Smart Solution
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 201
5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.
Turunan Fungsi
Definisi
πβ²(π₯) = limββ0
π(π₯ + β) β π(π₯)
β
dengan catatan limit ini ada
Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri π(π₯) = π
β πβ²(π₯) = 0
π(π₯) = ππ₯π β πβ²(π₯) = π. ππ₯πβ1
Sifat: π(π₯) = ππ’
β πβ²(π₯) = ππ’β²
π(π₯) = π’ Β± π£ β πβ²(π₯) = π’β² Β± π£β²
π(π₯) = π’ β π£ β πβ²(π₯) = π’β²π£ + π’π£β²
π(π₯) =π’π£
β πβ²(π₯) =
π’β²π£βπ’π£β²
π£2
π(π₯) = π(π’) β πβ²(π₯) = πβ²(π’) β π’β²
Aplikasi Turunan Fungsi
Gradien Garis Singgung Kurva π¦ = π(π₯) di titik π₯ = π
π = πβ²(π)
Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.
Grafik Fungsi π Grafik Fungsi π Grafik Fungsi π Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun πβ²(π) > 0 πβ²(π) = 0 πβ²(π) < 0
Titik dimana grafik fungsi π tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.
Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum βnaik β stasioner β naikβ βnaik β stasioner β turunβ atau βturun β stasioner β naikβ βturun β stasioner β turunβ
π¬π’π§πππ¨π¬π
βπ¬π’π§πβππ¨π¬π
π(π₯) = tan π₯
β πβ²(π₯) = sec2 π₯
π(π₯) = cot π₯ β πβ²(π₯) = βcsc2 π₯
π(π₯) = sec π₯ β πβ²(π₯) = sec π₯ tan π₯
π(π₯) = csc π₯ β πβ²(π₯) = βcscπ₯ cot π₯
Simbol
πβ²(π₯) = π¦β² =ππ¦
ππ₯=π
ππ₯(π(π₯))
Persamaan Garis Singgung di titik (π₯1, π¦1)
π¦ β π¦1 = π(π₯ β π₯1)
Halaman 202 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar. Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
π(π) = πππ β πβ²(π) = π β πππβπ
π β πππ π β πππβπ
Proses mencari turunan fungsi ππ₯π:
1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 203
LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:
π¬π’π§ πππ¨π¬ π
βπ¬π’π§ πβππ¨π¬ π
π¦ = sin π₯ β π¦β² = cos π₯
π¦ = cos π₯ β π¦β² = βsin π₯
π¦ = βsin π₯ β π¦β² = βcos π₯
π¦ = βcos π₯ β π¦β² = sin π₯
Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus.
KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:
π¦ =π’
π£ β π¦β² =
π’β²π£ β π’π£β²
π£2
Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan π₯?
β π¦ = tanπ₯ =sinπ₯
cos π₯ β
π’ = sin π₯ β π’β² = cos π₯π£ = cos π₯ β π£β² = βsin π₯
β π¦β² =π’β²π£ β π’π£β²
π£2=cos π₯ cos π₯ β sin π₯ (β sin π₯)
cos2 π₯=cos2 π₯ + sin2 π₯
cos2 π₯=
1
cos2 π₯= sec2 π₯
Jadi, π¦ = tan π₯ β π¦β² = sec2 π₯.
Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot π₯ , sec π₯ , dan csc π₯ menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!
LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.
π = πππ§ππ = ππ¨πππ = π¬ππ ππ = ππ¬π π
} β
turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif
fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga
πππ§ π dan ππ¨π π turunannya kembar
β tan π₯ cot π₯ sec π₯ csc π₯ β‘π β‘π Tips membaca LOGIKA PRAKTIS: Turunannya tan π₯ adalah sec2 π₯. Turunannya sec π₯ adalah sec π₯ tan π₯
Turunannya cot π₯ adalah β csc2 π₯. Turunannya csc π₯ adalah βcsc π₯ cot π₯ β‘π
Cara membacanya: π¦ = tan π₯
β π¦β² = sec2 π₯
π¦ = cot π₯ β π¦β² = βcsc2 π₯
π¦ = sec π₯ β π¦β² = sec π₯ tan π₯
π¦ = csc π₯ β π¦β² = βcsc π₯ cot π₯
Halaman 204 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva π(π₯) Tentukan turunan π(π₯) yaitu πβ²(π₯) Persamaan Garis Lurus melewati titik (π₯1, π¦1) Gradien Garis Singgung Kurva dengan gradien π di π₯ = π adalah adalah: π = πβ²(π) π¦ β π¦1 = π(π₯ β π₯1) Gradien Garis Singgung Kurva π(π₯) di titik (π₯1, π¦1) dengan gradien π adalah: (π¦ β π¦1) = π(π₯ β π₯1)
Contoh Soal:
Diketahui β adalah garis singgung kurva π¦ = π₯3 β 4π₯2 + 2π₯ β 3 pada titik (1, β4). Titik potong garis β dengan sumbu X adalah β¦.
