Latihan soal halaman 71-72 Latihan soal halaman 73 Latihan soal halamn 77-78
Latihan soal halaman
Dosen pengasuh :1. Dra. Nyimas Aisyah, M.Pd.
2. Scristia, M.Pd.
Latihan Soal Halaman 71-72
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH
Tentukan jarak titik D ke bidang ACH !
Penyelesaian :
Diketahui : Panjang rusuk kubus = a cm
Ditanya : DK …?
Jawab :
Perhatikan Sketsa jarak titik D ke bidang ACH, maka jarak D ke bidang ACH adalah panjang
DK
Langkah mencari DK , adalah
Mencari panjang HO, sebagai berikut :
HO=√HD2+DO2
HO=√a2+ 12
a2
HO=√ 32
a2
A B CD
E FGH
A BCD
E FGH
KD
O D B
FH
O●K?
HO=a√ 32
HO=a √3√2
× √2√2
HO=12
a√6
Mencari panjang DO, yaitu :
DO=12
DB
DO=12 √AB2+ AD2
DO=12 √a2+a2
DO=12 √2a2
DO=12
a√2
Mencari luas segitiga HDO, yaitu :
L∆ HDO=12
×alas× tinggi
L∆ HDO=12
×DO× HD
L∆ HDO=12
× 12
a √2 ×a
L∆ HDO=14
a2√2
Berdasarkan hasil luas tersebut, maka panjang DK adalah
12
×alas×tinggi=L∆ HDO
12
×HO× DK=L∆HDO
12
× 12
a√6× DK=14
a2
√2
14
a√6× DK=14
a2
√2
DK=
14
a2 √2
14
a√6
DK=a √2√6
× √6√6
DK=13
a√3
Jadi, jarak dari titik D ke bidang ACH adalah 13
a√3cm.
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C ke
bidang AFH , maka jarak titik A ke S adalah ...
Penyelesaian :
Diketahui : Panjang rusuk = a cm
Sketsa jarak titik A ke titik S pada kubus ABCD.EFGH
Ditanya : AS …?
Jawab :
pandanglah segitiga APC, maka
A BCD
E FGH
Mencari panjang AC, yaitu :
AC=√AB2+BC 2
AC=√a2+a2
AC=√2a2
AC=a√2
AC=EG=a√2
Maka EP=12
EG=¿ 12
a√2 ¿
Mencari panjang AP, yaitu :
AP=√ AE2+EP2
AP=√a2+(12
a√2)2
AP=√a2+ 12
a2
AP=a√ 32
AP=a √3√2
× √2√2
AP=12
a√6
AP=PC=12
a√6
Perhatikan ∆ APC , maka
cos α= AP2+ AC 2−PC2
2 ( AP )(AC )
cos α=( 12
a√6)2
+¿¿¿
P
CA
S
Oα
cos α= 2a2
2a2 √3
cos α= 1√3
× √3√3
cos α=13 √3
Perhatikan ∆ ASC yaitu segitiga siku-siku, maka berlaku :
cos α= ASAC
13 √3 ¿
ASa√2
AS=13
a√6
Jadi, jarak titik A ke titik S adalah 13
a√6 cm.
Latihan Soal Halaman 73
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan penjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak AF ke bidang
CDHG!
Penyelesaian :
Garis AF dan bidang CDHG adalah sebuah garis dan bidang yang saling sejajar, maka jarak
antara garis AF dan bidang CDHG dapat diwakilkan oleh ruas garis AD atau FG , sehingga
jarak yang dimaksud adalah 6 cm.
2. T.ABC adalah bidang empat beraturan dengan AB = 16. Jika P dan Q masing-masing
pertengahan TA dan BC, maka tentukan PQ !
Penyelesaian :
A BCD
E FGH
Sketsa soal :
Diketahui :
AB=16cm
TA=PA=BQ=QC=8cm
Ditanya : PQ …?
Jawab :
Langkah mencari panjang PQ, adalah
Mencari panjang AQ
Perhatikan ∆ ABC merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60 °.
Adapun garis AQ adalah garis bagi , karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama
jauh dari AB dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :
Karena garis AQ tegak lurus terhadap garis BC, maka pada ∆ AQC berlaku:
AQ=√AC 2−QC2
AQ=√162−82
AQ=√256−64
AQ=√192
Mencari panjang TQ
T
AB
CP
Q
A C
B
Q
16
60ᴼ
Garis bagi
Perhatikan ∆ BCT merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60 °.
