ek4218 modul matematika gasal-2011-2012 (all class)

FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS KRISTEN PETRA

Hatane Semuel

TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI, DAN STATISTIKA

• Teori Ekonomi mengungkapkan hubungan antar variabel ekononomi secara kualitatif

• Misalnya, jika harga naik/turun kuantitas permintaan berkurang/naik

• Teori Ekonomi tidak memberikan ukuran kekuatan hubungan secara tegas antara variabel ekonomi tersebut.

• Matematika Ekonomi dapat membantu menyederhanakan hubungan tersebut dalam model matematika, misal Q = f(P), dengan Q adalah kuantitas permintaan dan P harga yang kemudian dapat diperjelas dengan model linear Q = a + bP

• Sehingga model teori ekonomi yang kualitatif dapat didekati dengan model kuantitatif matematika.

TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI DAN STATISTIKA

• Menemukan nilai parameter a dan b dalam persamaan matematika Q = a + bP di atas dapat didekati dengan konsep matematika maupun statistika

• Untuk itu dalam matematika ekonomi perlu dipelajari konsep-konsep persamaan, pertidaksamaan, dan konsep lainnya yang dibutuhkan.

PERSAMAAN DERAJAT SATU DENGAN SATU VARIABEL

• SEBUAH PERNYATAAN PERSAMAAN ADALAH KESAMAAN DARI DUA EKSPRESI ALJABAR, DAPAT DINYATAKAN DALAM SATU ATAU LEBIH VARIABEL

sebagai contoh :3x – 10 = 22 – 5x (satu variabel derajat satu)

(tiga variabel derajat satu)

w2 – 5w = -16 (satu variabel derajat 2)

1003

852=

+− tsr

JAWABAN PERSAMAAN

• JAWABAN DARI SEBUAH PERSAMAAN TERDIRI ATAS ANGKA ATAU BILANGAN, KETIKA DISUBSTITUSI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN AKAN MENJADI BENAR

• BILANGAN ATAU NILAI DARI VARIABEL YANG MEMBUAT PERSAMAAN ITU MENJADI BENAR DISEBUT DENGAN AKAR PERSAMAAN

IDENTIFIKASI JENIS PERSAMAAN

• PERSAMAAN YANG BENAR UNTUK SETIAP NILAI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN

5(X+Y) = 5X + 5Y• PERSAMAAN YANG HANYA MEMPUNYAI NILAI

TUNGGAL UNTUK VARIABELX + 3 = 5

• PERSAMAAN YANG MERUPAKAN PERNYATAAN YANG SALAH, TIDAK TERDAPAT SATU NILAIPUN YANG MEMENUHI

X = X + 5

ATURAN MANIPULASI PERSAMAAN

• NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA KEDUA SISI PERSAMAAN DITAMBAH DENGAN BILANGAN YANG SAMA

• NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA KEDUA SISI PERSAMAAN DIKALIKAN ATAU DIBAGI DENGAN BILANGAN KONSTAN YANG SAMA (≠ 0)

• KEDUA SISI PERSAMAAN DIKUADRATKAN ATAU DIAKARKAN ATAU DILAKUKAN OPERASI YANG SAMA (LOGARITMA)

• KEDUA SISI PERSAMAAN DAPAT DIBAGI DENGAN VARIABEL YANG SAMA, DENGAN SYARAT NILAINYA ≠ 0

PERSAMAAN LINEAR

BEBERAPA ALASAN PERLUNYA PERSAMAAN LINEAR

• KEBANYAKAN FENOMENA NYATA DAPAT DIREPRESENTASIKAN SECARA MATEMATIK, SALAH SATUNYA ADALAH HUBUNGAN LINEAR, ATAU PALING TIDAK DAPAT DIDEKATI SECARA LINEAR

• APLIKASI KONSEP LINEAR CUKUP LUAS PENERAPANNYA

• LEBIH MUDAH MENGINTERPRETASI HUBUNGAN LINEAR DIBANDING NON LINEAR

KARAKTERISTIK PERSAMAAN LINEAR

• BENTUK UMUM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

ax + by = c; x,y adalah variabela,b dan c konstante

• LINEAR KARENA PANGKAT VARIABEL DALAM PERSAMAAN ADALAH PANGKAT SATU (1) DAN TIDAK TERDAPAT BENTUK PERKALIAN ANTAR VARIABEL

REPRESENTASE MENGGUNAKAN PERSAMAAN LINEAR

• SUATU PERSAMAAN LINEAR ax+by=c MEMPUNYAI HIMPUNAN JAWABAN PASANGAN TERURUT (x,y) YANG MEMENUHI PERSAMAAN TERSEBUT

• JIKA S ADALAH HIMPUNAN JAWABANDAPAT DITULIS;

S = {(x,y)/ax + by = c}

PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

• UNTUK MENDAPATKAN NILAI PASANGAN TERURUT (x,y) ASUMSIKAN SALAH SATU NILAI DAN SUBSTITUSIKAN KE PERSAMAAN UNTUK MENDAPATKAN PASANGAN NILAINYA

contoh: persamaan 2x + 4y = 16;untuk x = -2; y = 5untuk y = 0; x = 8

APLIKASI PADA BIDANG PRODUKSI

• SEBUAH PERUSAHAAN MEMPUNYAI DUA JENIS PRODUK; YAITU A DAN B, MINGGU DEPAN PERUSAHAAN ALOKASIKAN 120 JAM KERJA UNTUK MENGHASILKAN DUA PRODUK TERSEBUT. DALAM MENGEJAR TARGET, PERUSAHAAN MENGALOKASIKAN WAKTU 3 JAM UNTUK PRODUK A DAN 2.5 JAM UNTUK PRODUK B. BAGAIMANA MODEL PERSAMAANNYA?

• Jawaban :• Jika didefinisikan variabel:

y = banyak unit produk A yang diproduksix = banyak unit produk B yang diproduksiMaka alokasi jam produksi untuk dua jenis produk tersebut adalah :2.5 x + 3 y = 120Jika produksi produk B, x = 30 unit, maka produk A diproduksi, y = 15 unit

PERSAMAAN LINEAR DENGAN n VARIABEL

• Persamaan linear dengan n variabel meliputi x1, x2, x3, …….., xn, mempunyai bentuk umum :a1x1+ a2x2+ a3x3+ ……..+ anxn = b, dengan a1 , a2 , a3, ………… ,an dan b adalah bilangan

konstan dan a1 , a2 , a3, ………… ,an tidak semuanya nol.

Sebagai contoh:(1).3x1- 2x2+ 5x3 = 0; (2). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10

JAWABAN PERSAMAAN LINEAR

• Jawaban Persamaan linear dengan n variabel adalah mentukan himpunan S = {(x1,x2,x3, ….., xn)| a1x1+ a2x2+ a3x3+ ..+ anxn = b}

Contoh: diberikan persamaan linear 2x1+ 3x2 - x3+ x4 = 16,

a. Berapakah derajat bebas persamaan ?b. Tentukan himpunan jawaban untuk setiap

kombinasi nilai tiga variabel yang sama dengan nol.

KARAKTERISTIK GRAFIK PERSAMAAN LINEAR

• Suatu persamaan linear yang mengandung dua variabel digambarkan sebagai grafik garis lurus dalam dua dimensi.

• Garis lurus dapat digambarkan melalui dua pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan linear

• Pasangan titik (x,y) yang terletak pada garis akan merupakan kombinasi x dan y yang memenuhi persamaan, artinya tidak ada jawaban tunggal.

CONTOH GRAFIK PERSAMAAN LINEAR

• Buat grafik dari persamaan 2x + 4y = 16

x

y

(8.0)

(0,4)

• Gambarkan grafik 4x-7y = 0

x

(7,4)

y

4x-7y =

0

7

4

PERSAMAAN KONSTAN

• PERSAMAAN x = k

x

y

(k,0)

x = k

PERSAMAAN KONSTAN

• PERSAMAAN y = k

x

y

(0,k) y = k

SLOPE GARIS LURUS

• Sebuah garis lurus kecuali garis vertikal , dapat dikarakterisasi berdasarkan slope garisnya.

• Dengan slope garis dapat diketahui garis bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan sepanjang sumbu x

• Slope garis lurus dapat positip, nol, negatip, atau tidak terdefenisikan.

SLOPE GARIS LURUS

y

x

(tidak didefinisikan)

x

y

(-)x

y(+)

x

y(0)

• PERSAMAAN KUADRAT

PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL

• BENTUK UMUM DARI PERSAMAAN KUADRAT DENGAN SATU VARIABEL X SEBAGAI BERIKUT:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0Identifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan berikut:

6x2- 2x + 1 = 0; 3x2- 12= 0; 2x2-1= 5x+9• SEBUAH PERSAMAAN KUADRAT DAPAT

MEMPUNYAI KONDISI JAWABAN (AKAR PERSAMAAN):

1. TIDAK MEMPUNYAI JAWABAN NYATA2. MEMPUNYAI SATU JAWABAN NYATA3. MEMPUNYAI DUA JAWABAN NYATA


• TERDAPAT BEBERAPA PROSEDUR YANG DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

• PROSEDUR YANG SANGAT UMUM DIGUNAKAN ADALAH METODE FAKTORISASI DAN PENGGUNAAN RUMUS abc.

• METODE FAKTORISASI MENCOBA MEMBUAT PERSAMAAN KUADRAT MENJADI PERKALIAN DARI DUA FAKTOR SAMA DENGAN NOL, SEHINGGA HASIL PERKALIAN TERSEBUT DAPAT TERJADI KARENA PALING SEDIKIT SALAHSATU FAKTOR SAMA DENGAN N0L


• CONTOH:AKAR PERSAMAAN X2 – 4X = 0, DIFAKTOR X(X-4) = 0; SEHINGGA X = 0 ATAU X-4=0, ATAU X=4.UNTUK MEMBEDAKAN KEDUA AKAR PERSAMAAN DISEBUT X1 = 0, DAN X2 = 4

• AKAR PERSAMAAN X2 – 10X + 24 = 0, DIFAKTORKAN (X-4)(X-6)=0; SEHINGGA, (X-4)=0 ; X1 = 4; ATAU (X-6)=0 ; X2=6.


• PENGGUNAAN RUMUS abcAkar-akar persamaan kuadrat:

ax2 + bx + c = 0, adalah:

b2 – 4ac disebut Diskriminan atau D

aacbbx

242

2,1−±−

=

INTERPRETASI DISKRIMINAN D

• Jika D > 0, terdapat dua akar nyata• Jika D = 0, terdapat satu akar nyata• Jika D < 0, tidak ada akar nyataTentukan akar-akar persamaan:

1. x2 + 3x + 1 = 02. 3x2 - 2x + 5 = 03. x2 + 10x + 25 = 0

KETIDAKSAMAAN• Ketidaksamaan adalah ekspresi dua kuantitas yang

tidak sama. Satu cara untuk menyatakan hubungan ketidaksamaan adalah “<“ (lebih kecil) atau “>”(lebih besar)

Ketidaksamaan Interpretasi3 < 5 3 kurang dari 5

x > 100 Nilai x lebih besar dari 100

0<y<10 Nilai y lebih besar dari 0 dan kurang dari 10

INTERVAL TERBUKA DAN TERTUTUP

• Notasi interval terbuka;(a,b) = {x/a<x<b}

• Notasi interval tertutup kiri;[a,b) = {x/a≤x<b}

• Notasi interval tertutup kanan;(a,b] = {x/a<x≤b}

• Notasi interval tertutup;[a,b] = {x/a≤x≤b}

PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN

• 2X + 3 ≥ -5 , JAWAB [-4,~)• -3 < x-2 < 2, JAWAB (-1,4)• 3X + 14 ≤ 5x, JAWAB [7, ~)• 2x – 5 ≥ 3x + 2, JAWAB (-~,-7]• (x-2)(x-3) ≤ 0, JAWAB [2,3]• X2 + x – 12 ≥ 0

•0

32≤

−−

xx

0)1)(3(

)2(≤

+−−

xxx0

32≤

−−

xx

0)1)(3(

)2(≤

+−−

xxx

NILAI ABSOLUT• NILAI ABSOLUT ADALAH SEBUAH BILANGAN

SEBAGAI JARAK, YANG HARUS LEBIH BESAR ATAU SAMA DENGAN NOL, ATAU DARI NOL KE SEBUAH BILANGAN NYATA PADA GARIS BILANGAN

• NILAI ABSOLUT DARI a DITULIS |a|• DEFINISI DARI NILAI ABSOLUT a ADALAH:

a jika a>0|a| = 0 jika a=0

-a jika a<0

SIFAT NILAI ABSOLUT

• |a| ≥ 0• |-a| = |a|• |X-Y| = |Y-X|• |ab| = |a||b|•

ba

ba

=

HIMPUNANHIMPUNAN

• Pengertian Himpunan• Penyajian Himpunan• Himpunan Universal dan Himpunan Kosong• Operasi Himpunan• Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

Ruang Lingkup

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang

didefinisikan dengan jelas.

Benda atau obyek yang dimuat suatu himpunan disebut anggota

himpunan atau elemen.

Notasi HimpunanNotasi HimpunanHimpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek.

• Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C, ...... Z

• Obyek dilambangkan a, b, c, ..... z

• Notasi : - p A p anggota A

- A B A himpunan bagian dari B

- A = B himpunan A sama dengan B

- = ingkaran

∩∩

∩ ∩

Penyajian HimpunanPenyajian Himpunan• Penyajian Himpunan a. cara deskripsi (kata-kata)

A= {himpunan bilangan prima kurang dari 10}

b. cara daftar (roster) A = {1,2,3,4,5} berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5.

c. cara kaidah (rule) A={x / 0 < x < 6; x bil bulat} berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

Himpunan Universal dan Himpunan Universal dan Himpunan Himpunan KosongKosong

U adalah himpunan universal atau himpunan besar dan dapat terdiri dari beberapa himpunan bagian{ } atau Ø adalah himpunan kosong (tidak punya satu anggota), selain itu himpunan kosong juga merupakan himpunan bagian dari setiap hipunan apapun.U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4}B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 }

Contoh Soal – Soal :

1. Dari kumpulan hewan dibawah ini, manakah yang merupakan himpunan yang memiliki anggota atau himpunan kosong.a. Kumpulan hewan melata

b. Kumpulan hewan herbivora

c. Kumpulan hewan langka

d. Kumpulan hewan yang hidup di air

e. Kumpulan hewan berkaki tiga

f. Kumpulan hewan bermata satu

Pembahasan :Yang merupakan himpunan yang memilki anggota :

a. Kumpulan hewan melata

b. Kumpulan hewan herbivora

c. Kumpulan hewan yang hidup di air

d. Kumpulan hewan langkaYang merupakan himpunan kosong:

a. Kumpulan hewan berkaki tiga

b. Kumpulan hewan bermata satu

2. Nyatakan himpunan dibawah ini dengan :metode deskripsi, metode rule, metode Roster

a. A adalah himp bilangan genap positip kurang dari 12

b. B adalah himp bilangan prima kurang dari 8

c. C adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 8

d. D adalah himpunan huruf vokal

Pembahasan :

A adalah himp bilangan genap kurang dari 12

A = { 2, 4, 6, 8, 10 }

A = { himpunan bilangan genap kurang dari 12 }

A = { x | x himp bilangan genap kurang dari 12 }

Pembahasan :

B adalah himp bil. prima kurang dari 8

B = { 2, 3, 5, 7 }

B = { himpunan bil. prima kurang dari 8}B = { x | x himp bil. prima kurang dari 8}

Pembahasan :

C adalah himp bilangan cacah kurang dari 8

C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

C = { himpunan bilangan cacah kurang dari 8 }

B = { x | x himp bilangan cacah kurang dari 8}

Pembahasan :

D adalah himpunan huruf vokal

D = { himpunan huruf vokal }

D = { x | x himpunan huruf vokal }

D = { a, e, i, o, u }

LATIHAN - 1

• P = { faktor dari 30 yang habis dibagi 3 }. Pernyataan yang benar dibawah ini adalah…

• a. 6 ∉ P• b. 9 ∈ P• c. 12 ∉ P• d. 15 ∈ P

Pembahasan

• Faktor 30 yang habis dibagi 3 adalah bilangan kelipatan 3 yang habis membagi 30 yaitu : 3, 6, 12, 15, 30. Jadi :

• P = { 3,6, 15, 30 }, maka :• 6 ∉ P ( salah ) • 9 ∈ P ( salah )• 12 ∉ P ( salah )• 15 ∈ P ( benar ).

LATIHAN - 2

• Q = { huruf pembentuk kalimat “SAHABAT SAYA BAIK SEKALI “ }. Nilai n(Q) = . . .

• a. 10• b. 12• c. 15• d. 21

Pembahasan

• Kalimat : SAHABAT SAYA BAIK SEKALI,

• Huruf penyusunnya :• S, A, H, B, T, Y, I, K, E, L• P = { s, a, h, b, t, y, i, k, e, l }• n ( Q ) = 10 • Jadi jawabannya adalah A

LATIHAN - 3• Diketahui K = { bilangan asli kuadrat

kurang dari 60 } . Himpunan K dinyatakan dengan Roster adalah . . .

