-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
1/18
TUGAS KOMPUTASI NUMERIK
Penyelesaian Persamaan Polinomial Linier-Multivariable dan Non
Linear-Single/Multivariable
Mauhibah Yumna
1406577650
Teknologi Bioproses
DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS INDONESIA
2016
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
2/18
FILE 1 - SOAL 6
Ternyata hasil kajian juga menunjukkan hasil perumusan HHV dapat juga dikorelasikan
sebagai fungsi dari variable karbon terikat (fixed carbon) dan zat mudah terbang (volatile
matter). Sepintas gambaran hasil perumusannya diuraikan dalam kalimat berikut.
The HHV (MJ kg-1) of the biomass samples as a function of fixed carbon (FC, wt%) and
volatile matter (VM, wt%) can be calculated from:
HHV = 0.312(FC) + 0.1534(VM).....……………………………………………………. (3)
It is seen that the HHV is also a function of FC and VM for biomass fuel. The HHVs
calculated by using Equation (3) are given in Table 4. From the data in Tables 2-4, there is a
good relation between the determined and the calculated HHV and the formulae (Equations
(1)-(3)) have given acceptable approximations to the measured values. The determined and
the calculated HHVs using Equations1997Fuel
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
3/18
Dengan kemampuan komputasi numerik yang telah anda miliki, selesaikanlah
bagaimana persamaan (3) tersebut bisa diperoleh berdasar data-data terkait??
Jawab =
1.
Pembentukan j eni s persamaan
Berdasarkan soal yang tertera diatas dapat diketahui bahwa terdapat persamaan (3) dimana
bentuk persamaannya adalah HHV = 0.312(FC) + 0.1534(VM). Bentuk persamaan tersebut
adalah jenis persamaan aljabar linear multi variable.
2. Konstanta atau vari able dan Metode yang digunakan
Dengan konstanta-konstanta yang telah diketahui dari persamaan (3) dan table 3, didapat X1
= FC (Fixed Carbon), X2 = Volatile Matter, dan Y = HHV. Maka, metode-metode yang
digunakan pada perhitungan di soal ini adalah
a. Metode Numerik Regresi Linear Berganda
Pada kasus soal ini menggunakan penyelesaian Regresi Linear Berganda, yaitu :
FC VM HHV
26,1 70,3 18.92722
28,3 69,3 19.4325
27 71,2 19.3176
28,1 70 19.4772
25 72,3 18.861923,5 63 16.971
31,8 66,6 20.1114
16,8 78,7 17.2827
12,5 86,5 17.1345
13,6 85 17.4012
17,6 78,7 17.5323
28,3 70,2 19.5702
24,6 74 18.9972
11,2 72,6 14.6022
24,8 73,5 18.9831
18 79,6 17.7948
b. Metode Least Square
Untuk membuat persamaan normal dibutuhkan komputasi dengan metode least square,
sebagai berikut :
No Y X1 X2 X1^ X2^ X1Y X2Y X1X2
1 18.92722 26.1 70.3 681.21 4942.09 494.0004 1330.584 1834.83
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
4/18
2 19.4325 28.3 69.3 800.89 4802.49 549.9398 1346.672 1961.19
3 19.3176 27 71.2 729 5069.44 521.5752 1375.413 1922.4
4 19.4772 28.1 70 789.61 4900 547.3093 1363.404 1967
5 18.8619 25 72.3 625 5227.29 471.5475 1363.715 1807.5
6 16.971 23.5 63 552.25 3969 398.8185 1069.173 1480.57 20.1114 31.8 66.6 1011.24 4435.56 639.5425 1339.419 2117.88
8 17.2827 16.8 78.7 282.24 6193.69 290.3494 1360.148 1322.16
9 17.1345 12.5 86.5 156.25 7482.25 214.1813 1482.134 1081.25
10 17.4012 13.6 86 184.96 7396 236.6563 1496.503 1169.6
11 17.5323 17.6 78.7 309.76 6193.69 308.5685 1379.792 1385.12
