I D y Z I D y Z

(3)

4. Menyelesaikan optimasi (3) dengan menggunakan derivatif partial:

Q

Dengan Q T

I D y Z I D y Z

5. Menyamakan derivatif partial tersebut dengan 0, yaitu:

Q

= 0

6. Mendapatkan estimasi campuran regresi spline linier multivariabel dan kernel

pada regresi nonparametrik :

1

ˆ ˆˆ( , )q

i i p pi i

p

t x t

x f g

28

Tujuan kedua dari penelitian ini adalah mengaplikasikan model estimasi

campuran regresi spline truncated linier multivariabel dan kernel pada regresi

nonparametrik terhadap data Rata-Rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa Tengah.

Untuk menyelesaikan tujuan kedua, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Membuat Scatter Plot data antara variabel respon dengan masing-masing

variabel prediktor.

2. Memodelkan data menggunakan estimasi campuran kernel dan regresi spline

linier truncated multivariabel dengan berbagai knot (satu knot, dua knot dan

tiga knot).

3. Memilih titik knot dan Bandwitdh optimal dengan metode GCV.

4. Menetapkan model terbaik dari nilai GCV terkecil.

5. Menghitung R2 sebagai bagian dari kriteria kebaikan model.

6. Membuat kesimpulan dari model yang terbentuk.

Gambar 3.1 dan 3.2 memberikan gambaran mengenai tahap analisis untuk

tujuan pertama dan ke dua yang dilakukan pada penelitian ini.

29

Gambar 3.1 Langkah-langkah Tahap Analisis untuk Tujuan Pertama

Menyajikan model regesi campuran regresi spline truncated linier

multivariabel dan kernel

Menghampiri kurva komponen nonparametrik dengan spline truncated

linier multivariabel dengan knot

Menghampiri kurva komponen fungi kernel

Menyajikan model regresi campuran regresi spline truncated linier multivariabel dan kernel dalam bentuk matrik

Mendapatkan estimasi menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS)

Menyelesaikan hasil optimasi menggunakan derivatif partial

Mendapatkan model estimasi campuran kernel dan regresi spline truncated linier multivariable

30

Gambar 3.2 Langkah-langkah Tahap Analisis untuk Tujuan Kedua

Diberikan data

Memilih titik knot dan bandwitdh optimal dengan metode GCV

Menetapkan model terbaik dari nilai GCV terkecil

Menghitung R2

Intrepretasi model dan kesimpulan

Memodelkan data menggunakan estimasi campuran kernel dan regresi spline truncated linier multivariabel

dengan satu sampai kombinasi tiga titik knot

Membuat Scatter Plot data antara variabel respon dengan masing-masing variabel prediktor.

31

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan tujuan penelitian, pada bahasan ini akan dilakukan estimasi

kurva regresi campuran kernel dan spline truncated linier multivariabel. Hasil

estimasi kemudian akan diterapkan pada Model Rata-Rata Lama Sekolah di

Provinsi Jawa Tengah tahun 2014.

4.1 Bentuk Model Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated

Multivariabel

Kajian mengenai regresi nonparametrik campuran kernel dan spline

truncated linier multivariabel pada data berpasangan 1 , , , ,i qi i ix x t y dengan

diasumsikan hubungan antar variabel prediktor 1 , , ,i qi ix x t dan variabel respon iy

mengikuti model regresi nonparametrik :

1( ,..., , )i i qi i iy x x t

( , )i i it x , (4.1)

dimana

1 2( , ,..., )i i i pix x xx .

Bentuk kurva regresi ( , )i it x pada persamaan (4.1) diasumsikan tidak

diketahui dan hanya diasumsikan bahwa kurva tersebut smooth dalam arti

kontinyu dan differensiabel. Error random i berdistribusi normal dengan

( ) 0iE dan 2( )iVar . Kurva regresi ( , )i it x diasumsikan bersifat additif,

sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

1 2) ( ) ( ) ( )( , ) ( i i qi ii i f x f x g tt f x x

1

( )q

p pi ip

f x g t

(4.2)

dimana,

1 21

) ( ) ( )(q

p pi i i qip

f x f x f xf x

32

Bentuk pola hubungan variabel respon iy dengan masing-masing variabel

prediktor ix diasumsikan berubah-ubah pada sub-sub interval tertentu, sedangkan

bentuk pola hubungan variabel respon iy dengan variabel it diasumsikan tidak

diketahui. Dengan i = 1,2…,n secara teori 1

q

p pip

f x

merupakan komponen

variabel prediktor yang didekati kurva regresi spline truncated linier dengan

jumlah variabel sebanyak q variabel. ig t merupakan satu variabel prediktor

dengan kurva regresi kernel.

Komponen kurva regresi spline truncated linier ( )if x pada persamaan

(4.2) didefinisikan oleh :

0 1 1 1 1( )pi pi i q i r i rf x x x x x

0 0

,m r

jjp pi j ip jp

j jx x

dengan

,,0

mm i ri r

i ri r

xxxx

0 1, ,..., q dan 1 2, ,..., r merupakan parameter-parameter yang tidak

diketahui, sedangkan λ1, λ2,…λr merupakan titik-titik knot. Komponen kurva

regresi kernel ( )ig t didefinisikan oleh :

1

1

ˆ ;n

i ii

g t n W t y

1

1

,ii n

jj

K t tW t

n K t t

dimana :

1 .i

it tK t t K

K merupakan fungsi kernel yang dalam studi ini menggunakan fungsi kernel

gaussian.

33

4.2 Estimasi Kurva Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel

Sejumlah q variabel prediktor, kurva regresinya dihampiri dengan regresi

spline truncated linier dengan titik knot λ1, λ2,…λr maka persamaan ditunjukkan

dengan model berikut :

0 0

( )i

m rj

jp pi j ip jpj j

f x x x

sehingga regresi spline truncated linier masing-masing variabel prediktor adalah :

1 1 01 11 1 11 1 11 21 1 21 1 1 1r rf x x x x x

2 2 02 12 2 12 2 12 22 1 22 2 2 2r rf x x x x x

0 1 1 1 2 2 .q q q q q q q q q q q rq q rqf x x x x x

Selanjutnya regresi spline truncated linier multivariabel adalah :

1 1 2 21

q

p pi i i q qip

f x f x f x f x

01 11 1 11 1 11 1 1 1

0 1 1 1 .r r

P P P q q q rq q rq

x x x

x x x

01 02 0 11 1 11 1 11

1 1 1 1 1 1 .p

r r q q q q q rq q rq

x x

x x x x

Sehingga diperoleh persamaan regresi spline linier q variabel sebagai berikut :

1

1 1 2 2

q

pi pi pip

i i q qi

f f x

f x f x f x

01 02 0 11 1 11 1 11 11 1 1

1 1 1

p i i i r

q qi q qi q rq qi rq

x x x

x x x

*0 11 1 11 1 11 21 1 21 1 1 1

1 1 1

i i i r i r

q qi q qi q rq qi rq

x x x x

x x x

34

*0 11 1 12 2 1 11 1 11

1 1 1 11 1 11 1 1

,

pi i i p pi i

r i r i q qi q

rq qi rq

f x x x x

x x x

x

(4.3)

dimana : *0 01 02 0 ,q

untuk i = 1, maka :

*1 0 11 11 12 21 1 1 11 11 11

1 11 1 11 11 11 1 1 1

1 ,

p p p

r r q q q

rq q rq

f x x x x

x x x

x

untuk i = 2, maka :

*2 0 11 12 12 22 1 2 11 12 11

1 12 1 11 12 11 1 2 1

2 ,

p p p

r r q q q

rq q rq

f x x x x

x x x

x

dan seterusnya sehingga untuk i = n :

*0 11 1 12 2 1 11 1 11

1 1 1 11 1 11 1 1

,

pn n n p pn n

r n r n q qn q

rq qn rq

f x x x x

x x x

x

sehingga persamaan Spline linier r knot di n wilayah observasi dapat disajikan

dalam bentuk matrik :

1 11 1 0 1111 11 11 1

2 12 2 11 2112 11 12 1

1 1 11 11 1 1

11 12 11

11

1

p qr

p qr

pn n qn q rn n r

r

f x xx x

f x xx x

f x xx x

x x

2 12

1 12 1 2 2n n r rx x

35

1 1 1 1

1

q q q rq q

rqqn q qn rq

x x

x x

Model matriks di atas dapat disajikan dalam bentuk Persamaan sebagai berikut:

0 1 1 1 2 2 21

( ) ,q

p pi q q qp

x

X X X Xf (4.4)

dengan :

1 11 1 0

2 12 2 110

1 1

11

( ) , ,

1

,

p q

p qp pi

pn n qn q

f x xf x x

x

f x x

Xf

11 11 11 1 11

1 1 1

1 11 1 1 1

, ,r

n n r r

x x

x x

X

11 12 11 2 12

2 2 2

1 12 1 2 2

, ,r

n n r r

x x

x x

X

1 1 1 1

1

, .q q q rq q

q q

qn q qn rq rq

q

x x

x x

X

Vektor ( )p pixf berukuran , vektor berukuran ( ) , vektor 1

berukuran , vektor 2 berukuran , vektor p berukuran , Matriks

1 1( )X berukuran ( ), Matriks 2 2( )X berukuran ( ), dan Matriks

( )q qX berukuran ( ).

Dari persaman (4.4) :

0 1 1 1 2 2 21

( )q

p pi q q qp

x

X X X X f

Dapat dituliskan dalam bentuk matrik :

36

10 1 1

1

( )q

p pi q qp

q

x

X X X

f

1

( )q

p pip

x

Zf (4.5)

dimana :

1

0 1 1 , .

q

P P dan

Z X X X

Dari persamaan (4.2), diberikan fungsi Kernel dengan bentuk :

1

1

ˆ ,n

i ii

g t n W t y

(4.6)

dimana :

1

1

1; .i ii in

jj

K t t t tW t K t t Kn K t t

Dari persamaan fungsi kernel diatas, berlaku untuk setiap t = t1, t =t2,…, t = tn

maka :

11

1 1 11 1 1 1 1

1 1 12 2 1 2 1 2

1

1 11 1

1

1

ˆˆ

ˆ

n

i ii

n nn

i i n ni

n n n n nn

i n ii

n W t yg t n W t y n W t yg t n W t y n W t y n W t y

g t n W t y n W t yn W t y

1 1 111 1 2 1 1

1 1 121 2 2 2 2

1 1 11 2

n

n

nn n n n

yn W t n W t n W tyn W t n W t n W t

yn W t n W t n W t

D y.

