Download - Trigonometri 3-(bentuk cos x + sin x)
2
Setelah menyaksikan Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapattayangan ini anda dapat
MenyelesaikanMenyelesaikanpertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometridan persamaan trigonometridan persamaan trigonometri
bentuk acosx + bsinxbentuk acosx + bsinx
3
Pertidaksamaan Trigonomteri Pertidaksamaan Trigonomteri
pertidaksamaan yang memuatpertidaksamaan yang memuat
fungsi trigonometri dengan peubahfungsi trigonometri dengan peubah
sudutnya belum diketahuisudutnya belum diketahui
4
Contoh Contoh
bentuk-bentuk bentuk-bentuk
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
1.1. sinx < 0, untuk 0 sinx < 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°≤ x ≤ 360°
2.2. √ √2.cosx - 2.cosx - 11 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2ππ
3.3. tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180°tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180°
4.4. sinsin22x > x > ¼, ¼, untukuntuk – –ππ ‹‹ x x ‹‹ ππ
5
Himpunan penyelesaian dari suatu Himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
berupa satu atau beberapaberupa satu atau beberapa
interval peubah sudutinterval peubah sudut
6
Himpunan penyelesaian dari suatu Himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
ditentukan dengan dua cara:ditentukan dengan dua cara:
• sketsa grafik fungsi trigonometrisketsa grafik fungsi trigonometri
• garis bilangangaris bilangan
7
Dengan garis bilangan Dengan garis bilangan
langkah-langkahnya langkah-langkahnya
1.1. Tentukan harga-harga nol Tentukan harga-harga nol
(pembuat nol fungsi).(pembuat nol fungsi).
2. 2. Gambarkan harga-harga nol Gambarkan harga-harga nol
pada garis bilangan.pada garis bilangan.
8
3. Tentukan tanda (positif atau 3. Tentukan tanda (positif atau
negatif) pada setiap ruas garisnegatif) pada setiap ruas garis
dengan menguji salah satu dengan menguji salah satu
harga x di salah satu ruas garis. harga x di salah satu ruas garis.
4. Tentukan himpunan penyelesaian 4. Tentukan himpunan penyelesaian
sesuai dengan soal.sesuai dengan soal.
9
Contoh 1Contoh 1
Himpunan penyelesaian dari Himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan sinxpertidaksamaan sinx° > ° > ½½, ,
untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….adalah….
10
PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Harga nol dari persamaan sinxHarga nol dari persamaan sinx° = ° = ½½,,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
30° dan 150°30° dan 150°
▪ ▪
▪ ▪ tentukan nilai sinx - tentukan nilai sinx - ½½ pada salah pada salah
satu ruas garis (interval garis)satu ruas garis (interval garis)
misal x = 90° misal x = 90° sin90° - sin90° - ½½ = = ½½ > 0 > 0
30° 150°
+
0° 360°
11
▪ ▪ x = 90° x = 90° sin90° - sin90° - ½½ = 1 - = 1 - ½½ > 0 > 0
▪ ▪ karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0 karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0
maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 30° < x < 150°}adalah {x / 30° < x < 150°}
0° 360°30° 150°+
12
Contoh 2Contoh 2
Himpunan penyelesian dari Himpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cosxpertidaksamaan cosx° ≤ ° ≤ ½½√2, √2,
untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….adalah….
13
PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Harga nol dari cosxHarga nol dari cosx° = ° = ½√2½√2,,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
45° dan 315°45° dan 315°
▪ ▪
▪ ▪ uji interval 0°≤ x < 45° denganuji interval 0°≤ x < 45° dengan
mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =
cos30°- cos30°- ½½√2 = √2 = ½½√3 - √3 - ½½√2 > 0√2 > 0
45° 315°+
0° 360°+
14
▪ ▪ x = 30° x = 30° cos30° - cos30° - ½√2½√2 > 0 > 0
▪ ▪ karena cosx ≤ karena cosx ≤ ½√2½√2 atau atau
cosx - cosx - ½√2 ½√2 ≤ 0 (berarti negatif)≤ 0 (berarti negatif)
maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}
+0° 360°45° 315°
+
15
Contoh 3Contoh 3
Himpunan penyelesian dari Himpunan penyelesian dari
pertidaksamaan 2sin2xpertidaksamaan 2sin2x° < ° < 11, ,
untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….adalah….