12 19.5702 28.3 70.2 800.89 4928.04 553.8367 1373.828 1986.66
13 18.9972 24.6 74 605.16 5476 467.3311 1405.793 1820.4
14 14.6022 11.2 72.6 125.44 5270.76 163.5446 1060.12 813.12
15 18.9831 24.8 73.5 615.04 5402.25 470.7809 1395.258 1822.8
16 17.7948 18 79.6 324 6336.16 320.3064 1416.466 1432.8
∑ 292.397 357.2 1182.5 8592.94 88024.71 6648.288 21558.42 25925.21
Kemudian, dibuat matriks seperti di bawah ini :
[ ] [] [
]
[ ] [] [ ] c. Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks yang di dapat dari hasil metode least square kemudian di eliminasi menggunakan
metode gauss-jordan :
[
] [
]
[ ] [ ]
[ ] []
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
5/18
[ ] []
[ ] []
[ ] []
[ ] []
[ ] []
Maka, didapat nilai A0 = 0, A1 = 0.312, A2 = 0.1534. Metode ini terbukti benar karena
angka pada konstanta A1 dan A2 sama dengan persamaan (3) pada soal yaitu HHV =
0.312(FC) + 0.1534(VM).
3. H itunglah error dan beri kan dalam bentuk plot/diagram sumbu x-y
Error untuk persamaan ini dapat dicari dengan → SSE = (Yterukur – Yprediksi)2
Dengan y merepresentasikan nilai HHV
No HHV Literatur HHV Hitung
(rata-rata)
Error (Error)2
1 19.0 18.9 0.1 0.01
2 19.3 19.5 0.5 0.25
3 19.3 19.3 0 0
4 20.0 19.6 0.4 0.16
5 18.8 18.9 -0.1 0.01
6 17.0 17.7 -0.7 0.49
7 20.5 20.3 0.2 0.04
8 17.1 17.3 -0.2 0.04
9 17.0 17.0 0 0
10 17.1 17.1 0 0
11 17.8 17.6 0.2 0.04
12 20.1 19 1.1 1.21
13 19.2 18.9 0.3 0.09
14 15.0 15.5 -0.5 0.25
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
6/18
15 19.0 18.9 0.1 0.01
16 17.7 17.7 0 0
SSE 2.6
Error yang didapatkan sebesar 2.6.
Grafik Perbandingan nilai HHV
4. Buatlah algoritma dan diwujudkan dalam bentuk diagram ali r (F low chart)
0
5
10
15
20
25
Literatur
Hitung
START
Mengasumsi FC
sebagai x, HHV
sebagai y
Membuat tabel
Mencari nilai a & b
dengan regresi linear
Mendapatkan nilai a
= 14.119 dan b =
0.196
Mendapatkan persamaan
y = 0.196x + 14.119
END
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
7/18
5. Buatlah program komputer perhi tungan tsb.
Dengan menggunakan eliminasi Gauss yang dibantu dengan Program Ezy Pascal maka
didapatkan berdasarkan bentuk ketik di dalam aplikasinya adalah :
program SPAL;
type
Matriks = array [1..12,1..12] of Real;
Vektor = array [1..12] of Real;
var
i,j,k,jp : integer;
A : Matriks;
b,x : Vektor;
Procedure EliminasiGauss(n: Integer;
A: Matriks;
Var x: Vektor;
b: Vektor);
Var
pivot, lambda: Real;
i,j,k : Integer;
begin
for j:=1 to n-1 do
begin
pivot := A[j,j];
for i:= j+1 to n do
begin
lambda := A[i,j]/pivot;
for k := j+1 to n do
A[i,k] := A[i,k] - lambda*A[j,k];
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
8/18
b[i] := b[i] - lambda*b[j];
end;
end;
x[n] := b[n]/A[n,n];
for i := n-1 downto 1 do
begin
for k := i+1 to n do
b[i] := b[i] - A[i,k]*x[k];
x[i] := b[i]/A[i,i];
end;
end;
begin
writeln('PROGRAM SPAL');
write('Jumlah persamaan : ');readln(jp);
for i:=1 to jp do
begin
for j:=1 to jp do
begin
write ('A(',i,',',j,')=');
readln(A[i,j]);
end;
write('b(',i,')=');
readln(b[i]);
end;
writeln('matrik augmented= ');
for i:= 1 to jp do
begin
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
9/18
for j:=1 to jp do
begin
write(A[i,j]:5:2)
end;
write(b[i]:5:2);
writeln;
end;
EliminasiGauss(jp,A,x,b);
for i:=1 to jp do
write('x(',i,')=',x[i]:5:10,' ; ')
end.
