Transcript
Page 1: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom,Molekul, dan Nanomaterial dengan

Metode Ikatan Terkuat

Ahmad Ridwan Tresna Nugraha (NIM: 10204001),Pembimbing: Sukirno, Ph.D

KK FisMatEl, Institut Teknologi Bandung

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 1 / 70

Page 2: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Daftar Isi

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 2 / 70

Page 3: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Sistematika

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 3 / 70

Page 4: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Latar Belakang dan Motivasi

Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.

Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.

Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.

Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70

Page 5: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Latar Belakang dan Motivasi

Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.

Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.

Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.

Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70

Page 6: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Latar Belakang dan Motivasi

Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.

Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.

Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.

Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70

Page 7: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Latar Belakang dan Motivasi

Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.

Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.

Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.

Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70

Page 8: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Metode dan Objek Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70

Page 9: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Metode dan Objek Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70

Page 10: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Metode dan Objek Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70

Page 11: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Metode dan Objek Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70

Page 12: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Model Atom KlasikSpektrum energi:

h

Panaskan gas atom-atombersifat seperti hidrogen

spektrum energi diskretdapat teramati

Pola emisi foton:

hν = E0Z2(

1n2 −

1m2

),n dan m bilangan bulat; En = −

(Z2

n2

)E0

Persamaan Schrodinger satu partikel:

i~∂Ψ(~r, t)∂t

= − ~2

2m∇2Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 6 / 70

Page 13: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Model Atom KlasikSpektrum energi:

h

Panaskan gas atom-atombersifat seperti hidrogen

spektrum energi diskretdapat teramati

Pola emisi foton:

hν = E0Z2(

1n2 −

1m2

),n dan m bilangan bulat; En = −

(Z2

n2

)E0

Persamaan Schrodinger satu partikel:

i~∂Ψ(~r, t)∂t

= − ~2

2m∇2Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 6 / 70

Page 14: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Model Atom KlasikSpektrum energi:

h

Panaskan gas atom-atombersifat seperti hidrogen

spektrum energi diskretdapat teramati

Pola emisi foton:

hν = E0Z2(

1n2 −

1m2

),n dan m bilangan bulat; En = −

(Z2

n2

)E0

Persamaan Schrodinger satu partikel:

i~∂Ψ(~r, t)∂t

= − ~2

2m∇2Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 6 / 70

Page 15: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Model Atom KlasikEnergi diskret untuk atom hidrogen (abaikan gerak inti masif):

U(~r) = − Ze2

4πε0rmaka tebakan solusinya:

Ψ(~r, t) = e−iEnt/~φnlm(~r)

Ze

En = −(

Z2

n2

)E0

rn =

(n2

Z

)a0

a0 = 4πε0~2/(me2) ≈ 0, 053 nm

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 7 / 70

Page 16: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Pentingnya Metode Numerik

Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.

Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron

I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.

Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born

n(x, t) =∑

i

Ψ∗i Ψi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70

Page 17: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Pentingnya Metode Numerik

Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.

Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron

I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.

Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born

n(x, t) =∑

i

Ψ∗i Ψi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70

Page 18: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Pentingnya Metode Numerik

Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.

Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron

I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.

Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born

n(x, t) =∑

i

Ψ∗i Ψi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70

Page 19: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pendahuluan

Pentingnya Metode Numerik

Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.

Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron

I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.

Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born

n(x, t) =∑

i

Ψ∗i Ψi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70

Page 20: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Sistematika

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 9 / 70

Page 21: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Kerangka Matriks Hamiltonian

Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.

Definisikan H ≡ − ~2

2m∇2 + U(~r):

i~∂

∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)

Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga

i~ddt

[ψ1 ψ2 . . .

]T= [H]

[ψ1 ψ2 . . .

]T

Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70

Page 22: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Kerangka Matriks Hamiltonian

Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.

Definisikan H ≡ − ~2

2m∇2 + U(~r):

i~∂

∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)

Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga

i~ddt

[ψ1 ψ2 . . .

]T= [H]

[ψ1 ψ2 . . .

]T

Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70

Page 23: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Kerangka Matriks Hamiltonian

Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.

Definisikan H ≡ − ~2

2m∇2 + U(~r):

i~∂

∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)

Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga

i~ddt

[ψ1 ψ2 . . .

]T= [H]

[ψ1 ψ2 . . .

]T

Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70

Page 24: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Kerangka Matriks Hamiltonian

Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.

Definisikan H ≡ − ~2

2m∇2 + U(~r):

i~∂

∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)

Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga

i~ddt

[ψ1 ψ2 . . .

]T= [H]

[ψ1 ψ2 . . .