16
PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Pembuat nol dari 2sin2x = 1Pembuat nol dari 2sin2x = 1
→ → sin2x = sin2x = ½ ½ → sin2x = sin 30→ sin2x = sin 30
2x = 30 + 2x = 30 + kk.360.360
x = 15 + x = 15 + kk.180.180
kk = 0 diperoleh x = 15° = 0 diperoleh x = 15°
2x = (180 – 30) + k.3602x = (180 – 30) + k.360
x = 75 + x = 75 + kk.180 .180
17
x = 75 + x = 75 + kk.180.180
kk = 0 → x = 75° = 0 → x = 75°
▪ ▪ harga x = 15° dan x = 75° digambarharga x = 15° dan x = 75° digambar
pada garis bilangan pada garis bilangan
▪ ▪ diuji x = 45° → sin2x - diuji x = 45° → sin2x - ½ ½ = 1 - ½ > 0= 1 - ½ > 0
▪ ▪ yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)
jadi, himpunan penyelesaiannya:jadi, himpunan penyelesaiannya:
{x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°} {x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°}
0° 180°15° 75°+
18
Contoh 4Contoh 4
Himpunan penyelesian dari Himpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cos(2xpertidaksamaan cos(2x + 30)° < + 30)° < ½½, ,
untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….adalah….
19
PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Pembuat nol dari cos(2x + 30) = Pembuat nol dari cos(2x + 30) = ½½ → → cos(2x + 30) = cos 60cos(2x + 30) = cos 60
2x + 30 = 60 + 2x + 30 = 60 + kk.360.360
2x = 30 + 2x = 30 + kk.360.360
x = 15 + x = 15 + kk.180.180
kk = 0 diperoleh x = 15° = 0 diperoleh x = 15° 2x + 30 = -60 + k.3602x + 30 = -60 + k.360
20
cos(2x + 30) = cos 60cos(2x + 30) = cos 60 2x + 30 = -60 + 2x + 30 = -60 + kk.360.360 2x = -90 + 2x = -90 + kk.360.360 x = -45 + x = -45 + kk.180.180 kk = 1 diperoleh x = 135° = 1 diperoleh x = 135° ▪ ▪ harga x = 15° dan x = 135° harga x = 15° dan x = 135° digambar pada garis bilangan digambar pada garis bilangan
0° 180°15° 135°
21
0° 180°15° 135°
▪ ▪ Diuji interval 15 < x < 135 denganDiuji interval 15 < x < 135 dengan mengambil x = 30 mengambil x = 30 → → cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0▪ ▪ yang diminta cos(2x + 30)° - yang diminta cos(2x + 30)° - ½½ < 0 < 0 (negatif). Jadi, himpunan(negatif). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalahpenyelesaiannya adalah {x / 15°< x < 135°}{x / 15°< x < 135°}
+ +
22
Bentuk : a.cosx + b.sinxBentuk : a.cosx + b.sinxBentuk acosx + bsinx Bentuk acosx + bsinx
dapat diubah ke bentukdapat diubah ke bentuk
k.cos(x – k.cos(x – αα))
dengan k = dengan k =
tan tan αα = =
0 ≤ 0 ≤ αα ≤ 360 ≤ 360
22 ba
a
b
23
tan α =
sudut α dapat terletak
di kuadran I, II, III atau IV
tergantung tanda a dan b
a
b
tanda a dan btanda a dan b αα di kuadran di kuadran
a > 0, b > 0a > 0, b > 0
a < 0, b > 0a < 0, b > 0
a < 0, b < 0a < 0, b < 0
a > 0, b < 0a > 0, b < 0
II
IIII
IIIIII
IVIV
24
