Download - TUGAS AKHIR SM141501 OPTIMASI PERTUMBUHAN …
TUGAS AKHIR – SM141501
OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA
DENGAN PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA
MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM
PONTRYAGIN
RIZKY NUR ARDIANSYAH
NRP 06111440000044
Dosen Pembimbing :
Dr. Dra. Mardlijah, MT
Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
DEPARTEMEN MATEMATIKA
Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2018
FINAL PROJECT – SM141501
OPTIMIZATION OF MICROALGAE GROWTH WITH
ARRANGEMENT OF LIGHT INTENSITY BY
PONTRYAGIN MINIMUM PRINCIPLE
RIZKY NUR ARDIANSYAH
NRP 06111440000044
Supervisor :
Dr. Dra. Mardlijah, MT
Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Faculty of Mathematics, Computing, and Data Sciences
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2018
v
OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA DENGAN
PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA MENGGUNAKAN
METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN
Nama : Rizky Nur Ardiansyah
NRP : 06111440000044
Departemen : Matematika
Pembimbing : Dr. Dra. Mardlijah, MT
: Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
ABSTRAK
Mikroalga adalah mikroorganisme uniseluler yang
memiliki potensi besar sebagai produsen biomassa di masa depan,
karena mampu mengandung lipid dalam jumlah yang tinggi
walaupun dengan kondisi kekurangan nitrogen sekaligus
mengonsumsi CO2 industri. Pertumbuhan mikroalga sangat
berperan penting dalam produksi biomassa yang lebih banyak.
Intensitas cahaya adalah salah satu faktor yang mempengaruhi
pertumbuhannya sehingga dapat diatur intensitas cahaya yang
masuk untuk memaksimalkan hasil biomassa. Kemudian dilakukan
pengendalian optimal pada intensitas cahaya menggunakan Prinsip
Minimum Pontryagin. Dalam Tugas Akhir ini menunjukkan
peningkatan jumlah biomassa dalam waktu 2 pada kondisi awal ( ) ( ) dengan proporsi dan kondisi
awal ( ) ( ) dengan proporsi . Dari
hasil simulasi diperoleh jumlah biomassa meningkat dua kali lipat
dari kondisi awalnya.
Kata kunci : Mikroalga, Biomassa, Intensitas Cahaya, Prinsip
Minimum Pontryagin
vi
vii
OPTIMIZATION OF MICROALGAE GROWTH WITH
ARRANGEMENT OF LIGHT INTENSITY BY PONTRYAGIN
MINIMUM PRINCIPLE
Name : Rizky Nur Ardiansyah
NRP : 06111440000044
Department : Mathematics
Supervisor : Dr. Dra. Mardlijah, MT
: Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
ABSTRACT
Microalgae are unicellular microorganisms that have
great potential as future biomass producers, being able to contain
high amounts of lipids despite the nitrogen deficiency conditions
while consuming industrial CO2. The growth of microalgae an
important role in the production of more biomass. The intensity of
light is one of the factors that influence its growth so that it can be
adjusted incoming light intensity to maximize biomass yield. Then
performed optimal control on the light intensity using the
Pontryagin Minimum Principle. In this Final Project shows an
increase in the number of biomass within 2 with the initial
conditions ( ) ( ) with the proportion
and the initial conditions ( ) ( ) with the
proportion of . From the simulation results obtained the
amount of biomass doubled from the initial conditions
Keywords: Microalgae, Biomass, Light Intensity, Pontryagin
Minimum Principle
viii
ix
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr Wb.
Alhamdulillaahirrobbil'alamin, segala puji hanya milik
Allah yang memiliki apa yang ada di langit dan di bumi. Allah
Maha Kuasa atas segala sesuatu, dan sesungguhnya Allah ilmuNya
benar-benar meliputi segala sesuatu. Dan karena limpahan kasih
sayang, karunia, petunjuk serta bimbingan-Nya penulis dapat
menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik yang berjudul :
“OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA DENGAN
PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA MENGGUNAKAN
METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN”
sebagai salah satu syarat kelulusan menempuh Program Sarjana
Departemen Matematika FMKSD ITS Surabaya.
Penulisan Tugas Akhir ini tidak akan terselesaikan dengan baik
tanpa adanya bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Suatu
kebahagiaan dan kewajiban bagi penulis untuk menyampaikan
terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan
mendukung atas terselesainya Tugas Akhir :
1. Orang tua dan keluarga besar yang selalu mendoakan dan
memberikan motivasi kepada penulis.
2. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Kepala
Departemen Matematika Institut Teknologi Sepuluh
Nopember Surabaya.
3. Ibu Dr. Dra. Mardlijah MT dan Bapak Drs. Lukman
Hanafi, M.Sc selaku pembimbing Tugas Akhir yang telah
banyak mengarahkan dan memberikan masukan serta
motivasi sehingga Tugas Akhir ini dapat terselesaikan.
x
4. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp., Ibu Soleha, S.Si,
M.Si, dan Bapak Drs. Suharmadi, Dipl. Sc, M.Phil selaku
dosen penguji Tugas Akhir, atas semua saran dan masukan
yang diberikan kepada penulis.
5. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp. selaku dosen wali
yang memberikan arahan dan masukan selama penulis
menempuh perkuliahan di Departemen Matematika ITS.
6. Bapak Ibu dosen, seluruh staf Tata Usaha, dan asisten
laboratorium Departemen Matematika ITS.
7. Mahendra, Zainal, Hamim selaku sahabat dan David
selaku adik dari penulis yang selalu memberi bantuan dan
motivasi dalam mengerjakan Tugas Akhir.
8. Teman-teman angkatan 2014 yang telah berjuang bersama-
sama dan saling mendukung untuk menyelesaikan Tugas
Akhir.
9. Keluarga besar HIMATIKA ITS dan Ibnu Muqlah atas
kerja samanya selama penulis menempuh perkuliahan.
10. Seluruh pihak yang terkait yang tidak dapat disebutkan
satu per satu yang secara tidak langsung telah membantu
penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir.
Penulis menyadari sepenuhnya dalam penulisan ini masih
banyak kekurangan, kesalahan dan masih jauh dari sempurna,
sehingga segala saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat
diharapkan oleh penulis. Akhirnya, penulis berharap semoga Tugas
Akhir ini dapat bermanfaat untuk semua.
Wassalamu’alaikum Wr Wb.