a. (β3,0) b. (β2,0) c. (β1,0)
d. (β1
2, 0)
e. (β1
3, 0)
Pembahasan:
Diketahui kurva π(π₯) yaitu: π(π₯) = π₯3 β 4π₯2 + 2π₯ β 3 β πβ²(π₯) = 3π₯2 β 8π₯ + 2
Gradien garis singgung kurva di π₯ = 1 adalah:
π = πβ²(π₯) β π = πβ²(1)
= 3(1)2 β 8(1) + 2= 3 β 8 + 2= β3
Persamaan garis singgung kurva di titik (1, β4) dengan gradien π = β3 adalah:
π¦ β π¦1 = π(π₯ β π₯1) β π¦ β (β4) = β3(π₯ β 1)β π¦ + 4 = β3π₯ + 3β π¦ = β3π₯ + 3 β 4β π¦ = β3π₯ β 1
Jadi garis β adalah π¦ = β3π₯ β 1. Titik potong garis β terhadap sumbu X terjadi saat π¦ = 0, sehingga:
π¦ = 0 β 0 = β3π₯ β 1β 3π₯ = β1
β π₯ = β1
3
Jadi, titik potong garis β terhadap sumbu X adalah (β1
3, 0).
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 205
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.
Hubungan antara Jarak (π), Kecepatan (π), dan Percepatan (π). *)
Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:
π
π
π Contoh Soal 1:
Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi β meter setelah π‘ detik dirumuskan dengan β(π‘) = 120π‘ β 5π‘2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah β¦. meter.
a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah β(π‘). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah π£(π‘). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
π£(π‘) =π
ππ‘(β(π‘)) β π£(π‘) =
π
ππ‘(120π‘ β 5π‘2)
β΄ π£(π‘) = 120 β 10π‘
Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.
π£(π‘) = 0 β 120 β 10π‘ = 0β β10π‘ = β120
β π‘ =β120
β10β΄ π‘ = 12 s
Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat π‘ = 12 s, yaitu
β(π‘) = 120π‘ β 5π‘2 β β(2) = 120(12) β 5(12)2
= 1440 β 720= 720 m
Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.
Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini:
Fungsi π£ adalah turunan dari fungsi π . atau dinotasikan π£ =ππ
ππ‘= π β²(π‘)
Fungsi π adalah turunan dari fungsi π£. atau dinotasikan π =ππ£
ππ‘= π£β²(π‘)
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak (http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)
turun
turun
Halaman 206 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu π‘ diberikan oleh fungsi π (π‘) =1
4π‘4 β
3
2π‘3 β 6π‘2 + 5π‘.
Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat π‘ = β¦. detik
a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1
Pembahasan:
Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah π (π‘). Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah π£(π‘). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:
π£(π‘) =π
ππ‘(π (π‘)) β π£(π‘) =
π
ππ‘(1
4π‘4 β
3
2π‘3 β 6π‘2 + 5π‘)
β΄ π£(π‘) = π‘3 β9
2π‘2 β 12π‘ + 5
Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (π(π‘) = 0).
π(π‘) =π
ππ‘(π£(π‘)) β π(π‘) =
π
ππ‘(π‘3 β
9
2π‘2 β 12π‘ + 5)
β΄ π(π‘) = 3π‘2 β 9π‘ β 12
Sehingga, π(π‘) = 0 β 3π‘2 β 9π‘ β 12 = 0 (ππππππ 3)
β π‘2 β 3π‘ β 4 = 0β (π‘ + 1)(π‘ β 4) = 0pembuat nol
β π‘ + 1 = 0 atau π‘ β 4 = 0β π‘ = β1 βatau β π‘ = 4
TM
Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk π‘ = β1 adalah TM (tidak memenuhi). Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat π‘ = 4 detik.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 207
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva π(π₯) Tentukan turunan π(π₯) yaitu πβ²(π₯) Periksa nilai πβ²(π₯) pada interval [π, π] πβ²(π₯) > 0 β Fungsi π naik πβ²(π₯) < 0 β Fungsi π turun
βFungsi Naikβ βFungsi Turunβ
Contoh Soal:
Grafik dari π(π₯) =2
3π₯3 β π₯2 β 12π₯ + 20 naik untuk interval β¦.
a. 3 < π₯ < β2 b. β2 < π₯ < 3 c. π₯ < β2 atau π₯ > 3 d. π₯ < 2 atau π₯ > β3 e. π₯ < β3 atau π₯ > β2
Pembahasan:
Naik atau turunnya grafik fungsi π(π₯) dapat dilihat dari nilai πβ²(π₯).
