SWAKALIBRASI MULTIVIEW KAMERA DENGAN MATRIK FUNDAMENTAL
ALGORITMA 8 TITIK
Seminar Tesis
EZA RAHMANITA2208205004
PROGRAM MAGISTER BIDANG KEAHLIAN JARINGAN CERDAS MULTIMEDIA
JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA 2010
Permasalahan :
• Menentukan koordinat image dari 2 kamera.
• Menentukan koordinat image yang berpasangan.
• Menghitung matrik Fundamental
Solusi:
Normalisasi
Menghitung F
Mencari garis epipolar
Menghitung jarak koordinat
image dengan garis epipolar
Data Masukan
Koordinat Image
Normalisasi algoritma 8-point
1.Transformasi input ,
2.Ada 8-titik pada untuk
3.
ii Txx ˆ '
i
'
i Txx ˆ'
ii xx ˆ,ˆTFTF ˆΤ'
F̂
0Fxx'
0ˆ'ˆ 1 xFTTx'
F̂
Estimasi F — Algoritma 8 Titik
• Matrik Fundamental didefinisikan:
0Fxx'
Untuk setiap pasang x and x’ pada 2 image.
• Jika x=(u,v,1)T and x’=(u’,v’,1)T,
333231
232221
131211
fff
fff
fff
F
Setiap pasang mempunyai persamaan linear:
0'''''' 333231232221131211 fvfuffvfvvfuvfufvufuu
Algoritma 8-titik
0
1´´´´´´
1´´´´´´1´´´´´´
33
32
31
23
22
21
13
12
11
222222222222
111111111111
f
f
f
f
f
f
f
f
f
vuvvvvuuuvuu
vuvvvvuuuvuu
vuvvvvuuuvuu
nnnnnnnnnnnn
• Untuk menyelesaikan , dicari solusi f
untuk minimal ,nilai eigenvector terkecil .
0Af
AfAA
Algoritma 8-titik• F diganti F’ yang meminimumkan
dengan 'FF
0'det F
• Diselesaiakan dg SVD. jika , dimana
, let
merupakan solusi.
VUF Σ
3
2
1
000000
Σ
0000000
Σ' 2
1
VUF Σ''
epipole e,e’= perpotongan antara baseline dg bidang image
= proyeksi dari pusat proyeksi dari image lain
bidang epipolar = bidang baseline (1-D family)
Garis epipolar = perpotongan bidang epipolar dengan image(terjadi pada pasangan yang berkoresponden)
Epipolar Geometri
Matrik Fundamental F
Repsesentasi aljabar dari epipolar geometri
l'x
kita akan lihat mappingnya adalah (singular) correlation (i.e. proyeksi mapping dari titik ke garis)
direpresenrasikan oleh matrik fundamental F
Matrik Fundamental F
Kondisi Korespondensi
0Fxx'T
Fundamental Matrik digunakan untuk merepresentasikan beberapa pasang titik yang
berkoresponden x↔x’ pada dua image 0l'x'T
Matrik Fundamental F
F adalah matrik 3x3 memenuhi persamaan x’TFx=0 untuk semua x↔x’
(i) Transpose: Jika F adalah matrik fundamental untuk (P,P’), maka FT adalah matrik fundamental untuk (P’,P)
(ii) Garis Epipolar : l’=Fx & l=FTx’(iii) Epipole: berada pada garis epipolar : e’TFx=0, x
e’TF=0, similarly Fe=0(iv) F adalah korelasi, proyeksi mapping dari titik x ke garis
l’=Fx
Hasil Penelitian:
0,0000
0,2000
0,4000
0,6000
0,8000
1,0000
1,2000
1,4000
1,6000
1,8000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
err
or
pasangan kamera
Perbandingan Error
tanpa normalisasi
normalisasi
0
100
200
300
400
500
600
700
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Err
or
Koordinat Image
Grafik Perbandingan Error
View1
View2
0
20
40
60
80
100
120
140
160
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Err
or
pasangan gambar
Perbandingan Error
View 1
view 2
Kesimpulan:
• Matriks Fundamental menyatakan hubungan 2image dari 2 view.
• Data masukan adalah koordinat image yangberpasangan, yang telah dinormalisasi.
• Proses penentuan 8 titik sebagai data masukanmatriks fundamental berpengaruh terhadaphasil.
Reference
• Carlo Tomasi, The Singular Value Decomposition, Mathematical Modeling of Continuous Systems course note, 2004.
• Richard Hartley, In Defense of the 8-point Algorithm, ICCV, 1995.
• Andrew W. Fitzgibbon and Andrew Zisserman, Automatic Camera Tracking, Video Registration, 2003.
• Carlo Tomasi and Takeo Kanade, Shape and Motion from Image Streams: A Factorization Method, Proceedings of
Natl. Acad. Sci., 1993.
Every matrix represents a transformation
http://www.uwlax.edu/faculty/will/svd/index.html