• a. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 }• b. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }• c. { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }• d. { 4, 9, 16, 25, 36, 49 }

Pembahasan• K = { bilangan asli kuadrat kurang dari

60 }• K = { 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72 }.• K = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }• Jadi jawaban yang benar adalah C

Operasi HimpunanOperasi Himpunan

• Gabungan (Union)A U B = {x; x Є A atau x Є B}

• Irisan (Intersection)A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B}

• SelisihA - B = A|B = {x; x Є A tetapi x ∉ B}

• Pelengkap (Complement)Ā = {x; x Є U tetapi x ∉ A} = U – A

Diagram VennDiagram Venn

Gabungan ( Gabungan ( AA U U BB ))

Irisan Irisan

Lanjutan ........Lanjutan ........

•• Selisih ( Selisih ( AA –– BB = = AA||BB ))

•• Pelengkap / Pelengkap / complement complement ( ( ĀĀ ))

KaidahKaidah--kaidah Matematika dalam Pengoperasian kaidah Matematika dalam Pengoperasian HimpunanHimpunan

Kaidah Idempotena. A U A = A b. A ∩ A = A

Kaidah Asosiatifa. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

Kaidah Komutatifa. A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A

Kaidah Distributifa. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

Lanjutan ............Lanjutan ............Kaidah Identitasa. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø

c. A U U = U d. A ∩ U = A

Kaidah Kelengkapana. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø

c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U

Kaidah De Morgan

a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

SoalSoal

1. Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan :(a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ A

Soal

2. Dari 200 mahasiswa fakultas ekonomi ada yang mengikuti semester pendek, paling banyak mengambil 3 mata kuliah, yaitu A, B, dan C. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut :

Mengikuti mata kuliah A sebanyak 45 mahasiswaMengikuti mata kuliah B sebanyak 50 mahasiswaMengikuti mata kuliah C sebanyak 75 mahasiswaMengikuti mata kuliah A dan B sebanyak 20 mahasiswaMengikuti mata kuliah A dan C sebanyak 15 mahasiswaMengikuti mata kuliah C dan B sebanyak 20 mahasiswaMengikuti mata kuliah A,B, dan C sebanyak 10 mahasiswa

Tentukan : a) Jumlah mahasiswa yang tidak kuliah semester pendekb) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 1 mata kuliahc) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 2 mata kuliah

GAMBARAN DIAGRAM VENN

S

1010

510

20

50

20

75

n(AUBUC) = 125

n(AUBUC)’ = n(S) – n(AUBUC) =200 -125 = 75

A B

C

CARTESIAN PRODUCT(PERKALIAN KARTESIAN)

• Notasi: A × B = {(a, b) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B }(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar


• Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ⏐A × B⏐ = ⏐A⏐ . ⏐B⏐.

• Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a).

• Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B× A dengan syarat A atau B tidak kosong.

• Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅


Contoh : MisalkanA = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-

gado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t =

teh, d = es dawet }Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab: 4 x 3 = 12 yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.


Contoh : Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(∅) (b) ∅ × P(∅) (c) {∅}× P(∅) (d) P(P({3}))

• Penyelesaian:(a) P(∅) = {∅}(b) ∅ × P(∅) = ∅

(ket: jika A = ∅ atau B = ∅ maka A × B = ∅)(c) {∅}× P(∅) = {∅}× {∅} = {(∅,∅))(d) P(P({3})) = P({ ∅, {3} }) = {∅, {∅}, {{3}}, {∅,

{3}} }


Perkalian Cartesian himpunan A dan B ditulis A x B =

{(a,b)/ a є A dan b є B}

1.Jika A = { a1,a2,a3} dan B = { b1,b2 } Tentukan himpunan

AxB

AxB = {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a3,b2)}

2. Jika A = {x/x bilangan ganjil 2 < x < 10}

B = { y/y bilangan kelipatan 3 dengan 0 < y < 10}

tentukan himpunan A x B

A = {3,5,7,9}; B = {3,6,9}

AxB = {(3,3), (3,6), ……………., (9,9)}

FUNGSI• Dalam model matematika, relasi khusus dapat

direpresentasikan dengan fungsi matematika atau fungsi.

• Definisi FungsiSuatu fungsi dapat ditunjukan sebagai suatu

proses input menjadi output.

fungsi“input” “output”

Defenisi fungsi

• Jika y = x2 + 2x + 1, maka akan ditemukan sebagai berikut :

Input Hubungan OutputJika x =1 y = (1)2 + 2(1) + 1 = 4Jika x = -1 y = (-1)2 + 2(-1) + 1 = 0Jika x = 2 y = (2)2 + 2(2) + 1 = 9

• Persamaan di atas menunjukan suatu aturan yang mentransformasikan satu nilai dari x kepada satu nilai y

• Jadi defenisi fungsi adalah : merupakan suatu aturan yang menghubungkan setiap nilai input kepada satu dan hanya satu nilai output

• Defenisi Domain/RangeDomain dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai input yang dimungkinkan. Range dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai output yang dimungkinkan.

PENGERTIAN FUNGSI• Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan

takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

• ATURAN :– setiap anggota A harus habis terpasang dengan

anggota B.– tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

A B

ILUSTRASI FUNGSI

A f B

Input Kotak hitam Output

Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,B disebut kodomain (range). Elemen a � A disebut argumen dan f(a) �B disebut bayangan(image) dari a.

Himpunan Rf:= { y � B : y = f(x) untuk suatu x � A } disebut daerahjelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S � A maka himpunanf(S) := { f(s) : s � S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangmempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangtidak mempunyai kawan.

A B

GRAFIK FUNGSI• Misalkan f: A B. Grafik fungsi f adalah

himpunan pasangan terurut {(a,f(a))/a � A}• Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1,

2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

A

B

CONTOH FUNGSI1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1.2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana

fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua

kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysiamaka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.

4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikanperintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku btsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang adapada buku x.

5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positifFungsi f : A B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.

6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

⎩⎨⎧

<−≥

=0 jika 0 jika

:)(xxxx

xf

FUNGSI FLOORING dan CEILING1. Fungsi flooring f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang kurang dari atau sama

dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌊ x ⌋.

2. Fungsi ceiling f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌈ x ⌉.

CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling:⌊0.5⌋ = 0, ⌈0.5⌉ = 1, ⌊-0.5⌋ = -1, ⌈-0.5⌉ = 0⌊3.1⌋ = 3, ⌈3.1⌉ = 4, ⌊ 6 ⌋ = 6, ⌈ 6 ⌉ = 6.

Grafik flooring Grafik ceiling

SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI CEILING

1. ⌊x⌋ = n bila n ≤ x < n+1 2. ⌈x⌉ = n bila n-1< x ≤ n3. ⌊x⌋ = n bila x-1 < n ≤ x4. ⌈x⌉ = n bila x ≤ n < x+15. x-1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ < x+16. ⌈-x⌉ = - ⌊x⌋7. ⌊-x⌋ = -⌈x⌉8. ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n9. ⌈x+n⌉ = ⌈x⌉ + n

• CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinyatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈100/8⌉ = ⌈12.5⌉ = 13 byte.

• CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik.PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar500,000 * 60*8 = 240,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu ⌊240,000,000/424⌋ = 70,754 ATM.

OPERASI ALJABAR FUNGSI

• Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g didefinisikan oleh :(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).

• Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan g(x) := x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4.

• Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya.

• Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)

• Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x � y → f(x) � f(y)].

Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:�x �y [f(x) = f(y) x = y] atau �x �y [x � y → f(x) � f(y)]maka fungsi f disimpulkan satu-satu.

Namun, bila ada x dan y dengan x � y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu.

A B A B

satu-satu tidak satu-satu

• CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.

• CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x2 satu-satu ?

PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

• CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperolehx + 5 ≠ y + 5 g(x)≠ g(y). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)

• Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y � B terdapat x �A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:

�y� B �x� A sehingga y = f(x)maka f surjektif. Namun, bila ada y� B sehingga setiap x�A, f(x)≠ ymaka f tidak surjektif.

A B A B

kepada tidak kepada

• CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif ?PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.

• CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, makay = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

INVERS FUNGSI• Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang

mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL,

y = f(x) ↔ x = f -1 (y)

• Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

A B

b=f(a)f(a)

f -1(b)

f -1(b)=a

FUNGSI BIJEKTIF• Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif.

Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

• CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.

A B

fungsi bijektif

• CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibeldengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

• CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSI

• Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A C dengan (f ◦g)(x):= f(g(x)).

• Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.A B C

�g f

f◦g

FUNGSI MERUPAKAN HUBUNGAN MATEMATIS ANTARA SUATU VARIABEL DENGAN VARIABEL LAINNYA. UNSUR-UNSUR PEMBENTUK FUNGSI ADALAH; VARIABEL, KOEFISIEN, DAN KONSTANTE ATAU PARAMETER.

VARIABEL MERUPAKAN UNSUR YANG SIFATNYA BERUBAH-UBAH DARI SATU KEADAAN KE KEADAAN LAINNYA, DAN DALAM SUATU RUMUSAN FUNGSI DAPAT DIBEDAKAN MENJADI VARIABEL BEBAS DAN TIDAK BEBAS.

VARIABEL BEBAS YAITU VARIABEL YANG DAPAT MENERANGKAN VARIABEL LAINNYA (MEMPENGARUHI)VARIABEL TIDAK BEBAS YAITU VARIABEL YANG DITERANGKAN OLEH VARIABEL BEBAS (DIPENGARUHI)

KOEFISIEN IALAH BILANGAN ATAU ANGKA YANG DILETAKKAN TEPAT DIDEPAN SUATU VARIABEL, DAN TERKAIT DENGAN VARIABEL YANG BERSANGKUTAN. KONSTANTA ADALAH SUATU BESARAN BILANGAN ATAU ANGKA YANG SIFATNYA TETAP DAN TIDAK TERKAIT DENGAN SUATU VARIABEL KONSTANTA DAN KOEFISIEN YANG SIFATNYA UMUM DISEBUT SEBAGAI PARAMETER, ARTINYA BESARANNYA TETAP UNTUK SUATU KASUS, TETAPI BERUBAH PADA KASUS LAINNYA

FUNGSI

FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABARATAU TRANSENDEN

FUNGSI IRRASIONAL FUNGSI RASIONAL

FUNGSI POLINOMFUNGSI LINEARFUNGSI KUADRATFUNGSI KUBIK

FUNGSI PANGKAT

FUNGSI EKSPONENFUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRIFUNGSI HIPERBOLA

PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR

(-2,0) 0

(0,4)

Y = 4 + 2 X

Y

X

(0,4)

(2,0)0

Y

X

Y = 4 – 2 X

KONSTANTA

KOEFISIEN

VARIABLE bebas

bebas

Tdk bebas

Tdk bebas

MODEL UMUM FUNGSI LINEAR : Y = a + b X ;

a, b, konstanta (parameter) X, Y variabel

UNTUK MENEMUKAN NILAI a DAN b PADA PERSAMAAN LINEAR DI ATAS DAPAT DILAKUKAN DENGAN

1. ELIMINASI DAN SUBSTITUSI CARA INI MEMBUTUHKAN DUA PERSAMAAN YANG MENGANDUNG DUA NILAI YANG TIDAK DIKETAHUI, YAITU a DAN b, UNTUK ITU DIBUTUHKAN DUA PASANGAN NILAI (X,Y)

PERSAMAAN FUNGSI LINEAR

MISAL TERDAPAT HUBUNGAN ANTARA X DAN Y DENGAN KONDISI X = 4, Y = 12, DAN X = 8, Y = 20, JIKA HUBUNGAN ANTARA X DAN Y LINEAR, TENTUKAN PERSAMAAN ; Y = a + b X PENYELESAIAN X = 4 ; Y = 12; JADI 12 = a + 4b (1) X = 8 ; Y = 20; JADI 20 = a + 8b - (2) -8 = -4b b = 2 SUBSTITUSI b = 2 PADA PERSAMAAN (1) DIPEROLEH ; a = 12 – 8 = 4 PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Y = 4 + 2X


2. Geometri garis lurusPerhatikan gambar garis di bawah ini: Terlihat bahwa garis lurus melalui pasangan titik (x1,y1) dan (x2,y2), jika perubahan y ditulis ∆y = y2-y1, dan perubahan x adalah ∆x = x2–x1, maka terlihat bahwa tg(β) = ∆y/∆x.

)2....(11

)1...(1212

xxyytg

jugaxxyy

xytg

−−

=

−−

=∆∆

=

β

β

Y

X

y = a + bx

x1

y1

x2

y2

∆x =x2-x1

∆y= y2–y1β

x

y

y-y1x-x1


PERSAMAAN FUNGSI LINEAR• Persamaan (1) dan persamaan (2) di atas

mempunyai nilai yang sama, sehingga dapat ditemukan :

• atau

12

1

12

1xxxx

yyyy

−−

−− =

1

1

12

12xxyy

xxyy

−−

−− =

• Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4,12) dan (8,20).

484

122012

−−

−− = xy

12

1

12

1xxxx

yyyy

−−

−− =

Y = 2x + 4


• Jika tgβ atau slope garis lurus y = a + bx diketahui, maka tgβ = b, dan persamaan garis lurus melalui (x1,y1) di atas dapat ditulis sebagai berikut :

y – y1 = b(x – x1)


• Misal Y = a + bx, mempunyai sifat apabila x berubah satu satuan x maka y berubah 1/2 satuan y, dan untuk x = 2, y = 5. tentukan persamaan linear tersebut.

• ∆x = 1, ∆y = ½ , jadi b = ∆y/∆x = ½ , sehingga persamaanya menjadi:

y-5 = ½(x-2)y = ½ x -1 + 5y = ½ x + 4


HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS

• Jika terdapat dua garis lurus:y1 = a1 + b1X dan y2 = a2 + b2Xmaka dapat terjadi :

y1 sejajar y2 pada saat b1 = b2y1 berpotongan y2 jika b1≠b2,

dan khusus berpotongan tegak lurus b1 = -1/b2

Gambar Grafik

• Garis Sejajar•

α1

α2

X

Y

Y1 = a1 + b1X

Y2 = a2 + b2X

Y1 // Y2

b1= b2 atau tg α1 = tg α2a1

a2

Gambar Grafik

• Garis Berpotongan tegak lurus

X

Y

Y1 = a1 + b1X

Y2 = a2 + b2X

Y1 Y2

b1 = -1/ b2

a1

a2

Gambar Grafik

• Garis Berpotongan

X

Y

Y1 = a1 + b1X

Y2 = a2 + b2X

Y1 X Y2

b1≠ b2

a1

a2

Menentukan Titik Potong

• Untuk menentukan titik potong dua garis lurus y1 dan y2 pada gambar di atas, tidak lain adalah mencari pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan y1 = y2.

• Misal, tentukan titik potong antara garis lurus y = x - 10, dan y = 5 – x

Gambar Grafik

• Y = x – 10, titik potong sb-x; y = 0x – 10 = 0, x=10, atau (10,0)Titik potong sb-y; x=0, y = -10 atau (0,-10)

• Y = 5 – x, titik potong sb-x; y = 05 – x = 0, x=5, atau (5,0)Titik potong sb-y; x=0, y = 5 atau (0,5)

Gambar Grafik

• Titik potong garis lurus, x-10=5-x;2x = 15, x = 15/2.Substitusi nilai x=15/2 pada salah satu persamaan garis lurus; misal untuk y = x-10, diperoleh y = 15/2-10 = -5/2

Jadi titik potong antara dua garis lurus tersebut adalah (15/2,-5/2)

Gambar Grafik

Y

X

Y = x - 10

Y = 5 - x

5

-10

5

0 1015/2

-5/2

Fungsi Kuadrat

• Fungsi Kuadrat, adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat tertinggi dua (kuadrat).

• Bentuk umumnya untuk y = f(x) adalah :

• Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola, dengan sumbu simetri sejajar sumbu-Y

Y = aX2 + bX + c ; a ≠ 0

Parabola Dengan Sumbu Simetri Sejajar Sumbu Y

X

Y

Y = aX2 + bX + ca < 0

Sumbu simetri

Parabola Dengan Sumbu Simetri Sejajar Sumbu Y

X

Y

Y = aX2 + bX + ca > 0

Sumbu simetri

Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat

• Fungsi Kuadrat mempunyai nilai ekstrem tunggal (mutlak), atau hanya satu-satunya

• Jenis Ekstrem fungsi Kuadrat akan sangat bergantung pada nilai koefisien X2, yaitu (a)jika a > 0, maka ekstrem Minimumjika a < 0, maka ekstrem Maksimum

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat

• Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat dapat didekati dengan dua pendekatan, yaitu 1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)

• 1. Pendekatan Model Kuadrat SempurnaPerhatikan model fungsi kuadrat:

Y = aX2 + bX + c, a≠0jika b = 0, maka persamaan kuadrat di atas menjadi : Y = aX2 + c, a≠0 dan disebut sebagai persamaan kuadrat sempurna.