π(π₯) =2
3π₯3 β π₯2 β 12π₯ + 20 β πβ²(π₯) = 2π₯ β 2π₯ β 12
Fungsi π(π₯) naik apabila πβ²(π₯) > 0. Sehingga,
πβ²(π₯) = 0 β 2π₯ β 2π₯ β 12 > 0 (ππππππ 2)
β π₯2 β π₯ β 6 > 0β (π₯ + 2)(π₯ β 3) > 0pembuat nol
β π₯ + 2 = 0 atau π₯ β 3 = 0β π₯ = β2 βatau β π₯ = 3
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
Jadi grafik fungsi π(π₯) akan naik dalam interval π₯ < β2 atau π₯ > 3.
3 β2
β + +
π π πβ²(π₯)
+
π π πβ²(π₯)
β
Halaman 208 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner).
Kurva π(π₯) Tentukan turunan π(π₯) yaitu πβ²(π₯) Periksa nilai πβ²(π₯) pada π₯ = π πβ²(π) β 0 β Fungsi π naik atau turun πβ²(π) = 0 β Fungsi π stasioner Menentukan jenis titik stasioner grafik fungsi π(π) Metode grafis Metode analitis (Uji turunan pertama) (Uji turunan kedua) titik titik maksimum minimum
stasioner naik turun naik stasioner
titik belok
turun naik stasioner stasioner turun naik stasioner
TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:
Perhatikan Grafik Fungsi π(π₯) = sinπ₯, 0Β° β€ π₯ β€ 360Β°
TIPS Mengingat Titik Belok:
Perhatikan Grafik Fungsi π(π₯) = cosπ₯, 0Β° β€ π₯ β€ 360Β°
π π πβ²(π₯)
β + +
π π πβ²(π₯)
β β + +
π
πβ²β²(π) < 0 πβ²β²(π) = 0 πβ²β²(π) > 0 Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum
360Β°
360Β°
cos π₯
sin π₯ πππ
πππ
πππππ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 209
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). Nilai maksimum atau minimum fungsi π(π₯) pada interval π β€ π₯ β€ π Tentukan nilai π(π₯) pada ujung interval Tentukan nilai stasioner π(π₯) π(π) dan π(π) (Jika ada)
Pilih nilai terbesar nilai maksimum Pilih nilai terkecil nilai minimum
Contoh Soal:
Nilai maksimum dari fungsi π(π₯) =1
3π₯3 β
3
2π₯2 + 2π₯ + 9 pada interval ββ€ π₯ β€ 3 adalah β¦.
a. 92
3
b. 95
6
c. 10
d. 101
2
e. 102
3
Pembahasan:
Nilai π(π₯) pada ujung interval 0 β€ π₯ β€ 3.
π₯ = 0 β π(0) =1
3(0)3 β
3
2(0)2 + 2(0) + 9 = 9
π₯ = 3 β π(0) =1
3(3)3 β
3
2(3)2 + 2(3) + 9 = 9
Fungsi π(π₯) stasioner saat πβ²(π₯) = 0.
π(π₯) =1
3π₯3 β
3
2π₯2 + 2π₯ + 9 β πβ²(π₯) = π₯2 β 3π₯ + 2
πβ²(π₯) = 0 β π₯2 β 3π₯ + 2 = 0
β (π₯ β 1)(π₯ β 2) = 0β π₯ β 1 = 0 atau π₯ β 2 = 0β π₯ = 1 atau π₯ = 2
Sehingga, dari sketsa kurva π(π₯) pada interval 0 β€ π₯ β€ 3 terlihat bahwa: π(π₯) maksimum di titik π₯ = 1 atau mungkin maksimum di π₯ = 3 dan π(π₯) minimum di π₯ = 2.
Periksa dulu apakah π(π₯) maksimum di π₯ = 1 atau di π₯ = 3 dengan membandingkan nilai π(π₯) pada kedua titik tersebut.
