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  • Electrodinmica Clasica

    Antonio Hernndez CabreraDepartamento de Fsica BsicaUniversidad de La LagunaTenerife. Islas Canarias

    26 de enero de 2009

  • 2

  • ndice general

    1. Relatividad especial. 71.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Postulados de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.1. Primer postulado de la relatividad. . . . . . . . . . . . 91.2.2. Segundo postulado de la relatividad. . . . . . . . . . . 9

    1.3. Experimentos ms o menos recientes. . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Deriva del ter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Velocidad de la luz desde una fuente en movimiento. . 121.3.3. Dependencia de la velocidad de la luz en el vacio con

    la frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Transformaciones de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.4.1. Espacios pre-eucldeos y eucldeos. . . . . . . . . . . . . 141.5. Frmula de Einstein de adicin de velocidades. . . . . . . . . . 181.6. El espacio-tiempo de Minkowskii. . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7. Dinmica de la relatividad especial. . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.7.1. Vector de velocidad unitario. Principio de inercia. . . . 221.7.2. Principio de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.8. Ecuaciones de la dinmica relativista. . . . . . . . . . . . . . . 241.9. Tetravector energa-impulso y masa relativista. . . . . . . . . . 261.10. Inercia de la energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.11. Tensor electromagntico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.11.1. Ecuaciones de Maxwell-Lorentz. . . . . . . . . . . . . . 281.11.2. Tensor adjunto del campo electromagntico. . . . . . . 301.11.3. Vector corriente elctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.4. Primer grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz. . . 311.11.5. Segundo grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz. . 321.11.6. Conservacin de la electricidad. . . . . . . . . . . . . . 33

    3

  • 4 NDICE GENERAL

    1.11.7. Densidad de fuerza de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . 331.11.8. Dinmica relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.12. Trasformacin de los campos electromagnticos. . . . . . . . . 371.12.1. Un ejemplo sencillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    1.13. Tensor energa-impulso del campo EM. . . . . . . . . . . . . . 391.14. Lagrangiano del campo electromagntico. . . . . . . . . . . . . 41

    1.14.1. Lagangiano de Proca. Efecto de la masa del fotn. . . . 421.14.2. Tensor de tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.14.3. Solucin de la ecuacin de ondas tetradimensional. Fun-

    ciones de Green invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2. Colisiones entre partculas cargadas. 532.1. Colisiones de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.1.1. Transferencia de energa a una carga ligada armnica-mente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    2.2. Frmulas de la prdida de energa. . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.1. Frmula clsica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.2. Frmula cuntica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    2.3. Efecto de la densidad del medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.1. Prdida de energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    2.4. Radiacin de Cherienkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5. Dispersin elstica de partculas rpidas por tomos. . . . . . 76

    3. Radiacin de cargas en movimiento. 833.1. Potenciales e Lienard-Wiegert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2. Potencia total radiada por una carga acelerada. . . . . . . . . 89

    3.2.1. Frmula de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3. Distribucin angular de la radiacin. . . . . . . . . . . . . . . 93

    3.3.1. Carga acelerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3.2. Movimiento rectilneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3.3. Movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    3.4. Carga con movimiento arbitrario ultrarelativista. . . . . . . . 1013.5. Energa radiada por cargas aceleradas. . . . . . . . . . . . . . 104

    3.5.1. Distribucin angular y de frecuencias de la radiacin. . 1043.6. Carga relativista en movimiento circular instantneo. . . . . . 110

    3.6.1. Espectro de frecuencias de la radiacin emitida. . . . . 1103.7. Dispersin de Thomson de la radiacin. . . . . . . . . . . . . . 116

  • NDICE GENERAL 5

    4. Otras alternativas. 1214.1. Mecnica relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    4.1.1. Tetravelocidad de una partcula. . . . . . . . . . . . . . 1214.1.2. Tetraimpulso energa-impulso. . . . . . . . . . . . . . 122

    4.2. Dinmica relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3. Tensor energa-impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4. Potenciales de Lienard-Wiechert. . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    4.4.1. Componente de velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . 1364.4.2. Campo de aceleraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    4.5. Langrangiano del campo electromagntico. . . . . . . . . . . . 1404.5.1. Principio de mnima accin. . . . . . . . . . . . . . . . 1404.5.2. Impulso generalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.5.3. Accin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.5.4. Ecuaciones de Proca (1936). . . . . . . . . . . . . . . . 145

    4.6. Radiacin de una carga en movimiento. . . . . . . . . . . . . . 1464.6.1. Rgimen no relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.6.2. Rgimen relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    5. Guias de onda. 1575.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    5.1.1. Modo transversal elctrico TE. . . . . . . . . . . . . . 1585.1.2. Modo transversal magntico TM. . . . . . . . . . . . . 161

    5.2. Transporte de energa en una gua. . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.1. Modo TE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.2. Modo TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

  • 6 NDICE GENERAL

  • Captulo 1

    Relatividad especial.

    1.1. Introduccin.

    La Electrodinmica Clsica se ocupa del estudio de la interaccin entrelos campos electromagnticos y las partculas cargadas, que conguran lamateria, en movimiento. Como su adjetivo indica, esta asignatura no tieneen cuenta las posibles correcciones cunticas[1, 2, 3, 4].Para empezar es imprescindible el conocimiento de las cuatro ecuaciones

    de Maxwell, ya que sientan las bases para explicar la evidencia experimentalde los campos y, por tanto, son el primer paso en la Teora de Campos. Sinembargo, las ecuaciones de Maxwell presentan un pequeo (o enorme, segnse vea) inconveniente: si se utilizan conjuntamente con la transformacionesclsicas de sistemas de referencia de Galileo, se organiza un pandemoniumde cuidado. Particularmente, presentan graves problemas de comodidad. Esdecir, a pesar de su brillantez, las ecuaciones de Maxwell llegan a no serprcticas siquiera desde el punto de vista clsico.Recordemos que, segn el principio bsico de la Relatividad, la fsica de

    las interacciones ha de conservarse frente a transformaciones entre sistemasinerciales. En otras palabras, las interacciones han de verse de forma anlogamrese de donde se mire. Obviamente, me reero a las interacciones fsicas.Las teolgicas dependen enormemente del sistema de referencia de cada su-persticioso y las polticas, de cada borrego. En principio, al tratar de unicarla ecuaciones de Maxwell con la radiacin electromagntica visible, Lorentz(1890) se vi obligado a replantear las tranformaciones entre inerciales, asen-tando los principios bsicos de la Relatividad. En 1905 Einstein fue ms all,

    7

  • 8 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    generalizando la Relatividad a cualquier problema fsico, con independenciadel electromagnetismo o sin ella. Con referencia al electromagnetismo nosbastar con la llamada Relatividad Especial. A ella, y a nuestro programa,escapan los fenmenos macrogravitatorios, objetivos de la Relatividad Gen-eral.

    1.2. Postulados de Einstein.

    Veamos por qu las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo trans-formaciones de Maxwell. Supongamos un sistema inercial K asociado a unapartcula libre, sistema que ha de ser homogneo, istropo e invariante tem-poral. En dicho sistema, asociadas a las leyes de conservacin, existirn sieteintegrales primeras del movimiento relacionadas con la energa, los momentosy las posiciones. Si hubiera otro inercial, K, movindose respecto a K convelocidad !v , las transformaciones de Galileo nos dicen que, para la partcula,

    !x 0 = !x !v t (1.1)t0 = t:

    Si nos planteamos una ecuacin de ondas tridimensional en el inercial K,

    @2

    @x2+@2

    @y2+@2

    @z2 1c2@2

    @t2= 0; (1.2)

    que podemos simplicar enormemente mediante la notacin de Einstein, lla-mando a ct = x0, como

    @2

    @x= 0: (1.3)

    Pero esta notacin la veremos ampliamente ms adelante. Si hacemos uncambio de coordenadas al inercial K,

    @2

    @x02+@2

    @y02+@2

    @z02 1c2@2

    @t02 2c2!v !O 0

    1c2

    !O 0 !v !v !O 0 = 0; (1.4)con = (x0; y0; z0; t0): Para realizar la anterior transformacin es convenienterecordar cmo se modica el operador de Laplace bajo cambios de base. Perolo que ahora nos interesa es obsevar que la radiacin electromagntica dada

  • 1.2. POSTULADOS DE EINSTEIN. 9

    por el potencial escalar se mueve de forma totalmente distinta en los dossistemas de inerciales planteados. Cuando as ocurre se dice que la ecuacinde ondas no es covariante galileana.Obviamente existe algo incorrecto en lo antes expuesto, ya que las leyes de

    la fsica no deben depender de los sistemas de coordenadas. En otras palabras,no existen observadores privilegiados en la Fsica. En Mecnica Clsica lasecuaciones de ondas no son covariantes galileanas. Para solventar el problemase asociaron los trminos adicionales que aparecen a ciertas velocidades dearrastre del medio material en que se propagan. Pero resulta que la luz sepropaga en el vacio tambin. (Curiosamente, la ecuacin de Schrdinger ses invariante bajo transformaciones de este tipo). Las posibilidades que seplantearon en 1900 fueron tres:1.- Las ecuaciones de Maxwell son incorrectas. Una buena teora debe ser

    invariante ante transformaciones de Galileo.2.- El electromagnetismo ha de estudiarse en un sistema de referencia

    especco, suponiendo que las ondas electromagnticas se propagan en unmedio en reposo, el ter.3.- Debe existir un principio de relatividad nico, diferente al galileano.

    1.2.1. Primer postulado de la relatividad.

    Las leyes de la naturaleza y los resultados experimentales obtenidos en unsistema de referencia han de ser independientes del movimiento de traslacindel sistema de referencia como conjunto. En otras palabras, existe un conjun-to triplemente innito de sistemas de referencia eucldeos equivalentes quese mueven, unos respecto a otros, en trayectorias rectilneas y con velocidadconstante. En ellos, los fenmenos fsicos ocurren de manera idntica. Sonlos llamados Sistemas de Referencia Inerciales. Este postulado haba estadoimplcito desde la Grecia Clsica. Aunque planteado por Poincar en 1890,la nica novedad que presenta es la eliminacin de los movimientos relativosrespecto al ter.

    1.2.2. Segundo postulado de la relatividad.

    La velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente. Estepostulado lo propuso Einstein sin comprobarlo. De hecho no se comprobexperimentalmente hasta 1962. Este postulado exige variar las leyes de lamecnica, a efectos prcticos, para el caso de altas velocidades. O siempre

  • 10 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    desde el punto de vista terico. Y lo que es ms importante, las interac-ciones no son instantneas ya que su velocidad de propagacin esnita, cuestin que ya se haba planteado Newton, pero que no se lo conta nadie porque le daba mucha vergenza.

    1.3. Experimentos ms o menos recientes.

    1.3.1. Deriva del ter.

    A nales del siglo XIX surgi el problema de la deteccin del ter. Michel-son y Morley disearon un experimento con este nico objetivo. (Pinsese quela idea de la necesidad de un medio material para la propagacin de cualquieronda estaba totalmente asumida por la comunidad cientca). El experimentose basaba en tcnicas de interferometra ptica.La gura (1) es un esquema del experimento. Hemos sucumbido a la

    tentacin de poner una S en la fuente (source, en ingls) y una M en losespejos (de mirror). De la fuente S parte un rayo de luz de longitud deonda . En el espejo semiplateado M1 se divide en dos haces. Estos siguencaminos perpendiculares entre s, se refejan en los espejos M2 y M3. Vuelvena pasar por M1, recombinndose en el observador O. En este punto existiruna diferencia de fase entre los haces debida al tiempo que necesita cadahaz para recorrer M1M3 o M1M2, ida y vuelta. Supongamos que la Tierra semueve con velocidad !v , paralela a M1M3, respecto al ter. De esta forma,

    t =l

    c v +l

    c+ v=

    2lc

    c2 v2 : (1.5)

    Por el otro camino, el recorrido ida y vuelta entreM1 yM2, que el haz nohace por el mismo camino, como puede verse en la Fig. (2), el haz tardar

    t0 =2lp

    c2 v2 (1.6)

    La diferencia de fases entre los dos haces al llegar a O ser

    =c(t0 t)

    =c

    2lc

    c2 v2 2lp

    c2 v2

    (1.7)

  • 1.3. EXPERIMENTOS MS O MENOS RECIENTES. 11

    Figura 1.1: Esquema del experimento de Michelson-Morley.