Adapun garis TQ adalah garis bagi, karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama
jauh dari AB dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :
Karena garis AQ tegak lurus terhadap garis BC, maka pada ∆ AQC berlaku:
TQ=√TB2−BQ2
TQ=√162−82
TQ=√256−64
TQ=√192
Perhatikan ∆ ATQ, karena AQ=TQ maka ∆ ATQ adalah segitiga samakaki. Adapun karena
garis PQ membagi garis TA menjadi dua sama panjang maka garis PQ pasti tegak lurus
terhadap garis TA, sehingga sketsanya sebagai berikut :
Berdasarkan sketsa gambar di atas, maka jelas panjang PQ adalah
PQ=√TQ2−TP2
PQ=√√1922−82
PQ=√192−64
PQ=√128
B Q
= =
8
16
60ᴼ
30ᴼ
30ᴼ
90ᴼ
90ᴼ
T
C
Garis Bagi
T P
= =
8Xᴼ
Xᴼ
90ᴼ-X
90ᴼ-X
90ᴼ
90ᴼ
Q
A
Garis Bagi
192
PQ=8√2
Jadi, jarak antara titik P dan titik Q adalah 8√2 cm.
3. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan panjang AB =10 dengan titik P dan Q
masing-masing merupakan titik tengah dari BA dan DC. Hitunglah jarak AB ke CD !
Penyelesaian :
Diketahui :
AB=10
BP=AP=DQ=SQ=5
Ditanya : Jarak garis AB ke garis CD?
Jawab :
Sketsa :
Berdasarkan sketsa di atas maka jelas bahwa garis AB dan garis DC adalah dua garis yang
bersilangan. Adapun jarak dari dua garis bersilangan adalah jarak terpendek dari salah-satu
titik yang terdapat pada masing-masing garis tersebut, dimana titik tersebut saling tegak lurus
terhadap garis penyilangnya. Sebagaimana telah diketahui pada soal no 2 bahwa pada bidang
empat beraturan berlaku titik tengah suatu garis pelukisnya (pada soal garis DC) tegak lurus
dengan garis pembentuk alas di depannya (pada soalgaris AB) pada titik tengah garis tersebut.
Maka dapat kita simpulkan bahwa jarak antara garis DC dan garis AB adalah jarak antara titik
tengah DC yaitu titik P dengan titik tengah AB yaitu titik Q.
Langkah mencari panjang PQ, yaitu :
Perhatikan ∆CPQ adalah seditiga siku-siku di titik P.
D
CB
A
P
Q
Mencari panjang CQ
Perhatikan ∆ A CB merupakan segitiga samasisi, maka sudut tiap titik sudutnya adalah 60 °.
Adapun garis CQ adalah garis bagi, karena terdapat titik pada garis AQ yang letaknya sama
jauh dari BC dan AC, maka sketsa gambarnya adalah sebagai berikut :
Karena garis CQ tegak lurus terhadap garis AB, maka pada ∆ AQC berlaku:
CQ=√ AC2−QC2
CQ=√102−52
CQ=√100−25
CQ=√75
CQ=5√3
Maka panjang PQ adalah
PQ=√CQ2−CP2
PQ=√(5√3)2−52
PQ=√75−25
PQ=√50
PQ=5√2
Jadi, jarak antara garis AB ke garis CD adalah 5√2 cm.
Latihan Soal Halaman 77-78
Q
CP
A Q= =
5
10
60ᴼ
30ᴼ
30ᴼ
90ᴼ
90ᴼ
C
B
Garis Bagi
1.
2. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm.
a. Carilah jarak antara garis PU dengan bidang RSWP
b. Carilah jarak antara garis UW dengan bidang PQRS
Penyelesaian :
a) Jarak antara PU dengan bidang RSWP
Sketsa garis PU pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm
Berdasarkan gambar di atas, maka Garis PU dan bidang RSWP adalah sebuah garis dan
bidang yang saling sejajar, maka jarak antara garis PU dan bidang RSWP dapat diwakilkan
oleh ruas garis PS atau UV , sehingga jarak yang dimaksud adalah 6 cm.
b) Jarak antara garis UW dengan bidang PQRS
Sketsa garis UW pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm
Berdasarkan gambar di atas, maka Garis UW dan bidang PQRS adalah sebuah garis dan
bidang yang saling sejajar, maka jarak antara garis UW dan bidang PQRS dapat diwakilkan
oleh ruas garis SW atau QU , sehingga jarak yang dimaksud adalah 6 cm.
