Download - TUGAS AHIR MATEMATIKA 4
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 1
4 4
MATEMATIKA 4
Disusun Oleh :
1. Calvin Syatauw (16309817)
2. I Kadek Bagus Widana Putra (16309835)
3. Yogi Oktapianto (16309875)
Dosen : Dr. Retno Maharesi
Penerapan Metode Iterasi Gauss Seidel
Dalam Rekayasa Sipil
di Bidang Hidrologi
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
UNIVERSITAS GUNADARMA
DESEMBER 2010
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 2
4 4
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis penjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas rahmat-Nya
maka penulis dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “Menentukan Kinerja
Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gaus-seidel”. Penulisan makalah ini merupakan
salah satu tugas dan persyaratan untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Matematika 4.
Penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada pihak-pihak yang membantu dalam
menyelesaikan makalah ini, khususnya kepada :
Dr. Retno Maharesi selaku dosen mata kuliah Matematika 4.
Semua pihak yang telah memberikan bantuan dalam penulisan makalah ini.
Penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, baik pada teknik penulisan maupun
materi. Penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak demi penyempurnaan
makalah ini.
Semoga makalah ini berguna dan bermanfaat bagi pembaca untuk menambah wawasan
dalam dunia rekayasa sipil.
Depok, 22 Desember 2010
Penyusun
i
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 3
4 4
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ……………………………………………………………………………… i
Daftar Isi …………………………………………………….………………………………. ii
Bab I Pendahuluan ……………………………………………..…………………………… 1
1.1 Latar Belakang …………………………………………………………..………….. 1
1.2 Tujuan ……………………………………………………………….………............. 2
Bab II Landasan Teori.............................................................................................................. 3
2.1 Hidrolika Perpipaan..................................................................................................... 3
2.2 Kinerja Pompa............................................................................................................. 3
2.3 Azas Kontinuitas......................................................................................................... 4
2.4 Iterasi Gauss-Saidel..................................................................................................... 4
Bab III Pembahasan ………………………….………………………………………….….. 3
3.1 Contoh Kasus ………………….………….……........................................................ 6
3.2 Algoritma Pemrograman ……………………………................................................. 8
3.3 Bagan Alir Program...................................................................................................... 9
3.4 Deklarasi Kasus dalam Program Matlab...................................................................... 10
3.5 Eksekusi Program......................................................................................................... 11
Bab IV Penutup …………………………………………….……………………..…............ 13
3.1 Kesimpulan ………………………………………………………….……................. 13
3.2 Saran …………………………………………………………….....……................... 13
Daftar Pustaka ……………………………………………………..…................................... 14
ii
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 4
4 4
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan teknologi yang semakin pesat membuat perkembangan
terhadap disiplin ilmu pengetahuan juga berkembang. Salah satunya yaitu di bidang
Teknik Sipil, khususnya di bidang Hidrologi yang mengakibatkan timbulah persoalan
yang melibatkan model matematika dalam bentuk yang rumit dan sulit diselesaikan
dengan cara matematika itu sendiri.
Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan
sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik
adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga
dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan
bagi). Metode numerik ini dapat menggunakan program komputer.
Pada dasarnya dalam menelaah aspek hidrolika dalam pipa kita selalu
beranggapan atau berasumsi bahwa air adalah fluida yang mempunyai sifat
“incompressible” atau diasusmsikan tidak mengalami perubahan volume/isi apabila
terjadi tekanan.
Dalam makalah ini, kami mencoba untuk mencari solusi permasalahan
tersebut dengan menggunakan metode Iterasi Gauss Saidel. Pemilihan metode
didasarkan dengan Iterasi Gauss Saidel mempertimbangkan tingkat keakuratan data
yang dihasilkan cukup tinggi. Metode ini memiliki karakterisasi menghasilkan model
yang melewati titik-titik data yang tersedia. dan dapat digunakan untuk mendapatkan
suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tidak
mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Namun rumusan Iterasi Gauss Saidel tidak
begitu praktis untuk pekerjaan numerik. Perhitungannya dapat menjadi banyak dan hasil
perhitungan sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menghitung polynomial yang
berderajat lebih tinggi.
Selain itu, akan diterapkan pula solusi permasalahan dengan menggunakan
pemprograman MathLab tanpa mengurai dari sifat Iterasi Gauss Saidel.
1
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 5
4 4
1.2 Tujuan
Tujuan dalam pembuatan makalah ini yaitu :
1. Untuk memenuhi penilaian mata kuliah Matematika 4, dan
2. Untuk memberikan informasi kepada pembaca bahwa persoalan matematika yang
rumit dalam bidang ilmu rekayasa sipil bisa dipecahkan khususnya pada aplikasi
hidrologi.