Surabaya, 07 Agustus 2018
Penulis
xi
DAFTAR ISI
Hal
HALAMAN JUDUL ................................................................ i
LEMBAR PENGESAHAN ........ Error! Bookmark not defined
ABSTRAK .............................................................................. v
ABSTRACT ......................................................................... vii
KATA PENGANTAR ............................................................ ix
DAFTAR ISI .......................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR .......................................................... xiii
DAFTAR TABEL ................................................................. xv
BAB I PENDAHULUAN ....................................................... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ......................................................... 4
1.3 Batasan Masalah ............................................................ 4
1.4 Tujuan ............................................................................ 4
1.5 Manfaat .......................................................................... 5
1.6 Sistematika Penulisan .................................................... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................. 7
2.1 Penelitian Terdahulu....................................................... 7
2.2 Mikroalga ....................................................................... 8
2.3 Model Droop ................................................................ 10
2.4 Menambahkan efek cahaya pada mikroalga ................. 11
2.5 Respirasi ....................................................................... 12
2.6 Titik Setimbang ............................................................ 13
2.7 Analisis Kestabilan Lokal ............................................ 14
2.8 Kriteria Routh-Hurwitz ................................................ 18
2.9 Analisis Keterkontrolan ................................................ 19
2.10 Prinsip Minimum Pontryagin ..................................... 19
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .............................. 21
1. Studi Literatur ................................................................ 21
xii
2. Mencari Titik Setimbang dan Menganalisa Kestabilan di
Sekitar Titik Setimbang ........................................................ 21
3. Menentukan Keterkontrolan Sistem .............................. 21
4. Desain Kontrol ............................................................... 21
5. Penyelesaian Kontrol ..................................................... 22
6. Simulasi dan Analisis Hasil Simulasi ............................ 22
7. Penarikan Kesimpulan dan Pemberian Saran ................ 22
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ....................... 25
4.1 Analisis Dinamik pada Model Pertumbuhan Alga ...... 25
4.1.1 Menentukan Titik Setimbang ................................ 26
4.1.2 Analisis Kestabilan ................................................ 29
4.1.3 Analisis Keterkontrolan ......................................... 35
4.2 Penyelesaian dengan Kendali Optimal ......................... 37
4.3 Simulasi dan Analisis ................................................... 45
4.3.1 Hasil Simulasi Sebelum Diberi Kendali Optimal .. 46
4.3.2 Hasil Simulasi Setelah Diberi Kendali Optimal .... 49
BAB V PENUTUP ............................................................... 53
5.1 Kesimpulan ................................................................... 53
5.2 Saran ............................................................................. 53
DAFTAR PUSTAKA ........................................................... 55
LAMPIRAN 1 ...................................................................... 59
LAMPIRAN 2 ...................................................................... 63
BIODATA PENULIS ........................................................... 67
xiii
DAFTAR GAMBAR
Hal
Gambar 2.1 Diagram Kompartemen Model Droop ............... 11
Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian ..................................... 23
Gambar 4.1 Flow Chart Simulasi .......................................... 45
Gambar 4.2 Simulasi model pertumbuhan alga dengan
kondisi awal ( ) ( ) ............................... 46
Gambar 4.3 Simulasi model pertumbuhan alga dengan
kondisi awal ( ) ( ) ............................... 47
Gambar 4.4 Simulasi model pertumbuhan alga dengan
kondisi awal ( ) ( ) ............................... 48
Gambar 4.5 Simulasi model pertumbuhan alga dengan
kondisi awal ( ) ( ) ............................... 49
Gambar 4.6 Simulasi model pertumbuhan alga dengan
kondisi awal ( ) ( ) ............................... 50
Gambar 4.7 Simulasi Tingkat Intensitas Cahaya .................. 51
xiv
xv
DAFTAR TABEL
Hal
Tabel 2.1 Tabel Kandungan Minyak Mikroalga ..................... 9
Tabel 2.2 Tabel Nilai Parameter ............................................ 13
xvi
1
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang dari
permasalahan yang dibahas pada tugas akhir ini, rumusan
masalah yang muncul akibat latar belakang, batasan masalah,
tujuan, manfaat dan sistematika penulisan yang diuraikan pada
bagian akhir bab ini.
1.1 Latar Belakang
Kondisi krisis energi di Indonesia diperkirakan segera tiba,
khususnya energi bahan bakar fosil (premium, solar, pertalite,
pertamax). Hal ini tidak terlepas dikarenakan Indonesia
merupakan negara pengguna bahan bakar fosil dengan tingkat
konsumsi yang sangat tinggi. Jumlah produksi bahan bakar
fosil yang mampu dihasilkan Indonesia tidak sebanding
dengan tingkat konsumsinya. Hal ini dapat dilihat dari
aktivitas sehari-hari yang tidak terlepas dari penggunaaan
bahan bakar fosil baik untuk keperluan industri, transportasi,
dan rumah tangga. Sedangkan perbandingan penemuan sumur
minyak baru dengan sumur minyak yang di eksploitasi tidak
seimbang. Penggunaan bahan bakar fosil juga mengakibatkan
emisi gas rumah kaca dan produksi CO2 yang dapat memicu
perubahan iklim secara drastis sehingga diperlukan
penanganan yang serius dalam menghadapi beberapa masalah
tersebut.
Salah satu upaya untuk menangani permasalahan emisi
gas CO2 adalah menangkap CO2 dan mengurangi pemakaian
bahan bakar fosil. Penelitian yang sedang dilakukan di dunia
maupun di Indonesia adalah mengurangi pemakaian bahan
bakar fosil dengan cara mengembangkan energi alternatif
terbarukan yang lebih ramah lingkungan. Namun yang perlu
menjadi perhatian khusus dalam pengembangannya adalah
biomassa karena biomassa lebih ramah lingkungan
dibandingkan dengan bahan bakar fosil.
2
Biomassa bisa didapat dari tanaman yang mengandung
minyak seperti kelapa sawit, jarak pagar, singkong, kedelai,
sagu, dan tebu. Namun hal ini menyebabkan masalah baru
karena beberapa tanaman tersebut adalah bahan pangan dan
membutuhkan lahan yang luas untuk membudidayakan
tanaman-tanaman tersebut sehingga dapat dipastikan akan
terjadi kenaikan harga pangan. Oleh karena itu diperlukan
solusi untuk mengatasi masalah tersebut.
Mikroalga adalah tumbuhan yang tidak membutuhkan
lahan luas dalam budidayanya dan bukan merupakan bahan
pangan sehingga mikroalga dianggap solusi yang tepat
menjadi bahan baku penghasil biomassa. Mikroalga mampu
tumbuh lebih cepat di perairan yang tidak terlalu luas dan
dapat menggunakan air laut atau air limbah. Pertumbuhan
mikroalga menjadi dua kali lipat lebih banyak dalam waktu 24
jam, selain itu kadar lemak yang dihasilkan memiliki
konsentrasi yang cukup tinggi yaitu 77% dari berat kering [1].
Mikroalga mampu berfotosintesis dan mereduksi
karbondioksida yang ada di alam sehingga dapat mengurangi
dampak pemanasan global akibat karbondioksida buangan dari
industri-industri. Mikroalga juga mempunyai kandungan
protein yang sangat tinggi sehingga dikenal juga dengan nama
single cell protein (SCP). Beberapa mikroalga telah
dikonsumsi sebagai obat-obatan dan makanan kesehatan.
Selain itu juga dapat digunakan sebagai bahan kosmetik dan
lain-lain.
Kultivasi merupakan teknik menumbuhkan mikroalga
dalam lingkungan tertentu yang terkontrol. Kultivasi bertujuan
untuk menyediakan spesies tunggal pada kultur masal
mikroalga untuk tahap pemanenan. Teknik budidaya
mikroalga yang sering digunakan adalah Open Raceaway
Ponds dan Fotobioreaktor. Open Raceaway Ponds adalah
sistem tertua dan paling sederhana. Nutrisi ditambahkan di
depan paddlewheel dan setelah beredar melalui loop-loop
mikroalga tersebut dapat dipanen di bagian belakang
3
paddlewheel. Biaya operasional sistem ini lebih rendah
dibandingkan fotobioreaktor namun dapat mengalami
evaporasi akut dan penggunaan CO2 tidak efisien karena
sistem ini adalah sistem kolam terbuka. Sedangkan teknik
fotobioreaktor mampu mengatasi evaporasi pada sistem Open
Raceaway Ponds. Teknik fotobioreaktor sendiri terbagi
menjadi dua yaitu flat plate dan tubular. Fotobioreaktor tubular
lebih cocok untuk diluar lapangan karena luasnya permukaan
untuk proses iluminasi. Fotobioreaktor flat plate lebih sering
digunakan karena meratakan intensitas penyinaran sehingga
sel yang dihasilkan memiliki densitas yang lebih tinggi [1].
Dalam Tugas Akhir ini akan digunakan model Droop untuk
pertumbuhan mikroalga. Penelitian yang dilakukan M.R.
Droop bagian tubuh mikroalga dibagi menjadi tiga bagian
yakni Nutrisi (S), Cell Quota (Q) dan Biomassa (X). Kemudian
dilakukan modifikasi model oleh Bernard dkk [2] yang
memperhitungkan adanya parameter cahaya sebagai salah satu
faktor yang mempengaruhi pertumbuhan mikroalga. Adanya
parameter cahaya mendukung penelitian ini sehingga model
yang telah dimodifikasi oleh Bernard dkk [2] dapat digunakan
sebagai penelitian ini. Pertumbuhan mikroalga dipengaruhi
oleh beberapa faktor, yaitu temperatur, intensitas cahaya,
nutrisi, karbondioksida, derajat keasaman, dan salinitas. Disini
penulis akan melakukan kontrol yang optimal pada intensitas
cahaya menggunakan Metode Prinsip Minimum Pontryagin
untuk memaksimalkan pertumbuhan mikroalga sehingga
mampu menghasilkan biomassa yang maksimal kemudian
akan dilakukan simulasi menggunakan software MATLAB.
Dalam hasil simulasi akan dilakukan perbandingan antara hasil
biomassa sebelum dilakukan kontrol dan setelah dilakukan
kontrol.
