ebook rumus matematika praktis 1

Rumus Matematika Praktis -1

A. Mengenal Bilangan Bulat

Bilangan Bulat

Bilangan bulat positif

Bilangan nol

Bilangan bulat negatif

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7-5-6-7

nolbilangan bulat negatif bilangan bulat positif

B = { ... 7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} Ciri bilangan positif → ke kanan, maju, naik, ditambah, laba, diberi Ciri bilangan negatif → ke kiri, mundur, turun, dikurang, rugi, diminta, pinjam, hutang

B. Operasi Bilangan Bulat

1. Penjumlahan

contoh :

2 + 3 = 5

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

Rumus

a + b = c Syarat

+ + + = +

- + - = -

+ + - = - bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b

- + + = + bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b


2. Pengurangan

2 – 3 = 2 + (-3) = -1

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

Rumu

a – b = c Syarat

+ – + = - bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b

- – - = + bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b

+ – - = +

- – + = -

C. Sifat Komutatif pada Penjumlahan dan Perkalian

Rumus penjumlahan komutatif = a + b = b + a

Rumus perkalian komutatif = a x b = b x a

Contoh soal :

Penjumlahan komutatif = 13 + 15 = 15 + 13 = 28

Perkalian komutatif = 20 x 14 = 14 x 20 = 280

D. Sifat Asosiatif pada Penjumlahan dan Perkalian

Rumus penjumlahan komutatif = a +( b + c ) = ( b + c ) + a

Rumus perkalian komutatif = (a x b) x c = c x ( b x a )

Contoh soal :

Penjumlahan komutatif = (19 + 12) + 8 = 19 + (12 + 8) = 39

Perkalian komutatif = (10 x 15) x 30 = 10 (15 x 30) = 4500

E. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

Rumus Perkalian terhadap Penjumlahan Distributif

= a x (b+ c) = (a x b) + (a x c)

Contoh soal :

13 x (17 + 14) = (13 x 17) + (13 x 14)

= (13 x 17) + (13 x 14)


= 221 + 182

= 403

F. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

Rumus Perkalian terhadap Pengurangan Distributif

= a x (b- c) = (a x b) - (a x c)

Contoh soal :

25 x (22 – 15) = (25 x 22) – (25 x 15)

= 550 – 375

= 175

G. Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat

Contoh soal :

3.000 – 450 x 30 : 25 + 850 = . . .

Langkah-langkah untuk mengerjakan adalah sebagai berikut.

1. Kerjakan operasi perkalian terlebih dahulu

2. Lanjutkan dengan operasi pembagian

3. Lakukan operasi pengurangan

4. Terakhir selesaikan operasi penjumlahan

Jawab

3.000 – 450 x 30 : 25 + 850

= 3.000 – 13.500 : 25 + 850

= 3.000 – 540 + 850

= 2.460 + 850

= 3.310

Jadi, 3.000 – 450 x 30 : 25 + 850 = 3.310


H. Operasi Bilangan Bulat Dalam Garis Bilangan

●. Ada 3 jenis bilangan bulat

a. Bilangan bulat positif

b. Bilangan bulat nol (0)

c. Bilangan bulat negatif.

Ada juga yang meneglompokkan bilangan bulat ganjil dan genap

Intinya kalau ditaruh pada garis bilangan batasannya adalah angka nol

Kalau ditarik ke kanan positif semakin besar, sebaliknya kalau ditarik ke kiri

dari nol adalah negatif dan semakin kecil.

Lihat garis bilangan

0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

Negatip Positip

I. PEMFAKTORAN FPB dan KPK

1. PEMFAKTORAN

a) Faktor Prima

Contoh :

1) Faktor prima dari 180 = ....

2

180

90

2 45

3 15

3 5

maka faktor prima dari 180 adalah 2,

3, dan 5

2) Faktor prima dari 3150 adalah 2, 3, 5, 7, sebab faktorisasi prima dari :

23150 = x 32x 5

2x 7

, maka faktor primanya = 2, 3, 5, 7

b. Faktorisasi Prima

Contoh : Faktorisasi prima dari 180 = ... .