]T

Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70

Page 25: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda HinggaTinjau sistem 1D:

xn = nan

x1 2 3 n−1 n n1 N...

a

Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik)[∂2Ψ

∂x2

]x=xn

=1a2 [Ψ(xn+1)− 2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)]

Potensial:[U(x)Ψ(x)]x=xn

= U(xn)Ψ(xn)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 11 / 70

Page 26: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda HinggaTinjau sistem 1D:

xn = nan

x1 2 3 n−1 n n1 N...

a

Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik)[∂2Ψ

∂x2

]x=xn

=1a2 [Ψ(xn+1)− 2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)]

Potensial:[U(x)Ψ(x)]x=xn

= U(xn)Ψ(xn)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 11 / 70

Page 27: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda HinggaTinjau sistem 1D:

xn = nan

x1 2 3 n−1 n n1 N...

a

Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik)[∂2Ψ

∂x2

]x=xn

=1a2 [Ψ(xn+1)− 2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)]

Potensial:[U(x)Ψ(x)]x=xn

= U(xn)Ψ(xn)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 11 / 70

Page 28: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda Hingga

Misalkan ~2/2ma2 = τ0 dan Un = U(xn), maka persamaanSchrodinger untuk ψn:

i~dψn

dt= [Hψ]x=xn = (Un + 2τ0)− τ0ψn−1 − τ0ψn+1

=∑

m

[(Un + 2τ0)δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1

]ψm

Bentuk matriks lengkap:

i~ddt{ψ(t)} = [H]{ψ(t)}

dengan

Hn,m = [Un + 2τ0]δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 12 / 70

Page 29: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda Hingga

Misalkan ~2/2ma2 = τ0 dan Un = U(xn), maka persamaanSchrodinger untuk ψn:

i~dψn

dt= [Hψ]x=xn = (Un + 2τ0)− τ0ψn−1 − τ0ψn+1

=∑

m

[(Un + 2τ0)δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1

]ψm

Bentuk matriks lengkap:

i~ddt{ψ(t)} = [H]{ψ(t)}

dengan

Hn,m = [Un + 2τ0]δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 12 / 70

Page 30: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda HinggaLebih eksplisit:

i~ddt

ψ1

ψ2...ψn...ψN

=

2τ0 + U1 −τ0 0 0 0 0−τ0 2τ0 + U2 −τ0 0 0 0

0 −τ0. . . . . . 0 0

0 0. . . . . . . . . 0

0 0 0. . . . . . −τ0

0 0 0 0 −τ0 2τ0 + UN

ψ1

ψ2...ψn...ψN

.

Reduksi parameter waktu:

[H]{α} = Eα{α}; Eα nilai eigen dari [H]

{ψ(t)} =∑α

cαe−iEαt/~{α}

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 13 / 70

Page 31: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda HinggaLebih eksplisit:

i~ddt

ψ1

ψ2...ψn...ψN

=

2τ0 + U1 −τ0 0 0 0 0−τ0 2τ0 + U2 −τ0 0 0 0

0 −τ0. . . . . . 0 0

0 0. . . . . . . . . 0

0 0 0. . . . . . −τ0

0 0 0 0 −τ0 2τ0 + UN

ψ1

ψ2...ψn...ψN

.

Reduksi parameter waktu:

[H]{α} = Eα{α}; Eα nilai eigen dari [H]

{ψ(t)} =∑α

cαe−iEαt/~{α}

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 13 / 70

Page 32: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda Hingga untuk 3D

Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].

Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.

Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.

Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.

Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)

U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70

Page 33: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda Hingga untuk 3D

Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].

Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.

Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.

Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.

Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)

U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70

Page 34: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda Hingga untuk 3D

Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].

Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.

Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.

Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.

Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)

U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70

Page 35: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda Hingga untuk 3D

Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].

Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.

Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.

Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.

Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)

U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70

Page 36: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Beda Hingga untuk 3D

Setiap fungsi X(x), Y(y), dan Z(z) merupakan solusi daripersamaan Schrodinger 1D yang saling bebas:

ExX(x) =

[− ~2

2md2

dx2 + Ux(x)

]X(x),

EyY(y) =

[− ~2

2md2

dy2 + Uy(y)

]Y(y),

EzZ(z) =

[− ~2

2md2

dz2 + Uz(x)

]Z(z)

dan energi total:E = Ex + Ey + Ez

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 15 / 70

Page 37: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Potensial Simetri BolaFungsi gelombang lengkap:

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =f (r)

rYm

l (θ, φ)

Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodingerradial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D:

Ef (r) =

[− ~2

2md2

dr2 +l(l + 1)~2

2mr2 + U(r)]

f (r)

l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), danseterusnyaFungsi Ym

l (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis:

Y00(θ, φ) =

√1

4π; Y0

1(θ, φ) =

√3

4π; Y±1

1 (θ, φ) = ±√

38π

sin θ[e±iφ] ; . . .

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 16 / 70

Page 38: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Potensial Simetri BolaFungsi gelombang lengkap:

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =f (r)

rYm

l (θ, φ)

Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodingerradial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D:

Ef (r) =

[− ~2

2md2

dr2 +l(l + 1)~2

2mr2 + U(r)]

f (r)

l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), danseterusnyaFungsi Ym

l (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis:

Y00(θ, φ) =

√1

4π; Y0

1(θ, φ) =

√3

4π; Y±1

1 (θ, φ) = ±√

38π

sin θ[e±iφ] ; . . .