4
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang harus dijawab pada tugas akhir ini
adalah :
1. Analisis kestabilan dan keterkontrolan sistem dari
pertumbuhan mikroalga menggunakan model Droop
2. Menentukan intensitas cahaya yang optimal untuk
pertumbuhan mikroalga sehingga produksi biomassa
dapat maksimal.
3. Bagaimana pengaruh intensitas cahaya terhadap
produksi biomassa sebelum dan sesudah dilakukan
kendali optimal.
1.3 Batasan Masalah
Batasan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah:
1. Pertumbuhan Mikroalga dengan model Droop.
2. Pertumbuhan mikroalga selalu ada.
3. Proses pengembangan mikroalga di suatu tempat
tertutup (fotobioreaktor) sehingga tingkat intensitas
cahaya yang masuk dapat diatur.
1.4 Tujuan
Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui sifat-sifat sistem dari model Droop.
2. Mengetahui intensitas cahaya yang optimal untuk
pertumbuhan mikroalga sehingga produksi biomassa
dapat maksimal.
3. Mengetahui pengaruh intensitas cahaya terhadap
produksi biomassa sebelum dan sesudah dilakukan
kendali optimal.
5
1.8 Manfaat
Manfaat yang didapat dari Tugas Akhir ini adalah:
1. Memberikan informasi mengenai intensitas cahaya
yang optimal sehingga pertumbuhan mikroalga dapat
maksimal dan memperoleh produksi biomassa yang
melimpah.
2. Memberikan pelajaran mengenai penerapan kendali
optimal dan sebagai referensi untuk penelitian
selanjutnya.
1.9 Sistematika Penulisan
Penulisan Ilmiah Matematika ini terdiri dari empat bab
yaitu:
1. Bab I Pendahuluan
Bab ini berisi tentang gambaran umum dari Penulisan
Ilmiah Matematika yang meliputi latar belakang, rumusan
masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan
sistematika penulisan.
2. Bab II Tinjauan Pustaka
Pada bab ini akan diuraikan mengenai mikroalga dan
Model Droop. Selain itu, bab ini juga berisikan materi-
materi antara lain, Titik Setimbang, Kestabilan lokal, dan
prinsip Minimum Pontryagin.
3. Bab III Metodologi Penelitian
Pada bab ini akan dijelaskan tahapan-tahapan dalam
mengerjakan Tugas Penulisan Ilmiah Matematika ini.
Tahapan-tahapan tersebut antara lain, studi literatur,
mencari titik setimbang dan menganalisa kestabilan sistem
di sekitar titik setimbang, desain kontrol, dan penyelesaian
kontrol. Selanjutnya dilakukan simulasi dan analisis
terhadap hasil yang didapat. Tahap terakhir adalah
penarikan kesimpulan dari hasil pembahasan dan analisis
yang dilakukan.
6
4. Bab IV Analisis dan Pembahasan
Pada bab ini akan dibahas mengenai formulasi dan
penyelesaian kendali optimal pada model pertumbuhan
alga melalui pengaturan intensitas cahaya serta penjelasan
mengenai hasil simulasi yang diperoleh.
5. Bab V Penutup
Bab ini menjelaskan kesimpulan yang diperoleh dari
pembahasan dan saran untuk pengembangan penelitian
selanjutnya.
7
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penelitian terdahulu,
mikroalga, model Droop, titik setimbang, analisis kestabilan,
analisis keterkontrolan, dan Prinsip Minimum Pontryagin.
2.1 Penelitian terdahulu
Sebelumnya telah dilakukan banyak penelitian mengenai
mikroalga, hal ini dilakukan mengingat kandungan lipid yang
sangat tinggi pada mikroalga. Penelitian-penelitian pada
mikroalga salah satunya dilakukan oleh M. Virama Hadi Cahyono
pada tahun 2015 yaitu analisis model matematika untuk
pertumbuhan mikroalga terhadap keterbatasan nutrisi, sebagai
solusi dari keterbatasan nutrisi tersebut dilakukan pengenceran
nutrisi yang kecil dan intensitas cahaya yang besar [3]. Kemudian
pada tahun 2015 dilakukan penelitian oleh Mardlijah & Izzati
yang membahas mengenai model pertumbuhan alga pada
bioreactor fed-batch dan strategi pemberian makan yang optimal
menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin [4].
Sedangkan penelitian untuk kendali optimal khususnya
kendali optimal yang bertujuan meningkatkan produksi biomassa
juga sering dilakukan. Salah satu contohnya adalah kendali
optimal untuk memaksimalkan hasil biomassa dengan
pengenceran nutrisi menggunakan Pontryagin Minimum Principle
oleh M. Samsul Ma’arif pada tahun 2016 [5]. Kemudian pada
tahun 2017 dilakukan kendali optimal pada karbondioksida dan
aliran nutrisi untuk memaksimalkan hasil biomassa menggunakan
Pontryagin Maximum Principle oleh Mardlijah, Ahmad Jamil,
Lukman Hanafi, dan Suharmadi Sanjaya [6]. Dan akhir-akhir ini
telah dilakukan penelitian oleh Yoshua Ardy P mengenai kendali
optimal pada model pertumbuhan alga yaitu model Thornton
dengan aliran nutrisi dan karbondioksida sebagai variabel kendali
menggunakan metode LQR [7].
8
2.2 Mikroalga
Menurut M.R. Droop [8] mikroalga adalah mikroorganisme
nabati yang hidup melayang-layang di dalam air, relatif tidak
mempunyai daya gerak sehingga keberadaannya dipengaruhi oleh
gerakan air serta mampu berfotosintesis. Mikroalga merupakan
mikroorganisme (ukuran 1-100 ) photosintetik yang
berpotensi digunakan untuk produk fine chemicals [9], unsur
tambahan makanan untuk manusia dan hewan, system immobile
pembetulan senyawa extraseluller, untuk biosorpsi logam, dan
fiksasi CO2 [10]. Pada umumnya mikroalga bersel satu atau
berbentuk benang, sebagai tumbuhan dan dikenal sebagai
fitoplankton. Sebagai dasar mata rantai pada siklus makanan di
laut, fitoplankton menjadi makanan alami bagi zooplankton baik
masih kecil maupun yang dewasa.
Mikroalga menggunakan cahaya untuk metabolisme CO2
menjadi biomassa (CH2O) dengan bantuan sinar dan air sesuai
dengan reaksi berikut:
CO2 + H2O + cahaya (CH2O) + O2
Reaksi tersebut disebut proses fotosintetik dimana oksigen juga
dihasilkan sebagai hasil selain CH2O. Cahaya yang digunakan
untuk proses fotosintetik dapat berupa cahaya sintetik ataupun
cahaya matahari yang sampai ke permukaan bumi sekitar 1500-
2500 . Mikroalga mengandung banyak senyawa yang
sangat potensial untuk dijadikan produk. Misalnya untuk produk
farmasi antara lain Eicospentaenoic acid (EPA) yang berguna
untuk status vascular tubuh manusia, Docosahexaenoic acid
(DHA) untuk jaringan saraf otak, -carotene sebagai pro-vitamin
A, dan Astaxanthin sebagai anti oksidan. Dua produk terakhir
telah dikomersilkan secara besar [7]. Mikroalga akhir-akhir ini
dieksplorasi dalam bidang bioenergi dikarenakan mikroalga juga
mempunyai kandungan karbon dan lipid yang tinggi. Beberapa
jenis mikroalga berpotensi sebagai sumber minyak dengan kadar
yang bervariasi tergantung jenis mikroalganya [10]. Pada Tabel
2.1 berikut akan disajikan jenis-jenis mikroalga beserta
kandungan minyaknya.
9
Tabel 2.1 Tabel Kandungan Minyak Mikroalga
No Mikroalga Kandungan Minyak (%)
1 Botrycoccus Braunii 25-75
2 Chlorella sp 28-32
3 Crypthecodinium Cohnii 20
4 Cylindrotheca sp 16-37
5 Dunaliella Primolecta 23
6 Isochrysis sp 25-33
7 Monallanthus Salina >20
8 Nannochloris sp 20-35
9 Nannochloropsis sp 31-68
10 Neochloris Oleoabundans 35-54
11 Nitzschia sp 45-47
12 Phaeodactylum Tricornutum 20-30
13 Schizochytrium sp 50-77
14 Tetraselmis Sueica 15-23 Sumber: Chisti, Y. “Biodiesel from Mikroalgae”. [11]
Menurut Kawaroe [12], komunitas mikroalga pada suatu
perairan dipengaruhi oleh kondisi lingkungan antara lain
temperatur (suhu), nutrien (unsur hara), intensitas cahaya, derajat
keasaman (pH), aerasi (sumber CO2), dan salinitas.
