i
PROSIDING
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA VIII “Peran serta Cendekia Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Akselerasi
Perubahan Karakter Bangsa”
ISBN 978-602-1034-06-4
EDITORIAL
Penanggungjawab
Prof. Dr. Wiyanto, M.Si.
Tim Review
Prof. Dr. Zaenuri Mastur, S.E. M. Si.,Akt.
Dr. Masrukan, M.Si
Dr. Wardono, M. Si
Dr. Iwan Junaedi, S.Si., M.Pd
Tim Editor
Ary Woro Kurniasih, S.Pd., M.Pd
Riza Arifudin, S.Pd., M.CS
Bambang Eko Susilo, S.Pd., M.Pd
Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc
Nuriana R. D. N., S.Pd., M.Pd
Amidi, S.Si., M.Pd
Layout
Zaidin Asyabah
Tiara Budi Utami
Cover Layouter
Luky Triohandoko
Penerbit:
Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang
ii
PRAKATA
Seminar Nasional Matematika VIII Jurusan Matematika FMIPA Unnes bertema,”Peran
serta Cendekia Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Akselerasi Perubahan
Karakter Bangsa”. Seminar berlangsung pada hari Sabtu, tanggal 8 November 2014 di
kampus Universitas Negeri Semarang.
Tujuan seminar adalah tukar menukar hasil penelitian maupun gagasan konseptual
dalam bidang Pendidikan Matematika dan Matematika, serta mencari alternatif solusi
setiap permasalahan sebagai upaya akselerasi perubahan karakter bangsa.
Pemakalah yang hadir berasal dari berbagai kalangan, baik dosen, peneliti (praktisi),
maupun guru yang tersebar di seluruh Indonesia, seperti Unsyah (NAD), Surya
Research and Education Center Tangerang, Lembaga Penerbangan Antariksa Nasional,
UPI Bandung, Unswagati (Cirebon), Unnes Semarang, IKIP Veteran Semarang, UKSW
Salatiga, ITS Surabaya, Unesa Surabaya, dan Universitas Muhammadiyah Ponorogo.
Setiap makalah ditelaah oleh tim review, terkait substansi dan tata tulis, sebelum
diterbitkan.
Semoga penerbitan prosiding ini memberikan sumbangan bagi kemajuan ilmu
pengetahuan, khususnya Pendidikan Matematika dan Matematika.
Tim Editor
iii
DAFTAR ISI
Halaman
Editorial i
Prakata ii
Daftar Isi Iii
Bidang Kajian: Pendidikan Matematika
1. Pendidikan Karakter Terintegrasi dan Berkelanjutan di Tingkat
Sekolah hingga Perguruan Tinggi dengan Sistem Spiral guna
Militansi Bangsa (Sukestiyarno,, D.A.S.Q. Rizki, Universitas Negeri Semarang,
Jawa Tengah)
1
2. Pembelajaran Materi Segi Empat dengan Pendekatan Contextual
Teaching and Learning (CTL) untuk Meningkatkan Kemampuan
Pemecahan Masalah Siswa di SMP Negeri 1 Banda Aceh Tahun
Ajaran 2011/2012 (Ari Hestaliana. R, Universitas Syah Kuala, NAD)
7
3. Keefektifan Resource Based Learning dengan Jurnal Reflektif
terhadap Kemampuan Pemecahan Mahasiswa Matematika (Arief
Agoestanto, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
15
4. Implementasi Group Investigation untuk Meningkatkan Pemahaman
Mahasiswa tentang Pendekatan Ilmiah Melalui Telaah Kurikulum
Matematika 1 (Ary Woro Kurniasih, Univeritas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
21
5. Tinjauan Peran Teknologi dalam Pengajaran Geometri (Hery Sutarto,
Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
30
6. Faktor-faktor yang mempengaruhi Mahasiswa Memilih Program
Studi di Jurusan Matematika MIPA UNESA dengan menggunakan
Analisa Diskriminan (Hery Tri Sutanto, Universitas Negeri Surabaya, Jawa
Timur)
36
7. Pengembangan Model Assessment for Learning (AfL) melalui Self
Assessment pada Pembelajaran Matematika di SMP Terpadu
Ponorogo (Intan Sari Rufiana, Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jawa
Timur)
49
8. Penerapan Model Pembelajaran Learning Cycle 7E dalam
Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa (Laelasari, Unswagati,
Jawa Barat)
64
9. Pembelajaran Matematika dengan Permainan Tangram untuk
Meningkatkan Keahlian Berpikir Geometri (Geometric Thinking
Skills) Siswa Sekolah Dasar (Olanda Dwi Sumintra, Ayu Erawati,, dan
Sulistiawati, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Surya,
Banten)
73
10. Analisis Kemampuan Guru PAUD dan Identifikasi Instrumen
Polytomous dengan Program Parscale di Kota Semarang (Risky
Setiawan, IKIP Veteran Semarang, Jawa Tengah)
80
11. Berpikir Kreatif Matematika pada Pembelajaran Sinektik (Studi 90
iv
Kasus di SMPN 2 Jatibarang Brebes) (Rochmad dan Laeli Rahmawati,
Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
12. Pembelajaran Perkalian Bilangan 1–10 dengan Matematika GASING
untuk Meningkatkan Hasil Belajar pada Siswa Sekolah Dasar
(Sulistiawati, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Surya,
Banten)
99
13. Pembelajaran ARIAS dengan Asesmen Kinerja untuk Meningkatkan
Kemampuan Pemecahan Masalah (Wardono dan Suryati, Universitas Negeri
Semarang, Jawa Tengah)
113
14. Eksplorasi Bentuk-Bentuk Etnomatematika dan Relasinya dengan
Konsep-Konsep Matematika (Zaenuri Mastur, Fathur Rokhman, dan SB
Waluya, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
121
15. Discovery-Learning dengan Asesmen Kinerja untuk Meningkatkan
Penalaran Matematis (Masrukan, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
132
16. Implementasi Brain-based learning berbantuan Web terhadap
Peningkatan Self Efficacy Mahasiswa (Nuriana Rachmani Dewi (Nino
Adhi), Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
139
17. Peran Menalar dalam Pembelajaran Matematika untuk Menanamkan
Nilai Karakter Religius (Bambang Eko Susilo, Universitas Negeri Semarang,
Jawa Tengah)
147
18. Menumbuhkan Kreativitas melalui Pendekatan Saintifik sebagai
Upaya Penerapan Kurikulum 2013 (Jayanti Putri Purwaningrum,
Universitas Pendidikan Indonesia, Jawa Barat)
157
19. Konsep Pembelajaran Science Technology Engineering Mathematics
(STEM) dengan Matematika sebagai Alat atau Bahasa Komunikasi
dalam Kurikulum 2013 (Suhud Wahyudi, Surya Rosa Putra, Darmaji, Soleha,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)
166
20. Mengklasifikasi Kesalahan Siswa dalam Mengerjakan Soal Uraian
Matematika Berdasarkan Prosedur Newman (Amin Suyitno, Universitas
Negeri Semarang, Jawa Tengah)
176
21. Membangun Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya
(Iwan Junaedi, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
184
22. Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Konstruktivis
berbasis Humanistik berbantuan E-Learning (Amidi, Universitas Negeri
Semarang, Jawa Tengah)
190
Bidang Kajian: Matematika dan Komputasi
No Judul Hal
23 Perbandingan Metode Arima Box – Jenkins dengan Metode Double
Exponential Smoothing dari Brown Dalam Memprediksi Jumlah
Pengunjung Perpustakaan Daerah Provinsi Jawa Tengah (Izza Hasanul
Muna dan Riza Arifudin, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
201
24 Penerapan Jaringan Kohonen Self Organizing Maps Untuk Clustering
Kualitas Air Kali Surabaya (Sri Rahmawati F., M. Isa Irawan, Nieke
Karnaningroem, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)
215
v
25 Resampling untuk Memperbesar Koefisien Determinasi dalam Model
Regresi Linear (Adi Setiawan, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa
Tengah)
224
26 Penerapan Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T2
Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat
(Angelita Titis Pertiwi, Adi Setiawan, Bambang Susanto, Universitas Kristen Satya
Wacana , Jawa Tengah)
233
27 Pemodelan Jaringan Syaraf Tiruan Backpropagation untuk Simulasi
Kualitas Air dan Daya Tampung Lingkungan di Kali Surabaya (Bima
Prihasto, M. Isa Irawa), Ali Masduqi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa
Timur)
247
28 Penerapan Regresi Multivariate dalam Penentuan Terjadinya
Anomali Curah Hujan Ekstrim di P. Jawa (Eddy Hermawan, Lembaga
Penerbangan dan Antariksa Nasional, Jawa Barat)
261
29 Penerapan Metode Eliminasi Gauss-Jordan dalam Memecahkan
Masalah Kemacetan Lalu Lintas (Eliza Verdianingsih, Universitas
Pendidikan Indonesia, Jawa Barat)
267
30 Dimensi Partisi Graf Garis dari Graf Kincir K_1+mK_n dengan m≥2
dan n≥2 yang Diperumum (F. Kurnia Nirmala Sari dan Darmaji, Institut
Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)
276
31 Penggunaan Aljabar Max Plus dan Petri Net untuk Perancangan
Penjadwalan Sistem Pelayanan Pasang Instalasi Baru di PDAM
(Margaretha Dwi Cahyani dan Subiono, Institut Teknologi Sepuluh Nopember,
Jawa Timur)
285
32 Pemodelan Matematika untuk Epidemi Chikungunya pada Populasi
Manusia dengan Non Specific Treatment (Muhammad Kharis, Universitas
Negeri Semarang Jawa Tengah)
298
