Download - Pp 2(bab 2)
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 11
Pertemuan # 4:Pertemuan # 4:
LLimitimit dan dan
KKontinuitas ontinuitas
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 22
2.3 Konsep Limit
Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat
ke L• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg
membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,Lxf
ax
)(lim
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 33
Contoh
1. 5
4
6
4lim
2
2
2
xx
xx
0.82 8.02
0.800042.001 79996.0999.1
0.803922.1 7959.09.1
81818.05.2 7778.05.1
83333.03 75.01
)()(
xfxxfx
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 44
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Maka :
Teorema Limit
kk1) limcx
cx2) limcx
f(x)limkkf(x)cx
cx
3)lim
g(x)limf(x)limg(x)f(x)cxcx
cx
4)lim
g(x)limf(x)limg(x)f(x)cxcx
cx
lim5)
g(x)limf(x).limf(x).g(x)cxcx
cx
lim6)
g(x)limf(x)/limg(x)
f(x)7)
cxcxcx
lim
n
cx
n
cx
f(x)limf(x)8) lim
nn
cx
limf(x)f(x)9) lim
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 55
Contoh
1) 42limxlim32)(3x2x2x
2xlim
2limxlim2xlim2)2x(xlim2)3x3x
2
3x
2
3x
1326922(3)(3)2
3)
7limlim9
2limlim3
)79(lim
)23(lim
79
23
22
22
2
2
2lim
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x
25
4
718
26
79(2)
23(2)
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 66
4) )x(9limx9 2
4x
2
4xlim
525)49( 2
5)
h
)xh2hx(xlim
h
xh)(x 222
0h
22
0hlim
2xh)(2xlimh
h2hxlim
0h
2
0h
6) )2(lim).32(lim)2)(32(lim111
xxxx
xxx
5)1.(5)21).(31.2(
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 77
1)
Limit Fungsi
Beberapa limit fungsi yang istimewa, yaitu :
1x
xsin1) lim
0x
untuk x kecil maka sin x x
1sinx
x2) lim
0x
1x
xtg3) lim
0x
Dapat dibuktikan berdasarkan (1) sbb :
x(cosx)
sinxlim
x
tanxlim
0x0x
11.1(cosx)
1lim.
x
sinxlim
0x0x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 88
4) 1tanlim
0
x
x
x
5) ex
x
x
11lim
6) ex x
x
/1
01lim Bukti :
Misalkan , berarti x 0 maka y sehingga :
y
1x
e)y
1(1limx)(1lim y
y
1/x
0x
7) 1x
x)ln(1lim
0x
Bukti :1/x
0x0xx)ln(1lim
x
x)ln(1lim
1elnx)(1limln 1/x
0x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 99
Contoh :
2
1.
tan6x
6x
3x
tan3xlim
tan6x
tan3xlim1)
0x0x
2
1.1.1
2
1
6xtan6x
lim
1.
3x
tan3xlim
2
1
06x
03x
2)
x
x x
21lim
Misalkan x = 2y, maka y bila x , sehingga :
2
2y
y
2y
x
x
xe
y
11lim
2y
21lim
x
21lim
3) 3
3x
x
3x
x
3x
xe
x
11lim
x
11lim
x
11lim
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1010
Beberapa macam metode untuk menentukan limit :
a) Menentukan limit dengan memfaktorkan : Umumnya metode ini digunakan untuk menyelesaikan limit aljabar pada fungsi pecahan : Langkah-langkah yang digunakan adalah menyederhanakan bentuk pecahan tersebut dengan memfaktorkan. Contoh
2)1x
1x1)
2
1xlim
1)(x
1)1)(x(xlim
1x
21)(xlim1x
3)1)(x(x
3)2)(x(xlim
34xx
65xxlim
2x2
2
2x
3
4
1)(x
2)(xlim
2x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1111
b. Menentukan limit dengan merasionalkan bentuk akar : Agar pecahan dapat disederhanakan pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawannya.
Contoh :
2x
14x31) lim
2x
2x
1)(4x9lim
2x
)14x2)(3(x
4x8lim
2x
)14x2)(3(x
2)4(xlim
2x
3
2
14x3
4lim
2x
23x
23x
23x
1)(xlim
23x
1xlim2)
2
2
21x21x
43)(x
2)3x1)((xlim
2
2
1x
1x
2)3x1)((xlim
2
2
1x
1)1)(x(x
2)3x1)((xlim
2
1x
22
4
1x
2)3x(lim
2
1x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1212
2)
c. Menentukan limit dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi.
Metode ini digunakan untuk jenis fungsi pecahan dengan x mendekati tak hingga (x ), dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi.