    Figura 1.2: Tiempo invertido en el recorrido por los haces.

  • 12 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Dado que v c, podemos simplicar:

    =lv2

    c2: (1.8)

    Michelson y Morley buscaron el diagrama de interferencias en la posicin deldibujo y en la perpendicular. Es decir, intercambiando las dos ramas del in-terfermetro. La diferencia entre los corrimientos de fase obtenidos entre lasdos ramas eran mucho menores que los previstos si existiera el ter. Posteri-ormente, con sistemas ms sosticados, se comprob que dicho corrimientoera nulo. Es decir, la velocidad de la luz es la misma en cualquier direc-cin, no detectndose ningn movimiento relativo del sistema de referenciarespecto al ter. Este resultado es vlido localmente y pone en tela de juicioa las transformaciones de Galileo, en las cuales se fundamenta la existenciadel ter. Podra pensarse que, casualmente, la Tierra coincide con el sistemaprivilegiado del ter. Tambin cabra pensar que la Tierra, en su desplaza-miento, arrastrara tras de s al ter. En ambos casos el interfermetro estaraen reposo respecto al ter y no detectara nada. Sin embargo, aos despusse comprob mediante la aberracin de la luz de las estrellas, causada por elmovimiento orbital de la Tierra, as como de otras propiedades astronmicas,que no exista ningn sistema de referencia privilegiado, salvo el Vaticano.

    1.3.2. Velocidad de la luz desde una fuente en movimien-to.

    La velocidad de la radiacin electromagntica en el vacio, c, es invariantee independiente de la velocidad del emisor. Este punto lo detallaremos msadelante cuando se estudie la ley de adicin de velocidades de Einstein.

    1.3.3. Dependencia de la velocidad de la luz en el vaciocon la frecuencia.

    Tambin detallaremos este fenmeno ms adelante. Utilizando medidasde la radiacin procedentes de pulsares se comprob que, si bien la frecuenciadependa de la velocidad de la fuente respecto al observador (efecto Dopplerelectromagntico), la velocidad de la luz segua siendo invariante. Es decir, lavelocidad de la radiacin electromagntica es independiente de su frecuenciaen el vacio.

  • 1.4. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. 13

    Figura 1.3: Los dos sistemas de referencia inerciales propuestos, K y K.

    1.4. Transformaciones de Lorentz.

    Supongamos que tenemos dos sistemas de coordenadas K y Ken los queconsideraremos que existe invariancia de rotacin. Cualquier suceso puededenirse en cualquiera de los sistemas.Los sucesos se denen como los acontecimientos en el espacio-tiempo de 4

    dimensiones. A este espacio tetradimensional lo vamos a llamarUniverso. Lospuntos del universo sern los sucesos. Estos pueden denirse como (x; y; z; t)en K (x0; y0; z; t0) en K 0. Un determinado suceso en K, el (x; y; z; t), puedetener efecto de causalidad sobre otro suceso en el mismo sistema K, siempreque el tiempo del primer suceso sea anterior. Si tomamos una seal que sepropaga a la velocidad de la luz ( una seal electromagntica), es evidenteque, para ella, el espacio recorrido entre dos instantes de tiempo diferentes hade ser igual a c multiplicada por el tiempo transcurrido entre los dos sucesos,

    c2(t2 t1)2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2: (1.9)

    Denimos como intervalo a

    s = (c2t2 x2 y2 z2)1=2: (1.10)

    Obviamente, para una seal que se mueva a velocidad c el intervalo es cero. Laanterior expresin es la mtrica de un espacio no eucldeo (pre-euclideo, pseu-doeucldeo, euclideano, etc.). Suponiendo que, como consecuencia del sistema

  • 14 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    no-educativo (pseudoeducativo, educativiano o pedaggico a secas) instaladoen nuestro pas por CC, los lectores no sepan de qu se est hablando, vamosa darles algunas nociones epiteliales al respecto.

    1.4.1. Espacios pre-eucldeos y eucldeos.

    Si a un espacio vectorial cualquiera le dotamos de una ley de composicininterna conocida por producto escalar, generamos un espacio pre-eucldeo.El producto escalar se dene como una aplicacin bilineal tal que, para dosvectores arbitrarios del espacio vectorial, !x e !y , 8(!x ;!y ) 2 E =) !x !y =xi!e i yj!e j = xiyj!e i !e j = xiyjgij, donde las !e i son las bases del espaciovectorial y las xi las componentes de los vectores. Esta ley no es asociativa,pero tiene elemento neutro. El producto escalar es commutativo, por lo quela matriz gij es simtrica.Si los elementos de gij son todos positivos, el espacio vectorial es eucldeo.

    Si no, el espacio es pseudoeucldeo. Supongamos que tenemos dos puntos deun espacio de este tipo, P (x1; y1; z1) y Q(x2; y2; z2). La distancia entre ambospuntos es d = ((x2x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2)1=2. Como se puede ver, elintervalo no es ms que una distancia. Si los puntos estuvieran innitamenteprximos, el cuadrado de la distancia sera d2 =

    !dr!dr = dx2+dy2+dz2. Pero

    esto slo es cierto en coordenadas cartesianas. En general, d2 = gijdyidyj.En cartesianas los elementos de la matriz G, los gij, son constantes. A Gse le conoce como mtrica. Es inmediato comprobar que, si hacemos x (ct; xi) (x0; x1; x2; x3) la expresin s = (c2t2 x2 y2 z2)1=2 = (x0)2 (x1)2 (x2)2 (x3)2 no es ms que una distancia en cuatro dimensiones con

    G =

    26641 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

    3775 : (1.11)Es decir, el espacio 4D generado es pseudoeucldeo y con coordenadas carte-sianas. Este es el conocido espacio de Minkovskii o Universo. Se puede trans-formar en eucldeo mediante un sencillo cambio. Si tomamos x0 = ict,s2 = (x)2.NOTA: Es costumbre utilizar ndices latinos para tres dimensiones y grie-

    gos para ms. As mismo, se usan x para las coordenadas cartesianas e y paralas curvilneas en general.

  • 1.4. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. 15

    Vemos otra propiedad curiosa de la mtrica. Si recordamos que!e i!e j =ji , ya que

    !e j es la base del espacio recproco o base recproca y, dado que elproducto escalar es invariante,!x !y = xi!e iyj!e j = xiyjgij = xi!e iyj!e j =xiyjg

    ij:Si denimos las coordenadas covariantes como xj =

    !x !e j = xi!e i!e j =gijx

    i, nos encontramos con que la mtrica nos sirve para cambiar entrecontravarianza y covarianza. En el espacio geomtrico ordinario, y dado quela mtrica coincide con la matriz identidad, covarianza y contravarianza sonidnticas. Pero no en los espacios de Mikovski donde x0 = x0 pero xi = xi.A partir de ahora y como norma general, los ndices griegos harn referenciaa espacios de ms tres dimensiones mientras que los latinos nos servirn paralos de tres o menos.Volvamos a las transformaciones de Lorentz, donde cualquier transforma-

    cin de coordenadas ha de conservar el intervalo, ya que ste, que procede deun producto escalar, es invariante. Si en un instante t = t0 = 0 coinciden lossistemas arriba representados, y = y0 y z = z0, pero x(0) = vt y x0(0) = 0 enel sistema S 0.

    x0 = a1x+ a2t = a1vt+ a2t = 0; (1.12)

    t0 = b1x+ b2t:

    As,

    a2 = a1v; (1.13)x0 = a1(x vt):

    Imponiendo la constancia del intervalo,

    c2t2 x2 = c02t02 x02; (1.14)por lo que

    c2b21 a21 = 1;2b1b2c

    2 + 2a21v = 0;

    b22c2 a21v2 = c2: (1.15)

    Si llamamos = vc, entonces

    b1 = c

    1p1 2

    ;

    b2 = 1p1 2

    = a1; (1.16)

  • 16 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    que denen las transformaciones de Lorentz con cierta ambigedad de signo,y que podemos escribir como

    x0 =x vtp1 2

    ;

    t0 =t x

    cp1 2

    : (1.17)

    Si existieran sistemas inerciales que se movieran entre s con velociadad v > c( > 1), obtendramos valores imaginarios para v0 y t0. Pero las coordenadasde un suceso no pueden ser imaginarias. As, v < c necesariamente. Con ellopodemos representar un suceso en ambos sistemas inerciales. En el lmite norelativista, cuando v

  • 1.4. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. 17

    Ocurre una cosa interesante. Como vemos jj < 1 como las razonestrigonomtricas seno y coseno tanh. Esto lleva a pensar que las relacionesentre x0; x1; x00 y x

    01 puede hacerse a travs de ellas. Denamos un ngulo

    tal que = tanh . Entonces, = cosh y, por tanto,x00x01

    =

    cosh' sinh' sinh' cosh'

    x0x1

    (1.21)

    que es un giro generalizado entre dos variables. Es decir, las transforma-ciones de Lorentz no van a ser ms que un giro en el espacio pseudoeucldeotetradimensional de Mikovskii. Al contrario de lo que ocurre en el espacio ge-omtrico ordinario (EGO), en 4D los giros no son conmutativos, y tampocolas transformaciones de Lorentz.En el caso de que la velocidad !v tenga cualquier direccin, !v = v!n , con!n unitario y arbitrario, las transformaciones de coordenadas vedran dadas

    por

    !r0 = !r (!r !n )!n (1 cosh ) x0!n sinh ;x00 = x0 cosh !n !r sinh : (1.22)

    Podramos haber hecho lo mismo trabajando en un EGO, pero con ngulosde rotacin imaginarios. Es decir, si tomamos tan' = iv

    c, las rotaciones entre

    dos variables o rotaciones en un plano respecto a un eje normal a ste seranx01x00

    =

    cos' sin' sin' cos'

    x1x0

    : (1.23)

    Como

    cos' =1q1 v2

    c2

    = :

    sin' =iv=cq1 v2

    c2

    = i;

    la expresin (17) es inmediata. Las ecuaciones de Lorentz pueden irse gener-alizando. Si los ejes cartesianos permanecen paralelos pero el sistema K 0 semueve a velocidad cualquiera !v (direccin arbitraria) respecto a K, deni-

  • 18 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    mos! =

    !vc, con =

    ! ; llegando ax00 = (x0

    ! !x );

    !x0 = !x + ( 1)

    2

    ! !x

    ! ! x0: (1.24)

    El proceso consiste en separar las componentes de !x y de !x0 paralelasy perpendiculares

    ! . Se tratan por separado, unindose al nal. Suele ser

    bastante til escribir las transformaciones de Lorentz como un cambio decoordenadas procedentes de una operacin del grupo contnuo de Lorentz,x0 = a:x

    , siendo a:(! ) los elementos de la matriz

    Ap(! ) =

    0BBBB@

    1 2 3

    1 1 + (1)21

    2(1)12

    2(1)13

    2

    2 (1)122 1 +(1)222

    (1)232

    3 (1)132(1)23

    21 + (1)

    23

    2

    1CCCCA : (1.25)En un Apndice had hoc veremos el origen de esta matriz.