Sebab

2

180

90

2 45

3 15

3 5

maka faktorisasi prima dari 180 =

53x2 22

2. FPB

- Untuk menentukan FPB, pilihlah faktor yang sama dan pangkat kecil - Jika faktor sama, pangkat sama diambil salah satu

Contoh soal :

FPB dari 72 dan 84 adalah… .

Jawab :

Cara 1)

Faktor dari 72 dan 84 :

72 = 2 x 2 x 3 x 6

84 = 2 x 2 x 3 x 7

Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12

Cara 2)

272 84

236 42

318 21

76

dibagi

Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12

3. KPK

- Untuk menentukan KPK diambil satu dari setiap faktor - Kalau faktor sama pangkat berbeda diambil yang pangkatnya lebih tinggi - Kalau faktor sama, pangkat sama diambil salah satu


Contoh soal :

KPK dari 24, 36 dan 40 adalah… .

Jawab :

Cara 1)

24

2 12

2 6

2 3

36

2 18

2 9

3 3

40

2 20

2 10

2 5

KPK = 23 x 3

2 x 5 = 360

Cara 2)

dibagi 24 36 40

2 12 18 20

2 6 9 10

2 3 9 5

3 1 3 5

3 1 1 5

5 1 1 1

KPK = 23 x 3

2 x 5 = 360


Macam – macam pecahan

Biasa Sederhana Campuran Desimal Persen Permil

21 – – 0,5 50 % 00

0500

43 – – 0,75 75 % 00

0750

1216 3

4 311 1,33 133 % 00

01333

4854 8

9 811 1,25 112,5 % 00

01125

A. Menentukan Pecahan Senilai

Contoh soal :

a. 9

6=

2 x 9

2 x 6 =

18

12

b. 9

6 =

3 : 9

3 : 6 =

3

2

B. Menyederhanakan Bilangan Pecahan

Contoh soal :

Tentukan pecahan paling sederhana dari 16

12 !

Jawab:

1. Lakukan faktorisasi dari 12 dan 16 dengan membuat pohon faktor.

2. Bagilah pembilang dan penyebut masing-masing dengan FPB


12 = 22

16 = 42

FPB dari 12 dan 16 adalah 22 = 4.

16

12 =

4 : 16

4 : 12 =

4

3

Jadi, pecahan paling sederhana dari 16

12 adalah

4

3.

C. Mengurutkan Pecahan

Contoh soal :

Diketahui pecahan-pecahan .12

5dan,

6

2 ,

2

1 ,

4

1 ,

3

2

* Urutan pecahan di atas dari yang terkecil.

* Urutan pecahan di atas dari yang terbesar.

Jawab :

Ada 2 cara untuk mengerjakan contoh soal di atas

1. Mengubah pecahan-pecahan di atas menjadi pecahan yang berpenyebut

sama dengan mencari KPK nya.

2. Mengubah pecahan di atas menjadi angka desimal.

3. Mengurutkan sesuai permintaan soal

Cara 1 : dicari dengan pohon faktor KPK dari penyebut adalah 12

3

2=

4 x 3

4 x 2 =

12

8

4

1 =

3 x 4

3 x 1 =

12

3


2

1 =

6 x 2

6 x 1 =

12

6

6

2 =

2 x 6

2 x 2 =

12

4

12

5 =

1 x 12

1 x 5 =

12

5

Jika penyebutnya telah sama, kemudian lakukan perbandingan pembilangnya,

untuk mengurutkannya. Sehingga dapat ditentukan urutannya berikut ini.

a. Urutan pecahan dari yang terkecil adalah

.12

8dan,

12

6 ,

12

5 ,

12

4 ,

12

3

Jadi, urutan pecahan dari yang terkecil adalah

.3

2dan,

2

1 ,

12

5 ,

6

2 ,

4

1

b. Urutan pecahan dari yang terbesar adalah

.12

3dan,

12

4 ,

12

5 ,

12

6 ,

12

8

Jadi, urutan pecahan dari yang terbesar adalah

.4

1dan,

6

2 ,

12

5 ,

2

1 ,

3

2

Cara 2 : Dengan merubah pecahan biasa menjadi Desimal

.12

5dan,

6

2 ,

2

1 ,

4

1

3

2 ,

416,0.