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 16 / 70

Page 39: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Potensial Simetri BolaFungsi gelombang lengkap:

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =f (r)

rYm

l (θ, φ)

Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodingerradial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D:

Ef (r) =

[− ~2

2md2

dr2 +l(l + 1)~2

2mr2 + U(r)]

f (r)

l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), danseterusnyaFungsi Ym

l (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis:

Y00(θ, φ) =

√1

4π; Y0

1(θ, φ) =

√3

4π; Y±1

1 (θ, φ) = ±√

38π

sin θ[e±iφ] ; . . .

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 16 / 70

Page 40: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞

r=0

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1

∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ym

l |2 sin θdθdφ = 1

|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah

|f1s(r)|2 =4a3

0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =

r2

8a30

[2− r

a0

]2

e−r/a0

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70

Page 41: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞

r=0

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1

∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ym

l |2 sin θdθdφ = 1

|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah

|f1s(r)|2 =4a3

0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =

r2

8a30

[2− r

a0

]2

e−r/a0

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70

Page 42: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞

r=0

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1

∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ym

l |2 sin θdθdφ = 1

|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah

|f1s(r)|2 =4a3

0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =

r2

8a30

[2− r

a0

]2

e−r/a0

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70

Page 43: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞

r=0

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1

∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0|Ym

l |2 sin θdθdφ = 1

|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah

|f1s(r)|2 =4a3

0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =

r2

8a30

[2− r

a0

]2

e−r/a0

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70

Page 44: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = −13, 56 eV. Kisi: N = 100,a = 0, 05× 10−10 m.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 18 / 70

Page 45: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

Tingkat 2s. Energi eigen numerik: −2, 96 eV. Kisi: a = 0, 05× 10−10 m.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 19 / 70

Page 46: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = −13, 56 eV. Kisi: N = 100,a = 0, 1× 10−10 m.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 20 / 70

Page 47: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Persamaan Schrodinger dalam Matriks

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

Tingkat 2s. Energi eigen numerik: −2, 96 eV. Kisi: a = 0, 1× 10−10 m.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 21 / 70

Page 48: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Sistematika

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 22 / 70

Page 49: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus Helium

Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuahelektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasiE = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV.

Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik−→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.

Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yangberelektron banyak)?

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 23 / 70

Page 50: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus Helium

Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuahelektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasiE = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV.

Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik−→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.

1s

2p

foton

Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yangberelektron banyak)?

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 23 / 70

Page 51: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus Helium

Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuahelektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasiE = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV.

Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik−→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.

1s

2p

foton

Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yangberelektron banyak)?

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 23 / 70

Page 52: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus HeliumAtom Helium

Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.

Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV

E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,

He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−

He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−

Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.

Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):

U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70

Page 53: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus HeliumAtom Helium

Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.

Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV

E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,

He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−

He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−

Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.

Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):

U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70

Page 54: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus HeliumAtom Helium

Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.

Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV

E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,

He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−

He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−

Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.

Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):

U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70

Page 55: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus HeliumAtom Helium

Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.

Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV

E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,

He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−

He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−

Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.

Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):

U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70

Page 56: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Hidrogen versus HeliumAtom Helium

Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.

Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV

E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,

He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−

He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−

Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.

Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):

U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70

Page 57: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Persamaan Schrodinger radial:

Ef (r) =

[− ~2

2md2

dr2 +~2l(l + 1)

2mr2 − Ze2

4πε0r+ Uscf(r)

]f (r)

Self-consistent field menurut Hartree:

∇2Uscf(~r) = − e2

ε0n(~r) atau Uscf(~r) =

e2

4πε0

∫n(~r ′)d~r ′

|~r−~r ′|

Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi

Ne =

∫ r′2 sin θdθdφdr′ ×∑n,l,m

∣∣∣∣ fn(r)r

∣∣∣∣2 |Yml |

2

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 25 / 70

Page 58: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Persamaan Schrodinger radial:

Ef (r) =

[− ~2

2md2

dr2 +~2l(l + 1)

2mr2 − Ze2

4πε0r+ Uscf(r)

]f (r)

Self-consistent field menurut Hartree:

∇2Uscf(~r) = − e2

ε0n(~r) atau Uscf(~r) =

e2

4πε0

∫n(~r ′)d~r ′

|~r−~r ′|

Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi

Ne =

∫ r′2 sin θdθdφdr′ ×∑n,l,m

∣∣∣∣ fn(r)r

∣∣∣∣2 |Yml |

2

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 25 / 70

Page 59: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Persamaan Schrodinger radial:

Ef (r) =

[− ~2

2md2

dr2 +~2l(l + 1)

2mr2 − Ze2

4πε0r+ Uscf(r)

]f (r)