Nilai X2>0, untuk setiap nilai XJika a > 0, maka aX2 > 0, sehingga untuk :c > 0, aX2 + c > cc < 0, aX2 + c > cdan pada saat x = 0, Y = aX2+ c

Y = 0 + c Y = c, merupakan nilai terkecil

Jadi Y(minimum) = c untuk x = 0.


Nilai X2>0, untuk setiap nilai XJika a < 0, maka aX2 < 0, sehingga untuk :

c > 0, aX2 + c < cc < 0, aX2 + c < cdan pada saat x = 0, Y = aX2+ c

Y = 0 + c Y = c, merupakan nilai terbesar

Jadi Y(maksimum) = c untuk x = 0.


• Analogi dengan bentuk kuadrat sempurna di atas, maka:Jika Y = aU2+c, akan memberikan kesimpulan yang sama, yaitu, jika a>0, maka y(minimum) = c untuk U = 0, dan jika a<0, maka y(maksimum) = c untuk U = 0.

• Apabila U=X+b, maka, bentuk di atas menjadi Y = a(X+b)2+ c Bagaimana Nilai Y (minimum atau maksimum)?


• Jika a>0; Y(minimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b.

• Jika a<0; Y(maksimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b.

• Andaikan a = 1; b = 2, dan c = 4 bagaimana penerapannya ?

• Andaikan a = -2, dan b = 3, dan c=10 bagaimana penerapannya


aD

ab

aacb

ab

ab

ab

ab

ab

ab

XaYmakaacbD

XaY

cXaY

cXaY

cXXaY

42

2

24

422

42

2

42

2

2

)(:,4

)()(

)()(

)(

)(

2

2

2

−+=

−=

−+=

−−+=

+−+=

++=

−

2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)

Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = aX2 + bX + c, a≠0;Model ini dapat dimanipulasi menjasi :


• Jadi untuk model fungsi kuadrat:Y = aX2+bX+c, a≠0; atau

nilai ekstremnya adalah: y = -D/4aDengan D = b2-4ac, disebut Diskriminan

Jika a > 0, Y(minimum)= untuk X=-b/2a

Jika a < 0, Y(maksimum)= untuk X=-b/2a

aD

abXaY 4

22 )( −+=

aD4−

aD4−

• Tentukan Ekstrem fungsi:• 1. Y = 4 – 2x + x2

• 2. Y = 10 + 6x -3x2

• 3. Y = ½ x2 + x + 2• Gambar grafiknya• Peny. 1. Y = x2 -2x + 4

Y = (x-1)2+3Y(min) = 3 untuk x = 1Titik potong sumbu-y (0,4)


GAMBAR GRAFIK PARABOLA

1

3

Y

X

4

Y = x2 -2x + 4Y = (x-1)2 + 3

-1

3/2

Y

X

2

Y = ½ x2 + x + 2


Y = ½ (x2 + 2x) + 2

Y = ½ (x + 1)2+ 3/2

Y = 10 + 6x -3x2


Y = -3(x2 – 2x) + 10Y = -3(x -1)2 + 13

1

10

Y

X

13

Perpotongan Parabola Dengan Garis Lurus

• Jika parobola y1=ax2 + bx +c, a>0, dan garis lurus y2= px + q, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut :

Y = aX2 + bX + ca > 0

X

Y

Y2 = px + q; p<0

Y1 = Y21

Perpotongan Parabola Dengan Garis Lurus

• Jika parabola y1=ax2+bx+c, a<0 dan garis lurus, y2 = px + q, p>0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut:

Y1 = aX2 + bX + ca < 0

X

Y Y2 = px + q

Y1=Y2

Perpotongan Parabola Dengan Parabola

• Jika parabola y1=ax2+bx+c, a>0 dan parabola y2 = px2 + qx + r, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut:

Y1 = aX2 + bX + ca > 0

X

Y

Y2 = pX2 + qX + rp < 0

Y1 = y2

HUBUNGAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

• FUNGSI EKSPONEN MEMPUNYAI HUBUNGAN YANG ERAT DENGAN FUNGSI LOGARITMA, KARENA MERUPAKAN KEBALIKAN SATU SAMA LAINNYA

• FUNGSI EKSPONEN BERBEDA DENGAN FUNGSI PANGKAT

• FUNGSI PANGKAT ADALAH FUNGSI YANG VARIABELNYA DIPANGKATKAN DENGAN BILANGAN KONSTAN

• FUNGSI EKSPONEN ADALAH KONSTANNYA YANG DIPANGKATKAN DENGAN VARIABEL

• Y = x1/2 ADALAH FUNGSI PANGKAT• Y = 2X ADALAH FUNGSI EKSPONEN

BASIS EKSPONEN• Fungsi eksponen mempunyai dua basis

eksponen, yaitu (1) basis konstante a dengan 0<a<1, dan a>1 (bilangan biasa), dan (2) basis konstante e = 2.71828…..

• Y = ax dengan a>1, akan mempunyai perilaku sebagai berikut :

• Nilai Y akan mendekati tak berhingga jika x menuju tak berhingga positip, akan mendekati nol apabila x menuju tak berhingga negatip

• Nilai Y = 1 untuk x = 0 untuk setiap a

GRAFIK FUNGSI EKSPONEN

• Grafik dari fungsi Y = 2x

Y

X

1

2

1

Y = 2x

• Grafik fungsi eksponen Y = 2-x

Y

X

1

2

Y = 2-x

-1

KARAKTERISTIK FUNGSI EKSPONENSIAL

• Jika terdapat a>0 dan b> 0 dan m dan n bilangan nyata, maka berlaku :

1. bmbn = bm+n

2. bm/bn = bm-n

3. (bm)n = bmn

4. ambm = (ab)m

5. bm/n = (bm)1/n

6. am = an , maka m = n

FUNGSI LOGARITMA• Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari

sebuah bilangan pokok untuk menghasilkan bilangan tertentu yang diinginkan.

• Bilangan dasar atau basis dari logaritma adalah bilangan bulat positip kecuali bilangan 1

• Dalam kasusus umum bilangan pokok yang digunakan adalah 10 atau e

• Bilangan pokok atau basis 10 biasanya tidak ditulis, sehingga log 10 = 1, karena 101= 10

• Bilangan pokok e juga tidak ditulis, tetapi penulisan ln e = 1, artinya elog e = 1

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

• Grafik fungsi logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, namun grafik fungsi logaritma Y = log X hanya berada pada nilai Domain: x > 0, dan nilai Range -~<Y<~; sedangkan grafik fungsi eksponen mempunyai Domain: 0<x<~ dan Range : -~<Y<~

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

• Grafik y = log xy

x1

y = logx

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

• Untuk a dan b bilangan positip• log ab = log a + log b• log a/b = log a – log b• log ab = b log a• log 1 = 0 ; log 10 = 1• log a = log b maka a = b• Sifat yang sama berlaku untuk logaritma dengan

basis e atau (ln), misal ln e = 1, dst

APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN KUADRATIK

APLIKASI FUNGSI LINEAR PADA FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN

• BERIKUT INI DATA TENTANG HARGA, KUANTITAS PERMINTAAN, DAN KUANTITAS PENAWARAN SEBUAH KOMODITI

• TENTUKAN :A. PERSAMAAN FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARANNYAB. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITASC. GAMBAR GRAFIKNYAD. ARSIR DAERAH SURPLUS KONSUMEN DAN SURPLUS PRODUSEN

Harga Harga PP

PermintaanPermintaanQdQd

PenawaranPenawaranQsQs

3030 1010 3535

2020 4040 1010

. . Q

P

.

.

10 35 40

20

30

.

Qs = -40 + 2.5P

Qd = 100 - 3P

25.4

23.8

EKeseimbangan

harga

Keseimbangankuantitas

.

KESEIMBANGAN KUANTITAS DAN HARGA

• Qd = Qs• 100 - 3P = -40 + 2.5P• 5.5 P = 140• Pe = 25.4• Qe = 100 – 3(25.4) = 23.8

Fungsi Biaya, Penerimaan, Keuntungan

• Suatu perusahaan mempunyai biaya tetap produksi 2000 dan biaya variabel per unit Q adalah 25. Harga jual produknya 50 per unit Q.

• Tentukan :

- Fungsi Biaya Total C- Fungsi Penerimaan R- Fungsi Keuntungan Π- Titik Pulang Pokok (BEP)- Gambar Grafiknya

Fungsi Biaya, Penerimaan, dan Keuntungan

• Fungsi Biaya Total TC = FC + VC; FC = biaya tetap

VC = total biaya variabelJadi TC = 2000 + 25 Q• Fungsi Penerimaan

TR = p Q ; p = harga jual per unit QTR = 50 Q

• Fungsi Keuntungan Π = TR – TC • = 50Q – (2000+25Q)• = 25Q – 2000• BEP dicapai pada Π = 0, jadi Q = 80

GRAFIK FUNGSI

2000

-2000

BEP

TC = 2000 + 25Q

Π = 25Q - 2000

TR = 50 Q

Q

80

4000

TC,Π,TR

Fungsi Biaya, Penerimaan, dan Keuntungan

KUANTITAS Q

TOTAL BIAYA C

HARGA JUAL P

50 3500 25

100 4000

Tentukan, fungsi Biaya C, Penerimaan R, Keuntungan π, BEP, dan Gambar grafiknya

GRAFIK FUNGSI

3000

-3000

BEP

TC = 3000 + 10Q

Π = 15Q - 3000

TR = 25 Q

Q

200

5000

TC,Π,TR

jawab

FUNGSI PENDAPATAN, CONSUMSI DAN TABUNGAN

• BERIKUT INI DATA PENDAPATAN, CONSUMSI DAN TABUNGAN SUATU NEGARA DENGAN SATUAN MATA UANG TERTENTU.

• TENTUKAN :A. FUNGSI CONSUMSI C = co + cYB. FUNGSI TABUNGAN S = so + sYC. KESEIMBANGAN PENDAPATAN

NASIONAL YE DAN GAMBAR GRAFIK

HUBUNGAN c DAN s, SERTA c0 DAN s0

Y = C + S1 = c + s , sehingga s = 1-cc = ∆C/∆Y disebut marginal propencity to consum (MPC) dan s = ∆S/∆Y, disebut marginal propencity to save∆C = perubahan konsumsi C akibat perubahan pendapatan Y

∆S = perubahan Tabungan S akibat perubahan pendapatan Y

cc0 0 adalah consumsi pada saat Y = 0,adalah consumsi pada saat Y = 0,ss0 0 adalah tabungan pada saat Y = 0, jadiadalah tabungan pada saat Y = 0, jadiss0 0 = = -- cc00

Contoh: Jika Consumsi C = 2500 + 0.75 Y, maka Tabugan S = -2500 + 0.25Y

Pendapatan YPendapatan Y Consumsi CConsumsi C Tabungan STabungan S

180180 192192 --1212250250 220220 3030

Y

C, Y, S

E

Y=Y

C = 120 + 0.4 Y

S = 0.6Y - 120

Ye = 200 250

220

450

120

-120

200

Q

P

-1

1

2

12

12 P1 = 12 - Q

P2 = a(Q+1)2 + 1, P = 2 untuk Q = 0P2 = Q2 + 2Q + 2

GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN :a. FUNGSI PERMINTAAN DAN

PENAWARAN b. KESEIMBANGAN HARGA DAN

KUANTITAS

Qe

Pe

P1 = P2Q2 + 2Q + 2 = 12-QQ2 +3Q-10 = 0(Q+5)(Q-2) = 0Qe = 2, Pe = 10

P1

P2

Perpotongan Parabola Dengan Parabola

GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN :• a. FUNGSI PERMINTAAN DAN• PENAWARAN

b. KESEIMBANGAN HARGA DAN • KUANTITAS

Q

P

P2

P1-1/2

-13/41

14

13

Qe

Pe

P1 = a(Q+1)2 + 14; Q = 0, P = 13 P2 = a(Q+1/2)2 + 3/4; Q = 0, P = 1

P

QQ1=a(P+1)2 -2

Q1=P2+2P-1

Q2 = 9 – P2

9

-2-1

GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN Q2 DAN FUNGSI PENAWARAN Q1 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN :• a. FUNGSI PERMINTAAN DAN• PENAWARAN

b. KESEIMBANGAN HARGA DAN • KUANTITAS

Pe

Qe

-1

Q1 = Q2P2 + 2P -1 = 9 – P2

2P2 + 2P -10 = 0P2 + P – 5 = 0

PAJAK DAN SUBSIDI• PAJAK DAN SUBSIDI MERUPAKAN KEBIJAKAN FISKAL

PEMERINTAH• PAJAK DAN SUBSIDI AKAN MENGUBAH FUNGSI

PENAWARAN• JIKA FUNGSI PENAWARAN SEBELUM PAJAK DAN

SUBSIDI Qs = F(P), MAKA:a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat

fungsi penawaran menjadi Qst = F(P-t)b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat

fungsi penawaran menjadi Qss = F(P+s)

• JIKA FUNGSI PENAWARAN Ps = G(Q), MAKA:a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat

fungsi penawaran menjadi Pst = G(Q) + tb. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat

fungsi penawaran menjadi Pss = G(Q)-s

• Qs = 2P – 10, JADI Q = F(P)• t = 2 , Qst = 2(P-2) -10 = 2P – 14• s = 1, Qss = 2(P+1) – 10 = 2P – 8

• Ps = 5 + 3Q, P = G(Q)• t = 2, Pst = 5+3Q+2 = 7 + 3Q• s = 1, Pss = 5 +3Q-1 = 4 + 3Q

GAMBAR PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP FUNGSI PENAWARAN

P

Q

Qs = F(P)

Qst = F(P-t)

Qss = F(P+s)

Qd = G(P)

Qe QesQet

PePes

Pett

s

PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN

P

Q

Qs = F(P)

Qst = F(P-t)

Qd = G(P)

QeQet

Pe

Pet

P0

Pajak ditanggung Konsumen

Pajak ditanggung Produsen

t = Pet-Po

SUBSIDI KONSUMEN DAN PRODUSEN

P

Q

Qs = F(P)

Qss = F(P+s)

Qd = G(P)

Qe Qes

Pe

Pes

P1SUBSIDI

KONSUMEN

SUBSIDIPRODUSEN

s = P1-Pes

SOAL

• Diketahui fungsi permintaan suatu barang Qd=8-0.5P, dan fungsi penawaran Qs=-2+P, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukana. Titik keseimbangan sebelum pajakb. Titik keseimbangan setelah pajakc. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang

ditanggung produsen dan konsumen

• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum pajak

• (Qe,Pe) Qd = Qs8 – 0.5 P = -2 + P

1.5 P = 10Pe = 10/1.5 = 20/3Qe = 14/3

• Fungsi penawaran setelah pajak t = 2Qst = -2 + (P – 2)

= -4 + P• Keseimbangan harga setelah pajak Pst

dan kuantitas setelah pajak Qst adalah:(Qet,Pet) Qst = Qd

-4 + P = 8 – 0.5PPet= 8, Qet = 4

PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN

P

Q

Qs = -2 + P

Qst = -4 + P

Qd = 8-0.5P

14/34

20/3

8

6

Pajak ditanggung Konsumen

Pajak ditanggung Produsen

t = 8-6 =2

Pkon= 4 (8-20/3) = 16/3

Pprod = 4(20/3 – 6) = 8/3

LATIHAN SOAL

• Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=20-0.5Q, dan fungsi penawaran P= 4 + 2.5Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukana. Titik keseimbangan sebelum subsidib. Titik keseimbangan setelah subsidic. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan konsumen

• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum subsidi

• (Qe,Pe) Pd = Ps20 – 0.5 Q = 4 + 2.5Q

3Q = 16Qe = 16/3Pe = 52/3

• Fungsi penawaran setelah subsidi s = 2Pss = 4 + 2.5Q - 2

= 2 + 2.5Q• Keseimbangan harga setelah subsidi Pss

dan kuantitas setelah subsidi Qss adalah:(Qes,Pes) Pss = Pd

2 + 2.5Q = 20 – 0.5QQes= 18/3=6, Pes = 17

SUBSIDI KONSUMEN DAN PRODUSEN

P

Q

Ps =4+2.5Q

Pss = 2+2.5Q

Pd = 20-0.5Q

16/3 6

52/3

17

19SUBSIDI

KONSUMEN

SUBSIDIPRODUSEN

Sprod. = 6(19-52/3)

Skon. = 6(52/3 -17)

1. Sebuah komoditi mempunyai perilaku permintaan dan penawaran sebagai berikut; jika harganya Rp.5.000,- perusahaan akan menawarkan 300 unit, dan permintaan barangnya 500 unit, sedangkan jika harganya naik menjadi Rp.6.000,- perusahaan menawarkan sebanyak 600 unit dan permintaannya menjadi 350 unit.