3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik
tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang BDHF !
P QRS
T UVW
P QRS
T UVW
Penyelesaian :
Diketahui :
Panjang rusuk kubus = 10
Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah FG dan HG.
Ditanya : jarak garis PQ ke bidang BDHF ?
Jawab :
Sketsa soal :
Berdasarkan sketsa di atas maka jarak dari garis PQ ke bidang BDHF adalah panjang garis
PK atau garis QL.
Mencari panjang PQ, yaitu :
PQ=√PG2+GQ2
PQ=√52+52
P Q=√25+25
PQ=√50
PQ=5√2
Mencari panjang HF , yaitu :
HF=√EH 2+EF2
HF=√102+102
HF=√100+100
HF=√200
HF=10√2
Mencari panjang HK, panjang KL, dan panjang LF,yaitu :
perhatikan trafesium PQHF berdasarkan gambar maka, trafesium PQHF adalah trafesium
beraturan sama kaki, sehingga sketsanya adalah
A BCD
E FGH == 5P
QK L
Sehingga PQ=KL=5√ 2
HK=LF=12(HF−KL)
HK=LF=12(10√2−5√2)
HK=LF=12
(5√2 )
HK=LF=52 √2
Mencari panjang garis PK atau garis QL,
PK=QL=√HP2−HK2
PK=QL=√52−(52 √2)
2
PK=QL=√25−252
PK=QL=√ 252
PK=QL= 5√2
× √2√2
PK=QL=52 √2
Jadi jarak garis PQ ke bidang BDHF adalah 52 √2 cm
4. Sebuah kubus dengan rusuk a cm. Bidang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF,
CG dan DH.
a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG
b. Carilah jarak antara bidang BDE dan bidang CFH
Penyelesaian :
P
LK F
Q
H
5
25
vv
a. Sketsa bidang ACH dan bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH.
Adapun untuk mencari jarak antara bidang ACH dan bidang BEG dapat diketahui dengan
memfokuskan perhatian pada bidang diagonal DBFH. Adapun sketsa pola pada bidang
diagonal DBFH adalah
Berdasarkan sketsa di atas jelas bahwa jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah
panjang garis KM dalam hal ini adalah tinggi dari suatu jajargendang dengan alas HO.
Mencari panjang garis KM, langkahnya :
Mencari panjang OB
OB=12
DB
OB=12
DB=12 √ AB2+ AD2
OB=12
DB=12 √a2+a2
OB=12
DB=12 √2 a2
A BCD
E FGH K
O
MK FH
O BD
OB=12
DB=a2 √2
Mencari panjang HO
HO=√HD2+DO2
HO=√a2+( a2 √2)
2
HO=√a2+ a2
2
HO=a√ 32
HO=a √3√2
× √2√2
HO=12
a√6
Mencari Luas jajargenjang HOBK
Ljajargenjang HOBK=alas ×tinggi
Ljajargenjang HOBK=OB× OK
Ljajargenjang HOBK=OB× OK
L jajargenjang HOBK=a2 √2×a
Ljajargenjang HOBK=a2
2 √2
Berdasarkan Luas jajargenjang HOBK , maka dapat dicari panjang garis KM, yaitu :
Ljajargenjang HOBK=alas ×tinggi
Ljajargenjang HOBK=HO× KM
a2
2 √2=12
a √6×KM
KM=
a2√22
a√62
KM=a√2√6
KM=a√2√6
× √6√6
KM=13
a√3
Jadi, jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah 13
a√3 cm
b. Sketsa bidang BDE dan bidang CFH pada kubus ABCD.EFGH
Adapun untuk mencari jarak antara bidang BDE dan bidang CFH dapat diketahui dengan
memfokuskan perhatian pada bidang diagonal ACGE. Adapun sketsa pola pada bidang
diagonal ACGE adalah
Berdasarkan sketsa di atas jelas bahwa jarak antara bidang BDE dan bidang CFH adalah
panjang garis KM dalam hal ini adalah tinggi dari suatu jajar gendang dengan alas HO.