2
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 6
4 4
BAB II
Landasan Teori
2.1 Hidrolika Perpipaan
Hidrolika adalah ilmu yang mempelajari perilaku air secara fisik dalam arti
perilaku perilaku yang ditelaah harus terukur secara fisik. Perilaku yang dipelajari
meliputi hubungan antara debit air yang mengalir dalam pipa dikaitkan dengan
diameter pipanya sehingga dapat diketahui gejala gejala yang timbul seperti tekanan,
kehilangan energi dan gaya gaya lainnya. Hubungan gejala akan dijelaskan dalam
formulasi empiris yang lazim dipakai dalam praktek.
Pada dasarnya dalam menelaah aspek hidrolika dalam pipa kita selalu
beranggapan atau berasumsi bahwa air adalah fluida yang mempunyai sifat
“incompressible” atau diasusmsikan tidak mengalami perubahan volume/isi apabila
terjadi tekanan.
Fluida yang bergerak di dalam pipa juga dianggap dalam kondisi “uniform
flow” atau air dianggap mempunyai kecepatan yang seragam sepanjang pipa apabila
melalui suatu pipa dengan diameter yang sama.
Pada kenyataannya di lapangan kondisi yang dijelaskan dalam asumsi ini tidak
selalu tercapai terutama kondisi steady flow dan uniform flow. Penyimpangan keadaan
tersebut disebut keadaan transient yang umum terjadi pada saat awal pembukaan dan
penutupan valve. Efek yang timbul disebut sebagai water hammer yang terefleksi
dengan kejadian pengempisan pipa, pecahnya pipa atau dalam keadaan yang ringan
adalah terdengarnya suara ketukan palu di pipa besi.
2.2 Kinerja Pompa
Pompa merupakan pesawat angkut yang bertujuan untuk memindahkan zat
cair melalui saluran tertutup. Pompa menghasilkan suatu tekanan yang sifatnya hanya
mengalir dari suatu tempat ke tempat yang bertekanan lebih rendah. Atas dasar
kenyataan tersebut maka pompa harus mampu membangkitkan tekanan fluida sehingga
dapat mengalir atau berpindah.
Prinsip kerja pompa adalah menghisap dan melakukan penekanan terhadap
fluida. Pada sisi hisap (suction) elemen pompa akan menurunkan tekanan dalam ruang
3
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 7
4 4
pompa sehingga akan terjadi perbedaan tekanan antara ruang pompa dengan permukaan
fluida yang dihisap. Akibatnya fluida akan mengalir ke ruang pompa. Oleh elemen
pompa fluida ini akan didorong atau diberikan tekanan sehingga fluida akan mengalir
ke dalam saluran tekan (discharge) melalui lubang tekan. Proses kerja ini akan
berlangsung terus selama pompa beroperasi.
2.3 Azas Kontinuitas
Setiap aliran air dalam pipa juga harus memenuhi azas kontinuitas yaitu :
Q1=Q2
Dimana :
Q1 = Debit masuk di sisi 1 (m3/dt)
Q2 = Debit keluar di sisi 2 (m3/dt)
Debit aliran yang masuk dalam sisi 1 akan keluar pada sisi 2 dengan debit
yang sama.
Debit air adalah volume air per satuan waktu. Debit air adalah luas penampang
pipa dikalikan dengan kecepatannya. Debit air yang masuk ke dalam pipa mempunyai
kecepatan aliran yang berbeda beda tergantung dari diameter pipanya.
2.4 Iterasi Gauss-Saidel
Metode Gauss-Seidel disebut juga metode penggantian berurut. Untuk
mengilustrasikan teknik ini, maka timbanglah solusi persamaan non linier yang
diberikan ini :
f(x) = 0
Fungsi pada persamaan di atas diatur kembali dan ditulis sebagai berikut :
x = g(x)
Jika x(k)
merupakan perkiraan awal dari variable x, urutan iterasi berikut
diformulasikan :
x(k+1)
= g(x(k)
)
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 8
4 4
Suatu solusi akan diperoleh ketika perbedaan antara nilai absolut dari iterasi
yang berurutan lebih kecil dari nilai akurasi yang dispesifikasi (ε), yaitu :
|x(k+1)
– x(k)
| ≤ ε
Solusi untuk suatu sistem dari n persamaan nonlinier dengan n variable adalah
seperti yang diberikan berikut ini :
Akan diperoleh dengan menyelesaikan satu variable dari setiap persamaan.