– Buatlah persamaan permintaan & penawarannya.– Tentukan Keseimbangan harga dan kuantitasnya– Jika pajak yang ditarik pemerintah Rp. 300,- per unit tentukan pajak

yang ditanggung produsen dan ditanggung konsumen– Gambar grafiknya– Jika pada kasus di atas pemerintah memberikan susidi Rp 200,- per

unit yang terjual tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan juga konsumen

– Gambar grafiknya2. Sebuah negara mempunyai komponen pendapatan nasional sebagai

berikut; apabila pendapatan negara tersebut tidak ada maka konsumsi 700, sedangkan untuk setiap kenaikan satu satuan pendapatan, maka 90 % digunakan untuk konsumsi,

– Tentukan fungsi konsumsi dan tabungannya– Gambarkan fungsi konsumsi dan tabungan tersebut– Tentukan keseimbangan pendapatan nasional

SOAL

soal3. Fungsi permintaan Qd = 26 – P2 dan fungsi

penawaran Qs = P2 + 2P – 14 Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas (Qe;Pe) dan gambar grafiknya

4. Diketahui fungsi permintaan suatu barang Pd=12-2Q, dan fungsi penawaran Ps=3+Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukana. Titik keseimbangan sebelum pajakb. Titik keseimbangan setelah pajakc. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang

ditanggung produsen dan konsumen

5. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=10-0.5Q, dan fungsi penawaran P=4 + 2Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukana. Titik keseimbangan sebelum subsidib. Titik keseimbangan setelah subsidic. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang

dinikmati produsen dan konsumen

6. Cari titik keseimbangan fungsi permintaan berikut : 2P=34-3Q dan fungsi penawaran Q = 2P-2 dalam (Q ; P), dan gambar grafik

7. Jika fungsi permintaan 3P + 2Q = 27 cari jumlah penerimaan R maksimum, jika R = PQ, Gambar fungsi permintaan Qd dan R

BARISAN DAN DERET

PENDAHULUAN• Barisan (sequence) adalah suatu susunan

bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan dan aturan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut dikatakan suku dari barisan.

• Perubahan teratur dari suku-suku secara berurutan tersebut ditentukan oleh suatu ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

BARISAN ARITHMATIKA DAN GEOMETRI

• Apabila barisan bilangan mempunyai tambahan bilangan yang besarannya tetap untuk dua suku berurutan, maka disebut barisan arithmatika, sedangkan untuk barisan yang mempunyai kelipatan bilangan tetap antara dua suku berurutan disebut barisan geometri.

FINITE DAN INFINITE• Berdasarkan banyaknya suku dari

barisan, maka barisan dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu; barisan tertentu (finite) adalah barisan yang suku-sukunya terbatas, dan barisan tak tentu (infinite) adalah barisan yang suku-sukunya tak terbatas.

DERET

Deret (series) adalah jumlahan suku-suku dalam barisan, sehingga dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu deret arithmatika (deret hitung) dan deret geometri (deret ukur).

Dari banyak suku, deret geometri juga digolongkan manjadi deret geometri hingga (finite geometric series) dan deret geometri tak-hingga (infinite geometric series).

BARISAN DAN DERET ARITHMATIKABarisan arithmatika adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, misalnya :

2, 4, 6, 8, 10, …..Tiap suku pada barisan di atas mempunyai beda yang

sama dengan suku sebelumnya, yaitu sebesar 2. Hubungan bilangan pada suku barisan dengan suku

pertama dapat dijelaskan sebagai berikut :U1 = 2U2 = 2 + 2 = U1 + 1.2=4U3 = U2 + 2 = U1 + 2 + 2 = U1 + 2(2) = 6U4 = U3+2=U1+3(2)=8U5 = U4+2=U1+4(2)=10

BARISAN DAN DERET ARITHMATIKASeterusnya dapat ditentukan suku ke i+1 adalah suku ke i ditambah 2, yaitu Ui+1 = Ui + 2 . Terlihat bahwa beda antara dua suku berurutan adalah sama (konstan). Barisan seperti ini disebut barisan arithmatika. Secara umum apabila setiap suku barisan arithmetika dapat ditulis sebagai berikut :

U1, U2, U3, U4, U5, …..,Un maka hubungan yang dapat dijelaskan adalah;

U2 = U1 + bU3 = U1 + 2bU4 = U1 + 3b. .

Un = U1 + (n-1)b, merupakan suku ke-n dengan b adalah beda antara dua suku berurutan.

BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA

Penyelesaian; Suku pertama U1 = 7 dan beda b = 10-7 = 3. Dengan menggunakan rumus Un = U1 + (n-1)b, maka;

U15 = 7 + (15-1)3= 7 + 42

= 49.

Contoh 1. Tentukan suku ke-15 dari barisan arithmatika;

7, 10, 13, 16, ………..

• Contoh 2. Tentukan suku ke-20 dari barisan arithmatika jika diketahui suku ke-5 = 17 dan suku ke-8= 26.

• Penyelesaian ;Suku ke-5 = 17 ditulis U5 = 17 artinya

17 = U1 + 4bSuku ke-8 = 26 ditulis U8 = 26 artinya

26 = U1 + 7b• Jika kedua persamaan di atas diselesaikan diperoleh

beda b = 3 dan suku pertama U1 = 5, sehingga suku ke-20 dari barisan ini adalah;

U20 = U1 + 19 b= 5 + 19(3)= 5 + 57= 62

DERET ARITHMETIKADeret arithmetika adalah jumlah dari suku-suku dalam

suatu barisan arithmatika, bentuk umumnya adalah; Sn = U1 + U2 + U3+ U4 + U5 + …………+ Un, atau

jika digunakan beda b dan suku pertama U1, Maka Sn dapat ditulis ;Sn = U1 + (U1+b)+ (U1+2b) +(U1+3b) +(U1+4b)

+………+(U1+(n-1)b)Jika U1 diganti dengan simbol a (sering digunakan),

maka deret tersebut dapat ditulis ;Sn = a + (a+b)+ (a+2b) +(a+3b) +(a+4b)

+………+(a+(n-1)b)Nilai dari Sn dapat ditentukan sebagai berikut ;Sn = a +(a+b) + …+(a+(n-3)b)+ (a+(n-2)b)+ (a+(n-

1)b) Sn =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+.....+ (a+2b) + (a+b) + a

Sn = a +(a+b) + …......+(a+(n-3)b)+ (a+(n-2b)+ (a+(n-1)b) Sn =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+.........+ (a+2b) + (a+b) + a__________________________________________ +2Sn = (2a + (n-1)b)+ (2a+(n-1)b)+....... ........+ (2a+(n-1)b)

2Sn = n (2a + (n-1)b)

Sn = n/2(2a + (n-1)b)

atau

Sn = n/2 (U1 + Un)

BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA

• Contoh 1 ;• Carilah jumlah 15 suku pertama dari

barisan arithmatika ;• 13, 18, 23, 28, ……….• Penyelesaian;Pada kasus ini dapat diidentifikasi ;a = 13 b = 5 dan n = 15, jadi

S15 = 15/2(26 + (15-1)5) = 720

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

• Barisan geometri adalah barisan dengan rasio antara dua suku berurutan (r) sama

• Bentuk umum :• a, ar, ar2 , ar3 , ar4 , .......… , arn-1

• Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan geometri, yaitu;

• Sn = a + ar +ar2 + ar3 + ar4 + … +arn-1

• r = ar/a = U2/U1 disebut rasio antara dua suku berurutan, dan a = suku pertama

• Nilai dari Sn diperoleh sebagai berikut ;

Sn = a + ar +ar2 + ar3 + ar4 + ... +arn-1

rSn = ar +ar2 + ar3 + ar4 + … +arn-1 + arn

_______________________________ -Sn- rSn = a - arn

(1-r)Sn = a – arn = a(1 - rn)

Sn = a (1 – rn)/(1-r) , untuk r < 1; dan ditulis :Sn = a (rn - 1)/(r – 1) , untuk r > 1

BARISAN DAN DERET GEOMETRIContoh 3.Dengan adanya undang-undang tentang dampak lingkungan, maka perusahaan Hatsam menyisihkan dananya untuk mengawasi polusi udara disekitar pabriknya pada tahun pertama (2003) sebesar Rp. 12.500.000,- dan meningkat 15% setiap tahun berikutnya. Apabila komitmen ini tidak berubah berapakah dana yang harus disiapkan pada awal tahun 2008 ?Jawaban : Dalam kasus ini diketahui ;

a = 12.500.000, r = 1+0.15 = 1.15, dan n = 6Jadi suku ke-6 U6 = 12.500.000 (1.15)5 ,

= 25.141.965; sehingga dana yang harus disediakan pada tahun 2008 sebesar Rp. 25.141.965,-

DERET DALAM HITUNGAN KEUANGAN

HitungKeuangan

BungaTunggal

BungaMajemuk Anuitas

1. Bunga TunggalBunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang dipinjam dan jumlah yang dikembalikan.Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha.Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase).Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode

Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10% per bulan .

Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00

= Rp100.000,00 (1 +10%)Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00

= Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%)Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00+ 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%)Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... + 10% ×Rp100.000,00 = Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)

Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.

Keterangan : M = modalt = periode waktu dengan tingkat

suku bunga iB = bunga

= besar modal akhir periode t

o

Mt

B = M × t × i

M = M (1 + t × i)t

o

o

Contoh 1:

Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan

a. besar bunga setiap bulannya;b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka

waktu yang ditentukan.Jawab:Besar bunga dihitung setiap bulan.Diketahui r = 2%, M = Rp3.000.000,00, dan t = 12 bulan.a. Besar bunga setiap bulan adalah

B = M × 1 × r= Rp3.000.000,00 × 1 × 2%= Rp60.000,00

o

o

b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan adalah

M = M (1 + t × r)M = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%)

= Rp3.000.000,00(1,24)= Rp3.720.000,00

ot

12

Contoh 2:Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 30% per tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari)

Jawab:Dari soal di atas diketahui M = Rp2.000.000,00, r = 30% per tahun, dan t = 60 hari.

a. Bunga B = M × t × r= Rp2.000.000,00 × × 30%= Rp100.000,00

o

o

61

b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalah

M = M (1 + t × r)= M + M × t × r= M + B= Rp2.000.000,00 + Rp100.000,00= Rp2.100.000,00

t o

o

o

2. Bunga MajemukBunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat berbunga. Adapun perhitungannya dapat kalian pahamimelalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal sebesar M dibungakan atas dasar bungamajemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (M ) dapat dihitung dengan cara berikut.

o

t

M = M + M × i = M (1 + i)

M = M (1 + i) = [M (1 + i)] (1 + i) = M (1 + i)

M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i). . . .. . . .. . . .M = M (1 + i) = [Mo (1 + i)t-1](1 + i) = Mo (1+ i)t

Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1

2

3

1

2

o o o

o

o

o

o

2

2 3

t 1−t

Keterangan : M= modali = dasar bunga majemuk dengan tingkat suk

bunga (dalam persen) per periode tertentuM = besar modal pada periode ke-t

tot iMM )1( +=

Contoh 1:

Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 36% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?

Jawab:Diketahui M = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12 bulan.Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah

M = M (1 + i)M = Rp5.000.000,00(1 + 0,03)

= Rp5.000.000,00(1,42576)= Rp7.128.800,00

o

ot12

t

12

Contoh 2:

Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3.

Jawab:Diketahui Mo = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2. Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi,

banyak periode pembungaannya dalam setahun ada = 3

kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlahmodal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah

412

Mt = Mo (1 + i)Mo = Rp2.000.000,00(1 +

0,2/4)=

Rp2.000.000,00(1.55133)= Rp 3,102,656.43

t

9

9

Perhitungan Bunga Majemuk

mJi m=

194

Mn = Mo(1 + i)n dengan

dengan Mo = Nilai pokok awal (principal)Mn = Nilai akhirn = Jumlah periode perhitungan bungam = Frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu

2 untuk semesteran, 4 untuk triwulanan, dst.Jm = Tingkat bunga nominal tahunan dengan periode

perhitungan m kali per tahuni = Tingkat bunga per periode perhitungan bunga

Contoh 3Berapakah nilai Mn dari Mo sebesar Rp 10.000.000 jika j12 = 12% selama :

a. 5 tahunb. 25 tahun

967.166.18)01,01(000.000.10

)1(60125

01,0%112

%12000.000.10.

60

RpRp

iPMnbulantahunn

i

RpMoa

n

=+=

+=

=×=

===

=

6,662.884.197)01,01(000.000.10

)1(3001225

01,0%1000.000.10.

300

RpRp

iPMnbulantahunn

iRpMob

n

=+=

+=

=×===

=

195

BUNGA EFEKTIF DAN BUNGA NOMINAL

• Bunga Nominal tingkat bunga tahunan yang dinyatakan, dan tidak terpengaruh periode perhitungan bunga

• Bunga Efektif tingkat bunga tahunan j1 yang ekuivalen, tingkat bunga sebenarnya atau yang akan diperoleh

j1 = (1 + i)m – 1 atau

1 + j1 = (1 + i) m

196

Contoh 4

%10efektifbungaTingkat

%101025,0j1)05,1(j

121,01j.a

41

41

1

21

2

1

=

==

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += %68,12efektifbungaTingkat

%68,12126825,0j1)01,1(j

11212,01j.b

1

121

12

1

===

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

%17,14efektifbungaTingkat%17,1414165,0j

1)14165,1(j

13651325,01j.c

1

3651

365

1

===

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

197

Hitunglah tingkat bunga efektif j1 yang ekuivalen dengan:a. j2 = 10%b. j12 = 12%c. j365 = 13,25%

MENGHITUNG NILAI SEKARANG

198

nn iMn

iMnMo −+=+

= )1()1(

Contoh 5.Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo :a. 10 tahun lagib. 25 tahun lagi

Jawab:

97,477.299.30RpP)01,01(

000.000.100RpP

)i1(SP

01,0%112

%12i

1201210n000.000.100RpS.a

120

n

=+

=

+=

===

=×==

75,448.053.5RpP)01,01(

000.000.100RpP

)i1(SP

01,0%112

%12i

3001225n000.000.100RpS.b

300

n

=+

=

+=

===

=×==

199

MENGHITUNG TINGKAT BUNGA DAN JUMLAH PERIODE

200

1PSi

n1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

)i1(logPSlog

n+

=

Contoh 6.Berapa tingkat bunga j12 yang dapat membuat sejumlah uang menjadi tiga kali lipat dalam 12 tahun?

Jawab:Kita asumsikan uang tersebut sebagai x.n = 12 x 12 = 144Maka:x (1+i)144 = 3x

(1+i) = (3)1/144

i = (3)1/144 – 1i = 0,00765843

j12 = 12 x ij12 = 12 x 0,00765843 = 0,09190114j12 = 9,19%

201

Contoh 7Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat uang sebesar Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000 dengan j12 = 12%?

Jawab:

P = Rp 5.000.000S = Rp 8.500.000i = 01,0%1

12%12

==

202

Jawab:

bulan6tahun4hari10bulan5tahun4natau

bulan3277,53n01,1log7,1logn

)01,01(log000.000.5Rp000.500.8Rplog

n

)i1(logPSlog

n

≈=

=

=

+=

+=

203

CONTINUOUS COMPOUNDING• Digunakan untuk kasus-kasus yang memiliki tingkat

pertumbuhan yang sangat cepat (continuous compounding), misalnya per detik.

S = P er t

Contoh 8.Berapakah jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2010 apabila diketahui tahun 2004 Indonesia memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan penduduk per tahun 1,7%?

204

Jawab:P2004 = 220.000.000r = 1,7%t = 6

P2010 = P2004 er t

P2010 = 220.000.000 e(1,7%)(6)

P2010 = 220.000.000 e(10,2%)

P2010 = 243.624.364 jiwa

205

Contoh 9• Sebuah deposito sebesar Rp.10.000.000

dapat memberikan pendapatan bunga sebesar Rp.5.600.000 selama 36 bulan. Hitunglah tingkat bunga nominal tahunannya apabila:a. Perhitungan bunga tabunganb. Continuos compounding.

206

KASUS-KASUS HITUNG KEUANGAN

BUNGA TUNGGALContoh 1:• Sebuah lembaga kredit memberikan pinjaman

selama 3 tahun kepada konsumen sebesar Rp. 10.000.000,- dengan bunga tunggal pada tingkat suku bunga 25% per tahun. Pokok dan bunganya dibayar pada akhir tahun ke-3.Hitunglah bunga untuk periode 3 tahun itu?Berapa jumlah yang harus dibayar oleh konsumen pada akhir tahun ke-3?

