Download - Teoria de Conjuntos Ucv
-
Universidad Cesar Vallejo
ALFA-UCV
Teora de Conjuntos
-
Conjunto es una coleccin de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (nmeros, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto
DEFINICION DE CONJUNTO
UCV-ALFA
Teora de Conjuntos
Normalmente se utilizan letras maysculas A, B, X, Y . Para denotar Conjuntos
Y para denotar a los elementos se utilizan letras minsculas a,b,c,, nmeros, smbolos o variables.
-
DEFINICIONES DE CONJUNTO
EXPLICITAMENTE
IMPLICITAMENTE
Un Conjunto puede ser definido:
-
EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma
DEFINICION DE CONJUNTO EXPLCITAMENTE
1.- Sea A el conjunto de las vocales
A= { a, e, i, o, u }
2.- Sea B el conjunto de las vocales
B= { lunes , martes, mircoles, jueves, viernes}
-
IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de las llaves las caractersticas de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue
DEFINICION DE CONJUNTO IMPLICITA
Sea A es el conjunto de las vocales
Se escribe A= {x/x es una vocal}
Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal
Sea D el conjunto de los nmeros pares
Se escribe D= {x/x es un numero natural par }
Y se leeEl conjunto de todas las x tales que x es un numero natural par
-
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos.
RELACIN DE PERTENENCIA
Se representa de la siguiente manera
Elemento conjunto .. Se lee elemento pertenece a conjunto
Elemento conjunto . Se lee elemento NO pertenece a conjunto
Ejemplos:
a A Se lee a Pertenece al conjunto A
w A Se lee w No pertenece al conjunto A
3 D Se lee 3 No pertenece al conjunto D
-
Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos afirmar de manera inequvoca si un elemento pertenece a l o no
CONJUNTO BIEN DEFINIDO
Sea T el conjunto de las personas simpticasEste conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simptico es
subjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es
simptica o no
Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementosUn conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementosEjemplo:
S= {x/x N, x >= 10}
Se lee x tal que x pertenece a los nmeros naturales y x es mayor o igual a 10
-
RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO
Relaciones Entre Conjuntos
Igualdad de Conjuntos
Sub Conjuntos
Conjuntos Especiales
Conjuntos de Pares
Conjunto Vacio
Conjunto Universal
-
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B
IGUALDAD DE CONJUNTOS
A= { x, y }B= { y, x }
Esto es:
A=B,
entonces x A, implica que x B y
Que y B, implica que y A.
-
Ejemplo de Igualdad de Conjuntos
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Si
M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y
L= {x/x es impar ^ 1 x 9 }
Esto significa que
M=L
-
Si cada elemento de un conjunto A es tambin elemento de un conjunto B,
entonces A se llama Subconjunto de B
Tambin decimos que A, esta contenido en B
O que B, esta contenido en A
A no es un subconjunto de B,
es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B
SUBCONJUNTO
A
B
B
A
A
B
B
A
-
Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 }B={ 1, 2, 3, 5, 7 }C={ 1, 5 }
Podemos decir que:
C A y C B,
Ya que 1 y 5 los, elementos de C, tambin son elementos de A y B
B A
Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A
o se que no todos lo elementos de B son elementos de A
-
Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
B={ x/x es un ave}H={ y/y es una paloma}
Podemos decir que:
H B
H es un subconjunto de B
-
Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere el siguiente conjunto:
A={ x/x N es par}y B={ y/y N y es mltiplo de 2}
Podemos decir que
B = A
A = B
B A
A B
-
CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)
Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por .
Ejemplo de conjunto Vacio:
El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 aos de edad.
-
CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)
Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por .
Ejemplo de conjunto Vacio:
El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 aos de edad.
-
CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenece a alguna poblacin determinada.
-
CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Ejemplo
Si se habla de un conjunto de nmeros es til establecer una poblacin general de nmeros denominado CONJUNTO UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA
Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusin determinada.
El conjunto Universal se denomina : U
-
CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Ejemplo
Si U=N, el conjunto de los nmeros naturales
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B={ x/x es un numero primo }
C = { x/x es un numero natural par }
A, B y C son subconjuntos propios de U
Los nmeros primos menores que cien son los siguientes:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89y97
-
CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)
Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por P(A),
Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A
En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales el mismo A, ya que A A, y el conjunto vacio
-
CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)
Ejemplo
Si A = { a, b, c } entonces
P(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {} }
Los elementos del Conjunto P(A) son a su vez conjuntoUn conjunto cuyos miembros son conjuntos se llama Familia de ConjuntosP(A) es un ejemplo de una familia de conjuntosNOTA:Si un conjunto M tienes n elementos P(M) constara de 2n elementos
2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8
-
DIAGRAMA DE VENN (Euler)
Los Diagramas de Venn e Euler son una manera esquemtica de representar los conjuntos y los conceptos de la teora de conjuntos.