Karena itu persamaan di atas dapat ditulis ulang seperti :
Prosedur iterasi diawali dengan mengasumsikan suatu perkiraan solusi untuk
variable independen sebagai (x1(0)
,x2(0)
,......,xn(0)
). Dengan persamaan di atas akan
memberikan hasil iterasi pertama sebagai (x1(1)
,x2(1)
,......,xn(1)
). Pada metode Gauss-
Seidel, nilai-nilai variable terkini akan digunakan dalam solusi persamaan berikutnya.
Pada akhir setiap iterasi, nilai-nilai variable terkini yng diperoleh diuji keakurasiannya
terhadap nilai-nilai variable pada iterasi sebelumnya. Bila semua perubahan variabel-
variable berada dalam nilai akurasi nyata yang diinginkan, maka solusi konvergen,
kalau tidak tidak maka iterasi berikutnya masih perlu dilakukan.
5
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 9
4 4
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Contoh Kasus
Suatu jaringan pipa sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah mengalirkan air
dari reservoir kiri (1) ke reservoir kanan (5) dengan menggunakan pompa A dan B. Pipa C
dan D dalam posisi horizontal. Ada beda ketinggian antara titik 4 dan 5 (70 ft). Diberikan
data sebagai berikut :
Persamaan penentu untuk aliran dalam jaringan adalah :
QE = QC + QD (1)
p2 = αA – βA QC2 (2)
p3 = αB – βB QD2 (3)
2.31 (p4 – p2) + 8.69*10-4
QC2
LC / DC5 = 0 (4)
2.31 (p4 – p3) + 8.69*10-4
QD2
LD / DD5
= 0 (5)
z5 – z4 – 2.31p4 + 8.69*10-4
QE2
LE / DE5
= 0 (6)
Tentukan harga QC, QD, QE, p2, p3, dan p4 dari enam persamaan penentu diatas dengan metode
Iterasi Gauss Seidel !
6
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 10
4 4
Penyelesaian
Persamaan penentu dapat disusun kembali sebagai berikut :
p2 = αA – βA QC2 dari (2)
p3 = αB – βB QD2 dari (3)
p4 = (8.69*10-4
QE2
LE / DE5
) + z5 – z4 dari (6)
QC = dari (4)
QD = dari (5)
QE = QC + QD dari (1)
Dengan memasukkan semua harga ke dalam persamaan di atas akan diperoleh :
p2 = 156.6 – 0.00752*QC2
p3 = 117.1 – 0.00427*QD2
p4 = (8.69*10-4
QE2
145 / 2.4695
+ 70)
= 5.95*10-4
*QE2
+ 30.30
QC QE = QC + QD =
= 8.51*
QD =
= 28.33*
QE = QC + QD
Persamaan-persamaan diatas selanjutnya akan digunakan dalam algoritma
pemrograman untuk menentukan harga QC, QD, QE, p2, p3, dan p4.
7
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 11
4 4
3.2 Algoritma Pemrograman
Algoritma yang digunakan dalam program ini yaitu :
a. Masukkan nilai asumsi awal untuk Qc dan Qd (Qc = 100 dan Qd = 100)
b. Proses inisialisasi Eps = 0.001 (toleransi), maxit = 100 (iterasi maksimum), iter = 0
(iterasi awal).
c. Hitung harga awal Qe dengan persamaan Qe = Qc + Qd
d. Melakukan proses iterasi sampai konvergen, sesuai dengan persamaan yang telah
diberikan di atas dan dengan syarat konvergensi Qb – Qe < Eps
e. Jika sudah mencapai konvergensi, cetak harga QC, QD, QE, p2, p3, p4 dan akhiri program.
8
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 12
4 4
Baca Qc, Qd
CETAK Judul
Eps = 0.001
maxit = 100
iter = 0
Qe = Qc + Qd
MULAI
3.3 Bagan Alir Program
YA
TIDAK
Iter = iter + 1
Iter = 1 to n
Iter = Iter + 1
p2 = 156.6-0.00752*Qc*Qc
p3 = 117.1-0.00427*Qd*Qd
p4 = ((5.95e-4*Qe*Qe)+30.30)
Qc = 8.51*sqrt(p2-p4)
Qd = 28.33*sqrt(p3-p4)
Qb = Qc+Qd
Qe = Qb
(Qb – Qe) <Eps
CETAK
QC, QD, QE, p2, p3, p4
SELESAI
9
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 13
4 4
3.4 Deklarasi Kasus dalam Program Matlab
clc;
clear;
disp(' PERSAMAAN NON LINEAR DALAM ILMU REKAYASA SIPIL ')
disp('******* BIDANG HIDROLOGI *********')
disp('*** Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa ***')
disp(' Metode Iterasi Gaus-seidel ')
disp(' ')
Qc= input('Masukkan Nilai Qc=')
Qd= input('Masukkan Nilai Qd=')
% Inisialisasi Awal
Eps=0.001 %toleransi
Qe=Qc+Qd
maxit=100 % iterasi maksimum
fprintf('\n**********Solusi dengan Iterasi Gauss Seidel**********\n');
% lakukan iterasi sampai konvergen
iter = 0
while (iter<maxit)
iter=iter+1
p2=156.6-0.00752*Qc*Qc
p3=117.1-0.00427*Qd*Qd
p4=((5.95e-4*Qe*Qe)+30.30)
Qc=8.51*sqrt(p2-p4)
Qd=28.33*sqrt(p3-p4)
Qb=Qc+Qd
Qe=Qb
disp(' ') %tampilkan hasil iterasi
disp('p2 p3 p4 Qc Qd Qe')
fprintf('%4.3f %4.3f %6.3f %8.3f %10.3f %12.3f %14.3f\n',...