(4.7)

37

Dari persamaan (4.2), model regresi campuran spline linier dan kernel diberikan :

1

ˆ ( ) ˆq

p pip

x t

fy g

Z D y (4.8)

Estimator parameter dapat diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary

Least Square (OLS) dari persamaan (4.8) yang menghasilkan persamaan :

Z D y y

D Z y y

I D Zy (4.9)

Selanjutnya jumlah kuadrat error dengan menggunakan teorema 2.5.1 bisa

didapatkan sebagai berikut :

2

1

nT

ii

Q

T

I D Z I D Zy y

'T TT I D Z I D Zy y

2 T TT T

TT

I D I D Z Z

I D Z Z

y y

y

2 T TT T

TT

I D Z I D Z

I D Z Z

y y

y

22 TT

TT

I D Z I D

Z Z

y y

(4.10)

Untuk mendapatkan estimator dari parameter , berdasarkan pada penggunaan

Teorema 2.5.2 dan Teorema 2.5.3 dilakukan derivatif parsial dari persamaan

(4.10) Q terhadap sebagai berikut:

38

2

2 T TT TQ

I D Z I D Z Zy y

ˆ2 2T T

Z I D Z Zy (4.11)

Apabila persamaan (4.11) disamakan dengan nol, maka akan diperoleh

persamaan:

ˆ 0.T T

Z Z Z I D y

Selanjutnya Persamaan dapat pula ditulis dalam bentuk :

ˆT T Z Z Z I D y,

sehingga estimator diberikan oleh:

1' '

Z Z Z I D y. (4.12)

Persamaan (4.12) dapat diringkas menjadi bentuk persamaan :

ˆ , C y, (4.13)

dimana :

1'

, .T

C Z Z Ζ Ι D

Sehingga didapatkan estimator kurva spline truncated linier multivariabel untuk

1

( )q

p pip

x

Z f diberikan oleh persamaan :

( )1

ˆ , ˆ( ) ( , )p

q

p

t

x Z f (4.14)

1' T

Z Z Z Z I D y,

sehingga :

1

( ) ,q

p pip

x

Af y, (4.15)

dengan matrik A adalah :

1

, .T T

A Z Z Z Z I D

39

Kemudian dari persamaan (4.7) menunjukkan estimator persamaan kernel :

,ˆ t Dg y,

sehingga didapatkan estimator campuran regresi spline linier dan kernel :

1

ˆ ˆˆ( , )q

i i p pi ip

t x t

x f g

, A D y y

, A D y

,B y, (4.16)

dimana matrik B adalah :

, , . B A D

Estimator campuran regresi Spline dan Kernel ,ˆ ,i it x sangat

bergantung kepada banyak dan letak titik knot 1 2( , ,..., )Tr dan parameter

bandwitdh . Untuk memperoleh estimator campuran Kernel dan regresi Spline

truncated linier multivariabel yang terbaik perlu dilakukan pemilihan titik knot

dan parameter bandwith yang optimal. Metode yang biasa digunakan adalah

Generalized Cross Validation (GCV). Fungsi GCV oleh Wahba (1990) adalah :

1 2,

21

ˆ|| ( , ) ||, .

, ( )i in t

GCVn trace

y x

I A D

(4.17)

Titik knot optimal 1( ) 2( ) ( )( , ,..., )Topt opt opt r opt dan parameter bandwdith

optimal opt diperoleh dari optimasi :

,( , ) { ( , )}.opt optG Min G

(4.18)

Titik knot dan parameter bandwith optimal diperoleh dari nilai GCV terkecil.

4.3 Aplikasi pada Model Rata-rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa Tengah

Unit observasi yang digunakan dalam penelitian ini adalah 35

kabuapten/kota yang ada di Provinsi Jawa Tengah. Variabel respon yang

digunakan adalah Rata-rata Lama Sekolah (Y), sedangkan variabel prediktor

40

adalah Rata-rata Pengeluaran Perkapita (X1), Persentase Pengeluaran Pemerintah

Daerah (APBD) di Bidang Pendidikan (X2), Rasio jumlah murid dengan jumlah

sekolah SLTA (X3), dan Rasio jumlah murid dengan jumlah guru SLTA (X4),

Rata-rata banyaknya Anggota Rumah Tangga (t).

4.3.1 Analisis Dekriptif

Sebelum proses permodelan Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Multivariabel pada data Rata-rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa

Tengah, perlu dilihat statistik deskriptif dari data masing-masing variabel seperti

ditunjukkan pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Variabel Respon dan Variabel Prediktor

Variabel Jumlah Min Max Range Mean Standard Deviasi

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Y 35 10,649 14,950 4,301 12,185 0,917

X1 35 457,200 1058,300 601,000 644,400 148,400

X2 35 30,210 56,130 25,920 44,366 5,783

X3 35 231,500 520,000 288,400 419,400 35,000

X4 35 7,910 15,385 7,475 11,430 35,000

t 35 3,400 4,300 0,900 3,7286 3,729

Statistik deskriptif yang ditampilakan pada Tabel 4.1 digunakan untuk

inisiasi titik-titik knot dan bandwidth. Untuk melihat pola hubungan antara

variabel respon dengan masing-masing variabel prediktor dapat dilihat dari grafik

scatter plot. Hasil scatter plot untuk masing-masing variabel respon dan variabel

prediktor adalah sebagai berikut :

41

11001000900800700600500400

15

14

13

12

11

kapita

RLS

Gambar 4.1 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y) dengan Rata-rata

Pengeluaran perkapita (X1).

Gambar 4.1 menggambarkan pola hubungan antara Rata-rata Lama

Sekolah dengan Rata-rata Pengeluaran perkapita cenderung naik tetapi

perilakunya berubah pada sub interval antara 620 dan 900. Pola hubungan yang

berubah perilakunya pada sub interval dapat didekati dengan regresi spline

truncated linier.

555045403530

15

14

13

12

11

Belanja_APBD_pnddkan

RLS

Gambar 4.2 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y) dengan Pesentase

Pengeluaran Pemerintah Daerah (APBD) di Bidang Pendidikan (X2).

Gambar 4.2 menunjukkan pola hubungan antara Rata-rata Lama Sekolah

dengan Pesentase Pengeluaran Pemerintah Daerah (APBD) di Bidang Pendidikan

cenderung mengalami perubahan perilaku pada sub interval antara 35 dan 45. Pola

hubungan yang berubah perilakunya pada sub interval dapat didekati dengan

regresi spline truncated linier.

42

550500450400350300250200

15

14

13

12

11

murid Vs Sklh

RLS

Gambar 4.3 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y) dengan Rasio Jumlah Murid

dengan jumlah Sekolah tingkat SLTA (X3).

Gambar 4.3 tampak pola hubungan antara Rata-rata Lama Sekolah dengan

Rasio Jumlah Murid dengan jumlah sekolah tingkat cenderung mengalami

perubahan perilaku pada sub interval antara 300 dan 370. Pola hubungan yang

berubah perilakunya pada sub interval dapat didekati dengan regresi spline

truncated linier.

16151413121110987

15

14

13

12

11

murid VS guru

RLS

Gambar 4.4 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y) dengan Rasio Jumlah Murid

dengan jumlah Guru tingkat SLTA (X4).

Gambar 4.4 menggambarkan pola hubungan antara Rata-rata Lama

Sekolah dengan Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Guru tingkat SLTA

cenderung menurun tetapi mengalami perubahan perilaku pada sub interval antara

9 dan 12. Pola hubungan yang berubah perilakunya pada sub interval dapat

didekati dengan regresi spline truncated linier.

43

4.34.24.14.03.93.83.73.63.53.4

15

14

13

12

11

rata2 art

RLS

Gambar 4.5 Scatter Plot antara Rata-rata Lama Sekolah (Y) dengan Rata-rata Anggota

Rumah Tangga (t).

Gambar 4.5 menunjukkan hubungan antara Rata-rata Lama Sekolah

dengan Rata-rata Anggota Rumah Tangga tidak memiliki suatu pola yang jelas.

Pola hubungan yang tidak jelas dapat didekati dengan fungsi kernel.

Berdasar Gambar scatter plot yang mengambarkan pola hubungan antara

variabel respon dan prediktor, maka Model Estimasi Campuran Kernel dan Spline

truncated linier Multivariabel merupakan salah satu metode yang tepat, karena

ada pola hubungan variabel respon dan variabel prediktor yang tidak jelas dan

juga ada pola hubungan variabel respon dan variabel prediktor yang cenderung

berubah perilakunya pada sub interval. Variabel-variabel prediktor Rata-rata

Pengeluaran Perkapita (X1), Persentase Pengeluaran Pemerintah Daerah (APBD)

di Bidang Pendidikan (X2), Rasio jumlah murid dengan jumlah sekolah SLTA

(X3), dan Rasio jumlah murid dengan jumlah guru SLTA (X4) akan didekati

dengan regresi spline linier truncated, sedangkan variabel Rata-rata banyaknya

Anggota Rumah Tangga (t) akan didekati dengan fungsi kernel. Model Estimasi

Campuran Kernel dan Spline truncated linier Multivariabel akan dipilih dengan

melihat nilai GCV terkecil dari beberapa model yang menggunakan jumlah titik

knot dan bandwidth yang berbeda. Penelitian ini mengunakan titik knot dengan

jumlah yang sama pada setiap variabel prediktor antara satu sampai dengan tiga

titik knot. Proses perbandingan akan diperhitungkan dari semua titik kemungkinan

titik knot tetapi hanya akan ditampilkan sepuluh posisi titik knot yang berbeda

44

pada masing-masing bagian yang mendekati titik knot dan bandwidth optimum.

Sehingga setelah pengolahan data akan didapatkan nilai GCV yang terkecil dan R-

Square yang maksimal, titik knot dan bandwidth yang optimal serta nilai

parameter dari model terbaik.

4.3.2 Model Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel Pemilihan Model Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated

Multivariabel terbaik diperoleh dari penentuan titik-titik knot dan bandwidth yang

optimal. Penentuan titik knot dan dan bandwidth yang optimal didapatkan dari

membandingkan nilai GCV beberapa titik knot dan bandwidth, dimulai dari satu

titik knot, dua titik knot dan tiga titik knot. Titik knot dan bandwidth yang optimal

ditunjukan dari nilai GCV yang terkecil.

4.3.2.1 Pemilihan Titik Knot dan Bandwidth Optimal dengan Satu Titik Knot Pemilihan titik knot dan bandwidth yang optimal diawali dengan

menggunakan satu titik knot pada masing-masing variabel prediktor spline dan

bandwidth secara bersama-sama. Berikut ini adalah model Regresi Campuran

Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel dengan satu titik knot.

*0 11 1 12 2 13 3 14 4 11 1 11 12 2 12

113 3 13 14 4 14

11

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ

i i i i i i

ni

i i ini

jj

y x x x x x x

K t tx x n y

n K t t

Nilai GCV yang dihasilkan dengan menggunakan satu titik knot ditunjukkan pada

Tabel 4.2.

45

Tabel 4.2 Nilai GCV dengan Satu Titik Knot

No Titik Knot Bandwidth

GCV x1 x2 x3 x4 α

1 535,7364 33,22 391,51 8,084167 12,437285 0,2477135

2 535,8607 33,22 391,51 8,084421 7,013215 0,2477298

3 555,778 30,37755 391,51 7,923009 6,906455 0,2526183

4 958,1474 33,22 391,51 8,146813 8,258792 0,2536875

5 535,8943 33,22 391,5113 8,084172 50,086936 0,2477013

6 682,0207 33,09796 391,5087 8,066426 20,01842 0,2541300

7 857,3226 33,21954 391,4687 8,124781 8,805228 0,2541810

8 682,02 30,56663 391,51 7,932973 212,1253 0,2543010

9 535,7915 31,22744 391,5101 18,28216 35,43942 0,2552030

10 535,6091 32,20571 391,51 15,39507 7,868713 0,2552310

Berdasarkan Tabel 4.2 dapat diketahui bahwa nilai GCV minimum yang

diperoleh dengan satu titik knot yaitu sebesar 0,247713, dimana titik knot

optimumnya pada masing-masing variabel prediktor yaitu sebagai berikut.

x1 = 535,7364 ; x2 = 33,22 ; x3 = 391,51 ; x4 = 8,084167 ; α = 12,437285

4.3.2.2 Pemilihan Titik Knot dan Bandwitdth Optimal dengan Dua Titik

Knot Setelah dilakukan pendekatan Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel dengan satu titik knot, selanjutnya dilakukan

pendekatan dengan dua titik knot. Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel dengan dua titik knot adalah sebagai berikut.

*0 11 1 12 2 13 3 14 4 11 1 11

21 1 21 12 2 12 22 2 22

13 3 13 23 3 23 14 4 14

124 4 24

11

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

i i i i i

i i i

i i i

ni

i ini

jj

y x x x x x

x x x

x x x

K t tx n y

n K t t

46

Nilai GCV dari pemodelan dengan menggunakan dua titik knot ditunjukkan oleh

Tabel 4.3.

