www.belajar-matematika.com - 1
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPATahun Pelajaran 2010/2011
Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
1. Diketahui vektor u = (a, -2, -1) dan v = (a, a, -1). Jika vektor u tegak lurus pada v ,
maka nilai a adalah ...
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3
Jawab:
Vektor:
vektor u tegak lurus pada v maka u . v = 0
u = −2−1 , v = −1−2−1 . −1 = a2 – 2a + 1 = 0
(a – 1) (a-1) = 0 (a - 1)2 = 0maka a = 1
Jawabannya adalah C
2. Pernyataan berikut yang benar adalah ...
A. Jika sin x = sin y maka x = y
B. Untuk setiap vektor u , v dan w berlaku u . ( v . w ) = ( u . v ). w
C. Jika b
a
xf )( dx = 0, maka xf ( )= 0
D. Ada fungsi f sehinggacx
Lim
f(x) ≠ f(c) untuk suatu c
E. 1 – cos 2x = 2 cos2 x
www.belajar-matematika.com - 2
Jawab:
Trigonometri, vektor, integral, limit
A. Ambil nilai dimana sin x = sin y sin α = sin (1800 – α )ambil nilai α = 600 sin 600 = sin 1200 ; tetapi 600 ≠ 1200
Pernyataan SALAH
B. Operasi u . ( v . w ) tak terdefinisi karena v . w = skalar, sedangkan u = vektorvektor . skalar = tak terdefinisiPernyataan SALAH
C. Ambil contoh cari cepat hasil dimana b
a
xf )( dx = 0 ;
Didapat b = 1 dan a = -1 maka f(x)= x
1
1
x dx = 0 x2 | = (1 – 1) = 0
terbukti : f(x) = x bukan f(x) = 0Pernyataan SALAH
D. Ambil contoh f(x) = ( )( ) = ( )( )( )cx
Lim
f(x) =1x
Lim= ( )( ) = ( )( )( ) = 2
cxLim
f(x) ≠ f(c) 2 ≠ 1
Pernyataan BENAR
E. 1 – cos 2x = 1 – ( 2cos2 x – 1)= 1 + 1 - 2cos2 x = 2 - 2cos2 x= 2 ( 1 – cos2 x)
Pernyataan SALAH
Jawabannya adalah D
www.belajar-matematika.com - 3
3. Luas daerah di bawah y = -x2 +8x dan di atas y = 6x - 24 dan terletak di kuadran Iadalah....
a. ∫ (− + 8 ) + ∫ ( − 2 − 24)b. ∫ (− + 8 ) + ∫ (− + 2 + 24)c. ∫ (− + 8 ) + ∫ (− + 2 + 24)d. ∫ (6 − 24) + ∫ (− + 8 )e. ∫ (6 − 24) + ∫ (− + 8 )Jawab:
Integral:kuadran I
titik potong kedua persamaan : y1 = y2
-x2 +8x = 6x-24-x2 +8x - 6x+24 = 0-x2 +2x + 24 = 0x2 -2x - 24 = 0(x - 6) (x+4)0
x = 6 atau x = -4 karena di kuadran I maka yang berlaku adalah x = 6 y = 6.6 – 24= 12berada di titik (6,12)
www.belajar-matematika.com - 4
L = ∫ (− + 8 ) + ∫ ((− + 8 ) − (6 − 24))= ∫ (− + 8 ) + ∫ (− + 2 + 24)
Jawabannya adalah B
4. sin 350 cos 400 - cos 35 sin 400 =
A. cos 50 B. sin 50 C. cos 950 D. cos 750 E. sin 750
Jawab:Trigonometri:
Pakai rumus:
sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B
A= 350 ; B = 400
= sin (350 - 400) = sin -50
Cos (90 0 - ) = sin rumus
Cos (90 0 - (-50) ) = sin -50 = -50
Cos 950 = sin -50
Jawabannya adalah C
5. Diketahui g(x) = ax2 – bx + a – b habis dibagi x – 1. Jika f(x) adalah suku banyak yangbersisa a ketika dibagi x – 1 dan bersisa 3ax + b2 + 1 ketika dibagi g(x), maka nilai aadalah......
