Download - Sifat Penampang Datar
-
Universitas Gadjah Mada
Bab 3
Sifat Penampang Datar
3.1. Umum
Didalam mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melihatkan sifat-
sifat geometrik penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh,
untuk mengetahui besarnya tegangan yang tidak lain sama dengan besarnya gaya tiap
satuan luas. Luas atau penampang termasuk besaran geornetrik perrnukaan datar
perlu diketahui. Besaran-besaran yang lain antara lain momen statis, momen inersia
terhadap titik berat penampang atau garis yang melalui titik berat penampang.
Besaran-besaan ini masih dipengaruhi oleh letak sumbu-sumbunya, yang dikenal
dengan rumus-rumus transformasi. Pemakaian sifat-sifat penampang datar ini akan
dijumpai pada hab-bab herikutnya.
3.2. Luas bidang, momen statis dan pusat berat penampang
Besaran-besaran geometrik penampang datar diperlukan dalam analisis
mekanika bahan untuk mendapatkan besaran-besaran fisika, misalnya gaya, momen,
tegangan, regangan, lendutan dan lain sebagainya. Untuk mengetahui besaran-
besaran geometrik ini, ditinjau suatu bagian kecil seluas dA yang berjarak x dan y dari
sumbu koordinat Kartesius x dan y, seperti terlihat pada Gambar 3.1. Titik 0 adalah titik
sembarang yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan koordinat suatu titik
pada penampang. Besaran-besaran geometrik penampang datar antara lain: luas
penampang, momen statis dan titik berat. Luas penampang total dapat diperoleh
dengan persamaan:
dydxdAAAA
== (3.1)
-
Universitas Gadjah Mada
Gambar 3.1. Penampang datar
Momen statis penampang A terhadap suatu sumbu adalah besarnya perkalian antara
luas penam pang dengan jarak dan titik pusat penampang ini luasan ke sumbu yang
ditinjau. Momen statis penampang terhadap sumbu x dan y dapat dituliskan sebagai
berikut:
Letak titik pusat berat penampang dihitung dengan membagi momen statis dengan
luas bagian yang ditinjau, atau:
Tentu saja tidak semua bidang dapat dinyatakan dengan mudah dengan
persamaanpersamaan matematika. Untuk memudahkan pemakaian rumus-rurnus di
atas pada sembarang luasan dapat dituliskan dengan cara lain, misalnya ditinjau
menjadi elemen-elemen 1,2,3,.. .,n, seperti diperlihatkan pada Gambar 3.2.
-
Universitas Gadjah Mada
Gambar 3.2. Penampang datar yang dibagi menjadi elemen- lemen
Dengan membagi penampang menjadi elernen-elernen, besaran-besaran geometri di
atas dapat dituliskan sebagai berikut ini.
Luas penampang: =
=++++=n
in AAAAAA
11321 .......... (3.4)
Momen statis:
Letak pusat berat:
3.3. Momen Inersia Penampang
Secara umum momen inersia penampang terhadap sumbu x dan y (lihat
Gambar 3.1) adalah sebagai berikut ini.
-
Universitas Gadjah Mada
3.4. Momen Inersia dalam Transformasi Sumbu
3.4.1. Penggeseran Sumbu
Adanya penggeseran (translasi) sumbu akan berpengaruh terhadap mornen
inersia. Jika sumbu x dan h sembarang dan sejajar dengan sumbu x dan y dengan
jarak antar keduanya adalah a dan b (lihat Gambar 3.3), maka dari definisi dasar
didapatkan:
-
Universitas Gadjah Mada
Gambar 3.3. Penggeseran sumbu
Jika sumbu x dan h melalui titik O yang merupakan titik berat penampang, maka
besarnya momen statis S x = S h = 0, sehingga Persamaan (3.11) - (3.13) dapat
dituliskan:
3.4.2. Perputaran Sumbu
Momen inersia penampang juga tergantung dan perputaran sumbu. Tinjaulah suatu
sumbu st yang diperoleh dengan memutar (rotasi) sumbu .xy dengan pusat 0 dan
sudut putar q arah positif (berlawanan arah jarum jam). Dengan memperhatikan
Gambar 3.4, akibat rotasi ini akan diperoleh koordinat s dan t dalam x dan y sebagai
berikut ini.
-
Universitas Gadjah Mada
Momen inersia terhadap sumbu baru st adalah sebagai berikut:
Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri, yaitu:
maka Persamaan (3. 18) menjadi
Dengan menjumlahkan lss dan ltt pada Persamaan (3.20) akan didapatkan:
lss + ltt =lxx + lyy (3.21)
-
Universitas Gadjah Mada
yang menunjukkan bahwa jumlah momen inersia terhadap suatu tata sumbu tidak
berubah, walaupun sumbu tersebut mengalami perputaran.