33 Model GSTAR Termodifikasi untuk Produktivitas Jagung di Boyolali
(Priska Dwi Apriyanti, Hanna Arini Parhusip, dan Lilik Linawati, Universitas
Kristen Satya Wacana, Jawa Tengah)
314
34 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid 2 Dimensi menjadi 3
Dimensi dengan Sistem Koordinat Bola (Purwoto, Hanna Arini Parhusip,
dan Tundjung Mahatma, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa Tengah)
326
35 Estimasi Kurva Regresi Semiparametrik dengan Komponen
Parametrik Berpola Polinomial (Lilis Anisah, Institut Teknologi Sepuluh
Nopember Surabaya Jawa Timur)
337
36 Model Jaringan Syaraf Fuzzy Radial Basis Function untuk Peramalan
Nilai BOD pada Kali Surabaya (Nisa Ayunda, Mohammad Isa Irawan, Nieke
Karnaningroem, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jawa Timur)
342
37 Masalah Penugasan Optimal dengan Algoritma Kuhn-Munkres
(Mulyono, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)
351
vi
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 233
PENERAPAN ESTIMATOR ROBUST RMCD PADA GRAFIK
PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PENGAMATAN
INDIVIDUAL BIVARIAT DAN TRIVARIAT
Angelita Titis Pertiwi
1), Adi Setiawan
2), Bambang Susanto
3)
1)Mahasiswa Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya
Wacana
Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga
Surel: 1)[email protected] 2)3)Dosen Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga
Surel: 2)[email protected], 3)[email protected]
Abstrak
Untuk memonitor proses atau kualitas produk secara multivariat, biasa digunakan grafik
pengendali T2 Hotelling. Grafik pengendali T2 Hotelling sensitif terhadap titik-titik ekstrim
(outliers) karena grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks
kovariansi dari sampel. Untuk itu digunakan estimator robust (tegar) RMCD (Reweighted
Minimum Covariance Determinant) pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan
individual supaya grafik pengendali T2 Hotelling yang didapat lebih tegar terhadap outliers di
phase I. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik
pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga
variabel), karena studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari
perusahaan “X” yang mempunyai tiga variabel. Variabel yang digunakan adalah karakteristik
kualitas yang diukur dalam memonitor kualitas produk parfum remaja, yaitu pH parfum remaja,
refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas, dan masa jenis parfum
remaja. Dari penerapan didapat grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual
menggunakan estimator robust RMCD bivariat dan trivariat yang hanya memerlukan dua kali
iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I.
Kata Kunci – Hotelling’s T
2 Control Chart; Robust Estimator; RMCD; Multivariate
Statistical Process Control
A. Pendahuluan
Grafik pengendali kualitas atau yang disebut control chart merupakan salah satu
alat yang digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses karena dalam grafik
pengendali dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Sering kali
dalam pengendalian kualitas tidak cukup dengan pengamatan univariat namun harus
secara multivariat. Menurut Montgomery (2009), grafik pengendali T2 Hotelling paling
banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor
vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan
vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Padahal vektor rata-rata dan matriks
kovariansi sampel sangat sensitif terhadap titik ekstrim (outliers). Karena itu dibutuhkan
estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi populasi yang tegar untuk membuat
grafik pengendali T2
Hotelling. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan
estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang robust (tegar), estimator
Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD), dalam penerapan grafik
pengendali T2
Hotelling untuk pengamatan individual. Grafik pengendali T2
Hotelling
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 234
untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ini selanjutnya disebut
dengan grafik pengendali .