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3
Jawab:
Suku Banyak:
g(x) = ax2 – bx + a – b habis dibagi x – 1 g(1) = 0
g(1) = a . 1 – b .1 + a – b = 0= a – b + a – b = 0
2a – 2b = 02a = 2b a = b
karena a = b maka:g(x) = ax2 – ax + a – a = ax2 – ax
www.belajar-matematika.com - 5
f(x) dibagi dengan f(x-1) sisa a f(1) = a
f(x) dibagi dengan g(x) sisa 3ax + b2 + 1 f(x) dibagi dengan ax2 – ax sisa 3ax + b2 + 1f(x) dibagi dengan ax(x – 1) sisa 3ax + b2 + 1
teorema suku banyak:
Jika suatu banyak f(x) dibagi oleh (x- k) akan diperoleh hasil bagi H(x) dan sisapembagian S f(x) = (x- k) H(x) + S
f(x) dibagi dengan ax(x – 1) sisa 3ax + b2 + 1f(x) = ax (x - 1) H(x) + (3ax + b2 + 1)
substitusikan nilai nol dari pembagi yaitu x = 0 dan x = 1 dari ax (x - 1)
ambil x = 1 untuk x = 1
f(1) = a . 1 (1 – 1) H(0) + 3a.1 + b2 + 1a = 0 + 3a + b2 + 1 diketahu a = b, masukkan nilai a = ba = 3a + a2 + 1
a2 + 2a + 1 = 0(a+1)(a+1) = (a+1)2 = 0
a = -1
Jawabannya adalah A
6. Rotasi sebesar 450 terhadap titik asal diikuti dengan pencerminan terhadap y = -xmemetakan titik (3,4) ke ....
A. √ , √ C. √ , − √ E. − √ , √B. − √ , √ D. √ , − √Jawab:
Transformasi Geometri:
Rotasi sebesar 450 terhadap titik asal =
cossinsincos
pencerminan terhadap y = -x
0110
www.belajar-matematika.com - 6
'
'
yx
=
0110
cossinsincos
'4
3
=
0110
2212
21
2212
21
'4
3
=
2212
21
2212
21
'4
3=
221
227
Jawabannya adalah B
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 2a. Jika titik P berada padaperpanjangan garis HG sehingga HG = GP, maka jarak titik G ke garis AP adalah....
A. √6 B. √ C. √ D. √ E. √6Jawab:
Dimensi TigaH G 2a P
E FT
2a√3D 2a√6 C S
2a√5A 2a B 2a R
jarak titik G ke garis AP adalah = GT= ....?
www.belajar-matematika.com - 7
Teorema yang dipakai:
Aturan sinus dan cosinus
C
b a
A c B
Aturan cosinus
1. 2a = 2b + 2c - 2bc cos
2. 2b = 2a + 2c - 2ac cos
3. 2c = 2a + 2b - 2ab cos
AG2 = AP2 + GP2 – 2 AP. GP . cos AG = 2a√3 ; GP= 2a ; AP= ..?
AP2 = AS2+ PS2
AS2 = AR2 + SR2
= (4a)2 + (2a)2
= 16a2 + 4a2
= 20a2
AS = 2a√5AP2 = 20a2 + 4a2
= 24a2
AP = 2a√6AG2 = 24a2 + 4a2 - 2 . 2a√6 . 2a. cos (2a√3 )2 = 28a2 – 8a2 √6 . cos 12a2 = 28a2 – 8a2 √6 . cos 8a2 √6 . cos = 28a2 – 12a2
cos = √ = √ (lihat segitiga GTP, arahkan ke sin = = )
y2 = r2 – x2 (Phytagoras)= 6 – 4 = 2
y = √2
www.belajar-matematika.com - 8
sin = = √ = √√ =
GT = 2a . √√ = 2a . √√ √√ = 2a . √ = √ = √ √√ = √Jawabannya adalah D
8. Jika 0 < x < π dan x memenuhi sin2 x + sin x = 2 maka nilai cos x adalah ...
A. 1 B. √ C. D. 0 E. -1
Jawab:
Trigonometri:
sin2 x + sin x = 2 sin2 x + sin x – 2 = 0(sin x + 2 ) (sin x – 1 ) = 0
didapat sin x = -2 (tidak berlaku) atau sin x = 1 x = 900
maka cos x = cos 900 = 0
Jawabannya adalah D
9. Jika0x
Lim ( ) = 1, maka nilai0x
Lim ( )√A. -4 B. -2 C. 1 D. 2 E. 4
Jawab:
Limit dan Fungsi
0xLim ( )√ =
0xLim ( )√ √√ =
0xLim ( )√ =
0xLim ( )√
= -0x
Lim ( ) .0x
Lim √1 − + 1 = - 1 . (1+1) = -20x
Lim ( ) = 1
Jawabannya adalah B
10. Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada titik yang segaris. Banyaksegitiga yang dapat dibuat dengan titik - titik sudut dari titik - titik tersebut adalah
...A. 56 B. 58 C. 64 D. 84 E. 96
www.belajar-matematika.com - 9
Jawab:
Peluang:
merupakan kombinasinrC =
)!(!!
rnrn
diketahui n = 8 dan r = 3 (segitiga terdiri dari 3 titik)
83C =
)!38(!3!8
=1.2.36.7.8 = 8. 7 = 56
Jawabannya adalah A
11. Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yangdisusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5 dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, makabanyak kupon yang dapat dibuat adalah ...