Self-consistent field menurut Hartree:

∇2Uscf(~r) = − e2

ε0n(~r) atau Uscf(~r) =

e2

4πε0

∫n(~r ′)d~r ′

|~r−~r ′|

Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi

Ne =

∫ r′2 sin θdθdφdr′ ×∑n,l,m

∣∣∣∣ fn(r)r

∣∣∣∣2 |Yml |

2

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 25 / 70

Page 60: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Yml ternormalisasi, sehingga

Ne =

∫σ(r)dr dengan σ(r) =

∑n,l,m

|fn(r)|2

Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:

n(~r) =∑α

|ψα(~r)|2 =∑n,l,m

∣∣∣∣ fn(r)r

∣∣∣∣2 |Yml (θ, φ)|2

Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatanterdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 26 / 70

Page 61: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Yml ternormalisasi, sehingga

Ne =

∫σ(r)dr dengan σ(r) =

∑n,l,m

|fn(r)|2

Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:

n(~r) =∑α

|ψα(~r)|2 =∑n,l,m

∣∣∣∣ fn(r)r

∣∣∣∣2 |Yml (θ, φ)|2

Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatanterdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 26 / 70

Page 62: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Yml ternormalisasi, sehingga

Ne =

∫σ(r)dr dengan σ(r) =

∑n,l,m

|fn(r)|2

Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:

n(~r) =∑α

|ψα(~r)|2 =∑n,l,m

∣∣∣∣ fn(r)r

∣∣∣∣2 |Yml (θ, φ)|2

Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatanterdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 26 / 70

Page 63: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Perhitungan integral pada Ne: bagi dua daerah

r

r

r

dalam

luar

(a) (b)

(a) Kulit muatan berjarak r dari pusat.

(b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar.

Kontribusi pada potensial SCF:

Uscf(r) =Z− 1

Z

[e2

4πε0r

∫ r

0σ(r ′)dr ′ +

e2

4πε0

∫ ∞r

σ(r ′)dr ′

r ′

]

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 27 / 70

Page 64: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Perhitungan integral pada Ne: bagi dua daerah

r

r

r

dalam

luar

(a) (b)

(a) Kulit muatan berjarak r dari pusat.

(b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar.

Kontribusi pada potensial SCF:

Uscf(r) =Z− 1

Z

[e2

4πε0r

∫ r

0σ(r ′)dr ′ +

e2

4πε0

∫ ∞r

σ(r ′)dr ′

r ′

]

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 27 / 70

Page 65: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

UscfTebak (misalnya nol)

Pecahkan persamaan Schrödinger:dapatkan nilai eigen dan fungsi eigen

n r Hitung kerapatan

Hitung Uscf pendekatan

Hartree

PeriksaKonvergensi

BelumKonvergen

SudahKonvergen

AWAL

AKHIR

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 28 / 70

Page 66: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Terapan SCF pada Helium

Perbandingan potensial inti dan potensial SCF untuk atom helium.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 29 / 70

Page 67: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Metode SCF untuk Atom

Terapan SCF pada Helium

Distribusi probabilitas radial untuk keadaan 1s atom helium danhidrogen. Energi eigen numerik untuk helium: E = 24, 73 eV

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 30 / 70

Page 68: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Sistematika

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 31 / 70

Page 69: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Ikatan Ionik

Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli

Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.

Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)

Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.

Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70

Page 70: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Ikatan Ionik

Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli

Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.

Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)

Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.

Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70

Page 71: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Ikatan Ionik

Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli

Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.

Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)

Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.

Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70

Page 72: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Ikatan Ionik

Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli

Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.

Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)

Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.

Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70

Page 73: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Ikatan Kovalen Gas Hidrogen

Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekuldengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama.−→menghasilkan ikatan kovalen.

Contoh: H2.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 33 / 70

Page 74: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Ikatan Kovalen Gas Hidrogen

Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekuldengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama.−→menghasilkan ikatan kovalen.

Contoh: H2.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 33 / 70

Page 75: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Ikatan pada Molekul

Ikatan Kovalen Gas Hidrogen

Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekuldengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama.−→menghasilkan ikatan kovalen.

Contoh: H2.

Pembentukan molekul H2.

H H

E0=−13,6 eV

1s 1s

H H

E0E0

EB

EA

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 33 / 70

Page 76: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

Sistematika

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 34 / 70

Page 77: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

Formalisme

Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentukpersamaan nilai eigen:

HΦα = EαΦα

Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi lineardari himpunan fungsi basis {um}:

Φα(~r) =

M∑m=1

cmum(~r)

atau dalam matriks: Φ(~r)→ {c1 c2 . . . . . . cM}T

Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriksHamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 35 / 70

Page 78: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

Formalisme

Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentukpersamaan nilai eigen:

HΦα = EαΦα

Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi lineardari himpunan fungsi basis {um}:

Φα(~r) =

M∑m=1

cmum(~r)

atau dalam matriks: Φ(~r)→ {c1 c2 . . . . . . cM}T

Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriksHamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 35 / 70