3.5. Momen Inersia Ekstrim
Sekarang ditinjau titik () sebagai titik berat potongan, dan momen nersia
dihitung berdasarkan sumbu-sumbu yang melalui titik ini. Persamaan (3.20)
memperlihatkan ketergantungan momen inersia terhadap sudut rotasi. Pada sudut
rotasi tertentu akan didapatkan pasangan Iss, ltt, dan lst. OIeh karena momen inersia
merupakan fungsi dan sudut rotasi q, maka pada sudut rotasi tertentu, momen inersia
ini akan mencapai nilai ekstrim (maksimun atau minimum). Untuk mendapatkan
momen inersia ekstrim ini dapat diperoleh dengan menurunan fungsi terhadap q dan
menyamakannya dengan nol, atau:
Turunan dari Persamaan (3.20) masing-masing terhadap q akan didapat:
dimana masing-masing q dari persamaan di atas menyatakan sudut rotasi yang
menghasilkan momen inersia ekstrim. Sumbu yang menghasilkan nilai ekstrim ini
disebut sumbu utama dan momen inersia ektrim ini disebut momen inersia utama yang
dapat berupa nilai maksimum dan minimum. Dari Persamaan (3.23) dapat disimpulkan
beberapa hal sebagai berikut ini.
1) Sudut rotasi q sumbu-sumbu yang memberikan nilai ekstrim lss dan ltt, adalah
sama, jika yang satu memberikan nilai maksimum yang lain memberikan nilai
minimum.
2) Ada dua buah sudut yang saling tegak lurus q1 dan q2 = q1 + p/2, dimana nilai lst = 0,
dalam hal ini berlaku:
-
Universitas Gadjah Mada
Sudut rotasi ini menghasilkan sumbu utama yang mempunyai momen inersia
ekstrim atau disebut juga momen inersia utama, masing-masing:
Momen inersia maksimum:
Momen inersia minimum:
3) Ada dua buah sudut yang saling tegak lurus, dimana momen inersia sentrifugal lxy
mencapai nilai ekstrim. Arah sumbunya membentuk sudut 45o dari sumbu utama.
Nilai-nilai ekstrim dari lxy dapat dihitung dengan:
sedangkan besarnya momen inersia pada sudut ini adalah:
Untuk mendapatkan arah sumbu dan momen inersia utama dapat dicari dengan
cara grafis yaitu Lingkaran Mohr. Dari persamaan dasar momen inersia yang
mengacu pada sumbu st (Persamaan 3.20) didapatkan:
Dengan mengkuadratkan kedua persamaan di atas, kemudian keduanya
dijumlahkan, maka akan diperoleh:
Dalam hal ini lxx, lyy dan lxy adalah tiga buah besaran yang telah diketahui,
sedangkan lss dan lst, berupa variabel. Persamaan (3.30) dapat juga ditulis dalam
bentuk persamaan Iingkaran sebagai berikut:
-
Universitas Gadjah Mada
Persamaan ini tidak lain adalah persamaan sebuah lingkaran dengan sumbu lss.
dan Ist yang mempunyai koordinat titik pusat Iingkaran (a,0) dan jari-jari b.
Sembarang titik pada lingkaran mempunyai ordinat Ist (momen inersia sentrifugal)
dan absis Iss (momen inersia terhadap sumbu s). Lingkaran ini disebut Lingkaran
Mohr (Mohrs circle), yang dapat dilihat pada Gambar 3.5. Sedangkan urutan
penggambaran lingkaran Mohr adalah sebagai berikut:
1. Buatlah sumbu mendatar lxx dan vertikal Ixy
2. Tentukan titik C dengan koordinat (a,0) sebagai pusat lingkaran
3. Dengan titik C sebagai pusatnya, buatlah lingkaran dengan jari-jari b
4. Perpotongan lingkaran dengan absis memberikan nilai momen inersia ekstrim I1
(maksimum, berada di sebelah kanan) dan I2 (minimum, berada di sebelah kiri)
5. Buatlah titik A dan B pada lingkaran dengan koordinat masing-masing (lxx, lxy)
dan (Iyy, -lxy). Titik A menunjukkan besaran momen inersia dengan sudut rotasi q
= 0o, pada titik ini lss = Ixx dan Ist = lxy. Jika AA/CA = Ixy [(Ixx - Iyy)/2], maka sudut
ACA sama dengan 2q1.
Gambar 3.5. Lingkaran Mohr untuk menentukan arah dan momen inersia utama
3.6. Jari-jari Girasi
Jari-jari girasi (radius of giration) didefinisikan sebagai akar kuadrat momen inersia
dibagi dengan luar bidang, atau:
-
Universitas Gadjah Mada
Jari-jari girasi terhadap sumbu x : Al
r xxx = (3.31)
Jari-jari girasi terhadap sumbu y : A
lr yyy = (3.31)
Jari-jari girasi menunjukkan letak suatu titik terhadap sumbu yang melalui titik berat,
pada mana seluruh luas dapat dipusatkan dan akan memberikan momen inersia yang
sama terhadap sumbu tersebut (lihat rangkuman no. 6).
3.7. Contoh-contoh
Contoh 3.1: Hitunglah luas, letak titik berat penampang seperti terlihat pada Gambar
3.6.
Penyelesaian:
Gambar 3.6. Penampang I
Luas penampang:
Momen statis terhadap sumbu x:
Momen statis terhadap sumbu y:
Penampang dibagi dalam 3 luasan, yaitu
sayap atas dengan ukuran 15x3 cm2,
badan 40x2 cm2 dan sayap bawah
15x5cm2.