Permasalahannya adalah bagaimanakah menerapkan grafik pengendali
bivariat dan trivariat? Studi kasus pun dilakukan untuk menerapkan grafik pengendali
bivariat dan trivariat. Studi kasus dilakukan menggunakan Data Karakteristik
Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2011 yang diperoleh dari Lampiran I
Puspitoningrum (2011). Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi
pembaca tentang penerapan estimator robust khususnya RMCD pada grafik pengendali
T2
Hotelling untuk pengamatan individual dalam pengendalian kualitas produk atau
proses.
B. Tinjauan Pustaka
Puspitoningrum (2011) menggunakan grafik pengendali T2
Hotelling untuk
memonitor vektor rata-rata proses secara multivariat karena dalam grafik pengendali T2
Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel.
Pengestimasian parameter pengendali pada phase I, dalam hal ini vektor rata-rata dan
matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling
penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu
dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap
outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Chenouri dkk (2009)
mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD untuk diterapkan dalam grafik
pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual.
Chenouri dkk (2009) mengusulkan RMCD sebagai estimator rata-rata vektor dan
matriks kovariansi yang tegar karena RMCD merupakan estimator yang affine
equivariant dengan titik breakdown yang tinggi, laju konvergensi n-1/2
, efisiensi tinggi,
dan memiliki algoritma aproksimasi yang baik untuk tujuan komputasional. Penjelasan
tentang affine equivariant, titik breakdown, laju konvergensi, efisiensi secara statistik
dan efisiensi secara komputasi dapat dilihat pada Zhang (2011) dan Vanpaemel (2013).
Algoritma aproksimasi untuk estimator RMCD yang baik untuk tujuan komputasional
adalah FAST-MCD yang diberikan oleh Rousseeuw dan van Driessen (1999). FAST-
MCD sudah diterjemahkan ke dalam software R dalam paket rrcov, robust dan
robustbase, dapat dilihat dalam Hubert dkk (2008).
Sudah dibuktikan oleh Chenouri dkk (2009) bahwa grafik pengendali lebih
tegar dibanding grafik pengendali T2
Hotelling untuk pengamatan individual biasa
ketika terdapat outliers pada proses selama phase I. Penelitian juga dilakukan oleh
Prastyowati (2009) yang membandingkan ketegaran grafik pengendali T2
Hotelling
berbasis overlapping groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik pengendali
. Penelitian lain dilakukan Variyath dan Vattathoor (2013) yang mengemukakan
bahwa pada phase I, grafik pengendali T2
Hotelling menggunakan estimator RMCD
baik untuk data dengan jumlah pengamatan dan dimensi (variabel) yang lebih besar dari
pada grafik pengendali T2
Hotelling menggunakan estimator RMVE (Reweighted
Minimum Volume Ellipsoid). Penelitian tentang grafik pengendali dilakukan pula
oleh Mohammadi dkk (2010) dan penelitian tentang ketegaran grafik pengendali
phase II dilakukan oleh Mohammadi dkk (2011).
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 235
C. Metode Penelitian
1. Estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD)
Estimator RMCD merupakan pengembangan dari estimator Minimum Covariance
Determinant (MCD), yaitu dengan pembobotan, karena itu perlu mengestimasi
estimator MCD terlebih dahulu kemudian barulah mengestimasi estimator RMCD.
Algoritma yang terkenal dalam menaksir estimator MCD adalah FAST-MCD yang
diusulkan oleh Rousseuw dan van Driessen (1999). Penelitian ini menggunakan
Algoritma FAST-MCD yang sudah diterjemahkan ke dalam fungsi CovMcd() pada
paket rrcov yang ditulis oleh Todorov (2007) dalam software R. Estimator RMCD
untuk vektor rata-rata dan matriks kovariansi adalah vektor rata-rata yang diberi
bobot
(1)
dan matriks kovariansi
(2)
pembobotan berdasar pada jarak
(3)
sehingga bobot ditentukan dengan persamaan (4)
(4)
dan merupakan quantil ke- dari distribusi chi kuadrat. Chenouri dkk (2009)
mengusulkan untuk menggunakan =0,975 yang dianjurkan dan digunakan oleh
Rousseeuw dan van Driessen (1999). Dengan menggunakan
membuat konsisten dibawah distribusi normal multivariat. Faktor adalah
koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison dkk (2002)
pada (5)
(5)
dengan
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 236
Menurut Pison dkk (2002) bernilai sangat kecil ketika ukuran sampel m
kecil, dan untuk p tertentu naik secara monoton ke 1 ketika m mendekati
tak hingga. Dalam penelitian ini faktor koreksi sampel terbatas belum digunakan
dalam penghitungan , sehingga dianggap .
2. Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan
Estimator RMCD
Pengamatan dikatakan individual apabila ukuran masing-masing sampel n=1.
Diberikan m pengamatan individual dengan p karakteristik kualitas yang disusun ke
dalam matriks berukuran pada persamaan (6)
(6)
dengan , i=1,2,...,m menunjukkan pengamatan ke-i dari p-variat
dan diasumsikan vektor pengamatan in control, adalah vektor random identik,
independen, dan berdistribusi normal multivariat dinotasikan sebagai .
Bagian yang terpenting dari phase I penerapan grafik pengendali T2
Hotelling
adalah mengestimasi parameter vektor rata-rata populasi dan matriks kovariansi
populasi . Estimator dari dan adalah vektor rata-rata sampel dan matriks
kovariansi sampel S, sehingga diperoleh statistik T2 Hotelling pada persamaan (7)
. (7)
Karena asumsi vektor pengamatan in control tidak selalu benar, serta dan S sangat
sensitif terhadap outliers, jadi estimator klasik ( dan S) digantikan oleh estimator
RMCD yang tegar. Didapat statistik T2 Hotelling baru yang diberikan oleh persamaan
(8)
(8)
Chenouri dkk (2009) mengusulkan estimasi batas pengendali atas (BPA) untuk grafik
pengendali yang diberikan pada persamaan (9)
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 237
(9)
dengan nilai estimasi Least-Square parameter regresi dan diberikan
oleh Chenouri dkk (2009) pada Tabel 1 halaman 264. Sedangkan BPB (Batas
Pengendali Bawah) sama dengan grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan
individual biasa, BPB = 0.
3. Langkah-langkah Penerapan Grafik Pengendali T2
Hotelling untuk
Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD
Phase I
a. Menggunakan data phase I untuk menaksir vektor rata-rata dan matriks kovariansi
menggunakan estimator MCD kemudian dilanjutkan dengan menaksir estimator
robust RMCD sehingga didapat dan .
b. Menghitung dengan menggunakan persamaan (8).
c. Menentukan titik breakdown atau 0,25 dan =0,01 atau 0,001 untuk
memilih estimasi least square dan dari Chenouri dkk. (2009)
pada Tabel 1 halaman 264, kemudian menghitung BPA dari persamaan (9).
d. Mengkonstruksi grafik pengendali dengan memetakan nilai-nilai pada
langkah 2 dengan batas pengendali atas pada langkah 3.
e. Membuang pengamatan yang dengan asumsi penyebab diketahui.
f. Melakukan iterasi dari langkah 1 sampai langkah 5 hingga tercapai kondisi in
control.
Phase II
a. Menghitung menggunakan pengamatan baru dari dan yang
sudah didapat dari phase I.
b. Memetakan ke dalam grafik pengendali dengan batas pengendali yang sudah
diperoleh pada Phase I (langkah 4).
c. Mendeteksi pengamatan-pengamatan atau titik-titik di luar kendali (out of control
points), yaitu jika , atau polanya. Mendiagnosa proses jika
diperlukan.
Data yang digunakan dalam penelitian adalah data sekunder yang diperoleh dari
Lampiram I Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2010,
Puspitoningrum (2011) yang berdistribusi normal secara multivariat dengan
menggunakan uji chi-square (Johnson & Wichern, 2002). Data yang digunakan
memiliki tiga variabel (p=3) yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas, yaitu
pH (batas spesifikasi perusahaan 4 sampai 8), refractive index (RI) atau index bias
parfum remaja setelah dikemas (batas spesifikasi perusahaan 1,349 sampai 1,369), dan
masa jenis parfum remaja (batas spesifikasi perusahaan 0,884 sampai 0,930). Data
memiliki sebanyak m=320 pengamatan, 160 pengamatan pertama dianggap sebagai data
historis untuk phase I dan 160 pengamatan berikutnya dianggap sebagai pengamatan
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 238
baru untuk phase II. Pengolahan data dan komputasi menggunakan software R 3.0.1 dan
Matlab R2009a. Penelitian dilakukan dengan menerapkan estimator RMCD pada grafik
pengendali T2
Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (p=2, yaitu kombinasi
dua dari tiga variabel) dan trivariat (p=3). Grafik pengendali yang sudah didapat
kemudian diamati dan diidentifikasi titik-titik di luar kendali.