    1.5. Frmula de Einstein de adicin de ve-locidades.

    Clsicamente, si !v es la velocidad del sistema K 0 respecto al K, y si unpunto material P tiene una velocidad

    !u0 respecto aK 0, su velocidad respecto

    a K ser !u = !v +!u0 : (1.26)En la relatividad especial (restringida) las velocidades de P respecto a ambosinerciales seran

    !u = d!rdt

    ;!u0 =

    d!r0

    dt0; (1.27)

    con

    d!rdt

    =

    "d!r0

    dt0+ ( 1)

    d!r0

    dt0 !v

    ! !vv2+ !v

    #dt0

    dt;

    dt

    dt0=

    1 +!u 0!vc2p

    1 2: (1.28)

  • 1.6. EL ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKII. 19

    Sustituyendo,

    !u = 11 +

    !u0!vc2

    "!u0

    + (1 1

    )

    !u0 !vv2

    !v +!v#; (1.29)

    expresin anecdtica que slo indica que !u ;!u0 ;!v son coplanarias. Si !u0 y!v fueran colineales tendramos que

    u =u0 + v1 + u

    0vc2

    ; (1.30)

    frmula de Einstein de adicin de velociades. De aqu es fcil ver que si u0 = c,

    u =c+ v

    1 + vc

    =c(c+ v)

    c+ v= c: (1.31)

    En el caso extremo, en el cual un sistema de referencia se mueve a velocidadv = c respecto al otro,

    u =c(2c)

    2c= c; (1.32)

    demostrndose que no es posible sobrepasar la velocidad de la luz.

    1.6. El espacio-tiempo de Minkowskii.

    Como hemos visto, en una variedad tetradimensional V4 dotada con elelemento de lnea o mtrica

    ds2 = c2dt2 dxi2 ; (1.33)que describe la distancia entre dos sucesos innitamente prximos, ste esinvariante por proceder de un producto escalar. Tomemos ahora una distancianita dada por s2 = c2t2 (xi)2 = (x0)2 l2 = xx. Cuando x0 =

    pl2,

    s = 0. Probablemente se vea mejor en el caso bidimensional, ya que s = 0 six0 = x1, que representa a las diagonales del plano x0x1:Es decir, las diagonales representan las trayectorias seguidas por lo rayos

    de luz que pasan por un observador situado en el origen. Evidentemente,

    en tres dimensiones, x0 = (x1)

    2+ (x2)

    21=2

    = l, que representa unasuperfcie cnica cuya generatriz tiene una pendiente de 45o. ste es el cono

  • 20 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Figura 1.4: Figura 5. Cono de luz bidimensional

    Figura 1.5: Cono de luz en 3D

  • 1.6. EL ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKII. 21

    Figura 1.6: Imagen tridimensional del cono de luz. El observador est en elvrtice del cono.

    de luz. En el espacio 4D de Minkowskii tendramos un hipercono. Comono lo sabemos dibujar en un papel, representaremos el caso tridimensional yque el lector extapole convenientemente. Cualquier seal que se propague convelocidad c y pase por el observador lo har por la superfcie cnica. Dadoque en Relatividad v < c para cualquier objeto con masa, ningn sucesoconectado con el observador puede estar en la regin 1 o 2, ya que all v > c.Realmente slo hay una regin, la exterior al cono, y 1 o 2 es la misma regin.sta es la regin no causal, desconectadas del observador. El apellido se debea que, para interacciones electromagnticas, la causa es posterior al efecto.Un suceso emitido en cualquier punto de esta regin jams alcanzara a otrocon lo que los sucesos no estaran ligados causalmente.

    Las regiones 3 y 4 son las causales, donde v < c. En la zona 3, t > 0,y los sucesos son posteriores a la situacn temporal del observador. staes la regin del futuro causal. En la regin 4, t < 0. Es decir, los sucesosson anteriores al tiempo del observador, razn por lo que esta regin es ladel pasado causal. Cualquier suceso producido sobre el cono de luz recibeel nombre de suceso luz, con intervalo nulo. Los sucesos que ocurren el laregin causal se llaman sucesos tiempo, con s2 > 0. Finalmente, los sucesosde la regin no causal, como el Alcn Milenario, las cohortes celestiales y loscuerpos gloriosos, son los sucesos espacio, que pululan por s2 < 0.

  • 22 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Ocurre que, cuando dos sucesos en el espacio de Minkowskii estn rela-cionados con un intervalo de la clase tiempo, entonces existe otro sistemainercial en el que ambos sucesos ocurren en el mismo lugar (misma posicinespacial). Esto es posible pues si, en el sistema K, s2 = c2t2 l2 > 0, conl2 = x2i , en cualquier otro sistema K

    0 en el cual se conserva el intervalo,s02 = c2t02 l02 = s2, con ct02 > 0 . Buscando un sistema en el que l0 = 0,vemos que este sistema es nico y en l los sucesos se producen en el mismolugar.Existe otro inercial, pero para sucesos de tipo espacio (s2 < 0), en el

    que dos sucesos que ocurren en diferentes posiciones son simultneos (el donde la ubicuidad de los cuerpos gloriosos): 0 > ct2 l2 = s2 = s02 = l02.Es decir, l02 < 0. Podra hacerse todo un tratado teolgico asimilando laregin no causal con el cielo cristiano, siguiendo las lneas maestras trazadaspor Tertuliano, Orgenes y San Agustn. Lo dejaremos para otro apndicedonde demostraremos de manera fehaciente y sin dejar lugar a ningn gnerode duda de que el cielo existe. An ms, que las profundas investigacionesrealizadas por los telogos cristianos a cerca de las propiedades de los cuerposgloriosos tienen una slida base relativista. Quin lo iba a decir.

    1.7. Dinmica de la relatividad especial.

    1.7.1. Vector de velocidad unitario. Principio de iner-cia.

    Supongamos un punto material P movindose con velocidad v < c. Encoordenadas cualesquiera se dene como vector velocidad unitario de P alvector del universo de componentes

    u =dy

    ds( : 0; ; 3): (1.34)

    Recordemos que es costumbre utilizar ndices latinos para tres dimensionesy griegos para ms. As mismo, se usan x para las coordenadas cartesianas ey para las curvilneas en general. En el EGO, las componentes de !v son

    vi =dxi

    dt(i : 1; ; 3): (1.35)

  • 1.7. DINMICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL. 23

    Es decir, en cartesianas

    ui =dxi

    ds= vi

    dt

    ds; (1.36)

    u0 =dx0

    ds=cdt

    dt

    dt

    ds= c

    dt

    ds:

    Ahora bien,

    ds =dx02 dxi21=2

    = dt

    dx0

    dt

    2dxi

    dt

    2!1=2

    = dtc2 v21=2 = cdt1 v2

    c2

    1=2=

    cdt

    : (1.37)

    Es decir,

    dt

    ds=

    c=)

    ui = c viu0 = cc

    =) u = (1;! ): (1.38)Por qu se le llama velocidad unitaria? Muy fcil, hacindo su cuadrado,

    uu = 2(1 2) = 1: (1.39)

    1.7.2. Principio de inercia.

    Un punto material aislado admite como trayectoria del universo a unageodsica del elemento lineal de Minkowskii para la cual ds2 es positivo. Comoesto parece un galimatas, una geodsica es la trayectoria ms corta en unespacio de Riemann, y corresponde a una trayectoria con aceleracin nula. Esla extensin de la lnea recta en un universo plano. Para u constante, du

    ds=

    0. Las geodsicas vienen descritas por el sistema de ecuaciones, obtenidosmediante el principio de mnima accin,

    d2y

    ds2

    dy

    ds

    dy

    ds= 0; (1.40)

  • 24 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    que en cartesianas se reduce a

    d2x

    ds2= 0 =) du

    ds= 0; (1.41)

    ya que los smbolos de Christoel = 0 en este tipo de sistema de coorde-nadas.

    1.8. Ecuaciones de la dinmica relativista.

    La fuerza!f a la que est sometido un punto P puede depender de su

    posicin y velocidad. Deberamos saber que, en mecnica clsica,

    !f = m

    d!vdt

    : (1.42)

    De esta expresin se deduce el teorema de las fuerzas vivas,!f !v =

    ddt

    12mv2

    . Estas ecuaciones no son invariantes bajo el grupo de Lorentz por

    lo que hay que buscar unas que s lo sean. Denimos la tetraaceleracin deP en el universo como

    a =u

    s: (1.43)

    Si al punto P se le caracteriza por un parmetro m0, con dimensiones demasa, y que llamaremos masa en reposo de P , podemos escribir

    m0c2 u

    s= : (1.44)

    La c2 se ha introducido para que c2 u

    stenga dimensiones de aceleracin

    y, por tanto, sea una fuerza. Estas ecuaciones fueron panteadas ya porMinkowskii.Resulta que, como u es unitario, d

    ds(uu) = 0 = u

    duds+ du

    dsu =

    2u duds=) u ? du

    ds. Es decir la velocidad unitaria y la tetraaceleracin son

    ortogonales y, en consecuencia, tambin lo son u y . Esta tetrafuerza, quees constantemente perpendicular a la velocidad, se le conoce por fuerza deluniverso. En coordenadas galileanas, es decir, volviendo a tomar la variable

  • 1.8. ECUACIONES DE LA DINMICA RELATIVISTA. 25

    t,

    m0c2du

    dt

    dt

    ds= =)

    m0c2du

    dt=

    =) m0c ddtvi =

    i

    m0cddt

    =

    0

    ; (1.45)

    que podemos comparar con las leyes de Newton tomando f i = i=: Como

    u = 0 =) 0u0 = iui: Como u0 = , 0 =!f !vc

    2: Y segn (45)

    iui = fiui =

    2

    !f !vc

    = 0 =)0

    =

    !f !vc

    =)d

    dt

    m0c2p

    1 2=

    !f !v : (1.46)

    Si llamamos

    E =m0c

    2p1 2

    ; (1.47)

    la ecuacin (46) es tpica de la mecnica clsica. E se dene como la energatotal del punto P . Esta energa no se anula ni cuando v ! 0. LlamandoE = E0 + T , encontramos que

    E0 = m0c2;

    T = m0c2

    "1p1 2

    1#= m0c

    2 ( 1) ; (1.48)

    siendo E0 la energa en reposo de P y T la energa cintica relativista. Ob-viamente, para v

  • 26 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    1.9. Tetravector energa-impulso y masa rel-ativista.

    El vector energa-impulso es un vector del universo con la misma direccinde u, de componentes

    p = m0cu (1.49)

    que, en coordenadas de Galileo,

    p0 = m0c =m0cp1 2

    =E

    c;

    pi = m0vi =

    m0vip

    1 2: (1.50)

    Si llamamos !p a la parte espacial,

    m0d

    dt

    !v = !f = d

    !pdt

    : (1.51)

    Es decir, la ecuacin relativista es idntica a la clsica pero el punto materialse comporta como si tuviera una masa variable,

    m = m0 (1.52)

    llamada masa relativista de P: Ocurre que si v

  • 1.10. INERCIA DE LA ENERGA. 27

    Vayamos a otro sistema inercialK respecto al cualK0 se mueve con velocidadconstante !v . Haciendo una transformacin de Lorentz el vector energa-impulso tiene por componentes en K

    p0 = m0c =E0c

    c2p1 2

    =

    cE0;

    pi = m0vi =

    E0c2

    vip1 2

    =

    cE0

    i; (1.53)

    de donde se deduce que cada forma de energa contribuye al vector energa-impulso del universo como si dicha energa correspondiese a una masa E0

    C2.