01
lim xx
Contoh :
32
23
x 2x6x3
74xx1) lim
3
3
3
2
3
33
2
3
3
xx
2xx
6xx
3x
7x
4xx
x
lim
2
1
332
33
x2
3
x x1xx
x2xlim
1x
2xlim
limit)ada(tak
x1x1
2lim
3x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1313
Limit Kiri dan Limit kanan
Jika x mendekati a dari kiri, maka x a- Jika x mendekati a dari kanan, maka x a+ Secara limit kedua pernyataan diatas ini ditulis sebagai berikut :
ada, berarti fungsi memiliki limit kiri
ada, berarti fungsi memiliki limit kanan
ada, mengandung arti bahwa keduanya limit kiri dan kanan ada dan sama.
f(a)limax
f(a)limax
f(a)limax
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1414
Selidiki :
Jawab : Untuk : , maka - dan 0.
Maka :
Untuk : , maka + dan .
Maka :
Limit kiri limit kanan, sehingga tidak ada.C
xx /10 23
1lim
0xx
1 x/12
3
1
03
1
23
1lim
/10
xx
0xx
1 x/12
01
23
1lim
/10
xx
xx /10 23
1lim
Contoh :
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1515
Kontinuitas
Sebuah fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = xo jika :
(i) f(xo) terdefinisi,
(ii) ada,
(iii)
f(x)limoxx
)f(xf(x)lim oxx o
Contoh : f(x) = x2 + 1 kontinu di x = 2, karena : Persyaratan ini mengandung arti bahwa fungsi hanya mungkin kontinu pada titik dalam daerah definisinya. Sebuah fungsi yg kontinu disetiap titik dlm suatu interval dikatakan kontinu dlm interval tersebut, dan diskontinu pada x = xo jika satu atau lebih syarat untuk kontinuitas tidak berlaku dititik tersebut.
f(2)5f(x)lim2x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1616
Contoh diskontinuitas :
1) adalah diskontinu pada x = 2, karena :
(i) f(2) tidak terdefinisikan (mempunyai penyebut nol)
(ii) tidak ada (sama dengan ) Fungsi ini kontinu dimana-mana kecuali pada x = 2 dimana fungsi tsb dikatakan memp. diskontinuitas yg berhingga.
2x
1)x(f
)(lim2
xfx
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1717
Contoh-contoh :
1) Hitunglah :
105.2xlim55xlima)2x2x
31841)4x(xlim 2
2x
)b
5
1
2)(xlim
2)(xlim
2x
2xlimc)
3x
3x
3x
39
)x(25limx25limd) 2
4x
2
4x
2) Hitunglah :
7
1
3x
1lim
4)3)(x(x
4xlim
12xx
4xlima)
4x4x24x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1818
b) 2
9
3x
93xxlim
3)3)(x(x
9)3x3)(x(xlim
9x
27xlim
2
3x
2
3x2
3
3x
c)
2
22
2x
2
2
2
2
2x
2
2
2x
x4
)5x)(3x(4lim
)5x(3
)5x(3
5x3
x4lim
5x3
x4lim
6)5x(3lim 2
2x
d)
limitadatak;
1x
2xlim
1)(x
2)1)(x(xlim
1)(x
2xxlim
4x
21x
2
2
1x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1919
c)
b)
3) Hitung :
3
1
09
03
7/x9
2/x3lim
79x
23xlima)
xx
1006
006
1/x3/x6
1/x2/x6lim
43x6x
12x6xlim
2
2
x2
2
x
limit)ada(tidak5/x1/x
4lim
5x
4xlim
2x2
3
x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2020
Soal-soal :
1) Selesaikan :
4x)(xlima) 2
2x
23x
1xlimb)
21x
4)3x2x(xlimc) 23
1x
34xx
23xxlimd)
2
2
1x
44ww
6)w2)(w(wlime)
2
2
2w
1/33
2y 4y
8y4ylimf)
4u
12uulimg)
2
2
2u
3
2
1x 1)(x
1)(3xlimh)
12yy
3)2y1)(y(ylimi)
2
2
1y
1/234
5w19)9w(2wlimj)
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2121
3) Hitung :
x
cosx1lima)
0x
sin(2x)
tan(3x)limb)
0x
sin(3x)
2sinxsin(2x)limc)
0x
cosx1
2xlimd)
0x
2sinxcosx
sin(4x)lime)
0x
2
2
0x x
(x/4)sinlimf)
x
a)sin(xa)sin(xlimg)
0x
1)tan(x
1)5sin(xlimh)
0x
Limit & Kontinuitas
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2222
4) Tentukan : 6) Tentukan titik2 diskontinu & jenis diskontinuitas dari fungsi-fungsi :1)]ln(3x1)[ln(9xlima)
x
1)}ln(x5)4x{ln(xlimb) 2
x
5n
n n
11limc)
4x
x 15x
15xlimd)
13n
n 5n
10nlime)
15n
n 3n
11limf)
9x
27xf(x)a)
3
3
1x
1xf(x)b)
2
5x3
x4f(x)c)
2
2
4x
16xf(x)d)
2
4