333,0

50,0

25,0

666,0

12

5

6

2

2

1

4

1

3

2


Setelah menjadi angka desimal tinggal diurutkan dengan cara mengurutkan

bilangan dibelakang koma dari yang paling dekat dengan koma, dari yang

terkecil atau yang terbesar. Apabila bilangan dibelakang koma sama besar,

maka lihat bilangan berikutnya dan seterusnya.

Hasil dari urutan terkecil :

0,25 ; 0,333 ; 0,416 ; 0,50 dan 0,666

atau .

3

2dan,

2

1 ,

12

5 ,

6

2 ,

4

1

Hasil dari urutan terbesar :

0,666 ; 0,50 ; 0,416 ; 0,333 ; 0,25

atau .

4

1dan,

6

2 ,

12

5 ,

2

1 ,

3

2

Untuk lebih meningkatkan pemahaman urutkan soal berkut dari yang terbesar

dan terkecil ?

4

2;56,0;

4

3%;80;

9

8;72,0;

6

5).a

2

1;46,0;

3

2%;85;

9

6;712,0;

4

3).b

D. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal

Untuk merubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, gunakan dengan cara

berikut (Poro gapit = Jawa ). Pembilang dibagi penyebut.

Contoh soal :

5

3 = . . .

Jawab :

Cara 1)

5

3 artinya 3 : 5, sehingga


Jadi, 5

3 = 0,6

Cara 2)

2

2x

5

3 =

10

6 = 0,6

E. Mengubah Bentuk Desimal ke Bentuk Pecahan Biasa

1. Carilah terlebih dahulu FPB pembilang dengan penyebut dengan

menggunakan pohon faktor

2. Bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB tersebut

Contoh soal :

Ubahlah menjadi pecahan biasa !

0,4 = .....

0,4 = 10

4 (FPB pembilang dan penyebut adalah 2, maka masing-masing

dibagi dengan bilangan 2).

0,4 = 10

4 =

5

2

Jadi, 0,4 = 5

2

F. Mengubah Persentase menjadi Pecahan

Untuk merubah prosentase menjadi pecahan tidaklah sulit.

1. Langkah pertama jadikan prosentase menjadi bentuk pecahan biasa


2. Langkah kedua pembilang dan penyebut dibagi dengan angka yang sama

atau dibagi dengan FPB nya.

Contoh soal :

1. 20% = …..

2. 75% = …..

Jawab

1) 20% = 100

20

FPB dari 20 dan 100 adalah 20

20

20

100

20:

5

1

2) 75% = 100

75

FPB dari 75 dan 100 adalah 25

25

25

100

75:

4

3

G. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Asli

1. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Bulat pada dasarnya mengalikan

pembilang dengan bilangan bulat, kemudian dibagi dengan penyebut.

2. Apabila antara pembilang dengan penyebut ternyata dapat disederhanakan,

akan lebih baik disederhanakan agar bilangan pebilangnya tidak terlalu

besar.

Contoh soal :

7

4 x 28 = . . .

Jawab Cara 1 :

7

4 x 28


= 7

28 x 4

= 7

112

= 16

Jawab Cara 2 :

28x7

4

28:7

4

1

4x4

61

1

4

H. Pembagian dalam Pecahan

1. Jadikan soal yang dibagi dan pembagi menjadi pecahan semua.

2. Rubahlah bentuk pembagian menjadi perkalian, INGAT posisi bilangan

pembagi karena dirubah menjadi perkalian harus dilakukan pembalikan

fungsi yang semula penyebut harus diposisikan sebagai pembilang dan

sebaliknya.

3. Lakukan langkah operasional pembilang dikalikan pembilang,kemudian

dibagi penyebut dikalikan penyebut.