Tabel 4.3 Nilai GCV dengan Dua Titik Knot

No Titik Knot Bandwidth GCV x1 x2 x3 x4 α

1 549,6119 36,1600 279,6111 9,9698 15,393779

0,162737

858,5652 39,8194 391,5058 12,8300

2 549,2031 36,1600 279,5922 9,9700 25,07055

0,1626529

858,3215 39,8044 391,5101 12,8300

3 550,1292 36,1600 279,6147 9,9508 19,51373

0,161697

958,1087 39,8019 391,5175 12,8300

4 549,8865 36,1600 279,6253 9,9479 13,931829

0,1616504

958,1533 39,8353 391,5206 12,8300

5 549,6736 36,1600 279,6132 9,9487 19,087489

0,1615691

958,1051 39,7940 391,5099 12,8301

6 550,0339 36,1600 279,6149 9,9700 8,689574

0,1628829

858,5252 39,8562 391,5058 12,8303

7 550,2694 36,1600 279,6113 9,9700 11,705683

0,1629146

858,4142 39,8136 391,5019 12,8306

8 550,0595 34,1218 279,6169 10,1962 27,865185

0,1638126

656,2516 40,5161 391,6025 11,6200

9 554,5689 34,1457 279,6160 10,2561 19,150274

0,1641383

658,6488 40,6404 391,5374 11,6200

10 555,9803 34,4436 279,6068 10,4800 13,32498

0,1643609

658,3198 40,4213 389,2869 11,0404

Tabel 4.3 memberikan beberapa alternatif nilai knot untuk masing-masing

variabel prediktor. Nilai GCV minimum yang diperoleh dengan 2 titik knot yaitu

0,1615691. Titik-titik knot pada tiap variabel prediktor yang menghasilkan nilai

GCV minimum yaitu sebagai berikut.

Pada variabel x11 = 549,6736 dan x12 = 958,1051

47

Pada variabel x21 = 36,1600 dan x22 = 39,7940

Pada variabel x31 = 279,6132 dan x32= 391,5099

Pada variabel x41 = 9,9487 dan x42 = 12,8301

Bandwidth α = 19,087489

4.3.2.3 Pemilihan Titik Knot dan Bandwitdth Optimal dengan Tiga Titik Knot Setelah dilakukan pendekatan Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel dengan satu titik knot dan dua knot, selanjutnya

dilakukan pendekatan dengan tiga titik knot. Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel dengan tiga titik knot adalah sebagai berikut:

*0 11 1 12 2 13 3 14 4 11 1 11 21 1 21

31 1 31 12 2 12 22 2 22 32 2 32

13 3 13 23 3 23 33 3 33 14 4 14

24 4 24 34 4 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i

i i i i

i i

y x x x x x x

x x x x

x x x x

x x n

1

11

1

ni

ini

jj

K t ty

n K t t

Berikut ini merupakan nilai GCV yang didapatkan dengan pemodelan

menggunakan tiga titik knot.

Tabel 4.4 Nilai GCV dengan Tiga Titik Knot

No Knot α GCV MSE x1 x2 x3 x4

1 557,4217 34,5300 279,6133 10,4033 0,91 0,8294 0,0724 657,5933 38,8500 327,6867 11,6500 757,7650 43,1700 423,8333 12,8967

2 557,4217 34,5300 279,6133 9,1567 0,61 0,8294 0,0733 657,5933 38,8500 327,6867 10,4033 757,7650 43,1700 423,8333 12,8967

3 557,4217 34,5300 279,6133 10,4033 0,61 0,8294 0,0740 657,5933 38,8500 327,6867 11,6500 757,7650 43,1700 423,8333 12,8967

4 557,4217 34,5300 279,6133 9,1567 0,91 0,8294 0,0761 657,5933 38,8500 327,6867 10,4033 757,7650 43,1700 375,7600 12,8967

48

Tabel 4.4 Nilai GCV dengan Tiga Titik Knot (lanjutan)

No Knot α GCV MSE x1 x2 x3 x4

5 557,4217 34,5300 279,6133 10,4033 0,91 0,8294 0,0769 657,5933 38,8500 327,6867 11,6500 757,7650 43,1700 375,7600 12,8967

6 557,4217 34,5300 279,6133 9,1567 0,91 0,8294 0,0719 657,5933 38,8500 327,6867 10,4033 757,7650 43,1700 423,8333 12,8967

7 557,4217 34,5300 279,6133 9,1567 0,61 0,8294 0,0776 657,5933 38,8500 327,6867 10,4033 757,7650 43,1700 375,7600 12,8967

8 557,42170 34,53000 279,61330 10,40333 0,61 0,8294 0,0786 657,59330 38,85000 327,68670 11,65000 757,76500 43,17000 375,76000 12,89667

9 557,42170 34,53000 279,61330 9,15667 0,91 0,8294 0,0796 657,59330 38,85000 327,68670 10,40333 757,76500 43,17000 423,83330 11,65000

10 557,42170 34,53000 279,61330 10,40333 0,91 0,8294 0,0806 657,59330 38,85000 327,68670 11,65000 757,76500 43,17000 423,83330 12,89667

Tabel 4.4 menunjukkan bahwa nilai GCV minimum setiap kombinasi yang

didapatkan apabila menggunakan tiga titik knot sama besar yaitu sebesar 0,8294.

Titik-titik knot optimal pada tiap variabel prediktor yang menghasilkan nilai GCV

minimum yang sama ditentukan oleh nilai MSE terkecil yaitu nilai MSE 0,0719.

Titik-titik knot optimal tersebut diberikan sebagai berikut.

Pada variabel x11 = 557,4217, x12 = 657,5933 dan x13 = 757,765

Pada variabel x21 = 34,5300 , x22 = 38,8500 dan x23 = 43,1700

Pada variabel x31 = 279,6133, x32= 327,6867 dan x33 = 423,8333

Pada variabel x41 = 9,1567, x42 = 10,4033 dan x43 = 12,8967

Bandwidth α = 0,91

Perbandingan nilai GCV minimum yang diperoleh dengan menggunakan

satu knot, dua knot dan tiga knot ditunjukkan oleh Tabel 4.5.

49

Tabel 4.5 Perbandingan Nilai GCV Minimum

Model GCV

1 Knot 0,247713

2 Knot 0,1615691

3 Knot 0,8294

Berdasarkan Tabel 4.5 terlihat bahwa model Regresi Campuran Kernel dan

Spline Truncated Linier Multivariabel yang memiliki GCV minimum yaitu model

regresi dengan dua titik knot dengan nilai GCV sebesar 0,1615691. Hal ini

menunjukkan bahwa model Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated

Linier Multivariabel terbaik yaitu model regresi dengan dua titik knot sehingga

nilai yang akan digunakan pada pemodelan Rata-rata Lama Sekolah di Jawa

Tengah adalah nilai titik knot optimal dari GCV dengan dua titik knot.

4.3.3 Penaksiran Parameter Model Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel Model Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel

terbaik diperoleh dengan menggunakan titik knot yang optimal. Model Regresi

Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel yang terbentuk

yaitu:

*0 11 1 12 2 13 3 14 4 11 1 11 21 1 21

12 2 12 22 2 22 13 3 13 23 3 23

114 4 14 24 4 24

11

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i

ni

i i ini

jj

y x x x x x x

x x x x

K t tx x n y

n K t t

Estimasi parameter regresi dapat dilihat pada Tabel 4.6.

50

Tabel 4.6 Estimasi Parameter

Variabel Nilai Estimasi Parameter

*0 = -11,2983

x1 11 = 0,014419

11 = -0,01250

21 = 0,015746

x2 12 = 0,209579

12 = -0,50945

22 = 0,389786

x3 13 = 0,022518

13 = -0,03570

23 = 0,022471

x4 14 = -0,97061

14 = 1,206009

24 = -0,56388 bandwidth = 19,08749

Hasil estimasi parameter pada Tabel 4.6 membentuk persamaan model

Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier Multivariabel dengan dua

titik knot sebagai berikut :

1 1

1 2 2

2 3 3

3 4

11.2983 0,014419 0,0125 549,67360,015746 958,1051 0,209579 0,50945 36,16000,389786 39,7940 0,022518 0,0357 61320,022471 0,97061 1,2

ˆ ( )( ) ( )( ) ( 279,

06)

( 391,5099) (009

y x xx x xx x xx x

4

35

4 351

1

9, )

0,05239

9487

19,0874890,56388 12,8301

19,0

03( ) ,

0,052390389

K874

i

ii j

j

x

t tKx y

t t

dengan K adalah fungsi kernel Gaussian.

Nilai R2 dari model ini sebesar 0,909313. Intrepretasi dari model tersebut

yaitu apabila variabel lain dianggap konstan, pada saat rata-rata pengeluaran

perkapita perbulan (X1) dibawah 549,6736, jika terjadi kenaikan rata-rata

51

pengeluaran perkapita perbulan tersebut seribu rupiah, maka rata-rata lama

sekolah menunjukkan pola meningkat. Kemudian pada saat pengeluaran perkapita

perbulan (X1) diantara 549,6736 dan 958,1051 jika terjadi kenaikan rata-rata

pengeluaran perkapita perbulan tersebut seribu rupiah, maka rata-rata lama

sekolah menunjukkan pola meningkat tetapi tidak setinggi pada saat rata-rata

pengeluaran perkapita perbulan (X1) dibawah 549,6736. Sedangkan pada saat

pengeluaran perkapita perbulan (X1) lebih dari 958,1051 jika terjadi kenaikan

rata-rata pengeluaran perkapita perbulan tersebut seribu rupiah, maka rata-rata

lama sekolah menunjukkan pola meningkat tetapi tidak setinggi pada saat rata-rata

pengeluaran perkapita perbulan (X1) dibawah 958,1051. Kemudian pada variabel

persentase belanja pendidikan di APBD (X2), apabila variabel lain dianggap

konstan, maka pada saat persentase belanja pendidikan di APBD di bawah 36,16

persen, apabila terjadi kenaikan satu persen belanja pendidikan di APBD, maka

maka rata-rata lama sekolah menunjukkan pola meningkat. Kemudian pada saat

persentase belanja pendidikan di APBD diantara 36,16 hingga 39,794 persen,

apabila terjadi kenaikan satu persen belanja pendidikan di APBD, maka maka

rata-rata lama sekolah menunjukkan pola menurun. Sedangkan saat saat

persentase belanja pendidikan di APBD lebih dari 39,794 persen, apabila terjadi

kenaikan satu persen belanja pendidikan di APBD, maka maka rata-rata lama

sekolah menunjukkan pola meningkat lagi. Kemudian pada variabel Rasio Jumlah

Murid dengan jumlah Sekolah (X3), apabila variabel lain dianggap konstan, maka

pada saat Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah di bawah 279,6132, apabila

terjadi kenaikan satu Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah, maka maka

Rata-rata lama sekolah menunjukkan pola meningkat. Kemudian pada saat Rasio

Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah diantara 279,6132 hingga 391,5099,

apabila terjadi kenaikan satu Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah, maka

maka rata-rata lama sekolah menunjukkan pola menurun. Sedangkan saat saat

Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah lebih dari 391,5099, apabila terjadi

kenaikan satu Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah, maka maka rata-rata

lama sekolah menunjukkan pola meningkat lagi. Kemudian pada variabel Rasio

Jumlah Guru dengan Murid (X4), apabila variabel lain dianggap konstan, maka

pada saat Rasio Jumlah Jumlah Guru dengan Murid di bawah 9,9487, apabila

52

terjadi kenaikan satu Rasio Jumlah Murid dengan jumlah Sekolah, maka maka

Rata-rata lama sekolah menunjukkan pola menurun. Kemudian pada saat Rasio

Jumlah Guru dengan Murid diantara 9,9487 hingga 12,8301, apabila terjadi

kenaikan satu Rasio Jumlah Guru dengan Murid, maka maka rata-rata lama

sekolah menunjukkan pola sedikit meningkat. Sedangkan saat saat Rasio Guru

dengan Murid lebih dari 12,8301, apabila terjadi kenaikan satu Rasio Jumlah

Guru dengan Murid, maka maka rata-rata lama sekolah menunjukkan pola

menurun lagi.