π₯ = 1 β π(0) =1
3(1)3 β
3
2(1)2 + 2(1) + 9 = 9
5
6
π₯ = 3 β π(0) =1
3(3)3 β
3
2(3)2 + 2(3) + 9 = 9
Jadi nilai maksimum π(π₯) adalah 95
6.
1 2 πβ²(π₯)
β + +
Halaman 210 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
Koordinat titik π = (1
2π,1
2π)
Luas maksimum πΏ =1
4ππ
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
Koordinat titik π = (1
2
πΆ
π΄ ,1
2
πΆ
π΅)
Luas maksimum πΏ =1
4
πΆ2
π΄π΅
Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi.
π = π π = π
} πΏ = π Γ β = π Γ π = π 2
Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut: Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi Periksa keadaan stasioner fungsi Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi iniβ¦.
X
Y
π
π
π(1
2π,1
2π)
X
Y
πΆ
π΄
π΄π₯ + π΅π¦ = πΆ πΆ
π΅
π(1
2
πΆ
π΄,1
2
πΆ
π΅)
β
π
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 211
Contoh Soal:
Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila koordinat M adalah β¦.
a. (2, 5) b. (3, 4) c. (3, 5) d. (4, 3) e. (5, 3)
Pembahasan:
Persamaan garis lurus yang melewati titik (8, 0) dan (0, 6) adalah: 6π₯ + 8π¦ = 48
Misal koordinat π adalah (π₯, π¦). Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang π₯ dan lebar π¦. Panjang = π₯ Lebar = π¦, dari persamaan 6π₯ + 8π¦ = 48 β 8π¦ = 48 β 6π₯
β π¦ =48β6π₯
8
β π¦ = 6 β3
4π₯
Jadi luas persegi panjang adalah:
πΏ = π Γ β
= π₯ (6 β3
4π₯)
= 6π₯ β3
4π₯2
πΏ = 6π₯ β3
4π₯2 β πΏβ² = 6 β
3
2π₯
Luas persegi panjang akan maksimum jika πΏβ² = 0
πΏβ² = 0 β 6 β3
2π₯ = 0
β β3
2π₯ = β6
β π₯ =β6
β32
β π₯ = β6 Γ (β2
3)
β π₯ = 4
Substitusikan π₯ = 4 ke π¦ = 6 β3
4π₯ diperoleh:
π¦ = 6 β3
4(4) = 6 β 3 = 3
Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat π = (4, 3)
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Agar luas daerah arsir maksimum, maka:
Koordinat titik π = (1
2π,1
2π)
Luas maksimum πΏ =1
4ππ
Karena π = 8 dan π = 6, dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat π = (4, 3).
X
Y
8
6
π
X
Y
π
π
π(1
2π,1
2π)
Halaman 212 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya )2484( 2 xx dalam ribu rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
A. Rp16.000,00
B. Rp32.000,00
C. Rp48.000,00
D. Rp52.000,00
E. Rp64.000,00
2. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 30105 2 xx dalam ribuan rupiah untuk
tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan
maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....
A. Rp10.000,00
B. Rp20.000,00
C. Rp30.000,00
D. Rp40.000,00
E. Rp50.000,00
Jika adik-adik butuh βbocoranβ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
π(π₯) = 40π₯ β (4π₯2 β 8π₯ + 24)π₯ = β4π₯3 + 8π₯2 + 16π₯ π(π₯)akan maksimum untuk π₯ yang memenuhi πβ²(π₯) = 0 β πβ²(π₯) = 0
β β12π₯2 + 16π₯ + 16 = 0 (dibagi β 4)
β 3π₯2 β 4π₯ β 4 = 0β (3π₯ + 2)(π₯ β 2) = 0
β π₯ = β2
3 atau π₯ = 2
Karena π₯ mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya π₯ = 2
Substitusikan π₯ = 2 ke π(π₯), diperoleh: π(π₯) = β4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)
= β32 + 32 + 32 = 32
π(π₯) = 50π₯ β (5π₯2 β 10π₯ + 30)π₯ = β5π₯3 + 10π₯2 + 20π₯ π(π₯)akan maksimum untuk π₯ yang memenuhi πβ²(π₯) = 0 β πβ²(π₯) = 0
β β15π₯2 + 20π₯ + 20 = 0 (dibagi β 5)
β 3π₯2 β 4π₯ β 4 = 0β (3π₯ + 2)(π₯ β 2) = 0
β π₯ = β2
3 atau π₯ = 2
Karena π₯ mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya π₯ = 2
Substitusikan π₯ = 2 ke π(π₯), diperoleh: π(π₯) = β5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)
= β40 + 40 + 40 = Rp40