D. Hasil dan Pembahasan
Sebut variabel adalah karakteristik kualitas pH, adalah karakteristik kualitas
refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas, dan adalah
karakteristik kualitas masa jenis. Uji chi-square menunjukkan bahwa data karakteristik
kualitas parfum remaja periode April-Desember 2010 berdistribusi normal multivariat.
1. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2
Hotelling untuk
Pengamatan Individual Bivariat
Hasil penerapan phase I dari grafik pengendali bivariat dengan memilih
=0,01; =0,5 diberikan oleh Tabel 1. Menurut Davies dalam Chenouri dkk (2009)
kemungkinan titik breakdown tertinggi dari suatu estimator yang affine equivariant
adalah . Dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik
breakdown tertinggi yang diperoleh adalah .
Tabel 1. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali Bivariat
Pembeda
Kombinasi
dan dan dan
Iterasi
I
Jumlah
titik di luar
kendali
1 2 1
Indeks titik
di luar
kendali
155 23 & 39 155
Nilai
titik di luar
kendali
&
BPA 9,6958 9,6958 9,6958
Iterasi
II
Jumlah
titik di luar
kendali
0 ( in control) 0 ( in control) 0 ( in control)
Indeks titik
di luar
kendali
- - -
Nilai
titik di luar
- - -
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 239
kendali
BPA 9,7006 9,7055 9,7006
Dari Tabel 1 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in
control pada prosedur phase I grafik pengendali bivariat di semua kombinasi
variabel, yaitu dan , dan , serta dan . Sesuai pada prosedur phase I
dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD
dari paket rrcov software R yang diberikan oleh Todorov (2007). Dari estimator MCD
dapat dihitung estimator RMCD ( dan ). iterasi I untuk semua
kombinasi secara berurutan adalah , dan .
iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah
dan
.
dan digunakan untuk menentukan nilai sesuai langkah 2
menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih
=0,01; =0,5. Karena sudah diketahui p=2, sehingga digunakan nilai estimasi
1387,415 dan 1,6321. Dengan menggunakan persamaan (9)
didapatkan BPA untuk setiap kombinasi sama, yaitu 9,6958 karena pada iterasi I jumlah
pengamatan masih sama (160 pengamatan) untuk setiap kombinasi. Untuk mendapatkan
grafik pengendali dilakukan pemetaan dan BPA, grafik pengendali
bivariat iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3.
Gambar 1. Grafik pengendali
iterasi I phase I untuk variabel dan
Gambar 2. Grafik pengendali
iterasi I phase I untuk
variabel dan
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 240
Gambar 3. Grafik pengendali
iterasi I phase I untuk variabel dan
Dari grafik pengendali iterasi I pada Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3 dapat
diketahui ada titik-titik di luar kendali ( ). Pada kombinasi pertama ( dan
) terdapat satu titik di luar kendali di indeks ke-155 dengan nilai .
Pada kombinasi kedua ( dan ) terdapat dua titik di luar kendali di indeks 23 dan 39
dengan nilai dan . Pada kombinasi ketiga ( dan
) terdapat titik di luar kendali di indeks 155 dengan nilai . Titik-
titik di luar kendali ini kemudian dihapus dengan asumsi penyebab diketahui.
Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan
mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II estimator RMCD vektor rata-rata,
yang baru untuk semua kombinasi, secara berurutan yaitu ,
dan . Sedangkan yang baru untuk semua kombinasi secara
berurutan yaitu: .
Dengan menggunakan dan yang baru dihitung kembali nilai-nilai
. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada
iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan
pada iterasi I. Didapat BPA yang baru untuk kombinasi pertama hingga ketiga, secara
berurutan yaitu 9,7006; 9,7055; dan 9,7006. BPA untuk kombinasi pertama dan ketiga
sama karena jumlah titik di luar kendali yang dihapus sama. Kemudian dilakukan
pemetaan dan BPA. Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control,
yaitu kondisi dimana tidak ada nilai > BPA atau dengan kata lain tidak ada titik
di luar kendali. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase
I selesai dilakukan dan dapat dilanjutkan dengan phase II, langkah 7 sampai langkah 9.