53

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang didapatkan berdasarkan analisis dan pembahasan yang

telah dilakukan adalah sebagai berikut.

1. Diberikan model regresi campuran kernel dan spline truncated linier

multivariabel :

1( ,..., , )i i qi i iy x x t

,( , )i i it x

dimana,

1 2) ( ) ( ) ( )( , ) ( i i qi ii i f x f x g tt f x x

1

( )q

p pi ip

f x g t

Komponen kurva regresi spline truncated linier ( )p pif x didefinisikan

oleh:

0 1 1 1 1( )i i q i r i rf x x x x x

0 0

,m r

jjp pi j ip jp

j jx x

dengan :

,

,0i ri r

i ri r

xxx

x

Komponen kurva regresi kernel ( )ig t didefinisikan oleh :

1

1

ˆn

i ii

g t n W t y

dimana :

54

1

1

1;i ii in

jj

K t t t tW t K t t Kn K t t

K merupakan fungsi kernel yang dalam studi ini menggunakan fungsi

kernel gaussian. 2. Optimasi dengan metode Ordinary Least Square (OLS) menghasilkan

estimator regresi campuran kernel dan spline truncated linier

multivariabel sebagai berikut :

1

ˆ ( ) ˆq

p pip

x t

fy g

Z D y

Estimator parameter dapat diperoleh dengan menggunakan metode

Ordinary Least Square (OLS) yang menghasilkan persamaan :

ˆ ,C y

dimana :

1'

,T

C Z Z Ζ Ι D

3. Model terbaik berdasarkan ukuran kebaikan model yaitu Nilai R2 sebesar

0,909313. Model regresi campuran kernel dan spline truncated linier

multivariabel pada kasus data Rata-rata Lama Sekolah di Provinsi Jawa

Tengah tahun 2014 adalah sebagai berikut :

1 1

1 2 2

2 3 3

3 4

11.2983 0,014419 0,0125 549,67360,015746 958,1051 0,209579 0,50945 36,16000,389786 39,7940 0,022518 0,0357 61320,022471 0,97061 1,2

ˆ ( )( ) ( )( ) ( 279,

06)

( 391,5099) (009

y x xx x xx x xx x

4

35

4 351

1

9, )

0,05239

9487

19,0874890,56388 12,8301

19,0

03( ) .

0,052390389

K874

i

ii j

j

x

t tKx y

t t

55

5.2 Saran

Tindak lanjut dari penelitian ini, maka saran yang dapat diberikan

berdasarkan penelitian yang telah dilakukan adalah sebagai berikut.

1. Penentuan hubungan antara variabel respon dan variabel-variabel prediktor

pada penelitian ini hanya berdasar penelitan sebelumnya dan tampilan

scatter plot, sehingga untuk penelitian selanjutnya perlu dilakukan uji

statistik untuk melihat variabel-variabel prediktor yang memiliki pengaruh

signifikan terhadap variabel respon.

2. Metode yang digunakan dalam penelitian ini dengan asumsi setiap

variabel yang didekati dengan kurva spline mempunyai jumlah knot yang

sama sampai maksimal sebanyak tiga titik knot. Penelitian selanjutnya

dapat mengembangkan dengan lebih banyak titik knot dan kombinasi titik

knot yang berbeda untuk masing-masing variabel.

3. Penelitian ini hanya sampai pada penentuan nilai estimasi parameter.

Penelitian selanjutnya dapat menambahkan Pengujian signifikansi

parameter secara simultan maupun parsial.

4. Penelitian ini hanya untuk penentuan nilai estimasi titik. Penelitian

selanjutnya dapat menggunakan pendugaan Selang kepercayaan dalam

penentuan estimasi.

56

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

63

LAMPIRAN

Lampiran 1. Data Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel

y t X1 X2 X3 X4

12,27 3,7 581,18 44,93 450,43 12,03

12,56 3,7 574,37 50,03 492,71 14,92

11,51 4,0 520,64 47,30 495,81 15,39

10,7 3,8 473,33 47,88 488,00 14,39

12,07 3,7 512,26 51,50 444,96 11,05

13,03 3,4 699,46 47,57 461,15 12,02

11,34 3,7 682,02 40,96 451,38 12,09

12,00 3,7 466,68 52,23 299,27 10,33

11,65 3,6 640,22 46,69 357,93 10,35

12,74 3,5 706,31 56,13 442,62 10,92

12,96 3,6 720,93 46,99 519,98 10,69

11,94 3,6 566,22 52,62 427,38 11,83

13,26 3,8 681,30 52,44 475,96 9,54

12,19 3,5 672,53 48,85 453,08 11,43

12,24 3,5 592,93 45,04 341,74 13,56

11,75 3,5 537,28 46,32 329,40 12,30

11,46 3,6 616,83 42,95 361,34 11,15

11,24 3,4 569,54 44,38 348,46 10,48

12,58 4 738,65 38,75 450,71 12,83

12,25 3,8 540,47 41,35 285,85 11,44

11,84 3,8 591,29 40,77 231,54 9,11

12,81 3,7 739,15 36,16 357,42 14,25

11,69 3,8 553,24 41,84 354,52 11,85

11,83 3,7 687,77 44,66 424,01 11,26

10,65 3,9 513,14 39,54 370,86 13,47

11,93 4,3 570,7 45,59 374,44 11,01

11,26 4 457,25 47,92 499,07 11,68

11,99 3,9 535,86 42,88 442,85 11,62

11,03 3,8 571,51 46,90 391,51 10,28

12,98 3,8 787,02 36,74 517,54 9,73

13,92 3,5 876,06 42,99 456,85 7,91

14,95 3,6 1058,28 35,49 506,24 9,97

13,97 3,8 1058,23 42,99 390,98 9,36

11,93 4 565,14 33,22 488,68 9,88

11,96 3,8 897,75 30,21 494,03 9,93

64

Lampiran 1. Data Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel (Lanjutan)

Keterangan :

Y : Rata-Rata Lama Sekolah

t : Rata-rata banyaknya anggota rumah tangga.

X1 : Pengeluaran Per kapita per bulan.

X2 : Persentase Anggaran Pendidikan di APBD.

X3 : Rasio jumlah murid dengan jumlah sekolah SLTA.

X4 : Rasio jumlah murid dengan jumlah guru SLTA.

65

Lampiran 2. Program Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel 1 Titik Knot Menggunakan Software R

library(pracma)

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

int.k=5

int.s=4

GCVmin2 = function(r)

{

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

k=r[-5]

alpha=r[5]

X=0

x0=cbind(1,x)

X=x0

xx=0

for (i in 1:nx)

{

xx=cbind(pmax(0,x[,i]-k[i]))

X=cbind(X,xx)

}

X=as.matrix(X)

diag.xk=0

diag.xk=diag(xk)

tt=matnn %*% diag.xk

z=(t(tt)-tt)/alpha

K=1/sqrt(2*pi)*exp(-1/2*z^2)

Kt=(1/alpha)*K

sumKt=0

sumKt=diag(c((1/n)*Kt%*%matn))%*%matnn

D=0

D=1/n*Kt/sumKt

beta=0

C=pinv(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%(matiden-D)

66

beta=C%*%y

A=X%*%C

B=A+D

yhat=B%*%y

SST=sum((y-mean(y))^2)

SSR=sum((yhat-mean(y))^2)

SSE=sum((y-yhat)^2)

MSR=SSR/(nx+nk)

MSE=SSE/(n)

R2=SSR/SST

e=y-yhat

GCV=(MSE)/(n^-1*sum(diag(matiden-A-D)^2))

GCV

}

GCVmin = function(r)

{

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

k=r[-5]

alpha=r[5]

X=0

x0=cbind(1,x)

X=x0

xx=0

for (i in 1:nx)

{

xx=cbind(pmax(0,x[,i]-k[i]))

X=cbind(X,xx)

}

X=as.matrix(X)

diag.xk=0

diag.xk=diag(xk)

tt=matnn %*% diag.xk

z=(t(tt)-tt)/alpha

K=1/sqrt(2*pi)*exp(-1/2*z^2)

Kt=(1/alpha)*K

sumKt=0

sumKt=diag(c((1/n)*Kt%*%matn))%*%matnn

D=0

D=1/n*Kt/sumKt

beta=0

67

C=pinv(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%(matiden-D)

beta=C%*%y

A=X%*%C

B=A+D

yhat=B%*%y

SST=sum((y-mean(y))^2)

SSR=sum((yhat-mean(y))^2)

SSE=sum((y-yhat)^2)

MSR=SSR/(nx+nk)

MSE=SSE/(n)

R2=SSR/SST

e=y-yhat

GCV=(MSE)/(n^-1*sum(diag(matiden-A-D)^2))

list(gcv=GCV,Rsquare=R2,teta=beta,mse=MSE)

}

#matrix

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

komx1=seq(0.01,max(xk)-min(xk)+0.01,(max(xk)-min(xk))/int.k)

selisih2=(max(x[,1])-min(x[,1]))/(int.s+2)

komx2=seq(min(x[,1])+selisih2,max(x[,1])-selisih2,selisih2)

selisih3=(max(x[,2])-min(x[,2]))/(int.s+2)

komx3=seq(min(x[,2])+selisih3,max(x[,2])-selisih3,selisih3)

selisih4=(max(x[,3])-min(x[,3]))/(int.s+2)

komx4=seq(min(x[,3])+selisih4,max(x[,3])-selisih4,selisih4)

selisih5=(max(x[,4])-min(x[,4]))/(int.s+2)

komx5=seq(min(x[,4])+selisih5,max(x[,4])-selisih5,selisih5)

nkom=(int.k+1)*((int.s+1)^nx)

k=matrix(1,1,5)

s=1

r=matrix(1,nkom,5)

for (a in 1:(int.s+1))

{

k[1]=komx2[a]

for (c in 1:(int.s+1))

{

k[2]=komx3[c]

for (e in 1:(int.s+1))

{

k[3]=komx4[e]

for (g in 1:(int.s+1))

{

k[4]=komx5[g]

for (l in 1:(int.k+1))

{

k[5]=komx1[l]

r[s,]=k

s=s+1

}}}}}

68

GCV=matrix(1,nkom,1)

R2=matrix(1,nkom,1)

#mencari GCV minimum

for (v in 1:nkom)

{

aa=GCVmin(r[v,])

GCV[v]=aa$gcv

R2[v]=aa$Rsquare

}

knot.alpha.GCV=cbind(r,GCV)

colnames(knot.alpha.GCV)=c("k11","k21","k31","k41","alpha","GCV")

gcv.sort=knot.alpha.GCV[order(knot.alpha.GCV[,6]),]

hasil=gcv.sort[1:50,1:6]

optimalsort=matrix(1,50,7)

aa=matrix(1,1,7)

optim=0

gcvopt=0

r2opt=0

for (i in 1:50)

{

opt = nlminb(gcv.sort[i,1:5],GCVmin2)

knotalpha.opt=opt$par

optim=GCVmin(knotalpha.opt)

gcvopt=optim$gcv

mseopt=optim$mse

aa[1:5]=knotalpha.opt

aa[6]=gcvopt[1]

aa[7]=mseopt[1]

optimalsort[i,]=aa

}

colnames(optimalsort)=c("k11","k21","k31","k41","alpha","GCV","MSE

")

optimalsort=optimalsort[order(optimalsort[,6]),]

optimalsort

optimal=GCVmin(optimalsort[1,1:5])

optimalsort[1,1:5]

optimalsort[1,6]

optimalsort[1,7]

optimal$Rsquare

optimal$teta

69

Lampiran 3. Program Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel 2 Titik Knot Menggunakan Software R

library(pracma)