-
Universitas Gadjah Mada
Letak titik pusat berat penampang:
Contob 3.2: Hitunglah momen inersia sebuah potongan berbentuk persegi panjang
(ukuran lebar: b dan tinggi: h) terhadap sumbu xy dengan titik pangkal pada salah satu
sudutnya. Tentukan pula momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik berat
potongan tersebut.
Penyelesaian:
Karena potongan simetris, maka letak titik
berat adalah h dari sisi bawah dan b
dari sisi kiri.
Gambar 3.6. Penampang persegi panjang
Momen inersia terhadap sumbu xy:
-
Universitas Gadjah Mada
Momen inersia terhadap sumbu (melalui titik berat penampang):
Contoh 3.3: Sebuah potongan berbentuk segitiga dengan sumbu atas sejajar sumbu x
(lihat Gambar 3.8). Hitunglah momen inersia terhadap sumbu x, x dan V .
Penyelesaian:
Ditinjau elemen kecil dA yang berbentuk
pita tipis dengan tebal dy dan lebar b1.
Perbandingan segitiga:
yhb
bhb
yb
== 11
dyyhb
dybdA . Luas 1 ==
O : titik berat potongan
Gambar 3.8. Penampang segitiga
Momen inersia terhadap sumbu x:
Momen inersia terhadap sumbu x :
Momen inersia terhadap sumbu V :
-
Universitas Gadjah Mada
Contoh 3.4: Hitunglah momen inersia penampang pada Contoh 3.1 terhadap
sumusumbu yang melalui titik berat penampang total.
Penyelesaian:
Momen inersia lxx (sejajar x yang melalui titik berat):
Contoh 3.5: Hitunglah besarnya momen inersia xxl , yyl dan xyl terhadap sumbu yang
melalui titik berat potongan seperti tampak pada Gambar 3.9. Tentukan orientasi
sumbu-sumbu serta besarnya momen inersia utama dan potongan tersebut.
Penyelesaian:
O : titik berat potongan
Potongan dapat dibagi menjadi
3 buah empat persegi panjang,
selanjutnya dalam menghitung
momen inersia digunakan
teorema penggeseran sumbu
Gambar 3.9 Penampang beserta sumbu-sumbunya
Momen inersia:
-
Universitas Gadjah Mada
Dengan mensubstitusikan harga-harga tersebut di atas ke dalam Persamaan (3.24),
maka akan diperoleh arah sumbu utama St yang membentuk sudut 1q dari sumbu xy,
dengan:
Sudut rotasi 1q = 19,660 dan 109,66 ini didapatkan momen inersia ekstrirn, masing-
masing:
Momen inersia maksimum:
Momen inersia minimum:
Contoh 3.6: Besaran geometrik dari berbagai tampang di sajikan pada Lampiran A.
-
Universitas Gadjah Mada
3.8. Rangkuman
Beberapa hal penting yang dapat disimpulkan dan bab mi adalah sebagai berikut:
1. Sifat-sifat penampang datar diperlukan untuk menghitung besaran-besaran fisika.
Sifat-sifat penampang datar dapat dihitung dengan cara penjumlahan atau
pengurangan dan bagian-bagian bidang pembentuk penampang.
2. Momen statis penampang terhadap suatu garis yang melalui titik beratnya sama
dengan nol.
3. Momen inersia terhadap suatu tata sumbu xxl , yyl dan xyl selalu bernilai positif,
sedang xyl , dapat bernilai positif maupun negatif. Jika salah satu sumbu yang
saling tegak lurus adalah sumbu simetri, maka nilai momen inersia silang xyl ,
selalu sama dengan nol.
4. Momen inersia penampang terhadap suatu tata sumbu tertentu xz misalnya
dapat dihitung dan momen inersia terhadap tata sumbu yang lain asalkan diketahui
penggeseran atau rotasi tata sumbu tersebut terhadap tata sumbu yang momen
inersianya telah diketahui.
5. Momen inersia ekstrim suatu penampang thpat dicani dengan cara analisis
maupun grafis (Iingkaran Mohr).
6. Jari-jari girasi menunjukkan penyebaran luasan penampang terhadap titik beratnya.
Dengan luasan yang sama, permukaan yang menyebar dan titik berat, nilai radius
girasi semakin besar, begitu pula sebaliknya.
3.9. Soal-soal
1. Diketahui sebuah tampang dengan
gambar seperti disamping lengkap
dengan ukuran-ukurannya (dalam
cm). Dimanakah letak titik berat
penampang terhadap sumbu x dan
y.
xo : 4,5 cm
yo = 3,5 cm
-
Universitas Gadjah Mada
2. Dari gambar penampang tersebut hitunglah momen inersia terhadap sumbu xy,
yaitu : xxl , yyl dan xyl
3. Jika sumbu dan zx dan masing-masing melalui titik berat penampang, hitunglah
besarnya xxl , zzl dan xzl
4. Berapakah momen inersia ekstrim dan penampang di atas dengan cara analitis
dan grafis.