Grafik pengendali bivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I pada semua
kombinasi ditunjukkan secara berurutan oleh Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6.
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 241
Gambar 4. Grafik pengendali
bivariat iterasi II phase I untuk variabel
dan
Gambar 5. Grafik pengendali bivariat
iterasi II phase I untuk variabel dan
Gambar 6. Grafik pengendali bivariat
iterasi II phase I untuk variabel dan
Pada langkah 7 dihitung dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320)
mengunakan dan yang sudah didapat pada kondisi in control phase I.
Kemudian dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat
grafik pengendali bivariat baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat
dideteksi dengan grafik pengendali bivariat pada phase II ini. Grafik pengendali
bivariat phase II untuk semua kombinasi secara berurutan diberikan oleh Gambar
7, Gambar 8, dan Gambar 9. Hasil penerapan estimator RMCD pada grafik pengendali
bivariat phase II diberikan oleh Tabel 3.
Gambar 7. Grafik pengendali bivariat
phase II untuk variabel dan
Gambar 8. Grafik pengendali
Bivariat phase II untuk variabel dan
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 242
Gambar 9. Grafik pengendali bivariat phase II untuk variabel dan
Tabel 3. Hasil Penerapan Prosedur Phase II Grafik Pengendali Bivariat
Kombinasi Jumlah Titik di Luar
Kendali
Indeks Titik di Luar
Kendali Nilai Titik di Luar
Kendali
dan 3 32 ;94;123 22,25; 10,64; 23,41
dan 6 61;73;78;93;103;104 11,09; 17,49; 20,92; 18,39;
28,55; 26,59
dan 2 32;123 24,11; 23,22
Dari Tabel 3 diketahui bahwa pada grafik pengendali bivariat phase II untuk
variabel dan yang diberikan oleh Gambar 7, ada tiga titik di luar kendali, yaitu
pada indeks 32, 94, dan 123, dengan nilai secara berurutan adalah 22,25; 10,64;
dan 23,41. Diketahui pula pada grafik pengendali bivariat phase II untuk variabel
dan yang diberikan oleh Gambar 8, ada enam titik di luar kendali, yaitu pada
indeks 61,73,78,93,103, dan 104, dengan nilai secara berurutan adalah 11,09;
17,49; 20,92; 18,39; 28,55; dan 26,59. Pada grafik pengendali bivariat phase II
untuk variabel dan yang diberikan oleh Gambar 9, ada dua titik di luar kendali,
yaitu pada indeks 32 dan 123, dengan nilai secara berurutan adalah 24,11 dan
23,22.
2. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2
Hotelling untuk
Pengamatan Individual Trivariat
Masih dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi
yang diperoleh adalah . Hasil penerapan
prosedur phase I dari grafik pengendali trivariat dengan memilih =0,01 ;
=0,5 diberikan oleh Tabel 4.
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 243
Tabel 4. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali Trivariat
Pembeda Iterasi
I II
Jumlah Titik di
Luar Kendali 3 0(in control)
Indeks Titik di
Luar Kendali 23;39;155 -
Nilai
Titik di Luar
Kendali
16,46; 15,58; 17,51 -
BPA 14,5162 14,6166
Dari Tabel 4 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in
control pada prosedur phase I grafik pengendali trivariat ( , , dan ). Sesuai
pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1
didapat estimator MCD dari paket rrcov sofware R. Dari estimator MCD dapat dihitung
estimator RMCD, dan secara berurutan yaitu:
; .
dan digunakan untuk menentukan nilai sesuai langkah 2 menurut
persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih =0,01 ;
=0,5. Karena sudah diketahui p=3, sehingga digunakan nilai estimasi
13533,973 dan . Sesuai langkah 3 digunakan persamaan (9) untuk
mendapatkan BPA=14,5162. Berikutnya dilakukan pemetaan dan BPA untuk
mendapatkan grafik pengendali trivariat. Grafik pengendali trivariat
iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 10.