    Es decir, todo sistema fsico que posea, bajo cualquier forma, una energa enreposo E0, tiene, al mismo tiempo, una masa inerte m0 = E0c2 : Este principio,enunciado por Einstein, establece la equivalencia masa-energa.Si una partcula en K0, que no est sometida a ninguna fuerza, emite

    durante un intervalo t una energa E0 en forma de radiacin electromag-ntica (luz), sta saldr en forma de onda esfrica (recordemos que en K0 lapartcula est en reposo), de forma que el impulso resultante en K0, debido ala radiacin, es nulo. Si la partcula estaba en reposo antes de emitir, tambinlo estar despus. Si reriramos el mismo fenmeno desde otro inercial K,dado que el fenmeno partcula-radiacin est aislado, se conservar el vectorenerga-impulso. En K, la radiacin emitida admitir el impulso y la energa

    !p = E0c2

    !vp1 2

    ;

    E =E0p1 2

    : (1.54)

    La partcula deber suministrar ese impulso y energa sin modicar la veloci-dad. sto slo es posible si la partcula modica su masa en reposo. Si staes m0 antes de la emisin, las leyes de conservacin seran

    m0!vp

    1 2=

    m00!vp

    1 2+E0c2

    !vp1 2

    ;

    m0c2p

    1 2=

    m00c2p

    1 2+

    E0p1 2

    ; (1.55)

    indicndonos que

    m00 = m0 E0c2

    : (1.56)

  • 28 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Es decir, la masa de la partcula se ve reducida en E0c2= energ{a emitida

    c2:

    En dinmica relativista slo existe una ley de conservacin para la energatotal de un sistema aislado, por la cual varan las masas en reposo cuandola energa cintica se transforma en otro tipo de energa o viceversa. Lasmasas en reposo pueden incluso variar de forma notable en interaccionescon energas del mismo orden que la masa en reposo. Este hecho se observaexperimentalmente en las reacciones nucleares.En mecnica no-relativista la energa viene determinada salvo una con-

    stante aditiva, por no haber medida absoluta de la energa. Es decir, enmecnica no-relativista slo se puede hablar de diferencias de energa.Dado que p =

    Ec;!p , pp = E2c2 p2 = c2m20 =)

    E2(p) = c2p2 +m20c4: (1.57)

    Si la masa en reposo es nula. m0 = 0, la relacin carece de sentido puesp = 0. Pero no es estrictamente cierto. Si olvidamos trayectoria y velocidady pensamos en que los conceptos bsicos son energa e impulso relativistas,la relacin bsica cuando m0 = 0 es

    E = cp: (1.58)

    Es decir, no existe lmite no relativista para partculas de este tipo, como sonlos fotones y los gravitones.

    1.11. Tensor electromagntico.

    1.11.1. Ecuaciones de Maxwell-Lorentz.

    Los campos electromagnticos denidos por!E (t) (campo elctrico vari-

    able en el tiempo) y!H (t) (campo magntico variable en el tiempo) son

    vectores del espacio ordinario vlidos slamente para transformaciones con-sistentes en desplazamientos espaciales y cambios del origen temporal. Perocon ellos podemos elaborar las ecuaciones de Maxwell. Supongamos que enun inercial K tenemos

    !H =

    !rot

    !A =

    !r !A;!E = !grad 1

    c

    @!A

    @t; (1.59)

  • 1.11. TENSOR ELECTROMAGNTICO. 29

    siendo el potencial escalar y!A el vectorial. Si construmos un vector del

    universo de componentes contravariantes y covariantes

    '1 = Ax; '2 = Ay; '3 = Az; '0 = ;'1 = Ax; '2 = Ay; '3 = Az; '

    0 = ; (1.60)

    podemos comprobar que

    Hx =@'3@y @'2

    @z; Ex =

    @'0@x @'1

    c@t;

    Hy =@'1@z @'3

    @x; Ey =

    @'0@y @'2

    c@t;

    Hz =@'2@x @'1

    @y; Ez =

    @'0@z @'3

    c@t:

    (1.61)

    Es decir, las componentes de los vectores del espacio 3D!E y

    !H estn de-

    scritas por 6 componentes covariantes de un tensor antisimtrico del universo

    F = @' @' =@'@x

    @'@x

    : (1.62)

    En coordenadas reducidas de Galileo tendramos

    F =

    0BB@0 Ex Ey EzEx 0 Hz HyEy Hz 0 HxEz Hy Hx 0

    1CCA =)

    F =

    0BB@0 Ex Ey EzEx 0 Hz HyEy Hz 0 HxEz Hy Hx 0

    1CCA (1.63)Las F son las componentes del tensor llamado campo electromagntico yque es igual al rotacional del vector del universo ', conocido como poten-cial vector de universo. Con estos nuevos conceptos los campos elctrico ymagntico forman una entidad intimamente ligada, permaneciendo esta in-timidad bajo tranformaciones de Lorentz. Supongamos dos sistemas K y K 0

    ligados por una transformacin de Lorentz. Entonces

    F 0 = a: a

    : F =) F 0 = AFA> =)

    Ex = E0x; Ey = (E

    0y + H

    0z); Ez = (E

    0z H 0y);

    Hx = H0x; Hy = (H

    0y E 0z); Hz = (H 0z + E 0y); (1.64)

  • 30 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    donde hemos supuesto, por sencillez, que los dos sistemas de referencia sedesplazan, uno respecto al otro, a velocidad !v en la direccin de X, per-maneciendo los otros ejes paralelos.La expresin F = @' @' es vlida en cualquier tipo de coorde-

    nadas curvilneas, aunque la hayamos planteado en cartesianas.Sin embargo, hay que recordar que el potencial vectorial no est biunvo-

    camente denido por el campo. Cualquier vector de componentes

    ' = ' + @ ; (1.65)

    donde es un escalar arbirario, sugue siendo vlido. La adicin del gradientedel escalar recibe el nombre de cambio de medida de Weyl. Se dice entoncesque el campo electromagntico tiene invariancia de medida.

    1.11.2. Tensor adjunto del campo electromagntico.

    Dado que F es antisimtrico admite un tensor adjunto. ste tendrpor orden a la dimensin del espacio menos el orden del tensor de partida,4 2 = 2. Por denicin de adjunto,

    F% = 12"%F; (1.66)

    siendo "% el tensor o indicador de permutaciones. Este tensor vale 1 si elnmero de permutaciones necesarias para ordenar los ndices es par, -1 si esimpar, y cero si hubieran dos ndices repetidos. En otras palabras,

    F01 = F23 = Hx; F23 = F04 = Ex;F02 = F31 = Hy; F31 = F02 = Ey;F03 = F12 = Hz; F12 = F03 = Hz:

    (1.67)

    1.11.3. Vector corriente elctrica.

    En sistema galileano en la ecuaciones de Maxwell aparecen productos !vque denen la corriente de carga (y en cualquier ecuacin de continuidad decorriente de carga o de masa), donde % es la densidad de carga. Es decir,en un sistema K0, la carga elemental sera de = dV . Resulta que la cargaes invariante de Lorentz. Sin embargo, no ocurre as con el volumen ya que,para un movimiento monodimensional, la direccin el la que se mueve el

  • 1.11. TENSOR ELECTROMAGNTICO. 31

    volumen se contraera. Si el sistema K0 se mueve a velocidad!v respecto a

    otro sistema K, dV estara ligado a dV0 por la relacin

    dV =dV0

    ; (1.68)

    con lo que

    dV0

    = 0dV0 =) = 0; (1.69)

    indicando que la densidad de carga s varia con el movimiento: Vamos acrear un vector corriente elctrica del universo (tetradimensional) siguiendoel mismo patrn que hemos usado hasta ahora: ligar un escalar y un vector3D con las mismas dimensiones:

    J = 0cu

    c;!j; (1.70)

    que, en coordenadas de Galileo, sera:

    J0 = 0c = c; Ji = 0v

    i = vi: (1.71)

    1.11.4. Primer grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz.

    Recordemos que las ecuaciones de Maxwell inhomogneas eran

    !rot

    !H 1

    c

    @!E

    @t=

    !r !H 1c

    @!E

    @t= 4

    !vc; (1.72)

    div!E =

    !5 !E = 4;que se pueden reescribir como

    @Fi =

    4

    cJ i; (1.73)

    @F0 =

    4

    cJ0;

    y que pueden agruparse en una nica ecuacin,

    @F=4

    cJ ; (1.74)

    la cual es vlida para cualquier sistema de coordenadas del universo.

  • 32 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    1.11.5. Segundo grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz.

    Tomemos ahora las ecuaciones homogneas de Maxwell,

    !rot

    !E +

    @!H

    cdt=

    !r !E + @!H

    cdt= 0: (1.75)

    div!H = 0:

    Si proyectaramos sobre el eje cartesiano OX, tendramos que@EZ@y

    @Ey@z

    +@Hx@t

    = 0 =)@2F12 + @3F12 + @0F10 = 0 =)

    @F i = 0; (1.76)en el universo y despus de sumar las otras proyecciones. Anlogamente, parala segunda ecuacin de (73)

    @Hx@x

    +@Hy@y

    +@Hz

    @z= 0 =) (1.77)

    @1F01 + @2F02 + @3F03 = @iF0i;que, unindola a las anteriores, conduce a la sencilla ecuacin

    @F = 0 ; (1.78)que podemos reescribir en funcin del tensor electromagntico como

    @"F

    ; (1.79)

    vlido en cualquier sistema de coordenadas curvilneo o no. Ahora bien, como@"

    = 0, podemos escribir

    "@F = 0: (1.80)

    Como, adems,@F@x

    = @F = @F ::: F ::: F = F;:: (1.81)Dado que, por simetra, " = 0 = "

    =)@F + @F + @F = 0; (1.82)

    que son las condiciones necesarias y sucientes para que exista ' del uni-verso, tal que su rotacional sea F:

  • 1.11. TENSOR ELECTROMAGNTICO. 33

    1.11.6. Conservacin de la electricidad.

    De las ecuaciones de Maxwell clsicas se deduce que

    @

    @t+!r (!v ) = 0: (1.83)

    Vemos cul sera su forma tensorial en 4D. Para ello conviene recordar que@F

    = 4cJ. Derivando respecto a x,

    @;F =

    4

    c@J

    `: (1.84)

    Como el tensor campo-magntico es antisimtrico, @;F = @;F =0 = 4

    c@J

    ` =)@J

    = 0; (1.85)

    equivalente a (81).

    1.11.7. Densidad de fuerza de Lorentz.

    Consideremos que!K es la densidad de fuerza dada por la teora de

    Maxwell; si!K es la fuerza que se ejerce sobre la cantidad de electricidad

    contenida en la unidad de volumen,

    !K =

    !E +

    !vc!H; (1.86)

    que es la fuerza de Lorentz por unidad de volumen, o densidad de fuerzade Lorentz. Siguiendo el esquema general, vamos a construir el tetravectorpertinente. Empezamos proyectando sobre un eje galileano

    Kx = Ex +

    c(vyHz vzHy); (1.87)

    que, en 4D sera

    K1 =1

    c

    J0F

    01 + J2F21 + J3F

    31=1

    cJF

    1; (1.88)

    Puesto que J1F 11 = 0. Es decir, uniendo las otras dos coordenadas espaciales

    Ki =1

    cJF

    i ; (1.89)

  • 34 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    con i = 1; 3 y = 0; 3. Para completar la anterior ecuacin aadimos

    K0 =1

    cJiF

    0i (1.90)

    que, en coordenadas espaciales de Galileo, sera

    K0 =1

    c!v !E = 1

    c

    !K !v : (1.91)

    Esto se debe a que!K !v =

    !E +

    c!v !H

    !v = !E !v , que es

    realmente una variacin de trabajo por unidad de volumen, o densidad depotencia. Por tanto, salvo el factor c, K0 representa al trabajo por unidad devolumen correspondiente a la densidad de fuerza

    !K . Podemos generalizar a

    K =1

    cJF

    ; (1.92)

    donde K son las componentes del vector densidad de fuerza de Lorentz enel universo, vlidas para cualquier sistema curvilneo. Este vector es perpen-dicular al de densidad de corriente J:

    KJ =1

    cJF

    J = 1cJF

    J = KJ = 0: (1.93)

    1.11.8. Dinmica relativista.

    Cuando uno trata de describir el movimiento de partculas sometidas aacciones externas ha de echar mano a la 2a Ley de Newton d

    !pdt=!F , donde

    !F

    son las fuerzas externas. La generalizacin a partculas relativistas se conocecomo Ley de Minkowskii

    dp

    d= F : (1.94)

    Notemos que hemos derivado respecto al tiempo propio y no respecto alintervalo. Adems, se suele trabajar con densidad de impulso, por lo quela fuerza generalizada 4D realmente es una densidad de fuerza externa. Siutilizamos al tiempo propio como parmetro de integracin, sabiendo que

  • 1.11. TENSOR ELECTROMAGNTICO. 35

    pp = m2oc2;

    dp

    dp + p

    dpd

    = 0 =)

    gdpd

    gp + p

    dpd

    = 0 =)

    dpd

    p + pdpd

    = 0 =)

    pdpd

    = 0: (1.95)

    O bien, p dpd= pF = 0 = m0u

    F =)

    uF = 0; (1.96)

    resultado que ya conocamos.

