Matematika
TRIGONOMETRI
Matematika
FTP – UB
Matematika
Pokok Bahasan
• Sudut
• Identitas Trigonometrik
• Rumus Trigonometrik
• Fungsi Trigonometrik
Matematika
Pokok Bahasan
• Sudut
• Identitas Trigonometrik
• Rumus Trigonometrik
• Fungsi Trigonometrik
Matematika
Sudut
• Rotasi
– Apabila suatu garis lurus dirotasi terhadap suatu titik, garis tersebut menyapu suatu sudut yang dapat diukur dalam derajat atau radian
– Suatu garis lurus yang berotasi satu sudut penuh dan kembali ke posisi awal dikatakan telah dirotasi melalui 360 derajat – 360o
– Setiap derajat=60 menit dan setiap menit=60 detik
Matematika
Sudut
• Radian
– Jika garis lurus yang
panjangnya r berotasi pada
salah satu ujungnya sehingga
ujung lain membentuk busur
yang panjangnya r, garis
tersebut dikatakan telah dirotasi
melalui 1 radian – 1 rad
Matematika
Sudut
• Segitiga
– Semua segitiga memiliki
bangun dan ukuran
– Bangun segitiga
ditentukan oleh ketiga
sudutnya dan ukuran
oleh panjang ketiga
sisinya
AB AC BC
A B A C B C
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
so that:
and and
AB AC BC
A B A C B C
AB A B AB A B AC A C
AC A C BC B C BC B C
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
of angle - denoted by sin
of angle - denoted by cos
of angle - denoted by tan
ACsine
AB
BCcosine
AB
BCtangent
AB
Matematika
Sudut
• Rasio kebalikan
1 of angle - denoted by cosec
sin
1 of angle - denoted by sec
cos
1 of angle - denoted by cot
tan
cosecant
secant
cotangent
Matematika
Sudut
• Teorema Pythagoras
– Kuadrat hipotenusa suatu
segitiga siku-siku sama
dengan penjumlahan dari
kuadrat kedua sisi lainnya
2 2 2a b c
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga siku-siku sama kaki
Angles measured in degrees:
1sin 45 cos45 and tan 45 1
2
Angles measured in radians:
1sin / 4 cos / 4 and tan / 4 1
2
Matematika
Angles measured in degrees:
1sin30 cos60
2
3sin 60 cos30
2
1tan 60 3
tan30
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Matematika
Angles measured in radians:
1sin / 6 cos /3
2
3sin /3 cos / 6
2
1tan /3 3
tan / 6
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Matematika
Pokok Bahasan
• Sudut
• Identitas Trigonometrik
• Rumus Trigonometrik
• Fungsi Trigonometrik
Matematika
2 22 2 2
2 2
2 2
so 1
that is:
cos sin 1
a ba b c
c c
Identitas Trigonometrik
• Identitas dasar
– Identitas trigonometrik dasar diturunkan dari
teorema Pythagoras
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan cos2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
cos sin 1cos sin 1 so that
cos cos cos
that is:
1 tan sec
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan sin2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
cos sin 1cos sin 1 so that
sin sin sin
that is:
cot 1 cosec
Matematika
Pokok Bahasan
• Sudut
• Identitas Trigonometrik
• Rumus Trigonometrik
• Fungsi Trigonometrik
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
sudut cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tantan( )
1 tan tan
tan tantan( )
1 tan tan
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Sudut ganda 2 2
2
2
2
cos2 cos sin
cos2 1 2sin
cos2 2cos 1
sin 2 2sin cos
2 tantan 2
1 tan
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
rasio sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2cos sin2 2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Hasilkali rasio
2sin cos sin( ) sin( )
2cos cos cos( ) cos( )
2sin sin cos( ) cos( )
Matematika
Pokok Bahasan
• Sudut
• Identitas Trigonometrik
• Rumus Trigonometrik
• Fungsi Trigonometrik
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Rotasi
– Untuk sudut lebih
besar dari nol dan
kurang dari /2 radian,
rasio trigonometrik
didefinisikan dengan
baik dan dapat
diperluas ke fungsi
trigonometrik yang
berlaku untuk
sembarang sudut
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi sinus • Fungsi cosinus
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Tangen
– Rasio sinus terhadap kosinus sin
tancos
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Periode
– Sembarang fungsi yang outputnya berulang
dalam selang teratur inputnya disebut fungsi
periodik, selang teratur input tersebut disebut
periode fungsi tersebut
– Fungsi sinus dan kosinus berulang bentuk
pada setiap 2
– Fungsi tangen berulang dengan periode
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Amplitudo
• Setiap fungsi periodik memiliki satuan
amplitudo yang diberikan sebagai selisih
antara nilai maksimum dan nilai rata-rata
output yang diperoleh dalam periode tunggal
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Beda fase
– Beda fase fungsi periodik adalah selang input yang
dengan itu output mendahului atau terlambat
terhadap fungsi acuan
sin( /4) leads sin by /4 radiansy x y x
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Jika grafik y = sin x dicerminkan pada bidang y = x, akan dihasilkan grafik invers fungsi sinus
– Fungsi ini bukanlah suatu fungsi karena terdapat lebih dari satu nilai y yang bersesuaian dengan nilai x yang diketahui
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Pemotongan bagian atas dan bawah grafik
akan menghasilkan fungsi bernilai tunggal
yang disebut fungsi sinus invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Dengan cara yang sama dapat diperoleh
fungsi cosinus invers dan fungsi tangen invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Persamaan trigonometrik sederhana
merupakan persamaan yang melibatkan
hanya rumusan trigonometrik tunggal
sin3 0
with solution 3
so /3, 0, 1, 2,
x
x n
x n n
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Contoh lain
1sin3
2
3with solution 3 2 and 3 2 , 0, 1, 2,
4 4
so 2 and 2 , 0, 1, 2, 12 4
x
x n x n n
x n x n n
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
– Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
dapat ditulis ulang
– Solusi dapat dicari dengan grafik
2 2 1 1
sin( ) {sin cos sin cos } cos sin
so that sin and cos
giving and sin where tan
R x R x x a x b x c
R a R b
c aR a b x
R b
Matematika
Hasil Pembelajaran
• Mengkonversi sudut-sudut yang diukur
dalam derajat, menit dan detik ke derajat
desimal
• Mengkonversi derajat ke radian dan
sebaliknya
• Membuktikan identitas trigonometrik
• Mengembangkan fungsi trigonometrik dari
rasio trigonometrik
Matematika
Referensi
• Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika
Teknik. Erlangga. Jakarta