Jawab :P = Rp 10.000.000,- i = 25% n = 3I = Rp 10.000.000,- x 25% x 3

= Rp. 7.500.000,-

F3 = Rp 10.000.000,- + Rp 7.500.000,-= Rp 17.500.000,-

HITUNG KEUANGAN BUNGA TUNGGAL

Dana diterima sebesar P setiap awal tahun Bunga i per tahun.Berapakah besar dana pada akhir tahun ke-n

PP P

1 2 n

F1 =P(1+i)

n-1

P

F2 =P(1+2i)

Fn =P(1+ni)

Fn-1=P(1+(n-1)i)

Sn = n/2 (F1 + Fn)

• P = 1 jt setiap awal bulan selama satu tahun dengan bunga 12% tunggal/ tahun, Jadi bunga 12%/12 = 1% per bulan. Dana akan dikembalikan pada akhir tahun.S12 = 12/2(1.01 jt + 1.12 jt) = 6(2.13 jt)

= 12.78 jt

1jt

1

Pokok+Bunga

1.010 jt

2

1jt

1.020 jt

1jt

12

1.120 jt

1jt

1.110 jt

11Lama pinjaman

• P = 2 jt disetor selama 12 bulan bunga 6% tunggal/tahun, Jadi bunga per bulan 6%/12 = 0.5%, dan seluruh dana akan dibayar pada akhir bulan ke-6 setelah penerimaan terakhirS12 = 12/2(2.06 + 2.17)jt = 6(4.23) jt = 25.38 jt

2jt

12

Pokok+Bunga

11

2jt2jt

1

2.06 jt

2.07 jt

2.17 jt

Bulan ke

• P = 5 jt disetor selama 10 bulan bunga 12% tunggal/tahun, Jadi bunga per bulan 12%/12 = 1 %, dan total dana tabungan akan dibayar pada akhir bulan ke-60 setelah penerimaan pinjaman pertamaS10 = 10/2(7.55+8.0)jt = 5(15.55) jt = 77.75 jt

5jt

10

Pokok+Bunga

9

5jt5jt

1

7.55 jt

7.60 jt

8.0 jt

$90 $90

1 2 10

$90$90

9

97.2100.8

129.6

126

Seorang pengusaha mendapat pinjaman sebesar $90.000,- untuksetiap awal semester selama 5 tahun dengan bunga tunggal 8%Per tahun, dana akan dikembalikan pada akhir semester 11, berapakah dana yang harus dibayar pengusaha tersebut?

S10 = (10/2)(97.2 +129.6) = 1.134 atau $1.134.000,-

Semester ke

Dana $ 10.000,- dibungakan 12% secara tunggal dalam bentuk kwartalan selama 5 tahun, berapakah dana tersebut setelah akhir tahun ke-5.

P = $ 10.000,-i = 0.03 per quartal5 tahun = 5 x 4 kwartal = 20 kwartalJadi n = 20F20 = 10.000(1+20(0.03))

= 10.000(1.6)= $16.000,-

Q1 Q3Q2

KONSEP BUNGA SEDERHANA(SIMPLE INTEREST – SI)

• 1. BUNGA TEPAT (exact interest method)atau SIe dengan:

• 2. BUNGA BIASA (ordinary interest method) atau SIo

365jumlahharit =

360jumlahharit =


• Contoh:• Hitung bunga tepat dan bunga biasa dari

sebuah pinjaman sebesar Rp. 40 juta selama 50 hari dengan bunga 9%.

• P = 40 jt, r = 9%, dan t = 50 hari.

Bunga tepat SIe = 40 jt x 9% x 50/365Bunga biasa Sio = 40 jt x 9% x 50/360


• Manipulasi Persamaan Bunga SederhanaSI = Prt

P = SI/rtr = SI/Pt, ataut = SI/Pr

• Jika S merupakan nilai akhir dari suatu modal yang dibungakan, maka S = P + I

S = P + PrtS = P(1+rt), jadi dapat dibuat

P = S/(1+rt)• Model ini dapat dikembangkan untuk bentuk

angsuran

TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI

• DISKON (discount) atau potongan dilakukan untuk menarik minat pembeli

• Diskon juga biasa diberikan untuk pembeli kredit agar dapat cepat melunasi kreditnya

• Diskon dapat digunakan untuk menghitung bunga wesel atau bunga penjamin yang dipotong dimuka


• Rumus-Rumus• D = S – P, D = Diskon, S = Nilai untuk

periode waktu tertentu, P = nilai pokok atau nilai awal

• D = Sdt• P = S – D, jadi P = S – Sdt, atau

P = S(1-dt)• Juga S = P/(1-dt)


• Contoh:• Tuan Johan meminjam Rp. 20 juta

selama 5 bulan dari bank dengan bunga 12%.

• Berapa besar diskon yang diterima• Berapa nilai pinjaman jika tuan Johan

ingin menerima 20 juta secara utuh


• S = 20 jt, d = 12%, t = 5 bulan

• Besar diskon D = SdtD = 20 jtx 12% x 5/12

Jadi dana yang diterima P = S-DP = 20 jt – 1 jt = 19 jt

• Agar dana 20 jt diterima secara utuhS = P/(1-dt)S = 20 jt/(1-0.05)S = 21,052,631.58


• Contoh:• Tentukan Nilai Sekarang dari 10 jt yang

jatuh tempo 1 tahun• Dengan : a. tingkat bunga 10%

b. tingkat diskon 10 %


a. S = 10 jt, r = 10%, t = 1P = S/(1+rt)P = 10 jt/(1+0,1) P = 9,900,990.10

b. S = 10 jt, d = 10%, t = 1P = S(1-dt)P = 10 jt (1-0.1)P = 9 jt

WESEL

• WESEL atau promissory notes adalah janji tertulis debitor kepada kreditor atau penerima wesel sejumlah uang, dengan bunga atau tanpa bunga pada tanggal tertentu.

Rp. 200,000,000,-(dua ratus juta rupiah) Surabaya, 1 January 2007

Seratus hari terhitug dari hari ini, saya berjanji untuk membayar kepada tuan Samuel

Dua ratus juta RupiahBeserta bunga sebesar 10% p.a

Tanda tanganYanty Karmila

WESEL• Contoh: Jika wesel yang ditanda tangani

oleh Yanty Karmila di atas akan dijual pada 1 Maret 2007 kepada Bank ‘MAN’ dengan menggunakan tingkat diskon 16%, berapa besar dana yang akan diterima tuan Samuel? Berapa tingkat bunga yang akan diterima bank, jika wesel jatuh tempo?

• Berapa tingkat bunga yang diterima tuan Samuel pada saat menjual wesel tersebut?

WESEL

200 JUTA 206,575,342.47

1 JANUARI 2007 10 APRIL 20071 Maret 2007

202,862,645.90

WESEL

• Bank menerima keuntungan sebesar

206,575,342.47 - 202,862,645.90 =

3,712,69.57

Tingkat suku bunga yang didapat bank adalah:

3,712,69.57/ (206,575,342.47(41/365)) = 16%

Future value ANUITAS• Dana diterima sebesar A setiap tahun Bunga majemuk i per

tahun.• Berapakah besar dana pada tahun ke-n

AA A

1 2 n

F1 = A

n-1

A

F2 =A(1+i)

Fn =A(1+i)n-1

Fn-1=A(1+i)n-2

ANUITAS• ΣFk = A + A(1+i) + A(1+i)2 + . . . . + A(1+i)n-1

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ……………… + arn-1

Sn = a(rn -1)/(r-1)

Analogi dengan Sn, diperoleh a = A(1+i) dan r = (1+i)

Jadi ΣFk =………..

Seorang membayar cicilan pada setiap awal bulan sebesar Rp. 1.5 juta selama 5 tahun, bunga bank 12% secara majemuk per tahun, berapakah total dana tersebut jika dihitung pada awal bulan ke 12 tahun ke-5?

S60 = 1.5jt + 1.5jt(1.01)1 + 1.5jt(1.01)2 …. + 1.5jt(1.01)59

= 1.5jt((1.01)60-1)/0.01

= ………

PRESENT VALUE DARI ANUITAS PEMBAYARAN PERTAMA DILAKUKAN DI AKHIR

AA A

1 2 n

Pn=A/(1+i)n

n-1

A

P1 =A/(1+i)

P2=A/(1+i)2

Pn-1=A/(1+i)n-1

ΣPk = P1 + P2 + P3 + ……….. + Pn

= A (1- 1/(1+i)n)/i

A

PRESENT VALUE DARI ANUITAS CICILAN PERTAMA DI AWAL PINJAMAN

AA A

1 2 n

Pn=A/(1+i)n-1

n-1

A

P1 = A

P2=A/(1+i)

Pn-1=A/(1+i)n-2

ΣPk = P1 + P2 + P3 + ……….. + Pn

= A(1+i) (1- 1/(1+i)n)/i

Future dan Present ValueMn = M(1+i)n dan M = Mn/(1+i)n

M Mn

FV dari M

PV dari Mn

Jawab :

A = Rp 600.000,- i = 12% n = 4 F = 600.000(1.12) ( 1+ 0,12 )4 – 1 0,12 = 672.000 ( 4,77933 ) = Rp 3.211.708,42-

Toni ingin mendepositokan uang sebanyak Rp 600.000,- pada permulaan dari setiap tahun selama 4 tahun dengan pembayaran bunga 12% per tahun secara majemuk.Penempatan deposito pertama akan dilakukan tgl 1 januari 1998 dan terakhir pada tgl 1 januari 2001.Berapa nilai dari deposito toni pada 1 januari 2002

• Sebuah perusahaan ingin menyisihkan dananya mulai pada akhir tahun ini. Jika dana itu didepositokan dengan bunga 8% per tahun dimajemukkansecara annually ( tahunan ), berapa uang yang harus didepositokan setiaptahun untuk mendapatkan dana $ 12 juta pada akhir tahun ke-10? Berapa bunga yang diperoleh perusahaan tersebut ?

Jawab : F10 = $12.000.000 i = 8% n = 10 A = 12.000.000 __ 0,08______ ( 1 + 0,08 )10 – 1 = 12.000.000 ( 0,06902 ) = $ 828.240 jadi yang didepositokan setiap tahun adalah sebesar $ 828.240 sedangkan total yang didepositokan selama 10 tahun = $ 828.240 x 10 = $ 8.282.400 Bunga yang diperoleh selama 10 tahun : = $ 12.000.000 - $ 8.282.400 = $ 3.717.600

Jawab :

F40 = $ 12.000.000 i = 0,08/4 = 0,02 n = 10.4 = 40

A = 12.000.000 __ 0,02______ ( 1 + 0,02 )40 – 1 = 12.000.000 ( 0,01655 ) = $ 198.600

Bila perusahaan itu mendepositokan secara kuartalan, berapa uang yang harus didepositokan setiap kuartalnya? Berapa bunga yang diperoleh dari deposito tersebut?

jadi yang didepositokan setiap kuartalnya $ 198.600sedangkan total yang didepositokan = $ 198.600 x 40

= $ 7.944.000

Bunga yang diperoleh = $ 12.000.000 - $ 7.944000= $ 4.056.000

Jawab : A = $ 20.000 i = 6% n = 4 PA = 20.000 ( 1 + 0,06 )4 – 1 0,06 ( 1 + 0,06 )4 = 20.000 ( 3,46510 ) = $ 69.301,65

Si Budi memenangkan lottery dan ia akan menerima pembayaran setiap akhir tahun $ 20.000,- selama 4 tahun . Apabila Budi dapat mengambil uang tersebut sekaligus saat ini, dengan perhitungan tingkat bunga 6% per tahun , berapa nilai saat ini dari pembayaran 4 tahun tersebut?

ALJABAR MATRIKS1. MATRIKS 1.1 PENGERTIAN Matriks dapat didefinisikan sebagai suatu set yang unsur-unsurnya disusun dalam suatu daftar persegi menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ], atau dengan kata lain ( a matrix is a common device for summarizing and displaying numbers or data ). Bentuk umum matriks : a11 a12 . . a1n a21 a22 . . a2n A = . . . . . . . . . . am1 am2 . . amn Matriks A mempunyai m baris dan n kolom. Matriks A ini terdiri dari elemen-elemen aij yang menunjukkan lokasi dari elemen-elemen di dalam matriks dimana i menunjukkan baris ke-i dan j menunjukkan kolom ke-j

ALJABAR MATRIKS

Contoh : Elemen a21 berada di baris ke-2 dan kolom ke-1 Elemen a53 berada di baris ke-5 dan kolom ke-3 Pada umumnya Nama matriks dilambangkan dengan huruf besar. Suatu matriks A yang jumlah barisnya m dan jumlah kolomnya n dikatakan berdimensi atau berordo m x n dan ditulis Amxn. Contoh : test 1 2 3 1 75 82 86 2 91 95 89 student 3 65 70 68 4 59 80 99 5 75 76 74

TIPE-TIPE MATRIKS 1.2 TIPE-TIPE KHUSUS DARI MATRIKS A. VEKTOR

Vektor adalah suatu matriks yang hanya mepunyai 1 baris atau 1 kolom saja. Vektor baris : sebuah matriks yang hanya mempunyai 1 baris. Sebuah vektor baris R mempunyai n elemen rij mempunyai dimensi (1 x n ) danmempunyai bentuk umum : R = ( r11 r12 r13 . . r1n ) Contoh : ke tiga nilai test untuk student 1 dapat ditulis dalam vektor baris (1x3) A = ( 75 82 86 )

TIPE-TIPE MATRIKSVektor kolom : sebuah matriks yang hanya mempunyai 1 kolom. Sebuah vektor kolom C mempunyai m elemen cij mempunyai dimensi (m x 1)dan mempunyai bentuk umum : c11 c21 C = c31 . . cm1

Contoh : Pada test yang pertama nilai untuk ke-5 student dapat ditulis dalam vektor kolom ( 5x1 )

75 95

T = 65 59 75

TIPE-TIPE MATRIKSB. MATRIKS BUJURSANGKAR Matriks bujursangkar adalah sebuah matriks yang jumlah baris dan kolomnya

sama.

Jika matriks berdimensi ( mxn ), maka untuk matriks bujursangkar, nilai m = n Contoh :

1 3 2 0 -3 A = ( 3) B = -5 4 C = 1 -4 5

0 2 6

Bila elemen-elemen aij dengan i = j maka aij disebut diagonal utama. Contoh : elemen-elemen diagonal utama dari matriks B adalah b11 = 1 dan b22 = 4 elemen-elemen diagonal utama dari matriks C adalah c11= 2, c22= -4, c33= 6

TIPE-TIPE MATRIKS Matriks identitas (matriks satuan) adalah matriks bujursangkar dimana

elemen-elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen-elemen lainnya adalah 0.