4. Kalau bilangannya bias disederhanakan antara pembilang dengan penyebut,

sederhanakan dulu supaya lebih mudah (bilangannya tidak terlalu besar)

Contoh soal :

54

1 : 3 = ……

= 4

21 :

1

3

= 4

21 x

3

1


= 12

21

= 112

9

= 14

3

Atau bisa juga dikerjakan dengan cara berikut :

54

1 : 3 = ……

3

1x

4

21

7

1

= 4

7

= 14

3

Contoh soal :

46

1 : 2

2

1 = ……

= 6

25 :

2

5

5

2x

6

25

5

1

1

3

= 3

5

= 13

2

I. Penjumlahan Pecahan dengan Bilangan Campuran

Ada beberapa cara sederhana untuk menyelesaikan penjumlahan bilangan

pecahan campuran. Perhatikan cara berikut ini :

Cara 1 :

1. Semua bilangan dijadikan pecahan


2. Tentukan KPK dari penyebutnya.

3. Kemudian lakukan operasi penjumlahan

Cara 2 :

1. Kelompokkan bilangan bulat dengan bilangan bulat, bilangan pecahan

dengan bilangan pecahan

2. Bilangan bulat dikelompokkan menjadi satu, bilangan pecahan

dikelompokkan kemudian dicari KPK dari penyebut bilangan pecahan

3. Setelah ketemu KPKnya dari penyebutnya baru dilakukan operasi

penjumlahan

Contoh soal :

24

1 + 3

2

1 = . . .

Jawab :

Jawab Cara 1.

1. Jadikan menjadi pecahan semua

2. Cari KPK dari kedua penyebutnya ; dari 2 dan 4, KPK ketemu 4.

= 4

9 +

2

7

= 4

9 +

4

14

= 4

14 9

= 4

23

= 54

3

Jawab Cara 2.

Bilangan bulat dikelompokkan menjadi satu sesama bilangan bulat, kemudian

bilangan pecahan juga dikelompokkan menjadi satu kelompok sesama bilangan

pecahan.


KPK dari pecahan dari 2 dan 4, ketemu adalah 4

24

1 + 3

2

1 = . . .

= ( 2 + 3 ) + (4

1 +

2

1)

= 5 + (4

1 +

4

2 )

= 5 4

3

J. Menentukan Nilai Pecahan dari suatu Kuantitas Bilangan

Contoh soal :

8

5 x 16 ton = . . . kg

Jawab :

ton16x8

5

1

2

= 5 x 2 ton = 10 ton

= 10 x 1.000 kg = 10.000 kg

Jadi, 8

5 x 16 ton = 10.000 kg


A. PERPANGKATAN / KUADRAT

Perpangkatan atau kuadrat adalah perkalian berulang pada angka atau

bilangan yang bersangkutan.

Perhatikan !

Tabel 1

12 = 1 x 1 = 1

22 = 2 x 2 = 4

32 = 3 x 3 = 9

42 = 4 x 4 = 16

52 = 5 x 5 = 25

62 = 6 x 6 = 36

72 = 7 x 7 = 49

82 = 8 x 8 = 64

92 = 9 x 9 = 81

Tabel 2

12 = 1 x 1 = 1

112 = 11 x 11 = 121

212 = 21 x 21 = 441

312 = 31 x 31 = 961

412 = 11 x 11 = 1681

512 = 51 x 51 = 2601

612 = 61 x 61 = 3721

712 = 71 x 71 = 5041

812 = 81 x 81 = 6561

912 = 91 x 91 = 8281

Tabel 3

52 = 5 x 5 = 25

152 = 15 x 15 = 225

252 = 25 x 25 = 625

352 = 35 x 35 = 1225

452 = 45 x 45 = 2025

652 = 65 x 65 = 4225

752 = 75 x 75 = 5625

852 = 85 x 85 = 7225

952 = 95 x 95 = 9025

Tabel 4

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

602 = 3600

702 = 4900

802 = 6400

902 = 8100

Untuk mempermudah pemahaman dalam menemukan rumus praktis, maka saya

mulai dari pembahasan tabel 4.

Tabel 4,

Pada table 4, merupakan pengkuadratan biasa. Hasilnya sebenarnya mirip dengan

tabel 1, kemudian belakangnya tambahkan nol dibelakangnya.

Kalau dikuadratkan : tambahkan nol nol ( 2 kali ),

Kalau dipangkatkan 3, ya tambahkan nol nol nol ( 3 kali ),

Kalau dipangkatkan 4, tambahkan nol nol nol nol ( 4 kali ) dst.


Tabel 3, Rumus Praktis

Untuk menjelaskan secara mudah perhatikan table di bawah ini !