Page 79: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

Formalisme

Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentukpersamaan nilai eigen:

HΦα = EαΦα

Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi lineardari himpunan fungsi basis {um}:

Φα(~r) =

M∑m=1

cmum(~r)

atau dalam matriks: Φ(~r)→ {c1 c2 . . . . . . cM}T

Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriksHamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 35 / 70

Page 80: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

FormalismeSubstitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger:

H∑

m

cmum(~r) = E∑

m

cmum(~r)

Kalikan dengan u∗n(~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r:∫u∗n(~r)

[H∑

m

cmum(~r)

]d~r =

∫u∗n(~r)

[E∑

m

cmum(~r)

]d~r∑

m

Hnmcm = E∑

m

Snmcm

dengan

∫u∗n(~r)Hum(~r)d~r = Hnm,∫

u∗n(~r)um(~r)d~r = Snm.

I Persamaan Schrodinger matriksdalam fungsi basis:

[H]{φ} = E[S]{φ}

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 36 / 70

Page 81: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

FormalismeSubstitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger:

H∑

m

cmum(~r) = E∑

m

cmum(~r)

Kalikan dengan u∗n(~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r:∫u∗n(~r)

[H∑

m

cmum(~r)

]d~r =

∫u∗n(~r)

[E∑

m

cmum(~r)

]d~r∑

m

Hnmcm = E∑

m

Snmcm

dengan

∫u∗n(~r)Hum(~r)d~r = Hnm,∫

u∗n(~r)um(~r)d~r = Snm.

I Persamaan Schrodinger matriksdalam fungsi basis:

[H]{φ} = E[S]{φ}

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 36 / 70

Page 82: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

FormalismeSubstitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger:

H∑

m

cmum(~r) = E∑

m

cmum(~r)

Kalikan dengan u∗n(~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r:∫u∗n(~r)

[H∑

m

cmum(~r)

]d~r =

∫u∗n(~r)

[E∑

m

cmum(~r)

]d~r∑

m

Hnmcm = E∑

m

Snmcm

dengan

∫u∗n(~r)Hum(~r)d~r = Hnm,∫

u∗n(~r)um(~r)d~r = Snm.

I Persamaan Schrodinger matriksdalam fungsi basis:

[H]{φ} = E[S]{φ}

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 36 / 70

Page 83: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

Aplikasi pada H2

+ +

RUN UN '

uN r uN 'r

Pemilihan fungsi basis untuk molekul hidrogen. Ditunjukkan pulasketsa potensial akibat dua inti positif.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 37 / 70

Page 84: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

Aplikasi pada H2

Kerapatan elektron di sumbu yang menghubungkan dua atomhidrogen dalam molekul.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 38 / 70

Page 85: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Konsep Fungsi Basis

Energi Ikat Gas Hidrogen

Beberapa energi yang terlibat dalam pembentukan molekul gashidrogen. Energi ikat sebuah molekul H2 diestimasi dari2(EB0 − E0) + UNN′ + Uee′ .

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 39 / 70

Page 86: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial

Sistematika

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 40 / 70

Page 87: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial

Alur Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70

Page 88: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial

Alur Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70

Page 89: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial

Alur Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70

Page 90: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial

Alur Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium

Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida

Nanomaterial: Carbon Nanotube

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70

Page 91: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang

Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:

Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:

H = diag (E0 E0 . . . E0).

Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70

Page 92: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang

Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:

...

1 2 3 N−1 N

... ...

Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:

H = diag (E0 E0 . . . E0).

Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70

Page 93: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang

Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:

...

1 2 3 N−1 N

... ...

Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:

H = diag (E0 E0 . . . E0).

Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70

Page 94: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang

Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:

...

1 2 3 N−1 N

... ...

Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:

H = diag (E0 E0 . . . E0).

Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70

Page 95: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1DIrisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantaiatomik:

... ...

fungsi gelombangberirisan

1s 1s

Matriks Hamiltonian:

H =

E0 Ess 0 0 0Ess E0 Ess 0 0

0 Ess E0. . . 0

0 0. . . . . . Ess

0 0 0 Ess E0

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 43 / 70

Page 96: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1DIrisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantaiatomik:

... ...

fungsi gelombangberirisan

1s 1s

Matriks Hamiltonian:

H =

E0 Ess 0 0 0Ess E0 Ess 0 0

0 Ess E0. . . 0

0 0. . . . . . Ess

0 0 0 Ess E0

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 43 / 70

Page 97: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Ditambah syarat periodisitas:

E

ψ1

ψ2...ψn...ψN

=

E0 Ess 0 0 0 Ess

Ess E0. . . 0 Ess 0

0. . . . . . Ess 0 0

0 0 Ess. . . . . . 0

0 Ess 0. . . E0 Ess

Ess 0 0 0 Ess E0

ψ1

ψ2...ψn...ψN

Untuk setiap baris matriks berlaku:

Eψn = Essψn−1 + E0ψn + Essψn+1

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 44 / 70

Page 98: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Ditambah syarat periodisitas:

E

ψ1

ψ2...ψn...ψN

=

E0 Ess 0 0 0 Ess

Ess E0. . . 0 Ess 0

0. . . . . . Ess 0 0

0 0 Ess. . . . . . 0

0 Ess 0. . . E0 Ess

Ess 0 0 0 Ess E0

ψ1

ψ2...ψn...ψN

Untuk setiap baris matriks berlaku:

Eψn = Essψn−1 + E0ψn + Essψn+1

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 44 / 70

Page 99: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga

E = Essψn−1

ψn+ E0 + Ess

ψn+1

ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ

= E0 + 2Ess cosφ.

Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:

ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1

eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN

Jika jarak antartitik kisi a, maka:

φα = kαa = α2πN

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70

Page 100: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga

E = Essψn−1

ψn+ E0 + Ess

ψn+1

ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ

= E0 + 2Ess cosφ.

Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:

ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1

eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN

Jika jarak antartitik kisi a, maka:

φα = kαa = α2πN

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70

Page 101: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga

E = Essψn−1

ψn+ E0 + Ess

ψn+1

ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ

= E0 + 2Ess cosφ.

Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:

ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1

eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN

Jika jarak antartitik kisi a, maka:

φα = kαa = α2πN

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70

Page 102: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga

E = Essψn−1

ψn+ E0 + Ess

ψn+1

ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ

= E0 + 2Ess cosφ.

Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:

ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1

eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN

Jika jarak antartitik kisi a, maka:

φα = kαa = α2πN

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70

Page 103: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Struktur Dua Atom per Titik KisiDistorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2atom (orbital) per titik kisi.

... ......1 1' 2 2' 3 3' N N'

Pers. matriks:

E

ψ1

ψ1′

...ψN

ψN′

=

E0 Ess E′ss

Ess E0 E′ss

E′ss E0. . .

. . . . . .

E′ss

ψ1

ψ1′

...ψN

ψN′

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 46 / 70

Page 104: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Struktur Dua Atom per Titik KisiDistorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2atom (orbital) per titik kisi.

... ......1 1' 2 2' 3 3' N N'

Pers. matriks:

E

ψ1

ψ1′

...ψN

ψN′

=

E0 Ess E′ss

Ess E0 E′ss

E′ss E0. . .

. . . . . .

E′ss

ψ1

ψ1′

...ψN

ψN′

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 46 / 70

Page 105: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Struktur Dua Atom per Titik Kisi

Triks solusi {φn} =

{ψn

ψ′n

}

E

φ1

φ2...φN

=

H11 H12

H21 H22 H23

H32 H33. . .

. . . . . .

φ1

φ2...φN

dengan

Hnm =

[E0 Ess

Ess E0

], Hn,n+1 =

[0 0

E′ss 0

], Hn,n−1 =

[0 Ess

0 0

]

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 47 / 70

Page 106: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan

Eφn = Hnnφn + Hn,n−1φn−1 + Hn,n+1φn+1

Tebak solusi: φn = φ0eikna

Substitusikan:

Eφ0 = Hnnφ0 + Hn,n−1e−ikaφ0 + Hn,n+1eikaφ0,

menghasilkan

E{φ0} =

[E0 Ess + E′sse−ika

Ess + E′sseika E0

]{φ0}.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 48 / 70

Page 107: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan

Eφn = Hnnφn + Hn,n−1φn−1 + Hn,n+1φn+1

Tebak solusi: φn = φ0eikna

Substitusikan:

Eφ0 = Hnnφ0 + Hn,n−1e−ikaφ0 + Hn,n+1eikaφ0,

menghasilkan

E{φ0} =

[E0 Ess + E′sse−ika

Ess + E′sseika E0

]{φ0}.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 48 / 70

Page 108: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan

Eφn = Hnnφn + Hn,n−1φn−1 + Hn,n+1φn+1

Tebak solusi: φn = φ0eikna

Substitusikan:

Eφ0 = Hnnφ0 + Hn,n−1e−ikaφ0 + Hn,n+1eikaφ0,

menghasilkan

E{φ0} =

[E0 Ess + E′sse−ika

Ess + E′sseika E0

]{φ0}.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 48 / 70

Page 109: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Tentukan nilai eigen:∣∣∣∣∣ E0 − E Ess + E′sse−ika

Ess + E′sseika E0

∣∣∣∣∣ = 0

Hasilnya:

E = E0 ±√

E2ss + E′2ss + 2EssE′ss cos(ka)

Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis(orbital atom) yang dipilih per titik kisi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 49 / 70

Page 110: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Tentukan nilai eigen:∣∣∣∣∣ E0 − E Ess + E′sse−ika