Contoh : 1 0 0 I (2x2) = 1 0 dan I (3x3) = 0 1 0 0 1 0 0 1

C. TRANSPOSE MATRIKS Matriks A(mxn) dengan elemen-elemen aij, jika ditranspose dapat ditulis At, akan menghasilkan matriks dengan ordo (nxm) dimana at

ij = aji atau dengan kata lainunsur baris dari matriks A menjadi unsur kolom pada matriks A transposenya dan unsur kolom dari matriks A menjadi unsur baris pada matriks A transpose. Contoh : 3 2 3 4 1 A (3x2) = 4 0 maka A t

(2x3) = 2 0 -2 1 -2

OPERASI MATRIKS2. OPERASI MATRIKS

2.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS Dua buah matriks hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan bila kedua matrikstersebut mempunyai dimensi yang sama. Contoh : A = 1 3 dan B = -3 2 4 -2 0 4 A + B = 1 3 + -3 2 4 -2 0 4 1+(-3) 3+2 = = -2 5 4+0 -2+4 4 2

B – A = -3 2 -- 1 3

0 4 4 -2 -3 - 1 2 – 3 = = -4 -1 0 - 4 4 - (-2) -4 6

OPERASI MATRIKS

2.2 PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar dari sebuah matriks adalah mengalikan sebuah matriks dengansebuah skalar ( real number ). Contoh : 5 3 5k 3k kA = k . –2 1 = -2k k 0 4 0 4k 2.3 PERKALIAN MATRIKS Suatu matriks A yang berdimensi mA x nA hanya dapat dikalikan dengan suatumatriks B yang berdimensi mB x nB, jika jumlah kolom dari matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B atau nA=mB , sehingga hasil perkalian dari matriks Adengan matriks B merupakan matriks C yang berdimensi mA x nB. A . B = C (mA x nA) (mB x nB) (mA x nB) =

OPERASI MATRIKSContoh : A = 2 4 dan B = -4 3 1 2 A x B = C (2 x 2) (2 x 1) (2 x 1) = 2 4 -4 = c11 3 1 2 c21 2.(-4) + (4.2) 0 = = 3.(-4) + (1.2) -10

PERSAMAAN LINEAR

2.4 REPRESENTASI PERSAMAAN LINIER Suatu persamaan linier yang berbentuk : a1x1 + a2x2 + a3x3 + ..... + anxn = b Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks : x1

x2 (a1 a2 a3 ... an) x3 = b

. . xn

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

2.5 REPRESENTASI SISTEM PERSAMAAN LINIER Suatu sistem persamaan linier (m x n) yang berbentuk : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks : A X = B a11 a12 . . . a1n x1 b1 a21 a22 . . . a2n x2 b2 . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . amn xn bm

A X B

DETERMINAN DARI MATRIKS BUJURSANGKAR

2.6 DETERMINAN ( ∆ atau | A | ) Determinan hanya dapat didefinisi untuk matriks bujursangkar. Determinan dari matriks ( 1 x 1)

Determinan dari matriks (1x1) adalah nilai dari elemen yang terdapat dalam

matriks itu sendiri. Jika A = ( 5 ) maka | A | = 5 B = ( -10 ) maka | B | = -10

Determinan dari matriks ( 2 x 2 )

a11 a12 A = a21 a22 Contoh : 1 -2 A = 3 4 | A | = (1) (4) - (3) (-2) = 4 + 6 = 10

| A | = a11a22 – a21a12

DETERMINAN Deteminan dari matriks ( 3 x 3 )

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 a31 a32 a33

Determinan dapat dicari dengan proses SARUS (khusus ordo 3x3) sbb : (i) Tulis kembali 2 kolom pertama di sebelah kanan dari matriks (ii) Letakkan elemen-elemen dari diagonal utama ( P1, P2, P3) dan diagonal

lainnya ( S1, S2, S3 ). (iii) Kalikan elemen-elemen dari masing-masing diagonal tersebut. (iv) Determinan dari matriks tersebut adalah penjumlahan dari P1, P2, P3 dikurangi

dengan penjumlahan dari S1, S2, S3. S1(-) S2(-) S3 (-) a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 P1(+) P2(+) P3(+)

DETERMINAN Contoh : 3 1 2 A = -1 2 4 3 -2 1 S1 S2 S3 3 1 2 3 1 -1 2 4 -1 2 3 -2 1 3 -2 P1 P2 P3 | A | = 3.2.1 + 1.4.3 + 2 (-1) (-2) - 3.2.2 + (-2).4.3 + 1 (-1) (1) = ( 6 + 12 + 4 ) - ( 12 - 24 – 1 ) = 22 – ( -13 ) = 35

| A | = ( a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ) - ( a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12 )

DETERMINAN Metode Ekspansi Kofaktor (Expansi Laplace)

Metode ini dapat digunakan untuk semua matriks bujursangkar dengan dimensi(2x2 ) atau lebih. Metode ini dikembangkan oleh Laplace, sehingga metode ini disebut juga ekspansi Laplace Kij = ( -1 ) i+j Mij Kij disebut kofaktor dari unsur aij Mij disebut Minor, adalah determinan dari matriks dengan i = unsur baris yang dihilangkan dan j = unsur kolom yang dihilangkan dari matriks asal Jika jumlah kedua indeks i dan j pada minor Mij genap, maka kofaktornya Kij = Mij, bila ganjil, maka Kij = - Mij a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 a31 a32 a33

| A | = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13 = a11 M11 - a12 M12 + a13 M13

Ekspansi pada barisPertama

• 3 1 2• A= -1 2 4• 3 -2 1•

k32

K =k11 k12 k13

k21 k22 k23

k31 k33

K =

2 4-2 1

-1 4

3 1-1 23 -2

3 2

3 1

1 2

-2 1

3 1

3 -2

1 2

2 4

3 2

-1 4

3 1

-1 2

-

- -

-

DETERMINAN

••

• K =

10 13 -4

-5 -3 9

0 -14 7

Adjoint A = K’ = 10

13

-4

-5

-3

9

0

-14

7

A.K’ =

35

35

35

0 0

00

0 0

= IAI.I

= 351

1

1

0 0

00

0 0

DETERMINANContoh : 1. 3 1 2 A = -1 2 4 3 -2 1 2 4 -1 4 -1 2 | A | = 3 -2 1 -- 1 3 1 + 2 3 -2 = 3 ( 10 ) -- 1 ( - 13 ) + 2 ( -4 ) = 30 + 13 – 8 = 35 2. 3 0 1 2 6 -2 -5 4 A = -1 0 2 4 3 0 -2 1 | A | = 0 C12 + (-2) C22 + 0 C32 + 0 C42 = 0 + (-2) C22 + 0 + 0 3 1 2 = -2 -1 2 4 = -2 . 35 = -70 3 -2 1

SIFAT DETERMINAN Sifat-sifat Determinan

1. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, maka |A| = 0 Contoh : 5 0 A = maka |A| = 0

10 0

2. Jika dua baris atau kolom dipertukarkan, maka tanda determinan akan berubah. Contoh : 1 5 A = maka |A| = 45 -6 15 bila kolomnya dipertukarkan: 5 1 A = maka |A| = - 45

15 -6

3. Mengubah unsur dari baris menjadi unsur kolom yang bersesuaian tidak akan mempengaruhi nilai suatu determinan atau dengan kata lain | A | = | At | Contoh : 4 3 A = maka |A| = 9 5 6 sama 4 5 At = maka |A| = 9 3 6

SIFAT DETERMINAN4. Perkalian dari setiap satu baris ( atau satu kolom ) dengan suatu skalar k

akan menyebabkan determinan dari matriks sama dengan k. |A| Contoh :

Lihat matriks A di no.3, tiap elemen di kolom ke-2 dikalikan dengan –5 : 4 -15 B = maka |B| = (4. –30) – (5. –15) = -45 5 -30 = -5 . |A| = -5 . 9 = -45 5. Penambahan atau pengurangan dari kelipatan suatu baris atau kolom dengan baris atau kolom lainnya, tidak merubah nilai determinan. Contoh : Lihat matriks A di no.3, kalikan baris ke-1 dengan –3 dan tambahkan ke baris 2 4 3 4 3 A = = 5+(4)(-3) 6+(3)(-3) -7 -3 = -12 – (-21) = 9

6. Jika suatu baris atau kolom merupakan kelipatan dari baris atau kolomlainnya, maka determinannya sama dengan 0.

Contoh : 3 2 A = baris ke-2 merupakan kelipatan 2 dari baris ke-1

6 4 | A | = 12 – 12 = 0

MATRIKS INVERS 2.7 MATRIKS INVERS A-1 Sebuah matriks A mempunyai invers jika :

a. matriks tersebut berbentuk matriks bujursangkar. b. Nilai determinan bukan nol ( matriks A adalah matriks nonsingular ).

Matriks A-1 adalah invers matriks A, juga berupa matriks bujursangkar dan mempunyai dimensi yang sama dengan matriks A dan memenuhi sifat : A . A-1 = A-1. A = I Untuk menentukan invers suatu matriks dapat menggunakan metode :

1. Metode Operasi Baris Elementer (Gauss ) 2. Metode Matriks Adjoint

MATRIKS INVERS2.7.1 OPERASI BARIS ELEMENTER ( GAUSS ) Langkah-langkahnya : (i) Gabungkan matriks A dengan matriks identitas yang berdimensi sama. ( A | I ) (ii) Lakukan operasi baris elementer pada matriks diatas untuk

mentransformasikan matriks menjadi : ( I | A-1 )

dimana A-1 merupakan invers dari matriks A.

MATRIKS INVERSContoh : 3 7 A = 2 5

3 7 1 0 b1 x 1/3 =

2 5 0 1 1 7/3 1/3 0 = 2 5 0 1 b2 – 2 b1

1 7/3 1/3 0 = 0 1/3 -2/3 1 b2 x 3 1 7/3 1/3 0 b1 – 7/3 b2 = 0 1 -2 3

MATRIKS INVERS

1 0 5 -7 = 0 1 -2 3

5 -7 Jadi A-1 =

-2 3

MATRIKS INVERS

2.7.2 MATRIKS ADJOINT Langkah-langkahnya : (i) Hitung kofaktor untuk semua elemen A dan susun kofaktor tersebut dalam

suatu matriks K = [ Kij ] (ii) Cari determinannya |A| , dimana |A| ≠ 0 (iii) Ubahlah matriks kofaktor K menjadi transpose Kt yang disebut matriks adjoint.(iv) Hitung matriks invers A-1 dengan menggunakan rumus : A-1 = 1 Adjoint A |A|

MATRIKS INVERSKontoh :

3 7 A = Karilah A-1

2 5 | A | = 15 – 14 = 1

5 -2 5 -7 K = maka adjoint A = Kt =

-7 3 -2 3 sehingga invers A-1 adalah : A-1 = 1 Adjoint A |A|

= 1 5 -7 = 5 -7 1 -2 3 -2 3

MATRIKS INVERS 2 3 0 B = 1 4 -2

7 0 5 4 -2 1 -2 | B | = 2 0 5 - 3 7 5 + 0 = 2 (20) - 3 (19) + 0 = 40 - 57 = -17 4 -2 1 -2 1 4 0 5 - 7 5 7 0 3 0 2 0 2 3 K = - 0 5 7 5 - 7 0 3 0 2 0 2 3 4 -2 - 1 -2 1 4

MATRIKS INVERS

20 -19 -28 K = -15 10 21 -6 4 5 20 -15 -6 Adjoint B = Kt = -19 10 4 -28 21 5 20 -15 -6 -20/17 15/17 6/17 B-1 = 1 -19 10 4 = 19/17 -10/17 -4/17 -17 -28 21 5 28/17 -21/17 -5/17

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

2.8 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Aljabar matriks hanya dapat diterapkan pada sistem persamaan linier. AX = b ( A matriks Bujur Sangkar, X vektor kolom variabel, dan b vektor kolom konstanta) Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dapat menggunakan :

1. Aturan Cramer 2. Matriks Invers

1. Menggunakan Aturan Cramer

Xj = | Aj| | A |

dimana , Xj = variabel ke-j yang ingin diketahui nilainya | A | = determinan dari matriks koefisien | Aij| = determinan dari matriks koefisien yang nilai kolom ke-j diganti

dengan nilai konstanta.

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Contoh :

x1 + 2x2 + 3x3 = 28 -x1 + x2 + 2x3 = 14 3x1 - x2 + 5x3 = 32

Carilah determinan dari matriks koefisien :

1 2 3 1 2 -1 2 -1 1 | A | = -1 1 2 = 1 -1 5 - 2 3 5 + 3 3 -1 3 -1 5 = 1 ( 7 ) - 2 ( -11 ) + 3 ( -2 ) = 7 + 22 - 6 = 23

Buatlah |A1| ; |A2|; dan |A3| dengan cara menggantikan masing-masing vektor kolom variabel x1, x2 dan x3 dengan vektor konstanta.


28 2 3 14 2 28 3 28 3 | A1 | = 14 1 2 = -2 32 5 + 1 32 5 - (-1) 14 2 32 -1 5 = -2 ( 6 ) + 1 ( 44 ) + 1 ( 14 )

= -12 + 44 + 14 = 46 1 28 3 | A2 | = -1 14 2 = 92 3 32 5 1 2 28 | A3 | = -1 1 14 = 138 3 -1 32 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah : x1 = | A1| = 46 = 2 | A | 23 x2 = | A1| = 92 = 4

| A | 23

x3 = | A1| = 138 = 6 | A | 23


(ii) Menggunakan Matriks Invers Setiap sistem persamaan linier dapat dibawa ke dalam bentuk matriks : A X = B, A-1A X = A-1B I X = A-1 B X = A-1 B Contoh : 1 2 3 x1 28 -1 1 2 x2 = 14 3 -1 5 x3 32 Ditulis dalam sistem persamaan linear berikut:

X1 + 2X2 + 3X3 = 28-X1 + X2 + 2X3 = 143X1 – X2 + 5 X3 = 32

A X B


X1 7/23 -13/23 1/23 28 X2 = 11/23 -4/23 -5/23 14 X3 -2/23 7/23 3/23 32 X1 46/23 2 X2 = 92/23 = 4 X3 138/23 6 Jadi x1 = 2 ; x2 = 4 ; x3 = 6

EKONOMI LINEAR

• Aljabar Matriks dan vektor sangat membantu dalam menyelesaikan masalah ekonomi linear.

• Ekonomi Linear mempunyai tiga bagian utama, yaitu :

1. Teori Permainan (Neumann, 1928)2. Analisa Input-Output (Leontief, 1936)3. Program Linear (Dantzig, 1947)

Analisa Input Output

• Sebuah ekonomi terdiri atas berbagai industri, dan sebuah industri terdiri dari berbagai usaha produksi.

• Suatu ekonomi adalah keseluruhan industri suatu masyarakat, sedangkan suatu industri ialah keseluruhan usaha produksi sejenis suatu masyarakat

ANALISA INPUT OUTPUT

• Suatu usaha produksi atau perusahaan menggunakan input tertentu dan menghasilkan output tertentu, demikian juga untuk suatu industri.

• Output suatu industri sebagian dipakai sebagai input industri-industri dari ekonomi yang ditinjau, selebihnya untuk permintaan masyarakat

ANALISA INPUT OUTPUT

• Misalkan suatu ekonomi terdiri atas n industri yang masing-masing memproduksi satu jenis barang, dapat dibuat dalam tabel berikut :

Industri Produksi

Input IndustriJ = 1, 2, …., n

Permintaan Akhir Ci

Output totalXi

i = 123..

n

b11 b12 ….b1n

b21 b22 ….b2n

b31 b32 ….b3n. . . .

. . . .bn1 bn2 ….bnn

c1

c2

c3

.

.cn

x1

x2

x3

.

. xn

ANALISA INPUT-OUTPUT

• Nilai bij = nilai dalam Rp. output industri i yang dipakai industri j sebagai input, sedangkan ci = permintaan masyarakat atas output industri i, dan:

• xi = bi1 + bi2 + bi3 + ……. + ci, ialah total output industri ke- i.

• Kalau dimisalkan aij = bij/xj , jadi bij = aijxj• Sehingga xi dapat ditulis :• xi = ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ….. + ainxn + ci

• (1- a11)x1 – a12x2 – a13x3 - ….. - a1nxn = c1; (i =1)

APLIKASI PADA ANALISA INPUT-OUTPUT

APLIKASI ( ANALISA INPUT-OUTPUT ) Tujuan : untuk menentukan berapa banyak tingkat output dari setiap industri

yang harus diproduksi dalam suatu perekonomian, agar dapat memenuhi totalpermintaan produk.

Permintaan total x untuk produk i akan merupakan penjumlahan dari semua permintaan antara / permintaan antar individu dan ditambah permintaan akhir buntuk produk tersebut.

Jika aij adalah suatu koefisien teknis (elemen matriks koefisien) yangmenyatakan harga input i yang diperlukan untuk memproduksi produk j seharga satu rupiah, maka permintaan total untuk produk i dapat dinyatakan :

xi = ai1x1 + ai2x2 ..... + ainxn + ci untuk i = 1,2, ..., n dalam bentuk matriks dapat dinyatakan : X = AX + C X – AX = C IX - AX = C ( I – A ) X = C X = ( I – A )-1 C


Contoh : Tentukan permintaan total x untuk industri 1, 2 dan 3 dengan mengetahui :

0,3 0,4 0,1 20 A = 0,5 0,2 0,6 C = 10 0,1 0,3 0,1 30 X = ( I – A )-1 C 1 0 0 0,3 0,4 0,1 0,7 -0,4 -0,1 ( I - A ) = 0 1 0 - 0,5 0,2 0,6 = -0,5 0,8 -0,6 0 0 1 0,1 0,3 0,1 -0,1 -0,3 0,9 0,54 0,39 0,32 ( I – A )-1 = 1__ 0,51 0,62 0,47 0,151 0,23 0,25 0,36


0,54 0,39 0,32 20 X = 1__ 0,51 0,62 0,47 10 0,151 0,23 0,25 0,36 30 24,3 160,93 = 1__ 30,5 = 201,99 0,151 17,9 118,54 Jadi industri 1 memproduksi output $ 160,93 ; industri 2 $ 201,99 ; industri 3 $118,54.

SOAL-SOALMATRIKS

Tentukan dimensi dari masing-masing matriks dibawah ini dan cari transposenya! 1. ( 8 -8 5 3 ) 2. 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 2 6 3. -3 8 4. 1

2 3 1 0 0 4

5. 0 1 0 0 0 1

1 3 5 6 4 2 -6 3 2 4 7. 0 1 2 6. 2 3 3 4 4 6 3 2 -1 5 8 5 1 2

SOAL-SOALOPERASI MATRIKS

1. - 4 -2 - 3 12 2. –3 4 -3 + 8 12 10 5 8 8 4 -1 -4 -2 -4 3. 5 -8 + -6 -2 - -10 5 4. ( 7 -3 ) 4 2 14 10 -4 21 -8 8 5. 4 0 2 6 6. 10 -5 1 0 1 -2 9 -7 8 0 13 0 1 0 2 -1 6 1 0 10 0 -2 7 7. 1 0 -4 0 -3 0 8. ( 1 8 -2 ) 3 -4 10 3 -2 -1 1 4 1 1 2 -3

SOAL-SOAL9. Seorang instruktur memberikan 3 test kepada 5 siswanya dan memberikan bobot

30% untuk test 1 dan test 2, sedangkan test 3 sebesar 40%. Instruktur itu akan memberikan rata-rata/nilai akhir kepada ke-5 siswa itu dengan

menggunakan matriks. Matriks dari nilai-nilai itu adalah sbb : 75 82 86 91 95 100 G = 65 70 68 59 80 99 75 76 74 W = ( 0,30 0,30 0,40 ) berapa nilai akhir untuk masing-masing siswa?