Mikroalga sama seperti tumbuhan lainnya yang melakukan
fotosintesis, yaitu mengasimilasi karbon anorganik untuk
dikonversi menjadi organik. Intensitas cahaya memegang peranan
yang sangat penting, namun intensitas cahaya yang diperlukan
tiap – tiap alga untuk dapat tumbuh secara maksimum berbeda –
beda. Intensitas cahaya yang diperlukan bergantung pada volume
dan densitas sel mikroalga. Semakin tinggi densitas dan volume
kultivasi semakin tinggi pula intensitas cahaya yang diperlukan.
Selain intensitas cahaya, fotoperiode (lama cahaya bersinar) juga
memegang peranan penting sebagai pendukung pertumbuhan
alga. Nannochloropsis oculata dapat hidup pada intensitas cahaya
2000-4000 lux. Nannochloropsis oculata tumbuh secara optimum
10
pada intensitas cahaya 4000 lux dengan menghasilkan total lipid
sebesar 38,32% [13].
2.3 Model Droop
Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh M.R. Droop [9,2]
sehingga diperoleh Persamaan yang disebut model Droop dengan
Persamaan sebagai berikut:
( ) (2.1)
( ) ( ) (2.2)
( ) (2.3)
Sedangkan Persamaan pertumbuhan mikroalga dan penyerapan
biomassa adalah sebagai berikut:
( ) (
) dan ( ) (
) (2.4)
dengan kondisi awal :
( ) ( ) ( )
Telah dibuktikan oleh Bernard dan Gouze [14] bahwa cell quota
akan bertahan diantara dua batas :
dimana
merepresentasikan cell quota maksimum
yang diperoleh dalam kondisi nutrisi tidak terbatas.
Pada Gambar 2.1 berikut akan disajikan diagram kompartemen
dari model Droop.
11
( )
( )
Gambar 2.1 Diagram Kompartemen Model Droop
2.4 Menambahkan efek cahaya pada pertumbuhan
mikroalga Menurut penelitian yang dilakukan oleh Olivier Bernard [2],
cahaya merupakan salah satu faktor yang memengaruhi
pertumbuhan mikroalga sehingga dapat ditambahkan efek cahaya
pada pertumbuhan mikroalga.
Pertama mempertimbangkan kasus di mana cahaya homogen
dalam reaktor, dengan intensitas cahaya . Intensitas cahaya
memiliki efek langsung terhadap pertumbuhan (fotosintesis),
sementara serapan nitrogen dapat berlanjut dalam kegelapan.
Cahaya kemudian dapat dimasukkan ke dalam parameter
( ) [2] :
( ) ( ) (
) (
) (
) (2.5)
dimana adalah koefisien cahaya setengah saturasi
Untuk mencegah kenaikan kuota yang tidak realistis dalam
kegelapan, maka digunakan mekanisme down regulation yang
diusulkan oleh Lehman dkk [15]:
𝑺 𝑸
𝑿
12
( ) (
) (
) (2.6)
dengan : tingkat serapan berhenti untuk sel yang penuh
.
2.5 Respirasi
Faktor respirasi juga memengaruhi pertumbuhan dan
perkembangan mikroalga dalam fotobioreaktor baik saat keadaan
terang maupun gelap. Respirasi cenderung mengurangi biomassa,
dari sudut pandang karbon, respirasi mengkonversi biomassa
menjadi karbondioksida [16]. Kemudian respirasi konstan yang
berlaku untuk nitrogen dan karbon, sehingga rasio nitrogen atau
karbon tidak terpengaruh [2]:
( ( ) ) (2.7)
Dapat diverifikasi bahwa Persamaan tidak berubah dengan
menambahkan respirasi.
Model droop setelah ditambahkan efek cahaya dan respirasi
menjadi :
(
) (
) (2.8)
(
) (
) (
) (
) (2.9)
(
) (
) (2.10)
Keterangan :
( ) : Cell quota
( ) : Konsentrasi biomassa
( ) : Konsentrasi nutrisi
( ) :Konsentrasi nutrisi external yang masuk pada diri
mikroalga
: Tingkat pengenceran
( ) : Pertumbuhan mikroalga
( ) : Penyerapan pada biomassa
13
:Pertumbuhan Maksimum pada mikroalga (kuota nitrogen
internal terbatas)
: Penyerapan Maksimum nutrisi biomassa
: Konstanta setengah saturasi
:Cell quota minimal (dibawah tingkat ini tidak ada
pertumbuhan alga)
: Respirasi
: Cahaya
: Koefisien cahaya setengah saturasi
Pada Tabel 2.2 berikut disajikan nilai dari parameter-
parameter yang akan digunakan dalam Tugas Akhir ini.
Tabel 2.2 Tabel Nilai Parameter
Parameter Nilai
1
0.4
1.2
0.073
1,7
0.07
0.0012
20
0.25
0.05 Sumber: Bernard, O., Grognard, Frederic., and Masci, P. “Microalgal
biomass surface productivity optimization based on a photobioreactor
model”. [2].
2.6 Titik Setimbang
Titik setimbang merupakan titik tetap yang tidak berubah
terhadap waktu.
Pandang Persamaan differensial berikut:
( ) (2.11)
14
( ) (2.12)
( ) (2.13)
Sebuah titik ( ) merupakan titik kesetimbangan dari
Persamaan (2.11), (2.12), dan (2.13) jika memenuhi
( ) , ( ) , dan ( ) .
Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang
fungsi konstan
( ) ( ) ( ) adalah penyelesaian kesetimbangan dari Persamaan (2.8), (2.9),
dan (2.10) untuk semua .
Definisi 2.1 [17]
Titik yang memenuhi ( ) disebut suatu titik
setimbang.
2.7 Analisis kestabilan lokal
Pada penelitian ini akan dibahas mengenai analisa kestabilan
pada model pertumbuhan alga. Dikarenakan model berbentuk
nonlinier sehingga untuk menganalisis kestabilan menggunakan
transformasi kestabilan lokal di sekitar titik setimbang dengan
pendekatan Deret Taylor untuk mencari suatu solusi dari sistem
di sekitar titik setimbang ( ).
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
(2.14)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
Dimana disebut sebagai bagian nonlinear yang
selanjutnya dapat diabaikan karena nilainya mendekati nol.
15
Dari Persamaan (2.14) akan terbentuk suatu model matematika
yang linier dari sistem nonlinier dengan pendekatan Deret Taylor.
Selanjutnya, dilihat dari sistem ( ) di sekitar titik
setimbang ( ) dan kondisi setimbangnya ketika
( ) . Maka Persamaan (2.14) dapat ditulis menjadi :
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(2.15)
( ) ( )
( )
( )
( )
selanjutnya didefinisikan
didapat derivatifnya adalah
( ) ( ) ( )
sehingga ( ) dan diperoleh
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
16
jika dinyatakan dalam bentuk matriks maka diperoleh :
(
,
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
(
, (2.16)
dapat juga ditulis menjadi
( ( ))
dengan ( ( )) merupakan matriks Jacobian dari fungsi di
titik kesetimbangan .
Definisi 2.2 [18]
Diberikan fungsi dengan ( ), dan himpunan terbuka. Matriks
( ( ))
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
dinamakan matriks Jacobian dari
Matriks Jacobian ( ( )) dapat digunakan untuk
mengidentifikasi kestabilan dari sistem nonlinier di sekitar titik
setimbang dengan syarat titik kesetimbangan tersebut
hiperbolik.
17
Definisi 2.3 [18]
Titik kesetimbangan dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen
matriks Jacobian ( ( )) mempunyai bagian real tak nol.
Definisi 2.4 [18]
Suatu titik kesetimbangan pada sistem Persamaan differensial
( ) dikatakan
i. Stabil jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ))
mempunyai bagian real negatif.
ii. Tidak stabil jika semua nilai eigen matriks Jacobian
( ( )) mempunyai bagian real positif.