Constituyen un auxiliar didctico valioso para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Inclusin y las Operaciones con conjuntos.
El Rectngulo representa conjunto Universal
Los crculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.
U
A
B
C
-
DIAGRAMA DE VENN (Euler)
Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}
A
B
C
D
U
A U
C U
B U
D U
B A
D C
-
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Operaciones con Conjuntos
Unin
Interseccin
Diferencia
Diferencia Simtrica
Complemento
-
UNION DE CONJUNTOS
La unin de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unin B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos
A U B ={ x/x A V x B}
En el diagrama de Venn, la regin sombreada corresponde al conjunto A U B
U
A
B
-
UNION DE CONJUNTOS
Ejemplo
A U B ={ a, b, c, d, e, f}
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }
Entonces:
U
A
B
-
INTERSECCION DE CONJUNTOS
A B ={ X/X A x B }
La interseccin de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A interseccin B.
Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos
En este diagrama de Venn la regin sombreada corresponde al conjunto A B
U
A
B
-
INTERSECCION DE CONJUNTOS
A U B Tambin se llama suma lgica de los conjuntos A y B
A B Se denomina tambin el producto lgico de los conjuntos Ay B
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }
Dos conjuntos que no tienen nada en comn se llaman DISYUNTOS
Observe que los elementos c y d pertenecen simultneamente a los conjuntos A y B
A B = { c, d }
-
INTERSECCION DE CONJUNTOS
Si
A={ a, b, c, d }
B= { c, d }
A B = { c, d }
Si
A={ a, b, c, d }
B= { m, p, q }
A B =
A B = , A y B son disyuntos
A
B
U
A
B
U
A B =B porque B A
-
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
A - B ={ X/X A x B }
La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B
Simblicamente:
A
B
U
A
B
U
-
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Simblicamente:
A - B ={ X/X A x B }
A
B
U
A
B
U
A
B
U
-
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Ejemplo 1:
Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }
Ejemplo 2:
Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}
Ejemplo 3:
Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }
-
DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS
Simblicamente:
La Diferencia Simtrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos
A B ={ X/X A V x B x A B}
-
DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS
Simblicamente:
A diferencia simtrica de B es igual a
x Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece a A interseccin B
La Diferencia Simtrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos
A B ={ X/X A V x B x A B}
-
DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS
Simblicamente:
Observe que las regiones a la izquierda
y a la derecha corresponden a los conjuntos A-B y B-A
Por eso tambin
A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }
A - B ={ X/X A x B }
U
A
B
En el siguiente grafico se muestra A B
A B={ A B } U { B- A }
A B={ A U B } - { B A }
-
COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOS
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota A, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A
Simblicamente:
A={ X/X A U x A }
A= U A
Ejemplo:
A = { X/X es un numero natural par}
Sea U = N (el conjunto de los nmeros naturales)
A = { X/X es un numero natural impar}=U -A
A
U
-
CONJUNTOS NUMERICOS
Es la coleccin de Objetos matemticos representados por los smbolos 1, 2, 3, 4, ., etc. Llamados nmeros para contar.
= {1, 2, 3, 4, .}
Los nmeros enteros abarca los nmeros negativos incluyendo en cero y los nmeros positivos. Y se representa
= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .}
Nmeros Naturales
Nmeros Enteros
-
CONJUNTOS NUMERICOS
Es el conjunto de los nmeros de la forma donde p y q son enteros, con q 0, se representa mediante el smbolo.
Es el conjunto de los nmeros que no pueden ser expresados como el cociente de dos nmeros enteros
Entre los mas conocidos esta el
Nmeros Racionales
Nmeros Irracionales
p
q
*
-
CONJUNTOS NUMERICOS
Es el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionales
Es la coleccin de nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad.
i2=-1
Nmeros Reales
Nmeros Complejos
*
-
IGUAL
SIMBOLOGIA
ELEMENTO PERTENECE
ES SUBCONJUNTO
NO ES SUBCONJUNTO
ELEMENTO NO PERTENECE
=
CONJUNTO VACIO
{ } o
CONJUNTO UNIVERSAL
U
CONJUNTO DE PARTES
P{A }
UNION
INTERSECCION
DIFERENCIA SIMETRICA
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
DIFERENCIA
U
CONJUNTOS NUMERICOS
NATURALES
___
ENTEROS
RACIONALES
IRRACIONALES
REALES
COMPLEJOS
-
Prof. Gladis Viviana Daz Herrera
ALFA-UCV