35 =2

25

satuan dikuadratkan

3 kali kakaknya 3 (4)

12

65 =2

25

satuan dikuadratkan


42

85 =2

25

satuan dikuadratkan


72

45 =2

25

satuan dikuadratkan


20

75 =2

25

satuan dikuadratkan


56

95 =2

25

satuan dikuadratkan


90

Penjelasan :

352 = 1225

Bilangan satuan 25 pada hasil 1225, merupakan pengkuadratan bilangan 5 pada 35

yang dikuadratkan.

Bilangan 12 pada hasil 1225 merupaka hasil perkalian antara bilangan puluhan (3)

dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut, yaitu (4). Atau 3 x 4 = 12

652 = 4225


yang dikuadratkan.



852 = 7225


yang dikuadratkan.




452 = 2025


yang dikuadratkan.



752 = 5625


yang dikuadratkan.



952 = 9025


yang dikuadratkan.



Kesimpulan : Khusus untuk pengkuadratan bilangan yang bersatuan 5, maka

rumusnya adalah : ( harus urut ya… )

1. Kuadratkan bilangan satuan 5, letakan pada puluhan dan satuan atau tulis

angka 25 dari belakang

2. Cari kakaknya bilangan yang ada di depan 5, kalikan bilangan tersebut

dengan kakaknya, hasilnya taruh di depan 25.

3. Lihat penjelasan pada contoh di atas.

Pengkuadratan dengan satuan 5 adalah salah satu pengkuadratan yang sangat

mudah dipahami bahkan dihafalkan. Sehingga dapat dijadikan sebagai tabel

pedoman dalam mengerjakan penarikan akar atau pengkuadratan bilangan yang

lain.


Agar Anda lebih mendalam coba kerjakan latihan berikut ini !

Contoh soal

1052 = ……………..

1152 = ……………..

1452 = ……………..

Jawab

105 =2

25

satuan dikuadratkan

kakaknya 10 adalah 11

110

115 =2

25

satuan dikuadratkan

Kakaknya 11 adalah 12

132

145 =2

25

satuan dikuadratkan

kakaknya 14 adalah 15

210

10 x11

11 x12

14 x15

TABEL 2 :

Perhatikan table 2 di atas dengan seksama !

1. Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasil kuadratnya

pada bilangan satuan adalah 1.

2. Kakaknya bilangan 1 adalah bilangan 2. (betulkan...?)

Kesimpulan dari hasil pengamatan dapat diciptakan rumus praktis sebagai

berikut.

RUMUS PRAKTIS :

a. Hasil pengkuadratan bilangan yang satuannya 1, pasti hasil kuadratnya

menghasilkan bilangan satuan 1, kemudian tulis pada posisi satuan

b. Kalikan bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan 1 yaitu

bilangan 2, hasilnya tulis pada posisi bilangan puluhan

c. Kuadratkan bilangan puluhan, hasilnya tulis pada posisi ratusan dan seterusnya.


d. Catatan : rumus ini hanya berlaku sampai pada bilangan di bawah 100.

Untuk bilangan di atas 101, 111 dst ada cara khusus.

Perhatikan contoh soal berikut :

312 = 961

Bilangan 1 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan 1 pada bilangan

31 yang dikuadratkan

Bilangan 6 pada 961 adalah hasil kali bilangan puluhan 3 dengan bilangan 2

(kakaknya 1)

Bilangan 9 pada 961 merupakan hasil pengkuadratan dari bilangan 3, pada

bilangan 31

412 = 1681

Bilangan 1 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan 1 pada

bilangan 41 yang dikuadratkan


(kakaknya 1)

Bilangan 16 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan 4 pada

bilangan 41 yang dikuadratkan.

712 = 5041

Bilangan 1 pada 5041 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan 1 pada

bilangan 71 yang dikuadratkan


(kakaknya 1). ditulis 4, nyimpan puluhan 1 ya…ingat.

Bilangan 50 pada 5041 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan 7,

kemudian tambahkan simpanan 1 di atas, sehingga menjadi 50

INGAT Rumus Praktis di atas hanya berlaku sampai 912 di

atas 91, seperti 1012 , 1112 , 1212 dst ada rumus khusus.