    Si F =F0;!F, u = dx

    d= (c;!v ), denida respecto al tiempo

    propio, vemos que uF = (cF0 !v !F ) = 0 =)

    F0 =!v !Fc

    : (1.97)

    Si sustituimos en la componente temporal de la ecuacin de Minkowskii,

    dp0d

    = F0 =) 1c

    dE

    d=!v !Fc

    ; (1.98)

    que es trabajo por unidad de tiempo y unidad de volumen realizado por unafuerza externa, dividido por c. Es decir, la densidad de energa, o densidadde trabajo total, sera

    E =

    Z!v !F d: (1.99)

    Como todas las componentes de F estn relacionadas con la velocidad, latetrafuerza suele construirse como

    F = cte Ku ; (1.100)

    donde la constante ha de ser invariante de Lorentz. Dado que uF = 0 =)uK

    u = 0. Para que esto sea cierto K ha de ser antisimtrico. Se podra

  • 36 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    solucionar el problema con el tensor electromagntico, pero es ms correc-to hacerlo a travs de la ecuacin de la fuerza de Lorentz. Por ejemplo, sitomamos la constante igual a q=c, F 1 = q

    cK1u . Si K1 = F 1 =)

    F 1 = q

    E1 +

    1

    c(v2B3 v3B2)

    =

    q

    c

    K10u0 +K

    11u1 +K12u2 +K

    13u3; (1.101)

    que podemos generalizar a

    F i =q

    cF iu = q

    !E +

    1

    c!v !B

    : (1.102)

    Para la componente temporal,

    F 0 =q

    cK0u

    =q

    c

    F 00u0 + F

    01u1 + F02u2 + F

    03u3

    =q

    c(E1v1 + E2v2 + E3v3) =

    q

    c

    !E !v : (1.103)

    En conjunto,

    F =q

    cF u ; (1.104)

    que encierra a la fuerza de Lorentz, cuya parte temporal est relacionada conla variacin de la densidad de energa, y que slo recibe contribuciones delcampo elctrico. Por tanto, la componente temporal de esta fuerza va a serla nica que realice trabajo.La expresin de la fuerza podra ser ms compleja, como

    F = Huu; (1.105)

    donde existen acoplamientos de las velocidades con tensores de orden supe-rior. Por ahora no nos interesa.En general, la trayectoria de una carga se calcula de las cuatro ecuaciones

    de la fuerza

    m0du

    d=q

    cFu: (1.106)

  • 1.12. TRASFORMACINDE LOS CAMPOS ELECTROMAGNTICOS.37

    Clsicamente, para cargas relativistas habra que calcular

    m0d

    dt(!v ) = q(!E +

    !vc!B ); (1.107)

    donde tenemos que derivar la , lo que representa un grave inconveniente.Hasta ahora hemos tratado el caso relativista de una partcula sometida a

    fuerzas externas. Veamos ahora la dinmica de un sistema de partculas,como son los casos de las colisiones, desintegracin,etc. En particular nosinteresan las leyes de conservacin para los procesos de interaccin entrepartculas elementales.El marco natural para estos procesos es la mecnica cuntica relativista

    (RQM), la electrodinmica cuntica (QED) o la cromodinmica (QCD).Nuestra presentacin clsica es til dentro de determinados lmites y comocomparacin con los resultados obtenidos mediante operadores. Pos ejemplo,las fuerzas electrodinmicas no satisfacen el principio newtoniano de accin yreaccin, pero s las leyes de conservacin de impulso y energa. La mecnicaclsica relativista es til para las llamadas interacciones de contacto, queocurren en un punto del universo, pero no para las interacciones de largoalcance. Esto se debe a que, si las partculas interactan e un punto del uni-verso, siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que todasestn simultneamente en reposo. En ese sistema y para el instante en consid-eracin,!v = !0 , con d!v

    dt6= 0. Por tanto, F0 = 0 y!F = !f en dicho sistema.Se

    puede usar el principio de accin y reaccin newtoniano para obtener la leyde conservacin energa-impulso, con

    PNn=1 (p)n independiente del tiempo.

    1.12. Trasformacin de los campos electro-magnticos.

    Los campos electromagnticos se transforman como cualquier tensor alcambiar de sistema de coordenadas,

    F 0 =dy0

    dydy0

    dyF ; (1.108)

    donde dy0

    dyson los elementos de la matriz Jacobiana de la transformacin. En

    nuestro caso, la matriz de transformacin de Lorentz [vase Ec. (25)] conducea:

    F 0 = ApFATp ; (1.109)

  • 38 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Figura 1.7: Carga en movimiento

    que, en notacin de Galileo sera

    !E 0 =

    !E + c

    ! !B

    2

    + 1

    !! !E

    ;

    !B 0 =

    !B ! !E=c

    2

    + 1

    !! !B

    : (1.110)

    1.12.1. Un ejemplo sencillo.

    El caso ms simple que se puede presentar es el de una carga puntualq, movindose en lnea recta con velocidad !v , y que generar un campoelectromagntico en un determinado punto del espacio que tomaremos comoobservador. Llamemos K 0 al sistema propio de la carga, donde ella est enreposo. Por sencillez tomaremos sistemas cartesianos, con la carga movin-dose en la direccin del eje x1, en sentido positivo.

    La distancia ms prxima al observador P a la que pasa la carga es b. En elinstante t = t0 = 0 coinciden ambos sistemas de referencia. Las coordenadas

  • 1.13. TENSOR ENERGA-IMPULSO DEL CAMPO EM. 39

    de P en el sistema K 0 seran:

    x01 = vt0

    x02 = bx03 = 0:

    (1.111)

    Ahora bien, en este sistema la distancia del observador a la carga es r0 =qb2 + (vt0)2 en el instante t0. Para expresar r0 en el sistema K slo hay que

    transformar el tiempo, pues x1 = 0 para el punto P . Es decir,

    t0 = t v

    c2x1= t: (1.112)

    En K 0, donde la carga est en reposo, los campos creados en P sern, en elsistema SI,

    E 01 = qvt0

    40r03E 02 =

    qb40r03

    E 03 = 0B01 = 0 B

    02 = 0 B

    03 = 0:

    (1.113)

    En funcin de las coordenadas de K, las componentes no nulas del camposon

    E 01 = qvt

    40 (b2 + 2v2t2)3=2;

    E 02 =qb

    40 (b2 + 2v2t2)3=2: (1.114)

    Usando la matriz de transformacin de Lorentz llegamos a que

    E1 = E01; E2 = E

    02; B3 =

    cE 02 =

    cE2; (1.115)

    son las nicas componentes no nulas del campo creado por la carga que veel observador.

    1.13. Tensor energa-impulso del campo EM.

    Tambin el procedimiento para generar un tensor del universo es bastantegeneral, pero hay que partir, usualmente de dos vectores. Vamos a considerarque estamos en un medio continuo formado por muchas cargas. Supongamosque conocemos el campo electromagntico F que acta sobre dichas cargas.El medio se encontrar bajo la accin de la densidad de fuerza de Lorentz.

  • 40 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    En mecnica tendramos, para una distribucin de masas, que rP =@P

    = 1c2 (ver apndice). En electrodinmica,

    @P =

    1

    c2K: (1.116)

    Como @F = 4c J, sustituyendo J enK = 1

    cJF

    =) K = 14F@F

    :Integrando por partes el segundo miembro,

    4K = @(FF ) + F @F: (1.117)

    Dado que el tensor F es antisimtrico,

    F @F =1

    2(F @F + F

    @F) =

    1

    2F (@F + @F) : (1.118)

    Como, adems, @F + @F + @F = 0;

    F @F = 12F @F = 1

    4@ (F

    F) =)

    4K = @(FF ) + 14@FF

    : (1.119)

    Cambiando los ndices

    4K = @FF + 1

    4g:: F

    F

    : (1.120)

    Ahora creamos el tensor

    M =1

    4c2

    1

    4g:: F

    F FF : (1.121)

    Este tensor es simtrico, y nos permite escribir la tetradivergencia

    @(P +M) = 0: (1.122)

    Al tensor M se le denomina tensor impulso-energa del campo electromag-ntico, y P +M es el tensor energa-impulso total del medio continuo.Ms adelante volveremos sobre l.

  • 1.14. LAGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNTICO. 41

    1.14. Lagrangiano del campo electromagnti-co.

    Una forma interesante de enfocar los problemas de la electrodinmica esa travs de la formulacin Lagrangiana. Se suelen tomar las distribucionesde carga como contnuas y trabajar con densidades de carga. Para el campoelectromagntico, cuando interacciona con fuentes externas, cargas, etc. elprocedimiento es el siguiente: Los i grados de libertad correspondern a lospuntos x. Las coordenadas generalizadas qi a los potenciales '(x

    ). Porltimo, los momentos generalizados ( o velocidades generalizadas)

    qia los

    gradientes @'(x

    ). Es decir, para un Lagrangiano genrico

    L =nXi=1

    Li(qi;qi) !

    ZL('k; @'k)d3x: (1.123)

    Las ecuaciones de Euler-Lagrange quedarn como

    d

    dt

    @L

    @qi

    !=@L

    @qi=) @ @L

    @ (@'k)=

    @L@'k

    ; (1.124)

    siendo L una densidad Lagrangiana, correspondiente a un Lagrangiano par-cial.Insisto, en un campo electromagntico las coordenadas y velocidades

    vienen sustituidas por el cuadrivector potencial ' y su gradiente @'. Laaccin vendr descrita por

    S =

    ZZLd3xdt = 1

    c

    ZLd4x: (1.125)

    Para que la accin sea invariante L ha de ser una escalar de Lorentz. Poranaloga con el caso de partculas discretas, si el campo es libre, se esperaque L sea cuadrtica en las "velocidades"@' , lo que es la mismo, F:Pero los nicos invariantes de Lorentz cuadrticos son FF y FF.Es decir, L tendr un trmino proporcional a FF. Adems, tendr otrotrmino que incluya las interacciones con las fuentes, densidades de carga, etc.Como estas ltimas vienen descritas por el cuadrivector densidad de corrienteJ(x), para que la interaccin tenga aspecto de energa ha de ocurrir que Lintse comporte como J'. Bajo estas circunstancias se postula que

    L = 0c2

    4FF

    J': (1.126)

  • 42 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Los coecientes y signos proceden de ajustar el Lagrangiano con las ecua-ciones de Maxwell. Para llegar a las ecuaciones de Euler-Lagrange convienereescribir el Lagrangiano como

    L = 0c2

    4gg (@

    ' @') @' @' J' =)@L

    @ (@')= 0c

    2

    4gg

    F

    F + F F :(1.127)

    Como g es simtrico y F antisimtrico, todos los trminos son iguales.Es decir,

    @L@ (@')

    = 0c2F = 0c2F: (1.128)A su vez

    @L@'

    = J; (1.129)con lo que

    0c2@F = J; (1.130)

    que, haciendo un pequeo cambio en los ndices y constantes nos conduce a

    @F = ' = 0J; (1.131)

    que no son ms que las ecuaciones de Maxwell contravariantes no homogneaso ecuaciones del "movimiento". Segn el sistema de unidades la constantepuede aparecer como 4

    csi se utiliza el SI. Las ecuaciones de Maxwell ho-

    mogneas se satisfacen implcitamente pues F se ha construdo a partir delos potenciales ' de forma que

    @J = 0: (1.132)

    1.14.1. Lagangiano de Proca. Efecto de la masa delfotn.

    Las ecuaciones de Maxwell, as como el anterior Lagrangiano, estn planteadassuponiendo que la masa del fotn (portador de la interaccin electromagnti-ca) es nula. Si se incluyera dicha masa m aparecera un nuevo trmino en elLagrangiano (1936):

    LPr oca = 0c2

    4FF

    J' + 0c22

    2''

    ; (1.133)

  • 1.14. LAGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNTICO. 43

    donde = mc=~ es una inversa de longitud (inversa de la longitud de ondade Compton). En ese caso las ecuaciones del "movimiento"de Proca seran

    @F + 2' = 0J; (1.134)

    que puede escribirse como

    ' 2' = 0J; (1.135)recordando que el operador DAlambertiano es =

    @20 ;r2

    . En el lmite

    esttico, independiente del tiempo, tendramos la ecuacin 3D

    r2' 2' = 0J: (1.136)Si la fuente fuese una carga puntual en reposo q, slo se anulara la partetemporal del potencial en el origen '0 = =c. En el resto del espacio elpotencial toma simetra esfrica, anloga a la del potencial de Yukawa

    (x) =q exp(r)40r

    (SI) =q exp(r)

    r(cgs); (1.137)

    que es discontnuo en el origen. Es decir, los potenciales y campos estticosdecrecen exponencialmente cuando se incluye la masa fotnica. En el casohabitual, con m = 0, recuperamos los potenciales Coulombianos ordinarios.