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

int.k=3

int.s=4

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

GCVmin2 = function(r)

{

library(pracma)

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

nn=10

u=r[-9]

k=matrix(u, nrow=2, ncol=4, byrow=FALSE)

alpha=r[9]

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

X=0

x0=cbind(1,x)

X=x0

xx=0

for (i in 1:nx)

{

xx=cbind(pmax(0,x[,i]-k[1,i]),pmax(0,x[,i]-k[2,i]))

X=cbind(X,xx)

}

X=as.matrix(X)

diag.xk=0

diag.xk=diag(xk)

tt=matnn %*% diag.xk

z=(t(tt)-tt)/alpha

K=1/sqrt(2*pi)*exp(-1/2*z^2)

Kt=(1/alpha)*K

sumKt=0

sumKt=diag(c((1/n)*Kt%*%matn))%*%matnn

D=0

D=1/n*Kt/sumKt

70

beta=0

C=pinv(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%(matiden-D)

beta=C%*%y

A=X%*%C

B=A+D

yhat=B%*%y

SST=sum((y-mean(y))^2)

SSR=sum((yhat-mean(y))^2)

SSE=sum((y-yhat)^2)

MSR=SSR/(nx+nk)

MSE=SSE/(n)

R2=SSR/SST

e=y-yhat

GCV=(MSE)/(n^-1*sum(diag(matiden-A-D)^2))

GCV

}

GCVmin = function(r)

{

library(pracma)

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

nn=10

u=r[-9]

k=matrix(u, nrow=2, ncol=4, byrow=FALSE)

alpha=r[9]

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

X=0

x0=cbind(1,x)

X=x0

xx=0

for (i in 1:nx)

{

xx=cbind(pmax(0,x[,i]-k[1,i]),pmax(0,x[,i]-k[2,i]))

X=cbind(X,xx)

}

X=as.matrix(X)

diag.xk=0

diag.xk=diag(xk)

tt=matnn %*% diag.xk

z=(t(tt)-tt)/alpha

K=1/sqrt(2*pi)*exp(-1/2*z^2)

Kt=(1/alpha)*K

sumKt=0

71

sumKt=diag(c((1/n)*Kt%*%matn))%*%matnn

D=0

D=1/n*Kt/sumKt

beta=0

C=pinv(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%(matiden-D)

beta=C%*%y

A=X%*%C

B=A+D

yhat=B%*%y

SST=sum((y-mean(y))^2)

SSR=sum((yhat-mean(y))^2)

SSE=sum((y-yhat)^2)

MSR=SSR/(nx+nk)

MSE=SSE/(n)

R2=SSR/SST

e=y-yhat

GCV=(MSE)/(n^-1*sum(diag(matiden-A-D)^2))

list(gcv=GCV,Rsquare=R2,teta=beta,mse=MSE)

}

komx1=seq(0.01,max(xk)-min(xk)+0.01,(max(xk)-min(xk))/int.k)

selisih2=(max(x[,1])-min(x[,1]))/(int.s+2)

komx2=seq(min(x[,1])+selisih2,max(x[,1])-selisih2,selisih2)

selisih3=(max(x[,2])-min(x[,2]))/(int.s+2)

komx3=seq(min(x[,2])+selisih3,max(x[,2])-selisih3,selisih3)

selisih4=(max(x[,3])-min(x[,3]))/(int.s+2)

komx4=seq(min(x[,3])+selisih4,max(x[,3])-selisih4,selisih4)

selisih5=(max(x[,4])-min(x[,4]))/(int.s+2)

komx5=seq(min(x[,4])+selisih5,max(x[,4])-selisih5,selisih5)

a=int.s

c=0

for (j in 1:(int.s-1))

{

b=0

a=a-j

for (i in 1:(int.s-j))

{

b=b+a

a=a-1

}

a=int.s

c=c+b

}

nkom=(int.k+1)*(c^nx)

k=matrix(1,1,9)

s=1

r=matrix(1,nkom,9)

for (a in 1:(int.s))

{

k[1]=komx2[a]

for (b in (a+1):(int.s+1))

72

{

k[2]=komx2[b]

for (c in 1:int.s)

{

k[3]=komx3[c]

for (d in (c+1):(int.s+1))

{

k[4]=komx3[d]

for (e in 1:int.s)

{

k[5]=komx4[e]

for (f in (e+1):(int.s+1))

{

k[6]=komx4[f]

for (g in 1:int.s)

{

k[7]=komx5[g]

for (h in (g+1):(int.s+1))

{

k[8]=komx5[h]

for (l in 1:(int.k+1))

{

k[9]=komx1[l]

r[s,]=k

s=s+1

}}}}}}}}}

GCV=matrix(1,nkom,1)

R2=matrix(1,nkom,1)

#mencari GCV minimum

for (v in 1:nkom)

{

aa=GCVmin(r[v,])

GCV[v]=aa$gcv

}

knot.alpha.GCV=cbind(r,GCV)

colnames(knot.alpha.GCV)=c("k11","k12","k21","k22","k31","k32","k4

1","k42","alpha","GCV") #memberi nama variabel

gcv.sort=knot.alpha.GCV[order(knot.alpha.GCV[,10]),]

#mengurutkan nilai GCV minimum

hasil=gcv.sort[1:50,1:10]

optimalsort=matrix(1,50,11)

aa=matrix(1,1,11)

optim=0

gcvopt=0

for (i in 1:50)

{

opt = nlminb(gcv.sort[i,1:9],GCVmin2)

knotalpha.opt=opt$par

optim=GCVmin(knotalpha.opt)

gcvopt=optim$gcv

mseopt=optim$mse

aa[1:9]=knotalpha.opt

aa[10]=gcvopt[1]

aa[11]=mseopt[1]

73

optimalsort[i,]=aa

}

colnames(optimalsort)=c("k11","k12","k21","k22","k31","k32","k41",

"k42","alpha","GCV","MSE")

optimalsort=optimalsort[order(optimalsort[,10]),]

optimalsort

optimal=GCVmin(optimalsort[1,1:9])

optimalsort[1,1:9]

optimalsort[1,10]

optimalsort[1,11]

optimal$Rsquare

optimal$teta

74

Lampiran 4. Program Regresi Campuran Kernel dan Spline Truncated Linier

Multivariabel 3 Titik Knot Menggunakan Software R

library(pracma)

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

int.k=3

int=int.k-1

int.s=4

GCVmin2 = function(r)

{

library(pracma)

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

u=r[-13]

k=matrix(u, nrow=3, ncol=4, byrow=FALSE)

alpha=r[13]

X=0

x0=cbind(1,x)

X=x0

xx=0

for (i in 1:nx)

{

xx=cbind(pmax(0,x[,i]-k[1,i]),pmax(0,x[,i]-

k[2,i]),pmax(0,x[,i]-k[3,i]))

X=cbind(X,xx)

}

X=as.matrix(X) #matrix Z(lambda)

diag.xk=0

diag.xk=diag(xk)

tt=matnn %*% diag.xk

z=(t(tt)-tt)/alpha

K=1/sqrt(2*pi)*exp(-1/2*z^2)

Kt=(1/alpha)*K

sumKt=0

sumKt=diag(c((1/n)*Kt%*%matn))%*%matnn

D=0

D=1/n*Kt/sumKt #kernel

75

beta=0

C=pinv(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%(matiden-D)

beta=C%*%y

A=X%*%C

B=A+D

yhat=B%*%y

SST=sum((y-mean(y))^2)

SSR=sum((yhat-mean(y))^2)

SSE=sum((y-yhat)^2)

MSR=SSR/(nx+nk)

MSE=SSE/(n)

R2=SSR/SST

e=y-yhat

GCV[v]=(MSE)/(n^-1*sum(diag(matiden-A-D)^2))

GCV

}

GCVmin = function(r)

{

library(pracma)

data=read.csv("dataali.csv")

y=data[,2]

xk=data[,3]

x=data[,c(4,5,6,7)]

n=nrow(x)

nx=ncol(x)

nk=1

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

u=r[-13]

k=matrix(u, nrow=3, ncol=4, byrow=FALSE)

alpha=r[13]

X=0

x0=cbind(1,x)

X=x0

xx=0

for (i in 1:nx)

{

xx=cbind(pmax(0,x[,i]-k[1,i]),pmax(0,x[,i]-

k[2,i]),pmax(0,x[,i]-k[3,i]))

X=cbind(X,xx)

}

X=as.matrix(X)

diag.xk=0

diag.xk=diag(xk)

tt=matnn %*% diag.xk

z=(t(tt)-tt)/alpha

K=1/sqrt(2*pi)*exp(-1/2*z^2)

Kt=(1/alpha)*K

sumKt=0

76

sumKt=diag(c((1/n)*Kt%*%matn))%*%matnn

D=0

D=1/n*Kt/sumKt #kernel

beta=0

C=pinv(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%(matiden-D)

beta=C%*%y

A=X%*%C

B=A+D

yhat=B%*%y

SST=sum((y-mean(y))^2)

SSR=sum((yhat-mean(y))^2)

SSE=sum((y-yhat)^2)

MSR=SSR/(nx+nk)

MSE=SSE/(n)

R2=SSR/SST

e=y-yhat

GCV[v]=(MSE)/(n^-1*sum(diag(matiden-A-D)^2))

list(gcv=GCV,Rsquare=R2,teta=beta,mse=MSE)

}

matnn=matrix(1, nrow=n, ncol=n)

matn=matrix(1, nrow=n)

matiden=diag(1,n,n)

komx1=seq(0.01,max(xk)-min(xk)+0.01,(max(xk)-min(xk))/int.k)

selisih2=(max(x[,1])-min(x[,1]))/(int.s+2)

komx2=seq(min(x[,1])+selisih2,max(x[,1])-selisih2,selisih2)

selisih3=(max(x[,2])-min(x[,2]))/(int.s+2)

komx3=seq(min(x[,2])+selisih3,max(x[,2])-selisih3,selisih3)

selisih4=(max(x[,3])-min(x[,3]))/(int.s+2)

komx4=seq(min(x[,3])+selisih4,max(x[,3])-selisih4,selisih4)

selisih5=(max(x[,4])-min(x[,4]))/(int.s+2)

komx5=seq(min(x[,4])+selisih5,max(x[,4])-selisih5,selisih5)

a=int.s

c=0

for (j in 1:(int.s-1))

{

b=0

a=a-j

for (i in 1:(int.s-j))

{

b=b+a

a=a-1

}

a=int.s

c=c+b

}

nkom=(int.k+1)*(c^nx)

k=matrix(1,1,13)

s=1

r=matrix(1,nkom,13)

for (a in 1:int)

{

77

k[1]=komx2[a]

for (b in (a+1):(int+1))

{

k[2]=komx2[b]

for (c in (b+1):(int+2))

{

k[3]=komx2[c]

for (d in 1:int)

{

k[4]=komx3[d]

for (e in (d+1):(int+1))

{

k[5]=komx3[e]

for (f in (e+1):(int+2))

{

k[6]=komx3[f]

for (g in 1:int)

{

k[7]=komx4[g]

for (h in (g+1):(int+1))

{

k[8]=komx4[h]

for (p in (h+1):(int+2))

{

k[9]=komx4[p]

for (l in 1:int)

{

k[10]=komx5[l]

for (m in (l+1):(int+1))

{

k[11]=komx5[m]

for (o in (m+1):(int+2))

{

k[12]=komx5[o]

for (p in 1:(int.k+1))

{

k[13]=komx1[p]

r[s,]=k

s=s+1

}}}}}}}}}}}}}

GCV=matrix(1,nkom,1)