B. MENARIK AKAR KUADRAT

Akar kuadrat adalah invers atau kebalikan dari pengkuadratan. Untuk mencari

akar kuadrat dari suatu bilangan. Di sekolah diajarkan dengan cara sebagai

berikut :

1. Mencoba dengan mengalikan angka tertentu.

2. Bilangan yang ditarik akar kuadrat dibayangkan dan dikelompokkan dua –

dua dari belakang.

3. Mencari dengan faktorisasi prima

Contoh soal 1 :

Contoh soal 2 :

= ....

Jawab :

2 x 2

+

45 x 5

= 254

225

225

0

625

625

= ....

Jawab :

3 x 3

+

6 6 x 6

1 2 9 6

1 2 9 6

= 36

9

396

396

0


Ada cara yang sangat sederhana dan dijamin hasilnya pasti benar, yaitu

dengan menggunakan ilmu “Niteni” atau “mencermati” terhadap hasil

pengkuadratan suatu bilangan.

Perhatikan tabel 1 di atas

Tabel 1

12 = 1 x 1 = 1

22 = 2 x 2 = 4

32 = 3 x 3 = 9

42 = 4 x 4 = 16

52 = 5 x 5 = 25

62 = 6 x 6 = 36

72 = 7 x 7 = 49

82 = 8 x 8 = 64

92 = 9 x 9 = 81

Dari tabel di atas ditemukan hasil pengamatan sebagai berikut !

a. Bilangan 1 dan 9 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan

bilangan satuan 1

b. Bilangan 2 dan 8 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan

bilangan satuan 4

c. Bilangan 3 dan 7 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan

bilangan satuan 9

d. Bilangan 4 dan 6 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan

bilangan satuan 6

e. Hanya bilangan 5 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan menghasilkan

bilangan satuan 5

INGAT ! PENARIKAN AKAR adalah KEBALIKAN dari PENGKUADRATAN !

Kesimpulan :

1. Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 1, maka hasil

penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 1 atau 9









penarikan akarnya pasti bilangan harus bilangan bersatuan 5

6. Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 2 atau 3, maka hasil

penarikan akarnya pasti bilangan campuran (bulat + pecahan)

Dari hasil pengamatan di atas dapat dibuat Rumus Praktis.

Untuk membuat Rumus Praktis, dibutuhkan bantuan tabel 3 dan 4 di atas.

Mengapa table 3 dan 4 ? Ya.. karena mudah mudah dipahami dan dihafalkan.

Perhatikan table 3 dan 4 di bawah ini !

Tabel 3

52 = 25

152 = 225

252 = 625

352 = 1225

452 = 2025

552 = 3025

652 = 4225

752 = 5625

852 = 7225

952 = 9025

Tabel 4

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

602 = 3600

702 = 4900

802 = 6400

902 = 8100

Dengan hafal data pada tabel di atas, dalam menjawab soal penarikan akar kuadrat

dapat dilakukan dengan cepat dan pasti benar.


Contoh soal :

1. 961 = n (Bilangan yang satuannya 1 apabila ditarik akar, maka hasilnya

jawaban pada bilangan satuan harus 1 atau 9)

Jawab no. 1.

- Angka = 961 pada tabel 4 adalah lebih besar dari 302 = 900, maka

jawabnya harus > 30

- Angka = 961 pada tabel 3 adalah lebih kecil dari 352 = 1225,

maka jawabnya harus < 35

- Jadi jawabnya adalah 30 < n < 35, maka jawabnya dipastikan = 31

2. 784 = n (Bilangan yang satuannya 4 apabila ditarik akar, maka hasilnya

jawaban pada bilangan satuan harus 2 atau 8)

Jawab no. 2.


jawabnya harus > 25

- Angka = 784 pada tabel 4 adalah lebih kecil dari 302 = 900, maka

jawabnya harus < 30

- Jadi jawabnya adalah 25 < n < 30, Maka jawabnya dipastikan = 28

3. 729 = n (Bilangan satuan yang diakar 9, bilangan satuan pada jawaban harus

3 atau 7)

Jawab no. 3.


jawabnya > 25


jawabnya < 30

- Jadi jawabnya adalah 25 < n < 30, maka jawabnya dipastikan = 27

4. 1936 = n (Bilangan satuan yang diakar 6, bilangan satuan pada jawaban harus 4

atau 6)

Jawab no. 4.


jawabnya > 40



jawabnya < 45

- Jadi jawabnya adalah 25 < n < 30, maka jawabnya adalah = 44

5. 9025 = n (Bilangan satuan yang diakar 5, maka bilangan satuan pada jawaban

harus bilangan 5)

Jawab no. 5.