p2,p3,p4,Qc,Qd,Qe);
if abs (Qb-Qe)<Eps % syarat konvergensi
break
else
continue
end
end
disp(' ')
disp(' ')
fprintf('\n**********************Hasil akhir**********************\n');
disp(' ')
disp('p2 p3 p4 Qc Qd Qe')
fprintf('%4.3f %4.3f %6.3f %8.3f %10.3f %12.3f %14.3f\n',...
p2,p3,p4,Qc,Qd,Qe);
10
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 14
4 4
3.5 Eksekusi Program
PERSAMAAN NON LINEAR DALAM ILMU REKAYASA SIPIL
******* BIDANG HIDROLOGI *********
*** Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa ***
Metode Iterasi Gaus-seidel
Masukkan Nilai Qc=100
Qc =
100
Masukkan Nilai Qd=100
Qd =
100
Eps =
1.0000e-003
Qe =
200
maxit =
100
**********Solusi dengan Iterasi Gauss Seidel**********
iter =
0
iter =
1
p2 =
81.4000
p3 =
74.4000
p4 =
54.1000
Qc =
44.4642
Qd =
127.6423
11
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 15
4 4
Qb =
172.1065
Qe =
172.1065
p2 p3 p4 Qc Qd Qe
81.400 74.400 54.100 44.464 127.642 172.107
**********************Hasil akhir**********************
p2 p3 p4 Qc Qd Qe
81.400 74.400 54.100 44.464 127.642 172.107
12
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 16
4 4
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
a. Metode iterasi Gauss-Saidel tidak hanya dapat digunakan pada persamaan linear ,
tetapi juga pada persamaan non-linear.
b. Berdasarkan nilai awal Qc dan Qd (Qc = 100,Qd = 100), diperoleh harga QC, QD, QE,
p2, p3, dan p4 berturut-turut 81.400, 74.400, 54.100, 44.464, 127.642, 172.107.
4.2 Saran
a. Usahakan mengubah suatu persamaan menjadi sesederhana mungkin agar mudah
didefinisikan dalam program.
b. Usahakan algoritma yang digunakan tidak berbelit-belit; tetapi singkat, padat dan
mudah di intepretasikan.
c. Tingkatkan ketelitian pada pengintepretasian algoritma ke bahasa pemrograman yang
digunakan, ini dilakukan agar dapat menghindari kesalahan-kesalahan dalam
penyusunan program sehingga program dapat selesai tepat waktu.
d. Pastikan sumber dan data yang digunakan dalam penyelesaian program dapat
dipertanggung jawabkan kebenarannya.
13
Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 17
4 4
DAFTAR PUSTAKA
Fiirdaus Amirullah, 2009, Pengujian Karakteristik Pompa Susunan Paralel dengan
Spesifikasi Berbeda,
http://eprints.undip.ac.id/20185/1/Karakteristik_Pompa_Susunan_Paralel_Spek_Berbeda.pdf
Caryn, 2010, Persamaan Linier Simultan (Metode Ietrasi Gauss-Seidel),
http://cewekkarir.wordpress.com/my-task/persamaan-linier-simultan-metode-iterasi-gauss-
seidel/
Wapedia, 2009, Metode Gauss-Seidel, http://wapedia.mobi/id/Metode_Gauss-Seidel
Munir, R. 2003. Metode Numerik. Informatika. Bandung.
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi. Yogyakarta.
Mece Ualberta , 2008, Matlab Source Code Examples,
http://www.mece.ualberta.ca/Courses/mec390/390code/examples.htm
Nasution, A., Zakaria, H., Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, 2001.
Akhbar Jiwandono, 2010, Daftar
Pustaka,http://akhbart123c.blogspot.com/2010/06/pustaka.html
Tunimus, 2009, Tugas Akhir, http://digilib.unimus.ac.id/files/disk1/17/jtptunimus-gdl-s1-
2008-amunifc2a0-823-3-bab3.pdf
14