Mencari panjang garis KM, langkahnya :
Mencari panjang OC
OC=12
AC
OC=12
AC=12 √AB2+BC 2
OC=12
AC=12 √a2+a2
OC=12
AC=12 √2a2
MK GE
O CA
OC=12
AC=a2 √2
Mencari panjang EO
EO=√ EA2+ AO2
E O=√a2+( a2 √2)
2
E O=√a2+ a2
2
E O=a√ 32
E O=a √3√2
× √2√2
E O=12
a√6
Mencari Luas jajargenjang OCKE
Ljajargenjang OCKE=alas ×tinggi
Ljajargenjang OCKE=OC ×OK
Ljajargenjang OCKE=OC ×OK
Ljajargenjang OCKE=a2 √2 ×a
Ljajargenjang OCKE=a2
2 √2
Berdasarkan Luas jajargenjang OCKE , maka dapat dicari panjang garis KM, yaitu :
Ljajargenjang OCKE=alas ×tinggi
Ljajargenjang OCKE=EO× KM
a2
2 √2=12
a √6×KM
KM=
a2√22
a√62
KM=a√2√6
KM=a√2√6
× √6√6
KM=13
a√3
Jadi, jarak antara bidang BDE dan bidang CFH adalah 13
a√3 cm
5. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT,QU, RV dan SW.
Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm. Hitunglah jarak antara rusuk VW dan bidang
diagonal RSTU!
Penyelesaian :
Diketahui : panjang rusuk kubus = 12 cm
Ditanya : jarak antara rusuk VW dan bidang diagonal RSTU?
Jawab :
Sketsa kubus PQRS.TUVW
Berdasarkan sketsa di atas, maka dapat disimpulkan bahwa jarak antara garis VW dan bidang
RSTU dapat diwakilkan oleh panjang garis VM, adapun langkah mencari panjang garis VM
adalah sebagai berikut:
Perhatikan ∆ RUV
Berdasarkan gambar segitiga tersebut, kita ketahui bahwa ∆ RUV adalah segitiga siku-siku
samakaki, sedangkan garis VM merupakan tinggi dari segitiga tersebut, sehingga langkah
mencari panjang garis VM, adalah :
Mencari panjang UR
P QRS
T VW12
UM
UM
RV
12
12
UR=√UV +VR2
UR=√122+122
UR=√2×122
UR=12√2
Mencari luas ∆ RUV , yaitu
L∆ RUV=12
×alas× tinggi
L∆ RUV=12
×VR×UV
L∆ RUV=12
× 12× 12
L∆ RUV=12
× 12× 12
L∆ RUV=72
Mencari panjang VM
L∆ RUV=12
×alas× tinggi
72=12
× 12√2×VM
72=6 √2×VM
VM= 726√2
VM= 12√2
× √2√2
VM=6√2
Jadi, jarak antara garis VW dan bidang diagonal RSTU adalah 6√2 cm .
6. Perhatikan gambar di bawah ini ! AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Hitunglah jarak A
ke bidang TBC!
Penyelesaian:
TABC
5
Diketahui :
AT, AB dan AC saling tegak lurus di A
AT=5
AB=5
AC=5
Ditanya : jarak titik A ke bidang TBC?
Jawab :
Berdasarkan gambar tersebut maka dapat diketahui bahwa jarak titik A ke bidang TBC adalah
panjang AD. Adapun langkah mencari panjang AD adalah sebagai berikut :
Mencari panjang BC
Pandang ∆ ABC , karena segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku di titik A, maka
BC=√ AB2+ AC 2
BC=√52+52
BC=√2×52
BC=5√2
BE=EC=12
BC
BE=EC=5√22
Mencari panjang AE
AE=√ AB2−BE2
AE=√52−(5√22
)2
AE=√25−(252
)
AE=√ 252
T
A
B
C5 D
E
AE=¿ 5√22
Mencari panjang TE
TE=√AT 2+ AE2
AE=√52+( 5√22
)2
TE=√25+(252
)
TE=√ 752
TE=√ 752
TE=5√ 32
TE=5 √3√2
× √2√2
TE=52 √6
Perhatikan ∆TAE
Mencari luas ∆TAE, yaitu
L∆TAE=12
×alas ×tinggi
L∆TAE=12
× AE×TA
L∆TAE=12
× 5√22
× 5
L∆TAE=254 √2
D
AE
T5
2 25
2 65
Mencari panjang garis AD
L∆TAE=12
×alas ×tinggi
254 √2=1
2×TE × AD
254 √2=1
2× 5
2 √6× AD
254 √2=5
4 √6× AD
AD=
25√24
5√64
AD=5 √2√6
× √6√6
AD=5 √126
AD=5 √33
Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah 5√33
cm.