Download - Sistem Bilangan Kompleks
Dr. Indah Soesanti, S.T., M.T.
Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi
FT UGM
Bentuk umum Bilangan kompleks adalah:
z = x + y i
Atau dapat juga ditulis sebagai a + bi atau a + ib,
dengan a dan b bilangan real dan i2 = –1
Bilangan kompleks yang dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
Re
Im
)y,x(z
O
ArganBidangz
Bilangan kompleks dapat ditulis juga sebagai
a+jb, karena ‘I’ digunakan untuk arus.
Gambarkan secara grafis bilangan kompleks
berikut : x = 4 + j6
4 merupakan bilangan real positif
j6 merupakan bilangan imajiner positif
Bentuk umum bilangan kompleks juga dapat
ditulis dalam BENTUK POLAR
z = x + y i = r (cos + i sin )
Dengan
r2 = x2 + y2
x = r cos , y = r sin
Jika
Maka r2 = a2 + b2
dan
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis , maka kita dapat menuliskan z dalam persamaan EULER,
z = rei = r(cos + i sin )
dan sekawannya adalah re-i.
Bilangan kompleks z = x + y i, pasangan konjugasinya adalah z* = = x - y i.
Bilangan kompleks z = r (cos + i sin ) , pasangan konjugasinya adalah z* = r (cos - i sin ).
Bilangan kompleks z = r.ei, pasangan konjugasinya adalah z* =r.e-i
z
22)Im()Re(
)Im(2
)Re(2
z
zzzz
zzz
zzz
z
Contoh untuk
Jika menggunakan notasi standar
Penjumlahan:
Perkalian:
Jika z1 = 2- j3 dan z2 = 5+ j4
Berapa z1 + z2
Jawab :
z1 + z2 = (2-j3) + (5+j4)
= (2+5) +j(-3+4)
= 7+j
Jika z1 = 8+3i dan z2 = 9- 2i
Berapa z1 + z2 dan z1 z2
Pengurangan
Pembagian ditulis dalam bentuk pecahan,
kemudian kalikan baik pembilang maupun
penyebut dengan konjugasi penyebut
sehingga penyebut akan menjadi bilangan
real selanjutnya dijadikan bentuk x + y i.
Contoh: Jika z1 =2+i dan z2 =3+i maka z1 / z2 ??
(2 + i) : (3 + i) = i 3
i 2
x
i 3
i 3
=
22
2
i 3
i i 6
=
10
i 7 =
10
7 + i
10
1
Jika z1 = 2- j3 dan z2 = 5+ j4 Berapa z1 - z2
Jawab: z1 - z2 = (2-j3) - (5+j4) = (2-5) +j(-3-4) = -3-j7
z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1
(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3)
(z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3)
1. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1
(sifat komutatif)
2. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat assosiatif)
3. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3)
(sifat distributif)
Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z1/z2
Jawab:
a. 7+2i
b. -3+4i
c. 13+13i
d. (7/26) + (17/26)i
Ubahlah bentuk (1 + i)2 dalam bentuk r.ei
Jawab:
untuk z= 1 + i maka x=1 dan y=1
Ubahlah bentuk
ke dalam bentuk x + y i.
Jawab: 0,47 – 0,17i
)20sin i 20 (cos 2
1oo
)zIm()zIm(z
)zRe()zRe(z
zzz
zz
)zIm()zRe(z
2
222
2121
2121
2121
2
1
2
1
2121
zzzz
zzzz
zzzz
z
z
zz
zzzz
Merupakan persamaan yang
mengandung bilangan kompleks
Fungsi kompleks bermanfaat
dalam pemodelan beberapa
sistem real.
Contoh:
Tentukan harga x dan y jika: (x + y i )2 = 2 i
Ruas kiri:
(x + y i )2 = x 2 + 2 xy i - y 2
= x 2 - y 2 + 2 xy i
Komponen realnya adalah x 2 - y 2
Komponen imajinernya adalah 2 xy
Ruas kanan :
2 i = 0 + 2 i
Komponen realnya adalah 0
Komponen imajinernya adalah 2
Penyelesaian:
x 2 - y 2 = 0 dan 2 xy = 2
Dari persamaan pertama diperoleh:
x 2 = y 2 jadi x = y atau x=-y
Harga-harga ini dimasukkan ke dalam
persamaan kedua.
Untuk x = y :
2 xy = 2 2 y 2 = 2 y = + 1
Jadi penyelesaian akhirnya adalah:
x = y = +1
Jika bilangan kompleks z = r.ei maka pangkat
ke n dari z adalah
dan akar ke n dari z adalah:
zn
= n i e . r = r
n. e
i n = r
n . ( cos n + i sin n)
z n
1
= n
1
i e . r = r n
1
. e n i
= n r .
nsin i
n cos
Bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah
z = r(cos + i sin )
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1), z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli, z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) +
i sin (1 + 2+…+n)] . Maka jika, z = r(cos + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n)
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
[cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg 1-2 = arg z1 – arg z2.
)sini(cosr)sini(cosr
zz
222
111
2
1
2
1
2
1
rr
zz
2
1
zz
jika z = r(cos + i sin ),
maka:
Untuk:
Didapatkan
Dalil De-Moivre
nsinincosr
1
z
1
)sin(i)cos(r1
z1
nn
)nsin(i)ncos(r
1
z
1nn
)nsin(i)ncos(rz nn
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w
diperoleh:
n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r
dan n= +2k , k bulat.
Akibatnya dan
n1
wz
nr1
nk2
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar
berbeda yang memenuhi persamaan itu.
k = 0,1,2,3,…,(n-1)
nk2
nk2
nr1