Ess + E′sseika E0

∣∣∣∣∣ = 0

Hasilnya:

E = E0 ±√

E2ss + E′2ss + 2EssE′ss cos(ka)

Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis(orbital atom) yang dipilih per titik kisi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 49 / 70

Page 111: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Tentukan nilai eigen:∣∣∣∣∣ E0 − E Ess + E′sse−ika

Ess + E′sseika E0

∣∣∣∣∣ = 0

Hasilnya:

E = E0 ±√

E2ss + E′2ss + 2EssE′ss cos(ka)

Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis(orbital atom) yang dipilih per titik kisi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 49 / 70

Page 112: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Hubungan Dispersi

Hubungan dispersi untuk rantai atomik satu dimensi dengan duaatom per titik kisi.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 50 / 70

Page 113: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Generalisasi Prosedur

Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapatdiperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarangjumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan)

Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuantetangganya m oleh matriks [Hnm] berukuran (b× b), dengan badalah jumlah fungsi basis per sel satuan:∑

m

[Hnm]{φm} = E{φn}

Tebakan solusi: {φm} = {φ0}ei~k·~rm sehingga

E{φ0} = [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =∑

m

[Hnm]ei~k·(~rm−~rn)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 51 / 70

Page 114: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Generalisasi Prosedur

Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapatdiperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarangjumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan)

Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuantetangganya m oleh matriks [Hnm] berukuran (b× b), dengan badalah jumlah fungsi basis per sel satuan:∑

m

[Hnm]{φm} = E{φn}

Tebakan solusi: {φm} = {φ0}ei~k·~rm sehingga

E{φ0} = [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =∑

m

[Hnm]ei~k·(~rm−~rn)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 51 / 70

Page 115: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D

Generalisasi Prosedur

Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapatdiperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarangjumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan)

Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuantetangganya m oleh matriks [Hnm] berukuran (b× b), dengan badalah jumlah fungsi basis per sel satuan:∑

m

[Hnm]{φm} = E{φn}

Tebakan solusi: {φm} = {φ0}ei~k·~rm sehingga

E{φ0} = [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =∑

m

[Hnm]ei~k·(~rm−~rn)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 51 / 70

Page 116: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Geometri Graphene

a0

selsatuan

y

x

Sketsa graphene: sel satuan dipilih terdiri dari dua atom karbon.

~R = m~a1 + n~a2

~a1 = ax + by ~a2 = ax− by

a =3a0

2dan b =

√3a0

2.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 52 / 70

Page 117: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Geometri GrapheneKisi nyata dan kisi resiprok graphene.

a1

a2

a, b

a,−b

b1

b2

0,2/3b /a,/3b

−/a,−/3b

Vektor kisi resiprok

~K = M~b1 + N~b2

~b1 =2π(~a2 × z)

~a1 · (~a2 × z=π

ax+

π

by; ~b2 =

2π(z×~a1)

~a2 · (z×~a1)=π

ax− π

by.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 53 / 70

Page 118: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Perhitungan Dispersi Graphene

Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis persel satuan.

Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini:

[h(~k)] =

[E0 −t−t E0

]+

[0 −tei~k·~a1

0 0

]+

[0 −tei~k·~a2

0 0

]

+

[0 0

−te−i~k·~a1 0

]+

[0 0

−te−i~k·~a2 0

]

[h(~k)] =

[E0 h0

h∗0 E0

]

dengan h0 = −t(1 + ei~k·~a1 + ei~k·~a2) = −t(1 + 2eikxa cos(kyb).

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 54 / 70

Page 119: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Perhitungan Dispersi Graphene

Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis persel satuan.

Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini:

[h(~k)] =

[E0 −t−t E0

]+

[0 −tei~k·~a1

0 0

]+

[0 −tei~k·~a2

0 0

]

+

[0 0

−te−i~k·~a1 0

]+

[0 0

−te−i~k·~a2 0

]

[h(~k)] =

[E0 h0

h∗0 E0

]

dengan h0 = −t(1 + ei~k·~a1 + ei~k·~a2) = −t(1 + 2eikxa cos(kyb).

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 54 / 70

Page 120: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Perhitungan Dispersi Graphene

Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis persel satuan.

Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini:

[h(~k)] =

[E0 −t−t E0

]+

[0 −tei~k·~a1

0 0

]+

[0 −tei~k·~a2

0 0

]

+

[0 0

−te−i~k·~a1 0

]+

[0 0

−te−i~k·~a2 0

]

[h(~k)] =

[E0 h0

h∗0 E0

]

dengan h0 = −t(1 + ei~k·~a1 + ei~k·~a2) = −t(1 + 2eikxa cos(kyb).