PROGRAM SPAL
Jumlah persamaan : 3
A(1,1)=16
A(1,2)=357.2
A(1,3)=1172.5
b(1)=293.9
A(2,1)=357.2
A(2,2)=8592.94
A(2,3)=25749.61
b(2)=6691.16
A(3,1)=1172.5
A(3,2)=25749.61
A(3,3)=86501.91
b(3)=21480.46
matrik augmented=
16.00357.201172.50293.90
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
10/18
357.208592.9425749.616691.16
1172.5025749.6186501.9121480.46
=3.5487351316 ;
=0.2887429951 ;
=0.1142697143 ;
Pada penyelesaian soal ini digunakan pendekatan hasil, sehingga persamaan (3)
HHV = 0.312 (FC) + 0.1534 (VM) terbukti benar dengan =0.2887429951≈ 0.312dan=0.1142697143 ≈ 0.1534 (persamaan yang didapat menjadi HHV = 0.289 (FC) + 0.1143(VM).)
FILE 2 - SOAL 3
The data for the adsorption of amonia on barium flouride are reportade below. Confirm that
they fit a BET isotherm and find values of c and Vmon.
Answer :
This rearranges to
Therefore a plot of the left-hand side againts z should result in a straight line if the data obeys
the BET isotherm. We draw up the following tables.
00C, p* = 3222 Torr.
p/Torr 105 282 492 594 620 755 798
10 z 32.6 87.5 152.7 184.5 192.4 234.3 247.7
3.04 7.10 12.1 14.1 15.4 17.7 20.0
180C, p* = 6148 Torr.
p/Torr 39.5 62.7 108 219 466 555 601 765
103 z 6.4 10.2 17.6 35.6 75.8 90.3 97.8 124.4
0.07 1.05 1.74 3.27 6.36 7.58 8.09 10.8
Solving the equations gives
c = (a) 164, (b) 264, V mon = (a) 13.1 cm3, (b) 12.5 cm
3
JAWAB :
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
11/18
(a) 00C, p* = 3222 Torr.
p/Torr 105 282 492 594 620 755 798
10 z 32.6 87.5 152.7 184.5 192.4 234.3 247.7
3.04 7.10 12.1 14.1 15.4 17.7 20.0
Langkah pertama adalah memplot data diatas dengan x = z dan y =
sehinggadidapatkan tabel dan grafik sebagai berikut :
X y
0,0326 0,00304
0,0875 0,00710,1527 0,0121
0,1845 0,0141
0,1924 0,0154
0,2343 0,0177
0,2477 0,02
Y = b + m x
b =
y = 0.0762x + 0.0005
R² = 0.9949
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
/ ( ( 1 −
) (
/
^ 3 ) )
z
Grafik z Vs
/((1−
)(
/
^3 ))
Series1
Linear (Series1)
)/()/(11
)/1(
/00
0
0 P P P P
cV
c
cV P P V
P P
mm
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
12/18
0,0005 =
cVm = 2000 153,4 Vm = 2000
Vm = 13,03
m =
0,762 =
152,4 = c-1
C = 153,4
(b)
180C, p* = 6148 Torr.
