Download - Pertumbuhan Dan Peluruhan
-
Outline
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Jember
27 Februari, 2014
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Outline
Outline
1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial
3 Peluruhan Radioaktif
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Outline
Outline
1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial
3 Peluruhan Radioaktif
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Outline
Outline
1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial
3 Peluruhan Radioaktif
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Pertumbuhan populasi y yaitu kelahiran dikurangi kematiandalam jangka waktu yang pendek t sebanding denganbanyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dansebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadiy = kyt atau
yt
= ky
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial
dydt = ky
k > 0 populasi bertambah. k < 0 populasi berkurang. Untukpopulasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,0198.Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Menyelesaikan Persamaan Diferensial
dydt = ky dengan syarat awal y = y0 apabila t = 0. Denganmemisahkan peubah dan mengintegrasikan, diperoleh
dyy = kdt
dyy =
kdt
ln y = kt + C (1)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Menyelesaikan Persamaan Diferensial
Syarat y = y0 pada saat t = 0 akan menghasilkan C = ln y0pada persamaan (1). Sehingga,
ln y ln y0 = kt
ln yy0= kt
yy0
= ekt y = y0ekt
Ketika k > 0, jenis pertumbuhannya disebut PertumbuhanEksponensial dan ketika k < 0, disebut PeluruhanEksponensial.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh SoalContoh 1Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan 4milyar. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2000 ? Setelahberapa tahun penduduk dunia menjadi dua kali lipatnya ?Penyelesaiant = banyaknya tahun setelah 1975, y dinyatakan dalam satuanmilyar sehingga y0 = 4, karena k = 0, 0198 maka diperoleh
y = 4e0,0198t
Pada tahun 2000, berarti t = 25, sehingga diperoleh
y = 4e0,0198(25) 6, 6milyar
.Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh SoalContoh 1Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan 4milyar. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2000 ? Setelahberapa tahun penduduk dunia menjadi dua kali lipatnya ?Penyelesaiant = banyaknya tahun setelah 1975, y dinyatakan dalam satuanmilyar sehingga y0 = 4, karena k = 0, 0198 maka diperoleh
y = 4e0,0198t
Pada tahun 2000, berarti t = 25, sehingga diperoleh
y = 4e0,0198(25) 6, 6milyar
.Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh Soal
Penyelesaian Lanjut...Penduduk dunia mencapai 8 milyar (2 kali lipatnya),dirumuskan dengan 8 = 4e0,0198t , setelah kedua ruas dibagi 4,dan melakukan logaritma maka diperoleh
ln 2 = 0, 0198t
t =ln 2
0, 0198Sehingga diperoleh t = 35 tahun
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh Soal
Contoh 2Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hariada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya menjadi 40.000. Berapabanyaknya bakteri pada pukul 17.00 ?
Penyelesaiany0 = 10.000 dan y = 40.000 pada saat t = 2, sehinggadiperoeh y = y0ekt dan 40.000 = 10.000ek(2)
ln 4 = 2k k = (ln 4)2 = ln 2 0, 693
Jadi y = y0e0,693t untuk t = 5, diperolehy = 10.000e0,693(5) 320.000
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh Soal
Contoh 2Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hariada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya menjadi 40.000. Berapabanyaknya bakteri pada pukul 17.00 ?
Penyelesaiany0 = 10.000 dan y = 40.000 pada saat t = 2, sehinggadiperoeh y = y0ekt dan 40.000 = 10.000ek(2)
ln 4 = 2k k = (ln 4)2 = ln 2 0, 693
Jadi y = y0e0,693t untuk t = 5, diperolehy = 10.000e0,693(5) 320.000
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Peluruhan Radioaktif
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yangmengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktifmengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanyasaja sekarang untuk k < 0.
yt
= ky
ContohKarbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zatradioaktif. Zat ini meluruh dengan laju yang sebanding denganbanyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah5730/tahun, maksudnya zat tersebut memerlukan waktu 5730untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awalada 10 gram, berapa sisanya setelah 2000 tahun ?Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Peluruhan Radioaktif
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yangmengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktifmengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanyasaja sekarang untuk k < 0.
yt
= ky
ContohKarbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zatradioaktif. Zat ini meluruh dengan laju yang sebanding denganbanyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah5730/tahun, maksudnya zat tersebut memerlukan waktu 5730untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awalada 10 gram, berapa sisanya setelah 2000 tahun ?Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
-
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Peluruhan Radioaktif
Penyelesaian12 = 1e
k(5730)
ln 2 = 5730k
k = ( ln 2)5730k 0, 000121
Jika y0 = 10 dan t = 2000, makay = 10e0,000121(2000) 7, 80 gram
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014