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 54 / 70

Page 121: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Kurva Dispersi (Surface) untuk Graphene

E = E0 ± |h0| = E0 ± t[1 + 4 cos2(kyb) + 4 cos(kxa) cos(kyb)

]1/2

kya0 kx a0

Et

−4

−2

0

2

4

−4

−2

0

2

4

0

1

2

3

−1

−2−3

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 55 / 70

Page 122: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Semikonduktor Zat Padat

a

x

y

Penampang dua dimensi dari kisi fcc. Setiap titik ditempati oleh satumacam atom. Dua kisi yang sama kemudian dapat membentukstruktur intan jika dipisahkan oleh seperempat jarak diagonal ruang.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 56 / 70

Page 123: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Galium Arsenida−→ Struktur Zincblende

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 57 / 70

Page 124: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor

Galium Arsenida

Plot E(~k) galium arsenida untuk setiap nilai~k dalam rentang Γ−X dan Γ− L.

Daerah Γ− X terbentang pada~k = 0→ 2πa x (digambarkan di sumbu

horizontal positif), sedangkan Γ− L pada~k = 0→ πa (x + y + z) (sumbu

horizontal negatif). Celah energi: 1, 41 ≈ eV

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 58 / 70

Page 125: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Quantum Well, Wire, dan DotQuantum well Quantum wire Quantum dotZat padat biasa

Struktur Bulk: Aproksimasi parabolik,

E(~k) ≈ Ec +~2(k2

x + k2y + k2

z)

2m∗

Quantum well: kz = nzπLz

(nz bilangan bulat)

Enz(kx, ky) ≈ Ec + n2zεz +

~2(k2x + k2

y)

2m∗

εz =~2π2

2m∗L2z

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 59 / 70

Page 126: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Quantum Well, Wire, dan Dot

Quantum wire:

Eny,nz(kx) ≈ Ec + n2yεy + n2

zεz +~2k2

x2m∗

εy =~2π2

2m∗L2y

Quantum dot:

Enx,ny,nz ≈ Ec +~2π2

2m∗

(n2

xL2

x+

n2y

L2y

+n2

zL2

z

)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 60 / 70

Page 127: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Ketersediaan Keadaan Energi pada Graphene

Carbon Nanotube −→ penggulungan graphene

kya0 kx a0

Et

−4

−2

0

2

4

−4

−2

0

2

4

0

1

2

3

−1

−2−3

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 61 / 70

Page 128: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Konduksi Graphene untuk CNTTitik-titik dengan E = 0 pada bidang kx − ky: (h0 = 0)

(kxa, kyb) = (0,−2π/3), (−π,+π/3), (+π,+π/3)

(kxa, kyb) = (0,+2π/3), (−π,−π/3), (+π,−π/3)

kx

ky

kx

ky

Translasi titik zona Brillouin pada graphene yang berperan dalamkonduksi: (kxa, kyb) = (0,±2π/3)

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 62 / 70

Page 129: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Vektor Chiral dan Periodisitas

Begitu graphene digulung menjadi CNT, nilai-nilai k yangdiizinkan akan tergantung pada syarat periodik di bagiankelilingnya.

Definisikan vektor keliling (chiral):

~ch = m~a1 + n~a2 = a(m + n)x + b(m− n)y

Syarat batas periodik yang berlaku adalah

~k ·~ch = kc|~ch| = kxa(m + n) + kyb(m− n) = 2πν.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 63 / 70

Page 130: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Konsep Subpita Energi

kx

ky

0,−2/3b

0,2/3b

kontur energi(konstan)

kc∣ ch∣=2

Garis-garis sejajar sebagai subpita pada CNT.−→ Kurva dispersi energi dapat digambarkan terhadap kxa atau kybsesuai dengan jenis nanotube.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 64 / 70

Page 131: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Kurva Dispersi CNT

Aproksimasi kurva dispersi energi untuk CNT sebagai fungsi kybsepanjang garis kxa = 0.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 65 / 70

Page 132: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Kurva Dispersi CNT

Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 45. Tidak adanyacelah energi menunjukkan sifat yang seperti logam.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 66 / 70

Page 133: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial

Kurva Dispersi CNT

Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 44. Keberadaancelah energi menunjukkan sifatnya yang semikonduktor Eg = 0, 25 eV.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 67 / 70

Page 134: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Simpulan

Sistematika

1 Pendahuluan

2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks

3 Metode SCF untuk Atom

4 Ikatan pada Molekul

5 Konsep Fungsi Basis

6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial

7 Simpulan

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 68 / 70

Page 135: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Simpulan

Simpulan

Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.

Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.

Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.

Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70

Page 136: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Simpulan

Simpulan

Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.

Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.

Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.

Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70

Page 137: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Simpulan

Simpulan

Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.

Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.

Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.

Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70

Page 138: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Simpulan

Simpulan

Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.

Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.

Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.

Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70

Page 139: Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, …nugraha/uploads/nugraha...Struktur Nanomaterial 7 Simpulan ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008

Penutup

In the end...“We have no right to assume that any physical

laws exist or if they have existed up to now, thatthey will continue to exist in a similar manner in

the future”

[Max Planck]

ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 70 / 70


Top Related