Contoh 1Contoh 1
Ubahlah bentuk cosx + Ubahlah bentuk cosx + √3sinx√3sinx
menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα))
25
JawabJawabcosx + √3sinx cosx + √3sinx a = 1 dan b = √3 a = 1 dan b = √3
k =k =
k = k =
tan tan αα = =
αα = 60° = 60°
Jadi, Jadi, cosx + √3sinxcosx + √3sinx dapat di ubah dapat di ubah
menjadi menjadi 2cos(x – 60°)2cos(x – 60°)
22 ba 22 )3(1 2
a
bI)kuadran di ( 3
1
3
26
Contoh 2Contoh 2
Ubahlah bentuk -Ubahlah bentuk -√3√3cosx + cosx + sinxsinx
menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα))
27
JawabJawab-√3cosx + sinx -√3cosx + sinx a = -√3 dan b = 1 a = -√3 dan b = 1
k =k =
k = k =
tan tan αα = =
αα = (180 – 30)° = 150° = (180 – 30)° = 150°
Jadi, Jadi, -√3cosx + sinx-√3cosx + sinx dapat di ubah dapat di ubah
menjadi menjadi 2cos(x – 150°)2cos(x – 150°)
22 ba 22 1)3( 2
a
b II)kuadran di ( 3 3
131
28
Contoh 3Contoh 3
Ubahlah bentuk cosx – Ubahlah bentuk cosx – sinxsinx
menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα))
29
JawabJawabcosx – sinx cosx – sinx a = 1 dan b = -1 a = 1 dan b = -1
k =k =
k = k =
tan tan αα = =
αα = (360 – 45)° = 315° = (360 – 45)° = 315°
Jadi, Jadi, cosx - sinxcosx - sinx dapat di ubah dapat di ubah
menjadi menjadi √2cos(x – 315°)√2cos(x – 315°)
22 ba 22 )1(1 2
a
bIV)kuadran di ( 1
1
1
30
Contoh 4Contoh 4Bentuk Bentuk √3√3cosx – cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα) )
adalah….adalah….
a. 2cos(x - )a. 2cos(x - ) b. 2cos(x - )b. 2cos(x - ) c. 2cos(x - )c. 2cos(x - ) d. 2cos(x - )d. 2cos(x - ) e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )
61
31
65
34
611
31
Jawab√3cosx – sinx a = √3 dan b = -1
k =
k =
tan α =
α = (2π – ) =
Jadi, √3cosx - sinx dapat di ubah
menjadi 2cos(x – ) → e→ e
22 ba 22 )1()3( 2
a
b IV)kuadran di ( 33
131
61 6
11
611
32
Contoh 4Contoh 4Bentuk Bentuk √3√3cosx – cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα) )
adalah….adalah….
a. 2cos(x - )a. 2cos(x - ) b. 2cos(x - )b. 2cos(x - ) c. 2cos(x - )c. 2cos(x - ) d. 2cos(x - )d. 2cos(x - ) e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )
61
31
65
34
611
33
Persamaan : a.cosx + Persamaan : a.cosx + b.sinx = cb.sinx = c
Langkah-langkah penyelesaiannya:Langkah-langkah penyelesaiannya:
▪ ▪ ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – αα))
▪ ▪ kcos(x – kcos(x – αα) = c → cos(x – ) = c → cos(x – αα) = c/k) = c/k
▪ ▪ selesaikan persamaan sederhananyaselesaikan persamaan sederhananya
Syarat dapat diselesaikan:Syarat dapat diselesaikan:
-k ≤ c ≤ k atau lcl ≤ -k ≤ c ≤ k atau lcl ≤
22 ba
34
Contoh 1Contoh 1Nilai x yang memenuhi persamaanNilai x yang memenuhi persamaan
--√2 cosx° + √2 sinx° = 1√2 cosx° + √2 sinx° = 1
untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….