Pelana (saddle) jika titik setimbang hiperbolik dan terdapat nilai
eigen matriks Jacobian ( ( )) mempunyai bagian real positif
dan negatif.
2.8 Kriteria Routh-Hurwitz
Nilai-nilai karakteristik dari matriks adalah akar-akar
karakteristik dari polynomial
( ) ( )
dengan . Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dapat dipakai
untuk mengecek langsung kestabilan koefisien tanpa
menghitung akar-akar dari polynomial yang ada.
Diberikan suatu polynomial
( ) ( )
susun Tabel sebagai berikut :
Q
18
dimana dan secara rekursif didapat dari :
Bila pada kolom pertama dalam Tabel tidak ada perubahan tanda
(semuanya bertanda positif atau semuanya bertanda negatif),
maka semua akar polynomial ( )bagian realnya adalah tak
positif dan sistem ini dikatakan stabil [17].
2.9 Analisis Keterkontrolan
Selanjutnya analisis keterkontrolan sistem yang bermanfaat
dalam menstabilkan sistem. Jika sistem tidak terkontrol maka
solusi dari sebuah permasalahan kendali optimal tidak dapat
diperoleh.
Diberi suatu sistem
( ) ( ) ( ) ( )
disebut terkontrol jika rank dari matriks keterkontrolan sama
dengan matriks , dengan matriks keterkontrolan [ | | | | .
Teorema 2.1 [17]
Syarat perlu dan cukup sistem terkontrol adalah matriks [ | | | | . mempunyai rank yang sama dengan .
2.10 Prinsip Minimum Pontryagin Prinsip Minimum Pontryagin digunakan untuk memperoleh
penyelesaian kendali optimal yang sesuai dengan tujuan, yaitu
memaksimumkan fungsi tujuan dimana kendali 𝒖( ) terbatas pada
(𝒖( ) 𝒰). Hal ini telah dikembangkan oleh L. S.Pontryagin dan
rekan kerjanya pada tahun 1950 yang diaplikasikan untuk semua
19
masalah kalkulus variasi. Oleh karena itu, prinsip ini biasa disebut
dengan Prinsip Minimum Pontryagin.
Prinsip ini menyatakan secara informal bahwa Persamaan
Hamiltonian akan dimaksimumkan sepanjang 𝒰 yang merupakan
himpunan kendali yang mungkin [19]. Hasilnya juga dapat
dinamakan Prinsip Minimum Pontryagin karena mempunyai
pengertian yang sama antara meminimalkan dan memaksimalkan
dengan mengalikan (-1) pada fungsi tujuan. Prosedur
menyelesaikan kendali optimal dengan menggunakan Prinsip
Minimum Pontryagin adalah sebagai berikut:
Diberikan Persamaan: ( ( ) ( ) ).
Diberikan indeks performansi:
( ( ) ) ∫ ( ( ) ( ) )
dan kondisi batas
( ) ( ) .
Maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah:
a. Bentuk fungsi Pontryaginnya (Hamilton).
( ( ) ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )
b. Maksimumkan terhadap semua vektor kendali ( ).
(
) dan diperoleh ( ) ( ( ) ( ) )
c. Gunakan hasil dari langkah (b) ke dalam langkah (a) dan
tentukan yang optimal.
( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
d. Menyelesaikan persamaan state dan costate sebagai berikut :
( ) (
) dan ( ) (
)
20
dengan kondisi awal dan kondisi akhir *
+
*(
) ( )+
e. Untuk memperoleh kendali optimal, substitusikan solusi
( ) ( ) dari langkan (d) ke dalam ekspresi optimal kendali
pada langkah (b).
21
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Metodologi penelitian yang digunakan dalam tugas akhir ini
dibagi menjadi beberapa tahapan-tahapan penelitian dan diberikan
diagram alir untuk mempermudah memahami tahapan-tahapan
pengerjaan Tugas Akhir.
1. Studi Literatur
Pada tahap ini akan mencari referensi yang menunjang
penelitian yang bersumber dari buku-buku, jurnal, tugas
akhir, artikel, dan lain-lain. Refrensi yang dicari berkaitan
dengan mikroalga, model Droop, kestabilan sistem,
Prinsip Minimum Pontryagin, dan lain-lain.
2. Mencari titik setimbang dan menganalisa kestabilan
sistem di sekitar titik setimbang
Pada tahap ini akan mencari titik setimbang dari
model Droop yang telah dinondimensionalkan sehingga
mampu menentukan kestabilan sistem dari nilai
karakteristik yang didapat.
3. Menentukan keterkontrolan sistem
Pada tahap ini akan dilakukan analisa keterkontrolan
dari sistem. Jika sistem terkontrol maka dapat dilakukan
kendali optimal pada sistem tersebut.
4. Desain kontrol
Pada tahap ini akan ditentukan kontrol yang optimal
dari model Droop tersebut sehingga pertumbuhan
mikroalga dapat maksimal dengan tingkat intensitas
cahaya tertentu.
22
5. Penyelesaian kontrol
Pada tahap ini akan dilakukan penyelesaian kontrol
yang optimal dengan Prinsip Minimum Pontryagin.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
a. Membentuk fungsi Hamiltonian
b. Menentukan Persamaan state dan costate
c. Menentukan kontrol optimal berdasarkan
keadaan stasioner.
6. Simulasi dan analisis hasil simulasi
Tahap ini akan dilakukan setelah melakukan
penyelesaian kontrol secara analitik. Software yang akan
digunakan adalah MATLAB kemudian akan dilakukan
analisis dari hasil simulasi yang didapat.
7. Penarikan kesimpulan dan pemberian saran
Penarikan kesimpulan akan dilakukan setelah
menganalisis jumlah biomassa sebelum dan sesudah
dilakukan kontrol dan menganalisis hasil simulasi
menggunakan MATLAB.
23
Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian
Titik Setimbang
Studi Literatur
Analisis Kestabilan
Desain Kontrol
Penyelesaian Kontrol
Simulasi dan Analisis
Penarikan Kesimpulan
Penulisan Tugas Akhir
Selesai
Mulai
Analisis Keterkontrolan
24
25
BAB IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan ditentukan kendali optimal dari model
pertumbuhan alga untuk mendapatkan hasil biomassa yang
maksimal. Sebelum ditentukan kendali optimal, akan dilakukan
analisis dinamik terlebih dahulu terhadap model tersebut, meliputi
analisis kestabilan dan keterkontrolan. Setelah itu akan ditentukan
kendali optimal menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin dan
kemudian hasilnya akan disimulasikan di MATLAB menggunakan
metode Runge Kutta Orde 4.
4.1 Analisis Dinamik pada Model Pertumbuhan Alga
Pada penelitian ini digunakan model pertumbuhan alga dari
penelitian yang telah dilakukan oleh Olivier Bernard dkk [2],
sebagai berikut :
(
) (
) (4.1)
(
) (
) (
) (
) (4.2)
(
) (
) (4.3)
Namun sebelum dilakukan analisis dinamik pada model
pertumbuhan alga, model tersebut akan diubah terlebih dahulu
dalam bentuk nondimensional dengan tujuan untuk memudahkan
perhitungan dengan cara menghilangkan satuannya. Berikut adalah
pemisalan dari bentuk nondimensional :
;
;
;
26
Dengan memasukkan pemisalan dari bentuk nondimensional
pada Persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) menjadi :
(
) (
) (4.4)
(
) (
) (
) (
) (4.5)
(
) (
) (4.6)
Kemudian didapat bentuk nondimensional dari model
pertumbuhan alga sebagai berikut :
( )
(4.7)
( )
( ) (4.8)
(
) (4.9)
Kemudian akan ditentukan titik setimabang, analisis kestabilan,
dan analisis keterkontrolan menggunakan model nondimensional
pertumbuhan alga.
3.1.1 Menentukan Titik Setimbang
Menentukan titik setimbang model pertumbuhan mikroalga
dari Persamaan (4.7), (4.8), dan (4.9) yang kemudian dapat
dinyatakan sebagai ( ).
[
]
( [
] *
atau
(4.10)
27
Dari Persamaan (4.10) didapat dua keadaan yaitu nilai atau
yang akan digunakan untuk mencari titik setimbang
yang lainnya.
a. Untuk akan diperoleh titik setimbang ( ) dengan memasukkan ke dalam
Persamaan (4.7) dan (4.8).