    1.14.2. Tensor de tensiones.

    Recordemos que, en mecnica clsica, el momento cannico de una partcu-la i era

    pi =@L

    @qi

    (1.138)

    y el Hamiltoniano correspondiente al sistema de partculas

    H =Xi

    piqi L: (1.139)

    Para los campos electromagnticos tendremos una densidad hamiltoniana

    H =Xk

    @L@@k@t

    @k@t

    L: (1.140)

  • 44 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Tensor de tensiones cannico.

    La generalizacin del anterior hamiltoniano a 4 variables conduce a

    T =Xk

    @L@ (@k)

    @k gL; (1.141)

    que se conoce como el tensor de tensiones cannico. Veamos por qu. Para uncampo electromagntico libre (sin fuentes externas), la densidad lagrangianaera

    Lem = 0c2

    4FF

    =)

    T =@Lem

    @ (@')@' gLem

    = 0c2gF@' gLem: (1.142)

    Si tomamos nicamente la componente temporal y sustituimos los valores delas componentes galileanas de los campos,

    L = 02

    !E 2 + c2

    !B 2; (1.143)

    obtenemos que

    T 00 =02

    !E 2 + c2

    !B 2+ 0

    !r !E;

    T 0i = 0c!E !B

    i+ 0c

    !r Ai!E;

    T i0 = 0c!E !B

    i+ 0c

    !r !Bi 1c

    @

    @x0(Ei);

    (1.144)

    donde hemos tenido en cuenta que!r !E = 0 y !r!B = 1

    c@!E

    @x0para el campo

    libre.Si los campos estn localizados en una regin nita del espacio, las inte-

    grales extendidas a todo el espacio de T 00 y T 0i en un inercial dado conducen,mediante el teorema de la divergencia o de Gauss generalizado, aZ

    T 00d3x =02

    Z !E 2 + c2

    !B 2d3x; (1.145)

  • 1.14. LAGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNTICO. 45

    que es la energa total Ecampo del campo. Por tanto T 00es una densidad deenerga. Z

    T 0id3x = 0c

    Z !E !B

    id3x = cpicampo; (1.146)

    o momento total del campo. Hemos despreciado los trminos 0R !r!E d3x

    y 0cR !r Ai!E d3x pues, para ellos se utiliza el teorema de Gauss por ser

    dos divergencias. Las dos integrales de superfcie en el innito a las que se lle-ga son nulas ya que campos y potenciales son nulos en el innito. Adems, siderivamos T respecto a una de sus componentes (divergencia) obtenemos,para un sistema de k cargas,

    @T =

    Xk

    @

    "@L

    @@'k

    @'k# @L: (1.147)

    Como tambin hay una suma en , por ser ndice mudo, abreviaremos escri-biendo 'k = k. Por lo tanto,

    @T =

    Xk

    @

    @L@ (@k)

    @k +@L

    @ (@k) @ (@k)

    @L

    = @L (k; @k) @T = 0:Por lo tanto,

    @T = 0: (1.148)

    Si = 0 (componente temporal), entonces ddtECampo = 0 y ddt!p campo = 0 (teo-

    rema de Poynting). Pero la arriba comentado slo es vlido para un inercialdeterminado pues las integrales expuestas no se transforman educadamenteentre distintos inerciales, conduciendo a resultados no vlidos. Vamos a tratarde resolver este inconveniente.

    Tensor de tensiones simtrico.

    A la hora de trabajar con l, T presenta el inconveniente de no sersimtrico y de conducir a expresiones no habituales de la energa y el mo-mento. Supongamos que consideramos el momento cintico del campo, dadopor

    !L =

    Z!x

    !E !B

    dx3 (1.149)

  • 46 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    en coordenadas de Galileo. La densidad de momento cintico ser!L = !x !

    E !B. Como

    !E !B tambin son trminos de T, excepto divergencias

    despreciables o nulas, creamos un tensor de tercer orden

    M = Tx Tx (1.150)con la condicin adicional de tener divergencia nula @M = 0 para quese conserve el momento cintico total. Como vemos, las divergencias nulasestn ligadas de forma natural con cantidades que se han de conservar. Esdecir,

    @Tx + T (@T)x T = 0: (1.151)

    Esto es de cajn de madera de tabla ya que @x

    @x= : Como @T

    = 0, esevidente que T T = 0. Es decir, ha de ser simtrico, cosa que no erainicialmente. Para simetrizarlo se construye un nuevo tensor simtrico,de traza nula, y que sea invariante bajo transformaciones de Lorentz, cosaque no es T. Lo habitual es sustituir @' = F + @', de forma que

    T =

    gFF

    +1

    4gFF

    gF@'; (1.152)

    donde hemos tomado unidades atmicas (c = 1, 0 = 1). Adems,

    gF@' = F @' TD= F @'

    + '@F

    = @F '

    (1.153)

    donde TD satisface que @TD = 0 =)ZZZ

    T 0D d3x =

    ZZ@T

    D d

    2x = 0 (1.154)

    por el teorema de Gauss generalizado. Por lo tanto, el tensor de tensionessimtrico a crear es

    = T TD = gFF +1

    4gFF

    : (1.155)

    Recordemos que le tensor energa-impulso electromagntico era

    T;elect =1

    4

    FF +

    1

    4 FF

    ; (1.156)

  • 1.14. LAGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNTICO. 47

    que nos indica que ambos tensores son la misma cosa, salvo constante quedepende del sistema de unidades. Sustituyendo el tensor electromagnticovemos que

    00 =1

    2

    !E 2 + c2

    !B 2= u, densidad de energa,

    0i =!E !B = c!g , vector de Poynting,

    ij = EiEj + c

    2BiBj 12ij

    !E 2 + c2

    !B 2

    : (1.157)

    que, en forma matricial tiene por componentes

    =

    0BB@u cg1 cg2 cg3cg1 T (M)11 T (M)12 T (M)13cg2 T (M)21 T (M)22 T (M)23cg3 T (M)31 T (M)32 T (M)33

    1CCA ; (1.158)siendo T (M)ij el tensor electromagntico de Maxwell y !g el vector de Poynt-ing. O sea,

    =

    u c!gc!g T (M)ij

    (1.159)

    Adems, como se ha de cumplir que @ = 0, para = 0,

    @0 =

    @u

    @t+!r !g = 0; (1.160)

    expresin conocida como teorema de Poynting. Para = i,

    @i =

    @gi@t

    3Xj=1

    @

    @xjT (M)ij; (1.161)

    que son las leyes de conservacin del campo en ausencia de fuentes.Si existieran fuentes el Lagrangiano sera, como hemos visto, L = 1

    4FF

    J'

    . El tensor de tensiones simtrico tendra el mismo aspecto pero elacoplamiento con la fuente, dado por la corriente, conduce a que la divergen-cia no es nula:

    @ = @

    FF

    +1

    4@FF

    = (@F)F + F@

    F +1

    2F@

    F : (1.162)

  • 48 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    Como, por las ecuaciones de Maxwell inhomogneas, @F = J, tendremosque

    @ + F J = F

    @F + @F

    = 0 (1.163)

    por ser el producto contrado en ; de un ente antisimtrico por otro simtri-co. Por lo tanto,

    @ = F J = f; (1.164)

    que es la densidad de fuerza de Lorentz. Esta ecuacin tiene por componentesa:

    Componente temporal,@u

    @t+!r !s = !j !E : (1.165)

    Componentes espaciales,@gi@tXj

    @

    @xjT(M)ij = Ei

    !j !B

    i;

    que no son ms que una generalizacin de las ecuaciones de continuidad.

    1.14.3. Solucin de la ecuacin de ondas tetradimen-sional. Funciones de Green invariantes.

    Cuando existen fuentes externas (cargas), la ecuacin de continuidad era

    @F = 0J

    (o4

    cJ): (1.166)

    Si escribimosF = @' @'; (1.167)

    y derivamos nuevamente respecto a x

    ' @ (@') = 0J: (1.168)Si se cumpliera la condicin de Lorentz @' = 0, entonces

    '(x) = 0J(x): (1.169)

    La anterior ecuacin es una ecuacin de ondas de Poisson (inhomognea)tetradimensional. Buscamos una solucin a travs de las funciones de Green,dejando a 0J

    (x) como una perturbacin. Para una inhomogeneidad uni-taria,

    xD(x; x0) = (4)(x x0); (1.170)

  • 1.14. LAGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNTICO. 49

    siendo x; x0 tetravectores y la funcion de distribucin de Dirac

    (4)(x x0) = (x0 x00)(!x !x): (1.171)Si el Universo no est limitado, la funcin de Green slo puede depender

    de la diferencia entre posiciones z = x x0, es decir, de la distancia entrela fuente (x0) y el observador (x). As,

    D(x; x0) = D(x x0) = D(z) =)zD(z) = (4)(z0): (1.172)

    En este punto conviene hacer la transformada de Fourier de la ecuacin deondas

    D(z) =1

    (2)4

    ZD(k) exp(ik z)d4k; (1.173)

    con la k tetradimensin, al igual que z, y

    k z = kz = k0z0 !k !z : (1.174)Por otra parte

    (4)(z) =1

    (2)4exp(ik z)d4k; (1.175)

    tranformada TF de la unidad, con lo que, operando,

    D(k) =ZD(z) exp(ik z)d4z =)Z

    zD(z)eikzd4z =Z(4)(z) exp(ik z)d4z = 1

    = k kZD(z) exp(ik z)d4(z): (1.176)

    Es decir,

    D(k) = 1k k =

    1

    k20 ! 2: (1.177)

    Deshaciendo la transformada,

    D(z) = 1(2)4

    Zexp(ik z)

    k k d4k

    = 1(2)4

    Zexp(i! !z )d3

    Z 11

    exp(ik0z0)k20 j! j2

    dk0; (1.178)

  • 50 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    siendo ! la parte espacial del tetravector k y = j! j :La integral tiene dos polos en k0 = . Utilizando el teorema de los

    residuos, para z0 > 0,Ir

    exp(ik0z0)k20 j! j2

    dk0 = 2sin(z0): (1.179)

    donde z0 = x0 x00; z0 > 0 corresponde al resultado retardado r. Pasando aesfricas, por conveniencia,

    D(z) =(z0)

    (2)3

    Zexp(i! !z )sin(z0)

    d3k

    =(z0)

    22R

    Z 10

    sin(R) sin(z0)d

    =(z0)

    22R

    Z +11

    ei(z0R) ei(z0+R) d; (1.180)

    donde R = j!z j = j!x !x 0j y d3 = 2 sin ddd:Las integrales que quedan son de Dirac, es decir

    Dr(z) = Dr(x x0) = (x0 x00)

    4R(x0 x00 R): (1.181)

    Esta es la funcin de Green retardada o causal, puesto que el instante x00 dela fuente es anterior al instante x0 del observador. Para z0 < 0 tenemos que

    Da(z) = Da(x x0) = (x00 x0)4R

    [(x0 x00 R) (x0 x00 +R)] ;(1.182)

    que es la funcin de Green avanzada. Las funciones de Green pueden ree-scribirse aprovechando sus propiedades, de tal forma que, como

    [g (x)] =Xn

    1

    jg0 (xn)j (x xn) ; (1.183)

    donde las xn son las raices de g (x). As, si g (x) = (x a) (x b) =) [g (x)] = [x2 x(a+ b) + ab] = 1

    ab [ (x a) + (x b)]. Otro caso par-ticular es el de g (x) = ax =) (ax) = 1jaj (x) : Y, para el caso que nosatae,

    h(x x0)2

    i=

    h(x0 x00)2 j!x !x 0j2

    i= [(x0 x00 R) (x0 x00 +R)]=

    1

    2R[ (x0 x00 R) + (x0 x00 +R)] : (1.184)

  • 1.14. LAGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNTICO. 51

    Por lo tanto, podemos escribir que

    Dr(x x0) = 12 (x0 x00)

    h(x x0)2

    i;

    Da(x x0) = 12 (x00 x0)

    h(x x0)2

    i: (1.185)

    Estas expresiones son invariantes de Lorentz por serlo las funciones escaln y de Dirac. Los potenciales sern

    '(x) = 'ent(x) + 0

    ZDr(x x0)J(x0)d4x0;

    '(x) = 'sal(x) + 0

    ZDa(x x0)J(x0)d4x0; (1.186)

    siendo 'ent(x) y 'sal(x) las soluciones de la ecuacin homognea (DAlambert).