A. 600 B. 605 C. 610 D. 620 E. 625
Jawab:
Peluang:
Banyak kupon yang dibuat dengan angka pertama dan terakhir tidak 0 =Jumlah seluruh kupon – jumlah kupon dengan angka pertama dan terakhir tidak 0
= (5 . 5 . 5. 5 ) – ( 5. 5) = 625 – 25 = 600
Jawabannya adalah A
12. Dari 10 orang, terdiri atas 6 laki-laki dan 4 wanita akan dipilih 3 orang untuk menjadiketua, sekretaris, dan bendahara suatu organisasi. Peluang terpilih ketua laki-laki atausekretaris wanita adalah......
A. B. C. D. E.
www.belajar-matematika.com - 10
Jawab:
Peluang:
Kejadian tidak saling lepasA B
P (A B ) = P(A) + P(B) - P (A B )
=)(
)()()(
)()(
SnBAn
SnBn
SnAn
dibuat rumus sesuai seoal di atas menjadi:
P (L W ) = P(L) + P(W) - P (L W )
=)(
)()()(
)()(
SnWLn
SnWn
SnLn
L= Laki-laki; W= wanita Laki-laki + Wanita = 10
n(L) = 6 . 9 . 8 = 432 banyaknya kemungkinan ketua laki-laki(6 = jumlah seluruh laki-laki; 9 = 10 -1 ; 8 = 10 – 2 )
n(W) = 9 . 4. 8 = 288 banyaknya kemungkinan sekretaris wanita(4 = jumlah seluruh wanita)
n(LW) = 6 . 4 . 8 = 192 banyaknya kemungkinan ketua laki-laki, sekretaris wanita(8 = 10 – 2 posisi ketua dan sekretaris sudah ada 2 orang)
n(S) = 10 . 9 . 8 = 720 ruang sample (kejadian bebas)
P (L W ) = + - = =
Jawabannya adalah D
13. Diberikan f(x) = a + bx dan F(x) adalah anti turunan f(x). Jika F(1) – F(0) = 2, maka nilai2a + b adalah .....
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 E. 10
Jawab:
Integral
∫ ( )dx = F(x) + c
∫(a + bx) dx = ax + + c
F(1) – F(0) = 2( a. 1 + 1 + c ) – (0+0+c) = 2
= a + = 2 dikalikan 2= 2a + b = 4
Jawabannya adalah A
www.belajar-matematika.com - 11
14. Diketahui kurva f(x) = x3 – (a - b) x2 - x + b + 1 habis dibagi oleh (x-1). Jika kurva y = f(x)bersinggungan dengan garis x+y = -1 di titik (2, -3) maka nilai a adalah....
A. -4 B. -2 C. 1 D. 3 E. 5
Jawab:
Differensial/turunan
Karena kurva habis dibagi oleh (x -1) maka f(1) = 0
f(1) = 1 – (a-b) – 1 + b + 1 = 0= -a + 2b + 1 = 0= -a + 2b = -1 .......(1)
gradien garis x + y = -1 y = - x - 1 didapat gradien=m = -1
karena kurva dan garis bersinggungan maka gradien kurva :
gradien kurva = gradien garis = -1
f(x) = x3 – (a - b) x2 - x + b + 1m = ( ) =3x2 – 2 (a - b) x - 1 dengan nilai x = 2 ( titik (2,3) )
-1 = 3 . 4 – 2 (a – b). 2 – 1-1 = 12 – 4a + 4b – 1
4a – 4b = 12a – b = 3 ......(2)
substitusi (1) dan (2)
-a + 2b = -1a – b = 3 +
b = 2
maka a = 5
Jawabannya adalah E
15. Diketahui L(x) adalah luas segitiga ABO seperti pada gambar berikut. Jika cos = x, dan0 ≤ ≤ , maka L(x) maksimum untuk nilai adalah .......
yx2 + y2 = 1
B A(x,y)
0 x
A. 150 B. 300 C. 450 D. 600 E. 750
www.belajar-matematika.com - 12
Jawab:
Differensial:
Luas segitiga ABO = 2 . (x. y) = x . y
y2 = 1 – x2 y = √1 − ( jari-jari lingkaran = AO = BO = 1)
sehingga Luas segitiga ABO = x . √1 − = √ − = ( − )L(x) maksimum = 0
= ( − ) (2x – 4x3) = ( )√ = 0
2x – 4x3 = 02x(1 – 2x2) = 02x = 0 atau 2x2 = 1
x = 0 (tidak berlaku) atau x2= x =
= √√ = √2cos = x = √2
= 450
Jawabannya adalah C