( )
( )
( ( )
)
( ( ) ( )
)
(4.11)
( )
[
(
*
28
( )
( )
( )( )
( )( ) (4.12)
Sehingga diperoleh titik setimbang ( ) yaitu
( ( )( )
( )( ) )
atau
( ( )( )
( )( ) ) ( ) (4.13)
b. Untuk
akan diperoleh titik setimbang
( ) dengan memasukkan
ke
dalam Persamaan (4.7) dan (4.8).
Selanjutnya perhitungan terdapat pada lampiran 1 sehingga
diperoleh titik setimbang batas biomassa yaitu ( ) dimana
( )
( )( )( ) ( ) ( )
[ ( ( ) ( ) ) [( )( )
( ) ( ) ( )]
*( )( ( ) ( ))( ) ( ) ( )+
[ ( ( ) ( ) )
(
)
atau ( ) ( )
29
3.1.2 Analisis Kestabilan
Setelah diperoleh dua titik setimbang dari model
nondimensional pertumbuhan alga, selanjutnya akan dilakukan
analisis kestabilan dari model nondimensional pertumbuhan alga.
Untuk melakukan analisis pada Persamaan (4.7), (4.8), dan (4.9)
adalah dengan cara menganalisis transformasi kestabilan lokal di
sekitar titik setimbang dari sistem menggunakan pendekatan Deret
Taylor.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
selanjutnya didefinisikan
didapat derivatifnya yaitu
( ) ( ) ( )
30
sehingga diperoleh
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Jika dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh :
( +
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
(
+
Persamaan (4.7) – (4.9) dapat dimisalkan sebagai berikut:
( ) ( )
(4.14)
( ) ( )
[ (4.15)
( ) *
+ (4.16)
Maka dari Persamaan (4.14) – (4.16) dapat diperoleh :
a. ( )
( ( )
)
( )
( )
b. ( )
( ( )
)
31
c. ( )
( ( )
)
( )
d. ( )
( ( )
[ )
( )
( )
e. ( )
( ( )
[ )
f. ( )
( ( )
[ )
g. ( )
( *
+ )
h. ( )
( *
+ )
i. ( )
( *
+ )
*
+
dengan memisalkan nilai nilai dari matriks diperoleh :
a. ( )
( )
( )
b. ( )
c. ( )
( )
d. ( )
( )
( )
e. ( )
f. ( )
g. ( )
h. ( )
i. ( )
*
+
32
Kemudian substitusikan setiap nilai ke dalam bentuk matriks
diperoleh
( + (
+(
+
atau dapat ditulis matriks Jacobiannya
( + ( ( )) (
+ (4.17)
selanjutnya matriks Jacobian dapat digunakan untuk
mengidentifikasi kestabilan sistem nonlinier di sekitar titik
setimbang. Kemudian akan dicari Persamaan karakteristik dari
matriks Jacobian menggunakan
| ( ( ))| sehingga
|
|
Dari titik setimbang ( ( )( )
( )( ) ) diperoleh:
( )
( )
( )
((( )( )
( )( ) * )
( )
( )
( (( )( )
( )( ) *)
( )
33
(
*
( ( )( )
( )( ) )
Kemudian dapat dibentuk matriks yang baru dengan pemisalan
diatas dan akan dicari Persamaan karakteristik dari matriks
Jacobian menggunakan
| ( ( ))| sehingga didapat
|
|
( )( )( )
sehingga akan diperoleh nilai eigen dari akar karakteristiknya
sebagai berikut:
(( )( ) ( )( )
( )( ) )
34
Berdasarkan definisi (2.4) maka sistem di sekitar titik setimbang
bersifat stabil karena nilai eigen yang diperoleh bernilai negatif.
Dari titik setimbang ( ) diperoleh:
( )
( )
( )
( )
( )
(
*
Kemudian dapat dibentuk matriks yang baru dengan pemisalan
diatas dan akan dicari Persamaan karakteristik dari matriks
Jacobian menggunakan
| ( ( ))|
sehingga didapat
|
|
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
35
untuk mempermudah menentukan kestabilannya, dapat
menggunakan kriteria Routh Hurwitz
|
dari Tabel terlihat kolom pertama tidak ada perubahan tanda
(semuanya bertanda positif). Jadi semua akar-akar polynomial
bagian realnya tak positif sehingga sistem di sekitar titik setimbang
bersifat stabil.
3.1.3 Analisis Keterkontrolan
Untuk dapat menganalisis keterkontrolan dibutuhkan sistem
yang telah dilinierkan. Setelah dilakukan pelinieran di sekitar titik
setimbang menggunakan Jacobian dengan memisalkan matriks
maka diperoleh :
(
+ (4.18)
dan matriks
(
( )
( )
( )
)
(
( ( )
)
( ( )
[ )
( *
+ )
)
(
( )
(
)) (
+ (4.19)
36
Berdasarkan Teorema 2.1 maka dapat disusun matriks
keterkontrolan ( ) sebagai berikut:
( | | )
Untuk matriks diperoleh :
(
+(
+
(
+ (
+ (4.20)
Untuk matriks diperoleh :
(
+(
+
(
+ (
+ (4.21)
Jadi dapat dibentuk matriks keterkontrolan sebagai berikut :
(
|
|
+ (4.22)
Kemudian disubstitusikan nilai titik setimbang dan parameter.
Matriks keterkontrolan yang diperoleh pada (4.22) dapat dianalisa
bahwa rank ( ) . Dengan demikian sesuai Teorema 2.1
sistem dinamik dari model pertumbuhan alga bersifat terkontrol.
37
4.2 Penyelesaian dengan Kendali Optimal
Penyelesaian kendali optimal pada sistem ini digunakan untuk
memaksimalkan produksi biomassa dari mikroalga dengan
mengoptimalkan intensitas cahaya. Dari Persamaan (4.7) – (4.9),
akan dicari kendali optimalnya menggunakan Prinsip Minimum
Pontryagin.
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Persamaan diferensial model nondimensional pertumbuhan
alga.
( )
(4.23)
( )
( ) (4.24)
(
) (4.25)
2. Membentuk fungsi tujuan
Sesuai dengan tujuan dari penelitian ini yaitu
memaksimalkan produksi biomassa dari mikroalga ( ) melalui
intensitas cahaya ( ) dan adalah bobot biaya intensitas
cahaya.
Dari permasalahan berikut maka fungsi tujuannya adalah
sebagai berikut :
( ) ∫ ( ( )
)
(4.26)
3. Langkah-langkah penyelesaiannya :
a. Bentuk fungsi Hamilton
( ) ( ( )
) ∑
38
( ) ( ( )
) (
( )
)
( ( )
( )) ( (
)
) (4.27)
b. Memaksimumkan terhadap vektor kendali ( )
( ( )) ( (
*+
( ( )) ( (
*+
( ( )) ( ( ))
Sehingga didapat Persamaan kendali optimal yaitu
( ( )) ( (
))
(4.28)
c. Menentukan yang optimal
(
) (
( )
) (
( )
( )) (
(
) )
39
(
( ( ( )) ( (
))
,
)
(
( )
)
( ( )
(
( ( )) ( (
))
)( ))
( ( ( ( )) ( (
))
) (
) )
(
( ( ( )) ( (
))+
)
(
( )
)
( ( )
(
( ( )) ( (
))
)( ))
( ( ( ( )) ( (
))
) (
) )
(( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
( ( )
) (
( )
(
40
* ( )* ((
*(
) )
(( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
( ( )
) (
( )
(
* ( )* ((
*(
) ) (4.29)
d. Menyelesaikan Persamaan state dan costate untuk
mendapatkan sistem yang optimal
Persamaan state:
( )
( )
(4.30)
( )
( )
( )
( )
( )
41
(
)
( )
(
)
( )
( ( ) (
))
( )
(4.31)
( )
( )
( )
( )
(
)
42
(
)
( (
) (
)) (4.32)
Persamaan costate:
( )
( ( ( )
( ) ) (
( )
( ) ))(4.33)
( )
(( ( )
( )
( )
( )
) (
) (
* (
*)
(
(
*
(
) (
(
))
(
(
))+ (4.34)
43
( )
((
( )
( )
( )
) (
( )
)
(
) ((
*
)+
(
(
)
( ( )
) (
(
)) ((
(
)) +)
(
( (
) (
))
( ( )
) (
(
)) ((
( (
) (
))+ ), (4.35)
44
Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan Persamaan state
dan costate yang membentuk Persamaan diferensial tak linier.
