Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang
tak diketahui.
Bentuk umum
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxabxaxa
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
Sistem Persamaan Linier
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxabxaxa
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
atau secara singkat bAx
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
; ; bxA
dengan
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
mmnmm
n
n
baaa
baaabaaa
||||
~
21
222221
111211
A
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
Sistem Persamaan Linier
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan
linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
Sistem Persamaan Linier
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier:
Contoh-1:
02348253
0248
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxxxxxx
xxxxx
dalam bentuk matriks:
0808
23412531
02410011
D
C
B
A
xxxx
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandeng:
0|23418|25310|02418|0011
Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan menghilangkan suku pertama baris-baris berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
1 baris 1 baris
baris1 pivot
8|23300|25208|02308|0011
Sistem Persamaan Linier
Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah
2 baris 2 baris 2/3
pivot
0|21003/16|23/4500
8|02308|0011
3
0|210016|611008|02308|0011
Baris ke-3
dikalikan 3 agar elemen baris ini bilangan bulat
Sistem Persamaan Linier
Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan menghilangkan suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
3 baris 11pivot
16|1600016|611008|02308|0011
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier:
161616611
8238
D
DC
CB
BA
xxxxx
xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:
12 ; 4 ; 2 ; 1 ABCD xxxx
Sistem Persamaan Linier
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
Berikut ini akan kita lihat contoh sistem yang memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi
Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
823024
8
CB
CBA
BA
xxxxx
xx
Matriks gandeng
8|2300|2418|011
Eliminasi Gauss
8|2308|2308|011
0|0008|2308|011
Contoh-2:
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
00823
8
CB
BAxx
xx
3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan
3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan
Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu
Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi
Sistem Persamaan Linier
1023024
8
CB
CBA
BA
xxxxx
xx
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
10|2300|2418|011
10|2308|2308|011
2|0008|2308|011
Contoh-3:
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
Sistem Persamaan Linier
20823
8
CB
BAxx
xx
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
Bentuk Eselon
Sistem Persamaan Linier
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
000230
011
2|0008|2308|011
dan
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah
m
r
rrnrr
n
n
b
bbkk
bccbaaa
|0||0|||0|
1
2222
111211
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk
m
r
rnrnrrr
nn
nn
b
bbxkxk
bxaxcbxaxaxa
0
0
1
22222
11212111
dengan 0 , 0 ,0 2211 rrkaa , dan r n
Sistem Persamaan Linier
a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.
nr mr bb ,,1
nr mr bb ,,1
nr nr mr bb ,,1
Perhatikan bentuk ini:
Sistem Persamaan Linier
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.
mr bb ,,1
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika ; jika akan memberikan banyak solusi. nr nr
Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian
tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Sistem Persamaan Linier
Misalkan maaa , , 21
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
02211 mmccc aaa
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah
bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu
tidak bebas linier.
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk
dapat dipenuhi.
Sistem Persamaan Linier
Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak
bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain; misalnya vektor a1 dapat dinyatakan
sebagai
01
21
21 m
mcc
cc aaa
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Sistem Persamaan Linier
Contoh-4: Dua vektor baris 21321 a 26242 a dan
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
026242132 212211 cccc aa
hanya akan terjadi jika 021 cc
Ambil vektor ketiga 42643 a
Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
4264213222 13 aa
Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
42642624 02132 202 213 aaa
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
Sistem Persamaan Linier Rank Matriks
Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir
eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Sistem Persamaan Linier
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
1600061100
02300011
16|1600016|611008|02308|0011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Contoh-5:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
Sistem Persamaan Linier
Contoh-6:
000230
011
0|0008|2308|011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
Sistem Persamaan Linier
Contoh-7:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
000230
011
2|0008|2308|011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak
samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.
Sistem Persamaan Linier
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk
0. . . . . . . . . . .
00
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
0||
0|0|
~
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
Sistem Persamaan Linier
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
0|000|
0|00|
~ 222
11211
mn
n
n
a
aaaaa
A
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan
berbentuk
0
0 0
2222
1212111
nmn
nn
nn
xa
xaxaxaxaxa
Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .
0nx
nr
Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial
Sistem Persamaan Linier
02340253
0240
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxxxxxx
xxxxx
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
0|23410|25310|02410|0011
0|160000|611000|02300|0011
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi
0160611
0230
D
DC
CB
BA
xxxxx
xx0 ABCD xxxxyang akhirnya memberikan
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr
Contoh-8:
Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial
Sistem Persamaan Linier
061340253
0240
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxxxxxx
xxxxx
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah
Contoh-9:
0|613410|25310|02410|0011
0|00000|611000|02300|0011
eliminasi Gauss:
sistem persamaan menjadi
000611
0230
DC
CB
BA
xxxx
xx
1Dx
3312
;3312
;116
ABC xxx
Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh
.