Gambar 10. Grafik pengendali trivariat iterasi I phase I
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 244
Dari grafik pengendali trivariat iterasi I phase I pada Gambar 10 dapat
diketahui ada tiga titik di luar kendali pada indeks 23, 39, dan 155 dengan nilai
secara berturutan adalah 16,46; 15,58; dan 17,51. Sesuai langkah 5, titik-titik di luar
kendali ini dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di
luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada
iterasi II diperoleh estimator RMCD yang baru secara berurutan adalah
dan .
Dengan menggunakan dan yang baru dihitung kembali nilai-nilai
sesuai langkah 2. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter
yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah
dilakukan penghapusan pada iterasi I. Dari langkah 3 didapat BPA yang baru, yaitu
14,6166. Kemudian dilakukan pemetaan dan BPA sesuai langkah 4. Ternyata
pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai-
nilai > BPA. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya
phase I selesai dilakukan dan dilanjutkan dengan prosedur phase II, langkah 7 sampai
langkah 9. Grafik pengendali trivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I
ditunjukkan oleh Gambar 11.
Gambar 11. Grafik pengendali trivariat iterasi II phase I
Pada langkah 7 dihitung dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320)
mengunakan dan yang sudah didapat pada kondisi in control phase I.
Kemudian dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat
grafik pengendali baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi
dengan grafik pengendali trivariat pada phase II ini. Grafik pengendali
trivariat hasil penerapan phase II diberikan oleh Gambar 12.
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 245
Gambar 12. Grafik pengendali trivariat phase II
Pada Gambar 12 diketahui ada sebanyak delapan titik di luar kendali, yaitu pada indeks
32 , 46 , 73, 78, 93, 103, 104, dan 123 dengan nilai , secara berurutan yaitu
27,19415; 15,37344; 20,58837; 24,71327; 24,29873; 34,98609; 31,98614; dan
26,98379.
E. Simpulan dan Saran
Sudah diterapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling
untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas
Parfum Remaja periode April-Desember 2010. Ternyata hanya diperlukan dua kali
iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali
bivariat maupun grafik pengendali trivariat. Puspitoningrum (2011)
menyebutkan bahwa seluruh data memenuhi batas spesifikasi perusahaan, berarti
semakin sedikit titik di luar kendali semakin tegar grafik pengendali T2 Hotelling. Dapat
dilihat bahwa titik di luar kendali pada grafik pengendali lebih sedikit
dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (2011) yang menggunakan grafik
pengendali T2 Hotelling biasa. Perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan faktor
koreksi sampel terbatas ( ) pada dan perlu juga penelitian lanjutan mengenai
ketegaran grafik pengendali pada banyaknya outliers.
F. Daftar Pustaka
Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 2009. A Multivariate Robust Control
Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No.
3, 259-271.
Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 2008. High-Breakdown
Robust Multivariate Methods. Statistical Science 2008, Vol. 23, No. 1, 92–119.
DOI: 10.1214/088342307000000087.
Johnson, R.A. and Wichern, D.W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis.
Third Edition. New Jersey: Prentice Hall.
Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 2011. High Breakdown
Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied
Science 11 (3): 503-511.
Penerapan Estimator Robust RMCD
ISBN 978-602-1034-06-4 246
Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 2010. Re-weighted
Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMT-
GT Conference on Mathematics, Statistics and its Applications (ICMSA2010)
Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur.
Montgomery D.C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth
Edition.United States of America: John Wiley and Sons.
Pison, G.,van Alest, S., Willems, G. 2002. Small Sample Corrections for LTS and
MCD. Metrika 55, 111-123.
Prastyowati, Retno. 2009. Diagram Kontrol T2 Hottelling Berbasis Overlapping
Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program
Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan
Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut
Teknologi Sepuluh Nopember.
Puspitoningrum, Fitria. 2011. Penerapan Grafik Hotelling T2 pada Karakteristik
Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X”. Skripsi. Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Univ. Kristen Satya
Wacana.
Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien. 1999. A Fast Algorithm for the Minimum
Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 212-223.
Vanpaemel, Dina. 2013. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value,
Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg
Doctoraatsschool, Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke
Universiteit Leuven.
Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for
Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations.
Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 2013, Article ID
542305. Hindawi Publishing Corporation.
(http://dx.doi.org/10.1155/2013/54230, diakses 8 Oktober 2014).
Zhang, Jianfeng. 2011. Applications of A Robust Dispersion Estimator. Research
Dissertation. Doctor of Philosophy in Mathematics Department of Mathematics.
Carbondale: Southern Illionis University.