R2=matrix(1,nkom,1)

for (v in 1:nkom)

{

aa=GCVmin(r[v,])

GCV[v]=aa$gcv

}

knot.alpha.GCV=cbind(r,GCV)

colnames(knot.alpha.GCV)=c("k11","k12","k13","k21","k22","k23","k3

1","k32","k33","k41","k42","k43","alpha","GCV") #memberi nama

variabel

gcv.sort=knot.alpha.GCV[order(knot.alpha.GCV[,14]),]

hasil=gcv.sort[1:50,1:14]

78

optimalsort=matrix(1,50,15)

aa=matrix(1,1,15)

optim=0

gcvopt=0

for (i in 1:50)

{

opt = nlminb(gcv.sort[i,1:13],GCVmin2)

knotalpha.opt=opt$par

optim=GCVmin(knotalpha.opt)

gcvopt=optim$gcv

mseopt=optim$mse

aa[1:13]=knotalpha.opt

aa[14]=gcvopt[1]

aa[15]=mseopt[1]

optimalsort[i,]=aa

}

colnames(optimalsort)=c("k11","k12","k13","k21","k22","k23","k31",

"k32","k33","k41","k42","k43","alpha","GCV","MSE")

optimalsort=optimalsort[order(optimalsort[,14]),]

optimalsort

optimal=GCVmin(optimalsort[1,1:13])

optimalsort[1,1:13]

optimalsort[1,14]

optimalsort[1,15]

optimal$Rsquare

optimal$teta

#optimal=GCVmin(optimalsort[24,1:13])

#optimalsort[24,1:13]

#optimalsort[24,14]

#optimalsort[24,15]

#optimal$Rsquare

#optimal$teta

79

Lampiran 5. Output Hasil Program Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel 1 Titik Knot Menggunakan

Software R

> optimalsort

k11 k21 k31 k41 alpha GCV MSE

[1,] 535.8943 33.22000 391.5113 8.084172 50.086936 0.2477013 0.1558662

[2,] 535.7364 33.22000 391.5100 8.084167 12.437285 0.2477135 0.1558741

[3,] 535.8607 33.22000 391.5100 8.084421 7.013215 0.2477298 0.1558772

[4,] 555.7780 30.37755 391.5100 7.923009 6.906455 0.2526183 0.1585941

[5,] 958.1474 33.22000 391.5100 8.146813 8.258792 0.2536875 0.1604852

[6,] 682.0207 33.09796 391.5087 8.066426 20.018422 0.2541299 0.1594032

[7,] 857.3226 33.21954 391.4687 8.124781 8.805228 0.2541809 0.1605043

[8,] 682.0200 30.56663 391.5100 7.932973 212.125336 0.2543013 0.1594186

[9,] 535.7915 31.22744 391.5101 18.282163 35.439419 0.2552031 0.1610411

[10,] 535.6091 32.20571 391.5100 15.395069 7.868713 0.2552313 0.1610564

[11,] 535.1684 32.16967 391.5100 15.407839 7.316283 0.2552514 0.1610745

[12,] 758.0194 33.17864 391.5100 8.082365 31.046347 0.2553653 0.1606456

[13,] 757.3535 33.22000 391.5100 8.084176 11.759194 0.2553792 0.1606506

[14,] 541.0707 30.46932 391.6116 5.355951 6.886232 0.2561423 0.1615952

[15,] 535.8600 33.21788 391.5100 9.035653 8.051695 0.2576480 0.1558433

[16,] 535.8560 31.44329 391.5100 8.561819 6.907826 0.2576580 0.1558476

[17,] 549.5526 30.44997 391.5100 5.825414 4.916952 0.2583242 0.1629121

[18,] 549.7114 30.44345 391.5168 6.003857 6.004102 0.2583429 0.1629269

[19,] 512.2592 32.91305 391.5100 8.771358 23.824724 0.2590383 0.1569214

[20,] 672.5775 33.15861 391.4540 15.982303 35.486546 0.2597030 0.1633794

[21,] 658.8065 30.45328 391.5100 5.688094 4.929969 0.2600847 0.1636084

[22,] 757.8576 30.46542 391.5100 5.956688 4.969566 0.2618197 0.1652501

[23,] 757.8785 31.26090 391.5100 15.475421 4.339437 0.2618312 0.1652533

[24,] 757.8483 30.57420 391.5100 5.976759 4.341043 0.2618313 0.1652532

[25,] 958.1275 30.48864 391.5100 6.325241 7.844184 0.2620956 0.1659529

[26,] 958.0966 30.55334 391.5100 4.820189 5.234111 0.2621168 0.1659597

[27,] 958.1269 30.48740 391.5100 5.213158 4.583151 0.2621285 0.1659635

[28,] 958.1072 31.41227 391.5100 6.245452 4.375458 0.2621333 0.1659651

[29,] 857.9576 30.50519 391.5100 6.742270 7.389239 0.2621464 0.1658998

[30,] 857.9819 30.90976 391.5100 5.920550 6.468064 0.2621521 0.1659017

[31,] 857.9481 31.25915 391.5100 15.479923 4.414744 0.2621797 0.1659102

[32,] 857.9801 30.79965 391.5100 5.704722 4.335051 0.2621817 0.1659109

[33,] 657.6126 30.37877 376.1881 7.921114 6.810096 0.2642453 0.1657797

[34,] 658.2808 32.87719 391.5100 9.001321 14.074662 0.2643958 0.1596154

[35,] 658.1714 32.71849 391.5100 9.035694 6.976654 0.2644154 0.1596224

[36,] 658.0658 31.31694 391.5100 9.008470 4.300701 0.2644542 0.1596353

[37,] 958.0895 32.87811 391.5100 8.977131 18.139633 0.2649585 0.1604750

[38,] 857.7771 31.34435 391.5004 9.109462 29.927306 0.2649592 0.1604762

[39,] 958.0735 32.15814 391.5100 9.106547 9.277416 0.2649688 0.1604785

[40,] 857.4030 31.34688 391.4549 9.049894 17.313920 0.2649694 0.1604827

[41,] 958.0795 31.65404 391.5100 8.857268 5.014021 0.2650028 0.1604900

[42,] 857.9584 33.07496 391.5100 9.102971 4.609518 0.2650131 0.1604937

[43,] 758.0068 33.21907 391.5100 9.039636 5.587791 0.2653779 0.1606108

[44,] 757.9503 32.22964 391.5100 9.007438 4.512226 0.2653994 0.1606181

[45,] 757.9676 31.29273 391.5100 8.984189 4.460273 0.2654006 0.1606185

[46,] 658.5395 32.56949 391.5100 14.920009 13.541814 0.2654611 0.1598833

[47,] 757.7603 32.99288 391.5100 14.944405 5.076935 0.2676394 0.1617411

[48,] 958.0988 31.57331 377.1489 15.357494 2.194997 0.2695091 0.1706636

[49,] 857.9360 31.53097 375.9306 15.357447 1.589009 0.2713144 0.1716767

[50,] 958.1083 31.53603 375.9473 15.357486 2.147826 0.2797065 0.1696129

> optimal=GCVmin(optimalsort[1,1:5])

> optimalsort[1,1:5]

k11 k21 k31 k41 alpha

535.894335 33.219999 391.511280 8.084172 50.086936

> optimalsort[1,6]

GCV

0.2477013

> optimalsort[1,7]

MSE

0.1558662

> optimal$Rsquare

[1] 0.809154

> optimal$teta

[,1]

80

[1,] -0.572211867

[2,] 0.010035931

[3,] 0.509235773

[4,] -0.007111473

[5,] -2.520642087

[6,] -0.004429976

[7,] -0.472904208

[8,] 0.013912435

[9,] 2.528265404

81

Lampiran 6. Output Hasil Program Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel 2 Titik Knot Menggunakan