- Angka = 9025 = jawab untuk satuannya adalah 5

- Ingat pengkuadratan bilangan yang bersatuan 5, setelah ditulis 25

dari belakang, depannya hasil perkalian bilangan adik dan kakak !

- Angka = 90 = hasil perkalian bilangan 9 x 10 (adik x kakak ), Maka

jawabnya dipastikan = 95

Untuk lebih mendalami coba Anda kerjakan latihan berikut :

1. 1521 = ………..

2. 2601 = ………..

3. 4761 = ………..

4. 6561 = ………..

5. 1024 = ………..

6. 2304 = ………..

7. 2704 = ………..

8. 1089 = ………..

9. 2209 = ………..

10. 3969 = ………..

11. 1936 = ………..

12. 3136 = ………..

13. 5476 = ………..

14. 7396 = ………..

15. 9025 = ………..


C. MENARIK AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN YANG

TERLETAK DI ANTARA DUA BILANGAN

Untuk bilangan yang satuannya 2 dan 3 dipastikan hasilnya penarikan akan pasti

pecahan, bukan angka bulat seperti contoh-contoh di atas.

Contoh soal :

12 = ......

Jawab :

Perhatikan garis bilangan berikut.

12 terletak 9 antara 16 dan.

Maka, terletak antara 3 dan 4

1. 12 – 9 = 3

2. 16 – 9 = 7

12 = 3

= 3,43


D. PANGKAT TIGA dan MENARIK AKAR PANGKAT TIGA

1. PANGKAT TIGA

Pada dasarnya pangkat tiga merupakan perkalian berulang pada bilangan yang

sama sampai tiga kali.

Perhatikan tabel berikut !

TABEL 5

13 = 1 x 1 x 1 = 1

23 = 2 x 2 x 2 = 8

33 = 3 x 3 x 3 = 27

43 = 4 x 4 x 4 = 64

53 = 5 x 5 x 5 = 125

63 = 6 x 6 x 6 = 216

73 = 7 x 7 x 7 = 343

83 = 8 x 8 x 8 = 512

93 = 9 x 9 x 9 = 729

TABEL 6

53 = 125

153 = 3.375

253 = 15.625

353 = 42.875

453 = 91.125

553 = 166.375

653 = 274.625

753 = 421.875

853 = 614.125

953 = 857.375

TABEL 7

103 = 1.000

203 = 8.000

303 = 27.000

403 = 64.000

503 = 125.000

603 = 216.000

703 = 343.000

803 = 512.000

903 = 729.000

Dari pencermatan data di atas bahwa pada hasil pemangkatan atau pangkat 3 dari

suatu bilangan yang yang bersatuan antara 1 sampai 9, dapat dikelompokkan

sebagai berikut :

Kelompok 1 :

Bilangan bersatuan 1 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 1





Kelompok 2 :

Bilangan bersatuan 3 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 7


Bilangan 3 dan 7 adalah kelompok berkebalikan


Kelompok 3 :



Bilangan 2 dan 8 adalah kelompok berkebalikan

Contoh soal :

1. 113 = n--------- 11 x 11 x 11 = 1331

2. 143 = n--------- 14 x 14 x 14 = 2744

3. 153 = n--------- 15 x 15 x 15 = 3375

4. 163 = n--------- 16 x 16 x 16 = 4096

5. 193 = n--------- 19 x 19 x 19 = 6859

6. 233 = n--------- 23 x 23 x 23 = 12167

7. 273 = n--------- 27 x 27 x 27 = 19683

8. 223 = n--------- 22 x 22 x 22 = 10648

9. 283 = n--------- 28 x 28 x 28 = 21952

2. MENARIK AKAR PANGKAT TIGA

Menarik akar pangkat tiga, pada dasarnya sama dengan menarik akar pangkat

dua atau kuadrat.