Karena penyelesaiannya tidak mudah didapatkan secara analitik,
maka akan diselesaikan secara numerik. Pada Tugas Akhir ini akan
digunakan BVP4C Matlab untuk menyelesaikan sistem Persamaan
diferensial. BVP4C adalah fungsi yang digunakan untuk
menyelesaikan sistem Persamaan diferensial dengan masalah nilai
batas secara numerik.
45
4.3 Simulasi dan Analisis
Pada sub bab ini akan dilakukan simulasi dari sistem Persamaan
diferensial model pertumbuhan alga menggunakan Matlab dengan
nilai parameter pada Tabel 2.2. Kemudian akan dilakukan analisis
dari hasil simulasi sistem Persamaan diferensial. Berikut ini akan
ditunjukkan flow chart dari simulasi yang akan dilakukan.
Gambar 4.1 Flow Chart Simulasi
Mulai
Masukkan nilai awal (𝑆 𝑄 𝑋), parameter
(𝑆𝑖𝑛 𝐷 𝐼 𝑟 𝐾𝑠 𝐾𝐼 𝑄𝑙 𝑄𝑜 �� ��), bobot
biaya (𝑐), dan waktu (𝑡𝑓)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
BVP4C (odefun, bcfun, so1init)
function 𝑑𝑦
𝑑𝑥= odefun (𝑥 𝑦)
function res = bcfun (𝑦𝑎 𝑦𝑏)
so1init = bvpinit (𝑥 𝑦𝑖𝑛𝑖𝑡)
Selesai
Menampilkan hasil simulasi
46
4.3.1 Hasil simulasi sebelum diberi kendali optimal
Dalam sub bab ini dilakukan simulasi pada model pertumbuhan
alga dengan nilai awal yang sudah diberikan sebelum diberi
kendali optimal yang artinya tidak ada satu parameter atau variabel
yang dikendalikan.
Gambar 4.2 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal
( ) ( )
Dari Gambar 4.2 menunjukkan hasil simulasi dalam waktu 2
dengan kondisi awal nutrisi sebesar 20, cell quota sebesar 10, dan
biomassa sebesar 1.825. Dari grafik terlihat bahwa biomassa
mengalami penurunan secara terus menerus, kondisi ini juga
berhubungan nutrisi dan cell quota yang mengalami penurunan
secara terus menerus.
47
Gambar 4.3 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal
( ) ( )
Dari Gambar 4.3 menunjukkan hasil simulasi dalam waktu 2
dengan kondisi awal nutrisi sebesar 25, cell quota sebesar 15, dan
biomassa sebesar 2.825. Dari grafik terlihat bahwa biomassa juga
mengalami penurunan secara terus menerus seperti Gambar 4.2.
48
Gambar 4.4 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal
( ) ( )
Dari Gambar 4.4 menunjukkan hasil simulasi dalam waktu 10
dengan kondisi awal nutrisi sebesar 25, cell quota sebesar 15, dan
biomassa sebesar 2.825. Dari grafik terlihat bahwa biomassa
mengalami penurunan dan menuju ke nol dimulai saat waktu 3,
salah satu penyebab kondisi ini terjadi karena masukkan nutrisi
berhenti. Nutrisi yang masuk mula-mula sebesar 25 kemudian
mengalami penurunan dan stabil pada frekuensi sebesar 1. Begitu
pula dengan cell quota yang mula-mula sebesar 15 mengalami
penurunan dan kemudian stabil pada frekuensi sebesar 4.16.
Dari ketiga Gambar simulasi diatas dapat diambil kesimpulan
bahwa nutrisi, cell quota, dan biomassa selalu mengalami
penurunan dan kemudian stabil pada titik tertentu walaupun
dengan kondisi awal yang berbeda-beda.
49
4.3.2 Hasil simulasi setelah diberi kendali optimal
Dalam sub bab ini dilakukan simulasi pada model pertumbuhan
alga dengan adanya kendali optimal menggunakan Matlab dan nilai
parameter sesuai pada Tabel 2.2.
Gambar 4.5 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal
( ) ( )
Dari Gambar 4.5 menunjukkan simulasi hasil biomassa dengan
adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya. Dari grafik dapat
terlihat bahwa biomassa yang mula-mula sebesar 1.825 mengalami
kenaikan hingga waktu 2 dan hampir mencapai frekuensi 4 dengan
kondisi nutrisi dan cell quota yang tidak terlalu berubah
dibandingkan kondisi sebelum dilakukan kendali optimal.
Sehingga dengan adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya
mampu menghasilkan biomassa yang lebih banyak dua kali lipat
lebih banyak dari kondisi awal. Pada simulasi dengan ( )
( ) menggunakan bobot biaya sebesar 42.
50
Gambar 4.6 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi
awal ( ) ( )
Dari Gambar 4.6 menunjukkan perilaku hasil biomassa dengan
adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya. Dari grafik dapat
terlihat bahwa biomassa yang mula-mula sebesar 2.825 mengalami
kenaikan hingga waktu 2 dan mencapai frekuensi kurang lebih 6.5
dengan kondisi nutrisi dan cell quota yang tidak terlalu berubah
dibandingkan kondisi sebelum dilakukan kendali optimal.
Sehingga dengan adanya pengendalian tingkat intensitas cahaya
mampu menghasilkan biomassa yang lebih banyak dua kali lipat
lebih dari kondisi awal. Pada simulasi dengan ( )
( ) menggunakan bobot biaya sebesar 63.
Dari kedua Gambar diatas dapat disimpulkan bahwa dengan
adanya kendali optimal pada tingkat intensitas cahaya mampu
menghasilkan biomassa yang lebih banyak dibandingkan dengan
kondisi awalnya. Dengan kondisi awal biomassa yang banyak
maka akan didapat hasil biomassa yang banyak pula setelah
dilakukan kendali optimal.
51
Kemudian akan ditampilkan pula hasil simulasi untuk kendali
optimal tingkat intensitas cahaya.
Gambar 4.7 Simulasi tingkat intensitas cahaya
Pada Gambar 4.7 terlihat bahwa grafik tingkat intensitas
cahaya mula-mula sebesar 0.17 kemudian naik sampai waktu 0.6
dan selanjutnya mengalami penurunan secara terus menerus hingga
tanpa ada cahaya pada waktu 2. Artinya, intensitas cahaya yang
diberikan sebesar 0.17 kemudian meningkat sampai waktu 0.6 dan
menjadi sebesar 0.17 lagi pada waktu 1 dimana proses fotosintesis
sedang terjadi dengan baik pada waktu 0 sampai 1. Kemudian
cahaya meredup hingga akhirnya tidak ada cahaya pada waktu 2
yang artinya tumbuhan alga mulai proses respirasi dimana hasil
dari respirasi ini dibutuhkan alga untuk tumbuh dan bereproduksi.
Jadi pada saat tiadanya cahaya maka proses fotosintesis melambat
atau berhenti, pada saat inilah tumbuhan alga melakukan proses
respirasi.
52
Dari hasil simulasi sebelum diberi kendali optimal dan setelah
diberi kendali optimal, dapat diambil kesimpulan bahwa hasil
setelah diberi kendali optimal sangat baik dan signifikan
peningkatannya. Hasil biomassa yang didapat mencapai dua kali
lipat dari kondisi awalnya yaitu ( ) ( ) dan
( ) ( ). Sedangkan untuk intensitas cahaya
sendiri mula-mula sebesar kemudian meningkat tetapi setelah
itu mengalami penurunan yang artinya tumbuhan alga tidak hanya
melakukan fotosintesis terus-menerus namun juga membutuhkan
reproduksi dengan kondisi minimnya cahaya.
53
BAB V
PENUTUP
Pada bab ini berisis tentang kesimpulan yang dihasilkan
berdasarkan penelitian yang telah dilakukan serta saran yang
diberikan jika penelitian ini ingin dikembangkan.
