1

PENGGUNAAN TURUNAN

Setelah pada bab sebelumnya, kita membahas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membahas tentang aplikasi

turunan, diantaranya untuk menghitung nilai limit bentuk tak tentu, laju sesaat, aproksimasi, dan maksimum minimum.

1. Limit Bentuk Tak Tentu. Pada bab III kita telah membahas tentang teknik menghitung limit fungsi,

baik untuk fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi eksponensial. Teknik yang telah diberikan sebelumnya ternyata tidak cukup untuk menghitung limit fungsi yang ada, khususnya limit bentuk tak tentu, seperti

x

exx x

x

+

coslim0

. Bentuk tak tentu ini berupa bentuk 0/0, sedangkan bentuk

tak tentu lainnya adalah 0., - , 00, 0, dan /. Oleh karena itu diperlukan

teknik yang lainnya, diantaranya adalah aturan LHospital.

Aturan LHospital adalah sebagai berikut:

Jika 0)( =af dan 0)( =ag atau )(af dan )(ag , maka

)(')('lim)(

)(limxgxf

axxgxf

ax =

.

Contoh : Hitunglah:

1. x

xxe

x sincos

0lim

2. 113

1lim

x

x

x

3. x

x

x lnsinlnlim

0+

2

Penyelesaian:

1. Karena 0110cos0 ==e dan 00sin = , maka x

xxe

x sincos

0lim

dapat

dihitung dengan menggunakan aturan Lhospital. Oleh karena itu:

11

010cos

0sin0

cos

sin0

limsin

cos

0lim =+=+=+

=

e

x

xxe

xx

xxe

x

2. Karena 011131 == dan 011 = , maka 113

1lim

x

x

x dapat dihitung

dengan menggunakan aturan Lhospital. Oleh karena itu:

6

21

3lim11lim

2

1

3

1==

x

x

x

x

xx

3. Karena =+0sinln dan =+0ln , maka x

x

x lnsinlnlim

0+ dapat dihitung

dengan menggunakan aturan Lhospital. Oleh karena itu:

1tan

limlimlnsinlnlim

01sincos

00===

+++ x

x

x

x

xx

x

x

xx

.

2. Laju Sesaat Jika posisi benda pada saat t adalah )(tS , maka posisi benda pada saat t +

h adalah )(tS , sehingga laju rata-rata perubahan posisi benda dari t ke t + h adalah

htShtS )()( +

.

Jika saat h 0, maka h

tShtS )()( + disebut laju sesaat benda pada saat t.

Oleh karena itu laju sesaat benda pada saat t, dinotasikan dengan )(tv , adalah

)(')()(lim)(0

tSdtdS

htShtS

tvh

==

+=

.

3

Selanjutnya, turunan pertama dari laju sesaat disebut percepatan dan dinotasikan dengan )(ta . Contoh: 1. Sebuah benda dijatuhkan dari menara dengan ketinggian 490 m, memenuhi

persamaan gerak )(tS = 4,9t2, dengan )(tS menyatakan jarak yang ditempuh benda (dalam satuan meter) pada saat t dengan t menyatakan waktu (dalam satuan detik). Tentukan a. Kecepatan benda setelah 5 detik. b. Kecepatan benda ketika menabrak tanah.

2. Sebuah benda dilemparkan ke atas dan mempunyai persamaan gerak )(tS = 4t t2, dengan )(tS menyatakan jarak benda dari tanah (dalam satuan meter) pada saat t dengan t menyatakan waktu (dalam satuan detik). Tentukan

a. Saat benda bergerak semakin cepat

b. Saat benda bergerak semakin lambat

c. Ketinggian maksimum benda

Penyelesaian: 1.a. Kecepatan benda setelah t detik adalah

ttStv 8,9)(')( == Jadi kecepatan benda setelah 5 detik adalah

v(5) = 9,8 (5) m/det = 49 m/det. b. Waktu yang diperlukan benda untuk mencapai tanah adalah ketika jarak

yang ditempuh benda mencapai 490 m.