SOAL-SOALTulis kembali dalam bentuk matriks. 10. x - 3y = 15 11. 5x3 - 2x2 + x1 = 100 2x + 3y = -10 3x3 = -18 5x2 = 125

DETERMINAN

Carilah determinannya ! 1. T = 8 3 2. B = 40 8 -2 -4 30 6 -1 2 -3 3 0 5 3. A = 2 -4 1 4. C = 1 4 -2 3 -6 9 1 1 1 2 7 -2 0 7 -4 2 -3 5. N = 1 -2 -3 0 6. D = 0 0 -3 0 3 3 6 9 4 -1 2 4 6 -3 -2 0 6 2 8 4 0 0 8 0 0 3 0 2 0 9 7. A = 2 6 -2 0 -6 3 -3 4 0 3 2 3 12 1 -4

INVERS MATRIKS 1. T = 1 -1 2. B = 2 3 2 -3 4 7 1 1 1 3 5 2 3. A = 2 -1 1 4. C = 4 1 0 2 3 4 -9 -15 -6

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Tentukan solusi dari sistem persamaan linier dengan aturan Matriks Invers. 1. 8x1 + 3x2 = 10 2. 40x1 + 8x2 = 80 -2x1 – 4x2 = 12 30x1 + 6x2 = 60 3. –x1 + 2x2 – 3x3 = 24 4. 3x1 + 5x3 = 14 2x1 – 4x2 + x3 = 12 x1 + 4x2 – 2x3 = -10 3x1 – 6x2 + 9x3 = 16 x1 + x2 + x3 = 2

S0AL-S0ALTentukan solusi dari sistem persamaan linier dengan invers matriks. 1. x1 – x2 = -1 2. 2x1 + 3x2 = 1 2x1 – 3x2 = -5 4x1 + 7x2 = 3 3. x1 + x2 + x3 = 2 4. 3x1 + 5x2 + 2x3 = 20 2x1 - x2 + x3 = 9 4x1 + x2 = 40 2x1 + 3x2 + 4x3 = 4 -9x1 – 15x2 – 6x3 = 30

Data dari suatu perusahaan yang menghasilkan 3 jenis produksi adalah sbb : Faktor jenis produk kapasitas Produksi I II III tersedia K 2 4 5 65 L 4 2 3 65 M 6 3 9 120

a. Rumuskan data diatas dalam bentuk persamaan linier dan nyatakan dalambentuk Ax = b

b. Apabila kapasitas yang tersedia harus dihabiskan, berapa banyak yang dapatdihasilkan untuk masing-masing produk dalam satu periode produksi?

SOAL-SOALAPLIKASI

1. Tentukan permintaan total untuk industri 1, 2 dan 3 bila diketahui matriks

koefisien teknis A dan vektor permintaan akhir B adalah sbb : 0,4 0,3 0,1 140 A = 0,2 0,2 0,3 B = 220 0,2 0,4 0,2 18 2. Perusahaan penyewaan mobil merencanakan untuk program maintenance

tahun depan. Pihak manajemen tertarik untuk menentukan kebutuhan perusahaan untuksparepart dan costs untuk masing-masing sparepart . Matriks Nmengindikasikan jumlah tiap ukuran mobil yang tersedia untuk 4 wilayah.Sedangkan matriks R menunjukkan rata-rata jumlah sparepart yang yangdibutuhkan setiap kendaraan per tahunnya.

Besar Sedang Kecil 16,000 40,000 50,000 East

N = 15,000 30,000 20,000 Midwest 10,000 10,000 15,000 South 12,000 40,000 30,000 West

SOAL-SOAL 1.7 1.6 1.5 A

R = 12.0 8.0 5.0 B 0.9 0.75 0.5 C 4.0 6.5 6.0 D

a. Tentukan berapa jumlah masing-masing sparepart yang dibutuhkan untuksetiap wilayah.

b. Berapa biaya yang harus dikeluarkan oleh masing-masing wilayah dan jumlah keseluruhan biaya yang harus ditanggung manajemen untuk keempatwilayah tersebut bila diketahui biaya/unit untuk masing-masing spareparts :

C = ($1.25 $0.80 $30.00 $35.00)

Data dari suatu perusahaan yang menghasilkan 3 jenis produksi adalah sbb : Faktor jenis produk kapasitas Produksi I II III tersedia K 2 4 5 65 L 4 2 3 65 M 6 3 9 120

a. Rumuskan data diatas dalam bentuk persamaan linier dan nyatakan dalambentuk Ax = b

b. Apabila kapasitas yang tersedia harus dihabiskan, berapa banyak yang dapatdihasilkan untuk masing-masing produk dalam satu periode produksi?

industri INPUT INDUSTRI

PERMINTAAN AKHIR

I II III Cj

I 20 40 30 15

II 25 10 5 20

III 15 25 15 25

OUTPUT

Xj

105

60

80

Tentukan Output Xj jika terjadi perubahan permintaan akhir cj, yaitu c1 = 20, c2 = 30 dan c3 = 35

KALKULUS DIFERENSIAL

FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS

KONSEP DIFERENSIAL• DIFERENSIAL merupakan salah satu bidang

studi dari kalkulus selain integral• Kalkulus DIFERENSIAL mempelajari tentang

perubahan rata-rata atau tingkat perubahan seketika dari sebuah fungsi.

• Kalkulus Integral mempelajari tentang pencarian nilai fungsi awal apabila diketahui nilai perubahannya, selain itu dapat juga digunakan untuk menghitung luas daerah, volume benda ruang.

• Operasi matematika untuk kalkulus DIFERENSIAL dan kalkulus integral saling berbalik (invers)

KONSEP DIFERENSIAL

• Penerapan konsep kalkulus diferensial dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah untuk membandingkan perubahan dari suatu keseimbangan kepada keseimbangan lainnya

• Analisis ini biasanya termasuk dalam analisis komparasi statis, gunanya untuk mencari tahu suatu tingkat perubahan nilai keseimbangan variabel tidak bebas (endogen) akibat perubahan nilai satu atau lebih variabel bebas (eksogen)

KONSEP LIMIT

• Konsep DIFERENSIAL dimulai dari konsep limit dan kontinuitas

• Konsep limit dan kontinuitas merupakan dasar untuk memahami konsep DIFERENSIAL dan integral

DEFINISI LIMIT•

X

F(x)

c

L

F(x)

L

Lim F(x) = L jika dan hanya jikax

c -

c +

c

Lim F(x) = L (limit kiri) dan x c-

Lim F(x) = L (limit kanan) x c+

LIMIT dan KONTINUITAS• (1) Harga limit fungsi y = f(x) untuk x mendekati c

bernilai L artinya apabila x mendekati c dari kiri (c-) dan x mendekati c dari kanan (c+) maka nilai y = f(x) mendekati L, tidak diharuskan nilai y = f(c) = L di x=c.

• (2) Apabila pada kondisi di atas limit fungsi y = f(x) untuk x mendekati c bernilai L dan nilai fungsi y = f(c) = L untuk x = c, maka dapat dikatakan y = f(x) kontinu di x = c.

• (3) Jika fungsi y = f(x) tidak memenuhi paling sedikit salah satu syarat (1) dan (2), maka fungsi y = f(x) dikatakan diskontinu di x = c

JENIS FUNGSI DISKONTINU1. Diskontinu titik fungsi y = f(x) di x mendekati c, jika

limitnya ada, tetapi nilai fungsinya di x = c tidak ada atau tidak sama dengan nilai limit.

2. Diskontinu melompat fungsi y = f(x) di x mendekati c, jika nilai limitnya tidak ada, tetapi nilai limit kiri ada dan nilai limit kanan ada dan keduanya tidak sama.

3. Diskontinu tak berhingga fungsi y = f(x) di x mendekati c, jika nilai limit kiri tak berhingga dan nilai limit kanan tak berhingga yang pada umumnya berlawanan tanda.

CONTOH LIMIT DAN KONTINUITAS

• SECARA GRAFIKY = f(x)

X

Y

c

L

X

Y

c

L1

X

Y

c

L

X

Y

c

L

L2

Y = f(x)

Y = f(x)

Y = f(x)

Y = f(x)

FUNGSI Y=F(X)KONTINU DI X = C

FUNGSI Y=F(X)MEMPUNYAI LIMIT L DI X = C

diskontinu titik

FUNGSI Y=F(X)TDK MEMPUNYAI LIMIT DI X = C

Diskontinu melompat FUNGSI Y=F(X)DISKONTINU TAK BERHINGGA

DI X = C

DEFINISI KONTINUITAS

1. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada interval terbuka (a,b) apabila fungsi kontinu pada setiap titik pada interval tersebut

2. Jika f(x) = k, (k = konstanta), maka f(x) kontinu untuk semua titik x

3. Jika f(x) = xn , n bilangan bulat positip, maka f(x) kontinu untuk semua titik x

BEBERAPA CONTOH LIMIT DAN KONTINUITAS

24

2

2lim −−

xx

x α1.

2. Tentukan harga )(lim1

xfxα

Jika

⎩⎨⎧

>

<=

−− 1;;

1;;2)(

112 xjika

xjikaxxf

xx

3. Selidiki apakah y = f(x) kontinu di x = c yang ditentukan

a. Y= f(x) =

283

++

xx

untuk x ≠ 3

6x + 9 ; untuk x = 3

b. Y= f(x) =; untuk x ≠ 2

1/2 ; untuk x = 2

222

−−

xx

c. Y= f(x) =

3273

−−

xx

untuk x ≠ -2

12 ; untuk x = -2

Tingkat Perubahan • Pandang sebuah fungsi y = f(x), dalam hal

ini y sebagai variabel respon atau variabel tidak bebas dan x sebagai variabel bebas.

• Jika ∆x adalah perubahan dalam satuan x, dan ∆y adalah perubahan dalam satuan y, maka perubahan keseimbangan variabel respon y akibat perubahan x adalah :

∆y = f(x+ ∆x) – f(x)

Tingkat Perubahan Rata-Rata

• Rasio antara perubahan y yaitu ∆y dengan perubahan x yaitu ∆x, disebut perubahan rata-rata ditulis ∆y/∆x

• Rasio tersebut dapat ditulis :

xxfxxf

xy

∆−∆+

∆∆ = )()(

DERIVATIVE FUNGSI LINEAR DAN NON LINEAR

x

yy=f(X)

x∆y∆

y∆

y∆

x∆

x∆

Besaran ∆y/∆xSelalu sama untuk

fungsi linear

x

y

y=f(x)

∆y3

∆y2

∆y1∆x

∆x

∆x

Besaran ∆y/∆xSelalu tidak sama untuk

Fungsi non linear

DERIVATIVE• Tingkat perubahan seketika dari suatu

fungsi y = f(x), disebut sebagai derivative pertama, dan lebih disebut dengan derivative

• Derivative dari fungsi y = f(x) adalah mengukur perubahan rata-rata y akibat perubahan x yang sangat kecil dan ditulis dy/dx

Grafik Konsep Derivativey

x

y=f(x)

x x+∆x

f(x)

f(x) f(x + ∆x)

f(x + ∆x)

∆y

∆x

∆yx

xfxxfxy

∆−∆+

∆∆ = )()(

DERIVATIVE• Perubahan x terkecil artinya ∆x mendekati nol (0),

mengakibatkan dapat ditulis dy/dx ;

• jadi dy/dx mempunyai pengertian dengan konsep limit:

• dy/dx sering ditulis y’ dan disebut turunan pertama dari fungsi y = f(x)

• Contoh: Tentukan dy/dx dari y =f(x) = 2x2 + 1 dengan konsep limit

xxfxxf

xdxdy

∆−∆+

∆= )()(

0limα

xxfxxf

xy

∆−∆+

∆∆ = )()(

Aturan DIFFERENSIAL Fungsi atau Turunan Pertama Fungsi (y’)

• 1. y = C ; y’ = 0, c = konstante• 2. y = cX; y’ = c ; c = konstante• 3. y = cXn ; y’ = ncXn-1 ; c = konstante• 4. y = U+V ; y’ = U’ + V’• 5. y = Un ; y’ = nUn-1U’• 6. y = UV; y’ = U’V + UV’• 7. y = U/V; y’ = (U’V – UV’)/V2

• 8. y = eax ; y’ = aeax

• 9. y = eU ; y’ = eUU’• 10. y = ln(ax); y’ = 1/x• 11. y = ln(U); y’ = U’/U

Soal-soal1. Y = x3 + 2x2 +1/x3 Y’ = 3x2 + 4x -3/x4

2. Y = (2x+1)6 Y’ = 6(2x+1)5 .2 = 12(2x+1)5

3. y = (4-2x)/(x+2) Y’ = (U’V – UV’)/V2

= -8/(x+2)2

4. Y = x3(2x-5)6 Y’ = u’v + uv’

5. Y = ln (2x3-5x) Y’ = u’/u ; u =2x3-5x ; u’ = 6x2-5

6. Y = 3x e3x Y’ = u’v + uv’ ; u = 3X, v = e3x

u’ = 3; v’ = 3e3x

7. Y = x ln (2x3-5x) Y’ = u’v + uv’ ; u = X ; v = ln (2x3-5x)

8. Y = e3xln (2x3-5x) Y’ = u’v + uv’ ; u =e3x ; v = ln (2x3-5x)

Fungsi Marginal• Fungsi marginal merupakan turunan pertama dari fungsi

utamanya.

• Misal Fungsi Produksi P = f(Q), maka fungsi marginal produk MP = dP/dQ

• Fungsi Biaya C = h(Q), maka fungsi marginal biaya MC = dC/dQ

Jadi apabila fungsi ekonomi yang dapat dirumuskan dengan fungsi matematika, maka fungsi marginal adalah turunan pertama dari fungsi ekonomi tersebut.Fungsi ekonomi optimal jika fungsi marginal bernilai nolJadi Produksi P maksimal jika marginal produk MP = 0, Fungsi Biaya Minimum, jika Marginal Cost MC = 0, dan berlaku untuk fungsi ekonomi lainnya

Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya

• Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya besarnya turunan pertama dan turunan kedua akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut

• Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya.

konstanta2/'''linear fungsi82/''

kuadrat fungsi58/'

kubik fungsi512431)(

:

33

22

2

23

→==

→−==

→+−==

→−+−==

dxydyxdxydyxxdxdyy

xxxxfy

contoh

Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannya

Fungsi Menaik dan Menurun• Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear

dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.

Lereng positif fungsi

menaik

Lereng negatif fungsi menurun

Lereng nol

Lereng nol

y = f(x)

f’(a) > 0, y = f(x) menaik

f’(a) < 0, y = f(x)menurunf’(a) > 0, y = f(x) menaik

f’(a) < 0, y = f(x)menurun

Uji Tanda • Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim

• Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0.

• Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x)< 0untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.

• Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x)> 0untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Titik ekstrim fungsi parabolik• Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya.

• Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahuijenis titik ekstrim yang bersangkutan.

• Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik.y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi paraboliky’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi lineary” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta

• Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4

42 6

-4

-8

2

12

(4,-4)

y” = 2x

y

y’= 2x - 8

y = x2 – 8x + 12

0

• Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0

• Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum.

• Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

• Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

• Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubiky’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratiky” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear

• Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0

(x – 2)(x – 4) = 0 x1 = 2, x2 = 4• Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum

• Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)

• Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33) titik ekstrim minimum

• Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)

• Jika y” = 0 2x – 6 = 0 x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y = 3 titik belok (3,3)

32 4

-4

-6

2

8

(3,-1)

y” = 2x

y

y’’ = 2 x – 6

y’ = x2 – 6x + 8

0

-2

3.67 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3(3,3)

(2,3.67)

(4,2.33)

• Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0

• Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum

• Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum

• Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0

R elationship between marginal-cost and average-cost functions

• TC = C(Q) total cost • MC = C'(Q) marginal cost• AC = C(Q)/Q average cost

( ) ( ) ( )2

1Q

QCQQCQQC

dQd ⋅−⋅′

=

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′=

QQCQC

Q1

[ ] 01=−= ACMC

Q

C MC AC

Q

Penerapan lain :• Elastisitas dengan rumus umum :

yx

dxdy

xxyy

xExEy

•=∆∆

→∆==

//

0lim

η

PROGRAM LINIER DENGAN GRAFIK

DEFINISI PROGRAM LINIER (1)

• Program tidak ada hubungannya dengan program komputer.

• Program berarti memilih serangkaian tindakan/perencanaan untuk memecahkan masalah dalammembantu manajer mengambil keputusan.