Software R > optimalsort

k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42

[1,] 549.6736 958.1051 36.16000 39.79404 279.6132 391.5099 9.948690 12.83006

[2,] 549.8865 958.1533 36.16000 39.83532 279.6253 391.5206 9.947921 12.83000

[3,] 550.1292 958.1087 36.16000 39.80192 279.6147 391.5175 9.950786 12.83002

[4,] 549.2031 858.3215 36.16000 39.80437 279.5922 391.5101 9.970000 12.83002

[5,] 549.6119 858.5652 36.16000 39.81943 279.6111 391.5058 9.969836 12.83001

[6,] 550.0339 858.5252 36.16000 39.85623 279.6149 391.5058 9.969998 12.83030

[7,] 550.2694 858.4142 36.16000 39.81358 279.6113 391.5019 9.970000 12.83063

[8,] 550.0595 656.2516 34.12180 40.51613 279.6169 391.6025 10.196157 11.62000

[9,] 554.5689 658.6488 34.14567 40.64042 279.6160 391.5374 10.256060 11.62000

[10,] 555.9803 658.3198 34.44360 40.42131 279.6068 389.2869 10.480000 11.04043

[11,] 529.7117 876.9929 35.08384 39.56260 278.0914 395.2119 9.977198 12.82816

[12,] 542.9975 657.8427 34.35430 39.54000 279.6244 391.5098 10.062887 12.86369

[13,] 541.7122 656.4611 34.34187 39.54000 279.6725 391.5505 10.053209 12.89351

[14,] 535.4734 777.6652 34.35367 40.61059 279.8555 395.1236 10.137679 11.64306

[15,] 545.5732 658.2050 34.36745 39.54000 279.6857 393.0187 10.063844 12.85372

[16,] 549.2277 649.1536 34.37695 39.54170 281.0177 391.5544 10.067039 12.87737

[17,] 549.1950 658.0581 34.37714 39.54000 279.6138 391.8665 10.065178 12.88478

[18,] 535.8530 800.3649 34.78464 39.69527 278.5372 396.2038 9.996131 12.83000

[19,] 552.1171 760.3266 34.32657 40.94944 279.6079 393.4726 10.149988 11.62000

[20,] 535.8071 766.3171 34.63971 39.64736 279.5487 389.7076 10.035929 12.82999

[21,] 557.3730 958.1083 35.36983 40.95860 279.6134 375.9215 10.056448 11.62000

[22,] 557.3740 958.1083 35.37282 40.95967 279.6133 375.9180 10.074858 11.62000

[23,] 557.4040 657.6180 34.38883 40.91440 279.6133 376.0900 10.280000 11.01954

[24,] 557.3783 857.9395 35.20843 40.86692 279.6133 375.9022 10.097974 11.62000

[25,] 547.9104 760.1717 34.67270 39.80472 279.6100 391.5601 10.026421 12.83000

[26,] 557.2361 958.1083 36.16000 39.86252 279.6134 376.1593 9.893210 12.99834

[27,] 548.0905 760.0825 34.66487 39.75272 279.6114 391.6266 10.035713 12.83000

[28,] 557.3805 857.9394 35.24275 40.95609 279.6133 375.9036 10.090714 11.62000

[29,] 541.3308 640.1599 32.08511 40.30021 279.8250 391.5124 8.060986 14.03852

[30,] 557.3680 657.5768 34.40652 40.42091 423.7400 471.8969 8.273137 11.62020

[31,] 542.1509 640.2219 33.92259 39.55393 279.6560 391.6848 9.036878 13.29196

[32,] 539.7998 650.0017 33.87635 39.63440 279.6321 391.5100 9.202630 13.81461

[33,] 557.3709 657.5798 34.42454 40.27309 423.7506 471.8978 8.276027 11.40170

[34,] 543.8357 958.1113 36.16000 39.94604 279.6221 389.2219 9.147517 13.21890

[35,] 535.9462 958.0867 35.52979 39.54000 279.5368 332.9757 10.119994 12.98928

[36,] 544.3333 958.1110 36.16000 39.89826 279.6016 389.0992 9.176799 13.19611

[37,] 535.8606 662.9021 34.90507 39.54000 279.6020 350.6178 10.132079 13.08154

[38,] 543.9098 858.0552 35.61749 39.54000 279.6150 334.7923 10.121179 13.03760

[39,] 545.1995 958.0547 35.63568 39.54000 279.6095 335.9023 10.085067 13.05340

[40,] 543.0260 640.2200 33.99603 40.36254 279.6136 387.6208 9.123303 -18.41784

[41,] 548.5451 657.2556 33.72520 40.79393 279.6147 391.5131 9.136862 12.02000

[42,] 552.3246 659.2889 35.07011 39.53993 279.6111 327.5355 10.280000 12.85716

[43,] 547.5863 657.7905 35.10134 39.43668 279.7662 325.3141 10.280000 12.89537

[44,] 544.8005 762.9296 35.33728 39.54000 279.6156 335.1547 10.226560 13.07567

[45,] 535.8589 858.0792 34.31901 40.01379 279.6118 391.5100 9.183066 13.11122

[46,] 546.7574 759.0881 35.33770 39.54000 279.6439 335.5287 10.274730 12.97342

[47,] 535.8598 858.0608 34.30844 40.09918 279.6149 391.5100 9.137273 13.90788

[48,] 557.3595 657.5804 34.60821 39.75906 423.7472 471.8966 8.258826 12.70990

[49,] 557.3476 657.5773 34.61268 39.83592 423.7276 471.8917 8.258818 12.71216

[50,] 557.3446 857.9368 35.58405 39.54000 279.6134 327.7273 10.207755 12.83000

alpha GCV MSE

[1,] 19.087489 0.1615691 0.07406855

[2,] 13.931829 0.1616504 0.07409359

[3,] 19.513730 0.1616970 0.07411741

[4,] 25.070550 0.1626529 0.07433129

[5,] 15.393779 0.1627370 0.07436364

[6,] 8.689574 0.1628829 0.07441495

[7,] 11.705683 0.1629146 0.07444140

[8,] 27.865185 0.1638126 0.07403796

[9,] 19.150274 0.1641383 0.07402201

[10,] 13.324980 0.1643609 0.07387006

[11,] 160.971539 0.1653923 0.07598936

[12,] 44.366151 0.1670376 0.07579161

[13,] 28.767968 0.1670895 0.07584630

82

[14,] 15.885732 0.1673596 0.07642625

[15,] 27.581677 0.1675841 0.07598569

[16,] 29.674155 0.1677344 0.07598208

[17,] 38.441499 0.1679067 0.07611188

[18,] 28.668988 0.1684645 0.07723483

[19,] 20.742396 0.1704901 0.07761078

[20,] 31.998952 0.1710102 0.07837239

[21,] 2.664828 0.1729806 0.07906494

[22,] 1.823313 0.1734911 0.07924288

[23,] 1.790316 0.1736255 0.07826031

[24,] 2.573632 0.1738098 0.07927406

[25,] 20.320448 0.1739821 0.07961737

[26,] 2.690908 0.1739881 0.07994994

[27,] 36.035584 0.1740501 0.07964822

[28,] 1.811982 0.1742896 0.07944900

[29,] 32.033328 0.1785419 0.08658762

[30,] 1.515972 0.1840536 0.08594233

[31,] 36.818034 0.1842310 0.08470344

[32,] 10.176374 0.1842503 0.08506782

[33,] 1.911180 0.1869823 0.08746265

[34,] 21.153612 0.1880050 0.08735915

[35,] 37.709154 0.1880590 0.08712241

[36,] 24.052573 0.1880673 0.08739683

[37,] 62.708103 0.1888386 0.08603355

[38,] 27.513652 0.1890204 0.08736345

[39,] 34.159326 0.1891592 0.08765649

[40,] 20.258686 0.1892284 0.09426656

[41,] 14.783870 0.1900981 0.08707749

[42,] 11.344262 0.1915617 0.08716125

[43,] 22.442039 0.1916731 0.08732208

[44,] 58.223369 0.1924414 0.08856119

[45,] 27.844291 0.1927884 0.08968885

[46,] 26.896339 0.1929014 0.08861007

[47,] 37.123138 0.1929311 0.09011835

[48,] 1.936414 0.1932682 0.09034093

[49,] 1.514284 0.1937990 0.09053972

[50,] 1.349057 0.1961448 0.09031165

> optimal=GCVmin(optimalsort[1,1:9])

> optimalsort[1,1:9]

k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42

549.67361 958.10510 36.16000 39.79404 279.61319 391.50989 9.94869 12.83006

alpha

19.08749

> optimalsort[1,10]

GCV

0.1615691

> optimalsort[1,11]

MSE

0.07406855

> optimal$Rsquare

[1] 0.9093134

> optimal$teta

[,1]

[1,] -11.29827455

[2,] 0.01441857

[3,] 0.20957879

[4,] 0.02251787

[5,] -0.97060934

[6,] -0.01250332

[7,] 0.01574579

[8,] -0.50944848

[9,] 0.38978604

[10,] -0.03569924

[11,] 0.02247054

[12,] 1.20600882

[13,] -0.56388035

83

Lampiran 7. Output Hasil Program Regresi Campuran Kernel dan Spline

Truncated Linier Multivariabel 3 Titik Knot Menggunakan

Software R > optimalsort

k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31 k32 k33

[1,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[2,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[3,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[4,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[5,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[6,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[7,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[8,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[9,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[10,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[11,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[12,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[13,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[14,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[15,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[16,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 375.7600

[17,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[18,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[19,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[20,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[21,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[22,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[23,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[24,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[25,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[26,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[27,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[28,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[29,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[30,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[31,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[32,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 327.6867 423.8333

[33,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[34,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[35,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[36,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[37,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[38,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[39,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[40,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[41,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[42,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[43,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[44,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[45,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[46,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[47,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[48,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 279.6133 375.7600 423.8333

[49,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 327.6867 375.7600 423.8333

[50,] 557.4217 657.5933 757.765 34.53 38.85 43.17 327.6867 375.7600 423.8333

k41 k42 k43 alpha GCV MSE

[1,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.01 0.8294373 0.15990037

[2,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.31 0.8294373 0.09008858

[3,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.61 0.8294373 0.08284138

[4,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.91 0.8294373 0.08142125

[5,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.01 0.8294373 0.15500769

[6,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.31 0.8294373 0.08515860

[7,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.61 0.8294373 0.07758328

[8,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.91 0.8294373 0.07608145

[9,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.01 0.8294373 0.17504383

[10,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.31 0.8294373 0.09601976

[11,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.61 0.8294373 0.08685108

[12,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.91 0.8294373 0.08500785

[13,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.01 0.8294373 0.16633356

84

[14,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.31 0.8294373 0.08738196

[15,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.61 0.8294373 0.07862461

[16,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.91 0.8294373 0.07691274

[17,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.01 0.8294373 0.16000471

[18,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.31 0.8294373 0.08682738

[19,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.61 0.8294373 0.08066613

[20,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.91 0.8294373 0.07959493

[21,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.01 0.8294373 0.15632655

[22,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.31 0.8294373 0.08090982

[23,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.61 0.8294373 0.07334687

[24,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.91 0.8294373 0.07192595

[25,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.01 0.8294373 0.17495801

[26,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.31 0.8294373 0.09410503

[27,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.61 0.8294373 0.08502501

[28,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.91 0.8294373 0.08327302

[29,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.01 0.8294373 0.16791764

[30,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.31 0.8294373 0.08244739

[31,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.61 0.8294373 0.07395416

[32,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.91 0.8294373 0.07238105

[33,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.01 0.8294373 0.17181822

[34,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.31 0.8294373 0.09228771

[35,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.61 0.8294373 0.08338463

[36,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.91 0.8294373 0.08166671

[37,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.01 0.8294373 0.17449306

[38,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.31 0.8294373 0.09406192

[39,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.61 0.8294373 0.08364949

[40,] 9.156667 10.40333 12.89667 0.91 0.8294373 0.08155254

[41,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.01 0.8294373 0.19141014

[42,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.31 0.8294373 0.10566719

[43,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.61 0.8294373 0.09389925

[44,] 9.156667 11.65000 12.89667 0.91 0.8294373 0.09150594

[45,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.01 0.8294373 0.18377354

[46,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.31 0.8294373 0.09328691

[47,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.61 0.8294373 0.08267333

[48,] 10.403333 11.65000 12.89667 0.91 0.8294373 0.08057470

[49,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.01 0.8294373 0.18932155

[50,] 9.156667 10.40333 11.65000 0.31 0.8294373 0.10652264

> optimal=GCVmin(optimalsort[1,1:13])

> optimalsort[1,1:13]

k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31

557.421667 657.593333 757.765000 34.530000 38.850000 43.170000 279.613333

k32 k33 k41 k42 k43 alpha

327.686667 375.760000 9.156667 10.403333 11.650000 0.010000

> optimalsort[1,14]

GCV

0.8294373

> optimalsort[1,15]

MSE

0.1599004

> optimal$Rsquare

[1] 0.938735

> optimal$teta

[,1]

[1,] -31.725978959

[2,] 0.008140908

[3,] 0.499412060

[4,] 0.031795165

[5,] 0.353629404

[6,] -0.011902813

[7,] 0.016713860

[8,] -0.010366091

[9,] -0.726019496

[10,] 0.288915938

[11,] -0.028246703

[12,] -0.060113493

[13,] 0.033932236

[14,] -0.003224124

[15,] -1.261164349

[16,] 1.345014627

[17,] -0.490184573

> #optimal=GCVmin(optimalsort[24,1:13])

> #optimalsort[24,1:13]

85

> #optimalsort[24,14]

> #optimalsort[24,15]

> #optimal$Rsquare

> #optimal$teta

>

> optimal=GCVmin(optimalsort[24,1:13])

> optimalsort[24,1:13]

k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31

557.421667 657.593333 757.765000 34.530000 38.850000 43.170000 279.613333

k32 k33 k41 k42 k43 alpha

327.686667 423.833333 9.156667 10.403333 12.896667 0.910000

> optimalsort[24,14]

GCV

0.8294373

> optimalsort[24,15]

MSE

0.07192595

> optimal$Rsquare

[1] 0.9133348

> optimal$teta

[,1]

[1,] -28.754153897

[2,] 0.012896332

[3,] 0.569669129

[4,] 0.022853431

[5,] -0.262947904

[6,] -0.013445618

[7,] 0.011505785

[8,] -0.006533385

[9,] -0.971907676

[10,] 0.616591578

[11,] -0.141452997

[12,] -0.054295541

[13,] 0.029905589

[14,] 0.009104511

[15,] -0.249475486

[16,] 0.911724932

[17,] -0.822492074

86

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

57

DAFTAR PUSTAKA

Aljuhani, K. H. & Al turk, L. I. (2014). Modification of the Adaptive Nadaraya-

Watson Kernel Regression Estimator. AcademicJournal. Vol. 9(22), pp.

966-971.

Amato, U., Antoniadis, A. & de Feis, I. (2002). Fourier Series Approximation of

Separable Models, Journal of Computational and Applied Mathematics,

146, 459-479.

Amato, U. & De-Canditiis, D. (2001). Convergenee in Probability of Mallows and

GCV Wavelet and Fourier Regularization Methods, Statistics &

Probability Letters, 54, 325-329.

Antoniadis, A., Bigot, J. & Sapatinas, Y. (2001). Wavelet Estimators in

Nonparametric Regression: A Comparative Simulation Study, Journal of

Statistical Software, 6, 1-83.

Badan Pusat Statistik (2011), Ensiklopedia Indikator Ekonomi dan Sosial,

Publikasi Badan Pusat Statistik, Jakarta.

