UNIVERSITAS GUNADARMA

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

JURUSAN TEKNIK SIPIL

JALAN AKSES UI KELAPA DUA DEPOK

Nama Kelompok :

Nia Rahmawati(15312302)

Ragil Agustina(15312900)

Ramadhan Syahriadi (15312983)

Robby Ryonalvi Fajri(16312648)

Tuti Rahmawati(17312501)

Tugas Matematika 2

Kelas : SMTS O6 – B

3. Hitung volume daerah solid yang berada di bawah bidang 3x + 2y + z = 12 dan di

atas R={(𝑥, 𝑦) | 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ; −2 ≤ 𝑦 ≤ 3}

Jawab:

Jika f kontinyupadadaerah𝑅 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏𝑑𝑎𝑛𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} maka:

𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑏

𝑐𝑎

= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑏𝑑

𝑎𝑐𝑅

𝑉 = ∬ 12 − 3𝑥 − 2𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

3 1

−20

= ∫(

3

−2

∫ 12 − 3𝑥 − 2𝑦𝑑𝑥 ) 𝑑𝑦

1

0

= ∫[

3

−2

12𝑥 −3

2𝑥2 − 2𝑥𝑦]0

1𝑑𝑦

= ∫[

3

−2

(12 × 1 −3

2× 12 − 2 × 1 × 𝑦) − 0] 𝑑𝑦

= ∫(

3

−2

12 −3

2− 2𝑦) 𝑑𝑦

= ∫(

3

−2

21

2− 2𝑦) 𝑑𝑦

= [ 21

2𝑦 − 𝑦2]−2

3

= [ 21

2× 3 − 32 − (

21

2× −2 − (−2)2)]

= [ 63

2− 9 − (

−42

2− 4)]

= [ 63

2− 9 + 21 + 4)]

= 47,5

Jadi volume daerahnya adalah 47,5. Dapat di cek denga nmenggunakan persamaan yang lain,

sebagai berikut :

𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑏𝑑

𝑎𝑐

= ∫(

1

0

∫ 12 − 3𝑥 − 2𝑦𝑑𝑦 ) 𝑑𝑥

3

−2

= ∫[

1

0

12𝑦 − 3𝑥𝑦 − 𝑦2]−2 3 𝑑𝑥

= ∫[

1

0

(12 × 3 − 3 × 𝑥 × 3 − 32 − (12 × (−2) − 3 × 𝑥 × (−2) − (−22)] 𝑑𝑥

= ∫[

1

0

(36 − 9𝑥 − 9 − (−24 + 6𝑥 − 4)] 𝑑𝑥

= ∫[

1

0

(27 − 9𝑥 + 24 − 6𝑥 + 4)] 𝑑𝑥

= ∫[

1

0

(27 − 9𝑥 + 24 − 6𝑥 + 4)] 𝑑𝑥

= ∫(

1

0

55 − 15𝑥) 𝑑𝑥

= [ 55 𝑥 −15

2𝑦2]0

1

= [ 55 × 1 −15

2× 12 − (0)]

= 55 −15

2

= 47,5

Didapat hasil yang sama yaitu 47,5. Hasil sama dengan perhitungan volume dengan

persamaan yang pertama.

8. Perhatikan sketsa grafik tersebut:

Dari sketsa grafik di atas, diketahui bahwa dimanapun letak P sepanjang kurva 𝑦 =

2𝑥2, luas A dan B akan selalu sama. Cari persamaan dari kurva C.

Jawab:

Dimanapun letak P di sepanjang kurva y=2x2 , Luas A=Luas B. Dimisalkan saat :

x=1 → 𝑦 = 2𝑥2

= 2. 12

= 2

Jadi P = (1,2)

Luas A =∫ (2𝑥1

02-x2)dx

=∫ 𝑥1

02 dx

=1

3 x3]0

1

=1

3 – 0

=1

3

Luas A= 1

3 = Luas B

=∫ √𝑦

2

2

0 - f(y)

∫1

3

2

0 =√

𝑦

2 -f(y)

1

3 x ]0

2 =√𝑦

2 –f(y)

4

3 – 0 =√

𝑦

2 – x

4

3 = √

𝑦

2 –x

x=√𝑦

2 -

4

3

keterangan:

y=2x2

x2=𝑦

2

x=√𝑦

2

2

13. Jika 𝑒𝑥 = ∑𝑥𝑛

𝑛!= 1 +

𝑥

1!+

𝑥2

2!+

𝑥3

3!+ ⋯∞

𝑛=0 Hitung nilai dari ∫ 𝑒−𝑥2𝑑𝑥

Jawab:

Untuk dibuat mudah,maka pangkat minus sementara dihilangkan

Maka,,

(e log 𝑥𝑛

𝑛!)2 = (x)2

e log 𝑥𝑛

𝑛! + e log

𝑥𝑛

𝑛! = x2

2 e log 𝑥𝑛

𝑛! = x2

𝑒𝑥2= (

𝑥𝑛

𝑛!)

2

Kita kembali lagi ke bentuk semula,maka hasilnya menjadi:

𝑒−𝑥2= (

𝑥𝑛

𝑛!)

−2

1

𝑒𝑥2 =1

(𝑥𝑛

𝑛!)

2 = ∫ (𝑛!

𝑥𝑛)2

dx

= ∫(𝑛!)2.(𝑥−𝑛)2

=(n!)2 ∫(𝑥−𝑛)2

=(n!)2∫(𝑥−2𝑛) dx

=(n!) ∫ 𝑥−2𝑛 dx

=(n!) . 1

−2𝑛+1 x(-2n+1) + C

= (𝑛!

−2𝑛+1)

2

x(-2n+1) + C