jawab:jawab:▪ ▪ a = -√2 dan b = √2a = -√2 dan b = √2
→ → k =k =
tantanαα = =
22 )2()2( 222 II)kuadran di ( 1
2
2
35
tantanαα = =
→ → αα = 135 = 135
▪ ▪ 2cos(x – 135) = 12cos(x – 135) = 1
→ → cos(x – 135) = cos(x – 135) = ½½
x – 135 = 60 + x – 135 = 60 + kk.360.360
x = 195 + x = 195 + kk.360.360
kk = 0 → x = 195 = 0 → x = 195
II) kuadran di (α 12
2
36
→ → cos(x – 135) = cos(x – 135) = ½½
x – 135 = -60 + x – 135 = -60 + kk.360.360
x = 75 + x = 75 + kk.360.360
kk = 0 → x = 75 = 0 → x = 75
Jadi, nilai x yang memenuhiJadi, nilai x yang memenuhi
adalah adalah 7575 atau atau 195195
37
Contoh 2Contoh 2Himpunan penyelesaian persamaanHimpunan penyelesaian persamaan
√√3 cosx° - 3sinx° = √33 cosx° - 3sinx° = √3
untuk 0 ≤ x < 360 adalah….untuk 0 ≤ x < 360 adalah….
jawab:jawab:▪ ▪ a = √3 dan b = -3a = √3 dan b = -3
→ → k =k =
tantanαα = =
22 3)()3( 3212 IV) kuadran di (α 3
3
3
38
tantanαα = =
→ → αα = 300 = 300
▪ ▪ 2√3cos(x – 300) = √32√3cos(x – 300) = √3
→ → cos(x – 300) = cos(x – 300) = ½½
x – 300 = 60 + x – 300 = 60 + kk.360.360
x = 360 + x = 360 + kk.360.360
kk = -1 → x = 0 = -1 → x = 0
IV) kuadran di α ( 33
3
1
39
→ → cos(x – 300) = cos(x – 300) = ½½
x – 300 = -60 + x – 300 = -60 + kk.360.360
x = 240 + x = 240 + kk.360.360
kk = 0 → x = 240 = 0 → x = 240
Jadi, himpunan penyelesaiannyaJadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { adalah { 0, 2400, 240 } }
40
Contoh 3Contoh 3Himpunan penyelesaian persamaanHimpunan penyelesaian persamaan
2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 22√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2
untuk 0 ≤ x ≤ 2untuk 0 ≤ x ≤ 2ππ adalah…. adalah….
jawab:jawab:▪ ▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 22√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2
2√3cos2x – 2.sin2x = 2 2√3cos2x – 2.sin2x = 2
√ √3cos2x – sin2x = 13cos2x – sin2x = 1
1
41
▪ √▪ √3cos2x – sin2x = 13cos2x – sin2x = 1
a = √3, b = -1 → k =a = √3, b = -1 → k =
= 2= 2
tan tan αα = =
αα = 360° – 30° = 330° = 360° – 30° = 330°
▪ ▪ 2cos(2x - 330°) = 12cos(2x - 330°) = 1
cos(2x – 330°) = cos(2x – 330°) = ½½
2x – 330 = 60 + 2x – 330 = 60 + kk.360 .360
22 1)3(
IV) kuadran di α ( 33
131
42
▪ ▪ 2x – 330° = 60° + 2x – 330° = 60° + kk.360°.360°
2x = 390° + 2x = 390° + k.k.360°360°
x = 195° + x = 195° + kk.180°.180°
kk = -1 → x = 15° → x = = -1 → x = 15° → x =
kk = 0 → x = 195°→ x = = 0 → x = 195°→ x =
▪ ▪ 2x – 330° = -60° + 2x – 330° = -60° + kk.360°.360°
2x = 270° + 2x = 270° + kk.360°.360°
x = 135° + x = 135° + kk.180°.180°
121
1213
43
x = 135° + x = 135° + kk.180°.180°
kk = 0 → x = 135° → x = = 0 → x = 135° → x =
kk = 1 → x = 315° → x = = 1 → x = 315° → x =
Jadi, himpunan penyelesaiannyaJadi, himpunan penyelesaiannya
adalah adalah
43
47
47
1213
43
121 ,,,