TEORI HIMPUNAN

TEORI HIMPUNAN

Himpunan adalah koleksi obyek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan

Obyek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen

Penulisan HIMPUNAN

Listing Method◦A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Description Method (notasi pembentuk himpunan)◦ A = {x | 1 x 6 ; x bilangan

bulat}◦ X = Himpunan 5 bilangan prima

yang pertama

NOTASI HIMPUNAN

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}◦ 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 A◦ = anggota himpunan◦ = bukan anggota himpunan◦ 7 A, 8 A, 10 A.◦ A B, = himpunan bagian◦ |A| = banyaknya anggota himpunan A, atau

n(A) A = {a,b,c,d,e,f} ; |A| = 6;

Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan himpunan kosong ;

Dilambangkan dengan atau { } Contoh: A= {} Himpunan kosong adalah

himpunan bagian dari setiap himpunan.

HIMPUNAN KOSONG

DIAGRAM VENN DAN HIMPUNAN SEMESTA

Himpunan semesta: Himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan

Contoh: S = semesta hewanA = hewan berkaki empatA = {kambing, sapi, kuda}

SA

. kambing. sapi

. kuda. ayam

. bebek

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

Himpunan BagianHimpunan saling lepas (disjoin)Himpunan saling berpotongan

HIMPUNAN BAGIAN Definisi himpunan bagian :

Jika setiap anggota himpunan A adalah juga anggota himpunan B ; A B

Himpunan A = B jka dan hanya jika A B dan B A

Jika A dan B adalah himpunan, sedemikian rupa sehingga A B tetapi A B, maka A adalah proper subset dari himpunan B; A Bcontoh: A={1,2,3,4,5}; B={1,2,3}; maka B A

HIMPUNAN SALING LEPAS

Bila v x A ≠ v x B (himpunan A tidak memiliki anggota yang sama dengan himpunan B)

SA B

HIMPUNAN SALING BERPOTONGAN

Bila x A = x BAda anggota himpunan A yang

juga anggota himpunan B

SA B

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN

Operasi dasar himpunan:- Gabungan (union);

A B = {x | x A atau x B}- Irisan (intersection);

A B = {x | x A dan x B}- Komplemen (complement); c

Ac = {x | x S; x A}

S

A B

A U B

S

A B

A n B

S

A n B

AB

S

A U B

BA

S

A n B = {}

BA

S

A U B

BAS

AC

A

AB = {x x A atau x B atau keduanya}AB = {x x A dan x B}AC = {xx S, x A}

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN

S

A B

S

A n B

AB

S

A U B

BA

S

A U B

BA

(a) (b)

(c) (d) A-B = {}

Operasi beda = A-B = AnBC

S

8

Operasi dengan tiga atau lebih subset

7 C

4

6 B

2

A 53

1

CCC

CC

CC

CC

C

C

C

CBA8

CBA7

CBA6

CBA5

CBA4

CBA3

CBA2

CBA1

Operasi penjumlahan

A + B = (A B) – (A B) = (B-A) (A-B)

SA B

ATURAN DAN HUKUM OPERASI HIMPUNAN (GABUNGAN, IRISAN DAN KOMPLEMENTASI)

1. A B = B A ; Hukum komutatif bagi gabungan2. A B = B A ; Hukum komutatif bagi irisan3. A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi

gabungan4. A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi irisan5. A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi

bagi gabungan6. A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi

bagi irisan7. Sc = 8. c = S9. (Ac)c = A10. A Ac = S11. A Ac = 12. (A B)c = Ac Bc ; Hukum De Morgan13. (A B)c = Ac Bc ; Hukum De Morgan

JUMLAH ANGGOTA DALAM HIMPUNAN BERHINGGA

n(A) = Jumlah anggota himpunan An(B) = Jumlah anggota himpunan Bn(C) = Jumlah anggota himpunan C

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) n(A B) = n(A) + n(B) ; n(A B) = 0 n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B)

- n(A C) -n(B C) + n(A B C)

KARTESIAN PRODUKB = {a, b, c, d, e} ; A = {1, 2, 3}

A X B = {(1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (1,e), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (2,e), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d), (3,e)}

Misalkan ada sebuah relasi R = {(1,a), (1,b), (2,d), (2,e), (3,a),

(3,b)}Maka R ⊆ (A X B) (1,a) ∈ R (1,c) ∉ R

LATIHAN 1

DiketahuiA= {1,3,5,7,9,11}B={2,4,6,8,10}C= {1,2,3,5,7,9}

Tentukan:• A B• A B C• A B C• A – B• A – C• Ac C

LATIHAN 2

Dari diagram Venn yang ada arsirlah :a. A’ Bb. ( A B )’ Cc. A’ ( B C )d. A’ ( B C’ )

A

B

C

S

LATIHAN 2 Pada suatu perusahaan yang mempunyai 35 orang

karyawan terdapat informasi sebagai berikut :◦ 15 orang mempunyai telivisi◦ 22 orang mempunyai radio◦ 14 orang mempunyai almari es◦ 11 orang mempunyai telivisi dan radio◦ 8 orang mempunyai radio dan almari es◦ 5 orang mempunyai telivisi dan almari es◦ 3 orang mempunyai ketiganya.

Berapa orang karyawan yang tidak mempunyai telivisi, tidak mempunyai radio maupun tidak mempunyai almari es ?

Berapa orang karyawan yang hanya mempunyai radio? Berapa orang karyawan yang memiliki 1 macam barang Berapa orang karyawan yamg minimal memiliki 2 macam

barang

TERIMA KASIH