1. Kalau bilangan yang ditarik akar pangkat tiga masih sederhana gunakan

faktorisasi prima

2. Tetapi kalau yang ditarik akar pangkat tiga bilangannya besar, maka akan

lebih cepat dan benar dalam mengerjakan soal, pakailah tabel pedoman

sebagaimana tercantum pada tabel di 5, 6 dan 7.

Contoh soal :

1. 3 8 = . . .

2. 3 27 = . . .

Jawab: Kalau angkanya masih sederhana seperti contoh di atas gunakan dengan

cara faktorisasi prima.

Jawab :

1. Faktorisasi prima dari 8 yaitu 2 x 2 x 2

Maka:


3 8 = 3 2 x 2 x 2

= 3 32 = 2

Jadi, 3 8 = 2

2. Faktoriasi prima dari 27 yaitu 3 x 3 x 3

Maka :

3 27 = 3 3 x 3 x 3

= 3 33 = 3

Jadi, 3 27 = 3

Tetapi kalau angkanya yang ditarik akar pangkat tiga seperti di bawah ini !

Contoh soal :

1. 3 17576 = n

Jawab 1.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 6, maka jawab pada satuan harus 6

Angka 17576 > 15625 (253), berarti jawabnya > 25 (lihat table 6)

Angka 17576 < 27000 (303), berarti jawabnya < 30 (lihat table 7)

Jadi jawabannya 25 < n < 30 Ya…. n = 26

2. 3 5832 = n

Jawab 2.


Angka 5832 > 3.375 (153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 6)



3. 3 1728 = n

Jawab 3.



Angka 1728 < 3.375 (153), berarti jawabnya < 15 (lihat table 6)



4. 3 3375 = …………

Jawab 4.




Ya.. jawabannya = 15

5. 3 4913 = …………

Jawab 5.


Angka 4913 > 3.375 (153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 6)



Nah untuk melatih agar Anda lebih terampil, kerjakan latihan berikut !

1. 3 1331 = ……….

2. 3 2744 = ……….

3. 3 3375 = ……….

4. 3 6859 = ……….

5. 3 12167 = ……….

6. 3 19683 = ……….

7. 3 32768 = ……….

8. 3 54872 = ……….

9. 3 54872 = ……….

10. 3 54872 = ……….


A. Lambang Bilangan Romawi

I = untuk satu

V = untuk lima

X = untuk sepuluh

L = untuk lima puluh

C = untuk seratus

D = untuk lima ratus

M = untuk seribu

B. Penulisan Bilangan Romawi

1. Bilangan romaswi dibaca dari kiri ke kanan

2. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya sama atau lebih kecil

dari angka tersebut, maka nilai angka yang mengikuti harus ditambah dengan

nilai angka yang diikuti

Contoh soal :

13 = XIII artinya = 10 + 1 + 1 + 1

27 = XXVII artinya = 10 + 10 + 5 + 1 + 1

3. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya lebih besar dari pada

angka yang diikuti, maka nilai angka yang mengikuti harus dikurangi dengan

nilai angka yang diikuti.

Contoh Soal :

90 = XC, artinya = 100 – 10

900 = CM, artinya = 1000 – 100

49 = XLIX, artinya = ( 50 – 10 ) + ( 10 – 1 )


Catatan Penting :

1. I hanya bisa mengurangi V dan X saja

2. X sebagai pengurang L

3. C sebagai pengurang D

4. V bukan sebagai lambang bilangan pengurang

5. L bukan sebagai lambang bilangan pengurang

6. D bukan sebagai lambang bilangan pengurang

7. L Tidak boleh diulang

8. D Tidak boleh diulang

4. Sistem pengurangan angka pada lambing bilangan Romawi dapat dilakukan

maksimum 3 kali

Contoh soal : 1988 = MCMLXXXVIII, 1000 + ( 1000-100)+ 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

133 = CXXXIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1

134 = CXXXIV, 100 + 10 + 10 + 10 + ( 5 - 1 )

138 = CXXXVIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

149 = CXLIX, 100 + ( 50 - 10 ) + ( 10 - 1 )

ebook rumus matematika praktis 1

Documents