p/Torr 39.5 62.7 108 219 466 555 601 765
10 z 6.4 10.2 17.6 35.6 75.8 90.3 97.8 124.4
0.07 1.05 1.74 3.27 6.36 7.58 8.09 10.8
Langkah pertama adalah memplot data diatas dengan x = z dan y =
sehingga
didapatkan tabel dan grafik sebagai berikut :
x y
0,0064 0,00007
0,0102 0,00105
0,0176 0,00174
0,0356 0,00327
0,0758 0,00636
0,0903 0,00758
0,0978 0,008090,1244 0,0108
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
13/18
Y = b + m x
b =
-5x10-6 =
cVm = -200000-17021 Vm = -200000
Vm = 11,75
m =
0,0851 =
0,0851 (-200000)= C-1
C -1= -17020
C = -17021
Jadi didapatkan nilai c dan Vm sebagai berikut :
C(a) 153,4 (b) 17021 Vmom (a) 13,03 cm3 (b) 11,75 cm
3
1. Pembentukan j eni s persamaan
Jenis persamaan adalah persamaan aljabar linear multi-variable.
2. Konstanta atau vari able dan Metode yang digunakan
y = 0.0851x - 5E-06
R² = 0.9953
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0 0.05 0.1 0.15
/ ( ( 1 −
) (
/
^ 3 ) )
z
Grafik z Vs
/((1−
)(
/
^3 ))
Series1
Linear (Series1)
)/()/(11
)/1(
/00
0
0 P P P P
cV
c
cV P P V
P P
mm
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
14/18
Konstanta yang didapat adalah Vmon = 13.1 cm2 dan c = 164, dengan variabel x yaitu z/Vmon c
= (a)
3. H itunglah error dan beri kan dalam bentuk plot/diagram sumbu x-y
Angka error didapatkan dengan rumus regresi linear:
Angka b dan delta b didapatkan dari perhitungan sebelumnya. Angka TK yang didapatkan
sebesar 32.13%, sehingga error yang terjadi adalah 67.87%.
Grafik menunjukkan kelinearan.
4. Buatlah algori tma dan diwuj udkan dalam bentuk diagram alir (F low chart)
y = 0.076x + 0.000452
R² = 0.994
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0 0.1 0.2 0.3
A x i s T i t l e
Axis Title
Series1
Linear (Series1)
START
Memplot rumus
penentuan Vmon dan c
Membuat tabel
Mencari nilai a & b
dengan regresi linear
Mendapatkan nilai a =
0.00043 dan b =
0.0762
Mendapatkan
persamaan dan angka
Vmon dan c
END
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
15/18
FILE 3 - SAMPEL 8
Pengukuran luas permukaan karbon aktif pada setiap sampelnya dengan menggunakan teknik
adsorpsi BET (Brunauer-Emmett-Teller) isotherm. Adsorpsi menggunakan gas nitrogen,
adsorpsi pada suhu cairnya sekitar -160 oC (luas permukaan molekul Nitrogen Am = 16.2 x
10-20
m2
/molekul. Data hasil pengukuran dinyatakan dalam bentuk Relative Pressure (P/Po)dengan N2 Gas adsorbed Vgas (ml/g) pada kondisi STP, ditabelkan sebagai berikut (lihat
tabel dibawah ini)
Untuk menguji kelinieran garis sesuai persamaan, maka perlu diolah data sebagai berikut :
Plot antara Relative Pressure (P/Po) dengan N2 Gas adsorbed Vgas(cc/g) STP.
Bagaimanakah pola kurva yang terbentuk, linier, melengkung atau ada kecenderungan
linier?? Apakah titik-titik data cenderung membentuk suatu hubungan variabel.
Data-data dapat dilinearisasi sesuai dengan persamaan isothermal BET yakni ,
dengan membuat harga Y = dan harga X= p/po, dapatkah andamemperoleh
data-data pola kurva yang cenderung membentuk grs lurus/linier setelah diplot.