5.1 Kesimpulan
Dari analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada bab
sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
1. Sistem dinamik pada model pertumbuhan alga bersifat
stabil dan terkontrol pada titik setimbang ( ) dan ( )
2. Berdasarkan kondisi awal yang diberikan, hasil simulasi
dengan peningkatan biomassa paling besar setelah
diberikan kendali dan tanpa kendali terdapat pada
( ) ( ). 3. Dilakukannya kendali optimal pada intensitas cahaya
mampu menghasilkan biomassa yang lebih banyak
dibandingkan tanpa kendali. Artinya intensitas cahaya
memiliki peranan penting dalam pertumbuhan mikroalga
sehingga menghasilkan biomassa yang lebih banyak.
Intensitas cahaya yang optimal terjadi pada waktu
sebesar .
4. Hasil simulasi paling baik adalah ketika nilai bobot . Jika diberikan nilai bobot semakin kecil atau semakin
besar, maka tujuan dari mengoptimalkan pertumbuhan
mikroalga tidak akan tercapai.
5.2 Saran 1. Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah pada penelitian
berikutnya dapat diterapkan metode lain dalam
penyelesaian kendali optimalnya.
2. Dapat pula dikembangkan dengan model yang berbeda.
54
55
DAFTAR PUSTAKA
[1] Gross, Martin. (2013). “Development and Optimization of
Algal Cultivation System”. Graduate Theses and Dissertations.
Paper 13138.
[2] Bernard, O., Grognard, Frederic., and Masci, P. (2004).
“Microalgal biomass surface productivity optimization based
on a photobioreactor model”. INRIA-Project COMORE, 2004
route des lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex,
France.
[3] Virama, H.C.M. (2015). “Analisis Model Droop Untuk
Pertumbuhan Mikroalga terhadap Keterbatasan Nutrisi”.
Tugas Akhir Jurusan Matematika. Surabaya, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi
Sepuluh Nopember.
[4] Mardlijah & Izzati. (2015). “Optimal Feeding Strategy on
Microalgae Growth in Fed-Batch Bioreactor Model”.
International Journal of Computing Science and Applied
Mathematics. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
[5] Ma’arif, Muhammad Samsul. (2016). “Optimasi Pertumbuhan
Mikroalga dengan Pengenceran Nutrisi Menggunakan Kendali
Optimal Untuk Memaksimalkan Hasil Biomassa”. Tugas Akhir
Jurusan Matematika. Surabaya, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[6] Mardlijah., Jamil,A., Hanafi,L., dan Sanjaya,S. (2017).
“Optimal Control of Growth by Controlling CO2 and Nutrition
Flow using Pontryagin Maximum Principle”. International
Conference on Applied & Industrial Mathematics and
Statistics.
[7] Putra, Yoshua Ardy. (2018). “Kendali Optimal Pada Model
Pertumbuhan Alga Dengan Aliran Nutrisi dan Karbondioksida
Sebagai Variabel Kendali Menggunakan Metode LQR”. Tugas
Akhir Departemen Matematika. Surabaya, Fakultas
Matematika, Komputasi, dan Sains Data Institut Teknologi
Sepuluh Nopember.
56
[8] Droop, M.R. (1968). Vitamin B12 and marine ecology. IV.
The kinetics of uptake growth and inhibition in
Monochrysislutheri. J. Mar. Biol. Assoc. 48 (3) (1968) 689–
733.
[9] Borowitszka, M.A. (1999). Pharmaceuticals and agrochemicals
from microalgae. In: Cohen Z (Ed). Chemicals from
Microalgae. Taylor & Francis: 313-352.
[10] Hadiyanto, I. dkk. (2010). “Produksi Mikroalga
Berbiomassa Tinggi dalam reactor Open Pond”. Prosiding
Seminar Nasional Teknik Kimia “Kejuangan”, (2010, Jan.),
1-6.
[11] Chisti, Y. (2007). Biodiesel from Mikroalgae. Biotechnology
Advances 25:294-306.
[12] Kawaroe. (2010). “Mikroalga Potensi dan Pemanfaatannya
untuk Produksi Bio Bahan Bakar”. Bogor: IPB Press.
[13] Budiman. (2009). “Penentuan Intensitas Cahaya Optimum
pada Pertumbuhan dan Kadar Lipid Mikroalga
Nannochloropsis Oculata”. Tesis. Institut Teknologi Sepuluh
Nopember, Surabaya.
[14] Bernard, O. and Gouze, J.L. (1995). “Transient Behavior of
Biological Loop Model, with Application to the Droop Model”.
Mathematical Biosciences, 127(1), 19-43.
[15] Lehman, J.T., Botkin, D.B., and Likens, G . (1975) . “The
assumptions and rationales of a computer model of
phytoplankton population dynamics”. Limn. & Oceanogr., 20,
343-364.
[16] Bernard, O., Grognard, Frederic., Masci, P., and
Akhmetzhanov, A.R. (2010). “Optimization of a
photobioreactor biomass production using natural light”.
Rapport de recherche. France, Institut National De Recherche
En Informatique Et En Automatique.
[17] Subiono (2013), Sistem Linier dan Kontrol Optimal, Jurusan
Matematika FMIPA-ITS Surabaya.
57
[18] Perko, Lawrence. (2001). Differential Equations and Dynamical
System. USA : Department of Mathematics Nothern Arizona
University.
[19] Naidu, D.S. (2003) . Optimal Control Systems. CRC Press:
Manchester, United States of America.
58
59
LAMPIRAN 1
( )
( )
( (
*)
((
* +
(
*
( ( )
)
(( )(
)
)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
60
( )( )
( )
( )( )
( )( )(
) ( )( )
( )( )(
)
( )( )(
)
61
[( )( )(
)
]
( )( )( )
( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
62
( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( )( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )( )( ) ( ) ( )
(( )( )( ) ( ) ( ))
( )
(
)
[ ( ( ) ( ) ) [( )( )( ) ( ) ( )
*( )( ( ) ( ))( ) ( ) ( )+[ ( ( ) ( ) )
(
)
.
63
LAMPIRAN 2
Keterkontrolan
(
+ dan (
( )
(
)) (
+
dengan
( )
( )
( )
( )
( )
(
*
Untuk matriks diperoleh :
(
+(
+
(
+ (
+
64
dengan
(
* ( ( )) (
( )
* ( (
)*
(
* ( ( ))
(
) ( ( )) ( (
) ) ( (
))
Untuk matriks diperoleh
(
+(
+
(
+ (
+
dengan
( ( )
( ) )((
) ( ( ))
( ( )
) ( (
))) (
) (
)
( ( )
)((
) ( ( )) ( (
)
) ( (
)))
65
( ( )
( ) )((
) ( ( )) (
( )
) ( (
))) (
)((
) ( ( )))
(
)((
) ( ( ))) ( (
) )((
) ( ( )) ( (
)
) ( (
)))
Selanjutnya dilakukan perhitungan dengan memasukkan nilai
parameter dan dilakukan Operasi Baris Elementer sehingga didapat
matriks
|
|
Dapat dilihat bahwa rank dari ( )
66
67
BIODATA PENULIS
Penulis yang mempunyai nama lengkap
Rizky Nur Ardiansyah lahir di Sidoarjo pada
tanggal 13 Juni 1996. Penulis merupakan
anak tunggal dari Bapak Heru Pratoyo dan
Ibu Wiwik Kadarwati. Penulis telah
menempuh pendidikan formal di SD Negeri
Tandes Kidul II Surabaya, SMP Negeri 26
Surabaya, dan SMA Negeri 1 Surabaya.
Setelah menamatkan jenjang formal, penulis
yang biasa dipanggil “Sinyo” melanjutkan
studi di Departemen Matematika ITS melalui
jalur SNMPTN dengan NRP 06111440000044 dan selama kuliah
penulis mengambil bidang minat Matematika Terapan khususnya
bidang Pemodelan dan Simulasi Sistem. Selama menjalani masa
perkuliahan, penulis aktif dalam Himpunan Mahasiswa
Matematika ITS sebagai staf PSDM 2015/2016, Kepala Divisi
SRD 2016/2017, dan Tim AD-HOC PPSDM HIMATIKA. Selain
itu penulis juga aktif dalam Lembaga Dakwah Departemen
Matematika Ibnu Muqlah sebagai staf Big Event 2015/2016 dan
Kepala Departemen Syiar 2016/2017. Penulis juga pernah
mengikuti pelatihan-pelatihan LKMM maupun non-LKMM dan
lain sebagainya.