Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
TE091467 Teknik Numerik Sistem Linear
O U T L I N E
OBJEKTIF1
TEORI2
CONTOH3
SIMPULAN4
LATIHAN5
LatihanSimpulanContohTeori
Mahasiswa mampu:
1. Menghitung hasil operator linear pada R2 untuk unit square
2. Menginterpretasikan efek perkalian matriks yang ekuivalen melalui operasi terurut yang sesuai melalui operator refleksi, ekspansi (kontraksi) dan shear.
OBJEKTIF
Tujuan Pembelajaran
Operator linear pada R2 memiliki banyak aplikasi
dalam berbagai bidang seperti komputer grafis dan
robotika. Efek perkalian dengan matriks dapat
dijelaskan melalui operasi terurut yang sesuai
meliputi operator refleksi, ekspansi (kompresi) dan
shear.
LatihanSimpulanContohTEORIObjektif
Pendahuluan
LatihanSimpulanContohTEORIObjektif
Operator T: R2 → R2 merupakan matriks standar
=
dcba
A
++
=
=
dycxbyax
yx
dcba
yx
Tdan
dua interpretasi:
T memetakan garis pada garis
T memetakan titik pada titik
Geometri Operator Linear pada R2
Operator Matriks standar Efek pada
Refleksi pada sumbu -y
Refleksi pada sumbu -x
Refleksi pada garis y=x
Rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar θ
−1001
−10
01
0110
−θθθθ
cossinsincos
y
x
(1,1)
y
x
(-1,1)
y
x
(1, -1)y
x
(1, 1)y
x
(1,1)
y
x
(1,1)
y
x
(1,1)
y
θ x
(cos θ - sin θ, sin θ+ cos θ)
LatihanSimpulanContohTEORI
Geometri Operator Linear pada R2
Objektif
kompresi k = 1/2 ekspansi k = 2
Matriks standar T:
y
x
(1,1)y
x
(1/2,1)y
x
(2,1)
Operator T: R2 → R2 merupakan ekspansi (k>0) atau kompresi (0<k<1) dalam arah –x dengan faktor k
unit square
100k
Matriks standar T untuk ekspansi (kompresi) arah –y dengan faktor k :
k001
LatihanSimpulanContohTEORIObjektif
Ekspansi dan Kompresi
Matriks standar T:
y
x
(1,1)y
x
(x+ky, y)
Operator T: R2 → R2 merupakan shear dalam arah –xdengan faktor k
unit square
10
1 k
Matriks standar T untuk shear arah –y dengan faktor k :
101
k
y
x
(x+ky, y)
k > 0 k < 0
LatihanSimpulanContohTEORIObjektif
Shear
LatihanSimpulanContohTEORIObjektif
Hubungan antara Operator dengan Matriks Elementer
Operator Matriks standar Operasi baris (matriks elementer)
Shear arah-x Tambahkan k kali baris 2 pada baris 1
Shear arah-y Tambahkan k kali baris 1 pada baris 2
Refleksi pada garis y=x
Tukarkan baris 1 dengan baris 2
Kompresi (ekspansi) arah-x dan arah-y
Kalikan satu baris dengan faktor k
0110
10
1 k
101
k
100k
k001
LatihanSimpulanContohTEORIObjektif
Sifat Geometris Operator Linear pada R2
113
12
11
−−−−= kEEEEA
Teorema: jika T: R2 → R2 merupakan perkalian dengan
matriks A dapat dibalik, maka efek geometris dari T adalah
sama dengan suksesi yang sesuai dari operator shear,
kompresi, ekspansi dan refleksi
Matriks A adalah ekuivalen dengan perkalian dari matriks elementer (invers matriks elementer adalah matriks elementer)
LatihanSimpulanCONTOHTeoriObjektif
Dapatkan matriks transformasi dari R2 ke R2 ,
a) shears dengan faktor 2 dalam arah –x dilanjutkan dengan refleksi pada garis y=x
b) refleksi pada garis y=x dilanjutkan dengan shears dengan faktor 2 dalam arah –x
Contoh 1
a) shears diikuti dengan refleksi
Matriks standar untuk shears
dalam arah –x dengan faktor 2
=
1021
1A
Matriks standar untuk refleksi
pada garis y=x
=
0110
2A
=
=
2110
1021
0110
12 AA
b) refleksi diikuti dengan shears
=
=
0112
0110
1021
21AA
LatihanSimpulanCONTOHTeoriObjektif
Contoh 1
y
x
(1,1)
y
x
(1,1)
y
x
(3, 1)
y
x
(1,1)
y
x
(3, 1)
y
x
(1, 3)
LatihanSimpulanCONTOHTeoriObjektif
Contoh 1
LatihanSimpulanCONTOHTeori
Contoh 2
Objektif
Jelaskan efek perkalian dengan matriks diagonal A melalui operator ekspansi dan kompresi
=
2
1
00k
kA
=
=
100
001
00 1
22
1 kkk
kA
Perkalian dengan A adalah ekuivalen dengan
1) ekspansi (kompresi) dengan faktor k1 dalam arah–x
2) ekspansi (kompresi) dengan faktor k2 dalam arah–y
Jawab:
LatihanSimpulanCONTOHTeori
Contoh 3
Objektif
Nyatakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut.
=
1342
A
LatihanSimpulanCONTOHTeori
Contoh 3
Objektif
Matriks A direduksi menjadi matriks I sebagai berikut:
1342
1321
−50
21
1021
1001
b1/2 -3b1+b2 -b2/5 -2b2+b1
1002
1
− 13
01
− 5
1001
−1021
matriks elementer
1002
1301
−50
01
1021
invers matriks elementer
LatihanSimpulanCONTOHTeori
Contoh 3
Objektif
Invers matriks elementer
=−
10021
1E
=−
13011
2E
−
=
−
=−
5001
1001
50011
3E
=−
10211
4E
operator linear
1) shear faktor 2 arah-x
2) ekspansi faktor 5 arah-y
3) refleksi sumbu-x
4) shear faktor 3 arah-y
5) ekspansi faktor 2 arah-x
14
13
12
11
−−−−= EEEEA
1. Geometri operator linear dapat diinterpretasikan
sebagai pemetaan garis pada garis dan titik ke titik
LatihanSIMPULANContohTeori
Geometri Operator Linear
Objektif
2. Efek perkalian dengan matriks dapat dinyatakan
melalui beberapa operasi terurut yang tepat dalam
operasi refleksi, ekspansi (kompresi) dan shear.
LATIHANContohTeori
Latihan 1
Objektif
Dapatkan matriks transformasi dari R2 ke R2 ,
a) refleksi pada sumbu –x dilanjutkan dengan shear dengan faktor 3 dalam arah-y
b) Kompresi dengan faktor ½ dalam arah –x diikuti dengan ekspansi dengan faktor 5 dalam arah –y
SIMPULAN
LATIHANSimpulanContohTeori
Latihan 2
Objektif
Nyatakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut.
−=
6431
A
LatihanSimpulanContohTeoriObjektif