)(tS = 490. 4,9t2 = 490

t2 = 100

t = -10 dan t = 10

Jadi kecepatan benda ketika menabrak tanah adalah

v(10) = 9,8 (10) m/det = 980 m/detik. 2.a. Benda bergerak semakin cepat jika 0)( >tv dan 0)( >ta atau 0)(

4

2>t . Karena )(tS = 4t t2 0, maka 0 t 4, sehingga benda bergerak semakin cepat pada saat 42 < t .

b. Benda bergerak semakin lambat jika 0)( >tv dan 0)(

5

A 8pir r = 8.pi.3. 0,025 = 1,885 cm2

Jadi hampiran pertambahan luas gelembung sabun adalah 1,885 cm2. 3. Unit pencahayaan (lampu kilat) sebuah kamera bekerja dengan cara

menyimpan muatan pada sebuah kapasitor dan melepaskannya secara

mendadak ketika unit ini dilepaskan. Data pada tabel berikut

menggambarakan muatan Q yang tersisa dalam kapasitor (dalam mikrocoulomb) pada waktu t (dalam detik setelah unit ini dinyalakan). Tentukan besarnya arus yang mengalir dari kapasitor ke lampu kilat, diukur dalam microampere, pada saat t = 0,04 detik. Petunjuk i(t) = Q(t).

Penyelesaian:

Q(0,04) = h

QhQh

)04,0()04,0(lim0

+

Berdasarkan hal tersebut, diperoleh

Q(0,04) h

QhQ )04,0()04,0( +

Dari data di atas dipilih dapat dipilih h = 0,02 atau h = -0,02. Jika h = 0,02,

kita peroleh:

Q(0,04) = 5,60702,0

03,6788,5402,0

)04,0()06,0(=

=

QQ

(Tanda negatif menunjukkan bahwa muatan listrik mengalir meninggalkan kapasitor menuju lampu kilat. Nilai ini menunjukkan besarnya arus rata-rata pada interval waktu antara 0,04 detik dan 0,06 detik). Jika h = -0,02, maka akan kita peroleh

Q(0,04) = 74202,0

03,6787,8102,0

)04,0()02,0(=

=

QQ

t 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 1,00

Q 100,00 81,87 67,03 54,88 44,93 36,76

6

Nilai ini menunjukkan besarnya arus rata-rata pada interval waktu antara 0,02 detik dan 0,04 detik Hampiran yang lebih akurat didapatkan dengan

mengambil rata-rata kedua bilangan tersebut, yaitu:

Q(0,04) 75,6742

)5,607(742=

+

Hal ini berarti bahwa besarnya arus listrik yang mengalir dari kapasitor ke

lampu kilat mendekati nilai 674,75 mikroampere.

4. Permasalahan Maksimum dan Minimum Salah satu penerapan turunan adalah penentuan nilai optimum suatu

fungsi. Persoalan ini dapat direduksi menjadi pencarian nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Berikut diberikan definisi (pengertian) nilai maksimum dan nilai minimum.

a. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak (atau nilai maksimum global) di c jika f(c) f(x) untuk setiap x dalam domain fungsi f. Nilai f(c) disebut nilai maksimum fungsi f.

b. Fungsi f mempunyai nilai minimum mutlak (atau nilai minimum global) di c jika f(c) f(x) untuk setiap x dalam domain fungsi f. Nilai f(c) disebut nilai minimum fungsi f.

Selain nilai maksimum global dan nilai minimum global, dikenal juga pengertian nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal.

a. Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal di c jika f(c) f(x) bilamana x terletak dekat c. Hal ini berarti bahwa f(c) f(x) untuk setiap x di dalam suatu selang terbuka yang memuat c.

b. Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal di c jika f(c) f(x) bilamana x terletak dekat c. Hal ini berarti bahwa f(c) f(x) untuk setiap x di dalam suatu selang terbuka yang memuat c.

7

Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.

(xo+h,f(xo+h)) L1

(xo,f(xo))

L2

Dari penjelasan sebelumnya telah disebutkan bahwa

hxfhxf

mm oo

hL

hL

)()(limlim00

1 2+

==

= )(' oxf .

Karena garis singgung kurva L1 condong ke kanan, maka 1Lm = )(' oxf > 0, sehingga di x = xo kurva f naik. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa:

kurva f naik di x = xo, jika )(' oxf > 0. Dengan argumen yang sama diperoleh:

1. Kurva f turun di x = xo, jika )(' oxf < 0 2. Kurva f tidak naik dan tidak turun di x = xo, jika )(' oxf =0.

Titik (xo,f(xo)) dengan )(' oxf = 0 merupakan salah satu titik kritis dan disebut titik stasioner . Jenis titik kritis lainnya adalah titik singular, yaitu

)(' oxf tidak ada, dan titik ujung interval. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.