Sistem Persamaan Linier
Solusi ini membentuk vektor solusi
111/633/123312
1
/
x
yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0
0000
16/11
12/3312/33
000061100
02300011
1Ax
Sistem Persamaan Linier
Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu
33Dx
12 33
33181212
xx
Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol
Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk
1xx cc
dengan c adalah skalar sembarang
Sistem Persamaan Linier
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.
111213 3433
33181212
111/633/1233/12
xxxxxx
Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai
cj xx
Sistem Persamaan Linier
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n r), yaitu selisih antara banyaknya
unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak
diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh
melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu.
Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 .
Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2
041070254
02540
DCBA
DCBA
DCBA
BA
xxxxxxxxxxxx
xxContoh-10:
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
0|410710|25410|25410|0011
0|00000|00000|25300|0011
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi
0000
02530
DCB
BAxxx
xx
Sistem Persamaan Linier
0dan 1 DC xx
5/3 ; 3/5 AB xx
Jika kita memberi nilai
kita akan mendapatkan
.
01
3/53/5
1x adalah salah satu vektor solusi
Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor 0b
0000
00
05503/53/5
01
3/53/5
0000000025300011
1Ax
Sistem Persamaan Linier
Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan
0xA 11k 0xA 12k
,
dan 0)( 111211211 xAxAxAxA ckkkk
Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka
)( , , 12111211 xxxx kkkk
adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai . 0dan 1 DC xx
Sistem Persamaan Linier
1dan 0 DC xx 3/2Bx
3/2Ax
Jika akan kita peroleh
dan yang membentuk vektor solusi
10
3/23/2
2x
Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti
)( , , 22212221 xxxx llll
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
21 xxx lk
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.
Sistem Persamaan Linier
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen
dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n r).
Sistem Persamaan Linier
Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-jordan
Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian
pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks
identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A1 sehingga definisi ini memberikan relasi
11 AAIAA
Jika A berukuran n n maka A1 juga berukuran n n dan demikian pula matriks identitasnya.
Sistem Persamaan Linier
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks
adalah unik atau bersifat tunggal.
Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi
jika P = Q.
QQIAPQQAPPAQIPP )()(
Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan
jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
Sistem Persamaan Linier
Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien
A ada, atau jika matriks A tak singular.
Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari
kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak
homogen, yaitu
bAx
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh
bAxIxbAAxA 111
Sistem Persamaan Linier
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa
vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A1 sama dengan n. Dengan perkataan lain
matriks A yang berukuran n n tak singular jika rank A sama dengan n dan akan singular jika rank A
lebih kecil dari n.
Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.
Jika X adalah kebalikan matriks A maka
IAX
Sistem Persamaan Linier
IAA ~
HU
HU
XI
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan
A~ dan kita lakukan eliminasi Gauss pada
sehingga matriks gandengan ini berubah menjadi
dengan U berbentuk matriks segitiga atas.
Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada
yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.
Langkah akhir ini akan menghasilkan
Sistem Persamaan Linier
Contoh-11: Kita akan mencari kebalikan dari matriks
142223221
A
Kita bentuk matriks gandengan IA
100|142010|223001|221
IA
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
1 baris 2 1 baris3
pivot
102|580013|480001|221
Sistem Persamaan Linier
2 baris pivot
111|100013|480001|221
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
)8/1( 111|10008/18/3|2/110001|221
baris35.03 baris2
111|100
2/18/58/7|010223|021
2 baris2
111|1002/18/58/7|010
18/68/10|001
Sistem Persamaan Linier
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu
1112/18/58/7
18/68/101A
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya
008
142223221
3
2
1
xxx
vektor solusinya adalah
87
10
008
111
2/18/58/718/68/10
008
142223221
1
3
2
1
xxx
Sistem Persamaan Linier
Kebalikan Matriks Diagonal
Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.
nnnn a
a
a
a
/1000000/1
000000 11
111
Kebalikan Dari Kebalikan Matriks
Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.
AA 11
Sistem Persamaan Linier
Kebalikan Dari Perkalian Matriks
Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
111 ABAB
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
1 ABABI
111111
11
111111
ABABIABBBAB
ABBA
ABIBABBAAABABAIA
Courseware
Sistem Persamaan Linier
Sudaryatno Sudirham