Dengan komputasi numerik, bisakah menentukan metode yang mana yang anda pakai
sehingga didapat konstanta persamaan adsorpsi isotermis BET yakni Vm dan c.
Data-data sampel untuk setiap mahasiswa disajikan pada tabel dibawah dan lihat tabel
pembagian soal ketiga.
sample 8
Zeolit
Relative
Press P/Po
N2 adsorbed
Vgas(cc/g)
0.01 8.4507
0.05 9.8001
0.09 10.4592
0.129 10.9189
0.169 11.267
0.209 11.5568
0.249 11.8112
0.289 12.0478
0.329 12.2709
0.369 12.4956
0.408 12.7229
0.448 12.8995
0.488 13.2088
0.528 13.4859
0.568 13.7868
0.608 14.1180.648 14.516
)/()/(11
)/1(
/00
0
0 P P P P
cV
c
cV P P V
P P
mm
)/1(
/
0
0
P P V
P P
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
16/18
0.687 14.9579
Jawab:
Melalui data di atas, kita dapat mencari nilai Y dengan rumus:
akan didapat data-data sebagai berikut:
X Y
0 0
0.01 0.001195287
0.05 0.005370514
0.09 0.0094558950.129 0.013564153
0.169 0.018050007
0.209 0.022862947
0.249 0.028071485
0.289 0.03373809
0.329 0.039957376
0.369 0.046799358
0.408 0.05416919
0.448 0.062916718
0.488 0.0721583340.528 0.082949159
0.568 0.095367657
0.608 0.109861199
0.648 0.126819309
0.687 0.146737722
Diplot dalam bentuk grafik:
Pada grafik, didapat bahwa persamaan garis adalah:
Y ( P P
o)
V (1 P P o)
y = 0,179x - 0,011
R² = 0,951
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
17/18
y = -0.01+0.179x
Dan pada keterangan sebelumnya dikatakan bahwa persamaan dari sample berupa:
Dapat dikatan bahwa persamaan tersebut sama. Dengan itu kita dapat menyamakan:
100
01.0
1
101.0
m
m
m
cV
cV
cV
(1)
Kemudian nilai dari persamaan (1) dapat dimasukkan ke persamaan:
Maka akan didapat nilai c:
(2)
Dan jika dikembalikan hasik persamaan (2) ke persamaan (1), maka akan didapat nilai Vm
sebagai berikut:
1. Pembentukan j eni s persamaan
Jenis persamaanyang digunakan adalah aljabar linear multi variabel
2. Konstanta atau vari able dan Metode yang digunakan
Konstanta yang didapat adalah Vm = 5.917 dan c = -16.9, dengan variabel x yaitu P/Po
3. H itunglah error dan beri kan dalam bentuk plot/diagram sumbu x-y
Angka error didapatkan dengan rumus regresi linear:
Angka b dan delta b didapatkan dari perhitungan sebelumnya. Angka TK yang didapatkan sebesar
44%, sehingga error yang terjadi adalah 56%.
0.179 c 1
cV m
0.179 c 1
100
c 1 17.9
c 16.9
(16.9) V m 100
V m 5.917
)/()/(11)/1(
/00
0
0 P P P P
cV
c
cV P P V
P P
mm
-
8/18/2019 Tugas 1 Komputasi Numerik - Mauhibah Yumna (1406577650)
18/18
4.
Buatlah algori tma dan diwuj udkan dalam bentuk diagram alir (F low chart)
y = 156.69x + 164.67
R² = 0.3984
0
50
100
150
200
250
300
350
0 0.5 1 1.5
Y
X
Series1
Linear (Series1)
START
Memplot rumuspenentuan Vmon dan
c
Membuat tabel
Mencari nilai a & bdengan regresi linear
Mendapatkan nilai a =164.6 dan b = 156.6
Mendapatkan
persamaan dan angka
Vm dan c
END