8

Dari gambar di atas terlihat bahwa nilai maksimum mutlak terjadi pada x = q (titiknya berupa titik singular), nilai maksimum lokal terjadi pada x = p (titiknya berupa titik stasioner), nilai minimum lokal terjadi pada x = a (titiknya berupa titik ujung interval) dan x = r (titiknya berupa titik stasioner), serta nilai minimum mutlak terjadi pada x = b (titiknya berupa titik ujung interval). Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan

minimum baik lokal maupun mutlak terjadi pada titik kritis. Dari gambar di atas, diperoleh juga kriteria khusus untuk titik stasioner, yaitu:

i. Titik stasioner disebut titik maksimum, jika )(' xf < 0 untuk x > xo dan )(' xf > 0 untuk x < xo

ii. Titik stasioner disebut titik minimum, jika )(' xf > 0 untuk x > xo dan )(' xf < 0 untuk x < xo

a b p q

f(p) = 0 f(q) tidak ada x = b, a titik ujung interval

Titik kritis

titik ujung

titik singular

titik stasioner

r

9

Contoh :

1. Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan titik belok dari kurva y = 31

x3

51

x5. Kemudian sketsa grafiknya.

Penyelesaian : y = x2 x4 = x2(1 x)(1+x). Titik kritis terjadi pada saat y = 0, yaitu pada x = 0, -1, dan 1.

x < -1 -1 < x < 0 0 < x < 1 x > 1

y Negatif positif positif Negatif

Minimum lokal di x = -1, maksimum di x = 1

Nilai maksimum y = 152

dan nilai minimum y = -152

.

2. Tentukan nilai maksimum fungsi y = x3 - 3x 5 pada interval [-2,2] Penyelesaian : y = 3x2 3 = 0, maka x = 1 atau x = -1.

x < -1 -1 < x < 1 x > 1

y positif negatif positif

Maksimum lokal di x = -1, minimum lokal di x = 1

Nilai fungsi untuk x= -1 adalah y = -3

Nilai fungsi untuk x = 1, yaitu y = -7.

Nilai fungsi di ujung interval adalah f(2) = -3 dan f(-2) = -7 . Jadi nilai minimum fungsi adalah 7 sedang nilai maksimumnya adalah 3. 3. Tentukan ukuran tabung tegak yang volumenya maksimum yang dapat

ditempatkan dalam sebuah kerucut lingkaran tegak dengan jari-jari 10 cm dan tinggi 12 cm.

Penyelesaian : Persoalan di atas dapat digambarkan sebagai berikut.

10

Misalkan jari-jari, tinggi, dan volume tabung yang dapat dibuat berturut-turut adalah r, t, dan V.

Volume tabung adalah

V = pi r2 t

Dari gambar di atas, dari keserupaan segitiga diperoleh

r

t=

121012

sehingga

rt101212 =

Bila kit substitusikan t ini ke dalam rumus V, diperoleh

V = pi r2 .( r101212 )

Karena kita akan memaksimumkan V maka dicari turunan V terhadap r, diperoleh

25

18 24 rrV pipi =

Untuk V=0 diperoleh nilai stasioner r = 0 atau r = 3

20.

Jadi agar volume tabung maksimum maka jari-jari tabung adalah r = 3

20cm dan

tinggi tabung adalah rt101212 = = 4 cm.

11

Latihan 5. 1. Dengan menggunakan dalil Lhospital, hitunglah:

a. 23x

1xlim21x

+

b. h

xhxlim0h

+

c. h

3h3lim0h

+

d. x53x

4xlim4x

e.

3

2

1xx

11x

11lim

f. x

xx

x sin)1ln(

0lim +

g. x

xx

x sin)1ln(

0lim +

h. 6x5x

9xlim 22

3x +

i. x

xxe

x sin1cos

0lim

j. 2csc1cot

0lim

+

x

x

x

k. 2csc1cot

0lim

+

x

x

x

l. )ln(

cossin

0lim

xex

xx

e

x +

m. 3sin

0lim

x

xx

x

n. x

x

x tanlnsinlnlim

0+

o. xxx

tan)2

(lim2

pipi

p. 2cosln

0lim

x

x

x

q. )1

11(0

lim

xexx

r.