    Esta ltima suele resolverse por separacin de variables en cada caso.Cuando resulta que x0 !1, se anula la integral extendida a las fuentes,

    pues se supone que stas estn localizadas en el espacio y el tiempo, ya quela funcin de Green es retardada. Por ello la funcin 'ent(x) tiene sentido depotencial entrante, dado para x0 ! 1. 'sal(x) es un potencial asintticosaliente para 'sal(x). Los campos de radiacin se denen como

    'rad(x) = 'ent(x) 'sal(x)

    = 0

    ZD(x x0)J(x0)d4x0; (1.187)

    conD(z) = Dr(z)Da(z): (1.188)

    El ejemplo clsico que suele utilizarse es el una partcula cargada movin-dose a lo largo de una trayectoria cualquiera. Si la partcula fuera puntual,con carga e y posicin !r (t) en un inercial K, las densidades de carga ycorriente seran

    (!x ; t) = e [!x !r (t)] ;!J (!x ; t) = e!v (t) [!x !r (t)] ; (1.189)

    con !v (t) = d!r (t)dt

    en el sistema K. Utilizando el tiempo propio en vez dela variable t, y pasando al universo 4D,

    J(x) = ec

    ZU()4 [x r()] d ; (1.190)

  • 52 CAPTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

    siendo U() = @x

    @= @x

    @tdtd= (c;!v ), con r = [ct;!r (t)] en K. Por lo

    tanto,

    'rad(x) = 0ec

    ZD(x x0)U () 4 [x r ()] d4x0: (1.191)

    Ms adelante veremos cmo se resuelve este problema que conduce a los po-tenciales de Lienard-Wiechert y los campos generados por una carga puntual.

  • Captulo 2

    Colisiones entre partculascargadas.

    Vamos a estudiar la transferencia de energa desde partculas cargadas aun medio material, formado tambin por cargas. El tratamiento clsico estformado por un conjunto de aproximaciones, debidas fundamentalmente aBohr, y realizadas en el primer cuarto del siglo XX. Un estudio ms minu-cioso acarrea el tratamiento mecanocuntico relativista. Sin embargo, dentrode ciertos mrgenes de validez, los resultados son bastante aceptables. Bsi-camente, estudiaremos las colisiones de partculas cargadas a alta velocidadcon otras cargas.

    2.1. Colisiones de Coulomb.

    Esencialmente tendremos como proyectil a una partcula cargada de masaM y carga ze. Como blanco empezaremos analizando a los electrones de untomo hipottico, con masa (la del electrn, listos) m > !v electron orbital. Esta aproximacines interesante pues permite considerar al electrn como si estuviera en re-poso en su rbita. Esta es la primera aproximacin que vamos a usar, conlos electrones como si fueran libres.Por otra parte se considera que la transferencia de momento p es pe-

    quea. Es decir, el proyectil M se desva poco de su trayectoria al colisionar,y que el electrn que hace de vctima se mueve de forma despreciable, den-tro de su rbita, durante el tiempo de colisin. Para ello el proyectil ha de

    53

  • 54 CAPTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTCULAS CARGADAS.

    Figura 2.1: Colisin de una partcula cargada con un electrn.

    pasar a cierta distancia del blanco. Esta el la segunda aproximacin. Comovemos, ambas aproximaciones son bastante drsticas, pero servirn de puntode partida.Para calcular la transferencia de energa del proyectil al blanco slo se

    requiere calcular el impulso causado por el campo elctrico generado por Men la posicin de electrn m. Supongamos al electrn en reposo. El problemapara calcular los campos es anlogo al plantado en el apartado 1.12.1. Parala partcula de masa M , movindose con velocidad !v , la energa total esE = mc2. Esta partcula pasa a una distancia b del electrn, distanciaconocida como parmetro de impacto. Los campos que creaM en la posicindel electrn sern, en el sistema SI,

    E1 = E01 =

    zevt

    40(b2+2v2t2)3=2 ;

    E2 = E02 =

    zeb

    40(b2+2v2t2)3=2 ;

    E3 = 0:

    (2.1)

    Consideraremos despreciable al campo magntico creado porM en la posicindel electrn. La fuerza creada por los campos sobre el electrn ser

    !f =

    d!pdt

    = e!E; (2.2)

  • 2.1. COLISIONES DE COULOMB. 55

    Figura 2.2: Variacin del impulso en la colisin.

    con lo que la variacin del impulso del proyectil vendr dado por

    !p =Z +11

    e!E (t)dt = e

    Z +11

    eE2!j (t)dt; (2.3)

    puesto que la integral de la otra componente, E1, es nula por simetra. Esdecir,

    p =2ze2

    40bv; (2.4)

    que es independiente de . La energa transferida al electrn viene dada por

    E(b) = (p)2

    2m=

    z2e4

    8220mv2

    1

    b2

    : (2.5)

    La desviacin angular de la partcula pesada incidente viene dada, enprimera aproximacin y para pequeas desviaciones, por la relacin = p

    p,

    donde hemos considerado que tan para p p. Por lo tanto,

    ' ze2

    20pvb: (2.6)

    Para partculas no relativistas nos encontramos con la dispersin de Ruther-ford, donde la desviacin es mayor. Recordemos que esta dispersin se deba

  • 56 CAPTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTCULAS CARGADAS.

    a la colisin con blancos pesados (partculas contra ncleos de oro z0e), nohabiendo transferencia de energa por choques con electrones. El ngulo dedispersin vena dado por

    2 tan

    2=

    zz0e2

    20pvb; (2.7)

    expresin que coincide con la anterior para ngulos muy pequeos.Como vemos, la transferencia de energa depende de la carga y la velocidad

    de la partcula incidente, pero no de su masa. Vara de forma inversamenteproporcional al cuadrado del parmetro de impacto. Esto sugiere que se hade imponer un lmite a este parmetro para evitar las divergencias e innitos,ya que, para choques frontales la transfrencia de energa sera innita. Ob-viamente eso es imposible. Nuestro planteamiento slo es cierto para valoresde b apreciables. La transferencia de energa viene acotada por

    Emax ' 22v2me = E(bmn); (2.8)para M me, segn el problema (11.23) del Jackson. Haciendo un acto defe (o resolviendo el problema). Para M = me, Emax ( 1)me:

    bmn =ze2

    40mv2: (2.9)

    El tratamiento geomtrico exacto de la energa cedida sera

    E (b) ' z2e4

    8220mv2

    1

    b2mn + b2

    ; (2.10)

    que estara acotado cuando b ! 0, reducindose al arriba calculado parab bmn:Existe otra forma clsica, ms correcta, de calcular el parmetro de im-

    pacto mnimo. Consiste en no suponer que el electrn est jo durante eltiempo de colisin, sino que recorre cierta distancia d. Si d b, las ante-riores expresiones para la transferencia de energa son aceptables. El valorde d puede obtenerse considerando que la velocidad media que adquiere elelectrn durante el choque viene dada por hvei = p2m . Si la colisin dura untiempo aproximado de t ' b

    v, tiempo en el que el proyectil M est en el

    entorno del electrn, la distancia recorrida por ste e puede estimarse por

    d hveit = p2m

    t = p2m

    b

    v

    =ze2

    40mv2= bmn: (2.11)

  • 2.1. COLISIONES DE COULOMB. 57

    Es decir, si b d, las expresiones (179) y (184) son vlidas. Como podemosobservar, el choque frontal es imposible en nuestro caso y habra que estudi-arlo de otra forma.

    A su vez, la anterior aproximacin tampoco es vlida para parmetros deimpacto grandes, pues no podramos considerar libres a los electrones, sinoligados a sus rbitas atmicas a causa del enlace. Slo si el tiempo de col-isin es muy pequeo (choque brusco) el electrn puede tratarse como libre.Si el tiempo de colisin es grande, el electrn realizar hasta varias rbitasmientras el proyectil pasa en su entorno (proyectil lento). El tratamiento eneste caso es el conocido como Aproximacin Adiabtica. En pocas palabras,tambin existe un parmetro de impacto mximo, bmax, para el cual el tiem-po de colisin t es del orden del perodo T = 2

    !de una rbita. Si ! es la

    frecuencia orbital, la condicin anterior puede expresarse como

    t(bmax) 1!=) bmax v

    !: (2.12)

    Para b > bmax la transferencia de energa disminuye rpidamente, tendiendoa cero cuando b bmax, donde el tomo es transparente a los proyectiles(aproximacin adiabtica).

    En realidad, cuando una partcula rpida atraviesa la materia se encuen-tra con una coleccin de electrones ubicados a diferentes distancias de latrayectoria del proyectil. Si la densidad atmica es N (no de tomos porunidad de volumen) y existen Z electrones por cada tomo, el nmero deelectrones localizados de tal forma que sus parmetros de impacto esten com-prendidos entre b y b+ db, en un trozo de materia de largo dx, ser

    dn = NZ2bdbdx:

    La prdida de energa por unidad de distancia recorrida dentro del mate-rial ser

    dEdx= 2NZ

    ZE(b)bdb: (2.13)

  • 58 CAPTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTCULAS CARGADAS.

    Figura 2.3: Porcin de materia en torno a la trayectoria de un proyectil,

    Utilizando las aproximaciones anteriores para la transferencia de energa,

    dEdx

    ' NZ40

    z2e2

    mv2

    Z bmaxbmn

    1

    b2bdb

    =NZ

    40

    z2e2

    mv2ln bbmaxbmn

    =NZ

    40

    z2e2

    mv2ln

    bmaxbmn

    =

    NZ

    40

    z2e2

    mv2ln

    420

    2mv3

    ze2!

    ; (2.14)

    Resultado clsico de Bohr (1915). El lmite superior slo es aproximado ytrataremos de ajustarlo mejor. El lmite inferior debera calcularse cunti-camente, teniendo en cuenta el Principio de Incertidumbre y la naturalezaondulatoria de las partculas. Si conociramos la velocidad del proyectilM , suposicin estara deslocalizada. Lo que es peor, los proyectiles tambin puedenencontrar en su trayectoria ncleos ms pesados que ellos, en cuyo caso, envez de transferencia de energa se produce dispersin de Rutherford.

  • 2.1. COLISIONES DE COULOMB. 59

    Figura 2.4: Energa transferida en funcin del parmetro de impacto.

  • 60 CAPTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTCULAS CARGADAS.