Badan Pusat Statistik Provinsi Jawa Tengah (2015), Jawa Tengah Dalam Angka

2015, Badan Pusat Statistik Provinsi Jawa Tengah, Semarang.

__________________________________, (2015), Indikator Kesejahteraan

Rakyat Jawa Tengah 2014, Publikasi Badan Pusat Statistik Provinsi Jawa

Tengah, Semarang.

Becher, H., Kauermann, G., Khomski, P., & Kouyate, B. (2009), Using Penalized

Splines to Model Age and Season of Birth Dependent Effects of Childhood

Mortality Risk Fabtors in Rural Burkina Faso, Biometrical Journal, 51,

110-122.

Budiantara, I.N. (2006), Regresi Nonparametrik Dalam Statistika, Makalah

Pembicara Utama pada Seminar Nasional Matematika, Jurusan

Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Makasar (UNM), Makasar.

Budiantara, I.N. (2009), Spline Dalam Regresi Nonparametrik dan

Semiparametrik: Sebuah Pemodelan Statistika Masa Kini dan Masa

Mendatang, ITS Press, Surabaya.

58

Budiantara, I.N. (2011), Penelitian Bidang Regresi Spline Menuju Terwujudnya

Penelitian Statistika yang Mandiri dan Berkarakter. Prosiding Seminar

Nasional FMIPA Undiksha, 9-28.

Budiantara, I.N., Lestari, B., dan Islamiyati (2010). Estimator Spline Terbobot

dalam Regresi Nonparametrik dan Semiparametrik Heterokesdastik untuk

Data Longitudinal. Laporan Penelitian Hibah Kompetensi, DP2M-DIKTI,

Jakarta.

Budiantara, I.N. dan Mulianah (2007). Pemilihan Banwidth Optimal Dalam

Regresi Semiparametrik Kernel dan Aplikasinya, Journal Sains dan

Teknologi SIGMA, 10 : 159-166.

Budiantara, I.N., Ratnasari, V., Ratna, M. and Zain, I. (2015), The Combination of

Spline and Kernel estimator for Nonparametrik Regression and Its

Properties, Applied Mathematical Science, 9, No 122, 6083-6094.

Budiantara, I. N., Ratna, M., Zain, I., Wibowo, W. (2012). Modeling the

Percentage of Poor People in Indonesia Using Spline Nonparametric

Regression Approach. International Journal of Basic & Applied Sciences

IJBAS-IJENS vol:12 No:06, 119-124.

Connelly, R. & Zheng, Z. (2003), “Determinants of School Enrollment and

Completion of 10 to 18 Year Olds in China”, Economics of Education

Review, No. 22, 379–388.

Craven, P. & Wahba, G. (1979), Smoothing Noisy Data with Spline Functions,

Numerische Mathematics, 31, 377-403.

Darmawi, H. & Otok, B.W. (2014). Bootstrap Pada Regresi Linier dan Spline

Truncated. Statistika: Forum Teori dan aplikasi Statistika.

Du, P., Parmeter, C. F. and Racine, J.S. (2012). Nonparametric Kernel Regression

with Multiple Predictors and Multiple Shape Constraints. Department Of

Economics Working Paper Series. McMaster University. Canada.

Eubank, R.L., (1999), Nonparametrik Regression and Spline Smoothing,

MarcelDeker : New York.

Faber, D., Douglas, C.Y., Susan K.S. & Stuart, C.W. (2004). Fourier and Wavelet

Analyses of Dental Radiographs Detect Trabucelar Changes in

Osteoporosis, Bone, 35, 403-411.

59

Galtchouk, L. & Pergamenshchikov, S. (2009). Adaptive Asymptotically Efficient

Estimation in Heteroscedastic Nonparametric Regression, Journal of the

Korean Statistical Society, 38, 305-322.

Guidoum, A. C. (2015). Kernel Estimator and Bandwidth selection for Density

and its Derivatives. Working Paper. Faculty of Mathematics. University of

Science and Technology Houari Boumadiene., Algeria.

Hadijati, M. (2004). Estimasi Kernel dalam Regresi Nonparametrik dengan Error

Berkorelasi, Tesis, ITS, Surabaya.

Hardle, W. (1990), Applied Non-parametrik Regression, Cambridge University

Press, Cambridge.

He, H. & Huang, L-S. (2009). Double Smoothing for Bias Reduction in Local

Linier Regression, Journal of Statistical Planning and Inference, 139,

1056-1072.

Hong, S.Y. (1999). Automatic Bandwith Choice in a Semiparametrik Regression

Model, Statistica Sinica, 9 : 775-794.

Huang, J. Z., & Liu, L. (2006), Polynomial Spline Estimation and Inference of

Proportional Hazards Regression Models with Flexible Relative Risk

Form, Biometrics, 62, 793-802.

Huisman, J., Rani, U., Smits, J. (2010), School Characteristics, Socio-Economic

Status and Culture as Determinants of Primary school Enrolment in India,

Nice Working Paper 10-109. Institute for Management research radboud

Univerty Nijmegen, the Netherland.

http://www.djpk.kemenkeu.go.id/ diakses hari minggu tanggal 22 Nopember 2015

pukul 11.09

Kayri, M. and Gu, C. (2004). Smoothing Spline Gaussian Regression: More

Sealable Computation Via Efficient Approximation. Royal Statistical

Society. Series B, 66 (2), 337-356.

Kayri, M. and Zirhlioglu, G. (2009). Kernel Smoothing Function and Choosing

Bandwitdh for Nonparametric Regression Methods, Ozean Journal of

Applied Sciences, 2, 49-54.

60

Martins-Filho, C. & Yao, F. (2009). Nonparametric Regression Estimation With

General Parametric Error Covariance, Journal of Multivariate Analysis,

100, 309-333.

Melliana, A. (2013). Analisis Statistika Faktor Yang Mempengaruhi Indeks

Pembangunan Manusia Di Kabupaten/Kota Provinsi Jawa Timur dengan

Menggunakan Regresi Panel. Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh

Nopember Surabaya, Surabaya.

Montgomery, C.D. & Hines, W.W. (1972). Probability and Statistics in

Engineering and Management science (second edition). John Willey &

Sons, New York.

Nadaraya, E.A. (1964), On Estimating Regression. Theory of Probability and its

Applications 9(1): 141+2. 141-142.

Okumura, H. and Naito, K. (2006), Non-Parametrik Kernel Regression for

Multinomial Data, Journal of Multivariate Analysis, 97, 2009-2022.

Otok, B.W. (2006). Optimize Knot and Basic Function At Truncated Spline and

Mltivariate Adapative Regression Spline. Proceedings of the first

international conference on mathematics and statistics ICOMS 1 june 19-

21 2006 Bandung West Java. Indonesia.

Parikh, A. and Sadoulet, E. (2005), “The Effect of Parents’ Occupation on Chil

Labor and School Attendance in Brazil”.

Qingguo, T. (2010), L1-Estimation in Semiparametric Model with Longitudinal

Data, Journal of Statistical Planning and Inference, 140, 393-405.

Rakotomamonjy, K., Mary, X. & Canu, S. (2005). Nonparametric Regression

with Wavelet Kernels. Appl. Statistic Models in Business and Industry.,

21: 153-163. 10.1002/asmb.533.

Ratnasari, V., Budiantara, I. N., Zain, I. Ratna, M. & Mariati, N. P .A . M.

(2015). Comparison Truncated Spline and Fourier Series in Multivariable

Nonparametric Regresssion Model (Application: Data of Poverty in Papua,

Indonesia). International Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-

IJENS Vol : 15 N0:04, 9-14.

Rencher, A. and Schaalje, G. (2008), Linear Models in Statistics, 2nd Edition,

John Willey and Sons Inc., New Jersey.

61

Santoso, B. (2009), Pendekatan Spline Multivariabel dan MARS Untuk

Memodelkan Lama sekolah pada Penduduk Usia sekolah di Provinsi

Papua. Tesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Surabaya.

Setyawan, N.A.D. (2011), Pendekatan Regresi Nonparametrik Birespon Spline

Untuk Memodelkan Determinan Tingkat Pendidikan di Pulau Papua.

Tesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Surabaya.

Solikhah, A. (2009), Analisis Rata-rata Lama Sekolah di Pulau Kalimantan

Menggunakan Model Spatial Conditional Autoregression (CAR). Tesis,

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Surabaya.

Su, L. & Ullah, A. (2008). Local Polynomial Estimation Of Nonparametric

Simultaneous Equations Models, Journal of Econometrics, 144, 193-218.

Sudiarsa, I. W., Budiantara, I. N., Suhartono, Purnami, S.W. (2015), Combined

Estimator Fourier Series and Spline Truncated in Multivariabel

Nonparametrik Regression, Applied Mathematical Science, Vol.9, 2015,

no. 100, 4997-5010, HIKARI Ltd.

Taylor, L. W. (2009). Using the Haar Wavelet Transform in the Semiparametric

Specification of Time Series, Economic Modeling, 26, 392-403.

Tripena, A. & Budiantara, I. N. (2007). Fourier Estimator in Nonparametric

Regression, Prociding International Conference on Natural Sciences and

Applied Natural Sciences, Ahmad Dahlan University, Yogyakarta.

UNDP. (2014), Human Development Report 2014, UNDP, Washington DC, USA.

Wahba G. (1990), Spline Models for Observational Data, SIAM Pensylvania.

Watson. G.S. (1964), Smooth Regression Analysis. Sankhya: The Indian Journal

of Statistic, series A 26 (4), 359-372.

Welsh, A. H. & Yee, T. W. (2006). Lokal Regression for Vector Responses.

Journal of Statistical Planning and Inference, 136, 3007-3031.

Yao, F. (2007), Asymptotic Distribution of Nonparametrik Regression Estimators

for Longitudinal or Fuctional Data, Journal of Multivariate Analysis, 98,

40-56.

Zhao, M. and Glewwe, P. (2009), What Determines Basic School Attainment In

Developing Countries? Evidence From Rural China, Economics of

Education review, University of Pennsylvania.

62

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

87

BIOGRAFI PENULIS

Bernama lengkap Ali Akbar Sanjaya Ilham Purnomo,

lahir di Manado tanggal 1 Juli 1977. Penulis

merupakan anak ke tiga dari lima bersaudara dari

pasangan suami istri, Purnomo Ilham Suhadi (Alm)

dan Ade Dedeh Rukiyati. Berdomisili di Kota

Buntok, Kalimantan Tengah penulis didampingi

kekasih hati istri tercinta: Dewi Yanti, dan tiga

permata hati : Adam Surya Permana, Adinda Alya

Putri dan Dimas Muhammad Ilham. Pendidikan

formal yang telah ditempuh penulis adalah SDN 22

Carangan, Baluwarti-Solo, SMP Negeri 6 Surakarta,

SMA Negeri 2 Surakarta. Pada tahun 1995 penulis melanjutkan pendidikan di

sekolah kedinasan di bawah naungan Badan Pusat Statistik (BPS), yaitu Akademi

Ilmu Statistik (AIS) dan lulus tahun1999 langsung bekerja di Kantor Statistik

Kabupaten Barito Selatan, Provinsi Kalimantan Tengah. Pada Tahun 2001 penulis

melanjutkan pendidikan D-IV Statistika di Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS)

dengan peminatan jurusan Statistik Ekonomi. Setelah menyelesaikan pendidikan

di STIS, pada tahun 2002 penulis kembali bertugas di seksi Statistik Sosial BPS

Kabupaten Barito Selatan. Sejak tahun 2012 penulis mutasi ke Seksi Statistik

Kesejahteraan Rakyat BPS Provinsi Kalimantan Tengah. Pada tahun 2014,

penulis mendapatkan kesempatan untuk melanjutkan studi S2 di Jurusan

Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi

Sepuluh Nopember, Surabaya.

Surabaya, Januari 2016

dimasganteng2011@gmail.com