3

)3

sin(

3

limpi

pi

pi

x

x

x

88

2. Tentukan laju perubahan luas lingkaran terhadap jari-jarinya. 3. Tentukan laju perubahan volume suatu partikel emulsi berbentuk bola terhadap jari-

jarinya. 4. Banyaknya penduduk P (dalam ribuan) pada sebuah kota dari tahun 1991 sampai

tahun 1997 disajikan pada table berikut. Tabel banyaknya penduduk pada suatu kota (dalam ribuan)

Tahun (t) 1991 1993 1995 1997 P 793 820 839 874

Apakah satuan dtdP ?

Taksirlah laju pertumbuhan sesaat (dP/dt) tahun 1995. 5. Misalkan persamaan gerak partikel diberikan oleh persamaan

s = A cos (t + ) Partikel dengan persamaan gerak tersebut dikatakan mengalami gerak harmonik sederhana.

a. Carilah kecepatan partikel pada waktu t.

b. Kapan kecepatan 0 ?

6. Bintang berubah Cepheid adalah bintang yang kecermelangannya berganti-ganti, bertambah dan berkurang. Bintang yang paling dapat dilihat dengan mudah adalah

Delta Cephei, yang memiliki selang di antara waktu kecermelangan maksimum 5,4 hari. Rata-rata kecemerlangan bintang ini adalah 4,0 dan kecemerlangannya berubah

sebesar 0,35. Berdasarkan data ini, kecemerlangan Delta Cephei pada saat t,

dengan t diukur dalam hari, telah dimodelkan oleh fungsi

+=

4,52

sin35,00,4)( ttB pi

a. Carilah laju perubahan kecemerlangan setelah t hari. b. Carilah laju pertambahan setelah satu hari (ketelitian hingga 2 desimal).

7. Model untuk banyaknya matahari bersinar di kota Philadelphia pada hari ke-t pada

tahun tertentu adalah

( )

+= 80

3652

sin8,212)( ttL pi

Gunakan model tersebut untuk membandingkan banyaknya jam matahari bersinar di Philadelphia pada tanggal 21 Maret dan 21 Mei.

89

Keterangan:

1 Januari merupakan hari ke-1, 1 Pebruari merupakan hari ke-32, 1 Maret

merupakan hari ke-60, dan seterusnya.

8. Rusuk kubus diukur sebagai 11,4 cm dengan galat yang mungkin 0,05 cm. Hitung

volume kubus dan berikan taksiran untuk galat dalam nilai ini.

9. Garis tengah luar sebuah tempurung bola tipis adalah 12 dm. Jika tebal tempurung 0,3 dm, carilah volume daerah sebelah dalam tempurung .

10. Garis tengah sebuah bola diukur sebagai 20 0,1 cm. Hitung volumenya dengan

suatu taksiran untuk galat

11. Penggiling berbentuk tabung panjangnya tepat 12 cm dan garis tengahnya diukur sebagai 6 0,005 cm. Hitung volumenya dengan taksiran untuk galat.

12. Posisi sebuah partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t3 6t2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter.

a. Carilah percepatan pada saat t. Berapa percepatan setelah 4 detik? b. Gambarkan fungsi posisi, kecepatan, dan percepatan untuk 0 t 5. c. Kapan partikel bertambah cepat?

13. Carilah nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak f pada interval yang diberikan. a. F(x) = 18x + 15x2 4x3, [- 3, 4] b. F(x) = 3x5 5x3 1, [- 2, 2] c. F(x) = sin x + cos x, [0, 2pi]

14. Model untuk indeks harga makanan (harga sekeranjang makanan yang mewakili) antara tahun 1984 dan 1994 diberikan oleh fungsi

I(t) = 0,00009045 t5 + 0,001438 t4 0,06561 t3 + 0,4598 t2 0,6270 t + 99,33 dengan t diukur dalam tahun sejak pertengahan 1984, sehingga 0 t 10, dan I(t) diukur dalam dolar 1987 dan diskalakan sedemikian sehingga I(3) = 100. Taksirlah waktu ketika makanan paling murah dan paling mahal selama periode 1984 1994.

@@@