    Figura 2.5: Electrn ligado armnicamente a un ncleo

    2.1.1. Transferencia de energa a una carga ligada ar-mnicamente.

    Cuando b < bmax, los electrones pueden considerarse libres. Por otra parte,cuando b > bmax, los electrones son vistos por el proyectil como ligados al n-cleo. Utilizando la aproximacin adiabtica puede verse que la transferenciade energa es casi nula en este caso. Para estudiar el lmite bmax analizaremosla colisin de un proyectilM , ze con un electrnm, e, ligado armnicamentea un ncleo. Obviamente, es un modelo muy simplicado de la interaccinpartcula-materia. Al igual que en el caso anterior supondremos que el proyec-til se desva poco de su trayectoria, la cual consideramos recta.El parmetrode impacto b lo mediremos desde el punto O, origen de la fuerza armnica.Ahora nos interesan b grandes, para que el proyectil pueda "ver"que el elec-trn est ligado a su ncleo, con transferencias de energa no muy grandes. Laamplitud de la oscilacin es pequea frente a b, y el movimiento del electrn,!x (t) es no relativista. En este caso incluiremos slo el campo elctrico creadopor M , despreciando su variacin en la posicin O. Es decir tomaremos slosu valor efectivo en el origen. Esta es la conocida por Aproximacin Dipolar,en analoga con la interaccin radiacin-materia.

  • 2.1. COLISIONES DE COULOMB. 61

    La ecuacin del movimiento electrnico es

    !x (t) + !x (t) + !20!x (t) =

    e

    m

    !E (t); (2.15)

    siendo!E (t) el campo creado por el proyectil ze en O, !0 es la frecuen-

    cia propia de oscilacin del electrn y una pequea constante de amor-tiguamiento que se introduce para evitar la singularidad (resonancia) queaparece al resolver la ecuacin. Los puntos indican derivacin respecto altiempo.Si transformamos por Fourier la ecuacin diferencial (189),

    !x (t) = 1p2

    Z +11

    !x (!)ei!td!;!E (t) =

    1p2

    Z +11

    !E (!)ei!td!: (2.16)

    Si !x (t) e !E (t) son reales, !x (!) = !x (!) y !E (!) = !E (!); con lo que!x (t) = i!p

    2

    Z +11

    !x (!)ei!td!;!x (t) = !

    2

    p2

    Z +11

    !x (!)ei!td!; (2.17)

    con lo que

    !x (!) !

    2

    p2 i!p

    2+

    !20p2

    = e

    m

    1p2

    !E (!) : (2.18)

    Despejando,

    !x (!) = em

    !E (!)

    !20 i! !2: (2.19)

    Si conociramos analticamente a!E (t) no habra problema para calcular!x (t), siempre que las integrales a realizar sean factibles. Pero no nos interesa

    saber cul es el movimiento del electrn, sino la trasferencia de energa querecibe del proyectil. Esta puede calcularse a travs del trabajo realizado porel proyectil M sobre el blanco m. La variacin del trabajo (o velocidad con

  • 62 CAPTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTCULAS CARGADAS.

    la que acta) es:

    dEdt

    =!f d

    !xdt

    =!f !v e =

    Z !E !J d3x0

    =) E =Z +11

    dt

    Z !E !J d3x0; (2.20)

    con!J = e!v e (!x !x 0(t)), ya que la fuente de la corriente es el electrn.

    Utilizando la denicin de la de Dirac,

    E = eZ +11

    dt

    Z !E (t) !v e (!x !x 0(t)) d3x0

    = eZ +11

    dt

    Z !E (t)

    i!p

    2

    Z +11

    !x (!)ei!td! (!x !x 0(t)) d3x0

    = 2eRe

    Z +11

    i!!x (!) !E (!) d!: (2.21)

    Sustituyendo !x (!) y, teniendo en cuenta que no existen frecuencias negati-vas,

    E = e2

    m

    Z 10

    !E (!)2 2!2(!20 !2) + !22

    d!; (2.22)

    que es una Lorentziana centrada en !0, de anchura y altura!E (!)2. Para

    un campo jo la integral est tabulada y es independiente de !0 y : Engeneral, para pequeas (Lorentzianas muy estrechas) se puede integrar enun entorno estrecho del pico, llegando a

    E = 2e2

    m

    !E (!0)2 Z 10

    x2dxh!202 x2

    i2+ x2

    ; (2.23)

    donde x = !. Esta integral est tabulada dando

    E = e2

    m

    !E (!0)2 : (2.24)Vemos que el resultado es independiente deM , z, . Es decir, que el resultadoes igualmente vlido para fotones.

  • 2.1. COLISIONES DE COULOMB. 63

    Si retomamos el valor del campoE2(t), calculado para colisiones de Coulomb,su transformada de Fourier es

    E2(!) =zeb

    40p2

    Z +11

    ei!tdt

    (b2 + 2v2t2)3=2(2.25)

    Haciendo el cambio x = vt=b,

    E2(!) =ze

    40vbp2

    Z +11

    ei!bx=v

    (1 + x2)3=2dx

    =ze

    40vb

    2

    1=2 !b

    vK1

    !b

    v

    ; (2.26)

    siendo K1 la funcin modicada de Bessel de orden 1. Anlogamente,

    E1(!) =ize40vb

    2

    1=2 !b

    vK0

    !b

    v

    : (2.27)

    Ahora se puede calcular de forma explcita la energa cedida al electrn:

    E(b) = z2e2

    8220mv2

    1

    b2

    "2K21 () +

    2

    2

    2

    K20 ()

    #; (2.28)

    con = !0b

    v= b

    bmax.

    Vemos que el factor que multiplica el corchete es el que habamos calcu-lado en la primera aproximacin. Se pueden calcular los lmites del corchetepara las expresiones asintticas desarrolladas de las funciones de Bessel mod-icadas. Es decir, para 1 y 1, ya que si b bmax =) ! 0 y sib bmax =) !1. Por tanto,

    lm!0

    "2K21 () +

    2

    2

    2

    K20 ()

    #= 1; para 1;

    lm!1

    "2K21 () +

    2

    2

    2

    K20 ()

    #=

    1 +

    1

    2

    2e2: (2.29)

    Como = bbmax

    = !0b

    v, para b bmax la transferencia de energa viene

    dada por la primera aproximacin que hicimos. Cuando b & bmax, la energatransferida decae exponencialmente.

  • 64 CAPTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTCULAS CARGADAS.

    2.2. Frmulas de la prdida de energa.

    2.2.1. Frmula clsica.

    Supongamos que trabajamos con un material que tiene N tomos porunidad de volumen. Que cada uno de estos tomos tiene Z electrones, todosellos oscilando armnicamente, de los cuales fj oscilan con frecuencia !j. Afj se le conoce como intensidad de oscilador. Es obvio queX

    j

    fj = Z: (2.30)

    Si un proyectil cargado recorre una distancia dx dentro de la materia, laprdida de energa del proyectil ser en ese trayecto

    dEdx= 2N

    Xj

    fj

    Z 1bmn

    Ej(b)bdb; (2.31)

    donde

    Ej(b) = z2e4

    8220mv2

    1

    b2

    "2jK

    21

    j+2j

    2j

    2

    K20j#; (2.32)

    con j =!jb

    jv:

    Lo normal es no indicar el lmite superior de integracin, integrando hasta1, puesto que hemos visto que las integrales tienden rpidamente a cero apartir de cierto valor. Realizando las integrales de las funciones de Bessel,

    dEdx=

    Nz2e4

    4220mv2

    Xj

    fj

    2mnK1 (mn)K0 (mn)

    v2

    2c2mn

    K21 (mn)K20 (mn)

    ;

    (2.33)donde mn =

    !jbmn

    jv

    : Como mn 1, podemos usar los lmites asintticos delas funciones de Bessel modicadas, con lo que

    dEcdx

    =NZz2e4

    420mv2

    lnBc v

    2

    2c2

    ; (2.34)

    dnde el subndice c hace referencia a que la expresin es clasica. En laanterior expresin

    Bc =1;123c

    h!i bmn =1;123 402mv3

    ze2 h!i =bmnbmax

    ; (2.35)

  • 2.2. FRMULAS DE LA PRDIDA DE ENERGA. 65

    frmula de Bohr (1915), en la que la frecuencia media h!i no es ms que unamedia geomtrica dada por

    h!i = ZsY

    j

    !fjj =) Z ln h!i =

    Xj

    fj ln!j: (2.36)

    2.2.2. Frmula cuntica.

    Los resultados obtenidos mediante la anterior expresin son bastanteaceptables para proyectiles como partculas o ncleos pesados pero lentos.Si el bombardeo se realiza con proyectiles pequeos los resultados son lamenta-bles ya que se requiere un anlisis mecanocuntico del problema. Esto se debe,bsicamente, a que:1. La transferencia de energa ha de ser discreta.2. Interviene el Principio de Incertidumbre, debido a la naturaleza ondu-

    latoria de las partculas.Si suponemos que slo existe una nica frecuencia de oscilacin para loselectrones, como sera una nube de hidrgeno, la transferencia de energasera, cuando se bombardea con pertculas rpidas, E(bmax) ~!0, donde!0 es la frecuencia de enlace del hidrgeno. Con lo cual jams se absorberaenerga por los electrones del hidrgeno y ste no se enterara de que lo estnbombardeando. sto es experimentalmente falso, por lo que las expresionesde Bohr no son vlidas para proyectiles ligeros. Para ser ms exactos,

    E(bmax) 1

    2z2v0v

    4~!0

    h!0IH

    ; (2.37)

    donde IH = 13;6 eV ( potencial de ionizacin de l hidrgeno) y v0 = c=137(velocidad del electrn en el hidrgeno).Cunticamente, el estudio de la transferencia de energa ha de hacerse

    estadsticamente, calculndose una transferencia media de energa en un grannmero de impactos, la mayora de los cuales no son efectivos. Aqu es dondeentra en juego el trmino de seccin ecaz de dispersin del proceso. Msadelante retomaremos el trmino. Pero hay que tener en cuenta que, parapoder hacer una comparacin entre resultados clsicos y mecanocunticos,cantidades como fj y !j han de calcularse cunticamente y llevarlas despusa las expresiones clsicas.Por otra parte sabemos, por el Principio de Incertidumbre, que x &

    ~=p. En cuanto el parmetro de impacto b sea menor que ~=p no se

  • 66 CAPTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTCULAS CARGADAS.

    pueden hacer aproximaciones clsicas. Es decir, x & ~=p determina elparmetro de impacto mnimo.Es ms, en la colisin de una partcula pesada con otra ligera (como el

    electrn), el centro de masas (CM) est, aproximadamente, en el entorno dela partcula pesada. En este sistema CM el proyectil estar en reposo, perono el blanco. El momento electrnico ser

    p = hp0i = m hvi (2.38)siendom la masa electrnica y hvi el valor esperado de la velocidad del proyec-til. A travs del Principio de Incertidumbre obtenemos que el parmetro deimpacto mnimo cuntico es

    bqmn =~

    m hvi : (2.39)

    Si los proyectiles son ligeros (electrones), el sistema de centro de masas noest localizado en ninguna partcula, sino ms bien entre ambas. En este caso

    la transferencia de momento al blanco sera p = mcq

    12, y

    [bqmn]elec =~mc

    r2

    1 : (2.40)

    Para proyectiles pesados, la relacin entre las expresiones clsica y cunticade bmn es

    =ze2

    40~ hvi ; (2.41)

    es decir, si > 1 se pueden utilizar las expresiones clsicas. En el casocontrario, si < 1, lo anterior no es posible . Si denimos

    Bq =bqmaxbqmn

    = Bc =

    hvi = h!i~=m hvi =

    2m hv2i~ h!i ; (2.42)

    llegamos a que

    dEqdx

    =NZz2e4

    420m hvi2"ln

    22m hvi2~ h!i

    ! hvi

    2

    c2

    #; (2.43)

    expresin calculada por el recientemente fallecido (Marzo 2005) Hans Betheen 1930.

  • 2.3. EFECTO DE LA DENSIDAD DEL MEDIO. 67

    Figura 2.6: Energa perdida por unidad de recorrido en funcin de la energacintica adimensional

    Para proyectiles ligeros (electrones) la cosa cambia. Con algo de pacienciase llega a que

    Bel ( 1)r

    + 1

    2

    mc2

    ~ h!i ; (2.44