• Contoh: masalah produksi, biaya, pemasaran, distribusi, dan periklanan.

• Pimpinan perusahaan harus mampu memanfaatkan sumber yang ada untuk menetapkan jenis dan jumlah barang yang harus diproduksi sehingga diperolehkeuntungan maksimal atau digunakan biaya minimal.

DEFINISI PROGRAM LINIER (2)

• Program linear dan variasinya merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang memakai model matematika (model simbolik). Artinya setiap penyelesaian masalah harus didahului dengan perumusan masalah ke dalam simbol-simbol matematika.

• Dalam program linier, pada umumnya masalah berasal dari dunia nyata kemudian dibentuk menjadi model simbolik yang merupakan dunia abstrak yang dibuat mendekati kenyataan. Dikatakan linear karena peubah-peubah pembentuk model dianggap linear.

LANGKAH-LANGKAH (1)1. Menentukan jenis permasalahan program linier

– Jika permasalahan membicarakan keuntungan (profit), maka jenis permasalahan PL adalah maksimalisasi.

– Jika permasalahan membicarakan biaya (cost), maka jenis permasalahan PL adalah minimalisasi.

– Jika ada informasi tentang selisih antara hasil penjualan (sales) dan biaya dengan pokok pembicaraan profit, maka jenis permasalahannya adalah maksimalisasi.

LANGKAH-LANGKAH (2)2. Mendefinisikan peubah keputusan (decision variable),

yaitu pernyataan dalam permasalahan yang hendak dicari penyelesaiannyaBeberapa hal yang harus diperhatikan adalah:

– Banyaknya koefisien peubah keputusan membantu dalam mengidentifikasikan peubah-peubah keputusan.

– Jika x dimisalkan sebagai peubah keputusan berkaitan dengan kursi yang diproduksi, maka x ≠ kursi, tetapi x = banyaknya kursi yang diproduksi.

LANGKAH-LANGKAH (3)

3. Merumuskan fungsi tujuan/sasaran (objective function)

– Jenis permasalahan PL dan definisi peubah keputusan akan merumuskan fungsi tujuan.

– Jika peubah keputusan terdefinisi dengan jelas, maka fungsi tujuan akan mudah ditetapkan.

LANGKAH-LANGKAH (4a)

4. Merumuskan model kendala/syarat/ batasan (constraint)Dua pendekatan umum perumusan model kendala:

– Pendekatan “ruas kanan”– Pendekatan “ruas kiri”

LANGKAH-LANGKAH (4b)– Pendekatan ruas “kanan”

• Ruas kanan suatu kendala tunggal dan konstan. • Maksimalisasi: ruas kanan sering menyatakan “total

sumber daya yang ada”. Prosedur pembentukannya:– Identifikasikan nilai total sumber daya dan sesuaikan tanda

pertidaksamaan dengan masing-masing total sumber daya, biasanya “≤”.

– Kelompokkan peubah keputusan yang terkait di sebelah kiri tanda pertidaksamaan .

– Tentukan koefisien setiap peubah keputusan. Model kendala terbentuk.

LANGKAH-LANGKAH (4b)• Minimalisasi: ruas kanan sering menyatakan

“minimal sumber daya yang dibutuhkan”. Prosedur idem, kecuali tanda pertidaksamaan, biasanya “≥”.

– Pendekatan “ruas kiri”• Semua nilai koefisien dan peubah-peubah

keputusan disusun dalam bentuk matriks. Setelah matriks ini terbentuk, identifikasikan nilai-nilai ruas kanan dan tambahkan tanda pertidaksamaan.

LANGKAH-LANGKAH (5)

5. Menetapkan syarat non negatif– Setiap peubah keputusan dari kedua jenis

permasalahan PL tidak boleh negatif (harus lebih besar atau sama dengan nol)

MODEL DASAR PL• Maksimumkan atau minimumkan:

Z = c1x1 + c2x2 + ….+ cnxn (1)• Memenuhi kendala-kendala:

a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn ≥ atau ≤ b1 (2)a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn ≥ atau ≤ b2..am1x1 + am2x2 + …. + amnxn ≥ atau ≤ bmdan xj ≥ 0 untuk j = 1,2,…,n. (3)

332

Contoh :

Pabrik kayu menghasilkan dua produk ; pintu dan jendela dengan proses sebagai berikut :

333

Tiap mesin di unit I dapat menghasilkan 1 pintu tiap 3 jamTiap mesin di unit II dpt menghasilkan 1 jendela tiap 2 jamTiap mesin di unit III dpt menghasilkan 1 pintu tiap 2 jam

1 jendela tiap 1 jamTerdapat 4 mesin di unit ITerdapat 3 mesin di unit IITerdapat 3 mesin di unit III

Tiap hari jam kerja yang tersedia adalah 9 jam.

Keuntungan tiap pintu adalah 20 ribu.Keuntungan tiap jendela adalah 15 ribu.

Buat formulasi program liniernya sepaya didapat keuntungan yang maksimum

Lanjutan…

334

Penyelesian :

x1 : banyaknya pintu yang di produksix2 : banyaknya jendela yang di produksiz : Keuntungan

932932943

1520

21

2

1

21

×≤+×≤×≤+=

xxxx

xxz

335

Max

kendala

0,272

272363

1520

21

21

2

1

21

≥≤+

≤≤

+=

xxxx

xx

xxz

Formulasi Program Linier :

336

Dalam Notasi Matrik :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

12

20

032

1

H

xx

x[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=

272736

1520

B

c

337

Penyelesaian Program Linier

Pada umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :• Merumuskan masalah asli menjadi model matematika yang

sesuai dengan syarat-syarat yang diperlukan dalam model Program Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi kendala, syarat ikatan non-negatif.

• Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala(DMK)/Wilayah Kelayakan)/ Daerah Fisibel yang titik-titik sudutnya diketahui dengan jelas.

• Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di setiap titik sudut daerah penyelasaian (DMK).

1. Metode Grafik

338

• Dipilih nilai yang sesuai dengan fungsi tujuan (kalau memaksimumkan berarti yang nilainya terbesar dan sebaliknya).

• Jawaban soal asli sudah diperoleh.

Catatan : Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).

Lanjutan…

339

Contoh :

Maxs.t

0,2

42

21

2

21

21

≥≤

≤++

xxx

xxxx

Teknik Informatika Unijoyo 2010 340

Penyelesian :

1. Dengan Metode Grafik

341

Titik Ekstrimnya :

622

40.2404

)4

62.2222

)3

42.2020

)2

00.2000

)1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∴

=+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

zdenganmemenuhiyangekstrimTitik

z

z

z

z

Lanjutan…

METODE GRAFIK

• Selesaikan masalah program linear berikut ini dengan metode grafik:Maksimumkan Z = 5x1 + 4x2

dengan kendala 6x1 + 4x2 ≤ 24x1 + 2x2 ≤ 6-x1 + x2 ≤ 1x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

METODE GRAFIK

344

Contoh :“PT. Rakyat Bersatu” menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin Cyang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan “PT. Rakyat Bersatu” sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?

345

Penyelesian :

Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika :Misalkan :

produk I akan diproduksi sejumlah X1 unit dan produk II akan diproduksi sejumlah X2 unit

Maka Fungsi tujuannya adalah :Max Z = 3000 X1 + 3000 X2

346

Lanjutan…

Keterangan :Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin.Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin x lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin).St 2X1 + X2 ≤ 30 ...........i)

2X1 + 3X2 ≤ 60 ..........ii)4X1 + 3X2 ≤ 72 .........iii)X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

347

Lanjutan…Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/ Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidaksamaan fungsi kendalanya adalah :

Untuk persamaan 2X1 + X2 = 30 ….. (i), titik potong dengan sumbu- X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 30 diperoleh X1 = 15 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (15,0).Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + X2 = 30 diperoleh X2 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,30).Untuk persamaan 2X1 + 3X2 = 60 ....(ii), titik potong dengan sb-X1jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 60 diperoleh X1 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (30,0).Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + 3X2 = 60 diperoleh X2 = 20 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,20).

348

Lanjutan…

Untuk persamaaan 4X1 + 3X2 = 72 ....(iii), titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 4X1 + 0 = 72 diperoleh X1 = 18 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (18,0).

Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0: 0 + 3X2 = 72 diperoleh X2 = 24 maka titik

potong dengan sb-X2 adalah (0,24).

349

Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Cartesius adalah :

Lanjutan…

z

z

350

Lanjutan…Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi

Kendala (DMK)) adalah daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi kendala :1). 2X1 + X2 ≤ 30,2). 2X1 + 3X2 ≤ 60 ,3). 4X1 + 3X2 ≤ 72,4). X1 ≥ 0;5). X2 ≥ 0

Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik-titik O(0,0), A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72 , dan titik C adalah titik potong antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72

351

Lanjutan…Adapun cara menghitung titik B dan C tersebut dengan

menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi sbb:Titik B perpotongan antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X1, dapat dihitung :

4X1 + 2X2 = 60 ........i)4X1 + 3X2 = 72 ….....iii)__________________ -- X2 = - 12 X2 = 12

X1 = 9 maka titik B adalah (9,12)Titik C perpotongan antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung :

2X1 + 3X2 = 60 ............i)4X1 + 3X2 = 72 ............iii)____________________ -- 2X1 = - 12 X1 = 6

X2 = 16 maka titik C adalah (6,16)

352

Lanjutan…Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi

Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang titik-titik sudutnya adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).

Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 X1 + 3000 X2) di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga:Titik O (0,0) Z (0,0) = 3000.(0) + 3000.(0) = 0,Titik A (15,0) Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000Titik B (9,12) Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000Titik C (6,16) Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000Titik D (0,20) Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000

353

Lanjutan…Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga

nilai yang sesuai adalah :Terletak pada titik C(6,16) Dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00

Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan ”PT. Rakyat Bersatu” harus memproduksi :Produk I sebanyak 6 unit dan Produk II sebanyak 16 unit

sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.

354

Untuk itu pertidaksamaan di ubah dulu menjadi persamaan dengan menambahkan slack :

x1 + X2 ≤ 3 ⇒ X1 + X2 + X3 ≤ 3X1 , X2 ≥ 0 X1 , X2 , X3 ≥ 0

Bentuk yg diperoleh :max C1X1 + C2X2 + ……. + CnXn

st a11X1 + a12X2 + ……. + a1nXn ≤ b1

a21X1 + a22X2 + ……. + a2nXn ≤ b2

:::

am1X1 + am2X2 + …….+ amnXn ≤ bm

X1, X2,……………, Xn ≥ 0

2. Metode Matriks

355

Dengan menambahkan slack sebanyak kendalanya didapat :

Max C1X1 + C2X2 + ……. + CnXn + 0.Xn+1 + 0.Xn+2 + ……. + 0.Xn+m

st a11X1 + a12X2 + ……. + a1nXn + Xn+1 = b1

:………slack…………...:a21X1 + a22X2 + ……. + a2nXn + Xn+2 = b2

:::

am1X1 + am2X2 + …….+ amnXn + Xn+m = bm

X1, X2,……, Xn, Xn+1, ……+ Xn+m ≥ 0

Lanjutan…

356

Dalam bentuk matriks didapat :

max C′ X′ …st A′ X′ = b′ ... Bentuk kanonik

X′ ≥ 0 ...

Dengan : [ ][ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

===

Slack

xx

identitasMatriksIIAACC

.........'

,'0'ΜΜ

Lanjutan…

357

2. Dengan Metode Matriks

Bentuk kanoniknya adalah sebagai berikut :

0,,,2

4002

4321

42

321

4321

≥=+

=+++++

xxxxxx

xxxxxxxMax

s.t

358

Dengan :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4

3

2

1

24

xxxx

x

b[ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

=

1010

0111

0021

A

c

Lanjutan…

359

1)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

−

−

00

22

24

10

11

10

11

10

11

1.01.11

10

11

4

3

1

2

1

1

xx

x

bBxx

xB

B

B

n

Kemungkinan 1

360

[ ] 6

0022

0021

0022

4

3

2

1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Cx

xxxx

x

Lanjutan…

361

2)

memenuhiTdk

inverspunyaTdk

B

B

⇒

⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

−

10

10

1.00.11

00

11

1

Kemungkinan 2

362

3)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

−

−

00

24

24

10

01

10

01

10

01

0.01.11

10

01

3

2

1

4

1

1

xx

x

bBxx

xB

B

B

n

Kemungkinan 3

363

[ ] 4

2004

0021

2004

4

3

2

1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Cx

xxxx

x

Lanjutan…

364

4)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

−

−

00

22

24

11

10

11

10

11

10

1.10.11

01

11

4

1

1

3

2

1

xx

x

bBxx

xB

B

B

n

Kemungkinan 4

365

[ ] 4

0220

0021

0220

4

3

2

1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Cx

xxxx

x

Lanjutan…

366

5)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

−

−

00

24

24

11

01

11

01

11

01

1.01.11

11

01

3

1

1

4

2

1

xx

x

bBxx

xB

B

B

n

Kemungkinan 5

367

memenuhiTdkx

xxxx

x

⇒<⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

02

040

4

4

3

2

1

Lanjutan…

368

6)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

−

−

00

24

24

10

01

10

01

10

01

0.01.11

10

01

2

1

1

4

3

1

xx

x

bBxx

xB

B

B

n

Kemungkinan 6

369

[ ] 0

2400

0021

2400

4

3

2

1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Cx

xxxx

x

Lanjutan…

370

PenutupDalam program linier ini tujuan yang ingin dicapai adalah

mencari nilai paling optimum yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan.

Dalam penyelesaian persoalan program linier ini harus diperhatikan kendala-kendala yang ada sehingga hasil yang diperoleh merupakan hasil yang paling optimum sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai.

Dalam penyelesaian persoalan program linier bisa digunakan beberapa metode dimana diantaranya adalah:

• Metode Grafik• Metode Matrik

371

1. Suatu perusahaan akan memproduksi 2 macam barang yang jumlahnya tidak boleh lebih dari 18 unit. Keuntungan dari kedua produk tersebut masing-masing adalah Rp. 750,- dan Rp. 425,- per unit. Dari survey terlihat bahwa produk I harus dibuat sekurang-kurangnya 5 unit sedangkan produk II sekurang-kurangnya 3 unit. Mengingat bahan baku yang ada maka kedua produk tersebut dapat dibuat paling banyak 20 unit. Tentukan banyaknya produk yang harus dibuat untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum ?

Tugas

372

2. Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Lanjutan…

373

3. Sebuah indrusti kecil memproduksi dua jenis barang A dan B dengan memakai dua jenis mesin M1 dan M2. Untuk membuat barang A, mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2 beroperasi selama 4 menit. Untuk membuat barang B, mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2 beroperasi selama 4 menit. Mesin M1 da M2 masing-masing beroperasi tidak lebih 8 jam tiap hari. Keuntungan bersih untuk setiap barang A adalah Rp. 250, 00 dan untuk barang B adalah Rp.500,00. Berapakah jumlah barang A dan B harus diproduksi agar keuntungannya yang sebesar-besarnya dan besarnya keuntungan tersebut !

Lanjutan…

lanjutan

374

4. Perusahaan Indah Gelas memproduksi kaca untuk digunakan sebagai jendela dan pintu kaca. Perusahaan ini memiliki 3 buah pabrik yaitu pabrik-1 membuat bingkai aluminium, pabrik-2 membuat bingkai kayu, dan pabrik-3 memproduksi kaca dan merakit keseluruhan. Saat ini perusahaan mendapat pesanan dua macam produk baru, yaitu pintu kaca dengan bingkai aluminium (produk-1), dan jendela dengan bingkai kayu (produk-2).

Berapa banyak produk-1 dan produk-2 harus dibuat untuk memenuhi pesanan dan memperoleh keuntungan terbaik ? Selesaikan dengan metode grafik ! Data mengenai ketiga pabrik tersebut ada pada tabel dibawah ini :

Pabrik Kapasitas yang digunakan

per unit produksi Kapasitas yang dapat digunakanProduk 1 Produk 2

1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18

Keuntungan per unit 3 5

375

5. PT Auto Indah memproduksi 2 jenis mobil, yaitu sedan dan truk. Untuk meningkatkan penjualan, perusahaan melakukan promosi dalamdua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanitadan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikanoleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi padaacara hiburan adalah 5 juta rupiah / menit, sedangkan pada acara olah raga biayanya adalah 10 juta rupiah / menit. Jika perusahaanmenginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsawanita dan sedikitnya oleh 24 juta pemirsa pria, bagaimanakah strategipromosi itu sebaiknya. Selesaikan dengan metode grafik

376

Daftar Pustaka

• Mulyono, Sri, 2002, Riset Operasi, Jakarta : Lembaga

Penerbit Fakultas UI.

• A Taha, Hamdy, 1996, Riset Operasi Jilid 1, Jakarta :

Binarupa Aksara.

ek4218 modul matematika gasal-2011-2012 (all class)

Documents